BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------------------

NGUYỄN THÚY ANH

ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC
MÔ HÌNH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA
MẠNG VIỄN THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT VIỄN THÔNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐỖ XUÂN THỤ

Hà Nội - 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------------------

NGUYỄN THÚY ANH

ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC
MÔ HÌNH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA
MẠNG VIỄN THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT VIỄN THÔNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐỖ XUÂN THỤ

Hà Nội - 2008


1

Chương 1.

Tổng quan về các phương pháp giảm bậc mô
hình và các bài toán mô phỏng mạng viễn thông
Trong chương này, tác giả khảo sát các phương pháp giảm bậc đối với mô
hình bậc cao về chung trong không gian biến trạng thái và phát biểu dưới dạng một bài
toán nhằm trình bày và so sánh ngắn gọn các phương pháp giảm bậc khác nhau. Sau đó
tác giả khảo sát một số bài toán mô phỏng mạng Viễn thông theo phương pháp giảm
bậc hệ thống liên quan đến khảo sát bản chất động học hệ thống thay thế quan điểm
khảo sát hệ thống dựa trên hàm truyền đạt giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra của
hệ thống.

1.1. Giới thiệu
Nhiều trường hợp trong thực tiễn ta gặp những hệ động học, kể cả những hệ thống
thuộc lĩnh vực mạng viễn thông, mô tả bởi mô hình toán học phức tạp, bậc rất cao. Đối
với những hệ phức tạp này sẽ gặp không ít khó khăn trong việc nắm bắt trạng thái hoạt
động của hệ phục vụ cho mục tiêu phân tích và càng khó khăn hơn khi muốn tổng hợp
và điều khiển hệ đó. Vấn đề sẽ trở lên dễ dàng hơn khi sử dụng một mô hình bậc thấp
được chọn sao cho có các đặc điểm quan trọng của mô hình bậc cao. Có thể mô tả các
đặc trưng của những phần tử cấu thành mạng viễn thông dưới dạng hệ thống động học
cần quản lý, điều khiển. Hiển nhiên, chất lượng điều khiển, vận hành các phần tử mạng

càng cao khi mô hình toán học có khả năng mô tả càng chính xác những động học xảy
ra trong hệ thống thực. Nhưng đáp ứng đòi hỏi về tính chính xác đó, thường là các mô
hình toán học phức tạp có bậc cao, gây nhiều khó khăn khi nắm bắt về hệ thống cũng
như thoả mÃn tính hội tụ, tính tốc độ theo nhu cầu thời gian thực.
Hơn 40 năm qua, đà có rất nhiều công trình nghiên cứu để giải bài toán giảm bậc
của mô hình bậc cao được công bố, đề xuất các phương pháp tiếp cận khác nhau. Tuy
nhiên, theo quan niệm của tác giả, đối với một mô hình bậc cao cho trước, các phương
pháp đà đề xuất trên thực tế có thể phân loại theo 3 nhóm chính: nhóm phương pháp
giảm bậc thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn các trị riêng quan trọng của mô
hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp. Các tham số của mô hình bậc
thấp được xác định sao cho đáp ứng của mô hình bậc thấp trước tác động của tín hiệu
tại đầu vào gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc; nhóm phương pháp giảm bËc thø


2

hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng các tiêu chí tối ưu mà không quan tâm tới các trị
riêng quan trọng của mô hình gốc; nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất
trên cơ sở chọn trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng.
Tuy nhiên, còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất kỳ một trong
các nhóm trên. Đáng chú ý nhất là phương pháp nhiễu loạn được Sannuti và Kokotovic
đề xuất năm 1969 [100] và phương pháp cân bằng ma trận (cân bằng nội) do Moore đề
xuất năm 1981 [78]. Phương pháp cân bằng nội sau đó được phát triển đối với những
bài toán cần xem xét trong cả tư duy hệ hở và cả tư duy hệ kín. Cụ thể, Jonekheere
và Silverman năm 1993 đà chứng minh tính bất biến theo hệ toạ độ của tập giá trị riêng
đặc trưng cho hệ làm việc trong khâu khép kín và đề xuất mô hình giảm bậc ®èi víi bé
bï trõ ®éng häc [65]; Mustafa vµ Glover đề xuất trong công trình năm 1991 sự kết hợp
giữa phương pháp cân bằng nội với phương pháp H để xác định tham số bộ điều khiển
giảm bậc và đề xuất phương án bù trừ trong miền tần số [79].
Rõ ràng, nếu mục đích của các phương pháp giảm bậc của mô hình liên quan đến

việc sử dụng các mô hình bậc thấp để có được những hiểu biết ban đầu về mô hình gốc
và từ đó dẫn đến khả năng điều khiển hệ một cách hiệu quả hơn, thì việc bảo toàn bản
chất vật lý mô tả bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao trong các trạng thái của
mô hình giảm bậc sẽ đóng vai trò quan trọng hơn là việc tìm kiếm các giải pháp ®Ĩ thu
®­ỵc sai sè cùc tiĨu tut ®èi. Víi mơc đích đó, việc tìm kiếm các biện pháp để lưu giữ
bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc trong quá trình thực hiện
giảm bậc là hướng nghiên cứu đúng đắn.
Sau đây tác giả trình bày ngắn gọn một số phương pháp giảm bậc mô hình hệ
thống, những so sánh và nhận xét, phần tiếp theo tác giả phân tích một số bài toán mô
phỏng mạng Viễn thông cơ bản dưới con mắt của nhà quản lý hệ thống từ đó đưa ra
mục tiêu phương hướng thực hiện luận án.

1.2. Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình hệ thống
Cho một hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra mô
tả bởi hệ các phương trình sau:

x = Ax + Bu
y = Cx
trong ®ã, x ∈ Ρn, u ∈ Ρp, y ∈ Ρq , A ∈ Ρnxn , B ∈ Ρnxp , C ∈ Ρqxn .

(1.1)


3

Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình (1.1)
là tìm mô hình mô tả bởi hệ các phương trình:

x r = A r x r + B r u


(1.2)

yr = Crxr
trong ®ã, xr ∈ Ρr, u ∈ Ρp, yr ∈ Ρq , Ar ∈ Ρrxr , Br ∈ Ρrxp , Cr qxr , với r n;
sao cho mô hình mô tả bởi (1.2) có thể thay thế mô hình mô tả bởi (1.1) trong các bài
toán cơ bản thuộc lĩnh vực điều khiển như phân tích, thiết kế, điều khiển, v.v

1.3. Về các phương pháp giảm bậc cơ bản
1.3.1. Phương pháp ghép hợp
Trong số các phương pháp đề xuất trên cơ sở bảo toàn các trị riêng quan trọng của
hệ gốc trong mô hình giảm bậc, phương pháp tổng quát nhất là phương pháp ghép hợp
do Aoki nghiên cứu, xây dựng năm 1968 dựa trên mối quan hệ trực quan [22]:
= Kx

(1.3)

trong đó, K là một ma trận chiếu không đổi có kích thước (r x n) và được gọi là ma
trận ghép hợp. Phương trình (1.3) gọi là luật ghép hợp.
Thay (1.3) vào các biểu thức(1.1) và (1.2) dẫn đến các biểu thức:
KA = ArK, KB = Br, C CrK

(1.4)

Liên quan đến phương pháp ghép hợp có những nhận xét như sau.
a). Để xác định mô hình giảm bậc cần phải tính các trị riêng và các vector riêng
của ma trận A, trong khi đó ma trËn A cã thĨ cã kÝch th­íc rÊt lín. Nªn dù đà có các
phương pháp tính các giá trị riêng đó, nhưng cần phải mất một thời gian đáng kể.
b). Khuếch đại một chiều ở chế độ xác lập có thể không được bảo toàn và kết quả
là trước tác động của tín hiệu dạng bước, các đáp ứng của hệ gốc và của mô hình giảm
bậc có thể khác nhau đáng kể. Sự không phù hợp đáp ứng này có thể được khắc phục

nếu sử dụng phối hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp các
điểm theo thời gian [48].
c). Một câu hỏi quan trọng đối với phương pháp ghép hợp là việc chọn các giá trị
riêng như thế nào. Câu hỏi này có đáp án khi kết hợp với một tiêu chuẩn áp dụng trong
kỹ thuật phân tích, tổng hợp hệ thống. Tiêu chuẩn tỷ số năng lượng dựa trên cơ sở xét
tổng năng lượng đáp ứng xung ở đầu ra của hệ gốc, bảo toàn các trị riêng đóng góp
nhiều nhất vào tổng đó đà được dùng để xác định bậc thích hợp nhất cho mô hình giảm
bậc do Lucas đề xuất năm 1985 [73]. Năm 1981, Commault sử dụng những xung đơn


4

vị để tìm một đại lượng đo sự ảnh hưởng của từng trị riêng của ma trận A làm cơ sở để
xác định giá trị quyết định [36]. Một tiêu chuẩn khác có thể được dùng tham khảo do
Skelton và Yousuff đề xuất năm 1983 để chọn các trị riêng của hệ để bảo toàn dựa trên
cơ sở đóng góp của từng mode biến đổi theo thời gian vào đặc tính giữa các đầu vào và
ra của hệ [101], [102].
d). Một hạn chế khác của phương pháp ghép hợp cũng như của phần lớn những
phương pháp giảm bậc là các trạng thái của mô hình giảm bậc không mang ý nghĩa vật
lý nào. Điều này dẫn đến khó khăn trong trường hợp mô hình giảm bậc được xét cùng
với các khâu khác của một quá trình khi chúng được liên kết với nhau thông qua trạng
thái. Phương pháp nhiễu xạ không suy biến do Fernando và Nicholson đề xuất năm
1982 [45] cũng như phương pháp do Rozsa, Sinha và Lastman đề xuất năm 1981 [91]
khắc phục được một bước khó khăn đà nêu.

1.3.2. Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm
Một phương pháp tiếp cận khác để thu được mô hình giảm bậc đà đề xuất trên cơ
sở chọn trùng khớp đáp ứng xung của mô hình giảm bậc với đáp ứng xung của mô hình
gốc tại các điểm theo thời gian [32], [92], [53].
Đối với các hệ thống động học được biểu diễn bởi phương trình (1.1), dễ dàng viết

biểu thức ma trận hàm truyền. Phân tích ma trận hàm truyền theo chuỗi Laurentz hoặc
chuỗi Taylor (ứng với trường hợp khi có hoặc không có các điểm cực tại gốc toạ độ của
mặt phẳng phức) ta cã biĨu thøc theo tham sè Markov hc Markov suy réng nh­ sau:
n

G(s) = C(sI - A)-1B = ( ∑ J i s −(i +1) hc
i =0

∞

∑J s (
i =0

− i +1)

i

)

(1.5)

Để xác định mô hình bậc thấp, tìm các ma trËn Ar, Br vµ Cr sao cho mét sè tham
số Markov suy rộng của mô hình giảm bậc trùng với các tham số Markov của hệ gốc.
Nhờ vào sự trùng khớp tại các thời điểm đáp ứng của mô hình giảm bậc với đáp ứng
của mô hình gốc, mà trước tác động của tín hiệu có thể phân tích theo chuỗi luỹ thừa
tại đầu vào, các đáp ứng trong chế độ xác lập giống nhau. Mặt khác, sự phù hợp các
tham số Markov sẽ nâng cao tính gần đúng cả vùng chuyển tiếp hoặc gián đoạn của
đáp ứng đó. Qúa trình tìm các ma trận Ar, Br và Cr được gọi là quy trình khả hiện thành
phần, trong đó ma trận khối Hankel được tạo thành, gồm có các tham số Markov suy
rộng (tham số Markov J i được biết là bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính áp dụng

trên trạng thái):


5

j - k
j - k+1 . . . j - k+j - 1 


j - k+1 j - k+2 . . . j - k+j 


 , víi J i = (CAiB hc CA-(i+1)B)
H-ij(k) =  .
.



.

j - ki +1 j - k+1 . . . j - k+i +j - 2



(1.6)

Theo như cách ở trên, quy trình khả hiện thành phần có thể được coi là phương
pháp gần đúng Pade suy rộng áp dụng đối với trường hợp hệ đa biến có nhiều đầu vào,
nhiều đầu ra.
Hạn chế chính của tất cả những phương pháp như vậy là sự ổn định của mô hình

giảm bậc không được đảm bảo dù rằng hệ gốc hoạt động ổn định. ĐÃ có nhiều phương
pháp được nghiên cứu, tiến cử để khắc phục hạn chế này. Trong đó, đáng chú ý nhất ở
các tiến cử này là phương pháp gần đúng Routh được Hutton và Friendland nghiên cứu,
phát triển năm 1975 đối với các hệ có một đầu vào và một đầu ra [54]. Dạng đa biến,
nhiều đầu vào, nhiều đầu ra do Sinha và các đồng tác giả khác phát triển năm 1982
[106] qua việc tìm các phần chẵn, lẻ của đa thức đặc trưng cho mô hình gốc. Điều này
cho phép xác định các ma trận Ar và Br và dưới dạng chính tắc. Ma trận Cr lúc đó phải
tìm sao cho thu được càng nhiều điểm trùng khớp giữa các đáp ứng càng tốt.
Sự hấp dẫn chủ yếu của phương pháp trùng khớp tại các điểm theo trục thời gian
là giảm đáng kể số lượng tính toán. Hạn chế chủ yếu của các phương pháp này nằm ở
phương diện thực tiễn vì không tồn tại bất kỳ mối liên hệ trực tiếp nào giữa các trạng
thái của hệ gốc bậc cao với các trạng thái của mô hình giảm bậc.

1.3.3. Phương pháp kết hợp giữa ghép hợp với trùng khớp tại các thời điểm
Vì mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp ghép hợp cho phép giữ các trị
riêng trội của các hệ thống gốc, nên tính ổn định của mô hình giảm bậc được đảm bảo
nếu hệ gốc ổn định. Nhưng, các đáp ứng ở chế độ xác lập của mô hình giảm bậc không
trùng khớp với các đáp ứng của hệ thống gốc. Điều này được khắc phục bằng cách kết
hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp tại các thời điểm với điều
kiện càng nhiều điểm trùng khớp càng tốt. Phương pháp kết hợp này không những cho
một mô hình gần đúng tốt hơn với đáp ứng trong khi vẫn bảo tồn được tính ổn định, mà
còn có được mối chiếu giữa các trạng thái của hệ gốc với các trạng thái của mô hình
giảm bậc. Điều này đặc biệt tiện lợi nếu mô hình giảm bậc được sử dụng để thiết kế
những thiết bị cần phải áp dụng phản hồi theo biến trạng thái.


6

Quy trình để tìm một mô hình giảm bậc bằng cách kết hợp phương pháp ghép hợp
với phương pháp trùng khớp tại các thời điểm là tường minh. Vì ma trận Ar ở dạng

đường chéo (dạng Jordan) và hoàn toàn xác định bởi các trị riêng luôn tồn tại trong ma
trận bậc thấp của ma trận A. Điều đó dẫn trùc tiÕp tíi ma trËn K qua biĨu thøc (1.6) để
có Br = KB. Các phần tử của ma trận Cr bây giờ có thể được chọn sao cho trùng khớp
được càng nhiều điểm càng tốt.

1.3.4. Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị
Đây là một phương pháp hấp dẫn đối với bài toán giảm bậc của mô hình vì bản
chất vật lý của mô hình gốc được bảo toàn. Trên cơ sở phân chia vector trạng thái thành
hai phần; phần vector trạng thái thuộc mode chậm và vector trạng thái thuộc mode
nhanh. Do đó, phương trình (1.1) được viết lại có vector x2 biểu diễn cho các trạng
thái thuộc mode nhanh nh­ sau:
x 1 = A11x1 + A12 x 2 + B1u
x 2 = A 21x1 + A 22 x 2 + B 2u

(1.7)

Đối với một hệ thống hoạt động ổn định, các trạng thái thuộc mode nhanh suy
giảm nhanh hơn các trạng thái thuộc mode chậm. Vì vậy, sau thời gian quá độ, có
thể cho đạo hàm của x2 bằng 0. Điều đó cho phép loại sự có mặt của x2 ra khỏi phương
trình (1.7) để thu được:

x 1 =  A11 - A12 (A 22 )-1A 21  x1 + B1 - A12 (A 22 )-1B 2  u

(1.8)

M« hình giảm bậc biểu diễn bởi phương trình (1.8) bây giờ có thể giải để tìm trực
tiếp các trạng thái.
Khó khăn chính khi sử dụng phương pháp này là vấn đề phân chia một cách
hợp lý vector các trạng thái theo các mode. Đó là điều khá phức tạp vì trên thực tế các
biến trạng thái bị liên kết với nhau đến mức không thể tách riêng để mà có thể quyết

định một trạng thái nào đó thuộc mode nào.

1.3.5. Phương pháp cân bằng nội
Khái niệm cân bằng nội được Moore đề xuất đầu tiên năm 1981 và áp dụng để
giải bài toán giảm bậc của mô hình [78], được Perenbo và Silverman phát triển thêm
năm 1982 [87] và năm 1984, được Glover xác định mối quan hệ với các chuẩn Hankel
[49]. Điều kiện cân bằng nội được xây dựng trên cơ sở chéo hoá đồng thời hai Gramian
đặc trưng cho khả năng điều khiển và quan sát của hệ thèng.


7

Đối với một hệ mô tả bởi phương trình (1.1), ma trận Gramian đặc trưng cho khả
năng điều khiển và cho khả năng quan sát của hệ được định nghĩa nh­ sau:
∞

Wc = ∫ exp(At)BBTexp(ATt)dt

(1.9)

0

∞

Wo = ∫ exp(ATt)CTCexp(At)dt

(1.10)

0


NÕu A lµ ma trận ổn định (tất cả trị riêng của A đều có phần thực âm) và hệ mô tả
bởi phương trình (1.1) có khả năng đồng thời điều khiển và quan sát hoàn toàn, thì khi
đó Wc cho trong (1.9) và Wo cho trong (1.10) là các ma trận xác định thực dương, đối
xứng và là nghiệm duy nhất của các phương trình Lyapunov tương ứng:
AWc + WcAT = - BBT
ATWo + WoA = - CTC

(1.11)
(1.12)

Tõ lý thuyÕt hÖ thèng được biết rằng đáp ứng nội của hệ động học được biến đổi
thích hợp để không làm thay đổi quan hệ vào-ra của hệ khi thực hiện phép biến đổi trên
vector trạng thái của hệ đó. Như vậy, một ma trËn kh«ng suy biÕn:
S = VcΛc PΛ-0,5

(1.13)

(Wc)* = S-1Wc(S-1)T = Λ

(1.14)

cã tÝnh chÊt sau:
(Wo)* = S-1WoS = Λ
trong ®ã, (Wc)* và (Wo)* là các Gramian đặc trưng cho tính đồng thời điều khiển, quan
sát của hệ gốc trong hệ toạ ®é biÕn ®ỉi:

x * = A*x* + B*u
y = C*x*

(1.15)


víi A* = S-1AS, B* = S-1B, C* = CS. Trong trường hợp này hệ được gọi là cân bằng nội.
Trong hệ mô tả bởi phương trình (1.15) sẽ có một ph©n hƯ c©n b»ng néi bËc r [71],
[72]. Nh­ vËy, từ (1.15) một mô hình bậc r hay mô hình giảm bậc có thể thu được. Mô
hình giảm bậc này cũng thoả mÃn điều kiện cân bằng nội và cũng được mô tả bởi dạng
phương trình (1.2) [71].
Như thế với phương pháp cân bằng nội, mô hình giảm bậc thu được bằng cách cắt
bỏ từ phương trình (1.15) các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát. Kết quả là
các biến trạng thái của mô hình giảm bậc gần đúng với r biến trạng thái đầu tiên trong
phương trình (1.15). Việc so sánh giữa phương pháp cân bằng ma trận với phương pháp
ghép hợp được Lastman cùng các tác giả khác thực hiện qua các ví dụ tính toán [72] và


8

cho thấy mô hình giảm bậc thu được bởi việc áp dụng phương pháp ghép hợp có thể ở
cùng mức độ tiện lợi so với phương pháp cân bằng nội với điều kiện là các trị riêng của
mô hình gốc mang đúng nghĩa tính trội. Qua phân tích sai số trong trường hợp xấu nhất
của phương pháp cân bằng nội cho thấy rằng khi mô hình gốc được cân bằng nội toàn
bậc, việc tính toán tìm các giá trị giới hạn của sai số được đơn giản hoá [70].
Năm 1989, Prakash và Rao đề xuất phiên bản điều chỉnh đối với phương pháp cân
bằng nội của Moore, trong đó mô hình giảm bậc tìm được bằng cách làm gần đúng
trạng thái của các phân hệ yếu theo nghĩa cân bằng quanh trục tần số có giá trị không
[88]. Điều đó có tác dụng giảm chuẩn phổ đối với sai số mô phỏng ở tần số thấp.

1.3.6. Các mô hình sử dụng phép gần đúng tối ưu
Thay vì tìm mô hình giảm bậc bảo toàn các trị riêng quan trọng của mô hình gốc
bậc cao, người ta có thể bỏ qua điều kiện bảo toàn đó và chọn các tham số của một mô
hình có bậc cụ thể chọn trước (giảm bậc) sao cho trước tác động của tín hiệu đầu vào,
đáp ứng của mô hình giảm bậc gần đúng tối ưu (theo nghĩa nào đó), với đáp ứng của hệ

gốc, bậc cao. Cũng có thể thực hiện quá trình gần đúng tối ưu trong miền tần số như là
một sự lựa chọn thích hợp.
Nhiều tác giả đà đề xuất áp dụng các tiêu chí gần đúng khác nhau theo miền thời
gian. Năm 1967, Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở phép chiếu trực
giao, mô hình bậc thấp tìm được là mô hình tối thiểu hoá tích phân bình phương các sai
số. Sinha và Pille đề xuất phương pháp sử dụng ma trận tựa nghịch đảo để tìm mô hình
giảm bậc trên cơ sở tối thiểu hoá tổng bình phương sai số tại những điểm lấy mẫu khác
nhau giữa các đáp ứng. Các tiêu chuẩn gần đúng tối ưu khác cũng đà được đề xuất áp
dụng như Shinha và các đồng tác giả năm 1971 [103]; Bandler và các đồng tác giả năm
1973 [24]; Bistritz và Langholtz năm 1979 [31]. Năm 1980 Elliott và Wolovich đề xuất
một quy trình tối ưu theo miền tần số, có giá trị đối với cả các hệ đa biến [42].
Tóm lại, các mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp tối ưu phù hợp với mô
hình gốc tốt hơn so với các mô hình thu được bằng phương phép ghép hợp. Và về mặt
tính toán, do sử dụng hiệu quả các phương pháp tính số tối ưu nên giảm được đáng kể
số lượng tính toán. Tuy nhiên, các mô hình giảm bậc này không có gì để đảm bảo rằng
khi được sử dụng làm đối tượng điều khiển thì bộ điều khiển có thể đạt gần tối ưu.
Thêm vào đó, không có mối liên hệ trực tiếp giữa các trạng thái của mô hình giảm bậc
với các trạng thái của hệ gèc.


9

1.3.7. Một số nhận xét
1.3.7.1. Chọn các trạng thái và / hoặc các trị riêng để bảo toàn
Tất cả các phương pháp được trình bày tóm tắt ở phía trên, trừ phương pháp nhiễu
xạ kỳ dị, có hạn chế là bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc
cao bị mất đi. Điều đó trở thành một vấn đề lớn khi hệ gốc tham gia như một phân hệ
trong một hệ lớn hơn, vì tình trạng thường gặp trong thực tế, việc nghiên cứu về tính ổn
định động học của hệ lớn lại thông thường được thực hiện thông qua mối liên kết giữa
các phân hệ.

Với cách nhìn trên, trong phương pháp của Rozsa và các đồng tác giả khác, năm
1982 [91], của Lastman và các đồng tác giả khác, năm 1984 [70] đà đề xuất chọn các
thành phần trong vector trạng thái của mô hình bậc thấp thành một tập con chứa những
thành phần trong vector trạng thái của mô hình gốc để các trạng thái của mô hình giảm
bậc giữ được nguyên bản ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái gốc. Việc lựa chọn
các trạng thái cần bảo toàn được thực hiện trên cơ sở phân chia ma trận chứa các tích
phân năng lượng. Mặc dù quy trình cuối cùng cũng tương tự như quy trình của phương
pháp nhiễu xạ kỳ dị, nhưng khác về cách thức tìm mô hình giảm bậc, qua sự thật là sự
đóng góp vào quan hệ vào-ra của các trạng thái thuộc mode chậm chiếm ưu thế đối
với hệ thống còn các trạng thái thuộc mode nhanh thì ít chiếm ưu thế hơn.
Giống như phương pháp ghép hợp, phương pháp trên cũng cần phải tính các giá trị
riêng của ma trận A. Giả sử rằng A là ma trận ổn định. Thì:
A = VU

(1.16)

trong đó, các cột của V là các vector riêng bên phải của A và các hàng của U là vector
riêng bên trái của A. Tương ứng với các trị riêng của A được cho bởi:
= diag (1, 2, …, λn), víi 0 > Re(λ1) ≥ Re(λ2) ≥ … Re(n)

(1.17)

Các vector cột trong V và U được kích thước hoá thích hợp sao cho:
VU = I

(1.18)

Giả sử rằng tất cả các tín hiệu đầu vào đều có dạng xung đơn vị, có thể chứng tỏ
được rằng tổng năng lượng E ở đầu ra được cho bởi:



E = yTydt = trace(PW)

(1.19)

0

trong đó, trace (.) là vết của ma trËn viÕt bªn trong dÊu (.), P = CTC, W là một ma trận
kích thước (n x n) có giá trị - bTUTMijUb tại phần tử (i,j), b là tổng c¸c cét cđa ma trËn


10

B, Mij lµ mét ma trËn kÝch th­íc (n x n) có giá trị à(i )( j ) / ( à + ) tại các phần tử
( à , ) , và (i ) là giá trị tại hàng thứ i của V.
Theo đó, các trạng thái có ý nghĩa nhất của mô hình gốc bậc cao cần được lưu giữ
trong mô hình giảm bậc ứng với các phần tử có giá trị lớn nhất trên đường chéo của
PW. Và ứng với điều đó, các cực mang tính quyết định được chỉ ra từ bất phương trình
trong (1.17).
Một khi đà xác định được các trạng thái có ý nghĩa nhất và các cực có tính quyết
định đối với mô hình gốc thì mô hình giảm bậc có thể tìm được. Tuy nhiên, khi ý nghĩa
vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao cần phải bảo toàn, thì ta có
thể sử dụng phương pháp dưới đây.
1.3.7.2. Về cách bảo toàn ý nghĩa vật lý của các trạng thái
ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc có khả năng được bảo
toàn trong các trạng thái của mô hình giảm bậc nếu có thể phân được vector trạng thái
của mô hình gốc, theo Rozsa và các đồng tác giả khác năm 1982 [91]; Lastman và các
tác giả khác năm 1983 [70], như sau:
x = [wT zT], trong đó w ∈ Ρr , z ∈ Ρn-r
Λ = diag (Λ1 2),

ở đây,

(1.20)
(1.21)

1 = diag (1, 2, , r), 2 = diag (r+1, r+2, , n).

Nếu ma trận U và các ma trận tham số được chia khối:

U11
U21

U=

A11
U12 
, A = 
U22 
 A21

A12 
, B =
A22 

B1 
  , C = C1 C2 
B2 

(1.22)


Trong các ma trận ở trên, U11, A11 có kích thước (r x r), B1 cã kÝch th­íc (r x p)
vµ C1 có kích thước (q x r) còn các ma trận khối khác có kích thước thích hợp. Trong
trường hợp này, ở phương trình (1.22) không cần đặt giả thiết trị riêng được xếp theo
thứ tự giảm dần như trong phương trình (1.17); A11 gồm các trị riêng trội nhất ứng với
xr chứa các trạng thái có ý nghĩa nhất như khi được xác định bằng qui trình mô tả trong
phần trước. Các trị riêng có thể phải đánh số lại từ (1.17) để thu được (1.21).
Mô hình giảm bậc là dạng giống như trong phương trình (1.2), với:
Ar = A11 - A12(U22)-1U21

(1.23)

Br = B11 - A12(U22)-1(Λ2)-1(U21B1 - U22B2)
Cr = C11 - C2(U22)-1U21

(1.24)
(1.25)


11

Năm 1984, Lastman và các đồng tác giả khác đà chứng minh rằng đáp ứng của hệ
mô tả bởi phương trình (1.2) có Ar, Br và Cr thu được bằng cách áp dụng phương trình
từ (1.23) tới (1.25) hội tụ về đáp ứng của hệ mô tả bởi phương trình (1.1) với bất kỳ
dạng tín hiệu tác động tại đầu vào u(t) nào khi t, thời gian, tiến đến vô cùng. Ngoại trừ
trong chế độ quá độ, đáp ứng của mô hình giảm bậc tìm được rất gần đúng với đáp ứng
của hệ gốc trước mọi tín hiệu vào dạng tựa tĩnh.

1.4. Các Hệ phương trình chiếu tối ưu (OPEQ)
1.4.1. Tiêu chí tối ưu theo sai số đầu ra [56]
Tối thiểu hoá bài toán L2 xác lập trên cơ sở sai số đầu ra trong điều kiện ràng

buộc bởi hai phương trình điều kiện Lyapunov viết cho hệ hợp của hai mô hình, bậc
cao và giảm bậc, dẫn đến tối thiểu hoá hàm Lagrangian L (.) được định nghĩa:

) = trace[λ QR
  + (AQ
  + QA
  T + V)P
 ]
L (Ar, Br, Cr, Q

(1.26)

 vµ P là gramian điều
trong đó, trace ký hiệu vết của ma trận viết bên trong dấu [.], Q
T RC
và nh©n tư Lagriangian 0≤ λ<1.
 =C
 = BVB
  T, R
khiển và quan sát của hệ hợp, V
1.4.1.1. Các kết quả chính
Bổ đề 1.1: Giả sử Q, P nxn là các xác định không âm. Lúc đó, QP là bán đơn. Hơn
nữa, nếu hạng của QP = r thì tồn tại G, rxn và biểu thức bán đơn dương M rxr
sao cho QP được thừa số hoá như sau:
QP = GTM

(1.27)

Định lý 1.1: Giả sử hệ gốc mô tả bởi phương trình (1.1) là ổn định và có tính điều
khiển và quan sát đồng thời, ký hiệu bởi (A, B, C). Giải bài toán tối ưu xây dựng để

tìm mô hình giảm bậc (Ar, Br, Cr). Khi đó, tồn tại các ma trận xác định không ©m Q, P
∈ Ρnxn sao cho viƯc thõa sè ho¸ theo G, M, của QP được thực hiện thì Ar, Br và Cr
được xác định bởi:
(1.28)
Ar = AGT
Br = ΓB
Cr = CGT

(1.29)
(1.30)

sao cho víi mét ma trËn chiÕu tèi ưu = GT, các điều kiện sau đây thoả m·n:
ρ(Q) = ρ(P) = ρ(QP) = r

(1.31)

σ[AQ + QAT + BVBT] = 0

(1.32)


12

[ATP + PA + CTRC]σ = 0

(1.33)

trong ®ã, ρ(.) ký hiệu cho hạng của ma trận bên trong (.).
Các phương trình (1.32) và (1.33) được ghép với nhau bởi ma trận chiếu tối ưu ,
nên chúng được gọi là các phương trình Lyapunov biến dạng. Trong đó, hai ma trận

thực, không âm, Q và P đóng vai trò trong hai phương trình Lyapunov biến dạng như
vai trò của các Gramian đặc trưng cho tính điều khiển và quan sát, nhưng không phải là
các Gramian mà lại không thoả mÃn điều kiện về hạng nên đà được các tác giả đặt tên
là các tựa Gramian ("Pseudo-Gramian"). Hệ các phương trình từ (1.28) đến (1.33) ở
trên được gọi là hệ phương trình chiếu tối ưu và được viết tắt là OPEQ.
Định đề 1.1: Giả sử (Ar,Br,Cr) là cực trị. Khi đó sai số sinh ra do giảm bậc thu được:
Jm(Ar, Br, Cr) = 2tr[(QP - WoWc)A] = 2tr(QPA) + tr(CTRCWo)
= 2tr(QPA) + tr(BVBTWc)

(1.34)

trong đó, Wc và Wo là các ma trận Gramian đặc trưng tương ứng cho tính điều khiển và
quan sát của hệ gốc, Q và P đà được giải thích ở phía trên.
1.4.1.2. Những nhận xét, bình luận
Đối với kết quả theo sai số đầu ra do Hyland và Berstein xác lập, có một số nhận
xét và bình luận như sau:
a). Việc thiết lập OPEQ trên cơ sở các điều kiện cần (hệ phương trình thu được
khi cho đạo hàm bậc nhất bằng không) đối với bài toán tối ưu theo tiêu chí L2 tạo điều
kiện để sử dụng thêm các điều kiện ràng buộc khác đối với bài toán tối ưu. Cụ thể như
điều kiện để tách các phương trình (1.32) và (1.33) ghép trong OPEQ nhằm khả năng
sử dụng những công cụ sẵn có để giải tìm nghiệm của chúng. Thêm vào đó, hiệu ứng
của phép ghép hai phương trình (1.32) và (1.33) đà được chứng minh giống như kết quả
của một điều kiện ràng buộc dùng thêm vào đối với bài toán L2, từ đó làm cơ sở để xây
dựng điều kiện đủ trong một miền nào đó. Vì vậy, việc phát triển OPEQ có ý nghĩa rất
quan trọng trong tìm kiếm nghiệm duy nhất của bài toán tối ưu. Nhưng từ phần chứng
minh bổ đề, định lý cũng như dẫn dắt toán học để đến kết quả mới cho thấy rằng công
cụ toán học sử dụng khá phức tạp, có tính chuyên khảo cao nhất là các biến số ở đây là
các ma trận nên ít quen thuộc đối với đại bộ phận cán bộ trong đội ngũ công nghệ học.
b). OPEQ này chỉ áp dụng đối với hệ đà được nhận dạng (đà có trước mô hình gốc
bậc cao). Thêm vào đó, trong quá trình phát triển OPEQ, các tác giả không có lựa chọn

nào khác để sử dụng các điều kiện ràng buộc ngoài cách sử dụng hệ ghép hợp giữa mô


13

hình bậc cao và mô hình giảm bậc dẫn đến yêu cầu mô hình gốc chỉ chứa các trạng thái
thoả mÃn tính điều khiển và quan sát đồng thời. Tuy nhiên, một hệ động học trong thực
tế rất có thể gồm cả các phần chứa những trạng thái khác như các trạng thái không điều
khiển, v.v và thậm trí gồm cả các trạng thái không ổn định. Như vậy, thấy OPEQ đÃ
nêu ít có giá trị ứng dụng trong thực tế. Điều đó dẫn đến điều mong muốn là có OPEQ
độc lập với trạng thái tự nhiên của mô hình gèc.
c). Quan niƯm chung vỊ ý nghÜa cđa phÐp gi¶m bậc mô hình nằm ở chỗ bảo toàn
ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái đà mô hình hoá trong mô hình giảm bậc hơn
là việc tìm kiếm các biện pháp để thu được sai số tối thiểu vì mô hình giảm bậc thường
được dùng thay thế cho mô hình gốc trong mọi bài toán thuộc lĩnh vực điều khiển, nhất
là với mục đích khảo sát chuyên sâu về hệ thống. Nhưng, không thể tìm thấy dấu vết về
ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc trong các trạng thái của mô
hình giảm bậc thu được bằng việc áp dụng OPEQ đà nêu. Vì thế, nhìn từ phương pháp
luận, cần có một phương pháp phát triển OPEQ sao cho trong quá trình phát triển các
OPEQ có thể đưa ra các giải pháp để lưu giữ thông tin của các trạng thái mô phỏng gốc
trong các trạng thái của mô hình giảm bậc.
Những nhận xét ở trên dẫn đến công trình của San và Nath, năm 1994 [96] và của
San, năm 1995 [93]. Trong [96], các tác giả đà áp dụng phương pháp sai số đầu vào do
các tác giả đà đề xuất trước đó để tránh quá trình xác định mô hình gốc bậc cao, tránh
tính chất kích thích liên tục của tín hiệu đầu vào và có khả năng áp dụng đối với một hệ
có những trạng thái bất kỳ. Trong [93], tác giả đề xuất phương pháp tiếp cận bài toán
tối ưu giảm bậc một cách hoàn toàn khác, trên cơ sở khái niệm tối ưu theo trạng thái do
mình khởi xướng. Thay vì dùng các phép biến đổi thích hợp lên tham số của mô hình,
tác giả dùng phép biến đổi không đồng dạng lên vector trạng thái của mô hình gốc khi
biết trước mô hình bậc cao và biến đổi đồng dạng lên vector trạng thái của mô hình giả

định khi chưa biết mô hình gốc để thu được vector trạng của mô hình giảm bậc sao cho
thoả mÃn tiêu chí tối ưu L2 theo trạng thái. Phương pháp tối ưu theo trạng thái sau đó
được phát triển để xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực lý thuyết hệ thống. Trong phạm vi
tổng quan về các phương pháp giảm bậc của hệ, những kết quả chính có liên quan đến
giảm bậc đối với trường hợp chưa biết trước mô hình gốc bậc cao được trình bày.

1.4.2. Tiêu chí tối ưu theo sai số đầu vào [96]
Giả sử rằng, đáp ứng tại đầu ra của hai mô hình nào đó có bậc và tham số khác
nhau được làm hoàn toàn trùng khít. Thì hiển nhiên, tín hiệu kích thích u1(t) tại đầu
vào của mô hình này khác tín hiệu kích thích u2(t) tại đầu vào của mô hình kia. Sự khác
nhau giữa hai tín hiệu kích thích tại đầu vào của hai mô hình được gọi là sai số đầu vào


14

[96]. Đối với bất kỳ bậc nào chọn trước, tham số của một mô hình có thể thay đổi và
tham số của một mô hình có giá trị tối ưu theo tham số của mô hình kia khi sai số đầu
vào đạt giá trị tối thiểu. Tiêu chí tối ưu L2 xây dựng trên cơ sở sai số đầu vào từ đó đÃ
được định nghĩa như sau:


JIn = [u1(t) - u2(t)] R[u1(t) - u2(t)]dt =

∞

T

0

∫


||u1(t) - u2(t)||Rdt

(1.35)

0

trong ®ã, R là ma trận trọng, thực dương có kích thước tương ứng.
Các tác giả đà sử dụng phương pháp sai số đầu vào để giải quyết bài toán theo hai
trường hợp; biết và không biết trước tham số của mô hình gốc bậc cao. Không có thay
đổi lớn trong hệ phương trình OPEQ đối với trường hợp biết trước tham số của mô hình
gốc, ngoại trừ khả năng thu được sai số nhỏ hơn so với OPEQ phát triển trước đó. Tuy
nhiên, đối với trường hợp chưa biết trước tham số của mô hình gốc, OPEQ do San và
Nath phát triển là một giải pháp hấp dẫn. Vì vậy, những kết quả chính có liên quan đến
OPEQ để giảm bậc một mô hình gốc bậc cao không biết trước tham số được trình bày
ở phần dưới đây.
1.4.2.1. Những kết quả chính
Bổ đề 1.2: Giả sử (A2, B2, C2) là một mô hình đồng thời điều khiển và quan sát được.
, B , C
 ) cã tÝnh ®ång thêi ®iỊu khiĨn và quan sát được khi và
Thì mô hình kết hợp ( A
2

2

2

chỉ khi (A, B, C) là đồng thời điều khiển và quan sát được. Trong đó,

= A2

A
2
0


0

B2  
,
=
B
=
2
B + ∆B
 , C2
A 2 + ∆A
2


[C2

C2 + C]

(1.36)

Định lý 1.2: Đối với bất kể mô hình gốc bậc cao nào, có thể chọn được một mô hình
giả định AM có các tham số xác ®Þnh (A2, B2, C2), tháa m·n tÝnh ®ång thêi ®iỊu khiển
và quan sát. Khi đó, đối với một mô hình bậc cao nào đó luôn tồn tại một tập không
rỗng mô hình giảm bậc ROM có các tham số (Ar, Br, Cr) được xác định thông qua các
tham số của mô hình giả định AM như sau:

1
T
A = -P111P12 A 2Q12
Q11
- A2

(1.37)

∆B = -P11−1P12B 2 - B 2

(1.38)

T
−1
∆C = C2Q12
Q11
- C2

(1.39)


15

trong đó, ma trận Q12 và P12 chứa những đại lượng đặc trưng giá trị tương quan chéo
giữa những trạng thái điều khiển được và quan sát được của AM và ROM, ma trận Q11
và P11 chứa những đại lương đặc trưng giá trị tự tương quan của những trạng thái điều
khiển được và quan sát được của AM.
-1
Tồn tại mét phÐp chiÕu tèi ­u σ2 = G T2 Γ2 ∈ Ρrxr víi Γ2 = - P11-1 P12, G2 = Q11
Q12 ∈

ˆ = Q T Q -1Q , Pˆ = P T P -1P ∈ Ρrxr sao cho hƯ ph­¬ng
Ρrxr và hai ma trận thực dương Q
2

12

11

12

2

12 11 12

trình chiếu tối ưu biểu thị quan hệ giữa các tham số cđa ROM theo c¸c tham sè cđa
AM nh­ sau:

A r = Γ 2 A 2 G T2 , B r = Γ 2 B 2 , Cr = C2G T2

(1.40)

ˆ ) = ρ(Pˆ ) = ρ(Pˆ Q
ˆ
ρ(Q
2
2
2 2) = m

(1.41)


ˆ +Q
ˆ AT + B V BT ] = 0
σ 2[A rQ
2
2 2
2 2 2

(1.42)

[ A T2 Pˆ 2 + Pˆ 2 A 2 + CT2 R 2C2 ]σ 2 = 0

(1.43)

trong đó, các biểu thức trong (1.40) phải thoả mÃn ba biểu thức về hạng trong (1.40) và
hai phương trình ®iỊu kiƯn trong (1.41) vµ (1.43).

ˆ vµ Pˆ lµ thùc dương, có hạng đầy đủ. Tuy
Trong OPEQ, hai ma trận vuông Q
2
2
không phải là các gramian đặc trưng cho tính điều khiển và quan sát của mô hình giảm
bậc nhưng đóng vai trò như các gramian trong hai phương trình Lyapunov biến dạng vì
thế đà được các tác giả đặt tên là "AnaGramian".
Định đề 1.2: ứng với (Ar,Br,Cr) cực trị, sai số do giảm bậc được tính theo:

)CT R C ] = trace[B V B T ( W -Pˆ )]
J M ≤ α 2 trace[( W2c -Q
2
2
2 2

2 2 2
2o
2
(1.44)
ˆ
ˆ
= 2trace[(Q 2 P2 -W2c W2o ) A 2 ]
trong đó, W2c và W2o là các ma trận gramian đặc trưng tương ứng cho tính điều khiển
và quan sát của mô hình giả định, 2 là giá trị riêng lớn nhất của W2cW2o.
1.4.2.2. Những nhận xét, bình luận
a). Rõ ràng, trên cơ sở sử dụng mô hình AM, San và Nath đà phát triển OPEQ để
giảm bậc khi không biết trước các tham số của mô hình gốc bậc cao, tránh được những
phiền toái thường gặp đối với một quá trình nhận dạng hệ động học. Thêm vào đó, do
sử dụng sai số đầu vào, đáp tuyến của ROM trùng khớp với đáp tuyến của mô hình gốc
nên phương pháp này cho phép sử dụng ROM thay cho mô hình bậc cao tham gia trong
các khâu khép kín như bộ bù trừ động học, bộ điều khiển theo quỹ đạo định trước mà
không lo đến việc hiệu chỉnh, làm mất ®i chiÕn l­ỵc ®iỊu khiĨn tun tÝnh.


16

b). Tuy nhiªn, ma trËn chiÕu tèi ­u σ2 ë đây vẫn có đặc tính xiên nên vẫn không
tránh được những khó khăn cản trở đà gặp trong trường hợp trên khi tính toán xác định
các tham số của ROM và vẫn phải sử dụng những vấn đề toán học rất phức tạp.
Những kết quả và nhận xét trên dẫn đến phương pháp luận tối ưu theo trạng thái.
Tối ưu trạng thái được phát hiện đầu tiên áp dụng đối với bài toán đánh giá tham số hệ
động học tuyến tính mô tả trong không gian biến trạng thái [95]. Sau đó, phương pháp
này được phát triển, áp dụng đối với bài toán giảm bậc mô hình [93]. Tối ưu trạng thái
với các bài toán hệ thống và bài toán giảm bậc bộ điều khiển là nội dung sẽ được trình
bày chi tiết ở chương sau. Những kết quả chính của bài toán giảm bậc mô hình áp dụng

phương pháp tối ưu trạng thái được trình bày rất tóm lược trong khuôn khổ của bài tổng
quan nhằm sáng tỏ những ưu điểm của phương pháp so với các phương pháp khác; luận
cứ để phương pháp được lựa chọn sử dụng ở chương sau.

1.4.3. Theo phương pháp tối ưu trạng thái [93]
1.4.3.1. Những kết quả chính
Bổ đề 1.3: Cho xn, vector trạng thái của một mô hình (An, Bn, Cn) đà biết. Khi đó, luôn
tồn tại ma trận T kích thước (r x n), ρ(T) = r < n sao cho biến đổi n trạng thái của mô
hình gốc thành r trạng thái độc lập tuyến tính trong xr, vector trạng thái của mô hình
giảm bậc tối ưu. Nếu số các đầu ra q của mô hình gốc nhỏ hơn r, thì T+xr dẫn tới giá trị
chuẩn tối thiểu trong các tiêu chí tối thiểu bình phương sai số đầu ra áp dụng cho bài
toán giảm bậc mô hình. Trong đó, T+ ký hiệu ma trận tựa nghịch đảo của T.
Bổ ®Ị 1.4: Cho ma trËn T kÝch th­íc (r x n), có hạng đủ theo hàng, xn R(TT) và xr.
Khi đó, tồn tại một ma trận ánh xạ đẳng cự thành phần E kích thước (r x n) sao cho T
được thừa số hoá như sau:
T = GE = EH

(1.45)

ở đây, R(.) ký hiệu cho không gian xác định của (.), G là ma trận xác định thực dương,
kích thước ( r x r) và H là ma trận xác định không âm, kích thước (n x n).
Định lý 1.3: Cho mét hÖ tuyÕn tÝnh, bÊt biÕn theo thêi gian và bậc n. Luôn tồn tại ma
trận T có hạng ®đ theo hµng, kÝch th­íc (r x n) biÕn ®ỉi các trạng thái của hệ sao cho
tham số tối ưu của mô hình giảm bậc thu được như sau:
Ar = TAnT+; Br = TBn; Cr ≈ CT+
trong ®ã, T+ ký hiệu ma trận tựa nghịch đảo của ma trận T.

(1.46)



17

Định lý 1.4: Luôn tồn tại ma trận đẳng cự thành phần E kích thước (r x n) và ma trận
xác định không âm H kích thước (n x n) sao cho tham số tối ưu của mô hình giảm bậc
có thể thu được theo tham số của mô hình gốc như sau:
Ar = EHAnH+ET;

Br = EHBn;

Cr = CH+ET

(1.47)

và luôn tìm được ma trận chiếu tối ưu kích thước (n x n), hai ma trận xác định không
kích thước (n x n) sao cho các điều kiện sau đây phải thoả mÃn nếu mô hình
âm P và Q
giảm bậc tối ưu có tính điều khiển và quan sát ®ång thêi:

 + QA
 T H + HB V BT H  = 0
σ  HΑ n Q
n
n 1 n


(1.48)

 H + + H +CT R C H +  σ = 0
 H + Α Tn P + PA
n

n
2 n


(1.49)

trong đó, V1 = lim[u(t)uT(t)]dtpxp ; R2qxq là ma trận trọng số tại đầu ra.
Định đề 1.2: Đối với một mô hình giảm bậc có các tham số tối ưu sai số đầu ra cực
tiểu, hàm sai số (phạt) là:
Jm(Ar,Br,Cr) = trace[(I n -H + σΗ )T (CTn R 2Cn )H + (I n -H + σΗ )]

(1.50)

1.4.3.2. Nh÷ng nhËn xét, bình luận
Năm 1985, Hyland và Bernstein [56] biểu diễn kết quả do Wilson tìm ra từ năm
1970 [123] áp dụng trong một không gian hẹp, điều kiện ngặt hơn (điều khiển và quan
sát đồng thời) thành hệ phương trình chiếu tối ưu (OPEQ). Hyland và Bernstein cũng
liên hệ OPEQ với kết quả thu đựơc do áp dụng phương pháp cân bằng nội đề xuất bởi
Moore năm 1981 [76] và với kết quả thu được bởi nguyên lý thứ tự bậc động học đóng
góp vào quan hệ vào-ra của hệ do Skelton đề xuất năm 1980 [101]. Kết quả của Hyland
và Bernstein đà được xem xét khá chi tiết ở phía trên nhằm kế thừa những ưu điểm và
xác định những hạn chế làm luận cứ để đề xuất phương pháp mới. Do đó, chỉ cần phân
biệt kết quả San với kết quả thu được bởi Wilson là đủ. Các điểm khác nhau giữa hai
kết quả được chỉ ra cụ thể dưới đây:
a). Wilson không thể tìm được kết quả khi hệ có phần không ổn định, ngay cả khi
hệ chỉ có phần không có khả năng quan sát, trong khi đó định lý mới không từ chối đối
với các phần này. Mặc dù đối với hệ có khả năng điều khiển và quan sát đồng thời, kết
quả của Wilson phù hợp với kết quả mới nhưng, nhìn từ phương pháp luận mà nói, tính
tường minh thuộc về tư duy tối ưu theo trạng thái. Điều này là cội nguồn dẫn đến khả
năng đơn giản hoá toán học trong quá trình xử lý bài toán.



18

b). Bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao không hề
được lưu giữ dấu vết trong mô hình giảm bậc thu được bằng cách áp dụng phương pháp
của Wilson, nhưng có khả năng được bảo toàn (nếu có đòi hỏi) trong các trạng thái của
mô hình giảm bậc tìm được bởi phương pháp tối ưu trạng thái. Hơn nữa, phương pháp
tối ưu trạng thái còn cho phép chú ý tới các trạng thái hoặc tổ hợp các trạng thái theo
cách mong muốn riêng biệt vì những mục đích khác nhau.
c). Nhìn trên quan điểm ứng dụng; đối với kết quả do Wilson tìm ra, khi ứng dụng
cần phải tiến hành một quá trình tối ưu sau khi giải hệ phương trình phi tuyến ma trận
và cần phán đoán các giá trị ban đầu cho các tham số của mô hình giảm bậc. Khả năng
hội tụ trong việc giải hệ các phương trình phi tuyến do Wilson tìm ra vì thế mà không
được đảm bảo chắc chắn. Trong khi đó, việc áp dụng kết quả do San tìm ra thì đơn giản
hơn nhiều, chỉ cần thực hiện quá trình lựa chọn ma trận T để hàm phạt đạt được giá trị
tối thiểu. Không cần phải bỏ ra nhiều nỗ lực nếu việc chọn ma trận T được định hướng
một cách thích hợp. Những định hướng về việc lựa chọn T đà được tác giả trình bày chi
tiết trong công trình của mình.

1.5. Xây dựng mô hình mô phỏng mạng viễn thông
Có thể xây dựng mô hình toán học mô tả động học xảy ra trên mạng qua việc xác
định phương trình động học ®èi víi tõng ®­êng trun, tõng nót m¹ng (chun m¹ch).
Chun mạch truyền thống đà được đặc thù hoá theo công nghệ truyền thông hoặc điều
khiển, xử lý tín hiệu. Cụ thể, giải quyết cơ chế hàng đợi trong chuyển mạch đối với các
tế bào theo thời gian trong phương thức truyền thông không đồng bộ (ATM), tế bào
hoá trong các gói tin theo tần số khác nhau trong phương thức truyền thông IP, chuyển
mạch trên nền ATM tìm kết nối trong tất cả giải tần thông qua các giao diện và mềm
hoá các giao diện nhằm thích ứng với mọi môi trường truyền thông trong tổng đài mềm
[26], [77], [107]-[111]. Như vậy, rõ ràng nếu xây dựng được mô hình toán học mô tả

động học của tổng đài truyền thống, cơ chế xếp hàng và giải phóng hàng đợi, các giao
diện và cơ chế mềm hoá thì mô hình của nút mạng sử dụng cho bất kỳ phương thức
truyền thông nào đều có thể xác lập được.
Trên cơ sở lựa chọn thích hợp các biến trong không gian trạng thái, mô hình
hoá mạng viễn thông được chia thành các bài toán mô tả động học trên các tuyến
truyền và tại các nút mạng thiết lập xung quanh 3 bus truyền của CPU. Từ đó, bốn bài
toán điển hình đà được thiết lập liên quan đến mô hình hoá nút mạng viễn thông. Đó là
chuyển mạch truyền thống, cơ chế giải phóng hàng đợi có nhiều mức ưu tiên, các giao
diện và cơ chế mềm hoá chuyển mạch [6]-[8].


19

1.5.1. Bài toán đối với chuyển mạch điện tử
a). Phát biểu bài toán: Xác định tham số của mô hình to¸n häc bËc n:

x ( t ) = A1x1(t) + B1u1(t)

(1.51)

y1(t) = C1x1(t)

(1.52)

mô tả động học của ma trận chuyển mạch sao cho thoả mÃn các điều kiện sau đây:
i). Có p đầu vào, q đầu ra với min(p, q) 2; n max(p, q);
ii). Chuyển mạch làm việc ổn định, điều khiển được và quan sát được;
iii). Đồng nhất hoá đáp tuyến ở tất cả các đầu ra trước tác động của tín hiệu tại bất
kỳ đầu vào nµo trong sù hiƯn diƯn cđa nhiƠu.
b). NghiƯm cđa bµi toán: Chọn một mô hình giả định {Aa,Ba,Ca} bậc m ổn định, đồng

thời điều khiển và quan sát mô tả trong không gian trạng thái:

x a (t) Aa x a (t) + Ba u a (t)
=
y a (t) = Ca xa (t)

(1.53)
(1.54)

NÕu chän ua(t) ≡ u1(t), vector ya(t) cã kÝch thước giống y1(t), có số liệu theo tiêu
chí bình phương tối thiểu thì tham số tạo nên phần đồng thời điều khiển và quan sát
của chuyển mạch điện tử xác ®Þnh nh­ sau:
A1 = ET H+ Aa H E
B1 = ET H+ Ba
C 1 = K Ca H E

(1.55)
(1.56)
(1.57)

trong ®ã, E = (xaxT) mìn là đẳng cự thành phần, H = (x1x1T) mìm là thực
dương, phép biến đổi K có kích thước phù hợp để trùng khớp tín hiệu ở các đầu ra của
mô hình giả định với các tín hiệu đầu ra của chuyển mạch.
Từ điều kiện của bài toán, đòi hỏi kích thước vector ya(t) lớn hơn hoặc bằng kích
thước vector y1(t) và m n.
Đường chéo hoá ma trận chứa các hàm truyền đạt của chun m¹ch:

F1 ( s )
=


Y1 ( s )
= KCa HE(Is − ET H + A a HE)−1 ET H + B a
U1 ( s )

(1.58)

Sau ®ã sư dơng tÝch Kronicker, hiệu chỉnh thích hợp các giá trị riêng, việc đồng
nhất hóa các hàm truyền được thực hiện.
Để tính các tham số theo các biểu thức từ (3.7) đến (3.9) cần có số liệu liên quan
đến H và E. Các số liệu này thu được trực tiếp từ hai phương trình Lyapunov:


20

1 T
 =
0
A111Λ Q + Λ Q ( A11
) +V
11

(1.59)

 =
( A112 )T Λ P + Λ P A112 + R
0
11

(1.60)


1.5.2. Bài toán đối với cơ chế xếp hàng trong chuyển mạch ATM
a). Phát biểu bài toán: Xác định tham số mô hình toán học mô tả động học quá trình
xử lý hàng đợi theo các mức ưu tiên khác nhau:

x 2 ( t ) = A2x2(t) + B2u2ref(t) + B2u2(t)

(1.61)

y2(t) = C2x2(t)
u2(t) = - K2x2(t)

(1.62)
(1.63)

sao cho thoả mÃn các điều kiện sau đây:
i). Quan hệ xếp hàng xảy ra tại các bộ đệm của ma trận chuyển mạch có p đầu
vào, q đầu ra với min(p, q) 2;
ii). Động học xử lý hàng đợi là ổn định, điều khiển và quan sát được.
b). Nghiệm của bài toán: Bài toán được giải theo tư duy hệ hở vì phương pháp này cho
phép thực hiện tối ưu theo từng bước [95]-[97]. Việc đánh giá tham số mô hình toán
học trong các biểu thức từ (1.61) đến (1.63) ở bước thứ nhất thực hiện giống như giải
bài toán đối với ma trận chuyển mạch trước đó. Nghĩa là áp dụng phương pháp tối ưu
trạng thái và sử dụng một mô hình giả định và A2, B2 và C2 được xác định.
Bước tiếp theo là trên cơ sở của A2, B2, C2 và dữ liệu về tín hiệu kích thích, về đáp
ứng, xác định tham số mô hình mô tả động học của bộ ước lượng trạng thái:

x (t) + B uˆ (t)
=
xˆ 2 (t) A
2 2

2 2

(1.64)

ˆ xˆ (t)
yˆ 2 (t) = C
2 2
sao cho

(1.65)

yˆ 2 (t) = x 2 (t) ®Ĩ C2 x 2 (t) − y 2 (t) đạt giá trị tối thiểu

(1.66)

trong đó, u 2 ( t ) chứa những dữ liệu cả về tín hiệu kích thích u2(t) lẫn đáp ứng y2(t).
T
Chọn u 2 (t) = u T2 (t) y T2 (t)  vµ Bˆ 2 (t) = B 2 M 2  víi ma trËn M2 có kích thước
thích hợp, tổ hợp tuyến tính các dữ liệu của vector đáp ứng y2(t). Qua một vài phép
biến đổi toán học đơn giản có:

= A M C ,
A
2
2
2 2

Bˆ 2 ( t ) = B 2 M 2 ,

=C

C
2
2

(1.67)

áp dụng các điều kiện về tính ổn định, đồng thời điều khiển và quan sát ®èi víi
ˆ }, c¸c ®iỊu kiƯn ®Ĩ lùa chän ma trận M2 thu được như sau:
, B , C
mô h×nh { A
2
2
2


21

= A M C ổn định với bất kỳ M2 trừ
i). Bộ đánh giá trạng thái ổn định nên A
2
2
2 2
khi M2C2 có giá trị riêng làm triệt tiêu bất cứ giá trị riêng nào của A2.
ii). Bộ đánh giá trạng thái có tính điều khiển được với bất kỳ sự lựa chọn nào đối
với M2 sao cho M2 không phải là tổ hợp tuyến tính của B2.
iii). Điều kiện để bộ đánh giá trạng thái có tính quan sát được giống như điều kiện
để bộ đánh giá trạng thái ổn định.
Vấn đề còn lại là xác định K2 sao cho chiến lược điều khiển tuyến tính thoả mÃn
nhiều mức ưu tiên khác nhau. Gán mỗi mức ưu tiên với một độ trễ, thành phần của ma
trận K2 tại mức ưu tiên thứ i có giá trị:

k i - 1 ≤ k i ≤ k i + 1 ; víi k i = τi ± sign(∆τi), i = 1, ... ,
2

2

2

2

(1.68)

trong đó i là độ rộng thời gian đối với độ trễ i tại mức ưu tiên thứ i.
Coi trạng thái ban đầu của các nguồn lưu lượng là các biến ngẫu nhiên, thực hiện
tối thiểu hoá kỳ vọng toán học có trọng số đối với mọi x(t0):

=
V ( M 2 ,T )

∫ (x
∞

0

T
2

(t)R 2 x 2 (t) + u T2 (t)S 2u 2 (t) ) dt = Ε ( x T2 (t)K 2 x 2 (t) )

(1.69)


tõ đó, thu được phương trình Riccatti [18], [127]:

K 2 ( A 2 − B 2M T2 ) + ( A 2 − B 2M T2 ) K 2 + ( K 2 R 2K T2 + S 2 ) =
0
T

(1.70)

víi R2 vµ S2 lµ hai ma trËn träng sè, thùc dương có kích thước thích hợp.
Trên cơ sở (3.22), thành lËp ma trËn chøa c¸c hƯ sè cđa K2:

 A 2 − B 2M T2
Φ2 = 
−S 2

Tõ ®ã ta có:


112 122
2
1

,
tìm
để
=





=
T


2
2
2
2
0
2
2
( A 2 B2M T2 ) 

θ 21 θ 22 
R2

2
K 2 = θ 21
. ( 112 )

-1

0
2
(1.71)

và, bài toán đối với cơ chế xếp hàng đà được giải.

1.5.3. Bài toán đối với các giao diện
Giao diện giữa bên ngoài với tổng đài tại mỗi nút mạng thuộc một trong ba bus

chức năng của mô hình xây dựng xung quanh CPU [5],[77]. Nhưng, tất cả giao diện
đều làm nhiệm vụ truyền thông, chuyển tín hiệu bên ngoài (có thể là phi chuẩn hoá so
với tiêu chuẩn qui định đối với CPU) thành các tín hiệu chuẩn hoá theo CPU và ngược


22

lại. Nên từ phương diện chuẩn hoá tín hiệu thì động học cơ bản của các giao diện là
giống nhau.
Mô hình toán học mô tả động học của quá trình chuyển đổi tín hiệu u 3 (t) từ bên
ngoài tổng đài thành tín hiệu y 3 (t) , chuẩn hoá theo CPU:

 x (t) + B u (t) + B w

x 3 (t) = A
3 3
3 3
3 3 (t)

y 3 (t) = C3x 3 (t)

(1.72)
(1.73)

 3 (t) xuÊt hiÖn do nhiều nguyên nhân
trong đó, nhiễu trong quá trình chuyển xuôi w
khác nhau, kể cả sai số sinh ra do việc làm tròn số.
Mô hình toán học thái mô tả quá trình chuyển từ tín hiệu u 4 (t) chuẩn hoá theo
CPU của tổng đài thành tín hiệu y 4 (t) theo yêu cầu của thiết bị kèm theo:


x (t) + B u (t) + B w
 4 (t)
x 4 (t) = A
4 4
4 4
4
 x (t)
y 4 (t) = C
4 4

(1.74)
(1.75)

4 (t) là nhiễu xạ trong quá trình chuyển ngược.
trong đó, w
Điều kiện để các giao diện làm viƯc:

u 3 (t) = y 4 (t) vµ u 4 (t) = y 3 (t)

(1.76)

Từ (1.75) đến (1.76), mô hình toán học mô tả động học của giao diện:

=
x 3 (t) A 3x3 (t) + B3u 3 (t)
y 3 (t) = C3x3 (t)
T

(1.77)
(1.78)

T

T

 3T (t) w
 T4 (t)  , y 3 (t) =  y 3T (t) y T4 (t)  ,
trong ®ã, x3 (t) =  x 3T (t) x T4 (t)  , u 3 (t) =  w


 A
A3 =  3
 
 B 4 C3

 
B 3
B 3C
4
,
B
=
  3 0
A

4 


C
0
0

3
vµ
C
=


3
 
B 4 
 0 C4

(1.79)

Bài toán xây dựng trên cơ sở tác động của nhiễu sinh ra bởi các nguồn nhiễu và
sai số khác nhau trong quá trình giao diện thực hiện giao tác được phát biểu sau đây.
a). Phát biểu bài toán: HÃy xác định các giới hạn cần thiết để giao diện làm việc xuôi,
ngược như trong chế độ danh định, nếu mô hình toán học mô tả động học của giao diện
được cho trong các biểu thức (1.77) và (1.78).


23

b). Nghiệm của bài toán: Dưới tác động của nhiễu xạ, các tham số trong động học bị
bất định. Bài toán trên đòi hỏi các điều kiện cần trong chế độ danh định và điều kiện đủ
để giao diện trong chế độ danh định đại diện cho cả họ nghiệm.
i). Điều kiện cần (trong chế độ danh định):
* Giao diện làm việc ổn định; nghĩa là ma trận A3 ổn định,
* Giao diện phải thoả mÃn các điều kiện về tính điều khiển và quan sát đồng
thời; các cặp ma trận (A3, B3) và (C3, A3) thoả mÃn các điều kiện về hạng.
ii). Xác lập điều kiện đủ:

* Giới hạn khoảng biến thiên của các tham số bất định,
* Giới hạn khoảng biến thiên của các trạng thái (động học).
Khi có tác động của nhiễu xạ, phương trình của các giao diƯn trë thµnh:

x 3 (t) + ∆x 3 (t)
=
y 3 (t) + ∆y 3 (t)
=

(A
(C

3

+ ∆A 3 )( x3 (t) + ∆x3 (t) ) + ( B3 + ΔB3 ) u 3 (t)

(1.80)

3

+ ∆C3 ) ( x3 (t) + x3 (t) )

(1.81)

Ma trận truyền đạt F3* (t) của giao diện trong trường hợp nhiễu xạ:
1
Y3 (s) + Y3 (s)
=
F3* (s) =
( C3 + C3 ) Is − ( A3 + ∆A3 ) ( B3 + ∆B3 )

U 3 (s)

(1.82)

Ma trận truyền đạt của giao diện trong chế độ danh định F3(s) và trong trường hợp
nhiễu xạ F3* (s) được khèi ho¸ nh­ sau:

 −B C
  −1 B 0   F311 F312 


C

−
Is
A
0
3
4
3
F3 (s) =  3      3
   0 B  = F 21 F 22  ,
−
−
B
C
Is
A
0
C


4
4
3
4
4 
3 
 3
−1













C3 0 Is − A 3 −B3C4  B 3 0 
*
(1.83)
F3 (s) = 










 0 C 4   −B 4 C
Is − A 4   0 B 4 
3
= C
= A
 + ∆C
 ,
 + ∆A
 , A
= A
 + ∆A
 , B= B + ∆B , B= B + ∆B , C
víi A
4
4
4
3
3
3
3
3
3
4
4
4

3
3
3




C=
C4 + ∆C4 .
4

¸p dơng công thức nghịch đảo của ma trận khối và các biến đổi toán học cần thiết
ta xác định được các thành phần khối trong ma trận cuối cùng trong (1.83) cho cả hai
trường hợp; biến đổi xuôi và biến đổi ngược. Đường chéo hoá các ma trận theo thứ tự
giảm dần của các giá trị riêng như sau:

A
T = diag ( α 2 ,
A
3
3
3M

... ,

diag ( α 42 M ,

... ,

 A

T
A
4
4

=

2
α 3m
) , B 3B 3T

α 42 m ) , B 4 B T4

=
=

2
diag (β 3M
,

diag (β 24 M ,

... ,
... ,

2
β 3m
) , C 3TC 3

=


2
diag ( γ 3M
,

 TC
 = diag ( γ 2 ,
β 24 m ) , C
4
4
4M

... ,
... ,

2
γ 3m
),

γ 42 m ) .