<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1

Coi mỗi cây là một điểm, bài toán được quy
về : Dựng hình vng MNPQ có các cạnh
MN, NP, PQ, QM theo thứ tự chứa bốn đỉnh A,
B, C, D của tứ giác lồi ABCD cho trước.

Phân tích :Giả sử dựng được hình vng
MNPQ mà A, B, C, D theo thứ tự thuộc MN,
NP, PQ, QM. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vng góc của A, D trên PQ, NP. Đường
thẳng qua A vng góc với DB cắt DB, PQ
lần lượt tại I, E.

Ta thấy KDB = HAE vì đây là hai tam
giác vng có AH = DK ; (hai
góc có cạnh tương ứng vng góc).

Suy ra AE = DB.

C¸ch dùng :Nèi D víi B. Kẻ từ A đường
thẳng vuông góc với DB tại I.

Trên đường AI kéo dài về phía I lấy E sao
cho AE = DB. Kẻ đường thẳng d qua C vµ E.

Từ D kẻ đường thẳng vng góc với d tại Q.
Từ B kẻ đường thẳng vng góc với d tại P.
Qua A dựng đường thẳng vng góc với
BP cắt DQ và BP lần lượt tại M và N.

Ta có hình vuông MNPQ cần dựng.

Chứng minh : Dễ dàng chứng minh
MNPQ là hình vuông.

Biện luận :Bài toán này có thể :
+ Không có nghiệm (1)

+ Có đúng một nghiệm (2)
+ Có vơ số nghiệm (3)

Tuy nhiên, việc tìm điều kiện cần và đủ
đối với tứ giác lồi ABCD sao cho (1) hoặc
(2) hoặc (3) xảy ra là một vấn đề rất phức
tạp. TTT2 coi như đây là vấn đề mở đặt ra
cho tất cả các bạn đọc của tạp chí. Mong
rằng các bạn cùng quan tâm giải quyết
vấn đề này.

Giải thưởng đặt ra cho bạn có lời giải đúng
đầu tiên là quà tặng trị giá 500.000 đồng.

Nhận xét :1) Một số bạn cịn nêu cách
dựng hình vng MNPQ có cạnh MN chứa
hai đỉnh kề nhau của tứ giác lồi ABCD cho
trước, ba cạnh NP, PQ, QM chứa hai đỉnh
còn lại của tứ giác lồi ABCD. Đây cũng là
một bài tốn rất khó ở khâu biện luận.

2) Chưa bạn nào giải quyết trọn vẹn bài
toán này, phần thưởng xin được dành lại
chờ các bạn.

Anh Compa

 
EAH BDK

n

KÕt qu¶ :

_{(TTT2 sè 17)}

l

Bạn có thể điền các số tự
nhiên từ 0 đến 9 vào các ơ
trịn trong hình bên, sao cho
tổng ba số trong ba ơ trịn
cùng thuộc một đoạn thẳng
đều bằng nhau được không ?

Hồng hải dương

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

Mọi dịng sơng lớn đều bắt nguồn từ những
con suối nhỏ, mọi bài tốn khó đều khởi
nguồn từ những bài tốn đơn giản hơn. Vì vậy
để học giỏi mơn tốn thì khơng những bạn
cần phải nắm vững và biết vận dụng các bài
toán cơ bản mà cịn nên biết cách phát triển
một bài tốn để có thêm những bài toán mới.
Bài toán sau là một bài tốn quen thuộc
trong chương trình hình học lớp 8 :

Bài tốn 1 :Cho tứ giác ABCD có AB < CD.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác
MNPQ là hình bình hành.

Hình bình hành MNPQ sẽ có dạng đặc
biệt hơn nếu tứ giác ABCD thỏa mãn thêm
các điều kiện nào đó.

Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành
hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD có hai
cạnh đối bằng nhau. Ta có kết quả :

Bài tốn 2 : Cho tứ giác ABCD có
AD = BC, AB < CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt
là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng
minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.

Lưu ý QM, MN, NP, PQ lần lượt là các
đường trung bình của các tam giác BAD,
ABC, CAD, DBC ta sẽ có điều phải chứng
minh (xem hình 1).

H×nh 1

Con đường đi từ bài tốn 1 đến bài tốn 2
chính là nhờ phép đặc biệt hóa.

Đường chéo QN của hình thoi MNPQ là
đáy của tam giác cân PQN nên đường

thẳng QN cắt AD, BC lần lượt tại I, K thỡ

và (các cặp góc

so le trong). Do ú (xem hình 2).
Ta có thêm kết quả :

Bài tốn 3 : Cho tứ giác ABCD có
AD = BC, AB < CD. Gọi N, Q lần lượt là
trung điểm của hai đường chéo AC, BD.
Chứng minh rằng đường thẳng NQ tạo với
AD, BC các góc bằng nhau.

H×nh 2

Tương tự, MP là đáy của tam giác cân
NMP nên đường thẳng MP cũng sẽ tạo với
các đường thẳng AD, BC những góc bằng
nhau. Từ đó ta có bài tốn :

Bài tốn 4 : Cho EDC có ED < EC.
Lấy A, B lần lượt trên ED, EC sao cho
DA = CB. Gọi P, M lần lượt là trung điểm
của DC, AB. PM cắt EC, ED lần lượt tại
H, G. Chứng minh rng EGH cõn ti E.

Các bạn có thể chứng minh được ngay
khi xem hình 3.

AIQ BKN.

AIQ PNQ

BKN PQN

Nguyễn đức trường

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

3

H×nh 3

Đến đây, ta nhận thấy rằng là góc
ngồi của EGH (cân tại E) nên dễ dàng
phát hiện thấy đường thẳng GH song song
với đường phân giác trong của . Nếu
cho E, A, B cố định thì M là trung điểm của
AB cũng cố định, phân giác trong của
cũng cố định. Từ đó ta được một kết quả
khá thú vị.

Bài tốn 5 :Cho EAB, EA < EB. D, C lần
lượt chạy trên các tia đối của tia AE, tia BE
sao cho DA = CB. Chứng minh trung điểm P
của DC chạy trên một đường thẳng cố định.

Các bạn có thể chứng minh được ngay
điểm P nằm trên đường thẳng d đi qua
trung điểm M của AB cố định và song

song với đường phân giác trong cố định
của . Tất nhiên đường thẳng d là
đường thẳng cố định (xem hình 3).

Dựa vào các kết quả trên và đọc thêm bài
viết “Phương tích và bài tốn Castillon” của
tác giả Trần Anh Dũng, đăng trên TTT2 số 16
thì các bạn có thể giải quyết được bài toán :

Bài toán 6 :Cho ABC (AB < AC), phân
giác AD và trung tuyến AM. Đường tròn
ngoại tiếp ADM cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
Gọi I là trung điểm của EF, đường thẳng MI
cắt AB, AC lần lượt tại Q, P. Chứng minh
rằng APQ cân tại A.

Trong quá trình suy nghĩ để tiếp tục phát
triển bài tốn 2, tình cờ tơi gặp đề toán
4(7) của TS. Nguyễn Minh Hà (trang 32,
TTT2 số 7) . Nhờ bài tốn 2, ta có một cách
giải khá đơn giản đề toán 4(7) và đề xuất
được kết quả mở rộng hơn.

Trước hết, ta giải bài tốn 4(7).

Bµi to¸n 4(7) : Cho tø gi¸c ABCD cã
AD = BC. VỊ phÝa ngoµi cđa tứ giác này, ta
dựng hai tam giác b»ng nhau lµ ADE vµ
BCF. Chøng minh rằng trung điểm các đoạn
AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải :

Hình 4

Trng hp AB < CD :Gọi I, K, H, M, N,
P, Q lần lượt là trung điểm của AB, EF, CD,
CE, DF, BD, AC (hình 4).

Từ giả thiết ADE = BCF và dựa vào
tính chất của đường trung bình trong tam
giác ta dễ dàng có được kết quả :

HNP = HMQ (c.c.c).
cú cựng tia phân giác.
Mặt khác, áp dụng bài toán 2 cho hai tứ
giác ABCD và EFCD, ta có IPHQ và KMHN
là các hình thoi. Suy ra HK và HI lần lượt là
phân giỏc ca

Suy ra H, I, K thẳng hàng.

Trng hp AB = CD :dành cho bạn đọc.
Các bạn thử chứng minh kết quả mở rộng
của bài toán trên :

“Cho tø giác ABCD có AD = BC. Về phía
ngoài của tứ giác này, ta dựng hai đa giác
bằng nhau là ADM₁M₂...M_nvà BCN₁N₂...N_n.
Chøng minh r»ng trung ®iĨm các đoạn

AB, CD, M₁N₁, M₂N₂, ... , M_nN_ncùng thuộc
một đường thẳng.

Chúc các bạn thành công.

MHN và PHQ.



MHN vµ PHQ


   

Suy ra MHQ NHP MHP NHQ


AEB

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

4

T¹i sao thõa nghiƯm ?

(TTT2 sè 17)

l

Kết quả :

l

Kì này :

Tt c cỏc bn u “soi” chính xác sai
lầm chung của 3 lời giải là : Ngộ nhận
các điểm B, N, C thẳng hàng để chứng
minh A, E, N thẳng hàng. Bạn Nguyễn
Thị Lâm Ngọc, đội 19, Yên Nam, Duy
Tiên, Hà Nam ví von kiểu sai này như
“sửa chân ghế gãy bằng cách tháo chân
ghế khác để lắp vào thay thế chân ghế
gãy !”. Bạn Đỗ Đình Hịa, 9A₁, THCS
Hồi Xn, Hồi Nhơn, Bình Định cịn
góp ý cả cho đề bài : “nên có giả thiết
MA MB để bài tốn chặt chẽ !”.

Lời giải đúng :Giả sử AM > BM thì N
nằm trên nửa mặt phẳng bờ CM có chứa
BF và N nằm ngồi hình vng BMEF.

Gäi I lµ giao điểm của BE và AC.
Vì

Ta có Suy ra tø

gi¸c IABN néi tiÕp

mà nên A, E, N thẳng hàng.
Cùng với hai bạn Nguyễn Thị Lâm Ngọc,
Đỗ Đình Hịa, các bạn sau cũng được nhận
quà tặng của TTT : Ngô Văn Thi, con bố
Ngô Khắc Cừ, khối 5, TT. Đức Phổ, Đức
Phổ, Quảng Ngãi ; Nguyễn Thanh Long,

con mẹ Phạm Thị Minh, Giáo viên trường
TH Kỳ Phong, Kỳ Phong, Kỳ Anh, Hà Tĩnh.

Anh KÝnh Lóp

 o

ENB 90

  o

ANB AIB 90

  

  
CAN CMN IBN. 

  o

IAM IBM 45   BI AI.

l

l

l

K

KÕtÕÕtÕÕtÕÕtÕtÕtÕÕtÕÕtÕÕtÕ qqqqqqqqqqqqqqquuuuuuu

KÕ

KÕÕÕÕÕÕÕÕÕ

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

qu

q ¶¶¶¶¶¶¶¶

u¶

u¶¶ :::::

Trong kì thi vào lớp 10 trường PTNK
TP. Hồ Chí Minh năm học 2003 - 2004, một
số học sinh đã giải phương trình

như sau :
Điều kiện :

Rõ ràng x = 0 là nghiệm của phương trình
đã cho.

Víi x 0 :

x = 6 và x = đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là :
Kiểm tra trực tiếp, ta thấy trong tập hợp trên
có một giá trị khơng phải là nghiệm của phương
trình đã cho. Hãy cho biết giá trị đó và nguyên
nhân dẫn đến thừa nghiệm trong lời giải trên ?

10
0 ; 6 ; .

3
 _ 
 
 
10
3

2
2 2
2

x(x 2) x(x 5) x(x 3)

x 2 x 5 x 3

x 2 x 5 2 (x 2)(x 5) x 3
2 x 7x 10 10 x

10 x 0

4(x 7x 10) 100 20x x
x 10

3x 8x 60 0
x 10

x 6

x 6 ₁₀

x
10

x ₃ 3

    
     
        
    
 

  _ _ _ _ _




  _ _ _





 
 _
_ _{  }
   


x 0
x 2

x(x 2) 0 _{x 0} x 3

x(x 5) 0 x 0

x 5

x(x 3) 0 x 5

x 3
x 0
 
 _


   
 _{ } 

 _{  } _ _
 _ _ _
 _{ }  _ _
 _{  }_ 
 



" x(x 2)  x(x 5)  x(x 3) "

Ngun Anh Hoµng

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bµi 1 :

Sè nµo tiÕp theo ?

1 11 101 111 ?

Bài 2 :

Hình nào tiếp theo ?

5

Bi 1 : Bạn Nguyễn Mạnh Thắng, bố là
Nguyễn Xuân Tiến, khối II, TT. Phố Châu,
Hương Sơn, Hà Tĩnh nhận xét cứ 2 đoạn
thẳng xuất phát từ một điểm trong n đoạn
thẳng xuất phát từ một điểm ta có một tam
giác nên cơng thức tính số tam giác là :

Với n = 9 ta có số tam giác là A = 36.

Bài 2 : Bạn Nguyễn Mạnh Thắng cũng
nhận xét cứ hai đường kẻ ngang trong số a
đường kẻ ngang và hai đường kẻ dọc trong
số b đường kẻ dọc thì ta có một hình chữ
nhật nên công thức tính số hình chữ nhật là :
Với a = 4 và b = 5 ta có số hình chữ nhật
là B = 60.

Bn Nguyn Duy Cng, b l Nguyễn
Huỳnh Sơn, tổ 11, phường Trung Tâm,
Nghĩa Lộ, Yên Bái tâm sự đôi lời :

“Coi đi coi lại thật khó khăn
Đơi chỗ vẫn cịn thấy lăn tăn
Tìm đâu cho ra được cách giải ?
Mải mê suy nghĩ : bỏ cả ăn !
Thơi thì cũng đành phải đếm vậy
Sáu mươi hình đây, hết lăn tăn
Nghĩ đi nghĩ lại vẫn... lăn tăn...”
Bạn Cương, bạn Thắngđược... “ăn” phần
thưởng của TTT. Các bạn Nguyễn Thị Thu
Hà, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghệ An; Nguyễn Thị Phương, 8A, THCS

Đình Bảng, Hoằng Lộc, Hoằng Hóa, Thanh
Hóacũng có bài giải hay, được TTT thưởng.
Ngoài ra, các bạn Lê Võ Châu Anh, 9A,
THCS Nguyễn Trọng Bình, Kỳ Anh, Hà
Tĩnh ; Trần Hoàng Anh, 7A₁, THCS Minh
Thành, Thái Bình ; Nguyễn Thị Nguyệt,

xóm 9, Ninh Hiệp, Gia Lâm, Hà Nội; Phạm
Hạnh Ngân, 5A, TH Văn Cẩm, Hưng Hà,
Thái Bình; Bùi Minh Trí, 6C ; Trần Thị Hoa
Lê, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghệ An ; Phạm Thị Yến Nga, THCS Lập
Tân Hương, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Đỗ Thị
Quỳnh Hoa, 7A, THCS Lê Quý Đôn, Yên
Hưng, Quảng Ninh cũng có bài giải hay,
c khen... thụi... !

Nguyễn Đăng Quang

a(a 1) b(b 1)

B . .

2 2


n(n 1)

A .

2


l

KÕt qu¶ :

v

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

6

Các bài tốn về tính số đo góc rất đa
dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi. Để
giải quyết tốt dạng tốn này có khi phải vẽ
hình phụ. Trong bài viết này, tôi xin giới
thiệu với các em phương pháp vẽ thêm
hình phụ là tam giác đều trong bài tốn
tính số đo gúc.

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân
tại A, Trên AB lÊy ®iĨm D sao cho
AD = BC. TÝnh

Lêi gi¶i :

Cách 1 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam
giác đều BCE (hình 1).

H×nh 1 Hình 2

Vì tam giác ABC cân tại A, nên
Vậy E thuộc miỊn
trong tam gi¸c ABC, suy ra

DƠ thÊy ABE = ACE (c.c.c) nªn

Ta có là góc ngồi của DAC nên
Cách 2 :Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB, chứa im C, dng tam
giỏc u ABI (hỡnh 2).

Vì ABC cân tại A, nên AI = AB
= AC ;

(ACI cân tại A)

Lại có ADC = BCI (c.g.c)

Bi toỏn 2( thi vơ định tốn Nam Tư
năm 1983): Cho tam giác ABC cõn ti A,

ởmiền trong tam giác lấy điểm I
sao cho

Lời giải :Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam
giác đều BCE (hình 3).

Hình 3
Vì ABC cân tại A, A 80 o nªn

 o  o 

IBC 10 ; ICB 30 . TÝnh AIB. 

 o

A 80 .

  o  o

ADC BCI 150 BDC 30 .

    

 o

BCI 150 .

 

 o  o  o

CAI 40 ; IBC 20  ACI 70

 o

A 20

   o o o

BDC DAC DCA 20   10 30 .


BDC
 

 
o

o

Tõ (1) A ACE 20 DAC ECA

(c.g.c), kÕt hỵp víi (2) ACD CAE 10 .

      

  

  1 o

BAE CAE A 10 (2).

2

  

 o

ACE 20 (1).

  o

ABC ACB 80 . 

 o

A 20


BDC.

 o

A 20 .

  o   o

ABC ACB 50   ABE ACE 10 ; 

Ngơ đức minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

7

®iĨm A thuộc miền trong tam giác BCE.

Dễ dàng chứng minh được AEB = ICB
(g.c.g) BA = BI ABI cân tại B, có

Bài toán 3 :Cho tam giác ABC cân tại A,
Trên cạnh AB kéo dài về phía B,
lấy điểm E sao cho AE = BC. TÝnh

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam
giác đều AEF (hình 4).

H×nh 4
V× ABC cân tại A, nên
tia AF n»m gi÷a hai tia AE, AC

 ABC = CAF (c.g.c)
AC = FC  AEC = FEC (c.c.c)

Qua một số bài toán nêu trên có thể
thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều
tỏ ra rất hiệu quả đối với bài tốn tính số đo
góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o; tạo ra
nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa cỏc
cnh, cỏc gúc, cỏc tam giỏc, ...

Các bạn hÃy làm thêm bài toán sau :
Bài toán 4 :Cho tam giác ABC cân tại A,

Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy

điểm F sao cho Tính

l Tài liệu tham khảo :Bài tập nâng cao

v mt số chuyên đề Toán 7”, Nhà xuất
bản Giáo dục năm 2004 (sách tham dự
cuộc thi viết sách Bài tập và sách Tham
khảo của Bộ Giáo dục Đào tạo).


BEF.

  o

ABE CAF 30 . 

 o

A 80 .

  1 60o o

AEC FEC AEF 30 .

2 2

    

 o

CAF 40 

 o

ABC 40 ;

 o

A 100

AEC.

 o

A 100 .

 o o o  o

ABI 50 10 40 AIB 70 .

Cách đây hơn 30 năm, khi mới ra
trường, tơi có chép được bài thơ :

“Dân làng xã họp nhau tế thánh
Xong việc làng, chia bánh phân xôi
Đếm đầu nhân xuất trăm người

“Lão”, “nhiêu” hai hạng cịn thời “dân đinh”
Bánh dày “lão” một mình 5 chiếc
Bánh chưng phần dịch việc ông “nhiêu”
Mỗi ông 3 chiếc đủ tiêu

Cịn xơi cắt thỏi chia đều đàn em
Cứ ba bác thòm thèm 1 thỏi
Thế hậu rồi, còn hỏi han chi ?!
Xế chiều, tan đám người đi
Bánh, xơi tính chục, vị chi đủ 10”.
Hỏi có bao nhiêu “lão”, “nhiêu”, “dân
đinh” ?

(“Lão”, “nhiêu” - các chức sắc của làng).
Đọc bài thơ ta như thấy lại truyện ngắn
“Việc làng”của nhà văn Ngơ Tất Tố, cũng
có thể minh họa cho câu : “Một miếng giữa
làng bằng một sàng xó bếp”của các cụ để

lại. Về nội dung Toán học, bài toán ny
tng t bi Trm trõu trm c.

Bạn thử giải xem sao ?

Nguyễn Thị Thuận

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

8

ThS. Nguyễn Văn NhoNguyễn Văn Nho(NXBGD)

Kỡ trc chỳng tụi ó gii thiu 4 trong 25 câu hỏi dành cho
lớp 7 của năm 2002. Sau đây là 5 câu hỏi, lần lượt từ câu 21 đến
câu 25 dành cho lớp 8, cũng của năm này.

Bài 2 (câu 22) : Người ta xếp 64 hình lập
phương đơn vị (1 x 1 x 1), tạo thành một hình lập
phương lớn (4 x 4 x 4) rồi sơn màu đỏ cho các mặt
của hình lập phương lớn. Mỗi hình lập phương
đơn vị được tính điểm theo bảng như sau :

Vậy tổng số điểm của 64 hình lập phương
đơn vị là bao nhiêu ?

(A) 40 (B) 41 (C) 42 (D) 43 (E) 44
Bài 1 (câu 21) : Các đường thẳng
PS, QT và RU đồng quy tại O như
hình vẽ. Nối PQ, RS, TU tạo thành các
tam giác. Khi đó, giá trị của tổng các
góc P, Q, R, S, T, U là bao nhiêu ?

(A) 450o (B) 270o (C) 360o
(D) 540o (E) 720o

Bài 3 (câu 23):Viết các số nguyên 2, 2, 5, 5, 8, 9 lên 6 tấm bìa. Từ 6 tấm bìa này, ta
chọn một số tùy ý các tấm bìa rồi tính tổng các số ghi trên các tấm bìa được chọn. Trong
các tổng đã tính như thế, hỏi rằng từ 1 đến 31 có bao nhiêu số khơng thể xuất hiện ?

(A) 4 (B) 22 (C) 8 (D) 10 (E) 6

Bài 4 (câu 24):Ron có 8 chiếc que, độ dài mỗi que là một số tự nhiên (khác 0). Ron
nhận thấy rằng cậu ta không thể dùng bất cứ 3 que nào trong 8 que ấy để tạo thành
một hình tam giác. Như thế, que dài nhất mà Ron đang có sẽ có độ dài bé nhất bằng
bao nhiêu ?

(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24

Bài 5 (câu 25):Tony và Maria đang tập luyện để dự một cuộc thi chạy. Họ cùng chạy
lên và xuống một ngọn đồi (quãng đường từ chân đồi đến đỉnh đồi dài 700m). Tốc độ
chạy lên dốc của cả hai người luôn không đổi và khác nhau. Khi chạy xuống dốc, mỗi
người chạy với tốc độ gấp đôi tốc độ của họ đã chạy khi lên dốc. Maria là người lên đến
đỉnh đồi trước, cô quay xuống ngay và gặp Tony lúc anh chỉ còn cách đỉnh đồi 70m. Khi
Maria xuống đến chân đồi, cơ cịn cách Tony bao xa ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

9

Bài 1 : Naoki làm trung bình được 68%
nghĩa là bình quân mỗi bài kiểm tra đạt 68
điểm (điểm tối đa của mỗi bài là 100). Vậy
tổng số điểm của 9 bài kiểm tra là :

9 x 68 = 612 (®iĨm)

Khi bỏ qua khơng tính điểm thấp nhất
của bài làm (là điểm 0) thì xem như Naoki
vẫn đạt 612 điểm nhưng chỉ với 8 bài kiểm
tra. Điều này có nghĩa là cậu ta làm bài đạt
điểm bình quân là : điểm = 76,5 điểm
hay đã làm trung bình được 76,5%.

Trả lời :(A).
Bài 2 :Từ hình vẽ ta thấy : tam giác đều
lớn (ngoại tiếp lục giác đều) được ghép bởi
9 tam giác đều nhỏ (bằng nhau) ; lục giác
đều được ghép bởi 6 tam giác đều nhỏ nói
trên. Diện tích lục giác đều bằng 12 nên
diện tích mỗi tam giác đều nhỏ bằng 2, suy
ra diện tích tam giác đều lớn bằng 18.

Trả lời :(D).
Bài 3 :(làm tròn đến đơn vị mét)
Sedra chạy 400m hết 44 giây nên chạy
100m hết 11 giây, do đó Catrina n ớch
trc Sedra.

Catrina chạy 1000m hết :
(giây).
Sau 100 giây, Sedra chỉ chạy được :

Vy khi ú Sedra cũn cách đích 91m.
Trả lời :(E).
Bài 4 :

Cách 1 :Lập bảng như sau cho mỗi bể

Ta cú 20 = 2 + 18 = 8 + 12 = 14 + 6 nên từ
bảng suy ra số cá Vàng tương ứng cho mỗi
trường hợp là 33, 32 và 31. Vậy nếu Enzo có
tất cả 20 con cá Ngũ Sắc thì số cá Vàng nhỏ
nhất mà cậu ta có thể cú l 31.

Trả lời : (C).
Cách 2 :Ta lập bảng như sau :

(trong bể thứ nhất, gọi 2a là số cá Ngũ Sắc thì
3a là số cá Vàng ; trong bể thứ hai, gọi 3b là
số cá Ngũ Sắc thì 5b là số cá Vàng).

100 x 100 909 (m).

11

1000 x 10 100

100

612
8

Cuộc thi Toán gau-xơ của ca-na-đa

(dành cho lớp 7)

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

10

j

Cõu 1 :Giải phương trình :

j

Câu 2 :Giải hệ phng trỡnh :

j

Câu 3 : Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1.

j

C©u 4 : Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình
vuông.

1) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho :

2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường
vng góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của
đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số có giá trị khơng đổi khi M di
chuyển trên đường chéo AC.

3) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn
(S₁) và (S₂) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến
chung của (S₁) và (S₂) tiếp xúc với (S₂) tại P và Q. Chứng minh
rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S₁).

j

Câu 5 :Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là
số ngun lớn nhất khơng vượt q a và kí hiệu là [a]. Dãy các số
x₀, x₁, x₂, ... , x_n, ... được xác định bởi công thức

Hái trong 200 sè {x₀, x₁, x₂, ..., x₁₉₉} cã bao nhiªu sè kh¸c 0 ?
(cho biÕt 1,41 2 1,42).

n n 1 n

x .

2 2

    

_ _{ } _

   

OB
CN

   
MAB MBC MCD MDA.  
3 3 2 2

(x y ) (x y )

P ,

(x 1)(y 1)

  



 

2 2
2 2
(x y)(x y ) 15,
(x y)(x y ) 3.

   




  



x 3  x 1 2. 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

11

j

Câu 1 :(2 điểm)
a) Giải phương trình :

b) Định m để phương trình x2- (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm
phân biệt x₁, x₂sao cho x₁, x₂là độ dài hai cạnh góc vng của
một tam giác vuụng cú cnh huyn bng 5.

j

Câu 2 :(2 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện :
a2_{+ b}2_{+ c}2_{= (a - b)}2_{+ (b - c)}2_{+ (c - a)}2_.
a) Tính a + b + c biết rằng ab + bc + ca = 9.
b) Chứng minh rằng nếu c a, c b thì c a + b.

j

Câu 3 : (2 điểm)

Cựng mt thi im, một chiếc ô tô X_Axuất phát từ thành phố
A về hướng thành phố B và một chiếc khác X_Bxuất phát từ thành
phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc
riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km.
Cả hai chiếc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại
và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe
X_Bđi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là
1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiếc ơ tơ.

j

Câu 4 : (3 điểm)

Gi I, O ln lt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại
tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K
(K A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là
các điểm đối xứng của I và O qua BC.

a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B.
b) TÝnh gãc BAC nÕu Q thuéc (C).

c) Chøng minh r»ng nÕu Q thc (C) th× P cịng thc (C).

j

Câu 5 :(1 điểm)

Chng minh rng t 8 s nguyờn dương tùy ý không lớn hơn 20,
luôn chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.

x 4x 3 2. 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

12

KÕt quả :

Thi giải toán qua thư

Bi 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng
thức p3+ q3= 2.

Chøng minh r»ng 0 < p + q 2.
Lêi gi¶i :

Chøng minh : p + q > 0.
C¸ch 1 :

C¸ch 2 :p3+ q3= 2 p3+ q3> 0
p3> (-q)3p > -q p + q > 0.
Chøng minh : p + q 2.

Vì p + q > 0 nên (p + q)(p - q)20
(p2- q2)(p - q) 0 p3+ q3pq(p + q)
3(p3+ q3) 3pq(p + q)

4(p3+ q3) (p + q)3(p + q)38
p + q 2.

NhËn xÐt :1) Cã thĨ chøng minh p + q 2
b»ng nhiỊu c¸ch kh¸c. Chẳng hạn :

Đặt x = p - 1 và y = q - 1
th× 2 = p3+ q3= (x + 1)3+ (y + 1)3
x3+ y3+ 3(x2+ y2) + 3(x + y) = 0
x3+ y3+ 3(x + y) 0

(x + y)(x2- xy + y2+ 3) 0 (*)
víi mäi x, y nªn tõ (*) ta cã x + y  0
p + q 2.

2) Nhiều bạn đã chứng minh bằng
phương pháp phản chứng. Bạn Ngô Hải
Nam, THCS Đông Mỹ, Đồng Hới, Quảng
Bình đề xuất bài toán tổng quát : “Nếu
p3+ q3= k3với k > 0 thì 0 < p + q

3) Các bạn có nhiều cách giải tốt là :
Nguyễn Thành Hải, 8A₇, THCS Ngô Sĩ Liên,
Bắc Giang ; Hoàng Văn Hà, 8G, THCS

Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An ; Hán
Phương Mai, tổ 4, khu 4, phường Ba Đình,
Bỉm Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Trung Kiên,
8C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc;
Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS TT. Kì Anh,
Kì Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thu Trang, mẹ là
Nguyễn Thanh Bình, TT Bảo trợ trẻ em mồ
cơi tàn tật, Việt Trì, Phú Thọ ; Dương Danh

Hồng Anh, 6A₄, THCS Phan Chu Trinh,
TP. Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk; Nguyễn Hữu
Nam, 6C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kì, Hải
Dương ; Phan Đức Thành, 9/4, THCS
Nguyễn An, Gò Vấp, TP. Hồ Chí Minh; Trần
Chính Nghĩa, THCS Lê Q Đơn, TX. Tuyờn
Quang, Tuyờn Quang.

Ltn

Bài 2(17) :Đặt

Chứng minh rằng :

Lời giải :

Cách 1 :(của bạn Hoàng Đức ý) Ta có :
n n 1 1

2 2 2
n n 1 1

2 2 2 3 2 n 2
1 2 3 n

2 3 n

S S ... S 1

S S ... S 1

1 1 1 _... 1

5S 5 S 5 S 5 S

1 1 1 _... 1 ₍₁₎

5 5 5 5




   

    

     

    

2 2 2 3 2 n 2
1 2 3 n

1 1 1 _... 1 35_.

36
5S 5 S 5 S  5 S 

1

2 ₂

n ₂ ₃ _n
1

S 1
5

1 1

S 1

5 5

...

1 1 1 1

S 1 ...

5 5 5 5

 
  

     

3
k. 4.
3 3 2 2

2 2

q 3

2 p q (p q)[(p ) q ] vµ

2 4

q 3

(p ) q 0 víi mäi p, q nªn p q 0.

2 4

     

    

2 2 y 2 3 2

V× x - xy y 3 (x ) y 3 0

2 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

13

Tõ (1) vµ (2) suy ra :

Cách 2 :(của bạn Tô Việt Anh)
Với k nguyên dương ta cú :

Cách 3 :(của bạn Khuất Văn Phiến)

Nhn xét :1) Nhiều bạn đã giải được bài
này với nhiều cách khác nhau. Hầu hết các
lời giải đều đúng, đặc biệt có gần 30 lời giải
cho kết quả mạnh hơn nhiều.

2) Các bạn có lời giải ngắn gọn và phát
hiện được kết quả mạnh hơn là : Khuất Văn
Phiến, đội 5, xã Đại Đồng, Thạch Thất, Hà
Tây ; Tô Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn
Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội; Triệu Mạnh
Duy, mẹ là Nguyễn Thu Hương, Trung tâm
Đào tạo cán bộ Y tế, 35 Trần Nhật Duật ;
Trần Thu Thủy, 6A₄, THCS Trần Đăng
Ninh, TP. Nam Định, Nam Định; Lê Hương
Trâm, 8A₃, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phú Thọ ; Hoàng Đức ý, 8E, THCS Trần
Mai Ninh, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa ;
Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS TT. Kì
Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Trung Kiên,
8C, THCS Vĩnh Yên, TX. Vĩnh Yên, Vĩnh
Phúc;Bùi Đức Minh, 9CT, THCS Trần Phú,
TX. Phủ Lí, Hà Nam.

ngun anh qu©n

Bài 3(17) :Cho các số dương x, y, z thỏa
mãn bất đẳng thức :

2xyz + xy + yz + zx 1.
T×m giá trị lớn nhất của xyz.

Li gii : ỏp dng bất đẳng thức Cô-si
cho bốn số 2xyz, xy, yz, zx ta có :

2

1 1 5 1 _{35 .}

1 20 36 18 36

5(1 ₅)

     



7
36
2 2 n 2
1 2 n

1 1 1

VËy : ...

5S 52S  5 S 

2 2 2 3 2 n 2
1 2 3 n
2
n 1 n
n

1 1 1 1

Suy ra : ...

5S 5 S 5 S 5 S

1 1 1 1

5 x 1 5(1 5) 5(1 5) 5(1 5 5 )

1 1

...

5(1 5 ... 5 ) 5(1 5 ... 5 )

1 1 _35.

5 _{5(1 5 ... 5 )} 36

    
    
  _{ }
  

     
   
  
1
5

0 11 k 1 0 11 k
5(5 5 ... 5 ) 5(5 5 ... 5 )

 

     

0 1 k 0 1 k 1
0 1 k 1 2 k
0 1 k 0 1 k 1

0 1 k 0 1 k 1
(5 5 ... 5 ) (5 5 ... 5 )

(5 5 ... 5 )(5 5 ... 5 )
(5 5 ... 5 ) (5 5 ... 5 )

5(5 5 ... 5 )(5 5 ... 5 )



      

     

      

     
k k

k 2 k 2 2 k 2
k k

0 1 k 0 1 k 1
0 1 k 0 1 k

1 5 5

5 S (5 S ) (1 5 5 ... 5 )
(5 5 ... 5 ) (5 5 ... 5 )

(5 5 ... 5 )(5 5 ... 5 )

  
   
      

     

2 2 2 3 2 n 2
1 2 3 n

1 1 1 _... 1 35_.

36

5S 5 S 5 S  5 S  

1
4
2 3 n

2 3 n 1
n

1 1 1 1

Đặt A ...

5 5 5 5

1 1 1 1

5A 1 ...

5 5 5 5

1 1

4A 5A A 1 1 A (2)

4
5

    
      

       

n n 1 1

2 2 2 k 2 k
n n 1 1 k
k 2 k

k

2 2 2 n 2
1 2 n
Còng tõ S S ... S 1

S S ... S 1 5 S 5

1 _{1 (víi k = 1, 2, ..., n).}

5 S 5

1 1 _... 1

5S 5 S 5 S



   
      
 
    

2 3 n
2

2 3 n
2 n 1
n

1 1 1 _... 1 _.

1 ₅ ₅ ₅

5(1 )
5

1 1 1

Đặt M ...

5 5 5

1 1 1

5M ...

5 5 5

1 1 1 1

4M 5M M M .

5 ₅ 5 20

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Nhận xét :Đây là bất đẳng thức cơ bản.
Hầu hết các bạn đều giải theo cách trên.
Các bạn lớp 6, 7 sau có lời giải tốt : Nguyễn
Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị Trấn, Tân Yên,
Bắc Giang ; Nguyễn Văn Đại, 7C, THCS
Tự Lập, Mê Linh ; Nguyễn Văn Thịnh, 7C,
THCS Hương Canh, Bình Xuyên, Vĩnh
Phúc; Trịnh Quang Thanh, 7B, THCS Hàm
Rồng, Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Cẩm
Nhung, 7A, THCS Chu Văn An, Hương
Khê, Hà Tĩnh ; Đặng Vân Anh, 6A, THCS
Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An ;
Nguyễn Văn Ngọc, 7G, THCS Nguyễn Huệ,
Đông Hà, Quảng Trị; Bùi Bảo Khang, 7A₁,
THCS số 2, An Nhơn, Bình Định ; Dương
Danh Hoàng Anh, 6A₄, THCS Phan Chu
Trinh ; Võ Văn Tuấn, 7A₅, THCS Buụn H,
KRụng Buk, k Lk.

Nguyn Minh c

Bài 4(17) :Tính các gãc cđa tø gi¸c ABCD
biÕt

Lời giải : (theo bài của bạn Phạm Thị Thu
Hoài) Dựng AH  CD, gọi O, E lần lượt là
giao điểm của BD với AH, AC. K là giao điểm

của AD và CO. Xét tam giác vuông OHD, do
 tứ giác ABCO nội tiếp, từ đó

XÐt ACK :

kÕt hỵp víi
AH  CD suy ra O là trực tâm của ACD,
vì thế AC BD tại E.

Xét tam giác vuông AEB :
Lại cã :

EDC vu«ng,
Cuèi cïng ta cã
Tãm l¹i :

Nhận xét :1) Có nhiều cách khác để giải
bài tốn này. Chẳng hạn, dựa vào giả thiết
ta có nhận xét : điểm C
phải nằm bên trong đường tròn ngoại tiếp
ABD. Gọi M, N, I lần lượt là giao điểm của
DC, AC, BC với đường tròn ngoại tiếp
ABD. Ta chứng minh được AN là đường
kính ; N là trung điểm của từ đó suy ra
AC là trục đối xứng của tứ giác ABCD và
tính được các góc của tứ giác này.

Víi c¸ch giải này, ta cũng có thể tổng
quát được bài toán.

2) Cỏc bn cú lời giải đúng và gọn là :
Phạm Thị Thu Hoài, thơn Đồng Kinh, Thái
Thuần, Thái Thụy, Thái Bình; Tơ Việt Anh,
9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà
Nội ; Nguyễn Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị


MI,

  o

BAD BCD 180 , 

 o

BAD 130 .

  o  o

ABC ADC 75 ; BCD 80 ;  

  o o o

EDC ACK 50  25 75 .

  
ADC EDC ADE  

   o

ECB ECD BCD 80 .

   

 o  o

EDC 50 ECD 40

 o    o

EBC 50 ABC ABO EBC 75 ;  

 o    o

BAE 65 BAD BAE KAC 130 .  

 o

ABE 25 nªn

 o

AKC 90 hay CK AD,

  

 o  o

KAC 65 , ACK 25 

  o

ACK ABO 25 . 

 o  o  

ODH 50 suy ra DOH 40  AOB BCA

 o   o

BCA 40 vµ BAD BCD 180 .  

 o  o  o

ABD 25 ; CAD 65 ; BDC 50 ;  
4

3 3
4

4 3
1 2xyz xy yz zx 4 2xyz.xy.yz.zx

1 1

1 4 2(xyz) (xyz)

2.4 8

    



1

xyz . Đẳng thức xảy ra khi vµ chØ khi
8

1 1

2xyz xy yz zx x y z .

4 2

 

       

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

15

Trấn, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Nam
Hải, SN 173 đường Lê Lợi ; Đỗ Việt Hùng,
SN 11 đường Trường Chinh, TX. Phủ Lí, Hà
Nam ; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS thị
trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Trần Văn
Dưỡng, Đỉnh Dương, Trừng Xá, Lương Tài,
Bắc Ninh; Võ Văn Tuấn, 7A₅, THCS Bn
Hồ, KRơng Buk ; Dương Danh Hồng Anh,
6A₄, THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma
Thuột, k Lk.

Nguyễn văn mạnh

Bi 5(17) :Cho tam giỏc ABC, trc tâm H,
nội tiếp đường tròn (O). M là trung điểm của
BC. AM cắt (O) tại N (N A). Chứng minh
rằng MN MH. Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Lời giải : Có ba trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1 :ABC vng tại A (hình 1).

H×nh 1

Ta cã A  H ; O  M. Suy ra MN = MH
(cïng bằng bán kính đường tròn tâm (O)).

Trng hp 2 :ABC cân tại A (hình 2).

H×nh 2

Dễ thấy MN = MH (kết quả quen thuộc).
Trường hợp 3 : ABC không vuông và
không cân tại A (hình 3). Đặt L = AO (O)
(L A). Ta thấy :

BH AC ; LC AC BH // LC
CH AB ; LB AB CH // LB

Hình 3

BHLC là hình bình hành M là trung
điểm của LH MH = ML (1).

Do ABC không vuông và không cân tại
A nên các đường thẳng AO, AM khơng trùng
nhau. Do đó L  N. Xét tam giác vuông
ANL, ta có : MN < ML (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra MN < MH.

Tóm lại, qua cả ba trường hp, ta cú :
MN MH.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC vuông hoặc cân tại A.

Nhn xét :Bài tốn này khơng khó, tuy
vậy chỉ có 3 bạn có lời giải hồn chỉnh (tìm
đủ điều kiện xảy ra đẳng thức). Xin nêu tên
cả ba bạn : Nguyễn Trung Kiên, 8C, THCS
Vĩnh Yên, TX. Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ;
Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình
Giang, Hải Dương; Tơ Việt Anh, 9A, THCS
Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

16

Thám tử Sê-Lốc-Cốc có người bạn cũ là
nhà tốn học nổi tiếng - giáo sư Bây-len.
Một lần, thám tử nhận được thư của giáo
sư báo tin sẽ đến công tác ít ngày tại thành
phố nơi thám tử sinh sống. Mặc dù rất
mong gặp bạn cũ, nhưng khi giáo sư đến

thì thám tử lại đang phải đi điều tra một vụ
án đặc biệt nghiêm trọng xảy ra ở thành
phố khác, vì thế mấy ngày sau ơng mới trở
về tìm gặp giáo sư Bây-len được.

Đến khách sạn Rồng Đen - nơi giáo sư
Bây-len th phịng, thám tử vơ cùng kinh
ngạc được biết người bạn của mình
đã bị sát hại mấy ngày trước
đây. Người quản lí khách
sạn cho biết :

- Ơng Bây-len bị
một kẻ nào đó đâm
bằng dao, vào đúng
ngày ông ra bưu
điện nhận tiền người
nhà gửi đến. Toàn bộ
số tiền cũng đã bị
cướp.

- Cảnh sát đã bắt được hung thủ chưa ?
- Thám tử sốt sắng hỏi

- RÊt tiÕc lµ ch­a.

- Ơng cịn biết thêm điều gì nữa khơng ?
Xin hãy kể cho tôi nghe ! Tôi vô cùng
thương tiếc bạn mình và muốn khám phá
vụ án mạng này trong thời gian sớm nhất.

- Khi ơng Bây-len đến th phịng, tơi
mới biết ơng ấy là đồng hương của mình.
Chúng tơi nhanh chóng có thiện cảm với
nhau và mỗi lần nướng bánh tôi lại mang

đến biếu ông ấy một vài chiếc. Ơng có
tưởng tượng được khơng ? Khi bị sát hại
ơng ấy vẫn cịn cầm chặt một chiếc bánh
nướng trong tay. Tơi đau lịng lắm ! Đến
cảnh sát cũng cảm thấy khó hiểu, khơng
biết vì sao một người bị đâm trọng thương
mà vẫn cố cầm chặt chiếc bánh ?

- Ông có biết chút gì về kết quả điều tra
của cảnh sát không ?

- Tụi khụng rõ lắm. Tôi chỉ biết họ
khẳng định hung thủ là người cùng thuê
phòng tại khách sạn của tơi. Nhưng kẻ đó
là ai thì cảnh sát chưa kết luận
được. Hôm xảy ra án mạng
tôi đang trực và tôi biết
chắc chắn hôm đó
khơng có một người
lạ nào n khỏch

sạn cả.

- Hung th cú
li du vt gì khơng ?

- Tơi khơng rõ
lắm, nhưng hình như
là khơng.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc đứng lên. Ơng đi đi
lại lại, đăm chiêu suy nghĩ một lúc khá lâu.
- Rất có thể điều bí mật của vụ án nằm
trong chiếc bánh nướng ! - Thám tử thốt lên.
Nghe vậy, người quản lí khách sạn vội
thanh minh :

- Thưa thám tử, xin ông đừng nghi ngờ
tôi và những chiếc bánh của tơi ! Tơi và
giáo sư Bây-len là chỗ thân tình mà, tơi
làm sao có thể hại ơng ấy được !

- å kh«ng ! T«i kh«ng nghi ngê «ng

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

17

l

Kết quả :

đâu ! Có lẽ tơi đã hiểu vì sao mà người

bạn của tôi lại cố cầm chiếc bánh trong
tay khi bị đâm trọng thương.

Trong khi người quản lí khách sạn đang
cố suy nghĩ thi thám tử đột nhiên hỏi :

- Th­a ông, tầng ba của khách sạn có

mấy phòng ?

- Có 15 phịng tất cả. Tầng nào cũng
có các phịng đánh số từ 1 đến 15.

- B©y giê ông thể dẫn tôi lên tầng 3
được không ?

- c , tụi luụn sẵn lòng giúp thám tử.
Hai người lên tầng ba. Họ đi dọc theo
hành lang, bắt đầu từ phòng số 1. Khi gần
hết hành lang, thám tử Sê-Lốc-Cốc bỗng
dừng lại, chỉ vào một phịng và hỏi :

- Ai ë trong phßng nµy ?

- Thưa, anh ta tên là Mi-ke, một người
hám tiền, hám rượu. Mà hai hôm nay,
anh ta đã đi đâu đó, chưa thấy về...
Nhưng tơi nghĩ chiếc bánh thì khơng thể
có liên quan gì đến anh ta được.

- Có đấy. Bánh nướng viết theo tiếng
Anh là Pie, đọc là pai, mà paicũng chính
là cách đọc tên của một con số trong
tốn học. Thế nào, ơng đã đốn ra chưa ?
Khơng phải ngẫu nhiên mà một giáo sư
toán học lại cố cầm chiếc bánh Pie khi bị
giết đâu. Theo tơi thì Mi-ke là kẻ khả nghi
nhất trong vụ án này. Tất nhiên tôi cần

gặp đội cảnh sát đã điều tra vụ án và sẽ
phải tìm hiểu kĩ thêm nữa trước khi đưa ra
kết luận cuối cùng.

Người quản lí khách sạn nghĩ mãi mà
vẫn chưa hiểu tại sao thám tử Sê-Lốc-Cốc
lại khẳng định mối liên quan giữa chiếc
bánh nướng với anh chàng Mi-ke. Còn các
bạn - những thám tử “Tuổi Hồng” u thích
mơn tốn thì sao, có đốn ra khơng ?

Ơng Ben khơng thể hiểu nổi vì sao
thám tử Sê-Lốc-Cốc đã kịp nhận ra kẻ
sát nhân, còn các “thám tử Tuổi Hồng”
- bạn đọc của TTT- thì lại phán đốn
thật chính xác và tài tình : Ngồi ơng
Ben ra, chỉ có duy nhất người thư kí
Giơn là biết kế hoạch các thám tử sẽ
nấp sau tấm ri-đơ. Bóng đen lẻn vào
và lập tức bắn thẳng vào tấm ri-đô,
chứng tỏ hắn đã biết trước kế hoạch
đó. Khơng ai khác, hắn chính là người
thư kí đã được ông Ben hết sức tin yêu.
Quả là một kẻ vô ơn bội nghĩa !

Phần thưởng kì này được trao cho
năm bạn có bài làm xuất sắc hơn cả :

Nguyễn Hồng Nhung, 7B, THCS
Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây; Lê Thị

Thúy Phương, 7A, THCS Tô Hiệu, TX.
Nghĩa Lộ, Yên Bái ; Lê Quang Đạt,
6A, THCS TT. Hải Lăng, Quảng Trị ;

Nguyễn Đăng Toàn, 6A₉, THCS TT.
Phước An, Krông Păk, Đắk Lắk ;

Nguyễn Dương Lam Linh, F91, Trần
Quang Diệu, Phan Thiết, Bình Thuận.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

18

ỨNG DỤNG

Ngun ThÞ Kim Ng©n

(8A₁, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä)

CỦA MỘT BỔ ĐỀ

Trong q trình học tập, tìm tịi, em đã
được biết đến một bất đẳng thức đẹp và
nhờ sử dụng nó, việc chứng minh một số
bất đẳng thức khác tỏ ra khá hiệu quả.

Bất đẳng thức được phát biểu dưới dạng
một bổ đề như sau :

Bổ đề :Nếu a + b 0 thì với mọi m ; n

ngun dương ta có :
Chứng minh :

Do a, b cã vai trß nh­ nhau, không mất
tính tổng quát, giả sử a b (1).
Do a + b 0 suy ra a - b (2).
Tõ (1) ; (2) suy ra a |b| 0, suy ra :

¸p dơng :

Bài tốn 1 : Cho x + y 0. Chứng minh
rằng : (x + y)(x3+ y3)(x5+ y5) 4(x9+ y9).
Lời giải :Vì x + y 0, áp dụng bổ đề ta có

(x + y)(x3+ y3)(x5+ y5) 4(x9+ y9).
Bài toán 2 : Cho a + b 2 và n là số
nguyên dương. Chứng minh rằng :

an+ bnan +1+ bn +1.

Lời giải :Vì a + b 2 > 0 nên từ (**) suy
ra an_{+ b}n₀

Bài toán 3 :

Chøng minh r»ng : (x + y)(x2+ y2) x5+ y5.
Lêi gi¶i :

(x + y)(x2+ y2) x5+ y5(đpcm).
Mong các bạn bổ sung thêm nhiều bài

tập áp dụng của bổ đề này.

Cho x 2 ; y 2.
n n n 1 n 1

n n n 1 n 1

a b a b

2 2

a b a b (®pcm).

 

 

 

 

   

n n n 1 n 1

a b a b_. a b _{(áp dụng bổ đề).}

2 2 2

 

  



n n n n
a b a b a_. b _;

2 2 2

 _  

3 3 5 5 4 4 5 5
3 3 5 5 9 9
x y x y x y_. _. x y x y_.

2 2 2 2 2

x y x_. y x_. y x y

2 2 2 2

    

 

   

 

3 3 4 4
4 4 5 5 9 9
x y x_. y x y

2 2 2

x y x_. y x y

2 2 2

   _ 


  
 _

m

m m m m m
n n n n n
n

m m n n _(*)

a b _a _b _a _b _0(**)

a b a b 0

a b

(a -b )(a -b ) 0, được chứng minh.


 _ _
 
 


 _ _
  
  
 _ _



m m n n m n m n
m n m n m n n m

m n n m n n
m m n n

(*) (a b )(a b ) 2(a b )

a b a b a b 0

a (a b ) b (b a ) 0
(a b )(a b ) 0.

 

 
    
    
    
   

m m n n m n m n

a b a_. b a b _(*).

2 2 2

 

  _ 

2 2 2 2
3 3

2 2 3 3 2 2
5 5

x y ₂ _2.x y x y x y_.

2 2 2 2

x y x y

2. (theo bổ đề)

2 2

x y x y x y x y

2. . .

2 2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

19

lNgười thách đấu :

TS. Ngun Minh Hµ, Hµ Néi.

lBài tốn thách đấu :

Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC, trung
tuyến AM và phân giác AD. N là một điểm
nằm trong tam giác AMD (N khác A và

không thuộc đoạn MD). BN, CN theo thứ
tự cắt AC, AB tại B, C’.

Chøng minh r»ng : BB’ > CC’.

lXuÊt xø :S¸ng t¸c.

lThời hạn nhận thách đấu :

Trước ngày 15 - 10 - 2004.

Rất nhiều võ sĩ nhận lời thách đấu với
các “chiêu thức” cực kì phong phú :

- Tứ giác nội tiếp (hàng trăm võ sĩ)
- Tam giác đồng dạng (hàng chục võ sĩ)
- Định lí Ta-lét (chỉ có vài võ sĩ)

Tơi rất quan tâm đến các lời giải bằng
“chiêu thức” thứ ba : định lí Ta-lét. Bởi lẽ, tơi
khơng thích “giết gà bằng dao mổ trâu”.
Trong các lời giải này, tôi đặc biệt chú ý tới
lời giải của võ sĩ Phan Dỹ Kỳ, 8A, THCS
Quang Trung, Quy Nhơn, Bình Địnhbởi sự
gọn gàng và sáng sủa của nó. Xin giới thiệu
với bạn đọc lời giải của võ sĩ này.

Kẻ HL AB (L AB) HL // AC.
Đặt F = HL BE. Theo nh lớ Ta-lột :

KF BC (vì AH BC)

F là trực tâm của tam giác KBH
BE KH.

Nhn xột : 1) Bài tốn này quả là đơn
giản, tuy nhiên tìm cho nó một lời giải đơn
giản lại là chuyện khơng đơn giản.

2) Một số võ sĩ đã có nhận xét đúng rằng :

có thể thay giả thiết điểm D thuộc đoạn HC
bằng giả thiết điểm D thuộc đường thẳng
BC. Với sự thay đổi này, ta có một bài tốn
hay trong phần định lí Ta-lét.

3) Đương nhiên, võ sĩ Phan Dỹ Kỳ là
người đăng quang trong trận thách u ny.

Nguyễn Minh Hà

EC DC
vì ED // AH nên ;

EA DH
DC KA
vì HL // AC // DK nên .

DH KL
FH KA

Suy ra KF // AH
FL KL




 

FH EC
vì HL // AC nên ;

FL EA

Rt nhiều võ sĩ nhận lời thách đấu với

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

20

Tính giá trị của biểu thức là dạng toán rất
quen thuộc đối với học sinh THCS. Trong
nhiều trường hợp, việc tính giá trị của biểu
thức rất khó thực hiện nếu chỉ sử dụng các
phép biến đổi trực tiếp, nhưng lại thực hiện
được dễ dàng hơn thơng qua việc tính giá trị
của một biểu thc trung gian khỏc.

Sau đây là một vài ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 :Tính giá trị của biểu thức

A = 1 + 3 + 32+ 33+ ... + 32004.
Lêi giải : Để tính giá trị của biểu thức A,
cần liên hệ được với công thức tính an- 1,
ta thấy ngay :

2A = (3 - 1)( 1 + 3 + 32+ 33+ ... + 32004) =
= 32005- 1.

Do đó :

Với học sinh lớp 6, 7 chưa học hằng đẳng
thức thì có thể thực hiện theo cách sau :

A = 1 + 3 + 32+ 33+ ... + 32004
3A = 3 + 32+ 33+ 34+ ... + 32005
2A = 3A - A = 32005- 1 

VÝ dơ 2 :TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc :
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100.

Lời giải : Để tính được B, trong trường
hợp này, ta đi tính 4B.

4B = 4(1.2.3 + 2.3.4 + ... + 98.99.100)
= 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + 98.99.100.4

= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2) +
+ ... + 98.99.100.(101 - 97)

= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 +
+ ... + 97.98.99.100 - 97.98.99.100 +
98.99.100.101 = 98.99.100.101

VÝ dụ 3 :Tính giá trị của biểu thức :
Lời giải :

Xét thấy

là hai giá trị liên hợp, ta thư tÝnh C2:

VËy :

Ví dụ 4 :Tính giá trị của biểu thức :

Lời giải : Sẽ rất khó khăn khi bạn mới
gặp biểu thức dạng này. Hãy thử phân tích
các biểu thức trong các dấu căn thành
bình phương của các tổng, hiệu. Ta thấy :

2

4 2 3 (1 3) 1 3

2 3 ;

2 2 2

5 3

Tương tự, 14 5 3 .
2

  

   



 

D 2 3  14 5 3  2.
C 1  5.

4 10 2 5 4   10 2 5  C 0.

4 10 2 5 ; 4  10 2 5

C 4 10 2 5  4 10 2 5 .
98.99.100.101

B 24497550.

4

  

2005

3 1

A .

2 


2005

3 1

A .

2 


2

2
2 2

C 4 10 2 5 4 10 2 5

2 (4 10 2 5 )(4 10 2 5 )
8 2 16 (10 2 5) 8 2 6 2 5
8 2 5 2 5 1 8 2 (1 5)
8 2(1 5) 6 2 5 5 2 5 1
C (1 5) . MỈt kh¸c :

      

    

      

      

      

Nguyễn văn lạc

(Phòng Giáo dục Tiên LÃng, Hải Phßng)

Tính giá trị biểu thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

21

Vậy trước hết ta tính từ đó suy ra D :
Ví dụ 5 :Tính giá trị của biểu thức

Lêi gi¶i : Ta thử tính E3.

E = 3.

Đề nghị các bạn giải bài tập sau.
Bài tập :Tính giá trị của các biểu thức :

3 3
3

2
2

E 12 5E E 12 5E 0

E 9E 4E 12 0

E(E 3)(E 3) 4(E 3) 0
(E 3)(E 3E 4) 0

E 3 0 (v× E 3E 4 0 víi mäi E)

      

    

     

    

     

3

3

3 3

847 847

E 6 6

27 27

847 847

3. 6 6 .E

27 27

847 125

12 3. 36 .E 12 3. .E

27 27

5

12 3. .E 12 5E
3

    

  

 _  _  _

  

    

   

3 847 3 847

E 6 6 .

27 27

   

2 (1 3) (5 3) 2 8

D        D 4 2.

D 2,

4 4

0 2 4 6 2004

3 3

2 5 2 2 5 2 5 2 2 5.
4 15 5 21 6 35 6

1 1 1 1 1

a) M ... .

3 3 3 3 3

b) N .

8 55 8 55

c) P 7 7 .

3 3 3 3

d) Q 5 17 2 7 5 17 2 7

5 17 2 7 5 17 2 7 .

e) R       

     

     



   

      

     



Tô Việt Anh, 9A, THCS Nguyễn Trường
Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Nguyễn Trung
Kiên, 8C, THCS Vĩnh Yên, TX. Vĩnh Yên,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Thành Trung, 8D,
THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh;
Dương Danh Hồng Anh, 6A₄, THCS
Phan Chu Trinh, TP. Buôn Ma Thuột,
Đắk Lắk ; Nguyễn Mạnh Tùng, 7B,
THCS Thị Trấn, Tân Yên, Bắc Giang;
Ngô Hải Nam, 30 Bùi Thị Xuân, Đồng
Mỹ, Đồng Hới, Quảng Bình ; Hồng
Đức ý, 8E, THCS Trần Mai Ninh,
TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Khuất
Văn Phiến, Đội 5, xã Đại Đồng, Thạch
Thất, Hà Tây ; Phan Đức Thành, 9/4,
THCS Nguyễn An, Gò Vấp, TP. Hồ Chí

Minh ; Nguyễn Văn Ngọc, 7G, THCS
Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị; Bùi
Bảo Khang, 7A₁, THCS số 2, An Nhơn,
Bình Định ; Đặng Vân Anh, 6A, THCS
Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An ;
Trần Thu Thủy, 6A₄, THCS Trần Đăng
Ninh, TP. Nam nh, Nam nh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Dạng toán 8. Thống kê mô tả

Để tiện trình bày các khái niệm của thống
kê và tính trên máy, ta xét các ví dụ sau.

VÝ dơ 1 (Thi vµo 10 THPT, NghƯ An,
1996) Mét häc sinh líp 9 có kết quả kiểm tra
môn toán với 10 lần ®iÓm nh­ sau :

7, 8, 6, 7, 7, 8, 9, 6, 10, 7.

a) Lập bảng phân phối thực nghiệm, tính
điểm trung bình của học sinh đó.

b) Tính phương sai, độ lệch tiêu chuẩn và
cho biết ý nghĩa độ lệch này.

Lời giải : Kết quả kiểm tra (là đại lượng
thay đổi, được gọi là biến lượng) được thể
hiện trên bảng số liệu : 7, 8, 6, 7, 7, 8, 9, 6,
10, 7. Biến lượng nhận các giá trị x_i (bằng
một trong các số : 6, 7, 8, 9, 10).

Số lần lặp lại của mỗi giá trị x_itrong bảng
số liệu được gọi là tần sốcủa x_ivà kí hiệu là
m_i. Bảng số liệu được biểu diễn dưới dạng
bảng phân phối thực nghiệm :

Trung bình cộng của k giá trị x₁, x₂, ... , x_k
với các tần số tương ứng n₁, n₂, ... , n_k là

.
Trong trường hợp này

lTÝnh trªn Casio fx-500A :

Bấm phím (Vào chương trình
thống kê) và khai báo các dữ liệu :

7 8 6 7 7

8 9 6 10

7 (KÕt qu¶ : 7.5)

Ta dùng phương sai(kí hiệu là ) và độ
lệch tiêu chuẩn để đánh giá sự phân tán
của các giá trị quanh giá trị trung bình :

Tính độ lệch tiêu chuẩn và phương sai :
Bấm tiếp phím :

( = 1.20415)
(KÕt qu¶ : = 1.45).

Kết luận :Điểm kiểm tra phân tán quanh
giá trị trung bình với độ lệch tiêu chuẩn là 1,2.

lTÝnh trªn Casio fx-500MS :

Vào chương trình và khai báo dữ liệu :

6 2 7 4

8 2 9 1 10

1

Giá trị trung bình : (7.5)
Tìm độ lệch trung bình và phương sai :

(1.20415) (1.45)
Chó ý :Khai báo 6 2 nghĩa
là khai báo giá trị x₁= 6 có tần số là 2.

Ghi nh : 1) Vào chương trình thống kê
trên Casio fx-500A :Bấm phím

Trªn Casio fx-500MS : .

Trªn Casio fx-570MS : .

2) Xóa các số liệu thống kê bằng
(để nhập số liệu khác).

3) Ra khỏi chương trình thống kê bằng

1
CLR
SHIFT
1
MODE
MODE
2
MODE
.
MODE
DT
;
SHIFT

2
x

2
S-VAR
SHIFT

1
S-VAR
SHIFT
DT

;
SHIFT
DT
;
SHIFT
DT
;
SHIFT
DT
;
SHIFT
DT
;
SHIFT
2
MODE
2
n

2
x
SHIFT
n

n

SHIFT

2 2 2

2 1 1 2 2
1 2

( ) ( ) ... ( )
... k k k

m x x m x x m x x

m m m

       
  

2

x
SHIFT
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
.
MODE

x 7,5.

1 1 2 2 k k
1 2 k
x n x n ... x n
x

n n ... n

x

một số dạng toán thi học sinh giỏi

giải toán trên máy tính điện tử casio

TS. T Duy Phượng(Viện Tốn học)

22

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

23

(khi ®ang ë ).
4) Xóa tất cả và đưa máy về trạng thái

ban đầu : .

Vớ d 2. Điểm của hai đội thi được thống
kê theo bảng dưới đây :

1) Tính điểm số trung bình, phương sai và
độ lệch tiêu chuẩn của mỗi đội.

2) Hãy nhận xét về trình độ của hai đội.
Lời giải :Ta tính đồng thời trên hai máy
Casio fx-500Avà Casio fx-500 MSnhư sau :

§éi 1(Casio fx-500A) :

1.7 2.4 3.5 4.6

5.2 5.3 5.4 6.1

6.3 7.6 8.8 9.1

( )

( ) ( )

§éi 2(fx-500 MS) : 3.4

3.6 4.5 4.8 5.1 5.2

5.7 6.0 6.3 6.4 7.2

7.8 ( )

( )

( )

Kết luận :Điểm trung bình như nhau nhưng
đội 2 học đều hơn vì có phương sai bé hơn.

Ví dụ 3.Ba xạ thủ A, B, C bắn mỗi người
60 viên. Điểm số được thống kê như sau :

Tính điểm số trung bình, phương sai và độ
lệch tiêu chuẩn của mỗi người. Xếp hạng.

Lời giải :Sử dụng ba máy đồng thờinhư sau :

X¹ thđ A (Casio fx-500A) :

10 30 9 20 8 7

7 1 6 2

( ) ( )

( )

X¹ thđ B(Casio fx-500 MS) :

1 0 2 5 9 2 5

8 1 0 7 0

6 0

( )

( ) ( )

X¹ thđ C(Casio fx-570 MS) :

10 15 9

45

( ) ( )

( )

Kết luận : Điểm trung bình bằng nhau
nhưng theo độ lệch tiêu chuẩn ta xếp hạng :
Nhất : C ; Nhì : B ; Ba : A.

Bài tập.Tính giá trị trung bình và phương
sai theo các bảng s liu sau.

1) (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996 Khối 10)

2) (TP HCM, 1996 ; Hµ Néi, 1996)

3) (Së GD & §T §ång Nai, 1998 THCS)

Kết luận :1) Máy tính giúp giải nhanh
các bài tốn thống kê, là dạng tốn địi hỏi

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

24

TÌM CÁC BỘ SỐ NGUYEN DệễNG

nguyễn văn thiêm(Hà Nội)

CO TONG BAẩNG TCH

Ta đã biết có một bộ ba số nguyên dương
mà tổng các số đó bằng tích của chúng
(tổng bằng tích), là bộ số (1, 2, 3) :

1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3 (1).

Bài toán đặt ra :Tìm các bộ số ngun
dương khác cũng có tổng bằng tích.

Hướng thứ nhất : Thử thêm vào bộ số
trên một số, chẳng hạn là số 4, ta thấy ngay
bộ số (1, 2, 3, 4) có tổng khác tích :

1 + 2 + 3 + 4 = 10 cßn 1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Tõ có thể cân bằng tổng
và tích trên bằng cách thêm 24 - 10 = 14 số
1 vào bộ sè (1, 2, 3, 4) :

Như vậy ta đã tìm được bộ 18 số có tổng
bằng tích

Tương tự, ta có thể tìm được bộ 110 số có
tổng bằng tích

Bé sè gåm 705 sè

cã tæng b»ng tÝch :

Hướng thứ hai :Thử thay một trong các
số của bộ số (1, 2, 3) bởi một số khác,
chẳng hạn thay 3 bởi 4. Tiếp tục vận dụng
tính chất của số 1 ở trên, ta cũng tìm được
các bộ số mới có tổng bằng tích.

1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3
1 + 1 + 2 + 4 = 1 x 1 x 2 x 4
1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 1 x 1 x 1 x 2 x 5
1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6 = 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 6

...

Cho n = 2004, ta được bộ 2004 sè cã
tæng b»ng tÝch

Tương tự, thay số 2 của bộ số (1, 2, 3)
lần lượt bởi 3, 4, 5, ... ta có kết quả :

1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3
1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3

...7 sè h¹ng 7 thõa sè
1 1 ... 1 5 3 1 x 1 x ... x 1 x 5 x 3_{}     _{}_

5 sè h¹ng _{5 thõa sè}

1 1 ... 1 4 3 1 x 1 x ... x 1 x 4 x 3_{}     _{}_
2002 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 2004) :__
n 2 sè h¹ng _{n 2 thõa sè}

1 1 ... 1 2 n 1 x 1 x ... x 1 x 2 x n (2)

 _

     

 _{}_

699 sè h¹ng
699 thõa sè

1 1 ... 1 1 2 3 4 5 6

1 x 1 x ... x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 720.
         

 




700 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 3, 4, 5, 6)__
105 sè h¹ng

105 thõa sè

1 1 ... 1 1 2 3 4 5

1 x 1 x ... x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 120 ;
        

 




106 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 3, 4, 5) :__
15 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 3, 4).__
14 sè h¹ng

14 thõa sè
1 1 ... 1 1 2 3 4

1 x 1 x ... x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 24.
       

 




n thõa sè 1
1 x 1 x ... x 1 1,_{}_

2002 sè h¹ng

2002 thõa sè
1 1 ... 1 2 2004

1 x 1 x ... x 1 x 2 x 2004.

     




</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

25

Víi n = 1003, ta ®­ỵc bé 2005 sècã tỉng
b»ng tÝch

Thực hiện tương tự với bộ 18 số có tổng
bằng tích cũng cho ta các
bộ số mới, ví dụ :

Cho n = 401, ta được bộ 2003 sốcó tổng
bằng tích

l Các đẳng thức trên đều có thể viết

gọn lại, ví dụ đẳng thức cuối cùng được
viết gọn là :

(1 x 2000) + 2 + 3 + 401 = 12000 x 2 x 3 x 401
Sau đây là vài lời giải khác nhau của bài
toán t×m bé 2003 sècã tỉng b»ng tÝch :
12001x 2 x 2003 = (1 x 2001) + 2 + 2003
12001x 3 x 1002 = (1 x 2001) + 3 + 1002

12001x 8 x 287 = (1 x 2001) + 8 + 287
12001x 12 x 183 = (1 x 2001) + 12 + 183
12001_{x 14 x 155 = (1 x 2001) + 14 + 155}
12001x 15 x 144 = (1 x 2001) + 15 + 144
12001x 23 x 92 = (1 x 2001) + 23 + 92
12001_{x 27 x 78 = (1 x 2001) + 27 + 78}

TÊt c¶ những lời giải trên có dạng
tổng quát là :

trong ú p - 1 l một ước số của n + p - 2
(hay p - 1 là một ước số của n - 1).

Ta nhận thấy rằng đẳng thức (2) cũng có
thể cho ta 2003 số có tổng bằng tích, như
lời giải đầu tiên theo dạng tổng quát trên.

Khi cho n = 2003 :

(1 x 2001) + 2 + 2003 = 12001x 2 x 2003.
Đến đây chúng ta thấy rằng còn nhiều
hướng đi khác để tìm các bộ số cú tng
bng tớch.

Bài tập :HÃy tìm thêm các bộ sè cã tỉng
vµ tÝch cïng b»ng 2003 ; 2004 ; 2005.

n 2 n p 2 n p 2

1 x p x (n 2) p ,

p 1 p 1

   _{   }  

 

2000 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 3, 401) :__
5(n 1) sè h¹ng

5(n 1) thõa sè

...
1 ... 1 2 3 n

1 x ... x 1 x 2 x 3 x n.





     





25 sè h¹ng _{25 thõa sè}

1 ... 1 2 3 6 1 x ... x 1 x 2 x 3 x 6_     _ _{}
20 sè h¹ng _{20 thõa sè}

1 ... 1 2 3 5 1 x ... x 1 x 2 x 3 x 5_     _ _{}
15 sè h¹ng1 ... 1 2 3 4 1 x ... x 1 x 2 x 3 x 4      _{15 thõa sè}

15 sè 1

(1, 1, ..., 1, 2, 3, 4)__
2003 sè h¹ng

2003 thõa sè
1 1 ... 1 1003 3

1 x 1 x ... x 1 x 1003 x 3.

     





2003 sè 1

(1, 1, ..., 1, 1003, 3) :__

2001 sè h¹ng

2001 thõa sè
1 1 ... 1 2 2003

1 x 1 x ... x 1 x 2 x 2003 hay

     






2000 sè h¹ng

2000 thõa sè
1 ... 1 2 3 401

1 x ... x 1 x 2 x 3 x 401.

     





2n 3 sè h¹ng _{2n 3 thõa sè}

...
1 1 ... 1 n 3 1 x 1 x ... x 1 x n x 3

 _

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

26

từ một bài toán

Trong cuốn Bài tập Toán 6 tập 1 có bài

tập 210 trang 27. Đó là một bài toán sao.

l Bi toỏn ny khụng quỏ khú, lời giải đã

sư dơng tÝnh chÊt :

2k+ 2k + 1= 2k(1 + 2) = 3.2k3.
Bài toán 1 (bài 210 trang 27):Tỉng sau
cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? A = 2 + 22+ 23
+ 24+ 25+ 26+ 27+ 28+ 29+ 210.

Lêi gi¶i :Ta cã A = (2 + 22) + (23+ 24) +
(25+ 26) + (27+ 28) + (29+ 210) = 2.(1 + 2)
+ 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + 27.(1 + 2) + 29.(1
+ 2) = 3(2 + 23+ 25+ 27+ 29). VËy A 3.

l Đây là một bài toán hay, từ bài toán này

ta khai thác được nhiều kết quả thú vị.

HBớt đi số hạng cuối cùng trong tổng A

ta có ngay một bài toán mới.

Bài toán 2 :Cho B = 2 + 22+ 23+ 24+
25+ 26+ 27+ 28+ 29. Chøng minh r»ng B
kh«ng chia hết cho 3.

Lời giải :

Cách 1 :(áp dụng kết quả ở bài toán 1)
Ta có B = A - 210, vì A 3 mà 210không chia
hết cho 3 nên B kh«ng chia hÕt cho 3.

HTa đã sử dụng kết quả quen thuộc : 2k

kh«ng chia hÕt cho 3 víi mäi k N. Nh­
vËy A sÏ kh«ng chia hÕt cho 3 nếu bớt đi bất
kì một trong các số hạng cđa nã.

Cách 2 :(làm tương tự như bài tốn 1)

B = (2 + 22_{) + ... + (2}7_{+ 2}8_{) + 2}9_{= ... =}
= 3(2 + 23+ 25+ 27) + 29không chia hết cho 3.

HTa nghĩ ngay đến kết quả tng quỏt ...

Bài toán 3 :Cho C = 2 + 22+ 23+ ... + 22n;
D = 2 + 22+ 23+ ... + 22n + 1víi n N.

H·y cho biÕt C ; D cã chia hÕt cho 3
kh«ng ?

HDƠ thÊy A  2 mµ (2 ; 3) = 1, ta cã bài

toán mạnh hơn bài toán 1.

Bài toán 4 :Cho A = 2 + 22+ ... + 210.
Chøng minh r»ng A 6.

HTương tự với M = 2 + 22+ ... + 2n, nếu

nhóm từng bộ 3 ; 4 ; ... số hạng liên tiếp rồi
đặt thừa số chung sẽ cho ta nhiu kt qu
khỏc.

Bài toán 5 : Cho E = 2 + 22+ ... + 212.
Chøng minh r»ng E chia hÕt cho 7. Tìm
những ước số khác của E.

HVới tổng M nãi trªn, nÕu n k hay n = kq

(k  2) th× M = (1 + 2 + 22+ ... + 2k - 1)(2 +
+ 2k + 1 + 22k + 1+ ... + 2n - k + 1).

Đặt S = 1 + 2 + 22+ ... + 2k - 1
S = 2S - S = 2k- 1 M 2k- 1.

Giả sử k₁, k₂, ..., k_qlà các ước số tự nhiên
lớn hơn 1 của n, khi đó bằng cách chọn các
số nguyên tố cùng nhau từng đôi một trong

c¸c sè råi lËp

tÝch p c¸c số được chọn thì M p.

Vớ d : F = 2 + 22+ 23+ ... + 22004. Khi
đó ước của 2004 là : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; ...
nên F lần lượt chia hết cho 2 ; 22- 1 = 3 ;
23- 1 = 7 ; 24- 1 = 15 ; 26- 1 = 63 ; ...

Suy ra F chia hÕt cho 6 ; 14 ; 21 ; 30 ; ...
B©y giê thay 2 bởi số tự nhiên a lớn hơn 1
trong tổng M thì ta được M = (1 + a + a2+ ...
+ ak - 1)(a + ak + 1+ a2k + 1+ ... + an - k + 1).

Khi đó

l Những kết quả trên vẫn cịn đúng cho

tỉng cđa n lịy thõa bậc liên tiếp của 2, bắt
đầu từ số hạng có sè mị bÊt k× :

2k + 1+ 2k + 2+ 2k + 3+ ... + 2k + n.
Bài tập vận dụng : Chứng minh rằng
các tổng sau đều chia hết cho 5 :

P = - 2 + 22- 23+ 24- ... + 22004 ;
Q = 3 + 32+ 33+ ... + 32004.

k k

a 1 a 1

S vµ M .

a 1 a 1

 



  

q

1 2 k

k k

2 ; 2 1; 2 1; ... ; 2 1

phan thÕ H¶i

(Giáo viên trường THCS Hồ Xn Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An)

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

27

Chun du lÙch cða tái

i

Chào các bạn ! Hè
này các bạn có đi du
lịch khơng ? Cịn tơi, tơi
đã lên cho mình một
chương trình du lịch rất
cụ thể. Các bạn hãy đọc
và góp ý cho tơi xem
chương trình của tơi đã hợp lí chưa nhé !

Q tơi ở Hải Dương - nơi có hội chọi trâu Đồ
Sơn nổi tiếng. Vì thế tơi sẽ bắt đầu chuyến du
lịch từ nơi này. Xem xong lễ hội chọi trâu, tôi sẽ
lên Điện Biên để tận hưởng bầu khơng khí trong
lành của khu du lịch Sa Pa thơ mộng. Tại đây tôi
sẽ tha hồ ăn các món ăn của người Thái và
ngắm hoa ban nở. Từ Sa Pa, tôi sẽ lên tàu hỏa
để vào Đà Nẵng leo núi Ngũ Hành Sơn và vào
động Phong Nha huyền bí. Tơi cũng không thể
bỏ qua khu phố cổ Hội An với cầu Tràng Tiền

nên thơ bên dịng sơng Hương cuồn cuộn chảy.
Trên đường đi tiếp vào phía Nam, tơi sẽ ghé
thăm ngã ba Đồng Lộc lịch sử - nơi các cô gái
giao liên đã dũng cảm hi sinh trong thời kì chiến
tranh. Rời Đồng Lộc, tôi sẽ đến Đà Lạt, nơi được
mệnh danh là “thị trấn trong mây”. Từ đây sang
khu du Buôn Đôn (ở Gia Lai) cũng không bao xa
nên tôi sẽ cố gắng đến để được một lần cưỡi voi.
Tạm biệt Tây Nguyên, tôi về Vũng Tàu trước khi
đi tiếp vào thành phố mang tên Bác. Tôi dự định
sẽ ở lại thành phố Hồ Chí Minh khoảng 2 ngày.
Như vậy nếu tính tổng cộng thời gian thì cả
chuyến du lịch của tôi sẽ kéo dài chừng 5 - 6
ngày. Một khoảng thời gian không dài nhưng lại
hiểu biết thêm được bao điều thú vị, phải không
các bạn ?

Ngun H÷u HiƯp Hai

(Đội 4, Cự Lộc, Minh Đức, Tứ Kỡ, Hi Dng)

Những chỗ bị mờ trong bài bình luận Tuyệt
vời Bồ Đào Nha ! có thể khôi phục như sau :

Đợt trận đấu cuối cùng diễn ra cùng giờcủa
Bảng A đã diễn ra hấp dẫn và đầy kịch tính.
Trước hàng vạn cổ động viên đội nhà, các cầu
thủ Bồ Đào Nha chơi như những chiến sỹ cảm tử
khác hẳn những trận đấu trước. Trong khi đó đội
qn Tây Ban Nha sẵn sàng đối đầumột cách

sịng phẳng. Trên tồn mặt sân, tất cả đều nóng
bỏng ! Sự xuất hiện của các cầu thủ trẻở cả hai
đội như Deco, Ronaldo, Cavalho, Gomes (Bồ),
Tores, Joaquin (TBN) đã đem đến những luồng
gió mới. Khơng chỉ trận này, trận đầu tưởng như
không được chú ý nhiều giữa Nga và Hy Lạp
cũng diễn ra đầy cảm hứng. Những “chú gấu
Misa” bừng tỉnh dồn dập tấn công và chỉ trong
những phút đầu hiệp 1, người Nga đã 2 lần hạ đổ
khung thànhđối thủ và nếu không kịp gỡ lại 1
bàn thì nguy cơ bị loại trực tiếp sẽ đến với Hy
Lạp. Song những nỗ lực của “Những đứa con
thần Dớt” đã được đền đáp, họ đã thu ngắn cách
biệt 1-2, nhưng nguy cơbị loại nếu thua 1 bàn
nữa vẫn tiếp tục đeo bámcác cầu thủ của Otto
Rehaghen khiến trận đấu căng như dây đàn!...
Cuối cùng, những nỗ lực tuyệt vời đến quên
mình của những Deco, Ronaldo, Figo... và

tồn thể đội bóng chủ nhà đã được đền đáp,
ĐT Bồ đào Nha đã giành vé vào Tứ kết! Tuy
vất vả cho đến tận cùng nhưng hoàn toàn xứng
đáng. Các cầu thủ đỏ - xanh đã cứu EURO
2004 một thảm họa nếu đội chủ nhà bị loại
sớm. Chia tay Tây Ban Nha, những người hâm
mộ có phần luyến tiếc bởi dàn cầu thủ tài
năng vào loại nhất thế giới khơng cịn cơ hội
cống hiến, nhưng họ nên tự trách mình vì đã
khơng vượt qua được Hy Lạp trong trận đối
kháng. Và cuối cùng, ĐT Nga dù đã bị loại đã

để lại dấu ấncủa những cầu thủ bóng đá chân
chính. Với tinh thần ấy, bóng đá Nga sẽ trở li
nh caort gn õy !

Năm bạn được trao giải kì này là : Ph¹m

Phương Thanh, 256C, ơ 17, phường Hạ Long,

TP. Nam Định, Nam Định ; Hoµng Minh

Thắng, mẹ là Trần Thị Hương, khối 13, phường

Cưa Nam, Vinh ; Ngun ThÞ Hải Yến, 7A,
THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Nguyễn

Thiện Nhân, mẹ là Trần Thị Thời, Phòng kế

toán, Nhà máy xi măng COSEVCO, Khu công
nghiệp Hòa Khánh, Liên Chiểu, Đà Nẵng; Lý

Thựy Dng, C3, Tụ Hin Thnh, p. Điện Biên,

TP. Thanh Hãa, Thanh Hãa.

Phó B×nh

l

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

28

Anh Khoa ¬i !

Em rất thích bài thơ “Mẹ ốm” của
anh. Nhưng trong đó có một câu mà
chúng em cứ cãi nhau mãi. Đó là câu

“Cánh màn khép lỏng cả ngày”. Người
con trong bài thơ này rất thương yêu
mẹ : “Mẹ vui con có quản gì - Ngâm
thơ, kể chuyện rồi thì hát ca - Rồi con
diễn kịch giữa nhà - Một mình con sắm
cả ba vai chèo”. Người con ngoan thế
mà khép màn cho mẹ cũng không chặt.

“Cánh màn khép lỏng cả ngày”. Khép
thế thì muỗi chui vào được. Và thế là
người con rất cẩu thả. Điều ấy có mâu
thuẫn với hành động thương mẹ mà
mua vui để mẹ vui không ?

V Th Ti

(Tõy K, T K, Hi Dng)

Trần Đăng Khoa :

Cám ơn các em vẫn còn yêu mến cái
bài thơ anh viết thời còn ấu thơ. Sự phát
hiện của các em, cũng là điều ngày
xưa, tụi trẻ chúng anh, nhất là các bạn
ở Câu lạc bộ thơ Chim Họa Mi bàn

luận. Thực tình, câu thơ chúng ta bàn
ấy, chỉ được có mỗi một chữ thơi. Đó là
chữ “lỏng”. Nếu “Cánh màn khép chặt
cả ngày” thì bà mẹ chết mất rồi. Vì
thơng thường, ban ngày, người ta
không buông màn. Màn chỉ buông ban

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

29

Trong mỗi hàng ngang của ô chữ này là
tên một loài chim. Bạn có tìm được không ?

Nguyễn Việt Hưng

(16/3A, khu phố 2, phường 3, TX. Tây Ninh,
Tây Ninh)
Nếu bạn là
người u thích
mơn Vật lí và giỏi
Tiếng Anh, với ơ
chữ kì này chắc
bạn sẽ tìm được
rất nhiều đáp án.
Có khá nhiều khái
niệm vật lí phù
hợp để điền vào mỗi hàng ngang trong ơ chữ :
Hàng 1 :Ta có thể điền : POWER - Lực ;
PRISM - Lăng kính ; PHASE - Pha...

Hàng 2 :MECHANICS - Cơ học

Hng 3 :VELOCITY - Vận tốc ; CAPACITY
- Công suất ; MOBILITY - Độ lưu động ;
QUANTITY - i lng...

Hàng 4 : SPRING Lò xo ; SOURCE
-Nguån ; SERIES - M¹ch nèi tiÕp ; SPREAD

- Khuyếch tán ; SWITCH - Công tắc...
Hàng 5 :INERTIA - Quán tính ; ELASTIC
- Đàn hồi ; CIRCUIT - Mạch điện...

Hàng 6 :FORCE - Lực

Hng 7 :PRESSURE - áp suất
Hàng dọc : PHYSICS - Mơn Vật lí
Đa số các bạn tham dự chỉ đưa ra được
một đáp án. Những bạn xuất sắc hơn nhận
được tặng phẩm kì này : Đặng Thị Nhung, số
146, phường Cam Giá, TP. Thái Nguyên,
Thái Nguyên; Nguyễn Thị Cẩm Nhung, 7A,
THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh ;
Lê Cảnh Toàn, 9D, THCS Bắc Hồng, TX.
Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Phan Thị Minh Hiếu,
29K₂, Long Châu, TT. La Hai, Đồng Xuân,
Phú Yên ; Lê Thị Thùy Trang, Đại lí xăng
dầu Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam.

Chủ Vườn

l

Kết quả :

VấT Lẹ

_{(TTT2 số 17)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30

Lạng xe té ngÃbên lề

Nghỉ ngơisau chuyến về quê dài ngày
Leo trèocần khỏe chân tay

Tớnh tỡnh ngay thngngi hay tin dựng
Nim vui nhỏ bétheo cùng

Bn làng chìm đắmtrong vùng khói vương
Con được cha mẹ yêu thương

Trông coichung việc nên thường gặp nhau
Vệ sinh phòng tránh ốm đau

Con tàu to lớntiến vào cảng sâu
Qua đường nhìn ngótrước sau
Mặt sân khơ ráonước vào lầy trơn

Gặp nhau quên hết giận hờn
Mau lẹxem xét duyệt n mua hng

E ngạichẳng dám nói càn
La hét,

La hét,

La hét đùa giỡnrộn ràng ngoài sân

Im lặngnghe bạn phân trần
Tạp chí ưa thíchnhiều lần đọc qua

Hai người rượt đuổiphía xa
Đợi chờsốt ruột đoán già đoán non.

Ban thưởng :Đinh Thị Thu Quỳnh, mẹ là
Phạm Minh Huệ, trường TH An Lễ, Quỳnh
Phụ, Thái Bình; Nguyễn Thành Trung, 9B,
THCS Nguyễn Nghiêm, khối IV, thị trấn Đức
Phổ, Quảng Ngãi ; Trần Thị Ngọc Oanh,
xóm 10, thị trấn Vĩnh Trụ, Lý Nhân, Hà Nam;

Lê Ngọc ánh, 80 Lê Văn Hưu, phường Tân
Sơn, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa; Lê Cảnh
Tồn, 9D, THCS Bc Hng, TX Hng Lnh,

Hà Tĩnh.

Vua Tếu

Kì gì hiếm thấy bao giờ ?
Kì gì khó thấy mờ mờ bạn ¬i ?

Kì gì sung sướng đã đời ?
Kì gì chiếc nón mọi người đều chơi ?

Kì gì danh tiếng mn nơi ?
Kì gì trơng thấy là cười được ngay ?

Kì gì trơng đợi hơm nay ?
Kì gì sốt sắng đến ngày đi thi ?

Kì gì thế giới cịn ghi ?
Kì gì động vật như lồi kì nhơng ?

Kì gì rộng lớn mênh mơng ?
Kì gì lập đựoc chiến cơng oai hựng ?

Trần Huyền Đức

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

31

Hỏi : Em vào thư website

của Tốn Tuổi thơ định đăng
nhập nhưng khơng được. Anh
cú th giỳp em khụng ?

Tô Mạnh Hà

(m l Nguyn Thị Liên,
Phịng Viện phí, Bệnh viện
Đa khoa Hà Tĩnh)
Đáp :Trang web của Tốn
Tuổi thơ có ngày có tới hàng
vạn bạn truy cập. Các bạn có
thể đọc tất cả các số TTT đã
xuất bản (mục Xem tạp chí),
xem bài viết của mình đã tới
Tịa soạn hay chưa (mục Bài

viết đã nhận), nghe bài hát
của Toán Tuổi thơ, tham gia
Thi tài trên mạng hàng tháng
và đặc biệt là thảo luận trong
Diễn đàn 3T với 24 chủ đề
phong phú. Tới với Diễn đàn
3T bạn có thể làm quen với
hàng ngàn bạn trên cả nước
(có cả các bạn ở nước ngoài).
Muốn được sử dụng tất cả
các tiện ích và đăng nhập
được bạn cần phải đăng kí
thành viên. Bạn chọn Đăng kí
thành viên sẽ thấy một bản
đăng kí hiện ra. Bạn điền vào
các mục theo hướng dẫn
(trong đó có các mục khơng
bắt buộc để có quyền giữ bí
mật cá nhân). Quan trọng là
bạn chọn cho mình một tên
đăng nhập (khơng hẳn là tên
mình nhưng khơng nên có
dấu thanh), tên này sẽ hiện
lên khi bạn tham gia viết bài
trong Diễn đàn. Bạn hãy
chọn cho mình một mật khẩu
(có thể có cả chữ cái và chữ

số). Khi chọn Đăng nhập,
bạn phải gõ tên đăng nhập và

mật khẩu đã đăng kí. Nếu gõ
sai thì bạn sẽ khơng đăng
nhập được. Khi đăng nhập
được bạn sẽ có quyền làm
bất cứ điều gì mà mọi thành
viên được làm.

Chóc b¹n sÏ ngày càng
thân thiết với trang web.

Hi : Em có ước mơ sau
này sẽ trở thành Tổng thống
thế giới để làm cho mỗi người
dân trên trái đất này ai cũng có
cơm ăn, áo mặc và nụ cười nối
tiếp nụ cười. Theo anh ước mơ
đó có thành hiện thực khơng ?

Ngun ThÞ Hång Vinh

(Líp 9, THCS Lam KiỊu,
Song Léc, Can Lộc, Hà Tĩnh)

Đáp :

Tng thng th gii ?
Tuyệt vời !
Muốn vậy dân chúng khắp nơi
đi bầu
Sợ rằng chẳng có được đâu

Nhưng mà nguyện ước em cầu
đẹp sao
Tổng thống bất cứ nơi nào
Có nghe mơ ước ngọt ngào

cña em ?
Hái : Nhân dịp sinh nhật
bạn thân của em, em muốn
tặng bạn một món quà. Nhưng
bố mẹ em không cho tiền. Em
phải làm sao đây anh ?

Đỗ Bảo Ngọc

(Cung ng ga Hng Canh,
Vnh Phỳc)

Đáp :

Mua quà ắt phải có tiền
Bố mẹ kh«ng quyÕt... thËt

phiền lắm thay !
Chắc là em gái khéo tay
Tự làm gì đó hay hay... được mà

Tặng bạn thêm một bài ca
Anh tin hơn cả mọi quà định

mua.

Hỏi : Đầu em nhiều gầu,
em rất ngại nhất là khi mặc
áo đen. Có người xui em sau
khi gội đầu bằng dầu gội thì
gội thêm bằng... bia hơi. Như
vậy có đúng khơng ?

Em gái đợi thư
(Khối 9, THCS Vn Lang,
Vit Trỡ, Phỳ Th)
ỏp :

Bia hơi mà nhắm với... gầu
Bia nhiều chắc chắn là đầu...

lõng lõng
Nghe em, có lẽ họ nhầm
Tưởng gầu bị đã được hầm

chờ bia
Hỏi : Em có bệnh... nhát
gan. Theo anh, em cú ỏng
lo s khụng ?

Phạm Hồng Tân

(6A, THCS Vạn Phúc, Hà
Đông, Hà Tây)
Đáp :

Theo y học : bệnh nhát gan
Chưa phải cấp cứu, thuốc

thang gì nhiều
Chỉ sợ em chữa quá liều
To gan, bệnh ấy mới siêu

phiền... lòng

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

32

Bµi 1(19) :

Chøng minh r»ng A < 0,4.

ngnd. Vũ hữu bình(Hà Nội)

2 1 3 2 4 3 25 24

Cho A ... .

2 1 3 2 4 3 25 24

    

   

j

Bµi 2(19) : Cho c¸c sè x₁, x₂, x₃, ..., x₁₁ tháa m·n :
1 x₁< x₂< x₃< ... < x₁₁1000. Chøng minh r»ng, tån

t¹i i {1, 2, 3, ..., 10} sao cho

nguyễn đức phương(Hà Nội)
3

i 1 i i i 1
x   x 1 3. x .x .
Bài 3(19) : Giải phương trình :

cao minh quang

(Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm,
Vĩnh Long)
4

2 4

x 3x 2 x 3 0.

 

j

Bài 4(19) : Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm
của AD. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD tại F.

Tính tỉ số

bùi văn chi

(Giỏo viên trường THCS Lương Thế Vinh, TP. Quy Nhơn,
Bình Định)
EF .

EB

Bài 5(19) :Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường
tròn tâm O, bán kính R. D là điểm di động trên cạnh BC.
AD cắt (O) tại E (E khác A). Gọi R₁, R₂lần lượt là bán
kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác EBD, ECD.
Xác định vị trí điểm D để R₁.R₂đạt giá trị lớn nhất.

nguyễn đức tấn (TP. Hồ Chí Minh)

j

j

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34></div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36></div>

<!--links-->