BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
-----------------------------

ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH
CỦA DÀN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI
TÁC GIẢ : KS. NGUYỄN HOÀNG TÙNG

LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH

XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
KHÓA HỌC : 1999 – 2002
MÃ SỐ : 23. 04. 10

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : G.S PHAN NGỌC CHÂU
CHỦ NHIỆM NGÀNH :
T.S CHU QUỐC THẮNG

TP. HỒ CHÍ MINH
10/ 2002


Nội dung
Nội dung

Trang

CHƯƠNG 1 :

MỞ ĐẦU

1.1 Tổng quan

3

1.2 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

4

1.3 Các giả thiết của đề tài

5

CHƯƠNG 2 :

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

2.1 Trạng thái cân bằng và cân bằng ổn định của kết cấu

6

2.2 Điểm giới hạn và điểm phân nhánh

7

2.3 Hệ phương trình gia số của dàn


9

CHƯƠNG 3 :

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA DÀN

3.1 Phần tử dàn và các phương trình cơ bản

11

3.2 Phương trình cân bằng và phương trình gia số cho toàn dàn

16

3.2.1

Điều kiện liên tục

18

3.2.2

Điều kiện cân bằng

18

3.3 Điều kiện biên

22


3.4 Dạng phần tử dàn khi xét đến ổn định cục bộ

28

CHƯƠNG 4 :

THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CÂN BẰNG
VÀ TẢI TRỌNG TỚI HẠN

4.1 Phương pháp lặp của Newton (Phương pháp tiếp tuyến)

28

4.2 Phương pháp lặp của Newton-Riks

29

4.3 Hệ phương trình gia số

33

4.4 Hệ phương trình gia số mở rộng

35

4.5 Tính toán tải trọng tới hạn

37


4.5.1

Phương pháp nội suy

37

4.5.2

Phương pháp ngoại suy

38

Luận văn Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---1---

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Nội dung
4.6 Đường cân bằng sau phân nhánh

39

4.7 Mặt tới hạn trong không gian tải trọng

40

4.8 Thuật toán phân tích ổn định của dàn không gian đàn hồi


42

4.9 Sơ đồ khối thể hiện quá trình xác định đường cân bằng

44

CHƯƠNG 5 :

CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG

5.1 Ví dụ dàn ba thanh tổng quát

45

5.2 Dàn có kích thước cụ thể, điều khiển một chuyển vị

51

5.3 Dàn có kích thước cụ thể, điều khiển ba chuyển vị

54

5.4 Dàn bất kì có chiều cao thay đổi

56

5.5 Dàn đối xứng có chiều cao thay đổi

57


5.6 Ví dụ dàn có xét đến hiện tượng mất ổn định cục bộ

60

5.7 Ví dụ dàn chịu tải trọng nhiều thông số

63

5.8 Xét ổn định tổng thể của dàn 16 thanh

68

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

70

Phụ lục 1 - Hàm gần đúng xác định tải trọng tới hạn

71

Phụ lục 2 - Độ cứng chống uốn của thanh thay thế

73

Phụ lục 3 - Chương trình tính toán đường cân bằng

76

Tài liệu tham khảo


96

--------------------------------------------

Luận văn Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---2---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 1:Mở đầu

CHƯƠNG 1:

MỞ ĐẦU

1.1. TỔNG QUAN :
Sự phát triển của kết cấu dàn không gian không thể không kể đến những
đóng góp to lớn của kết cấu dàn phẳng từ thế kỷ XIX. Phạm vi nghiên cứu của
dàn phẳng bị giới hạn khi hệ kết cấu chịu lực trãi dài theo một phương. Tuy nhiên
khi vượt nhịp khá lớn, để đảm bảo vấn đề ổn định theo phương ngoài mặt phẳng
dàn, thì cần các hệ thanh chống theo phương dọc mà ta còn gọi là hệ giằng.
Điều này làm phát sinh kết cấu dàn không gian. Thực chất nó được hình thành từ
các dàn phẳng cùng hệ thanh giằng được bố trí theo hai phương tạo thành hệ kết
cấu không gian cùng tham gia chịu lực.
Như vậy, để đỡ các loại mái nhà vït nhịp lớn (theo hai phương), công
trình cần tổ chức không gian rộng thì ngoài việc duy trì các ưu điểm của dàn
phẳng, Dàn không gian là kết cấu duy nhất có nhiều ưu điểm như tiết kiệm vật
liệu, linh hoạt, hình dáng dễ cấu tạo phù hợp với yêu cầu kiến trúc, dễ tháo lắp

và vận chuyển. Bởi vậy nó chắc chắn được sẽ được dùng khá rộng rãi trong thực
tế hiện nay, đặc biệt trong xây dựng dân dụng và công nghiệp.
Theo định nghóa trong cơ học kết cấu thì dàn là một kết cấu rỗng gồm
nhiều thanh được liên kết khớp ở hai đầu. Vì vậy, khi chấp nhận một số giả thiết
đưa ra mà thực tế không sai biệt nhiều, thì về mặt lý thuyết trong các thanh dàn
chỉ có thành phần nội lực là lực dọc, nên người ta chế tạo các thanh dàn tương
đối mảnh, chiều dài lớn, nhẹ để tiết kiệm vật liệu và do đó trong một số trường
hợp tải trọng trong các thanh dàn chưa đạt đến giá trị phá hoại và đôi khi còn
nhỏ hơn giá trị cho phép về điều kiện bền, điều kiện cứng nhưng công trình vẫn
có thể mất khả năng bảo toàn dạng cân bằng ban đầu ở trạng thái biến dạng
của nó mà chuyển sang dạng cân bằng khác. Dạng cân bằng mới này sẽ gây ra
trong hệ thanh những ứng suất phụ và làm cho công trình bị phá hoại. Ta gọi
hiện tượng này là hiện tượng dàn bị phá hỏng do nguyên nhân mất ổn định cục
bộ hoặc tổng thể. Vì thế, vấn đề ổn định của kết cấu dàn vẫn còn đang được
quan tâm nghiên cứu về lý thuyết cũng như thực nghiệm.
Như vậy khi thiết kế, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng thì
chưa đủ để phán đoán khả năng làm việc của công trình.
Cho đến nay, theo quan điểm của Ơ-le cùng với những công trình cống
hiến của các nhà khoa học, đã có nhiều công trình nghiên cứu về các dạng bài
Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---3---

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 1:Mở đầu
toán ổn định và đáp ứng được các yêu cầu cơ bản của thực tế sản xuất trong lónh
vực kết cấu công trình và chiếm một địa vị độc tôn cho đến đầu thế kỷ XX.
Tuy nhiên chỉ dừng ở quan điểm trên thì không thể đánh giá đầy đủ đối với

các bài toán ổn định và còn tiếp tục lôi cuốn sự quan tâm của người làm công tác
nghiên cứu.
Để góp phần tìm hiểu việc tính toán loại dàn này, trong phạm vi đề tài, sẽ
nghiên cứu cách tính ổn định tổng thể của dàn.
Trong một số bài toán, ta đã biết rằng khi chịu lực tới hạn, độ võng của
thanh còn là một đại lượng chưa xác định. Điều đó nói lên rằng khi chịu lực tới
hạn, thanh có thể có độ võng nào đó, nhưng độ võng phải nhỏ. Ta đi đến kết
luận này dựa vào đặc tính của các phương trình vi phân mà một số tác giả đã áp
dụng. Nhưng phương trình này bắt nguồn từ những biểu thức gần đúng coi
d2y/dx2 là độ cong của thanh lúc mất ổn định [13]. Nếu dùng các biểu thức chính
xác của độ cong với quan niệm chuyển vị không còn bé nữa, thì chắc chắn sẽ
xác định được độ võng của thanh khi mất ổn định.
Cùng với sự phát triển của lý thuyết cũng như công cụ tính toán đã tạo
điều kiện thuận lợi để áp dụng lý thuyết chuyển vị không bé, giúp việc phân tích
kết cấu được chặt chẻ hơn.
Thật vậy, lý thuyết theo quan điểm chuyển vị không bé không chỉ dừng lại
ở việc khảo sát trạng thái tới hạn của kết cấu, mà còn xem xét đầy đủ mối quan
hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong suốt quá trình tăng và giảm tải trọng tác
dụng lên kết cấu bao gồm :
-

Xác định đường cong quan hệ giữa tải trọng với chuyển vị trước và sau
tới hạn.

-

Xác định trị số và đặc tính điểm tới hạn.

-


Xét đồng thời hiện tượng mất ổn định tổng thể và cục bộ của kết cấu.

Những công việc thuộc loại này gọi chung là phân tích phi tuyến ổn định
của kết cấu.
II. MỤC ĐÍCH VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI :
Trên cơ sở lý thuyết tổng quát về sự cân bằng và cân bằng ổn định của hệ
đàn hồi, sử dụng phương pháp năng lượng, đề tài thiết lập một thuật toán
chung cho việc phân tích phi tuyến ổn định của dàn không gian đàn hồi. Thuật

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---4---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 1:Mở đầu
toán dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn, mô tả kết cấu như một hệ gồm
một số bậc tự do hữu hạn.
Khác với mô hình dàn thông thường, đề tài có đưa vào một bậc tự do nội
của phần tử thanh nhằm kể đến ảnh hưởng độ cong của thanh khi biến dạng
hay gọi là hiện tượng mất ổn định cục bộ của các thanh riêng đến hiện tượng
mất ổn định tổng thể của dàn. Mục đích của việc mô tả phi tuyến là nghiên
cứu sự mất ổn định tổng thể của dàn.
Xuất phát từ thuật toán chung, đề tài sẽ đưa vào khảo sát một số dàn đơn
giản, có ý nghóa như là các mô hình phân tích các hiện tượng khi kết cấu mất
ổn định.
Đề tài sẽ cố gắng lưu ý đề cập đến tải trọng nhiều thông số, dự kiến xây
dựng các mặt tải trọng độc lập trong không gian tải trọng.
Giải hệ phương trình đại số bằng phương pháp lặp của Newton-Raphson

trong không gian chuyển vị – tải trọng.
III. CÁC GIẢ THIẾT ĐỀ TÀI :
-

Tải trọng bảo toàn dưới dạng lực tập trung tác dụng tại các mắt dàn.

-

Dàn không gian, chuyển vị- tải trọng nằm trong không gian Eu-Clic ba
chiều.

-

Vật liệu thanh là đồng nhất và tuân theo qui luật ứng xử đàn hồi tuyến
tính của định luật Hooke (tuyến tính về vật liệu) nhưng hệ có chuyển vị
không bé (phi tuyến về hình học).

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---5---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 2:Các phương trình cơ bản

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN


2.1. TRẠNG THÁI CÂN BẰNG VÀ CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH CỦA KẾT CẤU :
Kết cấu được coi là hệ cơ học gồm n bậc tự do mà trạng thái biến dạng
được mô tả bằng véc-tơ chuyển vị tổng quát gồm n thành phần:

q = {q1 , q2 ,.....qn } ∈ Rn

(2-1)

Bên cạnh các biến hình học trong không gian chuyển vị Rn ta để ý đến
các thông số độc lập λj của tải trọng trong không gian tải trọng:

λ = {λ1 , λ 2 ,.....λ m } ∈ Rm

(2-2)

Trường hợp đơn giản nhất là khi tải trọng có một thông số (khi các trạng
thái tải trọng được xác định bằng một nhân tử vô hướng λ):
P = λ P ∈ Rn

{

(2-3)

}

Ở đây P = P1 , P2 ,...Pn : gọi là véc-tơ dẫn của tải trọng. Ứng với mội bộ
giá trị P i ; (i=1,2,..,n) ta được trường hợp cụ thể của tải trọng một thông số.
Trong nghiên cứu lý thuyết cũng như khi lập thuật toán, ta có thể coi các
thông số chuyển vị và tải trọng có vai trò toán học như nhau và đưa vào các vectơ chuyển vị-tải trọng tổng quát:


~
q = {q, λ} ∈ Rn+m

(2-5)

Trường hợp tải trọng một thông số, không gian chuyển vị-tải trọng sẽ là :

~
q = {q1, q2 ,...qn , λ} ∈ Rn+1

(2-6)

Gọi Π là thế năng toàn phần của hệ, ta có thể viết:
Π=U–W
trong đó :

(2-7)

U - thế năng biến dạng đàn hồi của hệ kết cấu
W – Công của ngoại lực

Với một giá trị tải trọng xác định, thế năng của hệ là hàm của các chuyển
vị :

Π = Π (q1 , q2 ,...qn )

(2-8)

Nếu hàm chuyển vị Π thỏa điều kiện biên và hàm Π đạt giá trị dừng sẽ
chính là trường chuyển vị thực làm thỏa mãn các phương trình cân bằng. Tức là

từ điều kiện cực trị của thế năng, ta có hệ gồm n phương trình cân bằng tại các
điểm nút :
Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---6---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 2:Các phương trình cơ bản
Πi =

∂Π
=0 ; (i=1,2,...n)
∂qi

(2-9)

Bây giờ, nhằm khảo sát về mặt ổn định, ta xác định định thức ổn định:
D= Dij

(2-10)

∂ 2Π
Với Dij =
∂qi∂qj

(i,j =1,2,...n)

Theo lý thuuyết chung về ổn định [6], điều kiện để cho kết cấu nằm trong

các trạng thái cân bằng ổn định, không ổn định và tới hạn lần lượt là :
D > 0 : cân bằng ổn định

(a)

D < 0 : cân bằng không ổn định

(b)

D = 0 : cân bằng tới hạn

(c)

(2-11)

Điều kiện (2-11-c) được gọi là tiêu chuẩn tónh của trạng thái tới hạn của hệ
kết cấu.
Khi thông số tải là một biến liên tục thì nghiệm của phương trình (2-9) xác
định một dãy các trạng thái cân bằng, ta gọi nó là đường cân bằng. Trường hợp
tải trọng nhiều thông số, hệ phương trình cân bằng sẽ được mở rộng và nghiệm
của nó xác định một mặt cân bằng trong không gian chuyển vị - tải trọng.
2.2. ĐIỂM GIỚI HẠN – ĐIỂM PHÂN NHÁNH :
Như trong lý thuyết chung, ta biết có 2 dạng mất ổn định liên quan đến
các khái niệm: điểm giới hạn và điểm phân nhánh của trạng thái tới hạn (hình
2.1).
λ

λ*

λ


λ*

G
Đường cân bằng

a)

Hình 2.1

B
Đường cân bằng

q

b)

q

a) Điểm tới hạn kiểu giới hạn (điểm G)
b) Điểm tới hạn kiểu phân nhánh (điểm B).

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---7---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 2:Các phương trình cơ bản


Đặc trưng của điểm giới hạn là các trạng thái cân bằng ở lận cận nó không
xuất hiện đối với các trị số tải trọng lớn hơn trị số tải trọng tới hạn.
Ngược lại, ở lân cận điểm phân nhánh vẫn có trạng thái cân bằng ứng với
trị số tải trọng vượt qua trị số tải trọng tới hạn. Sự khác nhau giữa điểm giới hạn
và điểm phân nhánh có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
-

Nếu trạng thái cân bằng (q,λ) xác định bằng một thông số s dọc theo
đường cân bằng:
qi = qi(s) ; (i=1,2...,n)

(2-12)

λ =λ(s)
thì ta có thể lấy đạo hàm phương trình cân bằng (2-9) đối với thông số s:

d
{Π i (q, λ )} = ∑ Π i,jq j + ∂Π i λ = 0 ; (i=1,2,...,n)
ds
∂λ

(2-13)

∂Π i 
∂qj 

∂qj 
q j =


∂s 
∂λ 
λ =
∂s 


(2-14)

ở đây :

Π i,j =

Từ (2-13) ta có :

 j = dj(s) . λ (s)
D(s). q

(2-15)

ở đây :
D(s) là giá trị định thức D ứng với thông số s của trạng thái cân
bằng đang xét.
Dj =

∂D ∂Π j 
.
λ
∂Π i,j ∂λ

Giả sử tại trị số s = s* xuất hiện trạng thái tới hạn, phương trình (2-15) có

dạng:
0 = dj(s*) . λ (s*)

(2-16)

Từ (2-15) và (2-16) ta có thể biểu diễn điều kiện xuất hiện điểm giới hạn
và điểm phân nhánh như sau:

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---8---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 2:Các phương trình cơ bản
-

Tại điểm giới hạn ta có:
D = 0 và dj ≠ 0 ;

-

(2-17)

Tại điểm phân nhánh:
D = 0 và dj = 0 ;

(2-18)


2.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIA SỐ:
Giả thiết tải trọng tác dụng tại các mắt dàn, biểu thức thế năng (2-7) có
thể viết :
N

N

e=1

i=1

Π = ∑ u(e) − ∑ Pi qi
ở đây :

(2-19)

u(e) – thế năng biến dạng của phần tử thứ e.
N- số phần tử thanh của dàn.

Biểu thức (2-9) bây giờ viết thaønh:

Πi =

∂U
− Pi = 0 ;
∂qi

(i=1,2,...,n)

(2-20)


(i=1,2,...,n)

(2-21)

hay :

fi(q) – Pi = 0 ;

Trong chương tiếp theo, khi khai triển cụ thể hệ (2-21), ta sẽ thấy hệ này
có đặc tính phi tuyến đối với các chuyển vị qi. Vì vậy, trong tính toán, thay vì giải
hệ phương trình phi tuyến đối với các chyển vị qi, ta sẽ sử dụng hệ phương trình
gia số, tuyến tính đối với các số gia ∆qi của chuyển vị.
Giả sử tại điểm đã biết, tồn tại véc-tơ chuyển vị – tải trọng tổng quát:

~
q = {q1 , q2 ,...qn , λ} ∈ Rn+m
Khai trieån Taylor vế trái của (2-21) ở lân cận điểm đó như sau:

Π i (~
q + ∆~
q) = Π i (~
q) + Π iα (~
q)∆qα + Π iαβ (~
q)∆qα ∆qβ + ...

(2-22)

Neáu chỉ giữ lại các số hạng tuyến tính đối với ∆qα và giả thiết tại vị trí đó có


~

~

véc-tơ chuyển vị – tải trọng tổng quát q + ∆q , hệ cũng nằm trong trạng thái cân
bằng, ta có thể viết (2-21) dưới dạng:

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---9---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 2:Các phương trình cơ bản

Π i (~
q) + Π iα (~
q)∆qα = 0

(2-23)

ở đây : i = 1,2,...,n ; α,β = 1,2,...,n,n+1 (hệ chịu tải trọng theo một thông
số).
Để ý đến (2-21), ta có thể viết (2-23) dưới dạng :

Ui, j (q)∆qj +

∂Π i
∆λ + fi (q) − Pi = 0

∂λ

hay:

Ui, j (q)∆qj + ∆Pi + fi (q) − Pi = 0

(2-24)

Cho i,j =1,2,...,n, ta có hệ phng trình dưới dạng ma trận:
K.∆q + f = P - ∆P

(2-25)

Hệ (2-25) gọi là hệ phương trình cân bằng gia số.
Bỏ qua các thành phần phi tuyến đối ∆qα trong (2-22), hệ phương trình (225) thực chất biểu diễn một quá trình lặp, trong đó véc-tơ q sẽ được điều chỉnh
dần bằng các thành phần ∆q giải được trong từng bước lặp. Quá trình này sẽ
được làm rõ ở phần sau khi nói về giải hệ phương trình đại số phi tuyến bằng
phương pháp lặp của Newton-Raphson.

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---10---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

CHƯƠNG 3


SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA DÀN

3.1. PHẦN TỬ DÀN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN :
-

Giả sử dàn được cấu tạo từ N thanh : e=1,2,...,N.

-

Mỗi thanh có tiết diện không đổi trong suốt chiều dài thanh kí hiệu là Ae.
Môđun đàn hồi của vật liệu là Ee .

-

Ở trạng thái ban đầu thanh thẳng có chiều dài l0 (chiều dài ban đầu của thanh
giữa 2 mắt i và j)

-

Sau khi chịu lực thanh bị biến dạng với chiều dài là l .

-

Gọi ui , vi , wi , uj , vj , wj lần lượt là các chuyển vị của đầu thanh i và j trong hệ
tọa độ tổng thể Descartes 3 chiều Oxyz (hình 3.1).
Z

le


Y

wj

j
l0e

wi
zj
zi

vj

i

yj
vi

yi

uj
ui

xi

O

X

xj


Hình 3-1- Phần tử e của dàn không gian
Các thông số của thanh được mô tả thông qua các toạ độ mắt dàn như sau:

l0 =

cx =

(x j − xi )2 + (y j − yi )2 + (z j − zi )2
x j − xi
l0

; cy =

y j − yi

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

l0

; cz =

---11---

(3-1)

z j − zi
l0

;


Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
cx, cy, cz : là các cosin chỉ phương của đường thẳng nối ij trong hệ tọa độ
kết cấu.
Để ngắn gọn khi miêu tả, ta bỏ chỉ số e (kí hiệu phần tử) và các thành
phần véc-tơ chuyển vị nút của phần tử được viết như sau:
q={ui ,vi ,wi ,uj ,vj ,wj} ≡ {q1 ,q2 ,q3 ,q4 ,q5 ,q6}

(3-2)

Biến dạng tỉ đối của phần tử được xác định theo lý thuyết biến dạng nhỏ:

ε=
ở ñaây :

l − l0
l0

[

(3-3)

l= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
2

2


2

]

1
2

(3-4)

Theá năng biến dạng đàn hồi của phần tử thanh lúc này là:

1
2

u= EAl0 ε 2 =

EA
(l − l0 )2
2l0

(3-5)

Từ (3-4) và (3-5) ta tính được các đạo hàm:

∂u EA
(l − l0 ) ∂l
=
∂qi
l0
∂qi


(i=1,2,...,n)

(3-6)

cụ thể là hệ phương trình (3-7) sau:

[

]

[
[
[

] [− 2(l c
] [− 2(l c
] [+ 2(l c

[
[

] [
]

∂l
1
2
2
2

= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q 2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
∂q1 2

∂l
1
2
2
2
= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
∂q2 2
∂l
1
2
2
2
= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
∂q3 2
∂l
1
2
2
2
= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
∂q4 2

−1
2

[− 2(l0 c x + q4 − q1 )]


−1
2

−1
2

−1
2

]

0

y

+ q5 − q 2 )

0

z

+ q6 − q3 )]

0

x

+ q4 − q1 )]

1

∂l
1
2
2
2 − 2
= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q 2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
+ 2(l0 c y + q5 − q 2 )
∂q5 2
1
∂l
1
2
2
2 − 2
[+ 2(l0 c z + q6 − q3 )]
= (l0 c x + q4 − q1 ) + (l0 c y + q5 − q2 ) + (l0 c z + q6 − q3 )
∂q6 2

]

Để đơn giản ta đưa vào kí hiệu:

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---12---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH


q41 = l0 c x + q4 − q1 

q52 = l0 c y + q5 − q2 

q63 = l0 c z + q6 − q3 

(3-8)

Các biểu thức (3-4) và (3-6) có thể viết lại thành:

(

2
2
l = q241 + q52
+ q63

)

1
2

(3-9)


 1 1
∂u
= −EA − q41 = P1 
∂q1

 l0 l 


 1 1
∂u
= −EA − q52 = P2 

∂q2
 l0 l 

 1 1
∂u

= −EA − q63 = P3 
∂q3

 l0 l 

 1 1
∂u
= EA − q41 = P4 
∂q4
 l0 l 


 1 1
∂u
= EA − q52 = P5 
∂q5
 l0 l 



 1 1
∂u
= EA − q63 = P6 

∂q6
 l0 l 

(3-10)

Ta nhận thấy:
P1 = -P4 ; P2 = -P5 ; P3 = -P6 ;

(3-11)

Véc-tơ P={P1,P2, P3, P4, P5, P6} là véc tơ lực nút của phần tử e.
Biểu thức (3-10) là cơ sở dùng để thiết lập hệ phương trình cân bằng (221). Khi thiết lập cần lưu ý sắp xếp để có sự tương ứng giữa chỉ số chuyển vị
tổng quát trong hệ tọa độ chung và chỉ số đó trong hệ tọa độ địa phương của
từng phần tử. Thao tác này sẽ được minh họa trong một ví dụ trình bày sau này.
Để lập được thuật toán, ngoài việc xác định hệ phương trình cân bằng (221), ta còn phải xác định biểu thức tính toán của hệ phương trình cân bằng gia
số (2-25) mà thực chất là xác định các phần tử của ma trận K cho toàn hệ. Muốn
vậy, ta phải đi từ việc xác định các ma trận k(e) của từng phần tử e trong dàn
(ma trận có kích thước 6x6) :
Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---13---

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD



Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

k11
k
 21
k 31
k(e)= 
k 41
k 51

k 61

k12

k 22
k 32
k 42
k 52

k 62

k13

k14

k15

k 23 k 24


k 25

k 33 k 34
k 43 k 44
k 53

k 63

k16 
k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

k 35
k 45

k 54

k 55

k 64

k 65

(3-12)


Hay :

 ∂ 2u

2
 ∂q1
 ∂ 2u

 ∂q2 ∂q1
 ∂ 2u

∂q ∂q
k(e)=  32 1
 ∂ u

 ∂q4 ∂q1
 ∂ 2u

 ∂q5 ∂q1
 ∂ 2u

 ∂q6 ∂q1

∂ 2u
∂q1∂q2
∂ 2u

∂q22
∂ 2u
∂q3∂q2


∂ 2u
∂q4 ∂q2
∂ 2u
∂q5 ∂q2

∂ 2u
∂q6 ∂q2

∂ 2u
∂q1∂q3

∂ 2u
∂q1∂q4

∂ 2u
∂q1∂q5

∂ 2u
∂q2 ∂q3

∂ 2u
∂q2 ∂q4

∂ 2u
∂q2 ∂q5

∂q32
∂ 2u
∂q4 ∂q3


∂ 2u

∂ 2u
∂q4 ∂q5

∂ 2u

∂ 2u
∂q5 ∂q3

∂ 2u
∂q6 ∂q3

∂ 2u
∂q3∂q4

∂ 2u
∂q3∂q5

∂q24
∂ 2u
∂q5 ∂q4

∂ 2u

∂q52
∂ 2u
∂q6 ∂q5


∂ 2u
∂q6 ∂q4

∂ 2u 

∂q1∂q6 
∂ 2u 

∂q2 ∂q6 
∂ 2u 

∂q3∂q6 
∂ 2u 

∂q4 ∂q6 
∂ 2u 

∂q5 ∂q6 
∂ 2u 

∂q62 

Từ (3-8), (3-9), (3-10) ta có thể xác định được biểu thức tính toán của các
phần tử kij của ma trận k(e) như sau:

k11 =

∂ 2u
∂q12


=

∂P1
∂q1

(

)

= EA l−3q241 − l−1 + l0−1 ;

k12 =

∂P
∂ 2u
= 1 = EAl-3q41q52 =k21 ;
∂q1∂q2 ∂q2

k13 =

∂P
∂ 2u
= 1 = EAl-3q41q63 =k31 ;
∂q1∂q3 ∂q3

k14 =

∂P
∂ 2u
= 1 =- EA l−3q241 − l−1 + l0−1 = k41 ;

∂q1∂q4 ∂q4

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

(

)

---14---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

∂P
∂ 2u
k15 =
= 1 = -EAl-3q41q52 = k51 ;
∂q1∂q5 ∂q5
k16 =

k22 =

∂P
∂ 2u
= 1 =-EAl-3q41q63 = k61 ;
∂q1∂q6 ∂q6

∂ 2u

∂q22

=

∂P2
∂q2

(

)

2
= EA l−3 q52
− l−1 + l0−1 ;

∂P
∂ 2u
k23 =
= 2 = EAl-3q52q63 =k32 ;
∂q2 ∂q3 ∂q3
∂P
∂ 2u
k24 =
= 2 = -EAl-3q52q41 =k42 ;
∂q2 ∂q4 ∂q4

(

)


∂P
∂ 2u
2
k25 =
= 2 =- EA l−3q52
− l−1 + l0−1 = k52 ;
∂q2 ∂q5 ∂q5
∂P
∂ 2u
k26 =
= 2 =-EAl-3q52q63 = k62 ;
∂q2 ∂q6 ∂q6
k33 =

∂ 2u
∂q32

=

∂P3
∂q3

(

)

2
= EA l−3 q63
− l−1 + l0−1 ;


∂P
∂ 2u
k34 =
= 3 = -EAl-3q63q41 = k43 ;
∂q3∂q4 ∂q4
∂P
∂ 2u
k35 =
= 3 = -EAl-3q63q52 = k53 ;
∂q3∂q5 ∂q5

(

)

(

)

∂P
∂ 2u
2
k36 =
= 3 =- EA l−3q63
− l−1 + l0−1 = k63 ;
∂q3∂q6 ∂q6
k44 =

∂ 2u
∂q24


=

∂P4
∂q4

= EA l−3q241 − l−1 + l0−1 = k11 ;

k45 =

∂P
∂ 2u
= 4 = EAl-3q41q52 = k54 = k12 = k21 ;
∂q4 ∂q5 ∂q5

k46 =

∂P
∂ 2u
= 4 = EAl-3q41q63 = = k64 =k13 = k31 ;
∂q4 ∂q6 ∂q6

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---15---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

k55 =

∂ 2u
∂q52

=

∂P5
∂q5

(

)

2
= EA l−3 q52
− l−1 + l0−1 = k22 ;

∂P
∂ 2u
k56 =
= 5 = EAl-3q52q63 = k65 = k23 = k32 ;
∂q5 ∂q6 ∂q6
k66 =

∂ 2u
∂q62

=


∂P6
∂q6

(

)

2
= EA l−3 q63
− l−1 + l0−1 = k33 ;

Các thông số k11,k12,...,k66 vừa nêu trên ta gọi chung là (3-13)

3.2. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH GIA SỐ CHO HỆ
PHẦN TỬ DÀN:
Ở mục trên ta đã thiết lập các biểu thức (3-10) và (3-13) xác định các đạo
hàm

∂u
∂ 2u
và
;(i , j =1, 2,...,6) cho một phần tử dàn. Vấn đề là phải tổ hợp
∂qi
∂qi∂qj

được các đại lượng tính toán đó vào hệ thống chung của cả dàn để khảo sát. Khi
đó ta phải đánh số các chuyển vị tổng quát theo một qui định thống nhất chung
cho toàn hệ. Sau đây là phần ví dụ minh họa cho khâu này.
Cho dàn gồm 16 phần tử (16 thanh), các thanh có kí hiệu lần lượt theo
kiểu tự la mã là: I, II, III,IV, .....,XVI (hình 3-2).

XVI
IX

XIII

XI

XV
IV

III
V

VIII

X

VI

XII

I

XIV

VII

II

Hình 3-2 : sơ đồ dàn 8 nút , 16 phần tử


Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---16---

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
Trong hệ tọa độ chung Oxyz, các chuyển vị tổng quát và các thành phần
ngoại lực tương ứng tại các mắt dàn được kí hiệu dưới dạng véc-tơ như sau (hình
3-3):
q={q1, q2,..., q24}T ;
P={P1, P2,..., P24}T

(3-15)

P19
IX

P10
P11

VIII

P1

P20 P21

P15


VI

P16

IV

P14
X

XV

P23 P24

P13

III

XII

P17

XIV

VII

P18

P7


P4

I

P2

XIII

XI

P12

V

P22

XVI

II

P5

P3

P8
P9

P6
Hình 3-3.a : sơ đồ các thành phần ngoại lực nút


q21

q24

q20
q19

q12

q11

q10

q3 q
2

q1

q15

XIII
q14

VI
X
q6 q5
I

XIV
q9

II

q17
q16

IV

XII

q4

q18

XV

q13

III

VIII

V

q22

XVI
XI

IX


q23

VII
q8

q7

Hình 3-3.b : sơ đồ các thành phần chuyển vị nút tương ứng

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---17---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
Để đảm bảo tổ hợp đúng, các điều kiện sau đây phải được thỏa mãn:
3.2.1 Điều kiện liên tục:
Thành phần chuyển vị tổng quát có cùng số hiệu thuộc về các đầu
thanh cùng qui tụ vào một mắt phải có giá trị như nhau. Chẳng hạn, đối
với phần tử VIII, thay cho các kí hiệu chuyển vị q1, q2, q3, q4, q5, q6 tại
đầu và cuối cho từng phần tử riêng lẻ như trên hình 3-1, bây giờ ta thay
kí hiệu là q1, q2, q3, q19, q20, q21 trong hệ tọa độ chung như trên hình 33.b. động tác này nhằm chuẩn hóa lại việc xác định bậc tự do cho từng
phần tử trong hệ toạ độ chung.
3.2.2 Điều kiện cân bằng:
Tổng các lực tác dụng lên các phần tử tại các mắt chung của chúng
phải bằng ngoại lực tác dụng lên chính mắt đó. Ví dụ đối với mắt số 7
phía trên của dàn, ta có:
VIII

IX
X
XI
XVI
+ P19
+ P19
+ P19
+ P19
= P19 
P19

VIII
IX
X
XI
XVI
+ P20
+ P20
+ P20
+ P20
= P20 
P20

VIII
IX
X
XI
XVI
+ P21
+ P21

+ P21
+ P21
= P21 
P21

(3-15)

Các thành phần ở vế trái của (3-15) được xác định theo (3-10) cho từng
phần tử riêng lẻ. Để viết cho tất cả các mắt của dàn, ta sẽ quay về phương trình
(2-21). Lúc đó, vế trái của (3-15) biểu diễn các thành phần fi(q) còn vế phải biểu
diễn các thành phần ngoại lực Pi trong phương trình (2-21).
Tương tự, để có ma trận độ cứng K cho toàn hệ, ta tập hợp các ma trận độ
cứng (3-12) của từng phần tử, mỗi phần tử của ma trận K phải là tổng các phần
tử tương ứng của ma trận k(e). Để tập hợp cho đúng, ta phải kí hiệu lại các phần
tử của các ma trận cho từng phần tử theo chỉ số của các chuyển vị trong hệ toạ
độ chung.

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---18---

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
q12

q10

V


P10

q12

q11
V

III

P10

P11 P12
V

q11
III

q15

III

q10

q13

III

P13


P11 P12
III

q15

q14
III

VI

P13

P14 P15
III

V
q3

q3

P3

2

q1

V

VI


q13

P14 P15
VI

VI

q2

V

q14

P1

q2

I

P3

I

P2

q1

I

P4


q14

I

P6

I

IV
IV

q13

P4

q17

VI

P6

VI

q4

VI

q18


IV

q16

IV

q17

VII

P16

P17 P18
IV

q5

P5

IV

P16

P14 P15
IV

q4

I


q18

IV

q6

q5

P5

q15

P13

q6

I

VII

q16

P17 P18
VII

VII
q6

P4


q5

II

P6

II

P5

II

q4

P7

q20

IX

q11

q12
IX

P10

IX

P11


IX

IX

IX

q10

P12

P1

VIII
VIII

P2

P3

XIII

P14

q24

P24

XII


P22

XII

P15

P4

XII
XII

P5

q22

P6

XII

P6

q9

P7

XIV
XIV

P8


P9

XI

P14

XI

q13

P15

q23
q22

XV

P23 P24

XIV

q4

X

P22

XIV

q14


q4

q24

q22

XIV

P13

q5

X
X

q15
XI

q6

q23

XIV

P22

XI

XI

P20 P21

q5

q6

XIII

XII

P23 P24
XII

q24

q19

XI

P19

X
P20 P21

q23

q20

XI


X

q23
q22

XIII

q13

XIII

P13

q19
X

P4

XIII

P23

q21

P5

XIII

XIII


q22

XVI

q20

X

VIII

P22
q14

P20 P21

q7

P23 P24

P19

q1

q24

q15

q19

VIII


VIII

P9

VII

q23

XVI

q21

q20

VIII

q2

q3

VII

XVI

VIII

P19

VII


q24

P22

q21

q19

P7

q8

P8

P20 P21

P20 P21
IX

q7

XVI

XVI

q20

P19


II

XVI

q19

XVI

q21

P9

II

q9

q8

II

P8

q21

P19

q9

II


XV

P23 P24
XV

XV

q18

q17

XV

q8

P16

XV

P17

XV

q16

P18

q7

XIV


Hình 3.4. : sơ đồ phân tích các thành phần chuyển vị
và lực nút tương ứng trong hệ tọa độ chung

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---19---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
1

2

3

4

5

k 12

k 13

k 14

k 15


6

k 11

k 21
k
k(I)=  31
k 41
k 51

k 61

k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 24
k 34
k 44
k 54
k 64


k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

10

11

12

13

14

15

k 11


k 21
k
k(III)=  31
k 41
k 51

k 61

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15

k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

2

3

1

k11
k
 21
k
k(V)=  31
k 41
k 51


k 61
7
k 11

k 21
k
k(VII)=  31
k 41
k 51

k 61

10
k 11

k 21
k
k(IX)=  31
k 41
k 51

k 61

k12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62


10

11

12

k13 k14
k 23 k 24
k 33 k 34
k 43 k 44
k 53 k 54
k 63 k 64

k15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k16 
k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

8


9

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65


11

12

19

20

21

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55

k 65

k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

16

17

4
1
2
3
4
5
6


10
11
12
13
14
15

6

7

8

9

k 12

k 13

k 14

k 15

k 11

k 21
k
k(II)=  31
k 41

k 51

k 61

k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k 16 


k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

13

14

15

16

17

18

k 11

k 21
k
k(IV)=  31
k 41
k 51

k 61


k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k 16 


k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

5

6

13

14

15

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53

k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

2

3

19

20

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62


k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

5

6

19

20


k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

4


1
2
3
10
11
12

k 11

k 21
k
k(VI)=  31
k 41
k 51

k 61

18

1

k 16  7

k 26  8
k 36  9

k 46  16
k 56  17

k 66  18


Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

5

k 11

k 21
k
k(VIII)=  31
k 41
k 51

k 61

4
10
11
12
19
20
21

k 11

k 21
k
k(X)=  31
k 41
k 51


k 61

---20---

4
5
6
7
8
9

13
14
15
16
17
18

k 16  4

k 26  5
k 36  6

k 46  13
k 56  14

k 66  15

21

k 16  1

k 26  2
k 36  3

k 46  19
k 56  20

k 66  21

21
k 16  4

k 26  5
k 36  6

k 46  19
k 56  20

k 66  21

Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
13
k 11

k 21
k

k(XI)=  31
k 41
k 51

k 61

14

15

19

20

21

k 12

k 13

k 14

k 15

k 22

k 23

k 24


k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

13

14

15

22

23

24

k 11


k 21
k
k(XIII)=  31
k 41
k 51

k 61

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15

k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

16

17

18

22

23

k 11

k 21
k
k(XV)=  31
k 41
k 51

k 61

k 12
k 22
k 32
k 42

k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 32
k 42
k 52
k 62

k 33
k 43
k 53
k 63

k 34
k 44
k 54

k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

13
14
15
19
20
21

4

5

6

22

k 11

k 21
k
k(XII)=  31
k 41

k 51

k 61

k 12

k 13

k 14

k 23

8

9

22

23

k 11

k 21
k
k(XIV)=  31
k 41
k 51

k 61


k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

19


20

k 11

k 21
k
k(XVI)=  31
k 41
k 51

k 61

k 12
k 22
k 32
k 42
k 52
k 62

7

k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 


13
14
15
22
23
24

24
k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

16
17
18
22
23
24

k 33
k 43
k 53
k 63


21
k 13
k 23
k 33
k 43
k 53
k 63

k 34
k 44
k 54
k 64

22
k 14
k 24
k 34
k 44
k 54
k 64

24

k 15

k 22
k 32
k 42
k 52

k 62

k 24

23

k 16  4

k 26  5
k 36  6

k 46  22
k 56  23

k 66  24

k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

24
k 16  7

k 26  8
k 36  9

k 46  22
k 56  23


k 66  24

23
k 15
k 25
k 35
k 45
k 55
k 65

24
k 16 

k 26 
k 36 

k 46 
k 56 

k 66 

19
20
21
22
23
24

Khi đã viết hết cho các thanh của dàn thì phần tử Kij (i,j=1,2...,24) của ma

trận K sẽ bằng tổng các phần tử kij của các ma trận k(e). Thực hiện phép tập
hợp. Ta được ma trận K có kích thước (24x24) như sau:
1

2

 K1,1 K1,2
K
 2,1 K 2,2
 .
.
K= 
.
 .
K 23,1 K 23,2

K 24,1 K 24,2

...

.
.
.
.
.
.

23

24


. K1,23
K1,24  1
. K 2,23 K 2,24  2
.
.
.  .

.
.
.  .
. K 23,23 K 23,24  23

. K 24,23 K 24,24  24

(3-17)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy các phần tử của K được tính như sau:
I
V
VIII
I
V
VIII
K1,1 = kI1,1 + k1V,1 + k1VIII
,1 ; K1,2 = k 1,2 + k 1,2 + k 1,2 ; K1,3 = k 1,3 + k 1,3 + k 1,3

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---21---


Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

K1,4 = kI1,4 ; K1,5 = k1I ,5 ; K1,6 = k1I ,6 ;
......
XIII
XIV
XV
XVI
K 24,24 = k XII
24,24 + k 24,24 + k 24,24 + k 24,24 + k 24,24

3.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN :
Tại một số mắt dàn, các thành phần chuyển vị đã đïc xác định: hoặc
bằng 0 (tại gối tựa) hoặc bằng một trị số cụ thể khác 0 (tại mắt có chuyển vị
cưỡng bức). Các bậc tự do tương ứng với các chuyển vị như thế gọi là: bậc tự do
không di động (hay bậc tự do không đổi ). Các bậc tự do còn lại gọi là bậc tự do
động.
Giả sử dàn kê lên các gối tựa tại nút 1,3,4,6. Vậy các bậc tự do không di
động của dàn là: 1,2,3,7,8,9,10,11,12,16,17,18.
Mặt khác, các thành phần ngoại lực mà giá trị đã đựơc biết trước là :
P4=P5=P6= P13= P14= P15= P19= P20 =P22= P23=;P21 =P24=-P

(3-18)

Rõ ràng trong ví dụ này chỉ còn tồn tại các phương trình cân bằng ứng với
các bậc tự do động 4,5,6,13,14,15,19,20,21,22,23,24.

Ma trận độ cứng K do đó chỉ còn lại các phần tử có chỉ số tương ứng với
các bậc tự do động, có kích thước (12x12):

[ ]

K = Ki,j ;

(i,j=4,5,6,13,14,15,19,20,21,22,23,24)

(3-19)

3.4 DẠNG PHẦN TỬ DÀN KHI XÉT ĐẾN ỔN ĐỊNH CỤC BỘ CỦA THANH:
Ở các mục trên, nhằm khảo sát ổn định tổng thể của dàn, khi thiết lập các
phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, ta đã chọn phần tử
thanh luôn có dạng thẳng trong quá trình biến dạng.
Bây giờ, để cho việc phân tích ổn định kết cấu được sát thực tế hơn, ta tìm
cách khảo sát hiện tượng mất ổn định cục bộ của các thanh dàn trong quá trình
phân tích ổn định chung của kết cấu.
Để đơn giản khi lập thuật toán nhưng vẫn giữ được độ chính xác cần thiết,
ta sơ đồ hoá phần tử thanh của dàn thành phần tử gồm hai thanh thẳng độ cứng
EA và có tổng chiều dài bằng chiều dài thanh ban đầu (hình 3.5). Ta gọi dạng
phần tử kiểu mới này là: phần tử thanh thay thế.

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---22---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD



Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH
z

K
b/2

EA

β
wi

wj

α
β0

y

β0

vi

2

l0

α0

vj


uj

ui

O

l

x

Hình 3-5. Phần tử thanh thay thế ở trạng thái trước và sau khi biến dạng
Hai đoạn thanh phần tử thay thế được coi là cứng tuyệt đối đối với uốn, nối
với nhau bằng một khớp đàn hồi có độ cứng chống xoay là k. Độ cứng k của
khớp đàn hồi được xác định trên cơ sở sao cho khi mất ổn định dạng nén đúng
tâm, lực tác dụng lên thanh thực và lên phần tử thay thế phải như nhau đồng thời
chuyển vị tương đối giữa hai đầu của thanh thẳng và của phần tử thay thế theo
phương ban đầu của thanh cũng phải như nhau. Nội dung tính toán cụ thể độ
cứng k được trình bày trong phụ lục 2.
Trước hết ta tìm cách lập các phương trình cơ bản cho phần tử thanh thay
thế. Giả sử ở các trạng thái trước và sau biến dạng, phần tử thanh thay thế có
các kích thước như trên hình 3-6.
Các thông số hình học ban đầu của phần tử là:

l0 =

cx =

(x j − xi )2 + (y j − yi )2 + (z j − zi )2
x j − xi
l0


; cy =

y j − yi
l0

; cz =

z j − zi
l0

;

(3-20)

β0
Véc-tơ chuyển vị tổng quát của phần tử lúc này gồm 7 thành phần:

{

}

q= ui , vi , wi , ( β − β 0 ).uj , v j , w j = {q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 , q7 }

(3-21)

q4= β − β 0

ở đây:


Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử thanh lúc này là:
q4

u= EAb0 ε 2 + 2 ∫ k( q4 )q4 d q4

1
2

0

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---23---

(3-22)
Cao Học Khóa 10-Ngaønh XDDD


Chương 3:Phân tích dàn bằng PP PTHH

0 ≤ q4 ≤ q4

ở đây:

ε=

b − b0
b0

(3-23)


l


cos(q4 + β 0 ) 

l0

b0 =

cos β 0
b=

[

(3-24)

(

l= (l0 c x + q5 − q1 ) + l0 c y + q6 − q2
2

) + (l c
2

0

z + q7 − q3 )

2


]

1

2

(3-25)

Để đơn giản ta đưa vào kí hiệu:

q51 = l0 c x + q5 − q1 

q62 = l0 c y + q6 − q2 

q73 = l0 c z + q7 − q3 

(3-26)

Bieåu thức (3-25) có thể viết lại thành:

(

2
2
l = q521 + q62
+ q73

)


1

(3-27)

2

Theo công thức (P.1-8) (xem phụ lục 2) ta coù :
k(q4)=k0 1 −



1 2 1 4
q4 + q4 
12
45 

Từ (3-22)…(3-26), ta tính được các đạo hàm

(3-28)

∂u
;(I=1,2,…,5) như sau:
∂qi

∂ε
∂u
l
∂l
∂l
=EAb0 ε

=EAb0 ε
= χ.
.
∂qi
∂qi
∂qi
cos(q4 + β 0 ) ∂qi
ở đây ta đặt:

χ=

EAb0ε
; (i=1,2,3,5,6,7)
cos(q4 + β 0 )

(2-29)
(3-30)

Riêng đạo hàm của u đối với chuyển vị xoay q4.có dạng:

∂u
∂ε
=EAb0 ε
+ 2k(q4 ).q4
∂q4
∂q4

(3-32)

Trong các biểu thức (3-29) và(3-32):

Luận án Thạc Sỹ Khoa học Kỹ thuật

---24---

Cao Học Khóa 10-Ngành XDDD