Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 1: Hệ phơng trình đại số
Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp :

I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối
xứng loại I nếu



=
=
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
+ =

=

. ĐK:
2
4S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS 4
2

.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :
0
2
=+
PStt
. Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối
xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy
hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm
S, P thỏa mãn
PS 4
2

.
+) Khi

PS 4
2
=
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy
nhất S, P thỏa mãn
PS 4
2
=
.
Chú ý 2 :
Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm
giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
II) Hệ đối xứng loại II
1)Hệ :



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu :
);();( yxgxyf
=
2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta

đều thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) = 0
Khi đó hệ đã cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
= =



= =

( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ
2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận
tiếp mới có điều này).
+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng
với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm
duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ
có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (y
0
;x
0

) cũng là nghiệm của hệ,
do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x
0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của
tham số để pt` có nghiệm x
0
duy nhất ,ta đợc giá
trị của tham số. Đó là đ/k cần.

Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra,
rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:



=
=
)2(;0);(
)1();;();(
yxg
xyfyxf
(Tức là có 1 ph-
ơng trình là đối xứng )
2)Cách giải:
Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng
trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho t-

ơng đơng với:




=
=
)2(;0);(
0);().(
yxg
yxhyx











=
=



=
=


0);(
0);(
0);(
0
yxg
yxh
yxg
yx
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
Ví dụ :





=+
=+
=






=
=+
5
5
5
5

2
2
2
2
ty
yt
tx
xy
yx
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
đợc gọi là hệ đẳng
cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự
do) đều có bậc là 2.
1
¤n thi ®¹i häc cao ®¼ng 10 bi cÊp tèc-S– ĐT: 0977467739
2) C¸ch gi¶i :
* C¸ch 1) Khư sè h¹ng tù do. (C¸ch nµy thêng
dïng khi hƯ kh«ng chøa tham sè, hc tham sè ë sè
h¹ng tù do cho ®¬n gi¶n)
* C¸ch 2) Khư x

2
( víi y ≠ 0 ) hc y
2
(víi x ≠ 0):
(C¸ch nµy thêng dïng khi hƯ cã chøa tham sè).
VI. Mét sè hƯ ph ¬ng tr×nh kh¸c.
*) C¸ch gi¶i: §Ĩ gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu
mùc ta thêng ¸p dơng mét sè pp :
+ Ph©n tÝch thµnh tÝch cã vÕ ph¶i b»ng 0.
+ §ỉi biÕn (®Ỉt Èn phơ)
+ §¸nh gi¸ : B§T hc dïng hµm sè.
Mét sè vÝ dơ:
1. HƯ ®èi xøng I:
Giải các hệ pt sau đây :
2 2
11
1)
30
xy x y
x y xy
+ + =


+ =

11
5; 6 5. 6
. 30
p s
hpt s p p s

p s
+ =

⇔ ⇔ = = ∪ = =

=

ĐS : x = 2; 3; 1; 5
2 -
2 2
3 3
30
35
5; 6 (2;3) ; (3;2)
x y xy
x y
hpt s p

+ =


+ =


⇔ = = =>
4 4
2 2
1
3)
1

11
1
0; 2 (0;1);(1;0)
( 2 ) 2 1
x y
x y
p s
s
hpt
p p
s p p
+ =


+ =

+ =
=


⇔ ⇔
 
= = =>
− − =


3
3
30
4) : ; 0; ; .

35
. 30
125, 5 6
3 35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
p s
hpt s s p
s sp

+ =

> = + =

+ =


=

⇔ ⇔ = <=> = => =

− =

Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho:
5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m

+ − =


+ − = −

a) Tìm m để hpt có nghiệm.
HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1
ĐK : S
2
-4p
≥
0 ⇔
1
; 1
4
m m≤ ≥
.
b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§S: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m :
2 2 2
2 1x y xy m
x y xy m m
+ + = +


+ = +

b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất .
HDĐS :

a-
2
1 1 2 2
2 1
.
; 1 1.
p s m
hpt
p s m m
s m p m s m p m
+ = +

⇔

= +

⇔ = = + ∪ = + =
ĐS:hệS
1
,P
1
Vn ;
2 2
2 2
4 ( 1) 0S P m− = − ≥
.
Vậy: HPt có nghiệm với mọi m.
b-HPT cã ngh duy nhÊt ⇔
2
2 2

4 0S P− =
⇔
2
( 1) 0m − =
1m
⇔ =
.
=> x = y = 1 Vậy : (1;1).
2. HƯ ®èi xøng lo¹i II:
Giải hệ pt :

3
3
3 8
1 :
3 8
x x y
hpt
y y x

= +

−

= +


3 4
2 :
3 4

y
x y
x
hpt
x
y x
y

− =


−


− =


2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2
x x y
y y x

− = −

−

− = −



HDĐS :
1-Hpt
2 2
3
3
( )( 5) 0
3 8
3 8
(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
x y x y xy
x x y
x x y
=

− + + + =


⇔
 
= +
= +



−
2- ĐK : x ≠ 0 ; y ≠ 0. Hpt :
2 2

( )( 4) 0
6 4( ) 0
x y x y
x y xy x y
− + + =


+ − − + =

 (-2; -2)
3-
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y x x

− = −


− = −


Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoặc y = 1-x.
Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = 1 -x VN .
4-
1 3
2

1 1
2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


Lấy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x :
( 2; 2);( 2, 2)− −
3) . HƯ nưa ®èi xøng
2
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
VD. Giải hệ :





+=
=

12
11
3
xy
y
y
x
x
Giải:





+=
=+







+=
=+








+=
=
12
0)1)((
0.
12
0
0.
12
11
33
22
3
xy
xyyx
yx
xy
yxxyyx
yx
xy
y
y
x
x
3
4
. 0
. 0

1
( ) ( )
2 1 0
2 0
x y
x y
x y I y II
x
x x
x x







= =


+ =


+ + =

+ Ta có I):











==
+
==
==






=+
=

2
51
2
51
1
)(
012
(
0.
3
yx

yx
yx
I
xx
yx
yx
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2
x y
II y
x
x x VN






=



+ + + =



4. Hệ đẳng cấp :
VD. Cho hệ phơng trình :
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y m
y xy

+ =


=



a) Giải hệ pt` với m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
2 2 2 2
2 2
4
3 4
t y ty y m
y ty


+ =


=



2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4
y t t m
y t

+ =


=



2
2
4 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t m
t
y t


+
=




=

(I)
Do y 0 nên từ y
2
(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t <
1
3
a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
4 1 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t
t
y t

+
=





=


Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I)
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4
t t m t
y t

+ =


=



2
2
4 (16 3 ) 4 0 (*)
(1 3 ) 4
t m t m
y t

+ =



=


Đặt f(t) = 4t
2
- (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t <
1
3
.
Ta lại có
1 8
( ) 0
3 9
af = <
m nên hệ luôn có
nghiệm thoả mãn t
1
<
1
3
< t
2
. Vậy hệ luôn có
nghiệm với m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ
2
2

4
3 4
x xy m
y xy

=


=



2
4 2 2
4
2 (8 ) (4 ) 0 (*)
x m
y
x
x m x m

+
=



+ =

(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m 4 đặt : f(t) = 2t

2
+ (8 - m)t - (4 - m)
2
ta có
f(0) = -(4 - m)
2
< 0 nên phơng trình f(t) = 0 luôn có
nghiệm t > 0 hay phơng trình (*) luôn có nghiệm
với m.
Các bài tập luyện tập
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
3
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1

2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân
biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =



Tìm m để hệ có nghiệm

4)





=+
=+
22
22
xy
yx

5)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:








+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:






=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :


( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào phơng
trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy
nhất







+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:




=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf
=
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:





=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:






=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rút ra
y
yy

y
x
+=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+=
y
y
x
.

20
2

x
theo (1)
20
2

x
suy ra x,y
Bài 9:






++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung
(1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm
4
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
HD: từ (1) đặt
2,1
+=+=

yvxu
đợc hệ
dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai t-
ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)





+=+
+=+
)(3
22

22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)





++=+
=
2
)(7
22
33

yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)





=
=
19
2.)(
33
2

yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)



=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và
Y=2x+y
8)





=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến theo v,u

từ phơng trình số (1)
9)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ
y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)





+=
=
12
11
3
xy
y

y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++
xx
vô nghiệm bằng cách
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm
duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)






=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế .
5
¤n thi ®¹i häc cao ®¼ng 10 bi cÊp tèc-S– ĐT: 0977467739
Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng
tr×nh §¹i sè
Mét sè d¹ng ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh th -
êng gỈp
1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai ;
§Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai;
Ph¬ng ph¸p hµm sè.
2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tut
®èi

2 2
2 2
0B

A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
≥

= ⇔

=

< ⇔ <
>

> ⇔

< −

< ⇔ − < <
3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc
*PT chøa c¨n thøc:
2
0
0( 0)
0
0
2
B

A B
A B
A hayB
A B
A B
A
A B C B
A B AB C
≥

= <=>

=

≥ ≥

= <=>

=


≥

+ = <=> ≥


+ + =

* BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc:
2 2

2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
* *
0 0
A A
A B B A B B
A B A B
A A
B B
A B A B
B B
A B A B
 
≥ ≥
 
< ⇔ > ≤ ⇔ ≥
 
 
< ≤
 
 ≥  ≥
 
 
 
< ≤
 
 

> ⇔ ≥ ⇔
 
≥ >
 
 
 
> ≥
 
 
 
Mét sè vÝ dơ
BÀI TẬP :
Bài 1: Bình phương hai vế :
a) x
2
+
1 1x + =
Hd:
4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x



=

− ≤ ≤

⇔ =−


− − =


±

=


b)pt:
5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
§K x ≥ 1.
Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ;
x = 2/11( loại ). Vậy x=2 .
c)
: 9 5 2 4pt x x+ = − +
§K
2x
≥
.
Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 .
d)

: 16 9 7pt x x− + + =
. §S: x = 0, x = -7.
e)
2 2
: (4 1) 9 2 2 1
: 1/ 4
pt x x x x
dk x
− + = + +
≥
B×nh ph¬ng hai lÇn ta cã :ĐS x = 4/3.
Bài 2 : §Ỉt Èn phơ:
a)
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
. §S: x = 1, x = 2.
b)
2
2
1 1 0 : 0 1
3
x x x x dk x
+ − = + − = ≤ ≤
- Đặt :
2
2
1
1 ; 0
2

t
t x x t x x
−
= + − ≥ => − =
pt ⇔ t
2
-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1  x = 0 ; x =1.
c)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x
+ + + = + + + −
HDĐS:

2 2
: 1
2 3 1 0
3 4 2 2 5 3
5 3.
DK x
t x x
t x x x
pt t x
≥ −
= + + + ≥
=> = + + + +
<=> = <=> =

2 2 2
2

) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
+ + + + + = + +
= + + ≥
<=> + + = + <=> =
=> = =−
Bµi 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m
+ + − − + − =
a) Giải pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
HDĐS:
ĐK:
. 1 3 ; 2 2 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
= + + − => ≤ ≤
+ ≤ + ≤ +
2
0( )
1) 2 : 2 0 1, 3
2
t l

m t t x x
t
=

= − = <=> => = − =

=

2) f(t) = -t
2
/2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên :
Tacó :
2 2 2 2.m− ≤ ≤
Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
Bình phương : Đặt t=
(9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9 / 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m
= − + + ≤ ≤ − ≤ ≤
d)
6
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm:
4 4
4
4 4 6x x m x x m

+ + + + + =
HDẹS: ẹaởt
4 2
4
4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + + =

44
4
3 ( )
2
4 2
4 16
loạit
PT
t
x x m
m x x
=



=

=> + + =
<=> = +
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phơng trình sau:
1)
2 2
3 3

3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x
+ + =
-ẹaởt :
2 2
3
3 3
3
2 3
.
9
7
u x u v uv
pt
u v
v x


= + =

<=>

+ =

= +



3
1; 2 1; 6

2
u v
u v x
uv
+ =

<=> <=> = = => =

=

2)
3
2 1 1x x
=
.ẹK : x
1
3
3 2
2
1; 0
1
0;1; 2; 1;0;3
1
1;2;10
u x
v x v
u v
u v
u v
x


=


=


=

=> <=> = =

+ =

=
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1 : Tìm m để
mxxxx
++++
)64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm đúng với
mọi x.
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2
Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
1)
014168
2
++
xxx
2)

xxx 2114
=+
: x = 0
3)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x
+ = =
4)
211
22
=++
xxxx
. Tích 2 nhân tử
bằng 1 suy ra cách giải.
5)
023)3(
22

xxxx
(KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012
0910

2
2
mxx
xx
ĐS m 4.
Bài 4: Giải bất phơng trình:
2212
>+
xxx
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK
Bài 5: Giải bất phơng trình:
7
2
1
2
2
3
3
+<+
x
x
x
x
HD Đặt
2,
2
1
+=

t
x
xt
AD BĐT cô si suy ra
ĐK.
Bài 6: Giải bất phơng trình
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú ý DK x

-1.
Trong trờng hợp x

4 tiến hành nhân và chia
cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.
Bài 7: Cho phơng trình:
mxxxx
++=+
99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
HD

Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
mxx
+
41624

2)
16212244
2
+=++

xxxx
3)
12312
+++
xxx
4)
1212)1(2
22
=+
xxxxx

HD: đặt
12
2
+=
xxt
coi là phơng trình bậc hai
ẩn t.
5)
2
2)2()1( xxxxx
=++
6)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx

7)
1
1
251
2
<


x
xx
8)
023243
2
=+++
xxx
.
9)
2
2 4 3 18 29x x x x + = +
7
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
B i 3: Phơng trình và
hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lợng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb

=
m
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a




= + +
ữ


3 3
sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a= =
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos 2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
+
= =
d) Công thức chia đôi
Đặt
( )
2
2
x
t tg x k

= +
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;

1 1 1
t t t
x x tgx
t t t

= = =
+ +
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +
= + +
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos ;

2 2
cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x




+ = + =
ữ ữ


= = +
ữ ữ

1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx

+

+ = =
ữ ữ
+

2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp
a) phơng trình lợng giác cơ bản:
+ sinx = a
1
2
1 (sin )
2

PTVN
PT có ngh
a
x k
a a
x k



>
= +

=

= +

+ cosx = a
1
1 2 (cos )
PTVN
PT có ngh
a
a x k a

>
= + =
+ tgx = a ĐK:
2
x k



+
, x =
k

+
(tg = a).
+ cotgx = a, ĐK:
x k


, x =
k

+
(cotg = a).
b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm
số lợng giác.
* Phơng trình bậc nhất:
[ ]
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg

f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x





= +

+ =

= +

+ = = +
+ = = +
+ = = +
+ = =
+ =
[ ]
) cos ( ) ;
sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2
g x
f x g x g x



=

+ =


* Phơng trình bậc 2:
2
sin sin 0a x b x c+ + = đặt t = sinx (
1t
).
2
cos cos 0a x b x c+ + = đặt t = cosx (
1t
).
2
2
0;
0;
atg x btgx c
acotg x bcotgx c
+ + =
+ + =
c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2
a b+

; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b

= =
+ +
ta đợc PT:
2 2
sin( )
c
x
a b

+ =
+
;
*) Chú ý: Phơng trình có nghiệm
2 2 2
c a b +
.
+ Cách 2: Đặt
b
tg
a

=
ta đợc phơng trình:
sin( ) cos

c
x
a

+ =
.
8
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d+ + =
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos
2
x = 0 sinx = 1 nếu
nghiệm đúng phơng trình thì đặt cosx làm thừa số
chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta đợc:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối
với sin2x và cos2x.
e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ


.
3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các
phơng trình lợng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y =
sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot
+=
.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 2:
)1(sin

2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++






+ xxx

ĐS:
5
; 2 ; 2
6 6
x k x k x x k



= = + = = +
.
Bài 3:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
.
ĐS:
2
2 ; 2
3 3
x k x x k


= + = = +
.
Bài 4:
8

1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
=






+







+

xtgxtg
xxxx
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS:
6
x k



= +
.
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3
=++
xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y
tg x y x
y
tg x y x

+ =





= +


HD: nhân (1) với (2) rút gọn
y
y
tg
22
sin4
2
=
.
đặt
2
y
t tg

=
ữ


t

= 0, t =
3
.
Bài 7:
xxxxxx cos13sin.
2

1
sin.4cos2sin.3cos
++=
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos
=++++
xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trờng hợp
bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin..2sinsin
cos..2coscos
+++=
+++=

thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx
+=
HD: BĐ về dạng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ =
Bài 10


2
9
sin
cos
2
log 4.log 2 4
x
x



ữ

=
HD:

( )
sin sin
2
sin
1
2. log 2.log 2 4
2
log 2 4
x x
x
=
=
5. Một số phơng trình có tham số:

Bài 1. Tìm m để phơng trình:
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm
3
[0; ]
4
x


.
HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phơng trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos
2
x
có đúng 2 nghiệm x [0; ].
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
9
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 3. Tìm m để phơng trình:
mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x [0 ; /3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phơng trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++
mxxxx

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc
đoạn
0;
2




.
HD: [-10/3;-2]
Bài 5: Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a=1/3.
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm.
HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )







+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x

6. Các bài tập luyện tập:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos
=
xxxxxx
.
2)
2cos.3sincos.3sin
=+++
xxxx
.
3)
x
x
x
x

cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2
+=
.
4)
x
x
xg
2sin
2cos1
2cot1
2

=+
.
5)
2)1.2(cos2cos
2
=+
xtgxx
.
6)
03cos2cos84cos3
26
=++
xx

.
7)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+







x
x
x
x

.
8)
02cos2sincossin1
=++++
xxxx
.
Một số đề thi từ năm 2002

1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng
trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
+=






+
+
+
x
x
xx
x
. KA
2002
2) Giải phơng trình
x
xx
xtg

4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1

=+

(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng
trình
x
xtgxxg
2sin
2
2sin42cot
=+
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14
của
phơng trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x + =
KB 2003
5) Giải phơng trình

4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
g x
x x
+
=

DB 2002
6) Giải phơng trình
2
cos cos sin 1 .
2
x
tgx x x x tgx tg

+ = +
ữ

(DB
2002)
7) Cho phơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x

+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3
a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
8) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
=
(DB 2002)
9) Giải phơng trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 2
x
gx x x
tgx
= +
+
(KA
2003)
10) Giải phơng trình

( )
3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + =
(DBKA
2003)
11) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 1 2x x tg x= =

(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB 2003)
13) Giải phơng trình
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x



ữ

=


(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x


=
ữ ữ

(KD 2003)
15) Giải phơng trình
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x

= +
+
(DBKD 2003)
16) Giải phơng trình
2sin 4

cot
sin 2
x
gx tgx
x
= +

(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tx x g x =

(KB 2004)
18) Giải phơng trình :
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =

KB 2004.
10
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2

A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + =
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC+ + = +
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B

g
A
g
=++
+
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++
+

CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33
++
tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
..3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA
++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đ-
ợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A)
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2

A + Cos(C-A).cosB +Cos
2
B +
Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos
2
C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
( )
2 2 2
1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC =
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi
2.
222
<++
CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:



+
=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[
)( CB


] khai triển suy ra
đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:






+++
=++
2
cot
2
cot
2

cot
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2

cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
++=
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222
++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
cba

111
+=
và
4
5
.
222
=++
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
coscoscos1
++=+
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2
=
, CMR tam giác ABC cân
11
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
22
.
B
tg

A
tgtgBtgA
=
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
cb
CB
+
=+
coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và
chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb

=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2

1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos
=
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
( )
( )






+
=
+
+=+
2

4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2
+






+

CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA
++=++
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức:
9
22
.
2
222
=++
C
Cotg
B
Cotg
A
Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos

2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1
2
cos
1

2
cot.
2
cot.
2
cot
++=










++
Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
..9
++
Bài 24:
81
666
=++
CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA

M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện
bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
)cos(cos3cos3 CABP
++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2
=+++
CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?
12
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739

Bài 5. Phơng trình và hệ phơng trình
mũ - Lôgarit
1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thừa:
( )
( ) ; ; . ;
; ;
m
n m
n
a a
ab a b a a a
b
b
a
a a a a a
a








+


= = =
ữ


= = =
* Một số công thức biến đổi về logarit:
1 2 1 2
1
1 2
2
log log
log ;
log ( . ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log
ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log .log .log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a
a
b
a

b
c a
a
b
a b c a
a b x b
x x x x
x
x x
x
x x x x
x
x x
x
a a a
b a c
a
b c x x




= =
= +
=
= =
= = =
= =
=
2. Phơng trình mũ:

a) Dạng cơ bản:
( )
( ) ( )
0
( ) log
( ) ( )
f x
a
f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
>

=

=

= =
b) có số có chứa ẩn:
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 1
( ), ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
có nghĩa
f x g x

h x
f x g x
h x h x
h x
f x g x
=





=

>



=



3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải ph-
ơng trình mũ:
+ Đa về phơng trình dạng cơ bản.
+ Lấy lôgarit hai vế;
+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);
+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,..
4. Phơng trình logarit:
a) Dạng cơ bản:

0 1
log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )
( ) ( )
hoặc
a
b
a a
a
f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
<

=

=

> >

=

=

b) Cơ số có chứa ẩn:
[ ] [ ]

( ) ( )
0 ( ) 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
f x f x
f x
g x h x
g x h x
<

=

= >

5. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải ph-
ơng trình logarit:
+ Đa về cùng cơ số;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình mũ;
+ Đa về dạng tích bằng 0;
+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,...
Một số ví dụ:
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a)
3 2 1
2 .3 .5 4000;
x x x+ +
=
b)

2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+

=

;
c)
2
2
3 ( 3) ;
x x
x x

=
d)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
+ =
;
e) 6.9 13.6 6.4 0;
x x x
+ = ĐS: x = 1;
f)
(5 24) (5 24) 10;
x x
+ + =

ĐS: x = 1;
g)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x+
+ + =
;
g)
( 15) 1 4
x x
+ =
; ĐS: x = 2.
h)
3 2
2 3 7 14 2
x x x x
+ + =
;
Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a)
2
log 2.log ( 6) 1
x
x + = ;
b)
2
log (9 2 ) 3
x

x + =
;
c)
2 2
3 7 2 3
log (4 12 9) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
d)
2
2 2
log ( 1)log 6 2 ;x x x x+ =
e)
2 2
log log 3
27 30
x
x+ =
;
f)
5 7
log log ( 2);x x= +
g)
8
4
6 4
2log ( ) logx x x+ = ;
h)

2
3 2
log ( 3 13) logx x x =
;
i)
2 2
3 3
log ( 1) log 2x x x x x+ + =
;
j)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
;
Bài 3. Giải các hệ phơng trình sau:
a)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y

x y
y x
+ =



+ =


;
b)
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y

+ = +




+ = +



c)
2 3
2 2
log ( ) log ( ) 1
3
x y x y
x y
+ + =


=

;
13
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
d)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y

= +


+ =



;
Một số bài luyện tập:
Bài 1: Cho phơng trình
0121loglog
2
3
2
3
=++
mxx
1) Giải phơng trình khi m=2.
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm
thuộc
[ ]
3
3;1
.
HD: m thuộc [0;2]
Bài 2:



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22

2
yx
yx
đs (4,4)
Bài 3:
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx
=++
HD: ĐK x>0 Và x 1
ĐS x=2 ,
332
=
x
.
Bài 4:
xxxx
3535
log.loglog.log
+=
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:

2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3( ) (1)
3 3 6 (2)
xy
xy
x y y x

=


+ = + +


DH: lôgarit hai vế phơng trình (1) theo cơ số 3.
Bài 6:
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn.
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra

1
3
1
3
2
=






+






yy
PP hàm số.
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x

=








+
HD: VP <= 1 với x >0 BBT.
VT >=1 Côsi trong loggrit
ĐS x =1.
Bài 8:





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22

24
452
1
23
ĐS (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc
[32, +)
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+
xmxx
HD: Đặt t =
2
log x
(t 5.)
2
0
1 3
1
3
m
m
t

m
t
>


<
+

=



Bài 10





=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy
HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm.
TH2:
2

1
y
x
=
thay vào (2) CM vô nghiệm
chia thành 2 miền y >1 và 0<y<1.
Các bài tập tự luyện:
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log
+=
















2)
( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+=
xxx
3)





=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y1 (1,1)(9,3)

4)





=+
=+
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
5)





=+
=
25
1)
1
(log)(log
22
4

4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)
6)
6)22(log).12(log
1
22
=++
+xx
. ĐS x=log
2
3.
7)
[ ]
1)69(loglog
3
=
x
x
8) Giải phơng trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx
+=++

9)





=
+=+
+
yx
xyyx
xyx 1
22
22
10)





=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4

yx
xy
yx
yx
14
¤n thi ®¹i häc cao ®¼ng 10 buæi cÊp tèc-S– ĐT: 0977467739
11) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh
( )
0loglog4
2
1
2
2
=+−
mxx

cã nghiÖm thuéc kho¶ng (0;1).
12) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+ −
+ −


− + + + + =


+ + + =


15
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739
Bài 6: Bất phơng trình và hệ bất phơng
trình mũ - lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ:
* Bất phơng trình mũ:
( ) ( )
1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
a f x g x
a a
a f x g x
> >

>

< < <

[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0

f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

>

>

[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

<

<

* Bất phơng trình logarit:
1: ( )
log ( )
0 1: 0 ( )
1: 0 ( )

log ( )
0 1: ( )
b
a
b
b
a
b
a f x a
f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a

> >
>

< < < <


> < <
<

< < >

1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1: 0 ( ) ( )
a a

a f x g x
f x g x
a f x g x
> > >

>

< < < <

( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x f x
g x h x
f x
f x g x h x
>
>



>

Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
2
5 6

1 1
;
3
3
x
x x
+
+
>

b)
2
2
(4 2 1) 1
x x
x x

+ + >
;
c)
9 3 2 3 9
x x x
+ >
;
d)
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0;
x x x
+


e)
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x

+


;
Ví dụ 2. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
1 5
5
log ( 6 8) 2log ( 4) 0x x x + + <
;
b)
9
log log (3 9) 1
x
x

<

;
c)

1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x
+
+
;
d)
2 2
4 2
log (2 3 2) 1 log (2 3 2)x x x x+ + + > + +
;
e)
2
6 6
log log
6 12
x x
x+
;
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm
3
2 3
2 2
1 3 0 (1)
1 1
log log ( 1) 1 (2)

2 3
x x k
x x

<


+


HD: ĐK x > 1.
Giải (2) 1< x 2.
BBT: f(x) = (x -1)
3
-3x. ĐS k > -5
Bài 2:
06log)1(log2log
2
4
1
2
1
++
xx
Bài 3:
1))279.((loglog
3

x
x

Bài 4:
[ ]
0)2(loglog
2
2
4
<+
xxx

Bài 5:
06log)52(log)1(
2
1
2
2
1
++++
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phơng trình bậc
2 ẩn t.
Chú ý so sánh 2 trờng hợp t
1
,

t
2

ĐS (0;2] v (x


4)
Bài 6: Giải bất phơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1
22

Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2.
Bài 7. Tìm m để phơng trình:
9 (2 1)6 .4 0 (1)
x x x
m m m + +
nghiệm đúng với mọi x [0; 1].
Bài 8: Giải bất phơng trình

0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1

>
+
++
x
xx
Bài 9: Giải bất phơng trình

2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
<
+
Bài 10. Giải bất phơng trình

3
3
1
29
2
2
2
2











xx
xx
Bài 11. Giải bất phơng trình:

2 1
2
1 1
9. 12
3 3
x x
+

+ >
ữ ữ

(1)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của
bất phơng trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)
Bài 12. Giải bất phơng trình:

2
lg( 6) 4 lg( 2)x x x x+ = + +
16
Ôn thi đại học cao đẳng 10 buổi cấp tốc-S T: 0977467739

Bài 7. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.
* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
( )
( )
1 ( 1) . !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2
n n
n
n

n n
n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n
y ax b y
ax b
n
y x y x
n
y x y x


+


= =
+ +

= + =
+

= = +
ữ



= = +
ữ

Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1 x
.
a) Tính y, y, y
b) Chứng minh rằng:
( )
1
!
(1 )
n
n
n
y
x
+
=

.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y =
2
2
1
x
x
; b) y =

2
2008
5 6
x
x x +
.
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất
đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b).
+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0, x
(a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có
điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x


>

.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x
với x > 0.
Có
2
1
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
= + = > >
+ +
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) =
sin 2x
x


với
(0; )
2
x


.

Có
2
cos sin
'( )
x x x
f x
x

=
.
Đặt g(x) = xcosx - sinx.
g(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x


g(x) là hàm NB
trên
(0; )
2

g(x) < g(0) với
(0; )
2
x


.
f(x) là hàm số NB trên

(0; )
2

f(x) > f(
2

) =
2

,
(0; )
2
x


.
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) e
x
> x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1 -
2
2
x
với x > 0; e) sinx x -
3
6
x

với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới
hạn.
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x




+ Bớc 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0
), f(x) và
f(x
0
).
+ Bớc 3: Kết luận
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng:
0
0
0 0
0
0

0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x



=


.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x

+

;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1x x+
thì giới hạn có
dạng:
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x



. Do đó:
3
0
1 1
lim '(0)
x
x x
f
x

+
=
.
17