..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHƠNG GIAN
G - METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN-2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHƠNG GIAN
G - METRIC
Ngành: TỐN GIẢI TÍCH

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUN-2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Cơng nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Đinh Như Quỳnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN





LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Phạm Hiến Bằng
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2019
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC

TRANG BÌA PHỤ

i

LỜI CAM ĐOAN

ii


LỜI CẢM ƠN

iii

MỤC LỤC

iv

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC

3

1.1. Khơng gian G - Metric

3

1.2. Một số tính chất cơ sở của không gian G - metric

4

1.3. Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric

7

Chương 2. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN

10

TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric

10

2.2. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong khơng gian
G-metric
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

19
34
35




MỞ ĐẦU
Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) đã được Banach
chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều tác giả mở rộng kết quả này cho
nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau. Hướng thứ nhất là
mở rộng khái niệm không gian metric. Đầu tiên phải kể đến khái niệm không
gian b - metric được đưa ra bởi Bakhtin [2]. Tác giả đã chứng minh Định lí
điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b - metric, là tổng qt hóa
của ngun lí co Banach trong khơng gian metric. Tiếp đến là khái niệm không
gian 2-metric được đưa ra bởi Gahler [4] và khái niệm không gian D-metric

được đưa ra bởi Dhage [3]. Năm 2004, Mustafa và Sims [7] đã đưa ra khái niệm
không gian G-metric. Gần đây, Một số tác giả như Mustafa, Chugh, Shatanawi,
Mohanta,...đã quan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả về điểm bất
động đối với các ánh xạ co trong không gian G-metric đầy đủ. Hướng thứ hai
phải kể đến là nghiên cứu điểm bất động trong các không gian nói trên nhưng
đối với ánh xạ giãn. Theo hướng này, một số tác giả đã đạt được các kết quả
đẹp đẽ như Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia,
Gupta,...
Theo hướng nghiên cứu này chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất
động đối với ánh xạ giãn trong không gian G- metric“.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học trong và
ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [9] và [10],
gồm 35trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng
gian G - metric.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm
bất động và điểm bất động chung đối với ánh xạ giãn trong không gian G metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN





CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC
1.1. Không gian G - Metric
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G - metric là cặp (E ,G ) , trong đó E là
một tập khác rỗng và G : E E E đ [0, Ơ ) l một hàm sao cho với mọi

u, v, w, a Ỵ E , các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(G1)

G (u, v, w) = 0 nếu u = v = w ;

(G2 )

G (u, u, v ) > 0 với mi u, v ẻ E , vi u ạ v ;

(G 3 )

G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với mọi u, v, w Ỵ E , với w ¹ v ;

(G 4 )

G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = ... (đối xứng với cả 3 biến);

(G 5 )

G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật).

Hàm G như trên được gọi là một G - metric trên E .
Các tính chất trên có thể giải thích theo nghĩa của khơng gian metric.

Cho (E , r ) là một không gian metric và G : E E E đ [0, Ơ ) l hàm số
được xác định bởi
G (u, v, w) = r (u, v ) + r (u, w) + r (v, w) với mọi u, u, w Ỵ E .

Khi đó (E ,G ) là một không gian G - metric. Trong trường hợp này, G (u, v, w)
có thể hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh u, v và w . Điều kiện (G 1 ) có
nghĩa là với một điểm ta khơng thể có chu vi dương, và điều kiện (G 2 ) tương
đương với khoảng cách giữa hai điểm khác nhau không thể bằng 0. Hơn nữa,
vì chu vi của một tam giác khơng phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nó, nên ta
có (G 4 ) . Cuối cùng, (G 5 ) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một
đỉnh thứ tư.
Ví dụ 1.1.2. Nếu E Ì ¡ , E ạ ặ, thỡ hm G : E E E đ [0, Ơ ) c xỏc
nh bi
S húa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




G (u, v, w) = | u - v | + | u - w | + | v - w | với mọi u, u, w Ỵ E ,
là một G - metric trên E .
Định nghĩa 1.1.3.Không gian G - metric (E ,G ) gọi là đối xứng nếu
G (u, v, v ) = G (v, u, u ) với mọi u, v Ỵ E .

1.2. M�ậy Sw = R w = w .
Trường hợp 2. S là ánh xạ liên tục. Vì lim Run = lim Sun = w , nên

lim SSun = Sw và lim SRun = Sw .
Vì (R , S ) là nửa tương thích và lim Sun = w , nên lim RSun = Sw .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN





Sử dụng (b) với u = Sun , v = un + 1 , ta có
G (RSun + 1, Run + 1, Run + 1 ) ³

aG (Sun + 1, Sun + 1, Run + 1 ) + bG (RSun , SSun , SSun ) +

{

}

+ c min G (SSun , Run + 1, Run + 1 )G (SSun , Run + 1, Sun + 1 ) .
Cho n ® ¥ , ta được
G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w)

+ c min {G (S w, w, w),G (S w, w, w)}³ gG (S w, w, w) .

Suy ra
(c - 1)G (S w, w, w) £ 0 .

Vì c - 1 ³ 0 nênG (S w, w, w) £ 0 , suy ra Sw = w .
Tiếp tục sử dụng giả thiết (b) với u = un , v = w , ta có
G (R u n , R w, R w) ³ aG (S w, S w, R w) + bG (R u n , Su n , Su n ) +
+ c min {G (Su n , R w, R w),G (Su n , R w, S w)}.

Cho n đ Ơ , ta nhn c
G (w, R w, R w) ³ aG (w, w, R w) + bG (w, w, w)
+ c min {G (w, R w, R w),G (w, R w, w)}


.
Theo Mệnh đề 1.2.3, ta có
G (w, w, R w) ³

1
G (w, R w, R w) ,
2

do đó
G (w, R w, R w) ³

a
c
G (w, R w, R w) + G (w, R w, R w) .
2
2

Suy ra
ổa + c
ử
ữ
G (w, R w, R w)ỗỗ
- 1ữ
Ê 0.
ữ
ữ
ỗố 2
ứ

Vỡ


a+c
- 1 > 0 ,nờnG (w, R w, R w) £ 0 . Do đó R w = w .
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Cơng nghệ thông tin – ĐHTN




Tính duy nhất. Giả sử u là điểm bất động khác của R và S , khi đó
Ru = Su = u .
Sử dụng (b) với u = w, v = u . Ta nhận được
G (R w, R u, R u ) ³ aG (Su, Su, R u ) + bG (R w, S w, S w) +
+ c min {G (S w, R u, R u ),G (S w, R u, R u )}.

Suy ra
G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) + c min {G (w, u, u ),G (w, u, u )}.

Do đó
G (w, u, u ) ³ cG (w, u, u ) .

Điều này tương đương với
(c - 1)G (w, u, u ) £ 0 .

Vì c - 1 > 0 , nên suy ra G (w, u, u ) £ 0 . Do đó u = w .
Vậy w là điểm bất động chung duy nhất của R và S .
Ví dụ 2.2.4.Cho u, v Ỵ E và E = [3, 0], R u = u 2, Su =

u

, u = {1 / n } và
2 n

G (u, v, w) = d(u, v ) + d(v, w) + d(w, u ) . Ta có

lim R u n = lim u n 2 = lim

lim Sun =

{

1
n2

= 0

un
1
= lim
= 0, lim R un = lim Su n = 0
2
2n
2

}

lim R (Su n ) = lim (Su n )

2
ổu ử

un 2
ữ
ỗ
nữ
= lim ỗỗ ữ = lim
= 0
ỗố 2 ÷
4
ø

và

{

}

S w = S (0) = 0, lim R (Sun ) = S w .
Do đó (R , S ) là nửa tương thích.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Lấy u = 3, v = 0 và a > 1, b =
(b) và nếu a > 1, b =

1
, c = 2 , nó thỏa mãn tốt hơn điều kiện của
2


1
, c = 5 điều kiện (b) được thỏa mãn và 0 là điểm bất
3

động của R và S .
Định lí 2.2.5.Cho (E ,G ) khơng gian G - metric đầy đủ, R , S ,T , H : E ® E
là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
(a ) S (E ) Ì T (E ) và R (E ) Ì H (E ) .

(b) G (Su, R v, R v ) ³ aG (T v, Hv, R v ) + bG (R u,T u,T u ) +
+ g min {G (T u, R v, R v ),G (T u, Sv, Hv )}

với mọi a , g > 1, a + b > 1, b + 2g > 0 .
(c ) S hoặc T là liên tục.

(d ) Cặp (S ,T ) là nửa tương thích.

(e) T R = RT , SR = RS , T S = ST .
Nếu S 2 là ánh xạ đồng nhất thì R , S ,T & H có điểm bất động chung duy nhất
trong E .
Chứng minh. Lấy u 0 Ỵ E tùy ý. Nếu S (E ) Ì T (E ) và R (E ) Ì H (E ) thì
tồn tại u1, u 2 sao cho Su1 = T u0 = v0 & Ru2 = Hu1 = v1 .
Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa dãy

Sun + 1 = T un = vn & Run + 2 = Hun + 1 = vn + 1 .
Bây giờ sử dụng (b) với u = un , v = un + 1 , ta có

G (Su n , R u n + 1, Su n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (Su n ,T u n ,T u n )
+ g min {G (T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T u n , Su n + 1, Hu n + 1)}.

Suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




G (vn - 1, vn , vn ) ³ aG (vn + 1, vn + 1, vn ) + bG (vn - 1, vn , vn ) +
g min {G (vn , vn , vn ),G (vn , vn , vn + 1)}
G (vn - 1, vn , vn ) ³ aG (vn + 1, vn + 1, vn ) + bG (vn - 1, vn , vn ) .

Do đó
G (vn - 1, vn , vn )(1 - b ) ³ aG (vn + 1, vn + 1, vn )
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £

1- b
G (vn - 1, vn , vn )
a

Vì a + b > 1 và a > 0 nên

1- b
1- b
< 1 . Đặt
= k thì
a
a

G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ kG (vn - 1, vn , vn ),... (2.31)


Tương tự ta có
G (vn , vn , vn - 1) £ kG (vn - 2, vn - 1, vn - 1)

Từ (2.31) suy ra
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ k 2G (vn - 2, vn - 1, vn - 1)

Bằng quy nạp ta được
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ k nG (v0, v1, v1) ,... (2.32)

TheoĐịnh lí 2.2.2, {vn } là dãy Cauchy, do đó

lim Sun + 1 = w & limT un = w, lim Run + 2 = w & lim Hun + 1 = w .
Trường hợp 1. S là ánh xạ liên tục. Vì lim Sun = w & limT un = w nên

lim SSun = Sw và lim ST un = Sw .
Vì (S ,T ) là nửa tương thích và limT un = w nên limT Sun = Sw .
Bây giờ sử dụng (b) với u = Sun , v = un + 1 , ta có

G (SSun , Run + 1, Run + 1)
³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + 1) + bG (SSun ,T Sun ,T Sun )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Cơng nghệ thông tin – ĐHTN




+ g min {G (T Sun , Run + 1, Run + 1),G (T Sun , Sun + 1, Hun + 1)}

Cho n đ Ơ ta c
G (S w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (S w, S w, S w) +
+ g min {G (S w, w, w), G (S w, w, w)} ³ gG (w, w, S w).


Suy ra
( g - 1)G (S w, w, w) £ 0

Vì g > 1 nên G (S w, w, w) £ 0 , suy ra Sw = w .
Bây giờ sử dụng (b) với u = w & v = un + 1 ta có
G (S w, Run + 1, Run + 1 ) ³ aG (T un + 1, Hun + 1, Run + 1 ) + bG (S w,T w,T w) +

{

}

+ g min G (T w, R un + 1, R un + 1 ),G (T w, Sun + 1, Hun + 1 )
Cho n ® ¥ ta được

G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w,T w,T w)

{

}

+ g min G (T w, w, w),G (T w, w, w)
0 ³ bG (z,T z ,T z ) + gG (T z , z , z ).

Theo Mệnh đề1.2.3, ta có
G (w,T w,T w) ³
0³

1
G (w, w,T w)

2

b
G (w,T w,T w) + gG (T w, w, w).
2

Do ú

ổb
ử
ữ
G (T w, w, w)ỗỗ + g ữ
Ê 0.
ữ
ỗố 2
ữ
ứ
Vỡ b + 2g > 0 nờn

b
+ g > 0 , suy ra G (T w, w, w) £ 0 Þ T w = w
2

Sử dụng (b) với u = R w và v = un + 1 ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w)

+ g min{G (T R w, R un + 1, R u n + 1)G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)}
Vì RS = SR và TR = RT nên cho n đ Ơ ta c
G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w)
+ g min {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w)

Do đó
( g - 1)G (R w, w, w) £ 0

Vì g > 1 nên g - 1 > 0 , suy ra G (R w, w, w) £ 0 Þ R w = w .
Bây giờ sử dụng (b) với u = un , v = w , ta có
G (Su , R w, R w) ³ aG (T w, H w, R w) + bG (Su n ,T u n ,T u n ) +

{

}

+ g min G (T u n , R w, R w),G (T u n , S w, Hw)

Cho n đ Ơ ta c
G (w, w, w) ³ aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w)
+ g min {G (w, w, w), G (w, w, Hw)}
0 ³ aG (w, Hw, w) .

Vì a > 0 nênG (w, Hw, w) £ 0 Þ Hw = w .Vậy ta có

T w = Sw = R w = Hw = w .
Tức là w là điểm bất động chung của cả bốn ánh xạ.
Trường hợp 2. T là ánh xạ liên tục.
Vì lim Sun = w và limT un = w nên


limT Sun = T w và limT T un = T w .
Vì (S ,T ) là nửa tương thích, và lim Sun = w nên lim ST un = T w .
Sử dụng (b) với u = un & v = un + 1 ,ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Cơng nghệ thông tin – ĐHTN




G (ST u n , R u n + 1, R u n + 1) ³
aG (T u n + 1,T u n + 1, R u n + 1) + bG (ST u n ,T T u n ,T T u n )
+ g min {G (T T u n , R u n + 1, R u n + 1), G (T T u n + 1, Su n + 1,T u n + 1)}

Cho n đ Ơ ta được
G (T w, w, w) ³ aG (w, w, w) + b (T w,T w,T w) +
+ g min {G (T w, w, w),G (T w, w, w)} ³ gG (T w, w, w).

Suy ra
G (T w, w, w)( g - 1) £ 0 .

Vì g > 1 nên g - 1 > 0 , suy ra G (T w, w, w) £ 0 Þ T w = w .
Sử dụng (b) với u = Su, v = un + 1 ta được
G (S 2w, Run + 1, Run + 1)

(

³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1 ) + bG S 2w,T S w,T S w

)


{

}

+ g min G (T S w, R u n + 1, R u n + 1 ),G (T S w, Su n + 1, Hu n + 1 )

Cho n đ Ơ

vi ST = T S , S 2 = 1 ta được
G (w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (w, S w, S w)
+ g min {G (S w, w, w),G (S w, w, w)}
0 ³ bG (w, S w, S w) + gG (S w, w, w) .

Theo Mệnh đề1.2.3, ta có
0³

b
G (w, w, S w) + gG (w, w, S w)
2

G (w,w, S w)

Vì

b + 2g
£ 0
2

b + 2g
> 0 , nênG (w,w, S w) £ 0 Þ Sw = w .

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Tiếp tục sử dụng (b) với u = Ru, v = un + 1 ta có

G (SR w, R u n + 1, R u n + 1) ³ aG (T u n + 1, Hu n + 1, R u n + 1) + bG (SR w,T R w,T R w)
+ g min {G (T R w, R u n + 1, R u n + 1), G (T R w, Su n + 1, Hu n + 1)}.
Vì SR = R S , T R = R T nờn cho n đ Ơ ta c
G (R w, w, w) ³ aG (w, w, w) + bG (R w, R w, R w)
+ g min {G (R w, w, w),G (R w, w, w)} ³ gG (R w, w, w).

Suy ra ( g - 1)G (R w, w, w) £ 0 .Vì g > 1 nên g - 1 > 0 , Do đó
G (R w, w, wz ) £ 0 Þ R w = w .
Bây giờ sử dụng (b) với u = un , v = w ta có
G (Sun , R w, R w) ³ aG (T w, Hw, R w) + bG (Sun ,T un ,T un ) +

{

}

+ g min G (T un , R w, R w),G (T un , S w, Hw) .
Cho n đ Ơ ta c
G (w, w, w) aG (w, Hw, w) + bG (w, w, w)
+ g min {G (w, w, w),G (w, w, Hw)}
0 ³ aG (w, Hw, w).


Vì a > 0 ,nên suy ra Hw = w . Do đó w là điểm bất động chung của các ánh
xạ R , S ,T & H .
Tính duy nhất. Giả sử u là một điểm bất động khác của S &T . Khi đó

Ru = Su = T u = Hu = u
Sử dụng (b) với u = w, v = u ta có

G (S w, R u, R u ) ³ aG (T u, Hu, Eu ) + bG (S w,T w,T w) +
+ g min {G (T w, R u, R u ),G (T w, Su, Hu )}
G (w, u, u ) ³ aG (u, u, u ) + bG (w, w, w) +
+ g min {G (w, u,, u ),G (w, u, u )} ³ gG (w, u, u ).
Do đó ( g - 1)G (w, u, u ) £ 0 .
Vì g > 1 nên g - 1 > 0 , suy ra G (w, u, u ) £ 0 Þ u = w .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày:
Một số khái niệm và tính chất cơ sở của khơng gian G - metric.
Một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G metric. Các kết quả được trình bày trong Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí
2.1.6, Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.11, Định lí 2.1.13, Định lí 2.1.14
và Định lí 2.1.15.
Một số kết quả về điểm bất động chung đối với ánh xạ giãn trong không
gian G - metric.Các kết quả được trình bày trong Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3,
Định lí 2.2.5.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Cơng nghệ thông tin – ĐHTN





TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].

Agarwal R.P., Karapınar E., O’ReganD., Roldan-Lopez-de-Hierro

A.F. (2015), Fixed point theory in metric type spaces, ISBN 978-3319-24082-4. DOI 10.1007/978-3-319-24082-4. 385 pages.
[2]. Bakhtin A. (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric
spaces”, Funct. Anal. Unianowsk Gos. Ped. Inst. 30, 26–37.
[3]. Dhage, B.C., (1992), “Generalized metric space and mapping with
fixed point”, Bull.Calcutta Math.Soc.,84:329-336.
[4]. Gahler, S.,(1963), “2-Metriche raume and ihre topologische
structure”, Math.Nachr., 26:115-148.
[5]. Mustafa Z., Sims B., (2004). “Some remarks concerning D-metric
spaces”. Proceeding of the Inter conf on fixed point theory and
applications, July 13-19, Yokohama publ, Valencia , Spain pp: 189198.
[6]. MustafaZ.(2005), A New Structure For Generalized Metric Spaces With Applications ToFixed Point Theory, PhD Thesis, the University
of Newcastle, Australia.
[7]. Mustafa Z., SimsB.(2006), ”A New Approach to Generalized Metric
Spaces”,Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 7 (2). 289–297.
[8]. Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F. (2008), Some Fixed Point
Theorem for Mappingon Complete G-metric Spaces, Fixed Point
Theory
andapplications,
,
article
ID189870,

doi:
10.1155/2008/189870.
[9]. Mustafa Z., Awawdeh F., Shatanawi W. (2010), “Fixed Point
Theorem for Expansive Mappingsin G-Metric Spaces”, Int. J.
Contemp. Math. Sciences, Vol. 5, no. 50, 2463 – 2472.
[10]. Sahu R., Sanodia P.L., Gupta A.(2015), “ Some fixed point theorems
of expansion mapping in G-Metric spaces”, Inter Jour of Math and
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Stat Inven (IJMSI) E-ISSN: 2321 – 4767 P-ISSN: 2321 - 4759 Vol 3
Issue 5, pp12-21.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN