BÀI TẬP TỐN TÀI CHÍNH
Chương II: Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn
8. Hãy xác định thời điểm đáo hạn của thương phiếu có mệnh giá 75150 biết
rằng nếu ngày 30/6 thương phiếu đó được đem chiết khấu theo pp thương mại
với lãi suất 3% thì sẽ có được một khoản chênh lệch về tiền chiết khấu là 0,3
so với chiết khấu theo pp hợp lý.
Giải
Ta có: Ec – Er = =
 0,3

với D = = = 12000

=

Thay số vào ta có được: 0,3 =
75150 – 3600n – 43200000 = 0
=24 ; = (loại)
Vậy thời điểm đâó hạn của thương phiếu là ngày 24 tháng 7 tức 24 ngày kể từ sau
ngày 30 tháng 6
9. Một thương phiếu với mệnh giá 16380 được chiết khấu theo lãi suất 8%.
Nếu thương phiếu trên được chiết khấu theo pp hợp lý thì số tiền chiết khấu
hợp lý nhỏ hơn số tiền chiết khấu thương mại là 2.
Hãy xác định thời điểm đáo hạn của thương phiếu trên biết rằng thương
phiếu được chiết khấu vào ngày 18/10
Giải
Ta có: Ec – Er = =
2

với D = = = 4500

=

Thay số vào ta có được: 2 =
16380 – 9000n – 40500000 = 0
=50 ; = (loại)


Vậy thời điểm đáo hạn của thương phiếu là ngày 7 tháng 12 tức 50 ngày kể từ sau
ngày 18 tháng 10.
10. Ngày 1/3, một thp được chiết khấu tại NH với lãi suất 6%. Chênh lêch
giữa tiền chiết khấu thương mại và tiền chiết khấu hợp lý bằng 1/100 tiền
chiết khấu hợp lý.
Hãy xác định thời điểm thanh toán của thp trên.
Giải
Ta có:

Ec – Er = Er



Ec

= 1,01Er



= 1,01.



= 1,01.




n

= 60 (ngày)

Vậy thời điểm thanh toán của thương phiếu là ngày 30 tháng 4 tức 60 ngày kể từ
sau ngày 1 tháng 3.
11. Một thp có mệnh giá là 3,663. Hãy tính giá trị hiện tại hợp lý của thp trên
biết rằng giá trị hiện tại thương mại là 3,6297
Giải
Ta có: C = 3,663
ADCT: Vc =
 3,6296 =
 tn

= 327,273

ADCT: Vr = C – Er
=CThay số ta có được:

Vr = 3,663 - = 3,63


Vậy gía trị hiện tại hợp lý của thương phiếu là 3,63 đvtt
12. Một người có 2 phương án huy động vốn
(1) Đem thp có mệnh giá 100.000 đến NH xin chiết khấu với lãi suất 6%, hoa
hồng ký hậu 0,45%, hoa hồng cố định 600, thuế 5% tính trên hoa hồng cố
định, thời gian còn lại của thp là 45 ngày.

(2) Vay vốn NH với lãi suất trên HĐTD là 6,2%; phí suất tín dụng 3%.
Hãy giúp người này lựa chọn p/a huy động vốn tốt hơn.
Giải
Xét lãi suất giá thành của hai phương án:
•

Phương án 1:

Ta có:
CPCK = Tiền CK + Hoa hồng ký hậu + Hoa hồng cố định + lệ phí/thuế
Chi phí chiết khấu của thương phiếu có mệnh giá 100000 là:
CPCK = + + 600 + 600.5% = 1436,25
Lãi suất giá thành của thương phiếu
ADCT : T’ =
 T’ = = 11,657% (1)
•

Phương án 2

Tổng lãi suất = 6,2% + 3% = 9,2%

(2)

Từ (1) và (2) => Khách hàng nên lựa chọn phương án 2


13. Có 3 thp được chiết khấu tại NH với mệnh giá tỷ lệ với các số 2,5,9 và tổng
mệnh giá của chúng là 5120. Kỳ hạn thanh toán của 3 thp lần lượt là 30, 45 và
60 ngày. Ba thp được chiết khấu theo cùng lãi suất t%/năm.
Hoa hồng ký hậu (tỷ lệ thuận với thời gian) cho mỗi thp là 0,6%; hoa hồng cố

định tính trên mỗi thp (không phụ thuộc vào thời hạn) là 1‰; riêng thp thứ
nhất phải chịu thêm phụ phí là 0,25% (khơng phụ thuộc vào thời hạn).
Hãy tính lãi suất chiết khẩu biết rằng tổng giá trị ròng của 3 thp là 5042,88.
Giải
Gọi mệnh giá của các thương phiếu lần lượt là 2C; 5C; 9C
Theo đầu bài ta có: 2C + 5C +9C = 5120
C

= 320 (đvtt)

Thương phiếu thứ nhất có mệnh giá =640 (đvtt)
Thương phiếu thứ hai có mệnh giá =1600 (đvtt)
Thương phiếu thứ ba có mệnh giá =2880 (đvtt)
Ta có : Giá trị rịng = Mệnh giá – Chi phí chiết khấu
+) Giá trị ròng của thương phiếu một
= 640 - - – (1% + 0,25%)*640
= 631,68 +) Giá trị ròng của thương phiếu hai
= 1600 - - – 1%*1600
= 1582,8 +) Giá trị ròng của thương phiếu ba
= 2880 - - – 1%*2880
= 2848,32 Tổng giá trị ròng của ba thương phiếu = 5042,88 (đvtt)
 631,68 - + 1582,8 - + 2848,32 - = 5042,88 (đvtt)


 t = 2,72 %
Vậy lãi suất chiết khấu là 2,72 %
14. Vào ngày ½, khách hàng đem thp có mệnh giá C, đáo hạn vào ngày 27/7
cùng năm đến NH xin chiết khấu với lãi suất thực tế chiết khấu là 8%.
Hãy tính lãi suất giá thành chiết khấu.
Giải

Ta có: n = 176 ngày
Lãi suất thực tế chiết khấu T =


8=

 1408C = 36000.CPCK
Lãi suất giá thành chiết khấu T’ =
=> T’ = = 8,326%
15. Ngày 1/3, DN đề nghị NH thay thế thp đáo hạn vào ngày 31/3 bằng một
thp khác có mệnh giá 10.710 đáo hạn vào ngày 15/5 cùng năm. Lãi suất chiết
khấu 10%.
Giải
V = V’

C=?

1/3

31/3

C’=10710
15/5

Ta có: n = 30 ngày ; n’ = 75 ngày
Thời điểm thay thế thương phiếu vào ngày 1 tháng 3 ta có:
V = V’
 C - = C’ Thay số ta có được:

C - = 10710 -


C

= 10575 (đvtt)

n


Vậy mệnh giá của thương phiếu thanh toán ngày 31 tháng 3 là 10575 đvtt
16. Ngày 16/7, một người đề nghị thay thế thp đáo hạn vào ngày 31/7 với mệnh
giá là 300.000 bằng một thp khác có mệnh giá là 302.000.
Hãy xác định thời điểm đáo hạn của thp thay thế biết lãi suất chiết khấu là
5%.
Giải
V = V’

C = 300000

16/7

C’=302000

31/7

n

?

Ta có: n = 15; n’ = ?
C = 300000; C’ = 302000

Thời điểm thay thế thương phiếu vào ngày 1 tháng 3 ta có:
V = V’
 C - = C’ Thay số ta có được:

300000 - = 302000 -

 n’

= 63 ngày

Vậy thời điểm đáo hạn của thương phiếu thay thế là ngày 17 tháng 9
17. Có 2 thp lần lượt như sau: thp thứ nhất có mệnh giá 19,77 tr và đáo hạn
vào ngày 31/10; thp thứ hai có mệnh giá 19,87 tr và đáo hạn vào ngày 20/11
cùng năm. Lãi suất chiết khấu 9%/năm.
Hãy xác định thời điểm tương đương của 2 thp trên.
Giải
V = V’
?

C = 19,77

C’=19,87

31/10

20/11

Ta có: n’ = n +20
Tại thời điểm thay thế thương phiếu ta có:


n


V = V’
 C - = C’ Thay số ta có được:

19,77 - = 19,87 -

n

= 26 ngày

Vậy thời điểm tương đương của hai thương phiếu là ngày 5 tháng 10
18. Có 2 thp lần lượt như sau: thp thứ nhất có mệnh giá 19,87 tr và đáo hạn
vào ngày 31/10; thp thứ hai có mệnh giá 19,77 tr và đáo hạn vào ngày 20/11
cùng năm. Lãi suất chiết khấu 9%/năm.
Hãy xác định thời điểm tương đương của 2 thp trên.

Giải
V = V’
?

C = 19,87

C’=19,77

31/10

20/11


n

Ta có: n’ = n +20
Tại thời điểm thay thế thương phiếu ta có:
V = V’
 C - = C’ Thay số ta có được:

19,87 - = 19,77 -

n

= 7954ngày

Vậy thời điểm tương đương của hai thương phiếu là
19. Ngày 31/8, DN đề nghị với NH thay thế 3 thp bằng 1 thp đáo hạn vào ngày
30/9. Biết lãi suất chiết khấu là 9%/năm. Hãy xác định mệnh giá của thp thay
thế.
Biết 3 thp bị thay thế lần lượt là:
C1= 2000 và đáo hạn vào ngày 15/9


C2= 1200 và đáo hạn vào ngày 20/9
C3= 800 và đáo hạn vào ngày 9/11.
Giải
31/8

15/9

20/9


30/9

9/11

Ta có: =15 ngày
=20 ngày
=70 ngày
n = 30 ngày
Thời điểm thay thế thương phiếu vào ngày 31 tháng 8 ta có:
V=++
C- = - + - + Thay số ta có được:
C - = 2000 - + - + 800 C

= 4002,52 (đvtt)

Vậy mệnh giá của thương phiếu thay thế là 4002,52 đvtt
20. Một người mắc 3 khoản nợ thp:
150.000 thanh toán vào ngày 1/6
165.000 thanh toán vào ngày 9/7
200.000 thanh toán vào ngày 27/7
Ngày 20/4, người này đề nghị thay thế 3 thp trên bằng một thp có mệnh giá
520.000.
Hãy xác định thời hạn thanh tốn của thp thay thế biết lãi suất chiết khấu
7%/năm.
Giải


20/4

1/6


Ta có: = 42 ngày

; = 150000

= 80 ngày

; = 165000

= 98 ngày

; = 200000

n = ? ngày

9/7

27/7

; C = 520000

Tại thời điểm thay thế thương phiếu vào ngày 20 tháng 4 ta có:
V =++
C- = - + - + Thay số ta có được:
520000 - = 150000 - + - + 200000
n

= 125 (ngày)

Vậy thời hạn thanh toán của thương phiếu thay thế là ngày 23 tháng 8

Phần II: Các nghiệp vụ tài chính dài hạn
Chương 4: Lãi gộp và thương phiếu tương đương theo lãi gộp
22. Ngày 31/10/1992, một người đến ngân hàng rút tiền tiết kiệm với số tiền
rút ra là 72 triệu.
Hỏi để có được số tiền trên thì ngày 31/10/1974 người đó phải gửi vào ngân
hàng bao nhiêu tiền? Biết rằng cứ 6 tháng lãi gộp vào vốn một lần và lãi suất
tiền gửi là 14,49%/năm.
Giải
Theo đầu bài ta có : n = 36 ( 6 tháng tính lãi một lần)
Lãi suất tương đương kỳ 6 tháng là
ADCT: = – 1

= –1
= 0,07


= 7%
Số tiền khách hàng gửi vào ngân hàng ngày 31/10/1974 là
ADCT: = C.
=>
= 72.
= 6,302553 triệu đồng
23. Một người nợ 100 triệu, thời hạn 5 năm. Người này muốn trả món nợ trên
bằng 5 khoản trả bằng nhau với thời hạn tương ứng lần lượt là 1,2,3,4,5 năm.
Lãi suất 9%/năm.
(a) Hãy tính số tiền của mỗi lần trả;
(b) Hãy tính số tiền của mỗi lần trả nếu giá trị của các lần trả có quan hệ với
nhau theo cấp số nhân với cơng bội là 1,09;
(c) Hãy tính số tiền của mỗi lần trả nếu giá trị của các lần trả có quan hệ với
nhau theo cấp số cộng với cơng sai là 100000.

Giải
Theo đầu bài ta có:
= 100 triệu đồng
n = 5 năm
I = 9%/năm
a) Gọi a là số tiền mỗi lần trả
= a. + a. + a. + a. + a.
= a.
Thay số ta được
100 = a.
 a = 25,709246 (triệu đồng)
b) Gọi b là số tiền khách hàng trả lần đầu.

Số tiền các lần trả sau lần lượt là : 1,09b ; ; ;
Ta có
= b. + 1,09b. + . + .
+.
 100 = 5.
 b = 21,8 triệu đồng
Vậy số tiền mỗi lần trả của khách hàng lần lượt là 21,8 triệu đồng ; 23,762 triệu
đồng; 25,90058 triệu đồng; 28,231632 triệu đồng; 30,772479 triệu đồng


c) Gọi c là số tiền khách hàng trả lần đầu.

Số tiền các lần trả sau lần lượt là:
(c + 0,1) ; (c + 0,2) ; (c + 0,3) ; (c + 0,4) ;
Ta có
= c. + (c + 0,1). + (c + 0,2). + (c + 0,3).
+ (c + 0,4).

Thay số ta được
= c. + (c + 0,1). + (c + 0,2). + (c + 0,3).
+ (c + 0,4).
 c = 25,526426 ( triệu đồng)
Vậy số tiền mỗi lần trả của khách hàng lần lượt là
25,526426 triệu đồng
25,626426 triệu đồng
25,726426 triệu đồng
25,826426 triệu đồng
25,926426 triệu đồng
24. Một cty có 4 món nợ thương phiếu sau đây:
40000 trả sau 2 năm
10000 trả sau 3 năm 3 tháng
25500 trả sau 1 năm 6 tháng
50000 trả sau 5 năm
Cty đề nghị được trả các món nợ trên bằng một thương phiếu duy nhất với
thời hạn 2 năm 9 tháng.
Hãy xác định mệnh giá của thương phiếu thay thế biết rằng lãi suất chiết
khấu là 8,5%/năm.
Giải
Gọi C là mệnh giá của thương phiếu thay thế
Lãi suất chiết khấu là 8,5%
Ở thời điểm thay thế, giá trị hiện tại của thương phiếu thay thế bằng tổng giá trị
hiện tại của 4 thương phiếu đã cho.


V = +++
 C.= 40000 + 10000 +
25500. + 50000.
 C.

= 40000. + 10000. +
25500. + 50000.
 C
= 121977,0078
Vậy mệnh giá của thương phiếu thay thế là 121977,0078 đvtt
25. Tương tự bài trên.
Biết rằng mệnh giá của thương phiếu thay thế là 130000 và lãi suất chiết khấu
là 10,25%/năm.
Hãy xác định thời hạn thanh tốn cịn lại của thương phiếu thay thế.
Giải
Lãi suất chiết khấu là 10,25%
Gọi n là thời hạn của thương phiếu mới.
Ta có:
V = +++
 130000.= 40000 + 10000 +
25500. + 50000.
130000.= 40000.+ 10000. +
25500. + 50000.

= 0,715
Logarit cả 2 vế với cùng cơ số, ta được:
-n = => n = 3,44 năm
Vậy thương phiếu mới có thời hạn khoảng 3 năm 5 tháng 9 ngày
26. Một người có 3 khoản nợ thương phiếu sau:
17300 đáo hạn sau 6 tháng
18400 đáo hạn sau 18 tháng
19500 đáo hạn sau 24 tháng
Người này đề nghị thay thế 3 thương phiếu trên bằng một thương phiếu duy
nhất đáo hạn sau 42 tháng.



Hãy xác định mệnh giá của thương phiếu thay thế biết rằng lãi suất chiết
khấu là 12,36%/năm.
Giải
Gọi C là mệnh giá của thương phiếu thay thế
Lãi suất chiết khấu i = 12,36%
Gọi i2: là lãi suất của thời kỳ (
i2= – 1= – 1 = 6 %/ 6 tháng

C1 = 17300

n1 = 1 thời kỳ 6 tháng

C2 = 18400

n2 = 18 tháng = 3 thời kỳ 6 tháng

C3 = 19500

n3 = 24 tháng = 4 thời kỳ 6 tháng

C=?

n = 42 tháng = 7 thời kỳ 6 tháng

Thay thế 3 thương phiếu đã cho bằng một thương phiếu duy nhất đáo hạn sau 42
tháng thì tại thời điểm tương đương ta có:
V = ++
 C.= 17300 + 18400 + 19500.
 C. = 17300 + 18400 + 19500.

=> C
= 70994,76871
Vậy mệnh giá của thương phiếu thay thế là 70994,76871 đvtt
CHƯƠNG V: NIÊN KIM
27. Một người cứ mỗi năm để dành được khoảng 8000. Người này muốn sau
một thời gian có được 1800000.
Hãy lập các phương án gửi tiền vào ngân hàng để khách hàng lựa chọn biết
rằng lãi suất tiền gửi là 3,8%/năm.
Giải
Ta có: a = 8000; Vn = 1800000


ADCT :

Vn = a
1800000 = 8000.
n



= 60,504

Có 2 phương án gửi tiền:
-

Gửi tiền với n = 60 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 8169,902704 (đvtt)
Gửi tiền với n = 61 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 7836,545202 (đvtt)


28. Một người nông dân mỗi năm để dành được xấp xỉ 3 triệu. Người này
muốn sau một thời gian có được số tiền là 30 triệu bằng cách gửi số tiền có
được hàng năm vào ngân hàng. Lãi suất tiền gửi ngân hàng là 7%/năm.
Hãy lập các phương án gửi tiền để khách hàng lựa chọn biết rằng người này
muốn số tiền gửi mỗi lần bằng nhau.
Giải
Ta có: a 3 triệu; Vn = 30 triệu
ADCT :

Vn = a
30 = 3.



n

= 7,84

Có 2 phương án gửi tiền:
-

Gửi tiền với n = 7 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 3,466597 (triệu)
Gửi tiền với n = 8 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 2,924033 (triệu)

29. Một người hàng năm để dành được tối đa là 15 triệu. Người này muốn sau
thời gian ngắn nhất có được 1 tỷ bằng cách gửi số tiền để dành vào ngân hàng.
Biết lãi suất tiền gửi là 8%/năm. Hãy lập các phương án gửi tiền phù hợp với
điều kiện của khách hàng.

Giải


Ta có: a 15 triệu; Vn = 100 triệu
ADCT :

Vn = a
100 = 15.
n



= 23,984

Để thời gian gửi ngắn nhất thì n = 24 lần.


Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 14,9779616 (triệu)

30. Một người vay ngân hàng 300 triệu với cam kết trả nợ hàng năm. Thu
nhập hàng năm có được để trả nợ là khoảng 50 triệu. Lần trả đầu tiên cách
lúc vay 1 năm.
Biết lãi suất tiền vay là 12%/năm. Hãy lập các phương án trả nợ để khách
hàng lựa chọn sao cho số tiền trả nợ mỗi lần bằng nhau
Giải
Ta có: a triệu; = 300 triệu
ADCT :

=a

300 = 50.



n

= 11,233

Có 2 phương án trả nợ:
-

Trả nợ với n = 11 lần => Số tiền mỗi lần trả nợ là:
a = = 50,524621 (triệu)
Trả nợ với n = 12 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 48,431042 (triệu)

31. Một khách hàng vay ngân hàng 20 tr với cam kết cứ 6 tháng trả nợ một
lần và số tiền trả mỗi lần bằng nhau. Thu nhập cứ mỗi 6 tháng để dành được
để trả nợ là 3 tr. 5 năm sau ngày vay, người này bắt đầu trả nợ.
Hãy lập các phương án trả nợ cho khách hàng biết rằng lãi suất tiền vay là
14,49%/năm.
Giải


Ta có: i = 14,49%/năm
Lãi suất tương đương kỳ 6 tháng: = - 1 = 7%
Số tiền khách hàng phải trả sau 5 năm: 20. = 39,343027 triệu đồng
ADCT:

=a

39,343027 - 3 = 3.


•
-

n
= 27,8442
Có hai phương án trả nợ cho khách hàng:
Trả nợ với n = 27 lần => Số tiền mỗi lần trả nợ là:
a = = 3,029484 (triệu)
Trả nợ với n = 28 lần => Số tiền gửi mỗi lần là:
a = = 2,9948 (triệu)

Vì thu nhập trả nợ là 3 triệu nên có thể chọn số lần trả nợ là n = 28 lần và số tiền
mỗi lần trả nợ là 2,9928 triệu
32.Một người vào ngày 1/6 hàng năm lại đến ngân hàng gửi tiền tiết kiệm
hưởng lãi gộp. Người này gửi tất cả 8 lần với số tiền gửi mỗi lần bằng nhau
bằng 10 tr. Lãi suất tiền gửi là 8,5%/năm. Sau lần gửi cuối cùng, khách hàng
khơng gửi thêm nữa và số tiền có được tiếp tục để trong ngân hàng. 4 năm sau
kể từ lần gửi khoản tiền cuối cùng, khách hàng bắt đầu rút tiền. Các lần rút
tiền thực hiện vào ngày 1/6 hàng năm với số tiền rút ra mỗi lần bằng nhau
bằng 9 tr.
a. Xác định số tiền người này còn lại trong ngân hàng ngay sau lầ rút tiền
cuối cùng biết rằng khách hàng rút tất cả 8 lần và lãi suất tiền gửi
không thay đổi.
b. Xác định số tiền còn lại trong ngân hàng biết rằng trong 3 năm cuối, lãi
suất ngân hàng giảm xuống còn 8%/năm.

33. Một người vào ngày 31/12 hàng năm lại đến ngân hàng gửi tiền tiết kiệm

hưởng lãi gộp với số tiền gửi mỗi lần bằng nhau bằng 6 tr. Lãi suất tiền gửi
9%/năm. Lần gửi đầu tiên vào ngày 31/12/1987, lần gửi cuối cùng vào ngày
31/12/1997. Sau lần gửi khoản tiền cuối cùng, người này khơng gửi thêm tiền
nữa. Số tiền có được tiếp tục để trong ngân hàng đến ngày 31/12/2000 thì


khách hàng bắt đầu rút tiền. Các lần rút tiền thực hiện vào ngày 31/12 hàng
năm. Lần rút cuối cùng vào ngày 31/12/2005.
a. Xác định số tiền rút ra mỗi lần biết rằng các lần rút tiền với số tiền bằng
nhau và ngay sau lần rút cuối cùng thì rút hết tiền trong ngân hàng, lãi suất
tiên gửi không thay đỏi.
b. Xác định số tiền rút ra mỗi lần biết rằng các lần rút tiền với số tiền bằng
nhau và ngay sau lần rút cuối cùng thì rút hết tiền trong ngân hàng, lãi suất
tiên gửi trong 2 năm cuối tăng lên 9,5%/năm.
Giải
Ta có: a = 6 triệu; i = 9%/năm

a)



ADCT :
= 6.
=.

Vn = a

Gọi b là số tiền mỗi lần rút
Theo đầu bài, 31/12/2000 thì khách hàng bắt đầu rút tiền và sau lần rút cuối
cùng thì hết tiền:



- b.

=0

 6.. - b. = 0
 b = 27,905167 triệu đồng
Vậy số tiền rút ra mỗi lần trong trường hợp này là 27,905167 triệu đồng
b)

Lãi suất tiền gửi 2 năm cuối là i’ = 9,5%
Ta có :
= 6.
= .. = 211,870379 triệu đồng

Gọi c là số tiền mỗi lần rút



- c.. - c.
211,870379 - c.. - c.

=0
=0




c = 27,957522 triệu đồng


34.
a) Một dn vào ngày 30/6 hàng năm lại đến ngân hàng gửi tiền tiết kiệm
hưởng lãi gộp với số tiền cố định là 30 tr. Khoản gửi đầu tiên vào ngày
30/6/1970, khoản cuối cùng vào ngày 30/6/1978. Lãi suất tiền gửi là 9%/năm.
Hãy tính số tiền dn có được vào ngày 30/6/1981.
b) Ngày 30/6/1981 dn rút tồn bộ số tiền có được và sau khi quy trịn
đến 1 tr, số tiền đó ngay lập tức được gửi lại vào ngân hàng với điều kiện mỗi
năm ngân hàng phải trả cho dn 70 tr, khoản trả đầu tiên vào ngày 30/6/1982,
lãi suất gửi là 10%/năm.
Hãy xác định thời điểm của khoản trả cuối cùng và tính số tiền của khoản trả
cuối cùng đó biết rằng khoản trả cuối cùng số tiền trên 70 tr.
Giải

a)

Ta có a = 30 triệu ; i = 9%/năm

Số tiền doanh nghiệp có được sau khi gửi khoản cuối cùng vào ngày 30/6/1978
là
ADCT :


Vn = a
= 30.

Số tiền doanh nghiệp có được vào ngày 30/6/1981 là
= . = 505,878593 triệu đồng
b)


Số tiền sau khi quy tròn đến 1 triệu và được gửi ngay vào ngân hàng là 506
triệu.
i = 10%/năm

Giả sử mỗi năm ngân hàng trả cho doanh nghiệp 70 triệu và sau n lần trả thì hết
nợ:



506. - 70 = 0
n = 13,46


Vì lần trả cuối cùng số tiền nhận được lớn hơn 70 triệu, nên số lần trả là 13 lần,
số tiền của khoản trả cuối cùng lag
506.

-

70 = 100,259384 triệu đồng

Vậy thời điểm trả khoản cuối cùng là vào ngày 30/6/1994 và số tiền của khoản
trả cuối cùng là 100,259384 triệu đồng
35.Vào ngày 1/6/1994, một người gửi vào ngân hàng 8 tr và dự định vào ngày
1/6 hàng năm kể từ năm 1997 sẽ rút ra một số tiền cố định khoảng 0,8 tr. Biết
rằng lãi suất tiền gửi là 7%/năm và người này muốn rằng số tiền rút ra mỗi
lần gần 0,8 tr nhất.
Hỏi người này được rút bao nhiêu lần, mỗi lần rút bao nhiêu tiền và thời điểm
của lần rút tiền cuối cùng là khi nào?
Giải

Gọi n là số lần rút và a là số tiền rút mỗi lần
Theo đầu bài: a 0,8triệu; i = 7%/năm
0

Ta có: 8.

-

-

1

2

3

n

0,8 = 0

n = 23,89367261
Với n = 23 => Số tiền mặt mỗi lần rút là:
a = = 0,812549 triệu đồng ( = 0,012549)
Với n = 24 => Số tiền mặt mỗi lần rút là:
a = = 0,798582 triệu đồng ( = 0,001418)

Vậy: khách hàng sẽ rút 23 lần, mỗi lần rút 0,798582 triệu đồng và thời điểm rút
tiền cuối cùng là 1/6/2020
36.Một khách hàng cứ mỗi 6 tháng lại gửi tiền vào ngân hàng hưởng lãi gộp
theo kỳ hạn 6 tháng. Lần đầu tiên gửi 6 tr, số tiền các lần gửi sau bằng số tiền

của lần gửi ngay trước đó cộng thêm 5% số tiền đó. Người này gửi liên tục 10


lần, lãi suất tiền gửi là 10,25%/năm. Hỏi vào thời điểm 20 năm sau kể từ lần
gửi đầu tiên thì người đó có được số tiền là bao nhiêu?
Nếu người này vay tiền ngân hàng với kế hoạch trả nợ như trên, lần trả nợ
đầu tiên cách lúc vay đúng 1 năm và lãi suất tiền vay là (a) 10,25%/năm và (b)
12,36%/năm thì số tiền ngân hàng cho vay là bao nhiêu?
Giải
Ta có : i = 10,25%/năm ,
-

Giá trị niện kim đầu tiên là 6 triệu
Giá trị chuỗi niên kim thứ 2 là 6 +6.5% = 6.1,05

……
-

Giấ trị niên kim cuối cung là 6.

Giá niên kim biến động theo cấp số nhân với công bội q = 1,05
Lãi suất tương đương kỳ 6 tháng: = - 1 = 5%
•

ADCT:

Vn= a.+aq.+…+a..+a..
Theo đầu bài : n = 10; i = q = 0,05
Số tiền khách hàng có ngay sau lần gửi thứ 10 là




= 6.+6.1,05.+…+6..+6..
= 10.6. = 93,079693 triệu đồng

Giả sử gửi năm 2000

Sau 20 năm kể từ lần gửi đầu tiên, số tiền KH có được:
.(1 + 5%). = 422,399323 triệu đồng
•

ADCT:


= a.+aq.+…+ a..
a)



Với i = 10,25%/năm => = 5%
= 6.+6.1,05.+…+ 6..
= 10.6. = 57,142857 triệu đồng

Vậy số tiền ngân hàng cho vay là 57,142857 triệu đồng
b)


Với i = 12,36%
Lãi suất tương đương kỳ 6 tháng: = - 1 = 6%


ADCT : = a..



= 6..
= 54,260249 triệu đồng

Vậy số tiền ngân hàng cho vay là 54,260249 triệu đồng

37.Một người cứ cuỗi mỗi năm lại để dành được một khoản tiền. Khoản tiền
đầu tiên là 20 tr và dự kiến các năm sau số tiền để dành sẽ tăng so với năm
trước 5%. Người này bây giờ 30 tuổi và dự kiến thu nhập sẽ duy trì cho tới
khi 60 tuổi.
a. Nếu số tiền để dành hàng năm để trả nợ ngân hàng thì ngân hàng sẽ cho
người này vay bao nhiêu tiền biết rằng lãi suất tiền vay là 8%/năm?
b. Nếu mỗi năm người này trích ra 5% số tiền để dành được gửi tiết kiệm
vào ngân hàng với lãi suất 8%/năm thì đến năm 60 tuổi người đó sẽ có
bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
c. Nếu người này muốn tiêu dùng toàn bộ số tiền tiết kiệm ở câu b bằng
cách mỗi năm rút ra một số tiền cố định trong vịng 20 năm liên tục thì
số tiền rút ra mỗi lần là bao nhiêu?
Giải:
a) Số tiền trả nợ ngân hàng biến động theo cấp số nhân với công bội q = 1,05
Số tiền ngân hàng sẽ cho khách hàng vay:
ADCT: = a..
Với a = 20 triệu đồng
= 20..




= 380,331264 triệu đồng
b) Số tiền gửi ngân hàng lần đầu tiên là 5%.20 = 1 triệu đồng
Số tiền gửi ngân hàng biến động theo cấp số ngân với công bội q = 1,05
Đến năm 60 tuổi số tiền người đó sẽ có trong ngân hàng:
ADCT:
= a.
Với a = 1 triệu đồng
= 1.

= 191,357151 triệu đồng
c) Ta có:
= 191,357151.

= 891,90748 triệu đồng
ADCT: = a
= a.
 891,90748 = a.

a
= 19,490149 triệu đồng
Vậy số tiền người đó rút ra mỗi lần là 19,490149 triệu đồng

38.Một người vào ngày 1/6/1991 đến vay ngân hàng một số tiền và thực hiện
trả nợ vào ngày 1/6 hàng năm.
Người này đã trả được 5 lần, mỗi lần trả 50 triệu, lần trả nợ đầu tiên thực
hiện vào ngày 1/6/1992. Lãi suất tiền vay là 12%/năm.
Do tình hình kinh tế thay đổi, vào ngày 1/6/1996, lãi suất ngân hàng tăng lên
13%/năm nên người này tăng số tiền trả nợ mỗi lần lên 60 tr và vẫn trả vào
ngày 1/6 hàng năm. Lần trả cuối cùng vào ngày 1/6/2002 thì hết nợ ngân hàng.
Hãy xác định số tiền ngân hàng đã cho khách hàng vay.

Giải


ADCT: = a



= 50 + 60..
= 310,421402 triêu đồng

Vậy số tiền ngân hàng cho khách hàng vay là 310,421402 triệu đồng
CHƯƠNG VI: THANH TỐN NỢ THƠNG THƯỜNG
39. Một dn vay ngân hàng 600 tr với cam kết cứ mỗi 6 tháng lại trả nợ ngân
hàng. Lần trả nợ đầu tiên cách lúc vay 2 năm. Dn trả trong 5 lần thì hết nợ.
Hãy lập bảng thanh tốn nợ cho dn này biết rằng lãi suất tiền vay là
16,64%/năm.

Giải
Ta có: i = 16,64%/năm , n= 5 lần
Lãi suất tương đương 6 tháng : = -1 = 8%
Số tiền doanh nghiệp vay cách lúc trả nợ đúng 1 thời kỳ là
V = = 755,8272 triệu đồng
Số tiền mỗi lần doanh nghiệp phải trả cho NH:
ADCT: a =


a=

 a = 189,301801 triệu đồng
-


Tiền lãi trả lần 1: = 755,8272.8% = 60,466176
Số tiền gốc trả lần 1: = 189,3018008 - 60,466176 = 128,835625
Số dư nợ đầu kỳ 2 : = - 128,835625 = 626,9916
Tiền lãi trả lần 2: = 626,991575.8% = 50,159326
Số tiền gốc trả lần 2: = 189,3018008 - 50,159326 = 139,142475
Tương tự các lần trả tiếp theo

Bảng thanh toán nợ
Thời Dư nợ gốc

Tiền lãi của

Số tiền gốc trả mỗi Số tiền mỗi lần


kỳ
1
2
3
4
5

đầu thời kỳ
= 755.8272
= 626.9916
= 487.8491
= 337.5752
= 175.2794


thời kỳ
60.4661760
50.1593260
39.0279280
27.0060182
14.0223556

thời kỳ
128.835625
139.142475
150.273873
162.295783
175.279445

trả
189.301801
189.301801
189.301801
189.301801
189.301801

40. Một người vay ngân hàng một số tiền với lãi suất 7,5%/năm và thực hiện
trả nợ theo CNKCĐ vào cuối mỗi năm. Khoản trả đầu tiên cách thời điểm
nhận tiền vay là 1 năm. Sau khoản trả thứ 8 người này trả được 2/3 số vốn
vay ban đầu. Biết rằng số nợ gốc đã trả ở lần thứ nhất là 500000.
a. Người này đã vay ngân hàng bao nhiêu tiền?
b. Tính số dư nợ gốc sau lần trả thứ 10.
c. Tính số tiền trả nợ mỗi lần.
Giải
Ta có : i = 7,5%/năm ; = 500000

a)

=

ADCT: = 

= – 500000.

 = 500000.
 = 7834778,256

Vậy số tiền đã vay của ngân hàng là 7834778,256 triệu đồng
b) Số dư nợ gốc lần trả thứ 10:

ADCT: =  = 7834778,256  = 761234,5079


c) Số tiền trả lãi lần 1: = 7834778,256.7,5% = 587608,3692

Số tiền mỗi lần trả là: a = +
a = 500000 + 587608,3692 = 1087608,369
41.
Ta có: = 500 triệu; i = 12%/năm; n = 15 lần
ADCT: a =


a=

 a = 73,41212 triệu đồng
-


Tiền lãi trả lần 1: = 500.12% = 60
Số tiền gốc trả lần 1: = 73,41212 - 60 = 13,41212
Số dư nợ đầu kỳ 2 : = - 13,41212 = 486,58788
Tiền lãi trả lần 2: = 486,58788.12% = 58,390546
Số tiền gốc trả lần 2: = 73,41212 - 58,390546 = 15,021574

ADCT: =  = - 13,41212
 = 176,323521
-

Tiền lãi trả lần 13: = 176,323521.12% = 21,158823
Số tiền gốc trả lần 13: = 73,41212 - 21,158823= 52,253297
Số dư nợ đầu kỳ 14 : = 176,323521 - 52,253297 = 124,070224
Tiền lãi trả lần 14: = 124,070224.12% = 14,888427
Số tiền gốc trả lần 14: = 73,41212 - 14,888427 = 58,523639
Số dư nợ đầu kỳ 15 : = 124,070224 - 58,523639= 65,546585
Tiền lãi trả lần 15: = 65,546585.12% = 7,86559
Số tiền gốc trả lần 15: = 73,41212 - 7,86559= 65,54635

Thời Dư nợ gốc đầu
kỳ
thời kỳ
1
= 500
2
= 486,58788

Niên kim Trả lãi
73,41212 60

73,41212 58,390546

Trả gốc
13,41212
15,021574

Dư nợ gốc cuối
thời kỳ
= 486,58788
= 471,566306