Phép gần đúng eikonal cho các quá trình tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.04 MB, 158 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Vũ Tồn Thắng
PHÉP GẦN ĐÚNG EIKONAL
CHO CÁC Q TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Hà Nội - 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Vũ Tồn Thắng
PHÉP GẦN ĐÚNG EIKONAL
CHO CÁC Q TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí tốn
Mã số: 9440130.01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
2. PGS.TS. Nguyễn Như Xuân
XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ
CỦA HỘI ĐỒNG CẤP ĐHQG CHẤM LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Chủ tịch hội đồng cấp ĐHQG chấm
Luận án Tiến sĩ
Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. Hà Huy Bằng
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận án là công trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả,
số liệu, đồ thị, … được trình bày trong luận án là trung thực, đã được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một
công trình nào khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2020
Tác giả luận án
Vũ Toàn Thắng
LỜI CÁM ƠN
Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, người thầy đã hết lịng giúp đỡ, hướng dẫn tơi trong suốt
q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận án. Tôi cũng xin gửi lời cám
ơn tới PGS.TS. Nguyễn Như Xuân đã hướng dẫn và tạo nhiều điều kiện thuận
lợi để tơi hồn thành luận án.
Tơi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong Bộ mơn
Vật lý lý thuyết, trong Khoa Vật lý và Phịng Sau đại học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội.
Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo, chỉ huy và đồng nghiệp Khoa Khoa
học cơ bản, Trường Sĩ quan Cơng binh và Đồn 871 - Tổng cục Chính trị đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tơi xin được gửi lời cám ơn tới gia đình, người thân và bạn bè
đã động viên chia sẻ và giúp đỡ về mọi mặt để tơi được tập trung nghiên cứu
và hồn thành luận án!
Hà Nội, tháng 7 năm 2020
Tác giả luận án
Vũ Toàn Thắng
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ...............................................................................................i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ...................................................... 3
DANH SÁCH CÁC TỪ KHÓA ........................................................................ 4
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 5
Chƣơng 1. Tán xạ năng lƣợng cao trong phƣơng pháp chuẩn thế ........... 12
1.1. Phương trình chuẩn thế dưới dạng tốn tử ............................................... 13
1.2. Lý thuyết nhiễu loạn cải biến.................................................................... 16
1.3. Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao ............... 19
1.4. Biên độ tán xạ hai ―nucleon‖ trong trường hấp dẫn tuyến tính
lượng tử ............................................................................................................ 28
1.5. Kết luận chương 1 ..................................................................................... 34
Chƣơng 2. Tán xạ năng lƣợng cao của các hạt Dirac trên thế nhẵn ........ 36
2.1. Phép biến đổi Foldy – Wouthuysen cho phương trình Dirac
trong trường ngồi ........................................................................................... 37
2.2. Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ....................................................... 41
2.3. Tiết diện tán xạ vi phân ............................................................................ 46
2.3.1. Thế Yukawa .................................................................................... 47
2.3.2. Thế Gauss ...................................................................................... 50
2.4. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 54
Chƣơng 3. Tán xạ năng lƣợng cao của các hạt với moment từ
dị thƣờng và giao thoa Culomb – Hạt nhân ................................................ 56
3.1. Xây dựng biên độ tán xạ hai hạt ............................................................... 56
3.2. Dạng tiệm cận của biên độ tán xạ năng lượng cao ................................... 64
3.3. Giao thoa Coulomb – hạt nhân ................................................................. 67
1
3.4. Tán xạ trên tổng hai trường thế ngoài....................................................... 69
3.4.1. Phương pháp sóng riêng phần ...................................................... 69
3.4.2. Giao thoa Coulomb – hạt nhân ..................................................... 72
3.5. Kết luận chương 3 ..................................................................................... 77
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 79
Danh mục các cơng trình khoa học.................................................................. 82
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 83
PHỤ LỤC....................................................................................................... A1
Phụ lục A......................................................................................................... A2
Phụ lục B ....................................................................................................... A27
Phụ lục C ....................................................................................................... A30
Phụ lục D....................................................................................................... A54
2
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
STT
Hình
Nội dung
1
Hình 1.1 Giản đồ Feynman cho tán xạ hai ―nucleon‖
2
Hình 1.2
3
Hình 2.1
4
Hình 2.2
5
Hình 2.3
6
Hình 2.4
Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào
năng lượng toàn phần
Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào
xung lượng hạt tới trong trường thế Yukawa
Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào
góc tán xạ trong trường thế Yukawa
Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào
xung lượng hạt tới trong trường thế Gauss
Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào
góc tán xạ trong trường thế Gauss
3
Trang
18
33
49
50
53
54
DANH SÁCH CÁC TỪ KHÓA
TIẾNG VIỆT
STT
TIẾNG ANH
1
Gần đúng Eikonal
Eikonal Approximation
2
Biểu diễn Eikonal
Eikonal Representation
3
Tán xạ năng lượng cao
High Energy Scattering
4
Tán xạ lượng tử
Quantum Scattering
5
Biên độ tán xạ
Scattering Amplitude
6
Tiết diện tán xạ
Scattering Cross-Section
7
Phương pháp sóng riêng phần
Partial Wave Method
8
Phương pháp chuẩn thế
Quasi-Potential Method
9
Phương pháp tích phân phiếm hàm Functional Integration Method
10
Phương trình chuẩn thế
Quasi-Potential Equation
11
Lý thuyết nhiễu loạn cải biến
Modified Perturbation Theory
12
Hấp dẫn lượng tử
Quantum Gravity
13
Phép biến đổi Foldy-Wouthuysen
Foldy-Wouthuysen Transformation
14
Hạt Dirac
Dirac Particle
15
Moment từ dị thường
Anomalous Magnetic Moment
16
Giao thoa Coulomb – Hạt nhân
Coulomb – Nuclear Interference
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ ở vùng năng lượng cao,
tìm được trong cơ học lượng tử phi tương đối tính vào năm 1959 [40], sau đó
trong cơ học lượng tử tương đối tính và đã được sử dụng rộng rãi để phân tích
các số liệu thực nghiệm. Tính từ những năm sáu mươi thế kỷ trước đến nay,
đã có nhiều thay đổi: i/ năng lượng tại các máy gia tốc đã đạt được mức TeV
tương ứng với khoảng cách 10-16 cm, còn lý thuyết đang nghiên cứu vật lý với
mức
GeV
thông qua khối lượng Planck
M Planck
c GNewton
1, 2 1019 GeV , ứng với khoảng cách 10-33 cm (được gọi là kích thước
Planck); ii/ Việc hợp nhất bốn loại tương tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn
thành lý thuyết thống nhất vĩ đại [1] đang hiện hữu, khi phát hiện ra sóng hấp
dẫn vào 2014 và chụp được ảnh ―lỗ đen‖ năm 2019; iii/ Năm 1987, t’Hooft sử
dụng gần đúng Eikonal tìm được biên độ tán xạ Eikonal (leading term - số
hạng ―chủ chốt‖) hai hạt vô hướng qua việc trao đổi các graviton giữa chúng
ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền cố định, song chưa tính được
các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) cho biên độ tán xạ này. Mặt
khác, ―hạt‖ ở vùng năng lượng cao có cấu trúc phức tạp, như spin, các loại
moment…, cũng là rào cản rất lớn, song lại bức thiết để lý giải số liệu thực
nghiệm thu được từ các máy gia tốc lớn như RHIC (Mỹ), LHC (Geneva).
Việc hệ thống hóa và tổng qt hố những kết quả đã thu được, sử dụng
gần đúng Eikonal tìm biên độ tán xạ và các bổ chính của nó, hay hạt có cấu
trúc nội tại ở vùng năng lượng cao trên cơ sở một lập luận chặt chẽ là một
trong những xu hướng nghiên cứu chính thống cả lý thuyết lẫn thực nghiệm.
2. Mục đích, đối tƣợng nghiên cứu
Mục đích của luận án là xem xét một số bài toán tán xạ nằm trong xu thế
đã nêu, trên một thế hay hai thế, sự giao thoa giữa các tương tác, tán xạ hai
5
hạt có xét đến cấu trúc nội tại, trên cơ sở xây dựng cơng cụ tính tốn mới theo
sát với thực nghiệm hơn. Ví dụ, xây dựng lý thuyết nhiễu loạn cải biến để tính
các số hạng chính và các số hạng bổ chính của nó, hay biểu diễn FoldyWouthuysen cho hạt có spin, moment ... trên cơ sở của các phương trình cơ
học lượng tử tương đối tính ở trường ngồi – phương trình Klein- Gordon,
phương trình Dirac, phương trình chuẩn thế ... nhằm lý giải các kết quả thu
được trên thực nghiệm.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Hiện nay, số hạng chủ chốt của biên độ tán xạ Eikonal năng lượng cao
qua các cách tiếp cận khác nhau, thu được về cơ bản là trùng nhau. Bài toán
cho luận án là tiếp tục sử dụng gần đúng Eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng
năng lượng cao hơn trong lý thuyết trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử,
và hạt tán xạ có cấu trúc nội tại, nên cách tiếp cận tổng hợp nhiều cách tiếp
cận khác nhau và logic về cả toán học lẫn vật lý. Một số cách tiếp cận đơn lẻ
liên quan đến luận án:
Phương pháp thứ nhất là phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman.
Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của từng giản đồ Feynman ở vùng động học
nào đó và sau đó lấy tổng các đóng góp này cho biên độ tán xạ cần tìm.
Phương pháp thứ hai là phương pháp tích phân quĩ đạo. Phương pháp
này dựa trên khai triển Eikonal hàm Green tổng quát các hạt tán xạ trên mặt
khối lượng để tìm biên độ tán xạ. Về mặt nguyên tắc tích phân quĩ đạo tương
đương với biểu diễn thơng thường của cơ học sóng. Cơ sở khoa học của
phương pháp này dựa trên nguyên lý sau: ―Biên độ xác suất của phép dời
chuyển lượng tử của hệ từ trạng thái đầu i
đến trạng thái cuối f
được
xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quĩ đạo khả dĩ trong
i
không gian pha của biểu thức exp S x t , trong đó S x t là tác
dụng‖. Tuy phương pháp này khơng được thơng dụng vì nó dựa trên nền tảng
6
tốn học khá trừu tượng, song nó lại được sử dụng rất hiệu quả để xây dựng
các cơng cụ tính tốn trong cơ học lượng tử tương đối tính, cũng như lý thuyết
trường lượng tử. Thành tựu lớn nhất của phương pháp tích phân quĩ đạo là phát
triển kỹ thuật giản đồ Feyman đã được sử dụng trong QED trước đây và lượng tử
hoá các lý thuyết trường chuẩn sau này.
Phương pháp thứ ba là phương pháp chuẩn thế. Phương pháp này dựa
trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze (gọi tắt là phương
trình chuẩn thế) mà nó được coi là tổng qt hóa phương trình Lippmann Schwinger. Ở đây khái niệm ―thế năng‖ được đưa vào trong lý thuyết trường
lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài tốn tán xạ. Phương trình chuẩn
thế có dạng tương tự như phương trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử
phi tương đối tính được khởi nguồn từ phương trình Schrodinger. Cơ sở chặt
chẽ nhất cho biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng
tử được tìm thấy lần đầu tiên vào năm 1969, nhờ phương pháp chuẩn thế.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Việc hoàn thiện và phát triển lý thuyết nhiễu loạn cải biến giúp tìm được
số hạng chính (leading term) của biên độ tán xạ Eikonal và hệ thống các số
hạng bổ chính (corrections-non-leading), đặc biệt đối với trường hợp hằng số
tương tác hiệu dụng tăng theo năng lượng, mở ra khả năng áp dụng được cho
hấp dẫn lượng tử, mà trước đây chưa làm được. Việc sử dụng biểu diễn Foldy
–Wouthuysen hay phương pháp tích phân phiếm hàm cho tán xạ năng lượng
cao của hạt có cấu trúc nội tại, kết quả thu được ngoài biên độ tán xạ thơng
thường, cịn chứa thêm thành phần mới của biên độ tán xạ diễn tả sự quay
spin, mà ta sử dụng để lý giải một số lượng lớn số liệu thực nghiệm bức thiết
hiện nay. Mở rộng phương pháp sóng riêng phần cho bài tốn tán xạ một hay
hai thế và sự giao thoa tương tác của chúng. Ví dụ như tính đến giao thoa
Coulomb - hạt nhân cho hai trường hợp cụ thể Gauss-Coulomb và YukawaCoulomb, cần thiết cho xử lý kết quả thực nghiệm hiện nay.
7
5. Bố cục của luận án
Luận án bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo và
một số phụ lục. Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Tán xạ năng lượng cao trong phương pháp chuẩn thế
Phát triển và hoàn thiện lý thuyết nhiễu loạn cải biến trên cơ sở phương
trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze trên mặt khối lượng trong lý thuyết
trường lượng tử. Trong mục 1.1, toán tử giả vi phân được đưa vào để viết lại
phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze dưới dạng toán tử trong biểu
diễn tọa độ. Dựa vào ý tưởng cốt lõi của phương pháp tích phân phiếm hàm
Z
1
i eiZ s ds theo Fock-Schwinger và Feynman (thực chất thay cách tính
0
tổng các số hạng của lý thuyết nhiễu loạn bằng tích phân phiếm hàm).
Nghiệm của phương trình thu được trong biểu diễn tọa độ đã được viết dưới
dạng hàm mũ, thuận lợi cho việc xây dựng lý thuyết nhiễu loạn cải biến trong
mục 1.2. Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ hai ―nucleon‖ ở vùng năng
lượng cao s và xung lượng truyền t cố định thu được trong mục 1.3.
Trong mục 1.4, trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính, các số hạng
chính, số hạng bổ chính bậc nhất đã được tính, ở đây chúng tơi tính thêm số
hạng bổ chính bậc hai cho biên độ tán xạ cho tương tác hai hạt. Bán kính tác
dụng hiệu dụng R giữa chúng, mà nó liên quan đến khối lượng của graviton
trao đổi cũng được thảo luận.
Chương 2: Tán xạ năng lượng cao của các hạt Dirac trên thế nhẵn
Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu bài tốn tán xạ cho các hạt với
spin 1/2 trên các thế ngoài nhẵn ở năng lượng cao của các hạt tới trong khuôn
khổ của phương trình Dirac ở trường ngồi được viết trong biểu diễn Foldy –
Wouthuysen. Trong mục 2.1, chúng tơi trình bày cách tìm phương trình Dirac
cho hạt ở trường điện từ ngồi trong biểu diễn Foldy – Wouthuysen. Sử dụng
8
tính nhẵn của các thế ngồi và Hamiltonian của phương trình Dirac trong biểu
diễn Foldy – Wouthuysen, chúng ta giới thiệu cách tìm biểu diễn Glauber cho
biên độ tán xạ cho hạt có spin bằng ½ ở vùng năng lượng cao ở mục 2.2. Áp
dụng cho 2 trường hợp cụ thể là thế Yukawa và thế Gauss, chúng tôi thảo
luận đóng góp của các số hạng trong tốn tử Hamiltonian của bài tốn và tìm
tiết diện tán xạ vi phân, xem xét sự phụ thuộc của chúng theo góc tán xạ và
xung lượng của hạt tới ở mục 2.3.
Chương 3: Tán xạ năng lượng cao của các hạt với moment từ dị
thường và giao thoa Coulomb – Hạt nhân
Chúng tôi xét bài toán tán xạ của hạt với moment từ dị thường ở trường
ngồi trong khn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm ở mục 3.1 và 3.2.
Lưu ý, khi xét với moment từ, khó khăn lớn nhất ở đây liên quan đến ma trận
Dirac . Sử dụng gần đúng Eikonal cho bài toán tán xạ ―pion-nucleon‖ N ,
khó khăn liên quan đến ma trận Dirac đã được khắc phục, kết quả ta tìm
được biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ N ở vùng năng lượng cao
s , t fixed . Biên độ tán xạ N được biểu diễn dạng tổng hai số hạng,
tương ứng với mô tả không quay spin và có quay spin trong q trình tán xạ.
Giao thoa Coulomb của hạt hadron tích điện N cũng được xem xét trong
mục 3.3. Bài toán tán xạ của hạt nhanh lên tổng hai thế ngồi ít được nghiên
cứu, song bài toán này lại gặp nhiều trong thực tế. Ví dụ như hai hạt hadron
tích điện, chúng tham gia vào hai loại tương tác: tương tác điện từ được mô tả
bằng thế Coulomb và tương tác mạnh, được mô tả bằng thế Yukawa (hay thế
Gauss). Bài toán tán xạ trên tổng hai thế Coulomb - Yukawa hay Coulomb Gauss được nghiên cứu bằng phương pháp sóng riêng phần ở mục 3.4. Lưu ý,
các kỳ dị liên quan đến giao thoa Coulomb-hạt nhân tại các điểm r 0 và
r đã được nghiên cứu kỹ để loại bỏ.
9
Những kết quả của luận án đã được báo cáo trong các Hội nghị khoa học
của trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc
và công bố trong 05 bài báo đăng trên các tạp chí quốc tế và trong nước:
―High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in
Quantum Field Theory‖, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics
30(3), pp 37-48.
―Coulomb-nuclear Interference and Partial Wave Method‖, VNU Journal of
Science: Mathematics – Physics 31(1S), pp 108-114.
―High Energy Scattering of Dirac Particles on Smooth Potentials‖,
International Journal of
Modern Physics A 31(23), pp 1650126-1(18
pages).
―Applying the Modified Pertubation Theory to High Energy Scattering in
the Quasipotential Approach‖, Journal of Physical Science and Application
7(4), pp 47-58.
―The Corrections to the High Energy Scattering in the Framework of
Modified Pertubation Theory‖, Scientific Journal of Hanoi Metropolitan
University 35, pp 72-82.
Trong luận án, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên hay còn gọi là hệ đơn vị
1; vận tốc ánh sáng c 1. Khi đó,
nguyên tử, trong đó hằng số Planck
khối lượng và năng lượng có cùng thứ nguyên; chiều dài có thứ nguyên là
nghịch đảo của năng lượng. Luận án sử dụng metric giả Euclide (metric
Feynman).
Véc tơ tọa độ phản biến là
x x0 t , x1 x, x 2 y, x3 z t , x
Véc tơ tọa độ hiệp biến
x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z t , x
10
Ta có: x g x ; x g x , trong đó, ten xơ metric:
g g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Véc tơ năng xung lượng (véc tơ xung lượng 4 chiều)
p E , px , p y , pz E , p .
Tích vơ hướng của hai véc tơ được xác định
ab g a b a b a 0b0 ab
Phép tính đạo hàm:
,
,
,
,
x t x y z t
, , , ,
x t x y z t
Toán tử xung lượng:
p i i , ; p i i , .
t
t
Trong vật lý hạt cơ bản và vật lý lượng tử, đơn vị đo năng lượng thường được
sử dụng là eV (electron-Volt). Ta có: 1 eV 1,60217733 1019 J . Trong vật
lý năng lượng cao, 1 eV là quá nhỏ, cho nên chúng ta thường dùng các bội số
của nó, đó là kilo-, mega-, giga- và tera- electron-Volt:
1 TeV 103 GeV 106 MeV 109 keV 1012 eV
11
Chƣơng 1. TÁN XẠ NĂNG LƢỢNG CAO
TRONG PHƢƠNG PHÁP CHUẨN THẾ
Việc tìm biên độ tán xạ năng lượng cao cho tất cả các loại tương tác
(gồm cả tương tác hấp dẫn) đã được xem xét bởi nhiều tác giả [4850,71,105] và đã cho thấy rằng trong giới hạn của tiệm cận năng lượng cao,
tại xung lượng truyền cố định, biên độ tán xạ đàn hồi của hai hạt nucleon có
dạng gần đúng Glauber cùng với hàm pha Eikonal phụ thuộc vào năng
lượng. Phương pháp được sử dụng nhiều trong lý thuyết trường lượng tử là
dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên phương pháp này sẽ phù hợp khi
năng lượng của các hạt riêng lẻ không cao và hằng số tương tác hiệu dụng là
không lớn. Nhưng trên thực tế, khi năng lượng tăng lên, hằng số tương tác
hiệu dụng cũng tăng, do đó các số hạng bổ chính (tính tốn trong lý thuyết
nhiễu loạn) sẽ đóng một vai trị quan trọng trong quá trình xác định biên độ
tán xạ cũng như tiết diện tán xạ vi phân của chúng. Ví dụ như trong tán xạ
hấp dẫn được mơ tả bằng lý thuyết trường hiệu dụng thì hằng số tương tác
hiệu dụng G Gs
1 (với s là tổng năng lượng trong hệ khối tâm, G là
hằng số hấp dẫn) tăng theo năng lượng đã làm cho các lý thuyết nhiễu loạn
đơn giản mở rộng không cho kết quả như mong muốn. Việc xác định các số
hạng bổ chính cho số hạng chủ chốt đối với bài toán tán xạ hấp dẫn hiện vẫn
là một vấn đề mở chưa có lời giải.
Trong khn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm, lý thuyết nhiễu
loạn cải biến được khởi xướng bởi Fradkin trong [37,38] dẫn đến kết quả vượt
xa mong đợi, so với lý thuyết nhiễu loạn thông thường. Phương pháp này đặc
biệt hiệu quả trong điện động lực học lượng tử, vì ngay cả trong gần đúng bậc
nhất của lý thuyết nhiễu loạn cải biến, sự đóng góp của cả photon mềm ảo và
thực, đã có thể hồn tồn được lấy tổng. Cụ thể, người ta đã chứng minh rằng,
gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn cải biến là đủ để có được dáng
12
điệu tiệm cận chính xác cho các hàm Green và các tiết diện tán xạ của các quá
trình trong QED. Mục đích của chương này là phát triển một sơ đồ tính tốn
hệ thống, dựa trên lý thuyết nhiễu loạn cải biến, để tìm các bổ chính cho biên
độ tán xạ Eikonal chủ chốt bằng cách giải phương trình chuẩn thế LogunovTavkhelidze [71]. Mặc dù thiếu tính hiệp biến tương đối tính rõ ràng, song
phương pháp chuẩn thế vẫn giữ lại tất cả thơng tin các tính chất của biên độ
tán xạ, mà chúng có thể nhận được từ các nguyên lý chung của lý thuyết
trường lượng tử. Do đó, ở năng lượng cao, người ta có thể kiểm tra các đặc
tính giải tích của biên độ tán xạ, dáng điệu tiệm cận của nó và một số tính
chất quy luật của tán xạ thế, v.v., như đã được thực hiện trong lý thuyết ma
trận S thơng thường.
1.1. Phƣơng trình chuẩn thế dƣới dạng tốn tử
Phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze là cơ sở của phương pháp
chuẩn thế trong lý thuyết trường lượng tử. Trong hình thức luận khơng-thời
gian 4-chiều, phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze được tổng qt
hố từ phương trình Schrodinger trên cơ sở hàm Green hai hạt 2-thời điểm
trong lý thuyết trường lượng tử.
Trong biểu diễn xung lượng phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze
cho tán xạ hai hạt vơ hướng có dạng [63]:
T p, p; s gV p p; s g dqK q 2 ; s V p q; s T q, p; s
(1.1)
với: K q 2 ; s là nhân của phương trình; s 4 p 2 m2 4 p2 m2 là
bình phương năng lượng khối tâm; p và p là xung lượng tương đối của hai
hạt tương tác ở trạng thái đầu và trạng thái cuối.
Trong các trường hợp khác nhau với việc chọn nhân thích hợp chúng ta sẽ thu
được các dạng phương trình chuẩn thế như đã biết:
13
Phương trình
gV p p; s
K (q 2 ; s )
Lippmann -
1
1
2 q k 2 i
2
Schwinger
Logunov –
2
m
2
1
1
2
2
q 2 m2 q k i
Tavkhelidze
1
1
4 2
q 2 m2
Kadyshevsky
1
2
V p p ; s
gV p p; s
m
V p p ; s
4
q 2 m2 k 2 m2 i
Nói chung, chuẩn thế V là hàm phức của năng lượng và xung lượng
tương đối của hai hạt. Phương trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu
chuẩn thế V là ―nhẵn‖ hay nói cách khác chuẩn thế V là hàm của hiệu xung
lượng tương đối giữa hai hạt p p và năng lượng toàn phần (được gọi là
chuẩn thế định xứ) [42]. Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã được chứng minh
chặt chẽ trong trường hợp tương tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây
dựng chuẩn thế. Nghiệm của phương trình (1.1) được xem như là biên độ vật
lý của quá trình tán xạ hai hạt trên mặt khối lượng.
Thực hiện các phép biến đổi Fourier:
V p p; s
1
dre
2
3
i p p r
V r; s
(1.2)
T p, p; s drdr exp ipr exp ip r T r , r ; s
Thay (1.2) vào (1.1), ta thu được phương trình cho T r , r ; s :
T r , r ; s
g
2
3
V r ; s 3 (r r )
14
dqK q ; s V r ; s e dr e
2
g
iqr
2
Đặt: T r , r ; s
g
2
3
T r , r ; s
iqr
3
V r ; s F r , r ; s
(1.3)
(1.4)
Thay (1.4) vào phương trình (1.3), ta có:
g
2
V r ; s F r , r ; s
3
g
2
3
g
2
3
V r ; s 3 (r r )
2
iqr
iqr
dqK q ; s V r ; s e dr e
F r , r ; s 3 (r r )
g
2
3
V r ; s F r , r ; s
dr V r ; s F r , r ; s dqK q ; s e
2
g
2
iq r r
3
(1.5)
Chúng ta định nghĩa toán tử giả vi phân: Lˆr K r2 ; s
(1.6)
Ta có: r eiqr iqeiqr ; r2 eiqr q 2 eiqr
K r ; s dqe
iq r r
K q 2 ; s K 2r ; s dqe
iq r r
3
Lˆr 2 3 r r
Khi đó, phương trình (1.5) được viết thành:
F r , r ; s 3 (r r ) g dr V r ; s F r , r ; s Lˆr 3 r r
F r , r ; s 3 r r gLˆr V r ; s F r , r ; s
(1.7)
Phương trình (1.7) chính là dạng tốn tử của phương trình Logunov –
Tavkhelizde [71]. Trong khn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế thì chuẩn thế
được xác định bằng cách khai triển thành chuỗi vơ hạn theo hằng số tương
tác, nó tương ứng với việc khai triển nhiễu loạn biên độ tán xạ trên mặt khối
lượng. Nghiệm gần đúng thu được của phương trình (1.7) chỉ được tìm ở thứ
tự bậc thấp nhất của chuẩn thế. Sử dụng phương pháp này biểu thức Eikonal
tương đối tính của biên độ tán xạ đàn tính đã được tìm ra trong lý thuyết
trường lượng tử với năng lượng lớn và xung lượng truyền nhỏ [41].
15
1.2. Lý thuyết nhiễu loạn cải biến
Trong lý thuyết trường lượng tử, hai phương pháp thường được sử dụng
để tìm biên độ tán xạ là lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và phương pháp tích
phân phiếm hàm. Phương pháp nhiễu loạn thông thường dựa trên việc khai
triển nhiễu loạn theo hằng số tương tác. Phương pháp tích phân phiếm hàm sử
dụng biểu diễn toán tử nghịch đảo theo đề xuất của Fock và Feynman [35]:
Z
1
i eiZs ds . Tuy nhiên, trong một số trường hợp, để giải quyết được bài
0
tốn một cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phương pháp này trong phép khai
triển mà nó có tên gọi phương pháp nhiễu loạn cải biến được đề xuất bởi
Fradkin [38,50,64], là phương pháp kết hợp phương pháp tích phân phiếm
hàm và lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp nhiễu loạn cải biến để
giải phương trình (1.7). Theo phương pháp này, nghiệm của phương trình
(1.7) sẽ được tìm dưới dạng hình thức:
F r , r ; s
1
dke
W r ,k ;s
2
3
e
ik r r
(1.8)
Thay (1.8) vào (1.7), ta thu được phương trình cho hàm W r , k ; s :
1
dke
2
W r ,k ;s
3
e
ik r r
dke
2
W r ,k ;s
Suy ra: e
1
ik r r
3
1
dke
2
ikr
3
W r , k ; s ikr
gLˆr V r ; s e
e
W r , k ; s ikr ikr
1 gLˆr V r ; s e
e
e
(1.9)
Thực hiện khai triển Taylor cho hàm mũ ở hai về của phương trình (1.9),
chúng ta thu được phương trình mới có dạng:
16
1 2
1
W r,k;s W 3 r,k;s 1
2!
3!
1
1
gLˆr V r ; s 1 W r , k ; s W 2 r , k ; s W 3 r , k ; s
2!
3!
1W r,k;s
ikr ikr
e e
(1.10)
Tiếp tục sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến, khai triển số mũ W r , k ; s
theo hằng số tương tác g :
W r , k ; s g nWn r , k ; s gW1 g 2W2 g 3W3
n 1
(1.11)
Thay (1.11) vào (1.10), ta có:
2
3
1 n
n 1 n
1 g Wn g Wn g Wn
n 1
2! n 1
3! n 1
1
n 1 n 2 1 n 3
ˆ
gLr V r ; s 1 g Wn g Wn g Wn
2! n 1
3! n 1
n 1
ikr ikr
e e
(1.12)
Đồng nhất hệ số của các số hạng theo hằng số tương tác g ở hai vế của
(1.12), ta thu được (xem phụ lục A.1):
W1 dqV q; s eiqr K q k
W2
2
(1.13)
1
i q q r
dq1dq2V q1 ; s V q2 ; s e 1 2 K q1 k
2
K q1 q2 k
; s
; s K q k ; s K q
2
2
1
2
W3 r , k , s dq1dq2 dq3V q1 ; s V q2 ; s V q3 ; s e
1
K q1 k
3
; s K q
2
2
17
; s K q
2
2
k
; s
2
i q1 q2 q3 r
k
; s
2
(1.14)
; s K q
2
k
3 k
; s
2
1
K q2 q3 k
6
2
; s K q1 q2 q3 k
K q2 k
2
; s K q1 k
; s K q
2
3
k
; s
2
; s
2
q2 q3 ; q3 q1 ; q1 q2 q3 q1 ; q1 q2 ; q2 q3
(1.15)
Nếu chỉ giới hạn trong gần đúng bậc nhất của W r , k ; s thì chúng ta thay
W r , k ; s bởi W1 r , k ; s , sẽ thu được biểu thức gần đúng cho biên độ tán xạ
T1 p, p; s
g
dr e
2
i p p r
3
V r ; s e
gW1 r ; p ; s
Để thiết lập ý nghĩa vật lý của phép gần đúng này, chúng ta khai triển
T1 p, p; s thành chuỗi theo hằng số tương tác g . Nghiên cứu chuỗi này, ta
rút ra, phép gần đúng của chúng ta trong trường hợp phương trình LippmannSchwinger trùng với phép gần đúng qi q j 0 khi nghiên cứu dáng điệu hồng
ngoại của hàm Green lượng tử hay biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài
trong QED, hay các số hạng qi q j 0 i j trong hàm truyền của ―nucleon‖,
hay gần đúng quỹ đạo thẳng trong phương pháp tích phân phiếm hàm. Bằng
ngôn ngữ giản đồ Feynman cho tán xạ hai ―nucleon‖ biên độ tán xạ hai hạt có
dạng Eikonal ở vùng s , t fixed khi ta lấy tổng các giản đồ thang:
Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon”
18
1.3. Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lƣợng cao
Sử dụng kết quả thu được ở trên, chúng ta tìm dạng tiệm cận của biên độ
tán xạ ở vùng năng lượng cao, xung lượng truyền cố định.
Từ (1.2), (1.4), (1.8), ta có:
T p, p; s
g
2
i p p r
3
dre
V r; se
W r , p ; s
(1.16)
Chọn trục z theo hướng của véc tơ xung lượng trung bình p p . Khi đó,
xung lượng truyền p p có phương vng góc với trục z ,0 .
Sử dụng các biến số Mandelstam:
1
1
p p ,0 ; p , pz và p , pz .
2
2
s 4 p 2 m2 4 p2 m2 4 pz2 4m2 2 4 pz2 ; pz s
2
.
Khi đó:
2
K q p ; s
1
1
2
q p m2 q p2 s m2 i
4
s
t fixed
3qz2 q2 q
2
1
1
2
s qz i
s qz i
s
(1.17)
Thay (1.17) vào (1.13), ta thu được:
W1
W10 W11
1
2
s
s s
s
(1.18)
với W10 , W20 được xác định như sau (chi tiết xem phụ lục A.2)
W10 2i dz V
z
b 2 z 2 ; s
(1.19)
19
W11 6V
b z ; s 2 i dz z z V
2
2
2
z
b 2 z 2 ; s (1.20)
Tương tự, thay (1.17) vào (1.14) và (1.15), ta thu được biểu thức cho W2 và
W3 :
W2
W3
1
3
s
s
(1.21)
1
W31 W32 W33
s4
(1.22)
W20
s
2
trong đó, các số hạng W20 , W31 , W32 , W33 tương ứng là:
W20 4i dz 3V 2
z
W31 72i dz V 3
z
2
2
b z ; s dz V
z
b 2 z 2 ; s
W32 48i dz dz V
z
z
W33 8i dz1 dz2 V
z
z1
dz dz V
4
z
z
dzV
b 2 z 2 ; s
b z ; s dz V 2
z
2
2
2
2
4V
2 dz V
z2
b z ; s 3 dz 2V
z
2
b z ; s dz dz V
z2
z
2
2
(1.23)
b 2 z 2 ; s (1.25)
z2
4 dz V
z
2
(1.24)
b z ;s
2
2
2
b 2 z 2 ; s
b 2 z 2 ; s
2
2
b z ; s dz 3V
2
2
z
dz V
2
z2
20
2
z
b z ; s
2
2
2
b z ; s dz 2V
2
b z ; s
2
b 2 z 2 ; s
b2 z 2 ; s
(1.26)
Giới hạn biểu thức của W r , k ; s ở ba số hạng gần đúng đầu tiên theo biểu
thức (1.11), đồng thời sử dụng các kết quả (1.18), (1.21), (1.22), chúng ta có:
e e
W
g
W10
s
g
e
W11
s s
g 2W2 g 3W3
e
g
W11
2 W20
1
g
g
g 3W3
2
s s
s s
W10
s
(1.27)
Thay (1.27) vào (1.16), ta thu được biểu thức biên độ tán xạ:
T p, p; s
g
d be
2
2
3
i b
dzV
b z ;s e
2
2
g
W10
s
W
W
1 g 11 g 2 2 20 g 3W3
s s
s s
T
với T
T
T
T
0
1
2
0
0
t; s T 1 t; s T 2 t; s
t; s , T 1 t; s ,T 2 t; s
t; s
t; s
t; s
g
d
3
2
g
2
2
be
d be
g
i b
i b
d be
2
2
3
dzV
b z ;s e
b z ;s e
dzV
b z ;s e
dzV
i b
(1.28)
được xác định như sau:
2
2
2
3
2
2
2
2
g
g
W10
s
W10
s
g
W10
s
(1.29)
W
W11
g 2 2 20 (1.30)
g
s s
s s
g 3W3
(1.31)
Thay (1.19) vào (1.29), thu được số hạng chính của biên độ tán xạ:
T
0
t; s
g
2
3
Chú ý rằng:
d be
2
dzV
i b
dzV
2ig
b z ; s exp
dz V
s
z
2
2
2ig
b z ; s exp
dz V
s
z
2
2
b 2 z 2 ; s
2ig
s
dzV
exp
2ig
s
21
b 2 z 2 ; s
b 2 z 2 ; s 1
