Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 và lời giải chi tiết năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.43 MB, 167 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>



TÀI LIỆU SƯU TẦM

TUYỂN TẬP

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐỀ SỐ1: ĐỀ THI CHỌN HSG TỐN 6 HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM 2018 - 2019
Câu 1 (4,0 điểm):

Tính giá trị của các biểu thức:

a) A= − +37 54+ −

(

) (

+ −163

)

+246.
b)

(

) ( ) ( )

3 2 *

125. 61 . 2 . 1 n ( )

B= − − − n∈ .

c) C 1 2 – 3 – 4 5 6 – 7 ... 2014 – 2015 – 2016= + + + − + +2017+2018.

d) 32 32 32 32 32
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

D= + + + + .
Câu 2 (5,0 điểm):

1. Tìm x biết:a) 2 :11 1 3
3 3 2 2

x

 −  + =
 

  b)

1 1 2
2

6 2 3

x− + =

2. Tìm tất cảcác chữ số x y, sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5.

3. Tìm x y, nguyên biết:x+ +y xy=40.
4. Tìm *

n∈ biết n< 30 đểcác số 3n+4 và 5n+1 có ước chung lớn hơn 1.
Câu 3 (4,0 điểm):

1. Tìm tất cảcác chữ số a b c, , thỏa mãn: abc cba− =6 3b .

2. Tìm một sốchính phương có ba chữ sốbiết rằng nó chia hết cho 56.
3. Chứng minh rằng :

(

2018 2017 2

)

75. 4 4 ... 4 5 25

A= + + + + + chia hết cho 42019.

Câu 4 (5,0 điểm):

Cho góc AOBvà góc BOC là hai góc kềbù. Biết rằng BOC=5.AOB
1. Tính sốđo các góc AOB và góc BOC.

2. Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính sốđo góc AOD.

3. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng ACchứa tia OB vẽthêm 2019

tia phân biệt (không trùng với các tia OA OB OC OD, , , đã cho) thì có tất cả bao
nhiêu góc.

Câu 5 (2,0 điểm):

1. Chứng minh rằng 1 22 33 44 ... 9999 100100 3

3 3 3 3 3 3 16

A= − + − + + − < .

2. Tìm tất cảcác sốnguyên tố p q, sao cho 7p+q và pq+11 đều là sốnguyên tố.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN 6 HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM 2018 - 2019
Câu 1:

a) A= − +37 54+ −

(

) (

+ −163

)

+246=

(

54 246+

) (

+ − 37

) (

+ −163

) (

+ −70

)

=300+

(

−200

) (

+ −70

)

=30.
Vậy A=30 .

(

) ( ) ( )

3 2 *
125. 61 . 2 . 1 n ( )

B= − − − n∈

=125.

( ) ( )

−8 . −61 .1=61000.
Vậy 61000 B= .

c) C 1 2 – 3 – 4 5 6 – 7 ... 2014 – 2015 – 2016= + + + − + +2017+2018

(

) (

)

(

)

1 2 – 3 – 4 5 6 – 7 – 8 9 ... 2014 – 2015 – 2016 2017 2018

= + + + + + + + +

1 2018 2019
= + = .
Vậy C=2019.

d) 32 32 32 32 32
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
D= + + + +

= 1 1 1 1 ... 1 1 3. 1 1
2 5 5 8 14 1 2 7
3.

7 1

 − + − + + − =  − 

   

   =

15 45
34 4
3.

3
= 
Vậy

34
45

D= . 
Câu 2:

1. Tìm xbiết:

a) 2 :11 1 3 ( 2):11 1 2 4 2
3 3 2 2 3 3 3 3

x x x x

 −  + = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
 

  .

Vậy 2x=

b) 2 1 1 2
6 2 3

x− + = ⇒ 2 1 1
6 6

x− =

TH1: 2 1
6
x− 1

= 1

6
x
⇒ = .
TH2: 2 1

6
x− 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy 0;1
6

x∈ 

 .

2. Tìm tất cảcác chữ số x y, sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5.

Ta có 2019xy chia hết cho cả 2 và 5 ⇒ =y 0.

Lại có 2019xy3 nên

(

2 0 1 9+ + + + +x 0 3

)

 ⇒

(

12 3+ x

)

 .

{

0; 3; 6; 9

}

x

⇒ ∈

Vậy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y; ∈

{

0; 0 ; 3; 0 ; 6; 0 ; 9; 0

}

3. Tìm x y, nguyên biết: x+ +y xy=40.

(

y+1

)

x+ + =y 1 41⇔

(

x+1

)(

y+ =1 41

)

Mà x y, nguyên x+1 và y+1 là ước của 41

Tính được

(

x y,

) (

∈

{

40; 0 ; 0; 40 ;

) (

− −2; 42 ;

) (

−42; 2−

)

}

Vậy

(

x y,

) (

∈

{

40; 0 ; 0; 40 ;

) (

− −2; 42 ;

) (

−42; 2−

)

}

4. Tìm *

n∈ biết n< 30 đểcác số 3n+4 và 5n+1 có ước chung lớn hơn 1.

Gọi d là một ước chung của 3n+4và 5n+1 (d∈*)

Ta có 3n+4dvà 5n+1dnên 5 3

(

n+4 – 3 5

) (

n+1

)

d ⇔17d⇒ ∈d

{ }

1;17
Để 3n+4 và 5n+1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n+4 17

hay 3

(

n– 10 17

)

 mà UCLN

(

3 ; 17

)

=1 nên

(

n– 10 17

)



( )

– 10 17

n = k k∈ . Vì n∈, 30n< ⇒ − ≤10 n– 10<20 nên k∈

{

0 ; 1

}

.
Với k= ⇒ =0 n 10, khi đó 3.10 4 17+  và 5.10 1 17+  (thỏa mãn)

Với k= ⇒ =1 n 27 , khi đó 3.27+4 17 và 5.27 1 17+  (thỏa mãn)
Vậy n∈

{

10 ; 27

}

Câu 3:

Điều kiện : a b c, , ∈N, 0<a c, ≤ 9; 0 ≤ ≤b 9.

Vì abc cba− =6 3b ⇒100a+10b c+ −100c−10b a− =6 3b ⇒99

(

a c− =

)

6 3b
6 3 99b b 9

⇒  ⇒ = ⇒ − =a c 693 : 99=7⇒ = +a 7 c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Với c= ⇒ =1 a 8.

Với c= ⇒ =2 a 9.

Vậy a=9, 9, 2b= c= hoặc a=8, 9, 1 b= c= .

2. Gọi sốchính phương đó là : xyz với 1≤ ≤x 9; 0≤y z; ≤9.

ta có: 2

(

;

)

xyz k

k l
xyz l

 =

 ∈ ∈


=

   do đó :
2

56. 4.14
k = l= l

suy ra: 2

( )

14 1

l= h với h∈.

mặt khác 100≤56l≤999⇒ ≤ ≤2 l 17 2

( )

, từ(1) và (2) suy ra: h=1, do đó l=14.

nên sốchính phương phải tìm là: 784.
Vậy số cần tìm là 784.

3. Chứng minh rằng :

(

2018 2017 2

)

75. 4 4 ... 4 5 25

A= + + + + + chia hết cho 42019.
Đặt 2018 2017 2 2018 2017 2

4 4 ... 4 5 4 4 ... 4 4 1

M = + + + + = + + + + +

(

2018 2017 2

)

2019 2018 3 2
4M =4. 4 +4 + +... 4 + + =4 1 4 +4 + +... 4 +4 +4

(

2019 2018 3 2

) (

2018 2017 2

)

4M –M = 4 +4 + +... 4 +4 +4 – 4 +4 + +... 4 + +4 1

(

)

2019 2019

3M =4 – 1⇒M = 4 – 1 : 3

(

2019

)

(

2019

)

75. 4 – 1 : 3 25 25. 4 – 1 25

A= + = +

2019 2019

25. 4 25 25 25.4

= − + =

chia hết cho 2019
4 .
Câu 4:

B
O

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

mà BOC=5.AOBnên  0

6.AOB=180  180 30
6
AOB °

⇒ = = °

 5.30 150

BOC

⇒ = °= °

2. Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên   1

2 75

BOD=DOC= BOC= °.
Vì góc AODvà góc DOC là hai góc kềbù nên  AOD+DOC=1800.
Do đó AOD =180° −DOC=180 – 75° °=105°.

3. Tất cả có 2019+ =4 2023tia phân biệt.

Cứ mỗi tia trong 2023 tia tạo với 2023 – 1=2022 tia cịn lại thành 2022 góc.

Có 2023 tia nên tạo thành 2023.2022 góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần.
Vậy có tất cả 2023.2022

2 =2045253 góc.
Câu 5

1. 1 22 33 44 ... 9999 100100 3

3 3 3 3 3 3 16

A= − + − + + − <
⇒ 2 32 43 ... 9998 10099

3 3

3
1

3 3

A= − + − + + −

⇒ 1 12 13 ... 198 199 100100
3 3

3 3 3 3

A= − + − + + − −

⇒ 1 12 13 ... 198 199

3 3 3

4 1

3 3

A< − + − + + − (1)

Đặt 2 3 98 99

1 1 1 1 1

...

3 3 3 3 3

B= − + − + + −

⇒ 1 12 13 ... 197 198

3 3 3

3 2

3 3

B= + − + + + −

⇒4 3 3 199

3 3

B= +B B= − < 3
4
B

⇒ < (2)
Từ (1) và (2) 3

4⇒ A< <B 3
16
A

⇒ < .

2. Tìm tất cảcác sốnguyên tố p q, sao cho 7p+q và pq+11 đều là sốnguyên tố.
Ta có: p q, là sốnguyên tố nên pq+11là sốnguyên tố lớn hơn 11

11
pq

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do 7p+qlà sốnguyên tố lớn hơn 7 nên p và q khơng thểcùng tính chẵn lẻ.
*) TH1:p=2 thì 7p+ =q 14+q. Ta thấy 14 chia 3 dư 2

+) Nếu q chia hết cho 3, do q là sốnguyên tố nên q=3.

7p+ =q 17; pq+ =11 17 (T/m)

+) Nếu q chia cho 3 dư 1thì 14+qchia hết cho 3 ⇒7p q+ là hợp số

+) Nếu q chia cho 3 dư 2 thì 2q chia cho 3 dư 1 nên pq+ =11 2q+11 chia hết cho 3
11

pq

⇒ + là hợp số.

*) TH2: q=2thì 7p+ =q 7p+2

+) Nếu 7p chia hết cho 3 thì p chia hết cho 3 nên p = 3 ⇒7p+ =q 23; pq+ =11 17
(Thỏa mãn)

+) Nếu 7p chia cho 3 dư 1 chia hết cho 3 ⇒7p+2 là hợp số

+) Nếu 7p chia cho 3 dư 2 thì p chia cho 3 dư 2 nên 2p chia cho 3 dư 1
11 2 11

pq+ = p+

⇒ chia hết cho 3 nên pq+11 là hợp số.
Vậy: p=2, 3q= hoặcp=3, 2q= .

ĐỀ SỐ2 : ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 994 995 996 997 998+ − − + + − − + + + − − + + .
b) P =3 .11 3 .2111 9 511

3 .2
+ .

Câu 2: (2,0 điểm) Tìm xbiết: 2. 7010: 131313 131313 131313 131313 5
3 x 11 151515 353535 636363 999999

 

−  + + + = −

  .

Câu 3: (2,0 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của
chúng bằng 6.

Câu 4: (2,0 điểm) Tìm các chữ sốx; y để A = A=x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số nguyên nđểphân số 2 1
2

n
n

+ có giá trị là số nguyên.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

hai quay vềbến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút. Xe thứba quay vềbến sau 48 phút và sau
2 phút lại đi. Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từbến lần thứhai vào lúc mấy giờ?

Câu 7: (2,0 điểm) Tìm các sốnguyên tốp sao cho là một sốnguyên tố.

Câu 8: (2,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờxy

vẽhai tia Oa, Ob sao cho , .Vẽtia Oclà tia phân giác của . Tính số
đo .

Câu 9: (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng
nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng
sốgiao điểm mà nđường thẳng đó cắt nhau tạo ra bằng 465. Tìm n.

Câu 10: (2,0 điểm) Trong một buổi giao lưu tốn học, ngoại trừBình, hai người bất kì đều
bắt tay nhau, Bình chỉbắt tay với những người mình quen. Biết rằng mỗi cặp hai người chỉ
bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi Bình có bao nhiêu
người quen trong buổi giao lưu đó.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1:

a) S=S = + − − + + − − + + +1

(

2 3 4 5

) (

6 7 8 9

)

...

(

994 995 996 997− − +

)

+998
1 0 0 .... 0 998= + + + + +

= 999

b) 3 .11 3 .2111 9 511
3 .2

P= + =

(

)

11
9 5
3 11 21

3 .2
+

9
3 .32

3 .32

= 32 9
1
= = .

Câu 2: Ta có: 2. 7010: 131313 131313 131313 131313 5
3 x 11 151515 353535 636363 999999

 

−  + + + = −

 

2 780 13 13 13 13

: 5

3x 11 15 35 63 99

 

⇔ −  + + + = −

  .

2 780 13 2 2 2 2

: 5

3x 11 2 3.5 5.7 7.9 9.11

  

⇔ −   + + + = −

 

  .

2 780 13 1 1

: 5

3x 11 2 3 11

  

⇔ −   − = −

 

  .

2 780 13 8

: . 5

3x 11 2 33

 

⇔ −  = −

 

45 5
3x

⇔ − = − .

2
40
3x
⇔ = .

60
x
⇔ = .

2

p

+

p

 0

xOa= xOb=1000 yOb


</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vậy x=60.

Câu 3: Gọi hai sốtựnhiên phải tìm là a và b (giả sửa≤b ).
Ta có:

( )

a b, =6 nên a = 6a’; b=6 ’b trong đó

(

a b’, ’

)

=1. (a’, ’ b∈N).

Do a b+ =84 nên 6

(

a’+b’

)

=84 ⇒ +a’ b’ 14= .

Chọn cặp số a’, ’b nguyên tốcùng nhau có tổng bằng 14 (a’ ’≤b ), ta có các trường hợp:
’ 1; ’ 13

a = b = ⇒ =a 6; 78b= .

’ 3; ’ 11 18; 66

a = b = ⇒ =a b =

’ 5; ’ 9 30; 5.

a = b = ⇒ =a b=

Vậy các cặp sốthỏa mãn là:

(

6; 78 ; 18; 66 ; 30;5

) (

)

Câu 4: Do A=x183ychia cho 2 và 5 đều dư 1 nêny=1 .

Ta có A=x183y

Vì A=x183y chia cho 9 dư 1 ⇒ x183y−1 9
1830

x

⇒ 9

⇔ x+ + + +1 8 3 0 9

⇔x+3 9 , mà x là chữ số nên x=6
Vậy x=6; 1y=

Câu 5: Để 2 1
2

n
n

+ có giá trị là sốnguyên thì 2n+1n+2 (1)
Vì n+2n+2 nên 2

(

n+2

)

n+2 (2)

Từ (1) và (2) 2

(

n+2

) (

− 2n+1

)

n+2

3 n 2

⇒  +

Vì n+2 nguyên nên n+ ∈ − −2

{

1; 3;1;3

}

⇒ ∈ − − −n

{

3; 5; 1;1

}

Vậy với ⇒ ∈ − − −n

{

3; 5; 1;1

}

thì phân số 2 1

n
n

+ là số nguyên.

Câu 6: Giả sử sau a phút (kểtừlúc 6h) thì 3 xe lại cùng xuất phát tại bến lần thứ 2.
Lập luận đểsuy ra a là BCNN 75, 60, 50

(

)

Tìm được BCNN 75, 60, 50

(

)

=300 (phút) = 5 giờ.

Sau 5h thì 3 xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11h cùng ngày.
Câu 7: - Xétp=2 Khơng thỏa mãn.

- Xétp=3 thì =17 là sốnguyên tố. Vậy p=3thỏa mãn.

- Xétp>3: p2 chia 3 dư 1.

⇒

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Cịn vì p lẻ nên 2p =22k+1 =4 .2k chia3 dư 2

nên 2

2p+p chia hết cho 3, mà 2p+ p2 >3 nên sẽ là hợp số.
KL: Vậy p=3 là sốnguyên tố duy nhất thỏa mãn đềbài

Câu 8:


xOb và yOB kềbù ⇒ xOb +yOb=180°

yOb 180 xOb

⇒ = ° −

180 100

= ° − ° = °80 .

Oc là tia phân giác của yOb nên  1
2

yOc= yOb

1
.80
2

= ° = °40 .



xOa và yOa kềbù nên  xOa+yOa=180°
yOa 180 40 140 .

⇒ = ° − ° = °

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng xy có  yOc< yOa

(

40° <140°

)

nên tia Oc
nằm giữa hai tia Oy và Oa

  yOc cOa yOa

⇒ + = .

  
cOa yOa yOc

⇒ = − =140° − ° =40 100°

Câu 9: Có nđường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có
ba đường thẳng nào đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n−1 đường thẳng còn lại tạo
ra n−1 giao điểm phân biệt.

Do đó nđường thẳng thì có n(n – 1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần.
Vậy thực tế chỉ có giao điểm.

Theo bài ra ta có:

( 1) 930 31.30
31

n n
n

⇒ − = =

⇒ =
Vậy n = 31

Câu 10: Giả sử trong buổi giao lưu, ngồi Bình cịn có n người nữa, và Bình có k người
quen. (ĐK: k n, ∈ Ν ≤,k n)

Số lần bắt tay giữa nngười khác (khơng kểBình) là: .

(

)

n n−

(lần)
Số lần bắt tay giữa Bình và những người quen của Bình là k (lần)

( 1)
2

n n−

( 1)
465
2

n n−

x
a
b

c

y

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên : .

(

)

420
2

n n

k

−

+ =
Hay: n n.

(

− +1

)

2k =840 (*)

Vì k n, ∈ Ν ≤ ≤, 0 k n nên n2− ≤n n n.

(

− +1

)

2k ≤n2− +n 2n

Hay 2

(

)

. 1 2

n − ≤n n n− + k ≤n +n

Kết hợp với (*) suy ra 2 2

840

n − ≤n ≤n +n ⇔

(

n−1

)

n≤840≤n n

(

)

Ta có: 28.29≤840≤29.30 nên n=29

Thay vào (*) tính được k=14
Vậy Bình có 14 người quen.

ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019

Bài 1: (5 điểm). Tính hợp lí
1) 75.54 175.54

20.25.125 625.75
A= +

−

2) 51.125 51.42 17.150

3 6 9 ... 99

B= − −

+ + + +

3) 1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 98.99.100

C= + + +

Bài 2: (6 điểm).

1) Tìm x y, biết 124xy45.

2) Tìm p nguyên tốđể p+10 và p+26 cũng là sốnguyên tố.

3) Tìm sốtựnhiên nhỏ nhất lớn hơn 10, biết rằng sốđó chia cho 5; 6; 7 có sốdư

lần lượt là 3; 2;1.

Bài 3: (3 điểm) Một người mang cam đi chợbán. Người thứ nhất mua 1

6 số cam và 5 quả.
Người thứ hai mua 20% sốcam còn lại và thêm 12 quả. Người thứ ba mua 25% số cam
còn lại và thêm 9 quả. Người thứtư mua 1

3 sốcam cịn lại và 12 quảthì vừa hết. Tính số
cam người đó mang đi bán.

Bài 4: (5 điểm). Trên đường thẳng xy lấy điểm A. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ là

đường thẳng xy lấy M N, sao cho MAx =xAN =120°.
a) Tính sốđo MAN.

b) Gọi AP là tia đối của tia AM . Chứng minh rằng AP là tia phân giác của xAN.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

cùng thì người đó thắng cuộc. Chứng minh rằng có cách chơi để bạn bốc trước bao giờ
cũng thắng ?

---HẾT---

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019
Bài 1:

1) 75.54 175.54 3.5 .52 2243 5 .7.524 42 3.52 66 7.566 5 .1066 10
20.25.125 625.75 2 .5.5 .5 5 .3.5 2 .5 3.5 5

A= + = + = + = =

− − − .

2) 51.125 51.42 17.150

3 6 9 ... 99

B= − −

+ + + + .

Đặt: A=51.125 51.42 17.150− − ; C= + + + +3 6 9 ... 99.
51.125 51.42 17.150 51.125 51.42 17.3.50

A= − − = − −

(

)

51.125 51.42 51.50 51. 125 42 50 51.33

= − − = − − = .

3 6 9 ... 99
C= + + + +

Sốcác hạng tử của C :

(

99 3 : 3 1 33−

)

+ = .
Do đó: 3 6 9 ... 99 33. 99 3 33.51

C= + + + + =  + =

  .

Vậy 51.125 51.42 17.150 51.33 1
3 6 9 ... 99 33.51

A
B

C

− −

= = = =

+ + + + .

3) 1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 98.99.100

C= + + + .

2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 ... ...

1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100

C

⇒ = + + + = − + − + + −

1 1 50.99 1 4949
1.2 99.100 100.99 9900

−

= − = =

4949
19800

C

⇒ = .
Bài 2:

1) Đặt A=124xy

Để A45 thì A5 và A9.
Để A5 thì y=0 hoặc y=5.

Với y=0, để A9 thì

(

1 2 4+ + + +x 0 9

)

 ⇒ =x 2.
Với y=5, để A9 thì

(

1 2 4+ + + +x 5 9

)

 ⇒ =x 6.
Vậy y=0, x=2hoặc y=5, x=6.

2) Thử p=2 khơng thỏa mãn.

Với p=3 thì p+10=13 và p+26=29 đều là sốnguyên tố
Suy ra p=3 thỏa mãn.

Với p>3 do p là sốnguyên tố nên p không chia hết cho 3.
Nếu p=3k+1 thì p+26 3 khơng thỏa mãn.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3) Gọi số phải tìm là a

(

a∈,a>10

)

.
Theo đềbài, ta có:

a chia cho 5 dư 3⇒

(

a−3 5

)

 ⇒

(

a− −3

)

5 5 hay a−8 5
a chia cho 6 dư 2⇒ −a 2 6 ⇒

(

a− −2

)

6 6 hay a−8 6 .
a chia cho 7 dư 1⇒ −a 1 7 ⇒

(

a− −1

)

7 7 hay a−8 7 .
Do đó a− ∈8 BC

(

5, 6, 7

)

Để a nhỏ nhất lớn hơn 10 thì a− =8 BCNN

(

5, 6, 7

)

=210

8 210 218

a a

⇒ − = ⇒ = .

Vậy sốtựnhiên cần tìm là 218.
Bài 3: Phân số chỉ12 quả cam là 1 1 2

3 3

− = (sốcam còn lại sau khi người thứ 3 mua).
Sốcam còn lại sau khi người thứ 3 mua là: 12 :2 18

3= quả.
Phân số chỉ 36 12+ =48 quả cam là 1 25% 1 1 3

4 4

− = − = (sốcam còn lại sau khi
người thứ 2 mua).

Sốcam còn lại sau khi người thứ 2 mua là: 27 :3 36
4= quả.
Phân số chỉ 18 9+ =27 quả cam là 1 20% 1 1 4

5 5

− = − = (sốcam còn lại sau khi
người thứ nhất mua).

Sốcam còn lại sau khi người thứ nhất mua là: 48 :4 60

5 = quả.
Phân số chỉ 60 5+ =65 quả cam là 1 1 5

6 6

− = (sốcam mang đi bán).
Sốcam người đó mang đi bán là: 60 :5 78

6= quả.
Bài 4:

a) Ta có: xAM +MAy=180° (hai góc kềbù)

y
x

A

M

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 180  180 120 60
MAy xAM

⇒ = ° − = ° − ° = °.

Tương tự,ta có:  xAN+NAy=180° (hai góc kềbù)

 180  180 120 60

NAy xAN

⇒ = ° − = ° − ° = °.

Mà AM AN, nằm ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ay nên Ay nằm giữa hai tia

AM AN

Do đó: MAN  =MAy+NAy=120°.

b) Vì AP là tia đối của tia AMnên Ax nằm giữa AM AP,
Do đó: xAP=180° −120° = °60 .

Trên cùng nửa mặt phẳng, bờ chứa tia Ax có xAP <xAN

(

60° <120°

)

Nên AP nằm giữa Ax AN,
Khi đó:   xAP+PAN =xAN

 

60° +PAN =120° ⇒PAN =120° − ° = °60 60 .

Ta có AP nằm giữa Ax AN, và xAP =PAN

(

60° =60°

)

Vậy AP là tia phân giác của xAN.

Bài 5: Muốn thắng thì trước lần bốc cuối bạn thứ nhất phải để lại trong hộp đúng 9
viên.

Do đó bạn thứ nhất phải điều chỉnh sao cho sau mỗi lần bốc để lại trong hộp bội
của 9.

Vì 2019 chia cho 9 dư 3 nên bạn bốc trước lần đầu bốc 3 viên bi, sau đó cứbạn
thứhai bốc k viên

(

2≤ ≤k 7

)

thì bạn thứ nhất lại bốc 9−k viên.

Theo cách đó thì bạn bốc trước bao giờcũng thắng.

ĐỀ SỐ 4 - ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019 
Câu 1: (2,0 điểm)

Tính: 13

( )

2 8 19 23
1 0, 5 3 1 :1

15 15 60 24

 

⋅ ⋅ + − 

 

Câu 2: (2,0 điểm)

Tìm x thỏa mãn: 1 1 ... 1 . 22
1.2.3 2.3.4 8.9.10 45

 + + +  =

 

  x

Câu 3: (2,0 điểm)

Tìm sốtựnhiên nhỏ nhất biết rằng sốđó chia 9 dư 5, chia 7 dư 4, chia 5 dư 3.
Câu 4: (3,0 điểm)

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số 2 1

6 5

+
+
n

n luôn tối
gian

b. Cho hai số tự nhiên a b, sao cho: ab=20182018. Hỏi a+b có chia hết cho

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 5: (2,0 điểm)

Tìm tất cả các sốtự nhiên có ba chữ số abc sao cho p=abc+bca+cab là số

chính phương.
Câu 6: (2,0 điểm)

Tìm sốngun dương chỏ nhất có 15 ước nguyên dương.
Câu 7: (2,0 điểm)

Biết abcd là nguyên tốcó bốn chữ sốthỏa mãn ab cd; cũng là các sô snguyeen tố

và 2 = + −

b cd b c. Hãy tìm abcd

Câu 8: (1,5 điểm)

Cho góc nhọn xOy. Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờlà đường thẳng chứa tia
Ox vẽ tia Oz sao cho xOz=120 .° Gọi Om On, lần lượt là phan giác của góc

 ;

xOy yOz. Tính góc mOn.

Câu 9: (1,5 điểm)

a. Cho đoạn thẳng AB=1cm. Gọi A A A1, 2, 3,...,A2019 lần lượt là trung điểm của
1 2 2018

, , , ...,

AB A B A B A B .Tính dộdài đoạn thẳng AA2019.
Câu 10: (2,0 điểm)

Một cuộc thi văn nghệ có 40 bạn học sinh tham gia, trong đó mỗi bạn đều quen
ít nhất với 27 bạn khác. Chúng minh rằng ln chọn được nhóm 4 bạn sao cho
hai bạn bất kì trong nhóm đều quen nhau.

……….HẾT……….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019 
Câu 1: 13

( )

2 8 19 23

1 0, 5 3 1 :1

15 15 60 24

 

⋅ ⋅ + − 

 

28 1 8 79 24
. .3 .
15 4 15 60 47

 

= + − 

 

7 2
1
5 5

= − =

Câu 2: 1 1 ... 1 . 22

1.2.3 2.3.4 8.9.10 45

 + + +  =

 

  x

1 1 1 1 1 1 1 1 1 22

...

2 1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 5.6 8.9 9.10 45

 

⇔  − + − + − + + −  =

 x

1 1 1 22
2 1.2 9.10 45

 

⇔  −  =

 x

1 22 22

. .

2 45 45

⇔ x=

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 3: Gọi sốtựnhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đềbài là a
Vì a chia 9 dư 5 nên a+4 9 ⇒ + +a 4 153 9 ⇒ +a 157 9
Vì a chia 7 dư 4 nên a+3 7 ⇒ + +a 3 154 7 ⇒ +a 157 7
Vì a chia 5 dư 3 nên a+2 5 ⇒ + +a 2 155 5 ⇒ +a 157 5
Suy ra a+157∈BC

(

9, 5, 7

)

(

9, 5, 7

)

=315

BCNN

157 315

⇒ +a = k ví a nhỏ nhất nên k =1 ⇒ =a 158

Vậy sốtựnhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đềbài là : 158.
Câu 4: Giả sử d∈UCLN

(

2n+1, 6n+5

)

2 1

6 5


⇒  +





n d

n d ⇒6n+ −5 3 2

(

n+1

)

d

{ }

2 1; 2

⇒ d⇒ ∈d

Vì n là sốnguyên dương nên 2n+1 2 ⇒ ≠d 2 ⇒ d =1

Vậy với mọi sốnguyên dương n thì phân số 2 1

6 5

+
+
n

n luôn tối giản.

a. Ta có 2018≡2 mod 3

(

)

20182018 ≡22.1009

(

mod 3

)

⇒20182018 ≡1 mod 3

(

)

⇒a b lần lượt có dạng

3 2

3 2 3 1

3 2
3 1

3
 = +



 = + +




 ⇒ 

 = +  +
 =




a l

b n a b chia du

a b chia du

a k

b m

Mà 2019 3 ⇒ +a b2019
Câu 5: Ta có :

100 10 100 10 100 10

= + + = + + + + + + + +

p abc bca cab a b c b c a c a b

(

)

(

)

111 3.37.

= a b c+ + = a b c+ +

Để p là sốchính phương thì a b c+ + 37.3 mà 0< + + ≤a b c 27⇒ + +a b c37.3
Nên khơng có sốtựnhiên nào có ba chữ số abc thỏa mãn yêu cầu đềbài.

Câu 6: Gọi sốnguyên dương cần tìm là a

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1 5 4

1 3 2 144

324

1 3 2

1 5 4

 + =  =


 + =  = =



 

 

⇒ ⇒ ⇒ 

+ = =

  

 

+ = =

 

 

x x

y y a

a

x x

y y

Vì a nhỏ nhất nên a=144.

Câu 7: Vì ab cd; là các sốnguyên tố nên b d, lẻvà khác 5

Ta lại có 2 2

(

)

9 1 9

= + − ⇔ − = + ⇔ − = +

b cd b c b b c d b b c d
Nếu b = 1 (không thỏa mãn)

Nếu b=3 nên 9c d+ = ⇒ =6 c 0,d=6 (không thỏa mãn)
Nếu b= ⇒7 9c d+ =42⇒ =d 42 9− c⇒ =c 4; d=6 (loại)

Nếu b= ⇒9 9c+ =d 72⇔ =d 72 9− c⇒ =c 7;d =9 (thỏa mãn)

{

1; 2; 7

}

⇒ ∈a

Vậy abcd∈

{

1979; 2979; 7979

}

Câu 8:

4 3 2
1

z

y

x
n

m

O

Vì góc xOy là góc nhọn và xOz là góc tù nên  xOy<xOz

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy <xOz ⇒Oy nằm giữa hai
tia Ox và Oz

  + =

xOy yOz xOz

( )

1
mà Om On, lần lượt là phân giác của góc  xOy yOz;

    
2 3

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Vì Om là phân giác của góc xOy nên  1 2 
1
2

= =

O O xOy

( )

3
Vì On là phân giác của góc zOy nên  3 4 

1
2

= =

O O yOz

( )

Từ

( )

1 ,

( )

2 ,

( )

3 và

( )

4   2 3. 1

(

 

)

1.120 60

2 2

⇒mOn=O +O = xOy+yOz = ° = °
Câu 9:

A3
A2

A1
A

B

Vì A1 là trung điểm của AB nên

1 1

2 2

= =

A B AB

2 1 2

1 1

2 2

= =

A B A B

……..

2019 2019 2019 2019

1 1

2 2

= ⇒ = −

A B AA

Câu 10: Giá sửcó ba bạn A B C, ,

Bạn A quen ít nhất 27 bạn nên có 12 bạn khơng quen A(mời những bạn này ra khỏi
lớp) cịn lại ít nhất 28 bạn trong lớp. Trong 28 bạn đó có B quen với A và cũng có
nhiều nhất 12 bạn khơng quen với B trong lớp (lại mời 12 bạn ra khỏi lớp)

Cịn lại ít nhất 28 12 16− = bạn trong lớp quen với cả A và B.

Trong 16 bạn đó có C và có nhiều nhất 12 bạn khơng quen C trong lớp nên cịn lại ít

nhất 16 12 1 1 1 1− − − − = bạn quen với cảba bạn A B C, , .

Vậy ln chọn được nhóm 4 bạn sao cho hai bạn bất kì trong nhóm đều quen
nhau.

ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019

Câu 1: (4,0 điểm)

1. Thực hiện phép tính sau

(

)

2
16

13 11 9

3.4.2

;
11.2 .4 16
A=

− b)

1 1 1 1

... .

2.5 5.8 8.11 2015.2018

B= + + + +

2. So sánh A và B biết:

30 31

31 32

19 5 19 5

; .

19 5 19 5

A= + B= +

+ +

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. Tìm tất cảcác số nguyên n đểphân số 1
2
n
n

− có giá trị là một số nguyên.

2. Cho n=7 5 8 4.a + b Biết a b− =6. và n9. Tìm

a b

, .

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm

x

∈



biết:
a) 3. 5

(

x− − =1

)

2 70;

b) 1 1 1 ... 1 . 22.

1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 x 45

 + + + +  =

 

 

2. Tổng sốtrang của 8 quyển vở loại một, 9 quyển vở loại hai và 5 quyển vở loại
ba là 1980. Sốtrang của quyển vở loại hai chỉ bằng 2

3 sốtrang của một quyển vở
loại một. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại hai.
Tính sốtrang của mỗi quyển vở mỗi loại?

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho xOy và yOz là hai góc kềbù.

Om

là tia phân giác của xOy,

On

là tia phân
giác của yOz.

a) Tính mOn.

b) Kẻ

Om

’

là tia đối của tia Om. Nếu zOm'= °30 thì m Oy' có số đo bằng bao
nhiêu độ.

c) Vẽđường thẳng d không đi qua

O

.

Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân
biêt. Tính số các góc có đỉnh

O

và cạnh đi qua hai điểm bất kì trên đường thẳng

d
Câu 5: (2,0 điểm)

Một sốchia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi sốđó chia cho
2737 dư bao nhiêu?

--- Hết ---

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019
Câu 1: 1. a) Ta có

(

)

(

)

16 2 36 2 36 2 36

13 11 9 35 36 35 35

3.4.2 3 .2 3 .2 3 .2

2
11.2 .4 16 11.2 2 2 11 2 2 .9

A= = = = =

− − −

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1 1 1 1 1 3 3 3 3

... ...

2.5 5.8 8.11 2015.2018 3 2.5 5.8 8.11 2015.2018

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 336

... .

3 2 5 5 8 8 11 2015 2018 3 2 2018 2018

B= + + + + =  + + + + 

 

   

=  − + − + − + + − =  − =

   

Câu 2: 1. Xét phân số 1 2 3 1 3

2 2 2

n n

n n n

+ = − + = +

− − −

Để 1
2
n
n

− là một số nguyên ⇔3n− ⇔ − ∈2 n 2 Ư(3)= ± ±

{

1; 3

}

Từđó ta có:

2 n

−

3

−1 1

3

n −1 1

3

5

Vậy n∈Ư(3)= −

{

1;1;3;5

}

thì 1
2
n
n

− là một số nguyên

2. Do n9⇒7 5 8 4 9a + b  ⇒700 10+ a+ +5 800 10+ b+4 9 ⇒1509 10+ a+10 9b

{

}

1503 9a 9b 6 a b 9 6 a b 9 a b 3;12

⇒ + + + + +  ⇒ + +  ⇒ + ∈

+ Với a+ =b 3 thì

a b

;

khác tính chẵn lẻ và a− =b 6 thì

a b

;

cùng tính chẵn lẻ.

Do đó khơng tồn tại

a b

; .

+ Với a+ =b 12 và a− =b 6 suy ra

a

=

9;

b

=

3.

Vậy

a

=

9;

b

=

3.

Câu 3: 1. Tìm

x

∈



biết:

a) 3. 5

(

x − − =1

)

2 70⇒3. 5

(

x − =1

)

72⇒5x − =1 24⇒5x =25⇒ =x 5.
Vậy

x

=

5.

b) 1 2 2 2 ... 2 . 22

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 x 45

 + + + +  =

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 22

... .

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 8.9 9.10 x 45

 − + − + − + + −  =

 

 

1 1 1 22 1 22 22 1

. . . 1 2.

2 1.2 9.10 x 45 2 45 x 45 2x x

 −  = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

 

 

Vậy

x

=

2.

2. Gọi số trang sách của một quyển vở loại một, loại hai, loại ba theo thứ tự là
, ,

x y z trang.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Số trang của quyển vở loại hai chỉbằng 2

3 số trang của một quyển vở loại một

nên 2 3

( )

3 2

y

x y

x = ⇒ =

Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại hai nên

( )

4 3 3

z= y⇒ =z y
Thay (2); (3) vào (1) ta được:

3 3 99

8. 9 5. 1980 12 9 3, 75 1980 1980 80

2y+ y+ 4z= ⇒ y+ y+ y= ⇒ 4 y= ⇒ =y
Lần lượt tính được x=120; z=60.

Vậy theo thứtự sốtrang mỗi quyển vởlà 120;80;60.

Câu 4:

a) Do Om On, lần lượt là tia phân giác của

       

1 2 3 4

1 1

; ;

2 2

xOz zOy⇒O =O = xOz O =O = zOy

Mặt khác:   180 2

(

 2 3

)

180  180 90
2

xOz+zOy= ° ⇒ O +O = ° ⇒mOn= ° = °
b) Nếu zOm'= ° ⇒30 zOm=150°(hai góc kềbù)

Mặt khác  1  300 180 .
2

zOm= xOz⇒xOz = ° > ° (không xác định).

Vậy không tồn tại tia

Om

’

để zOm'= °30 .

c) Từ

O

vẽhai tia qua hai điểm bất kì trên đường thẳng dta xác định được 1 góc
có đỉnh tại

O

.

Mà trên đường thẳng d có 2019 điểm phân biệt. Nếu chọn một trong 2019
điểm là điểm thứ nhất, còn 2018 cách chọn điểm thứ2. Do đó ta có 2019.2018 tia, mà mỗi

4
3
2
1

A2019

A3

A2

A1

d

O

y
x

n
z

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

tia tính 2 lần nên sốcác góc có đỉnh

O

và cạnh đi qua hai điểm bất kì trên đường thẳng d

là

2019.2018 : 2

=

2037171

góc.

Câu 5:

Gọi sốđã cho là

A

.

Theo bài ra ta có: A=7a+ =3 17b+12=23c+7
Mặt khác: A+39=7a+ +3 39=17b+12 39+ =23c+ +7 39

(

)

(

)

(

)

7 a 6 17 b 3 23 c 2

= + = + = +

Như vậy

A

+

39

đồng thời chia hết cho 7,17 và 23.

Nhưng ƯCLN

(

7,17, 23

)

= ⇒1

(

A+39

)

7,17, 23⇒ +A 39 2737 ⇒ =A 2698.
Do

2698

<

2737

nên

A

: 2737

có sốdư là

2698.

ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019

Câu 1: 1) Từ 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 5 viết tất cảcác sốcó ba chữ sốkhác nhau chia hết cho 3
và 5.

2) So sánh: a) 25
53 và

2525

5353; b)
2018
2019 và

20182019
20192019.

3) Tính 5.4 .9915199 4.3 .82920 96
5.2 .6 7.2 .27
A= −

− .

Câu 2: a) Chứng minh rằng: 817 – 279 – 913  45.

b) 12 12 12 ... 12
2 3 4 100

N = + + + + không là sốtựnhiên.

Câu 3: a) Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữchiếm 2

5 , trong đó có
3

8 số nữ

là học sinh lớp 6. Trong số học sinh nam dự hội nghị có 2

9 là học sinh lớp 6. Biết số học
sinh dự hội nghị trong khoảng từ 100 đến 170 em. Tính số học sinh nam và học sinh nữ
khối 6.

b) Cho các số p = bc + a, q= ab + c, r = ca + b là các sốnguyên tố

(

a b c, , ∈*

)

Chứng minh rằng ba số p, q, r có ít nhất hai sốbằng nhau.

Câu 4: Cho tam giácABCcó BC=5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho
3

CM = cm.

a) Tính độdài BM .

b) Cho biết BAM = °80 , BAC =60°. Tính MAC.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK =1cm. Tính độdài BK .

Câu 5: Cho 2019 sốnguyên dương a1, a2, ... , a2019 thỏa mãn:

1 2 2019

1 1 1

... 1010

a + a + +a = .

Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong số 2019 sốnguyên dương đã cho bằng nhau.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019
Câu 1:

1) Các sốchia hết cho 3, 5 lập từcác sốtrên là: 120; 150; 210; 510; 105; 315; 135

Ta có 25 25.101 2525

53= 53.101=5353

2a) 2018 2018.10001 20182018

2019 =2019.10001=20192019 <

20182019
20192019
b) 5.4 .9915199 4.3 .82920 96 5.2 .33028 1819 2 .3 .22 2920 1827

5.2 .6 7.2 .27 5.2 .3 7.2 .3

− = −

− −

(

)

(

)

29 18 29 18

28 18 28 18
2 .3 10 9 2 .3

2
2 .3 15 14 2 .3

−

= = =

−
Câu 2:

a) Ta có:

( ) ( ) ( )

7 9 13

7 9 13 4 3 2

81 −27 −9 = 3 − 3 − 3

28 27 26

3 3 3
= − −

(

)

26 2 26 24

3 3 3 1 3 .5 3 .45 45

= − − = = 

Có 12 12 12 ... 12 0
2 3 4 100

N = + + + + > .

Mặt khác 12 1 1 1
2 <1.2= −1 2

12 1 1 1

3 <2.3= −2 3

12 1 1 1

4 <3.4= −3 4

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

12 1 1 1

100 <99.100=99−100

Nên N < 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
2 2 3 3 4 99 100

− + − + − + − = 1 1 1

100
− < .
Do đó 0 < N < 1 . Vậy N không là sốtựnhiên.
Câu 3:

a) Số học sinh nữkhối 6 là: 3 2. 3

8 5=20 (tổng số học sinh)

Số học sinh nam dự hội nghị là: 1 2 3
5 5

− = (tổng số học sinh)

Số học sinh nam khối 6 là: 2 3. 2

9 5=15 (tổng số học sinh)

Số học sinh dự hội nghị phải là sốchia hết cho 15 và 20.

Mà BCNN

(

15, 20

)

= 60 => BC

(

15, 20

)

= 0; 60; 120; 180;

{

…

}

.
Mà số học sinh trong khoảng từ100 đến 170 học sinh

=> Số học sinh dự hội nghị là 120 em
=> Học sinh nam khối 6 là: 2 .120 16 (hs)

15 =

Học sinh nữkhối 6 là: 3 .120 18 (hs)
20 =

Trong 3 số a b c, , có ít nhất hai sốcùng tính chẵn lẻ.
Giả sửhai sốcùng tính chẵn lẻ là a và b.

Suy ra p = bc+ a là sốnguyên tố chẵn nên p = 2.

Suy ra a = b = 1. Khi đó q = c + 1 và r = c + 1 nên q = r.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a) Vì M thuộc tia đối của tia CB nên C nằm giữa B và M

BM BC CM 5 3 8

=> = + = + = (cm).

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MB điểm C nằm giữa B và M => Tia AC
nằm giữa hai tia AB và AM .

=>   BAC+MAC=BAM

=> MAC  =BAM −BAC= ° − ° = °80 60 20 .
c) Có Ax là tia phân giác của BAC=>   30

BAC

xAC= = °.

Có Ay là tia phân giác của MAC =>   10
2

MAC

yAC= = °.

- Vì tia AC nằm giữa hai tia AB và AM mà các tia Ax Ay, lần lượt là tia phân
giác của BAC và MAC.

=> Tia AC nằm giữa hai tia Ax và Ay

=>   xAy=xAC+yAC= ° + ° =30 10 40°.

d) TH1. Nếu K nằm trên đoạn BC thì BK = BC – CK = − =5 1 4 (cm).

TH2. Nếu K nằm trên đoạn CM thì BK = BC + CK = + =5 1 6 (cm).
Câu 5: Giả sử 2019 sốnguyên dương a1, a2, ... , a2019 khơng có hai sốnào bằng nhau và

1 2 2019 1 1; 2 2; ; 2019 2019
a < a < … < a => a ≥ a ≥ … a ≥ .
Khi đó:

1 2 2019

1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 ...

1 2 2019 2 2

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Vậy có ít nhất 2 trong số 2019 sốnguyên dương đã cho bằng nhau.

ĐỀ SỐ7: ĐỀ THI CHỌN HỌC HSG OLYMPIC THÁNG 4 TP. HCM - NĂM 2019
Câu 1. (4 điểm) Nếu ta lấy tổng tất cảcác chữ số của một sốtựnhiên có hai chữ sốnhân
với 5 thì kếtquả nhận được lớn hơn sốđã cho 1đơn vị. Tìm sốtựnhiên có hai chữ sốđó.
Câu 2. (3 điểm)Trong tất cảcác học sinh khối 6 của một trường, có 37 học sinh tham gia

cuộc thi Toán, 49 học sinh tham gia cuộc thi Khoa học, 18 học sinh tham gia cảhai cuộc
thi và 83 học sinh không tham gia cuộc thi nào. Hỏi khối 6 của trường đó có bao nhiêu

học sinh.

Câu 3. (3 điểm)Trong một lớp có 21 bạn nam và một sốbạn nữ. Tất cả học sinh này đều
là đoàn viên hoặc đội viên. Biết rằng sốđội viên nữnhiều hơn sốđoàn viên nam là 5. Hỏi

lớp đó có tất cảbao nhiêu đội viên.

Câu 4. (6 điểm) Có ba bình đựng nước. Nếu ta rót 1

3 lượng nước từbình thứ nhất sang
bình thứhai rồi rót 1

4 lượng nước hiện có từbình thứhai sang bình thứba và cuối cùng
rót 1

10 lượng nước hiện có từbình thứba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình đều có 9
lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình chứa bao nhiêu lít nước?

Câu 5. (4 điểm) ABCD là hình vng cạnh bằng 10cm.

AB cm, CG=6cm AJ =5cm, CL=7cm. Tính diện tích
phần được tơ đậm.

-HẾT-

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP HỒCHÍ MINH - NĂM 2019
Câu 1. Gọi sốtựnhiên có hai chữ số là ab với a b, ∈

{

0;1; 2;...;9

}

Ta có: 5.

(

a b+ =

)

10a b+ + ⇒1 4b=5a+1.
Từđó ta có: 3

4
=

 =


a

b và
7
9
=

 =


a
b
Vậy có hai số là 34 và 79.

K
L
I

J

F E B

C
A

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 2. Số học sinh khối 6 tham gia ít nhất một cuộc thi là: 37+49 18− =68(hs)
Số học sinh khối 6 của trường là: 68 83 151+ = (hs)

Câu 3. Gọi xlà sốđoàn viên nam.

Suy ra sốđội viên nữ là x+5và sốđội viên nam là 21−x.

Vậy sốđội viên của lớp là: x+ +5 21− =x 26.
Câu 4. Sau khi rót 1

10 lượng nước hiện có từbình thứba sang bình thứ nhất thì lượng
nước rót sang bình thứ nhất bằng 1

9 lượng nước cịn lại, tức là bình thứ nhất đã nhận

thêm 1(lit)

Do đó 2

3lượng nước của bình thứ nhất bằng 9 1 8− = (lit)

Vậy lượng nước của bình thứ nhất là: 8 :2 12
3= (lit)
Sau khi rót 1

4 lượng nước hiện có từbình thứhai sang bình thứba thì lượng nước rót sang
bình thứba bằng 1

3lượng nước cịn lại, tức là bình thứba đã nhận thêm 3(lit)

Vậy lượng nước của bình thứba là : 9 1 3+ − =7(lít).
Lượng nước của bình thứhai là: 9.3 12 7− − =8(lít).
Câu 5.

Ta có EF = AE+CG−AB= + −7 6 10=3cm.

Suy ra diện tích hình chữ nhật EFGH là 3.10=30cm2.
Ta có: IJ = AJ+CE−AD= + −5 7 10=2 cm.

Suy ra diện tích hình chữ nhật IJKLlà 2.10=20cm2.
Diện tích phần được tơ đậm là: 30 20 3.2+ − =44cm2.

K
L
I

J

F E B

C
A

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ĐỀ SỐ8: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
Câu 1: (2,0 điểm)

1. Thực hiện các phép tính:

(

)

10 3 5 2
3 9 3
5 .7 25 .49

125.7 5 .14
−

A

3 3 1 1

0, 5 0, 5 0, 2

17 37 3 4

5 5 5 7 7 7

3, 5

6 17 37 5 4 3

− + − + −

= +

− + − + −

B

(

)

(

)

(

)

1 1 1

1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50

3 4 50

= − + + − + + + −⋅⋅⋅ − + + + ⋅⋅⋅ +

C .

2. So sánh M và N biết:

30
31
19 5

;
19 5

+
=

+
M

31
32
19 5
19 5
+
=

N .

Câu 2: (2,0 điểm)

1. Tìm x biết: 3 2 .74 2018 2.72019 1
2019

− = ⋅ o

x .

2. Tìm số nguyên x y, biết: xy+4x=25 5 .+ y

3. Tìm số nguyên x biết: 2x+2x+1+2x+2+ ⋅⋅⋅+2x+2015 =22019−8.
Câu 3: (2,0 điểm)

1. Cho phân số: 6 5

(

)

3 2

= ∈

+ 

n

P n

n

a) Chứng tỏrằng phân số P là phân sốtối giản.

b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?

2. Một học sinh từ lớp 5 đến lớp 9 đã qua 31 kì thi, trong số đó sốkì thi ởnăm
sau nhiều hơn sốkì thi ở năm trước và sốkì thi ởnăm cuối gấp ba lần sốkì thi ở
năm đầu. Hỏi học sinh đó thi bao nhiêu kì thi ởnăm thứtư?

Câu 4: (2,0 điểm)

1. Cho ba tia tia chung gốc Ox Oy Oz, , biết xOy=120 ,° xOz= °50 . Gọi Om là tia

phân giác của yOz. Tính xOm.

2. Cho 2019 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngồi ra
khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường
thẳng. Hỏi từ 2019 điểm đó vẽđược tất cảbao nhiêu đường thẳng?

Câu 5: (2,0 điểm)

1. Giả sử p và 2
2
+

p là các sốnguyên tố. Chứng tỏ p3+ p2+1cũng là số nguyên
tố.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
Câu 1: 1. Thực hiện các phép tính:

(

)

(

)

( )

10 3
10 3 5 2 10 3 10 4

3 9 3 9 3 9 3 3 9 3 3

5 .7 1 7 5. 6

5 .7 25 .49 5 .7 5 .7 10

5 .7 5 .7 .2 5 .7 1 2 9 3

125.7 5 .14

− −
− − −
= = = = = ⋅
+ +
+
A

3 3 1 1 3 3 3 1 1 1 1

0, 5 0, 5 0, 2

17 37 3 4 6 17 37 2 3 4 5

5 5 5 7 7 7 5 5 5 7 7 7 7

3, 5

6 17 37 5 4 3 6 17 37 5 4 3 2

− + − + − − + − + −

= + = +

− + − + − − + − + −

B

1 1 1 1 1 1 1
3

3 1 16
6 17 37 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 5 7 35

5 7

6 17 37 2 3 4 5
 − + 
− + −
 
 
= + = − = ⋅
 − +  −  − + − 
   
   

(

)

(

)

(

)

1 1 1

1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50

3 4 50

= − + + − + + + −⋅⋅⋅ − + + + ⋅⋅⋅ +
C

(

1 3 .3

)

(

1 4 .4

)

(

1 50 .50

)

1 1 1

3 2 4 2 50 2

+ + +

= − ⋅ − ⋅ − ⋅

(

)

1 1 1 3 4 50

1 3 1 4 1 50

2 2

chữ số 1

 
+ + ⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅ +
 
 
+ + + + ⋅⋅⋅ + +  
= − = − 

(

3 50 .48

)

2 24 53.12 612.
2

+
+

= − = − + =

2. So sánh M và N biết:

30
31
19 5
;
19 5
+
=
+
M
31

32
19 5
19 5
+
=
+
N .

Ta có: 193031 5 19 193131 95 1 3190

19 5 19 5 19 5

+ +

= ⇒ = = +

+ + +

M M

31 32

32 32 32

19 5 19 95 90

19 1

19 5 19 5 19 5

+ +

= ⇒ = = +

+ + +

N N

Vì 31 32

90 90

19 +5>19 +5 nên 19M >19N ⇔M >N.
Câu 2: 1. Tìm x biết: 4 2018 2019 1

3 2 .7 2.7

2019

x− = ⋅

°
4 2018 2019 1

3 2 .7 2.7

2019

x− = ⋅

4 2018 2019

3 2 .7 2.7 3 16 14

⇔ x− = ⇔ x− =

10
3 16 14 3 30

2
3 16 14 3 2

3
=

− = =
  
⇔ ⇔ ⇔

− = − = =
  
x
x x

x x x

Vậy 10; 2
3

 

∈ ⋅

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

2. Tìm số nguyên x y, biết: xy+4x=25 5 .+ y
Ta có: xy+4x=25 5+ y⇔x y

(

)

=25 5+ y (1)
+) Nếu y= −4 thì pt (1) vơ nghiệm

+) Nếu y≠ −4 thì pt (1) trởthành:

(

)

5 4 5

5 25 5

4 4 4

+ +
+

= = = +

+ + +

y
y

x

y y y

Để x y, nguyên thì y+ ∈ ± ±4

{

1; 5

}

Lập bảng

4
+

y −5 −1 1 5

y −9 −5 −3 1

x 4 0 10 6

Vậy

( ) (

x y, = 4; −9 , 0;

) (

−5 , 10;

) (

−3 , 6; 1 .

) ( )

3. Tìm số ngun x biết: 2x+2x+1+2x+2+ ⋅⋅⋅ +2x+2015 =22019−8.
Ta có: 1 2 2015 2019

2x+2x+ +2x+ + ⋅⋅⋅+2x+ =2 −8

(

2 2015

)

2019 3
2 1 2 2 2 2 2
⇔ x + + + ⋅⋅⋅ + = −

(

2016

)

(

2016

)

2 . 2 1 2 2 1 2 2 3.

⇔ x − = − ⇔ x= ⇔ =

x

Câu 3:

1. Cho phân số: 6 5

(

)

3 2

= ∈

+ 

n

P n

n

a) Chứng tỏrằng phân số P là phân sốtối giản.
Gọi d =ƯC

(

6n+5, 3n+2

)

(với d∈*)

6n 5 d

⇒ +  và 3n+2d

(

6n 5

) (

3n 2 .2

)

d 1 d d 1

⇒ + − +  ⇔  ⇒ =

Vậy phân số P là phân sốtối giản.

b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?
Ta có: 6 5 2 3

(

)

1 2 1

3 2 3 2 3 2

n
n

P

n n n

+ +
+

= = = +

+ + +

Với n∈ thì 3 2 2 1 1 2 1 5 5

3 2 2 3 2 2 2

n P

n n

+ ≥ ⇒ ≤ ⇔ + ≤ ⇒ ≤

+ +

Dấu “=” xảy ra ⇔ =n 0

Vậy n=0 thì phân số P có giá trị lớn nhất bằng 5
2⋅
2. Gọi sốkì thi lần lượt là a b c d e, , , , với *

, , , , ∈

a b c d e và a< < < <b c d e

Theo đềbài ta có: a+ + + + =b c d e 31 và e=3a.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

{

}

7 6 31 3 1; 2; 3

⇔ a+ ≤ ⇔ ≤ ⇒ ∈a a
+) TH1: a= ⇒ =1 e 3

Khi đó 1< < < <b c d 3 (khơng tìm được b c d, , ∈* thỏa mãn)
+) TH2: a= ⇒ =2 e 6

Khi đó 2< < < <b c d 6⇒ =b 3;c=4; d =5 (không thỏa mãn a+ + + + =b c d e 31)

+) TH3: a= ⇒ =3 e 9

Khi đó 3 9 3 9

3 9 31 19

< < < < < < < <

 

⇔

 + + + + =  + + =

 

b c d b c d

b c d b c d

Nếu b=4 thì

( ) (

c d, = 5; 10 , 6; 9 , 7; 8

) (

)

⇒ =c 7;d =8 (thỏa mãn)
Nếu b=5 thì

( ) (

c d, = 6; 9 , 7; 8

) (

)

⇒ =c 7;d =8 (thỏa mãn)

Nếu b=6 thì

( ) (

c d, = 7; 6

)

(không thỏa mãn).
Vậy học sinh đó thi 8 kì thi ởnăm thứtư.

Câu 4: 1. Cho ba tia tia chung gốc Ox Oy Oz, , biết xOy=120 ,° xOz= °50 . Gọi Om là tia

phân giác của yOz. Tính xOm.

TH1: Tia Oz và tia Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox

+) Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên   xOz+yOz=xOy

 

50 yOz 120 yOz 120 50 70

⇒ ° + = ° ⇔ = ° − ° = °

+) Vì tia Om là tia phân giác của yOz nên  1  1 70 35

2 2

xOm= xOy⇒xOm= ⋅ ° = °
+) Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Om nên   xOm=xOz+zOm

 50 35 85

xOm

⇒ = ° + ° = °

TH2: Tia Oz và tia Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox

m

z
y

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

+) Vì tia Ox nằm giữa hai tia Oz và Oy nên   xOz+xOy= yOz

 

50 120 yOz yOz 170

⇒ ° + ° = ⇔ = °

+) Vì tia Om là tia phân giác của yOz nên  1  1 170 85

2 2

yOm= yOz⇒ yOm= ⋅ ° = °
+) Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy nên xOm  +mOy=xOy

 85 120  120 85 35 .

xOm xOm

⇒ + ° = ° ⇔ = ° − ° = °

+) Qua 2019 điểm phân biệt mà khơng có ba điểm nào thẳng hàng, ta vẽđược
2019.2018

2 037171

2 = (đường thẳng)

+) Qua 7 điểm thẳng hàng, ta vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 7 điểm này khơng
thẳng hàng thì vẽđược 7.6 21

2 = (đường thẳng).
Sốđường thẳng giảm đi là 21 1− =20 (đường thẳng).

Vậy vẽđược tất cả là 2 037171 20− =2 037151(đường thẳng).

Câu 5: 1. Giả sử p và p2+2 là các sốnguyên tố. Chứng tỏ p3+ p2+1cũng là số nguyên
tố.

+) Với p=2 thì p2+ =2 8 không là sốnguyên tố.

+) Với p=3 thì p2+ =2 11 và p3+ p2+ =1 37 đều là sốnguyên tố.
+) Với p> ⇒ =3 p 3k±1

(

k∈,k≥2

)

(

)

(

)

2 2 2

2 3 1 2 9 6 3 3 3 2 1 3

p k k k k k

⇒ + = ± + = ± + = ± +  nên 2

p + là hợp số.
Vậy chỉ có p=3 thì p2+2 và p3+p2+1đều là sốnguyên tố.

2. Chứng tỏrằng trong 27 sốtựnhiên tùy ý luôn tồn tại hai sốsao cho tổng hoặc
hiệu của chúng chia hết cho 50.

z
m
y

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

TH1: Nếu 27 sốtự nhiên trên có 2 sốcó cùng sốdư khi chia cho 50 thì hiệu của
chúng chia hết cho 50.

TH2: Nếu 27 sốtựnhiên trên khơng có hai sốnào có cùng sốdư khi chia cho 50

Sốdư khi chia cho 50 gồm: 0; 1; 2; ...; 49 chia làm 26 nhóm:

( ) (

0 , 1; 49 , 2; 48 ,... 24; 26 , 25

) (

) ( )

Chia 27 sốdư khác nhau vào 26 nhóm trên, tồn tại ít nhất 2 sốcùng một nhóm.
Suy ra tổng của chúng chia hết cho 50.

Vậy trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của
chúng chia hết cho 50.

ĐỀ SỐ 9: ĐỀ HỌC SINH GIỎI QUẬN HÀ ĐÔNG NĂM HỌC 2018-2019 
Bài 1: (4 điểm )

Tính giá trị

1) 1.2.3....100 1.2.3....99 1.2.3.98.99  2





2
16

13 11 9 18

3.4.2
11.2 .4 4 .2

Bài 2: (6 điểm )

1) Tìm số tự nhiên xbiết :



19x 22.3 : 142







11 6



2) Cho A2xy10x 3y

Tìm các số nguyên x y, để A28

3) Cho số abc37 .chứng minh rằng cab37

Bài 3: ( 3 điểm) Một tổ sản xuất phải làm xong một số sản phẩm theo kế hoạch trong 3

ngày . Ngày thứ nhất làm được 1

3 số sản phẩm .Ngày thứ hai làm được
3

5 số sản phẩm

còn lại .Ngày thứ ba làm được 107sản phẩm , vì vậy so với kế hoạch còn thiếu 13 sản

phẩm .Hỏi số sản phẩm cần làm theo kế hoạch
Bài 4:( 6 điểm )

1) Cho hai góc kề bù xOy và yOt, trong đó xOy 40.Gọi Om là tia phân giác của



yOt

a) Tính mOx

b) Trên nửa mặt phẳng khơng chứa Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Oxvẽ tia On

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2) Cho 5điểm A B C D E, , , , trong đó khơng có 3điểm nào thẳng hàng .

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho .Kể tên

các đoạn thẳng ấy

b) Có thể dựng được một đường thẳng khơng đi qua điểm nào trong 5 điểm đã

cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên khơng ? giải thích

vì sao ?

Bài 5: (1 điểm )Tìm tất cả các cặp số nguyên

 

x y; thỏa mãn x2  x 32020y 1
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ ĐÔNG 2018-2019
Bài 1:

1) 1.2.3....100 1.2.3....99 1.2.3.98.99  2 1.2.3...99 100 1 99



 



0









16 2 36

13 11 9 18 35

3.4.2 3 .2

2
11.2 .4 4 .2  2 11 2 
Bài 2:



19x 22.3 : 142







11 6



19x 198350

19x 152
8

x 

2) A2xy10x 3y

2xy10x 3y 28





2x y5 3y1513



 



2x y5 3 y5 13



2x 3



y5



131.1313.1  1. 13 13. 1

Từ đó ta có các cặp

 

x y; là

    

1;18 ; 5;6 ;  2; 8 ;

 

8;4



3) Vì abc37 nên 100.abc3710000a1000b100 37c

100c 10a b 9990a 999 37b

      cab37. 270



a 27b



37
37

cab

 

Bài 3: Phân số chỉ số sản phẩm làm ở ngày thứ 2 là : 3. 1 1 2
5 3 5

 
  

 

 

Phân số chỉ số sản phẩm làm ngày thứ 3 là : 1 1 2 4
3 5 15

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Do làm được 107 và thiếu 13 sản phẩm nên số sản phẩm theo kế hoạch là :



107 13 :



4 450
15

 

Vậy theo kế hoạch phải làm 450 sản phẩm

Bài 4:

a) Số đo góc yOt là :

 180  140

yOt   xOy  ( kề bù )
Do Omlà tia phân giác nên :

  70

yOt

yOm   

Vậy xOm xOyyOm 40 70 110

b) Ta có : xOmxOn 70 110 180

nên Om và On là hai tia đối nhau

a) Có 10 đoạn thẳng đó là : AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE, , , , , , , , ,

b) Ta nhận xét rằng qua 3 điểm khơng thẳng hàng thì 1 đường thẳng khơng đi

qua 3 điểm đó chỉ cắt nhiều nhất hai đoạn thẳng

Tương tự qua 3 điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng thì cắt

nhiều nhất 3 đoạn thẳng

Vậy qua 5 điểm chỉ cắt được 4 đoạn thẳng nên không dựng được1 đường
thẳng cắt 5 đoạn thẳng trên

Bài 5:

Xét trường hợp y 0Khi đó : x2  x 2x x



1



  2 x 1;x  2 vậy cặp

 

x y;

thỏa là

D

E

A

B
C

t
y

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

  

1;0 ; 2;0



Xét trường hợp y 0khi đó

2020

3 y 1 chia 3 dư 1 còn x x



1



là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
hoặc chia 3 dư 2 nên không xảy ra

Vậy cặp

 

x y; thỏa là :

  

1;0 ; 2;0



ĐỀ SỐ10: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH NĂM 2019
Câu 1. Thực hiện phép tính

( )

{

(

2 2

)

0

}

8 : 25 18 : 5 2 :11 2018 

− −  + − 

(

7 7 15

) (

14

)

2
11.3 .9 −9 : 2.3

Câu 2.

a) Tìm x biết: 33x+3−2.33x+1=567

b) Tìm cặp sốnguyên dương

( )

x y; thỏa mãn: 5 3

4 2

x
y
− =
Câu 3.

a) Với a b, là các số nguyên, chứng tỏrằng: a+4 13b khi và chỉkhi 10a b+ 13
b) Cho 1 1 1 1 1... 1 1

2 3 4 5 2018 20219

A= − + − + − +

1 1 1

...

1010 1011 2019
B= + + +
Tính tỉ số A

B.

Câu 4.Cho đoạn thẳng AB=7cm. Trên tia đối của tia BAlấy điểm Csao choBC=3cm,
trên đoạn thẳng AClấy điểm M sao cho MB=2cm.

a) Tính độdài đoạn thẳng AM.

b) Gọi I và Kthứtựlà trung điểm của AMvà BC. Tính độdài IK.

c) Lấy điểm Dnằm ngoài đường thẳng AB. So sánh ADB và ADC.
Câu 5. Cho 12 12 12 ... 1 2

1 2 3 2019

P= + + + + .

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH 2019
Câu 1.

( )

{

(

2 2

)

}

8 : 25 18 : 5 2 :11 2018 

− −  + − 

[

]

{

}

64 : 25 18 : 33 :11 1

= − −

{

}

64 : 25 18 : 2

= −

64 :16 4
= = .

(

7 11 15

) (

14

)

2
11.3 .9 −9 : 2.3

(

7 22 30

) (

2 28

)

11.3 .3 3 : 2 .3

= −

(

29 30

) (

2 28

)

11.3 3 : 2 .3

= −

(

)

29 2 28
3 .8 : 2 .3

(

)

29 3 2 28

3 .2 : 2 .3 3.2 6

= = = .

Câu 2.

a) 3 3 3 1
3x+ −2.3 x+ =567

3 3

3 .27 2.3 .3x − x =567

(

)

3 . 27 6x − =567
3

3 .21 567x =
3

3 x =567 : 21
3 3

3 x =3
Vậy 3x=3

x=1.

b) Ta có: 5 3

4 2

x
y
− =

20 3

4 2

xy
y

−

=
2xy−40 12= y

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

y x.

(

−6

)

=20
TH1: y=1 ⇒ − =x 6 20

x=26

Vậy:y=1, x=26(thỏa mãn).

TH2:y=20⇒ − =x 6 1

x=7

Vậy:y=20, x=7(thỏa mãn).

TH3:y=2 ⇒ − =x 6 10

x=16

Vậy:y=2, x=16(thỏa mãn).

Th4:y=10⇒ − =x 6 2
8

x=

Vậy:y=10, x=8(thỏa mãn).

TH5: y=4 ⇒ − =x 6 5

x=11

Vậy:y=4, x=11(thỏa mãn).
TH6:y=5⇒ − =x 6 4

x=

Vậy: y=5, x=10(thỏa mãn).
Câu 3.

a) Ta có: a+4 13b ⇒10.

(

a+4b

)

13 (1)

Lại có: 10

(

a+4b

)

=10a+40b=10a b+ +39a
Mà 39 13a (2).

Từ (1) và (2) ⇒10a b+ 13.
b) Ta có:

1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 5 2018 20219

A= − + − + − +

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

1 1 1 1 1 1 1

1 ... ...

3 5 2019 2 4 6 2018

A= + + + +   − + + + + 

   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 2. ...

2 3 4 5 2018 2019 2 4 6 2018

A= + + + + + + + −  + + + + 

   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ...

2 3 4 5 2018 2019 2 3 4 1009

A= + + + + + + +   − + + + + + 

   

1 1 1 1

...

1010 1011 2018 2019
A= + + + +

1 1 1 1

...

1010 1011 2018 2019 1

1 1 1 1

...

1010 1011 2018 2019
A

B

+ + + +

= =

+ + + +

Câu 4.

a) TH1

Ta có: BA=7cm, BM =2cm

BA BM

⇒ > (7>2), nên M nằm giữa
hai điểm A B; .

Vậy AB=MA MB+

7 2 5

AM AB MB

⇒ = − = − = (cm).
TH2:

Có tia BAvà tia BMlà hai
tia đối nhau nên Bnằm giữa hai
điểm M A; .

Vậy: MA=AB+BM = + =7 2 9(cm).

b) Vì Ilà trung điểm của AM nên 1 1.5 2, 5

2 2

IM = AM = = (cm).
Vì Klà trung điểm của BCnên 1. 1.3 1, 5

2 2

BK = BC= = (cm).
Có MI MB; là 2 tia đối nhau nên M nằm giữa hai điểm I B; .
Vậy: IB=IM +MB=2, 5 2+ =4, 5(cm).

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Vậy: IK =IB+BK =4, 5 1, 5+ =6(cm).

c) Ta có BAvà BClà hai tia đối nhau nên Bnằm giữa hai điểm Avà Cnên tia BD

nằm giữa hai tia ADvà DC. Vậy  ADB<ADC.
Câu 5.

Ta có:
2
1

1
1 =

2
1 1 1

.
2 <1 2

2
1 1 1

.
3 <2 3
…….

1 1 1

2019 < 2018 2019

1 1 1 1

1 ...

1.2 2.3 3.4 2018.2019
P

⇒ < + + + + +

1 1 1 1 1 1 1

1 1 ...

2 2 3 3 4 2018 2019

P

⇒ < + − + − + − + + −
1

2019
P

⇒ < −

Vậy Pkhông phải là một sốtựnhiên.

ĐỀ SỐ 11: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN LƯƠNG TÀINĂM 2019
Bài 1(3,0 điểm )

1)Tính bằng cách hợp lý nhất nếu có thể
a)78.



23



37.



78



40.



78



b) 1 .155 2.



 

105 .



2 4 1

7 7 3 5 7

 



        



c) 5.79 211 7129
7 .5 13.7





2)Cho 2 2002

1

2 ...

2 A

  



và 2003

B .So sánh A B;
Bài 2( 2;0 điểm )

1)Tìm x biết





3 5 2

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

b) 1 1 1 1 1 1 16

12 20 30 42 56 72 9

x x x x x x

     

2)Có hai loại xe trọng tải 4 tấn và 11 tấn.Nếu mỗi xe chởđúng trọng tải thì cần mỗi loại
mấy xe để chở hết

58

tấn hàng

Bài 3(2,5 điểm )

1)Tìm

x y

;

ngun biết : x y xy40

2)Tìm sốtựnhiên có ba chữ sốbiết rằng khi chia sốđó cho các số 25; 28;35 thì được các số
dư lần lượt là 4;7;14

3)Cho 22 sốnguyên dương x x x1; 2; 3,...;x22 biết

1 2 3 22

1 1 1 1

.... 7

x  x  x  x 

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai sốbằng nhau
Bài 4(2 điểm )

1)Trên đường thẳng

x x

'

lấy điểm

O

tùy ý.Vẽhai tia Oy và

Oz

nằm trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ

x x

'

sao cho xOz40 và x Oy' 3xOz

a)Trong ba tia Ox Oy Oz; ; tia nào nằm giữa hai tia cịn lại
b)Gọi

Oz

'

là tia phân giác góc x Oy' .Tính góc z Oz'

2)Cho

n

đường thẳng trong đó bất kì hai đường thẳng nào cũng cắt nhau ; khơng có ba
đường thẳng nào đồng qui.Biết rằng tổng sốgiao điểm là

465

.Tìm

n

Bài 5(0,5 điểm )

Cho

10

sốtựnhiên bất kì a a a1; 2; 3;...;a10 .Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một

sốcác sốliên tiếp nhau trong dãy chia hết cho

10

HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1:

a) Ta có:











 















78. 23 37. 78 40. 78  78 .23 78 .37 78 .40 78 233740



78 .100



7800

   

b) 1 .155 2.



 

105 .



2 4 1

7 7 3 5 7

 



        





15 .





15 .





105 .







12 2

  

1 15 .2



1 31

7 7 105 7 7

 



                





11 12 11 11

9 2 9 9 2 9

5.7 7 7 (5 7) 7 .12

7 49
7 .5 13.7 7 5 13 7 .12

     

 

2) Ta có

2 3 4 2003

2 A

 

2  

....

2 

2 3 2002 2003

 

2 2002



2003

2A A 2 2 2 ... 2 2 1 2 2 .... 2 2 1

              

Hay là 2003 2003

2

1

2 A



 

  

B

A

B

Bài 2:

1a)





3 5 2





3 3

7x11 2 .5 200 7x11 32.25200100010

7 x

11

10

7 x

21 x

3

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1b)Ta chú ý :



 







1 1 1 1

1 1 1

n n

n N

n n n n n n

 

   

  

Ta đi xét tổng sau

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

12203042 56723.44.55.66.77.88.9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 3 9 9

              

Phuong trình đã cho





1 1 1 1 1 1 16



1 .



2 16

12 20 30 42 56 72 9 9 9

x   x

           

1

8

9 x

    

2)Ta gọi

x y

;

( với x y; N*) lần lượt là sốxe trọng tải 4 tấn và 11 tấn cần tìm
Ta có 4x11y5811y58  1 y 5

Mặt khác ta lại có













4x11y584 x3y 58 y 56    y 2 y 2 4 x3y14

Như thế



y2 4



 ta kết hợp với 1   y 5 y 2
Với y 2 4.x11.2584x36 x 9

Kết luận : Ta cần tổng cộng 9 xe trọng tả4 tấn và 2 xe trọng tải 11 tấn để chở hết

58

tấn
hàng này

Bài 3:

1)Ta có x y xy40  x y xy 1 41



 









x y y x y

        

Mà 41 chỉcó các cách phân tích thành tích của các cặp sốnguyên như sau

 

41 1 .( 41) 1.41

1 1; 1 41
1 41; 1 1

1 1; 1 41

1 41; 1 1

x y
x y
x y
x y
    

    

     

     


0; 40
40; 0
2; 42
42; 2
x y
x y
x y
x y
  

  

   
   


b)Ta gọi xabc (

0  

a

9;0



b c

;



9; ; ;

a b c



N

)

là sốtựnhiên có 3 chữ số cần tìm

Theo giảthiết

x

khi chia cho 25; 28;35 ta được các sốdư lần lượt là 4;7;14













21 25
25 4

28 7 ( ; ; ) 21 28

35 14 21 35

x

x m

x n m n p N x

x p x

 

  
 
 
 

     
   
  
 




</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

3)Giả sử 22 sốnguyên dương x x x1; 2; 3;....;x22 là 22 sốnguyên dương phân biệt ( nhận

giá trịkhác nhau )

Như thếta có thểgiả sử sắp thứtự 22 sốnày như sau :

1 2 3 ... 21 22 1 1; 2 2; 3 3;....; 21 21; 22 22

x x x  x x  x x  x  x  x 

Khi đó

1 2 3 22

1 1 1 1 1 1 1

... 1 ... 7

2 3 22

x x  x   x      

Ta có 1 1 1
2 3 ;

1 1 1 1 4

4    5 6 7 4 ;

1 1 1 8

... 1

8 9 15 8 ;

1 1 1 7

...

1617 2216

1 1 1 1 7 71

1 ... 1 1 1 1 7

2 3 4 22 16 16

            

1 2 3 22

1 1 1 1

... 7

x x x x

       mâu thuẫn với giảthiết

Vậy điều ta đã giả sửkhông thể xảy ra nên trong 22 sốngun dương x x x1; 2; 3;...;x22

phải có ít nhất hai sốbằng nhau
Bài 4:

a) Ta có  x Oy' xOy180 ( tổng
hai góc kềbù )

mà theo đề x Oy' 3.xOz3.40



120 xOy 60

    

Như vậy xOz40 xOy 60
Mà hai tia Oz Oy; nằm trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ

x x

'

nên tia

Oz

nằm giữa hai tia Oy Ox;

b)Ta có x Oy' 120 mà

Oz

'

là tia phân giác

   1 1

' ' ' ' ' .120 60

2 2

x Oy yOz x Oz  x Oy   
Ta cũng có zOyxOy xOz   60 40 20

Mặt khác dox Oz' 180xOz180  40 140 x Oy' 120 nên tia Oy nằm giữa
hai tia Ox Oz'; Oy nằm giữa Oz Oz'; z Oz' z Oy ' yOz     60 20 80

2)Xét đường thẳng thứ 1 ta có sốgiao điểm của đường thẳng này với các đường thẳng
còn lại là :

n



1

Tương tựcac đường thẳng thứ 2;3; 4,...n mỗi đường thẳng cũng tạo ra :

n



1

( giao điểm)

Như thế sốgiao điểm của

n

đường thẳng là : n n



1



Vì hai đường thẳng chỉ cắt nhau đúng 1 lần và tạo ra đúng 1 giao điểm nên ta có sốgiao
điểm của

n

đường thẳng này thực sự là :





2
n n

Theo giảthiết :





465





930

2
n n

n n



    ; bằng cách thửtrực tiếp ta chọn

n



31

z' y

z

x
x'

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Kết luận :

n



31

( đường thẳng )

Bài 5:

Xét 10 tổng sau : S1a1 ; S2  a1 a2 ; S3 a1 a2a3 ;…..:

10 1 2 3 ... 10

S  a a  a a

Nếu trong 10 tổng trên tồn tại 1 tổng nào đó chia hết cho

10

thì bài toán được chứng minh

Ta di xét trường hợp : cả

10

tổng S S1; 2;..;S10 đều không chia hết cho

10

Do vậy sốdư trong phép chia S S S1; 2; 3;...;S10 cho

10

chỉcó thể thuộc tập hợp



1; 2;3; 4;5;6;7;89



A gồm

9

phần tử do vậy theo nguyên lý Đi rich lê ln tồn tại ít
nhất 2 tổng S S ii; j



 j;1  i j 10



có cùng sốdư khi chia cho

10 

Sj Si





ai1 ai2 ... aj



        ta có điều cần chứng minh.

ĐỀ SỐ12: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGA SƠN - NĂM 2019
Câu 1. (3,0 điểm) Thực hiện phép tính đểtính giá trị của các biểu thức sau:

a) 136 28 62 21

15 5 10 24

 

= − + ⋅

 

A

b) 70 131313 131313 131313
565656 727272 909090

 

= ⋅ + + 

 

B

c) 5 4 3 1 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

= + + + +

C

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tìm x, biết: a) 5 7 1 5

4x− − = ⋅2 8 b)

2 3 2 2
5 x− −2.5 =5 .3.
b) Tìm sốtự nhiên abcde, biết rằng abcde2 3.2= abcde.

c) Chứng tỏrằng phân số 3 2

5 3

+
+
n

n tối giản với mọi sốtựnhiên n.
Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cho 5 5 5 5

20 21 22 49

= + + + ⋅⋅⋅ + ⋅

S Chứng minh rằng: 3< <S 8.

b)Trong một cuộc thi có 22 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 15 điểm, mỗi câu trả
lời sai bịtrừ10 điểm. Một bạn học sinh được tất cả155 điểm. Hỏi bạn đó trả lời đúng mấy
câu?

Câu 4. (3,0 điểm)

a) Cho 2 3 1998

1999 1999 1999 1999

= + + + ⋅⋅⋅+ ⋅

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

b) Tìm sốtựnhiên n lớn nhất có 3 chữ sốthỏa mãn điều kiện: nchia cho 8 dư 7, chia
cho 31 dư 28.

Câu 5. (5,0 điểm)

1) Cho ba đoạn thẳng cùng ởtrên một đường thẳng và có cùng một đầu mút chung.
Đoạn thẳng thứ nhất bằng 8

25 đoạn thứ hai và đoạn thứba bằng
1

3đoạn thứ hai. Tổng số

độdài của cảba đoạn thẳng là 248cm.

a) Tính độdài mỗi đoạn thẳng.

b) Tính độdài của đoạn thẳng có đầu mút là các trung điểm của đoạn thẳng thứhai
và đoạn thẳng thứba.

2) Bạn An vẽđược một sốtia chung gốc A. Bạn Bình vẽđược một sốtia chung gốc
B. Biết bạn Bình vẽđược nhiều hơn bạn An đúng một tia và tổng sốgóc hai bạn vẽđược là
100. Hỏi mỗi bạn vẽđược bao nhiêu tia?

Câu 6. (1,0 điểm)

Tìm tất cảcác sốnguyên dương n biết rằng n cộng với tổng các chữ số của nó bằng
2013.

---Hết---

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 – NĂM HỌC 2018 - 2019 
(HUYỆN NGA SƠN)

Câu 1.

a) Ta có: 136 28 62 21 136 28 31 7 136 3 7 136 9 7

15 5 10 24 15 5 5 8 15 5 8 15 15 8

       

= − + ⋅ = − + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

       

A

29 7 203
3 8 24
 

= ⋅ =
 

b) 70 131313 131313 131313 70 13 13 13 70 13 70 13 70 13
565656 727272 909090 56 72 90 56 72 90

   

= ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅

   

B

5.13 35.13 7.13 5.13.9 35.13 7.13.4 5.13.9 35.13 7.13.4

4 36 9 4.9 36 9.4 36

+ +

= + + = + + =

5.13.9 35.13 7.13.4 1404 39

36 36

+ +

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

c) 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 5 1 13 4 3

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60 2 30 60 11 22

   

= + + + + = + + + + = + +  + + 

   

C

5.30 1.2 13 4.2 3 150 2 13 8 3 165 11 11 1 13
2.30 30.2 60 11.2 22 60 22 60 22 4 2 4

+ + +
   
= + +  + + = + = + = + =
   
Câu 2. 
1) a)

5 9 5 9

7 7

5 1 5 5 5 1 5 9 4 8 4 8

7 7 7

5 9 5 9

4 2 8 4 8 2 4 8

7 7

4 8 4 8

 − =  = +
 
− − = ⇒ − = + ⇒ − = ⇒ ⇒
− −
 − =  = +
 
 
x x

x x x

x x

5 65 65 5 13
:

4 8 8 4 2

47
5 47 47 5

4 8 8 4

 =  =  =
  
⇒ ⇒ ⇒
 =  =  =
  
 

x x x

x

x x

Vậy 13; 47

2 10

= = ⋅

x x

b) 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2

(

)

2 3 3

5 x− −2.5 =5 .3⇒5 x− =5 .3 2.5+ ⇒5 x− =5 . 3 2+ ⇒5 x− = ⇒5 2x− =3 3

2 3 3 2 6 3

⇒ x = + ⇒ x = ⇒ =x
Vậy x = 3.

2) Ta có:

(

)

2 3.2= ⇒ .10 2 3. 2.10+ = +

abcde abcde abcde abcde .

5
.10 3. 3.2.10 2

⇒abcde − abcde= −

7. 600000 2 600000 2 85714
7

−
⇒ abcde = − ⇒abcde = =
Vậy số cần tìm là: 85714.

3) Gọi

(

3 2, 5 3

)

3 2 15 10 1 1

5 3 15 9

+ +
 
+ + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
+ +
 
 

 

n d n d

n n d d d

n d n d

Vậy 3 2

5 3

+
+
n

n tối giản với mọi sốtựnhiên n.
Câu 3.

a) Ta có: 5 5 5 5 5. 1 1 1 1 5 1 30 3

20 21 22 49 50 50 50 50 50

 

= + + + ⋅⋅⋅ + >  + + + ⋅⋅⋅ + = ⋅ ⋅ =

 

S

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Tương rự: 5 5 5 5 5. 1 1 1 1 5 1 30 15
20 21 22 49 20 20 20 20 20 2

 

= + + + ⋅⋅⋅ + <  + + + ⋅⋅⋅ + = ⋅ ⋅ =

 

S

( )

2
2
⇒ <S

Từ (1) và (2) ⇒ < <3 S 8 (đpcm).

b) Giả sửbạn học sinh đó trả lời đúng xcâu và trả lời sai ycâu.

(

)

, ∈; >

x y x y

Có: 15x−10y =155 ⇒3x−2y =31 1

( )

Mà: x+ =y 22 ⇒2x+2y =44 2

( )

Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 5x =75⇒ =x 15⇒ =y 7.
Vậy bạn học sinh đó trả lời đúng 15 câu và trả lời sai 7 câu.
Câu 4.

a) Có:

(

) (

3 4

)

(

1997 1998

)

1999 1999 1999 1999 1999 1999

= + + + +⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ +

A

(

)

(

)

1997

(

)

1999. 1 1999 1999 1 1999 1999 1 1999

= + + + +⋅⋅⋅ + +

3 1997

1999.2000 1999 .2000 1999 .2000

= + +⋅⋅⋅ +

(

3 1997

)

2000. 1999 1999 1999

= + +⋅⋅⋅ +

2000

⇒ A  (đpcm)

b) Ta có: 8 7

(

)

7 8 7 72 8 65 8

31 28 28 31 28 93 31 65 31

= + − − + +

   

⇒ ∈ ⇒ ⇒ ⇒

= + − − + +

   

  



  

n x n n n

x y

n y n n n

⇒ +n 65∈BCNN(8, 31) =

{

248; 496; 744;992

}

{

183; 431; 679;927

}

927

⇒ ∈n ⇒ =n (vì n lớn nhất có 3 chữ số)
Vậy số cần tìm là: 927.

Câu 5.

1) a) Độdài đoạn thẳng thứhai là: 248 : 1 1 8
3 25
 + + 

 

  = 150 (cm)
Độdài đoạn thẳng thứ nhất là: 150 8 48 cm

( )

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Độdài đoạn thẳng thứba là: 150 1 50 cm

( )

⋅ =

b) Độdài đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn thư hai và thứba là:

(

150 50

)

100 cm

( )

+
=
2) Nếu bạn An vẽđược xtia, bạn Bình vẽđược ytia.

(

)

, ∈

x y

Sốgóc bạn An vẽđược là:

(

)

−
x x

(góc)

Sốgóc bạn Bình vẽđược là:

(

) (

)(

1 1

)

(

)

2 2 2

− + + − +

= =

y y x x x x

(góc) (Vì:y= +x 1)
Mà:

(

)

(

)

100

2 2

− +

+ =

x x x x

(

) (

)

200

⇒x x− +x x+ = ⇒x

(

x− + +1

) (

x 1

)

=200
.2 200

⇒x x= ⇒x x. =100 ⇒ =x 10 (TM)

Vậy bạn An vẽđược 10 tia, bạn Bình vẽđược 11 tia.
Câu 6.

Ta có: ( ) 2013 1
2
 =

+ = ⇒ 

=

n

n abc
S n

n abc

TH1: Nếu n=1abc⇒1abc+ + + + =1 a b c 2013⇒1000+abc =2012− + +

(

a b c

)

⇒abc ≥1012 27 985− = ⇒ =a 9

9 985 8
⇒ bc ≥ ⇒ ≥b

Nếu b= ⇒ =8 c

{

5; 6; 7;8;9

} (

KTM

)

Nếu b= ⇒9 2c=5

(

KTM

)

TH2: Nếu n=2abc⇒2abc+ + + + =2 a b c 2013⇒2000+abc +

(

a b c+ + =

)

2011

(

)

11 0

+ + + = ⇒ =

abc a b c a

(

)

⇒bc + + =b c

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

ĐỀ SỐ 13: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHĨA ĐÀN- NĂM 2019

Câu 1: (4,5 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức:

a) 2019 1 2018 1

2019 2019

A= −   − − 

   

b) 1 1 1 1 ... 1 1

5 6 100

B= −  −    − 

    

2. Cho 7 11 152 3 ... 2019504

3 3 3 3

A= + + + + . Chứng minh rằng 9.
2
A<

Câu 2: (4,5 điểm)

a) Số học sinh của một trường trong khoảng 500 đến 700 học sinh. Khi xếp hàng
7 người, 8 người, 10 người đều thừa một người. Tính số học sinh của trường đó?
b) Hãy so sánh M và N với

2018
2019
10 1
10 1

M = +

+ và

2019
2020
10 1

.
10 1

N = +

+
c) Tìm hai sốnguyên tố x y, thỏa mãn x2−y2 =45.

Câu 3: (3,0 điểm) Tìm x biết:

a) 3 6 1 3

4
x− + =

3
1

) 27

b  −x =

  .
Câu 4: (3,0 điểm) Cho 2 3

2
n
A

n
+
=

−

(

n≠2

)

a) Tìm số nguyên n để A là một số ngun.

b) Tìm số ngun n để A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 5: (5,0 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm M, N sao cho AM =5cm, AN=3cm.

a) Tính độdài các đoạn thẳng MN;

b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AM, giả sử AON =35 ,° AOM = °50 . Tính
sốđo góc MON;

c) Vẽ các tia OE OF,

(

E F, ∈Ax

)

lần lượt là tia phân giác của các góc AON và


MON. Tính sốđo góc AOM nếu FOE= °30 .

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Câu 1: 1. a) 2019 1 2018 1

2019 2019

A= −   − − 

   

1 1

2019 2018

2019 2019

= − − +

1 1

2019 2018 1

2019 2019

= − − + =

Vậy A=1.

b) 1 1 1 1 ... 1 1

5 6 100

B= −  −    − 

    

5 1 6 1 99 1 100 1

...

5 6 99 100

− − − −

     

=      

     

4 5 98 99 4 1

. ... .

5 6 99 100 100 25

= = =

Vậy 1
25
B=

2. 7 11 152 3 ... 2019504

3 3 3 3

A= + + + +

Ta có: 3 7 11 152 ... 2019503

3 3 3

A= + + + +

Suy ra 3 7 11 152 ... 2019503 7 11 152 3 ... 2019504

3 3 3 3 3 3 3

A− =A  + + + +   − + + + + 

   

2 2 503 503 504
11 7 15 11 2019 2015 2019

2 7 ...

3 3 3 3 3 3 3

A= + − + − + + − −

2 503 504

4 4 4 2019

2 7 ...

3 3 3 3

A= + + + + −

2 3 503 504
1 1 1 1 2019

2 7 4 ...

3 3 3 3 3

A= +  + + + + −

 

Đặt 1 12 13 ... 5031

3 3 3 3

B= + + + +

2 502

1 1 1

3 1 ...

3 3 3

B= + + + +

2 502 2 3 503

1 1 1 1 1 1 1

3 1 ... ...

3 3 3 3 3 3 3

B− = + +B + + − + + + + 

 

2 2 502 502 503

1 1 1 1 1 1 1

2 1 ...

3 3 3 3 3 3 3

B= + − + − + + − −

503
1

2 1

3
B= −

503
1 1

1
2 3

B=  − 

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Do đó 2 7 4 1 1 5031 2019504

2 3 3

A= +   − −

 

  503 504

2 2019
7 2

3 3

= + − − 9 5032 2019504

3 3

= − −

503 504

9 1 2019 9

2 3 2.3 2

A= − − < . Do đó 9
2
A< .

Câu 2: a) Gọi số học sinh của trường đó là a

(

500< <a 700

)

(học sinh)

Theo đềbài: Xếp hàng 7 người, 8 người, 10 người đều thừa một người nên

(

a−1

)

đều chia hết cho 7, 8, 10.

Suy ra a−1 thuộc BC

(

7, 8, 10

)

(

7, 8, 10

)

280

BCNN =

{

}

1 280; 560; 840;...

a− ∈

Vì 500< <a 700 nên a− =1 560. Do đó a=561.

Vậy trường đó có 561 học sinh.

(

)

2018 2019

2019 2019 2019

10 10 1 10 10 9

10 1

10 1 10 1 10 1

M = + = + = +

+ + +

(

2019

)

2020

2020 2020 2020

10 10 1 10 10 9

10 1

10 1 10 1 10 1

N = + = + = +

+ + +

Ta thấy 20199 20209

10 +1>10 +1 nên 10M >10N . Do đó M >N .
c) Ta có: 2 2

45
x = +y .
Ta thấy 2

x > và x là sốnguyên tố nên x phải là sốnguyên tố lẻ. Suy ra x2 là

số lẻ.

Từđó suy ra 2

y là số chẵn, mà y là sốnguyên tố. Suy ra y=2; x=7

Vậy x=7 và y=2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: a) 3 6 1 3

4
x− + =

3 6 3

4
x− = −

3 6

4
x− =

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

3 6

4
x = +

35
3

4
x=

35
12

x = (TM x≥2 )
*TH 2: 3x− < ⇒ <6 0 x 2 thì 6 3 11

4
x

− = .
11

3 6

4
x

− = −

13
3

x −

− =

13
12

x = (TM x<2)
Vậy 35

x= ; 13
12

x= .

b) 1 3 1
4 x 27
 −  = −
 

 

1 1

4 x 3

−
− =

1 1
3 4
x −
− = −

7
12
x −
− =

7
12
x=
Vậy 7

12
x= .

Câu 4: a) Ta có: 2 3
2
n
A

n
+
=

−

(

)

2 2 7
2

n
n

− +
=

−

7
2

2
n
= +

−
Để A là một sốnguyên thì 7

n− phải là số nguyên.

Do đó

(

n− ∈2

) ( )

Ư 7 mà Ư

( ) {

7 = ± ±1; 7

}

, nên ta có bảng sau:

−

n -7 -1 1 7

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

TM n∈ TM n∈ TM n∈ TM n∈

Vậy n∈ −

{

5; 1; 3; 9

}

thì A là một số ngun.
b)

* Tìm A có giá trị lớn nhất.
Ta có: 2 7

2
A

n
= +

−

Để A đạt GTLN thì 7
2

n− có GTLN, do đó n−2 là sốnguyên dương nhỏ nhất.
Với n− =2 1 suy ra n=3.

Khi đó 2 7 9
1
A= + =

Vậy A có giá trị lớn nhất bằng 9 khi n=3.

* Tìm A có giá trị nhỏ nhất.
Ta có: 2 7

2
A

n
= +

−

Để A đạt GTNN thì 7
2

n− có GTNN, do đó n−2 là sốnguyên âm lớn nhất.
Với n− = −2 1 suy ra n=1.

Khi đó A= − = −2 7 5.

Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng −5 khi n=1.

Câu 5:

a) Trên tia Ax có AM > AN

(

5>3

)

nên điểm N nằm giữa hai điểm A và M .
Suy ra MN =AM −AN

5 3 2
MN = − =

Do đó MN =2cm

b) Vì điểm N nằm giữa hai điểm A và M .
x

E F

A
O

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

O là điểm nằm ngoài đường thẳng AM .

Suy ra ON nằm giữa hai đường thẳng OA vàOM

Ta có:   NOM = AOM−AON = ° − °50 35 . Suy ra NOM = °15 .
c) Vì OE là phân giác của AON nên  AOE=EON

OF là phân giác của MON nên NOF =FOM
Suy ra EON   +NOF = AOE+FOM

Mà EOF = °30 , suy ra EON   +NOF =AOE+FOM = °30 .
Do đó EON   +NOF+AOE+FOM = ° + ° = °30 30 60 .

ĐỀ SỐ 14: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 - 2019
Câu 1. (4,5 điểm) Tính

a) 4

(

)

2 .5 131 13 4
A= − − − 

b) 2 .715 15216

5.2

B= −

c) 1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90

C= − +− +− +− +− +−

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm

x

biết:
a) 2 3 2 2

5 x+ −2.5 =5 .3

(

2

)

(

)

2 2

19 x− +1 2.5 :14= 13 8− −4

c) 2019 1

4 2019

x

−

=
−

2. Tìm các số x, y nguyên tốđể x2+23= y3.
Câu 3. (4 điểm)

1. Cho 2 3 4 5 6 2019

5 5 5 5 5 5 5

S= + + + + + + + .

a) Chứng tỏ S chia hết cho

21

b) 4S+5 có phải sốchính phương hay khơng ?

2. Chứng minh rằng hai số 2n+1 và 10n+7 là hai sốnguyên tốcùng nhau với
mọi sốtựnhiên n.

Câu 4. (5.5 điểm)

1. Cho góc xOy có sốđo bằng 1200. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho
3

OA= cm, OB=5cm.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Vẽtia Oz nằm trong góc xOy sao cho góc xOz có sốbằng hai lần góc zOy. Gọi

Ot là tia phân giác của góc xOz. Chứng tỏrằng Oz là tia phân giác của góc tOy.

Cho

2018

điểm phân biệt, trong đó chỉ có

3

điểm thẳng hàng, cứqua

2

điểm
ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽđược tất cảbao nhiêu đường như trên.

Câu 5. (2 điểm)

1. Cho *

n∈ và n+1 và 2n+1 là sốchính phương. Chứng minh rằng nchia
hết cho

12

2. Chứng minh rằng 1 1 1 1

5+ + + +7 9  101 không là sốtựnhiên.

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 – 1019
Câu 1.

a) Ta có :

(

)

(

)

4 2

2 .5 131 13 4 16.5 131 9
A= − − − = − −

(

)

80 131 81 80 50 30

= − − = − = .

(

)

15
15 16

15 15

2 7 2

2 .7 2 5

1
5.2 5.2 5

B= − = − = = .

1 1 1 1 1 1
20 30 42 56 72 90

C= − +− +− +− +− +−

1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

 

= − + + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

 

= − − + − + − + − + − + − 

 

1 1 3
4 10 20
−
= − + = .
Câu 2.

a) Ta có:
2 3 2 2
5 x+ −2.5 =5 .3

2 3 2 2
5 x+ =5 .3 2.5+

(

)

2 3 2
5 x+ =5 3 2+

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

2x=0
0
x=

b) Ta có:

(

)

(

)

2 2
19 x− +1 2.5 :14= 13 8− −4

(

19 x− +1 2.25 :14

)

=25 16−
19 x− +1 50=9.14

19 x− =1 76
1 76 :19 4
x− = = .

Vậy x− =1 4 hoặc x− = −1 4.
Do đó x=5hoặcx= −3.

c) Ta có:

2019 1

4 2019

x

− =

−

(

)

2019 4

x− =

(

)

2 2

2019 2

x− =

2019 2
x− =

2 2019
x= +

2021
x= .

- Nếu là sốnguyên tố lẻthì y3 =x2 +23 là số chẵn. Vậy y3 =2 (loại).
- Nếu x=2 thì y3 =22+23=27. Vậy y=3.

Câu 3.

1. Ta có:

(

) (

)

(

)

2 3 4 5 6 2019 2 3 4 5 6 2017 2018 2019
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

S= + + + + + + + = + + + + + + + + +

(

) (

4 2

)

2017

(

)

5 1 5 5 5 1 5 5 5 1 5 5
= + + + + + + + + +

(

)(

4 2017

)

1 5 5 5 5 5
= + + + + +

(

4 2017

)

31 5 5 5 31
= + + +  .
2. Ta có :

2020

4S=5S− =S 5 −5
Suy ra 2020

4S+ =5 5 là số chính phương.
3. Đặt d =UCLN

(

2n+1,10n+7

)

Suy ra 2n+1d. Vì vậy 5 2

(

n+1

)

d.
Mà 10n+7dnên 10n+ −7 5 2

(

n+1

)

d

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Do đó d =2hoặc d =1.
Nếu d =2thì 2n+1 2 (vô lý).

1
d
⇒ = .

(

)

1=UCLN 2n+1,10n+7

Vậy 2n+1và 10n+7 là hai sốnguyên tốcùng nhau.
Câu 4. (5.5 điểm)

1.

a) Vì

M

là trung điểm của

OA

nên
3

1, 5
2 2

OA

OM =MA= = = cm.

Vì

O

A

B

nằm trên tia

Ox

và OA<OBnên

A

nằm giữa

O

và

B

Do đó

5 3 2
AB=OB OA− = − = cm.

Mà

N

là trung điểm của

AB

nên
2

1
2 2

AB

NA=NB= = = cm.

Suy ra

1, 5 1 2, 5

MN=MA+AN = + = cm.

b) Vì xOz=2zOy và   xOz+zOy=xOy

nên    0

2zOy+zOy=xOy=120 hay

 0

3zOy=120 .
Vậy  0

40
zOy= .

 0 0 0

120 40 80
xOz

⇒ = − = . Thiếu dấu góc
Vì Ot là tia phân giác của góc xOZ nên

   800 0

40
2 2

xOz

xOt=tOz= = = .

Vì Oz nằm giữa Oy, Ot và  yOz=zOtnên Oz là tia phân giác của yOt.

2. Qua

2

điểm ta vẽđược một đường thằng. Vậy với

2018

điểm thì có:

2018.2017

2035153

2 = đường thẳng.

Vì trong đó có

3

điểm thẳng hàng nên

3

đường thẳng được tạo ra từ

3

điểm đó

trùng nhau.

Vậy có tất cả 2035153 2− =2035151đường thẳng.

y

x
z

t

M A N B

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Câu 5.

1. Vì 2n+1là sốchính phương lẻ nên 2n+1 chia 8 dư 1. Do đó n4 (1)
- Nếu n=3k+1,k∈ thì n+ =1 3k+2,k∈ khơng là sốchính phương.

- Nếu n=3k+2,k∈ thì 2n+ =1 6k+5,k∈ khơng là sốchính phương vì số

này chia 3 dư 2, mà số chính phương chia 3 chỉdư 0 hoặc 1.

Vậy n3. (2)
Từ(1) và (2) suy ra n12.

1 1 1 1
5+ + + +7 9  101

Quy đồng với mẫu số chung là 5.7.9..101.
Nhận thấy tử số của các phân số 1 1 1, , , , 1

5 7 9  99 khi quy đồng đều chứa thừa số nguyên
tố

101

nhưng phân số 1

101 khi quy đồng không có thừa sốngun tố

101

Vì thếsau khi cộng các phân số lại thì tử sốkhơng chia hết cho sốngun tố

101

và

mẫu số chia hết cho

101

. Suy ra tổng các phân sốtrên không là sốtựnhiên.

ĐỀ SỐ 15: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NÔNG CỐNG 2018 - 2019
Câu 1.(4.5 điểm)

1) Tính hợp lí giá trị của các biểu thức sau:
15 9 20 9

9 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8

) ;

5.2 .6 7.2 .27

2 2 2 2

) ...

60.63 63.66 66.69 117.120
a A

b B

−
=

−

= + + + +

2) Cho biểu thức 2 3 100
2 2 2 ... 2

C= + + + + .Tìm 𝑥để 2 1

2 x− − =2 C

Câu 2. (5,5 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên (𝑥;𝑦)thỏa mãn : 1 1

5 1

x

y
+ =

−

2) Tìm sốnguyên tốab a( > >b 0), biết ab ba− là sốchính phương.

3) Tìm sốtựnhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia các sốđó cho các số25; 28; 35ta
được sốdư lần lượt là 5,8,15

Câu 3.( 3,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: |x-2018|+(y+2019)2018+2020
2) Chứng tỏrằng : 2! 2! 2! .... 2! 1

3! 4! 5! !

S

n

= + + + + < (với n∈N n; ≥3)

Câu 4.(5,0 điểm)

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia 𝑂𝑥 vẽhai tia 𝑂𝑦,𝑂𝑧 sao cho 𝑥𝑂𝑦� = 50° và 𝑥𝑂𝑧� =
100° . Vẽtia 𝑂𝑦′là tia đối của tia 𝑂𝑦.

a) Tính sốđo 𝑦�′𝑂𝑧.

b) Trên cùng một nữa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy chứa tia 𝑂𝑧, vẽthêm n tia
phân biệt ( khơng trùng với các tia 𝑂𝑦,𝑂𝑦′,𝑂𝑧) thì có tất cảbao nhiêu góc?

Câu 5.(2.0điểm)

1) Cho 4 sốtựnhiên 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ 𝑁* thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 2

a +b =c +d Chứng minh
rằng số𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 là hợp số.

2) Cho 1 22 33 44 ... 9999 100100
3 3 3 3 3 3

S= − + − + + − Chứng tỏrằng 3

S<

HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. 1) Ta có:

15 9 20 9 30 18 2 20 27

9 19 29 6 9 19 19 29 18
30 18 29 20

28 19 29 18
29 18 2
28 18

5.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2
20

5.2 .6 7.2 .27 5.2 .2 .3 7.2 .3
5.2 .3 2 .3

5.2 .3 7.2 .3
2 .3 (5.2 3 )

2
2 .3 (5.3 7.2)

A= − = −

− −
−
=
−
−
= =
−

2 2 2 2

) 1 ...

60.63 63.66 66.69 117.120

2 3 3 3 3

...

3 60.63 63.66 66.69 117.120

2 1 1 1 1 1 1 1 1

...

3 60 63 63 66 66 69 117 120

2 1 1 1

3 60 120 180
b B
B
B
B
= + + + +
 
=  + + + + 
 
 
=  − + − + − + + − 

 
 
=  − =
 

2) Ta có:

2 3 4 100

2 3 4 5 101

101
2 1

2 1 101

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 – 2 – 2

2 2

2 2 2 2

2 1 101
5

x

x
C

C

C C C

Mà C
x
x
−
−
= + + + +…+

=> = + + + +…+

=> = =

− =
=> − = −
=> − =

=> =

Câu 2. Ta có : 1 1 5 1

5 1 5 1

x x

y y

+ = => =

− −

=>(x+5)(y-1) = 5

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

x+5 -5 -1 1 5

y-1 -1 -5 5 1

x -10 -6 -4 0

y 0 -4 6 2

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là :
(x,y)=

{

( 4; 6), (0; 2), ( 6; 4), ( 10, 0)− − −

}

1) Ta có ab ba− =10a b+ −10b a−

=>ab ba− =9(a b− )

=> 2
3 ( )

ab ba− = a b−

Để ab ba− là sốchính phương khi 𝑎 − 𝑏 là sốchính phương

Do 𝑎,𝑏là các chữ số và 0<a b, ≤ => ≤ − ≤9 1 a b 8
=>(𝑎 − 𝑏) là sốchính phương khi (a b− ∈)

{ }

1, 4

+Nếu a b− = ⇒1 ab∈

{

21, 32, 43, 54, 65, 76,87, 98

}

mà ab là sốnguyên tố và là số lẻ =>ab=43

+Nếu a b− = ⇒4 ab∈

{

51, 62, 73,84, 95

}

mà ab là sốnguyên tố và là số lẻ =>ab=73

Vậy ab∈

{

43; 73

}

2) Gọi số cần tìm là a(a∈N;100≤ ≤a 999)

Vì khi chia a cho các số25,28,35 có sốdư lần lượt là 5,8,15 nên𝑎+ 20chia hết cho

25,28,35

20 (15,18, 25)

a BC

⇒ + ∈

𝐵𝐶𝑁𝑁(25,28,35) = 700

{

}

{

}

20 (700) 700;1400;....
680,1380;...

a B

a

⇒ + ∈ =

⇒ ∈

Vì 𝑎 là sốtựnhiên có ba chữ sốthỏa mãn điều kiện trên nên 𝑎 = 680

Câu 3. 1) Ta có : x−2018 ≥ ∀0, x dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi 𝑥= 2018
Mà (y+2019)2020≥ ∀0; y dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi 𝑦= −2019

2 2020

(| 2018 | 2) ( 2019) 2020 2020
2020

x y

P

⇒ − + + + + ≥

⇒ ≥

Dấu bằng xảy ra khi x=2018 và y=-2019
Vậy MinP=2020 2018 khi x= và y= −2019

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

2! 2! 2! 2!
...
3! 4! 5! !

1 1 1 1
2! ....

3! 4! 5! !

1 1 1 1

2! ...

2.3 3.4 4.5 ( 1).
1 1 1 1 1 1

2! ...

2 3 3 4 1
1 1

2
2
2
1

S

n
S

n

S

n n

S

n n

S

n

s
n
S

= + + + +

 

=  + + + + 

 

 

<  + + + + 
−

 

 

<  − + − + + − 
−

 

 

<  − 

 

< −
<
Câu 4.

O . . . . .

1) Vì hai điểm 𝐴,𝐵cùng nằm trên tia 𝑂𝑥 mà 𝑂𝐴<𝑂𝐵(6𝑐𝑚 < 10𝑐𝑚)nên điểm 𝐴

nằm giữa 2 điểm 𝑂 và 𝐵

6 10

4 .
OA AB OB

AB
AB cm
=> + =
=> + =
=> =

Vì 𝐸là trung điểm của 𝑂𝐴 nên 6 3( )
2 2

OA

EA= = = cm

Vì 𝐹là trung điểm của 𝐴𝐵 nên 4 2( )
2 2

AB

AF= = = cm

Do 𝐴 nằm giữa 𝑂 và 𝐵, mà 𝐸là trung điểm của 𝑂𝐴, 𝐹là trung điểm của 𝐴𝐵 nên
điểm 𝐴 nằm giữa hai điểm 𝐸 và 𝐹

( )

3 2 5
EF EA AF cm

=> = + = + =
Vậy 𝐸𝐹= 5𝑐𝑚

E A F B x x

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2) a)Vì hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑦cùng nằm trên nữa mặt phẳng bờ chứa tia , mà 𝑥𝑂𝑦� <𝑥𝑂𝑧�

nên tia 𝑂𝑦 nằm giữa hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑧

=>𝑥𝑂𝑦� +𝑦𝑂𝑧� =𝑥𝑂𝑧� => 50o +𝑦𝑂𝑧� = 1000 =>𝑦𝑂𝑧�= 50°

Do tia 𝑂𝑦′là tia đối của tia 𝑂𝑦

=>𝑦�′𝑂𝑧𝑣à 𝑦𝑂𝑧� 𝑙à ℎ𝑎𝑖𝑔ó𝑐𝑘ề𝑏ù

=> 𝑦�′𝑂𝑧+𝑦𝑂𝑧�= 180°=>𝑦′𝑂𝑧+ 50° = 180°�
=>𝑦�′𝑂𝑧= 130°

Vậy 𝑦′𝑂𝑧�= 130°

a) Trên cùng 1 nữa mặt phẳng có bờlà đường thẳng 𝑦𝑦′ chứa tia 𝑂𝑧 vẽthêm 𝑛tia
phân biệt khơng trùng với các tia 𝑂𝑦,𝑂𝑦′,𝑂𝑧ta có tất cả𝑛+ 3tia phân biệt.

Cứ1 tia trong 𝑛+ 4tia đó tạo với 𝑛+ 3−1 =𝑛+ 2tia cịn lại thành 𝑛+ 2 góc . có

𝑛+ 2tia tạo thành (𝑛+ 3)(𝑛+ 2)góc , nhưng mỗi góc được tính hai lần.
Vậy có tất cả ( 3)( 2)

n+ n+ góc

Câu 5.

1) Ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2( )

a +c =b +d ⇒a +b +c +d = b +d là số chẵn

2 2 2 2
2
a b c d

⇒ + + + 

+ Xét

2 2 2 2

( )

a(a 1) b(b 1) c(c 1) d(d 1)
a b c d a b c d

⇒ + + + − + + +

= − + − + − + −

y'

x
y

z

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

-Vì 𝑎 là số nguyên dương nên 𝑎,𝑎 −1 là 2 sốtựnhiên liên tiếp =>𝑎(𝑎 −1)⋮2

Tương tự𝑏(𝑏 −1);𝑐(𝑐 −1);𝑑(𝑑 −1)đều chia hết cho 2

2 2 2 2

a(a 1) b(b 1) c(c 1) d(d 1) 2

( ) 2

a b c d a b c d

⇒ − + − + − + −

⇒ + + + − + + +



Mà 2 2 2 2

2 ( ) 2

a +b +c +d  ⇒ a+ + +b c d 

=>𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 là số chẵn mà *
2( , , , )

a+ + + <b c d doa b c d∈N
=>𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 là hợp số

2) 1 22 33 44 ... 9999 100100
3 3 3 3 3 3

S = − + − + + −

2 3 98 99

2 3 4 99 100
2 3 4 98 99

99 100
1 2 3 4 99 100

3 ...

1 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 100

4 3 ...

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 100
12 4 .3 2 ...

3 3 3 3 3 3
101 100

16 12 4 3 3

3 3
3

S

S S S

S S

S S S

S

= − + − + + −

= + = + − + − − −
= = + − + − + − −
⇒ = + = − − <

⇒ <

ĐỀ SỐ 16: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019
Câu 1: (5,0 điểm)

a) Tính 0 1 2 3 4 2018 2019
5 5 5 5 5 5 5
= + + + + + + +

M  .

b) Tính nhanh: 1.2.5 2.4.10 5.10.25 6.12.30 7.14.35
1.5.7 2.10.14 5.25.35 6.30.42 7.35.49

− + − +

c) Chứng tỏ 12 12 1 2 1.
2 +3 + + 2019 <

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Khơng thực hiện phép tính hãy cho biết kết quảphép toán 15.31.37 11.102+ là
sốnguyên tố hay hợp số? Vì sao?

b) Tìm sốnguyên tố p để p+10 và p+14 đều là sốnguyên tố.
Câu 3: (4,0 điểm) Tìm x, biết:

a) x− =1 4
b) 1 2 18

2 .2 .2x x+ x+.5 =10000 (18 chữ số 0)

Câu 4: (5,0 điểm) Cho hai góc kềbù xOy và yOz. Trên tia Oy lấy điểm A, trên tia Ox lấy
điểm B, trên tia AB lấy điểm C sao cho AB< AC.

a) Chứng tỏ Ox nằm giữa hai tia OA và OC.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

c) Có 6 cây cột, có 12 chiếc võng. Hãy vẽ sơ đồ dựng 6 cây cột đểcăng được 12
chiếc võng mà các võng khơng chồng chéo nhau.

Câu 5: (2,0 điểm) Tìm sốtựnhiên x y, sao cho 10x = y2−143.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 
THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019

Câu 1: a) 0 1 2 3 4 2018 2019
5 5 5 5 5 5 5
= + + + + + + +

M 

1 2 3 4 2019 2020
5M = +5 5 + +5 5 + + 5 +5

(

)

(

)

1 2 3 4 2019 2020

0 1 2 3 4 2018 2019

5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5
+ + + + + +
+ + + + +

− =

− + +

M M 



2020

2020 5 1

4 5 1

4
−

= − ⇒ =

M M

b) 1.2.5 2.4.10 5.10.25 6.12.30 7.14.35

1.5.7 2.10.14 5.25.35 6.30.42 7.35.49

− + − +

(

) (

)

(

) (

)

1.2.5 5.10.25 7.14.35 2.4.10 6.12.30
1.5.7 5.25.35 7.35.49 2.10.14 6.30.42

+ + − +

(

) (

)

(

) (

)

1.2.5 5.1.2.5 7.1.2.5 2.4.10 3.2.4.10
1.5.7 5.1.5.7 7.1.5.7 2.10.14 3.2.10.14

+ + − +

(

)

(

)

(

)

(

)

1 5 7 1.2.5 1 3 2.4.10 13.1.2.5 4.2.4.10 38
1 5 7 1.5.7 1 3 2.10.14 13.1.5.7 3.2.10.14 77

+ + − + −

= = =

+ + − + −

c) 12 12 1 2 1 1 1

2 +3 + + 2019 <1.2+2.3+ + 2018.2019
1 1 1 1 1 1 1 2018

1 1

1 2 2 3 2018 2019 2019 2019
= − + − + + − = − = < .
Câu 2: a) Ta có 15 3 nên 15.31.37 3

102 3 nên 11.102 3

Do đó

(

15.31.37 11.102 3+

)

 . Vậy 15.31.37 11.102+ là hợp số.

b) Mọi sốtựnhiên đều được viết dưới 1 trong 3 dạng 3 , 3k k+1, 3k+2 (k∈).
Trường hợp 1. p=3 ,k mà p là sốnguyên tố nên

1 3 10 13, 14 17
= ⇒ = ⇒ + = + =

k p p p thỏa mãn.

Trường hợp 2. p=3k+ ⇒ +1 p 14=3k+ +1 14=3k+15=3

(

k+5 3

)

 và p+14 lớn
hơn 3 nên p+14 là hợp số.

Trường hợp 3. p=3k+ ⇒ +2 p 10=3k+ +2 10=3

(

k+4 3

)

 và p+10 lớn hơn 3 nên
10

p là hợp số.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

1 4

⇒ − =x hoặc x− = −1 4
5

⇒ =x hoặc x= −3
Vậy x=5;x= −3
b) 1 2 18

2 .2 .2x x+ x+.5 =10000

3 3 18 18 3 3 18 18 18 3 3 18

2 +.5 10 2 +.5 2 .5 2 + 2 3 3 18 5

⇒ x = ⇒ x = ⇒ x = ⇒ + = ⇒ =

x x

Vậy x=5.
Câu 4:

a) Trên tia AB, ta có AB<AC nên B nằm giữa A và C. Ba tia Ox,OA OC, chung

gốc O.

Tia Ox cắt AC tại B là một điểm nằm giữa A và C. Vậy Ox nằm giữa hai tia
OA và OC.

b) Ta có xOC +zOC=180° (kềbù)

+150° =180° ⇒ = °30

xOC xOC

Ta có tia Ox nằm giữa hai tia OA và OC ⇒AOC  =xOy+xOC=130° + ° =30 160 .°
c)

Câu 5: 2 2

10x =y −143⇒10x+143= y
Nếu x= ⇒ =0 y 12 thỏa mãn.

z

y

x

O

B

A

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Nếu x> ⇒0 10x có chữ sốtận cùng là 0⇒10x+143 có chữ sốtận cùng là 3. Mà
2

y là sốchính phương nên khơng thểcó tận cùng bằng 3. Do đó khơng tồn tại
, ∈

x y  thỏa mãn.

Vậy x=0; y=12.

ĐỀ SỐ 17: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1: (4,0 điểm)

1. Tìm x biết:2 1: 1
3+3 x= −

2. Thực hiện phép tính:183 764 317

(

)

−317 183 764

(

−

)

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Tính tổng:S= + − − + + − − + +1 2 3 4 5 6 7 8 ... 101 102+

2. Có bao nhiêu sốtựnhiên giữa 1 và 93, nguyên tốcùng nhau với 93.

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm các sốtựnhiên nđể 21n+3chia hết cho 4.
2. Cuối học kỳ I, số học sinh giỏi của lớp 6A bằng 1

7số học sinh còn lại. Cuối
nămdo có thêm 3 học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng1

4số học sinh cịn lại.

Tìm số học sinh của lớp 6A.
Câu 4: (6,0 điểm)

1. Trên tiaOxcho các điểmAvàBsao choOA=5cmvàOB=10cm.
a) TínhAB

b) Acó phải là trung điểm củaOBkhơng? Vì sao?

c) Ở ngồi đường thẳngOxlấy điểmKsao choOKA=400vàOKB=900. Tính góc



AKB

2. Cho đoạn thẳngABcó đọ dài là a. GọiA1là trung điểm củaAB,A2là trung
điểm của

AA ,A3là trung điểm củaAA2,…,A100là trung điểm củaAA99.BiếtAA100 =2cm,
hãy tính a?

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1:

1. 2 1: 1
3+3 x= −

1 2

: 1
3 x= − −3

1 5

:
3 3

−
=

x

5
= −
x

2. 183 764 317

(

)

−317 183 764

(

−

)

183.764 183.317 317.183 317.764

= + − +

764 (183 317)

= +

382000
=

Câu 2:

1. S = + − − + + − − + +1 2 3 4 5 6 7 8 ... 101 102+

1 (2 3 4 5) (6 7 8 9) ... (98 99 100 101) 102
= + − − + + − − + + + − − + +

S

1 0 0... 0 102

= + + + +

S
103
=

S

2. Vì93 3 nên số sốtựnhiên giữa số 1 và 93 chia hết cho 3 là:(90 3) : 3 1− + =30

(số)

Số sốtựnhiên giữa số 1 và số93 là:(92 2) :1 1− + =91(số)

Số sốtựnhiên giữa 1và 93, nguyên tốcùng nhau với 93 là:91 30− =31(số)
Câu 3:

1. Ta có:21n+ =3 16n+5n+3
Để(21n+3) 4 thì(5n+3) 4

Ta thấy5ncó chữ sốtận cùng là 0 hoặc 5.
Do đó(5n+3) 4 khi n∈

{

1;5;9;13;....

}

Vậy(21n+3) 4 thì n∈

{

1;5;9;13;....

}

2. Số học sinh giỏi kỳI bằng1

8số học sinh cả lớp
Số học sinh giỏi cuối bằng 1

5số học sinh cả lớp.
3 học sinh là1 1 3

5− =8 40số học sinh cả lớp.
3

40số học sinh cả lớp là 3 nên số học sinh cả lớp là
3

3 : 40

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

a) Vì trênOxcó các điểmAvàBsao choOA=5cm<OB=10cmnên điểmAnằm giữa

OvàB.

Do đó:AB=OB OA−
10 5 5
= − =

AB cm

b) ĐiểmAlà trung điểm củaOBvì :
+ ĐiểmAnằm giữaOvàB.

+ AO=OB
c)

Vì điểmAnằm giữaOvàBnên tiaKA nằm giữa hai tiaKOvàKB

Do đóOKB  =OKA+AKB

  

0 0
0
90 40
50

⇒ = −

= −

AKB OKB OKA

A là trung điểm củaABnên 1 ( )
2 2
= AB= a

A A cm

A2là trung điểm củaA A1 nên

2 2 ( )

2 2
= A A= a

A A cm

Như vậy: 3 3, 4 4, 100 100,...,

2 2 2

= a = a = a

AA AA AA

MàAA100 =2(cm)

Do đó 100 101

100 2( ) 2 .2 2

2 = ⇒ = =

a

cm a

x

O

A

B

A

O

x

K

B

A

2

A

1

B

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Vậy 101
2
=
AB
Câu 5:

Gọi số đối diện với mặt chứa số 3 làx; các mặt còn lại số chấm lần lượt là:
; z; m; n.

y

(mặt y; zđối diện nhau; mặt m; nđối diện nhau); (chú ý x≠ ⇒ + ≠3 x 3 6)

Tổng tất cả các mặt của hình lập phương:1 2 3 4 5 6+ + + + + =21
18

⇒ + + + + =x y z m n

TH1: Nếu lần gieo đầu tiên số3 không nằm ởcác mặt xung quanh

3 21 12 9 6

⇒ + =x − = ⇒ =x và m+ + + =n y z 12

Do lần gieo thứhai tổng số chấm ở bốn mặt xung quanh thay đổi so với lần gieo
đầu tiên lúc này số 3 phải nằm ởcác mặt xung quanh:

3+ + + =x m n 15⇒ + =m n 6; y + z = 6(có nghiệm thỏa mãn chẳng hạn
1; 5; y = 2; z = 4

= =

m n )

TH2: Nếu lần gieo đầu tiên số 3 ở một trong 4 mặt xung quanh:3+ + + =x y z 12

Lần gieo thứhai vì tổng số chấm ở 4 mặt xung quanh là 15 nên tổng 2 mặt đáy
trên và đáy dưới là 6 nên ở lần gieo thứ 2 số3 không thểở mặt đáy trên hoặc mặt
đáy dưới (x+ ≠3 6)

Vậy ở lần gieo thứhai số 3 vẫn ở1 trong 4 mặt xung quanh và tổng số chấm ở 4
mặt xung quanh có sựthay đổi so với lần gieo đầu tiên nên:3+ + + =x m n 15
Còn lại:6+2x+ + + + =m n y z 27⇒ − +6 x 18=27⇒ =x 3(mâu thuẫn)

ĐỀ SỐ18: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUỐC OAI - NĂM 2019
Câu 1: (3 điểm)

Tìm x biết:

a) 17 3 2x 1− − =2 b) 2x−2x+2+2x+3 =80
Câu 2: (3 điểm)

a) Phép tính sau được xác định: a b a b
b a

⊕ = + , hãy tính giá trị của 2 3

5 6
M = ⊕

⊕
b) Phép tính sau được xác định: a⊗ =b a.b+ +a b.

Tìm giá trị của x trong: 4⊗ =x 49
Câu 3: (3 điểm)

a) Tìm tất cảcác cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn: (2x+1) (2 y−2)2 =4
b) Giữa 1 và 2019 có bao nhiêu sốlà bội của 5 hoặc 7?

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Mật khẩu Zalo của tơi là một sốcó 6 chữ sốbắt đầu bằng chữ số 1. Nếu tôi chuyển chữ số
1 đó về vịtrí hàng đơn vịthì sốcó 6 chữ số mới gấp 3 lần sốban đầu. Hỏi mật khẩu tài
khoản Zalo của tôi là số nào?

Câu 5: (3 điểm)

Một chiếc xe máy được niêm yết giá bán cao hơn giá gốc là 20%. Trong đợt khuyến mại,
người ta bán nó với giá bằng 80% giá bán trước đó, vì vậy bị lỗ84 đơla. Hỏi giá gốc của
chiếc xe máy là bao nhiêu?

Câu 6: (5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB=6cm, O thuộc tia đối của tia AB. Trên một nửa mặt phẳng bờOB vẽ

hai tia Ax và Ay sao cho  o

xAB=60 và xAy=45o.
a) Tính sốđo OAy.

b) Gọi M là trung điểm của OA, N là trung điểm của OB. Tính độdài của đoạn thẳng MN.
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (3 điểm)

)17 3 2 1 2
a − x− =
3 2x− =1 15
2x− =1 5

2 1 5 2 6 3

2 1 5 2 4 2

x x x

− = = =

  

⇒ ⇒ ⇒

− = − = − = −

  

Vậy

x

=

3

hoặc

x

= −

2

2 3
) 2x 2x 2x 80
b − + + + =

2 3

2 (1 2x − +2 )=80
2 .5x =80

2x=16
5
2x=2
⇒ =x 5

Vậy x=5

Câu 2: (3 điểm)

a) Ta có

2 3 4 9 13

2 3

3 2 6 6 6

⊕ = + = + =
5 6 25 36 61
5 6

6 5 30 30 30

⊕ = + = + =

2 3 13 61 13 30 65

: .

5 6 6 30 6 61 61

M ⊕

⇒ = = = =

⊕
Vậy 65

61
M =

b) Ta có 4⊗ =x 4x+ + =4 x 5x+4
5x 4 49

⇒ + =
5x=45

x=9

Vậy x=9

Câu 3: (3 điểm)

a) Vì x y, nguyên nên 2x+1,y−2 nguyên 2 2
(2x 1) , (y 2)

⇒ + − nguyên

2 2

(2x 1) , (y 2)

⇒ + − là ước của 4
Ư(4)=

{

1; 1; 2; 2; 4; 4− − −

}

Mà 2 2 2 2

{

}

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

2
2

2 1 1 2 0 0

2 1 1 2 2 1

(2 1) 1

2 4 6 6

( 2) 4

2 4 2 2

x x x

x

y y y

y

y y y

 + =  =  =

 + = −  = −  = −

 + =

   

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− = = =

− =   

   

  

 − = −  = −  = −

  

Vậy các cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn đềbài là (0; 6);(0; 2)− ;( 1; 6)− ;( 1; 2)− −
b)

Tập hợp các bội của 5 từ1 đến 2019 là A=

{

5;10;15;...; 2010; 2015

}

Tập hợp các bội của 7 từ1 đến 2019 là B=

{

7;14;121;...; 2009; 2016

}

Tập hợp các bội chung của 5 và 7 từ1 đến 2019 là C=

{

35; 70;105;...;1960;1995

}

Số phần tử của tập hợp A là

(

2015 5 : 5 1−

)

+ =403

Số phần tử của tập hợp B là (2016 7) : 7 1− + =288
Số phần tử của tập hợp C là (1995 35) : 35 1 57− + =

Vậy giữa 1 và 2019 có 403 288 57+ − =634 sốlà bội của 5 hoặc 7
Câu 4: (3 điểm)

Ta có thể viết số có 6 chữ số cần tìm dưới dạng 1A (với A là một số chứa 5 chữ số còn lại
của số ban đầu).Khi đó, số cần tìm có thể viết là 100000 + A.

Khi di chuyển chữ số 1 về hàng đơn vị và số A lên trước, ta được số mới có dạng 10A+ 1.

Theo bài ra ta có 10.A+ =1 3.(100000+A)
⇒7A=299999

⇒ =A 42857

Vậy số có 6 chữ số ban đầu là 142857.
Câu 5: (3 điểm)

Gọi giá gốc của chiếc xe là

a

( đôla, a>0)
Giá niêm yết của xe là 20% 6

5
a+ a= a
Giá xe sau khuyến mại là 80%.6 24

5a= 25a

Vì sau khuyến mại lỗ 84 đơ la nên ta có 24 84 2100
25

a− a= ⇒ =a (thỏa mãn)
Vậy giá gốc của chiếc xe là 2100 đôla.

Câu 6: (5 điểm)

a) Trường hợp 1: Tia Ay nằm giữa hai tia AB và Ax
  

BAy yAx BAx

⇒ + =

 o o  o

BAy 45 60 BAy 15

⇒ + = ⇒ =

Vì AB và AO là hai tia đối nhau nên


BAy và yAO là hai góc kềbù

  o

BAy yAO 180

⇒ + =

 

o o o

15 yAO 180 yAO 165

⇒ + = ⇒ =

Trường hợp 2: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay
  

BAx yAx BAy

⇒ + =

x

y
B

A O

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

 o o o
BAy 60 45 105

⇒ = + =

Vì AB và AO là hai tia đối nhau nên


BAy và yAO là hai góc kềbù

  o

BAy yAO 180

⇒ + =

 

o o o

105 yAO 180 yAO 75

⇒ + = ⇒ =

b) Vì M là trung điểm của OA nên OM OA
2
=
Vì N là trung điểm của OB nên ON OB

2
=

Ta có MN ON OM OB OA OB OA AB 3

2 2 2 2

−

= − = − = = = (cm)

ĐỀ SỐ 19: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN NĂM HỌC 2018-2019 
Câu 1: (4,0 điểm)

1.1. Tính giá trị của biểu thức:

a) 1 2 3 4 5 6 ... 4019 4020− + − + − + + − 
 b) 2 .13 2 .13010 8 9

2 .104
+
=

A

1.2. Tìm x , biết : 2.3x =10.312+8.274

Câu 2: (4,0 điểm)

2.1. Tìm hai sốtựnhiên a b, biết : BCNN a b

( )

, =72 ,UCLN a b

( )

, =12 và a+12=b
2.2. Tìm sốnguyên tố p sao cho p+4 và p+20 cũng là sốnguyên tố.

Câu 3: (5,0 điểm)

3.1. Tìm sốtựnhiên n sao cho 2n+7n+1
3.2. Tìm chữ sốtận cùng của 132019

3.3. Tìm số ngun n để B n
n

2 3
3 2

+
=

+ có giá trị nguyên.
Câu 4: (5,0 điểm)

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết

MN a cm NB b cm= ( ) , = ( )
a) Tính AB

x y

B

A O

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử

 0  0  0

100 ; 60 ; 20

= = =

AOB AOM MON . Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của MOB
khơng ? Vì sao ?

Câu 5: (2,0 điểm)

So sánh : C 1 5 5 ... 522 98

1 5 5 ... 5

+ + + +

+ + + + và D

2 9

2 8

1 3 3 ... 3
1 3 3 ... 3

+ + + +

……….HẾT……….

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN - NĂM HỌC 2018 - 2019
Câu 1:

1.1.

a) 1 2 3 4 5 6 ... 4019 4020− + − + − + + −

(

( ) ( ) ( )

) (

)

( )

(

)

so hang

2010

1 2 3 4 5 6 ... 4019 4020

1 1 1 ... 1 2010

= − + − + − + + −
= − + − + − + + − = −



10 9 10 10

8 10

10
10

2 .13 2 .130 2 .13 2 .13.5
)

2 .104 2 .13.2
2 .13(1 5) 6

3
2 .13.2 2

+ +

= =

= = =

b A

A

1.2. 2.3x =10.312+8.274

( )

(

)

x
x
x
x
x

x

12 4

12 3

12 12

12 2 14

3 5.3 4.27

3 5.3 4. 3
3 5.3 4.3
3 3 5 4
3 3 .3 3

= +

= =

=
Câu 2:

2.1. Từ dữliệu đềbài cho, ta có :

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

+ Vì BCNN a b

( )

, =72 , nên theo trên, ta suy ra :

(

)

(

)

BCNN 12m; 12n 72 12.6
BCNN m; n 6 (3)

⇒ = =

⇒ =

+ Vì a+12=b, nên ta có:

⇒12m 12+ =12n ⇒12. m 1

(

+ =

)

12n ⇒ + =m 1 n (4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp :

m=2, n=3

là thoảmãn điều kiện (4).

Vậy với m=2, n=3, ta được các số phải tìm là : a=12 .2=24 ; b=12.3=36

2.2. Xét p= ⇒ + =2 p 4 6 và p+20 22= (không là sốnguyên tố)

Xét p= ⇒ + =3 p 4 7 (là sốnguyên tố) và p+20 23= (là sốnguyên tố)
Xét p>3 khi đó do p là sốnguyên tốnên p không chia hết cho 3
⇒ =p 3k+1 hoặc p=3k+2

(

k N∈ *

)

+ Khi p=3k+ ⇒ +1 p 20 3= k+21 3 ⇒ +p 20 là hợp số
+ Khi p=3k+ ⇒ + =2 p 4 3k+6 3 ⇒ +p 4 là hợp số

Vậy chỉ có p=3 thỏa mãn bài tốn.

Câu 3:

3.1. Ta có: 2n+7n+1

(

) (

)

( ) { }

{ }

n n

n

n U vi n N

n

2 1 5 1

5 1

1 5 1; 5 ,
0; 4

⇔ + + +

⇔ +

⇔ + ∈ = ∈

⇔ ∈




3.2 .Nhận xét: chữ sốtận cùng của 132019 chính là chữ sốtận cùng của 32019

Ta có: 32019 =34.504 3+ =

( )

34 504.33 =81 .27504 có chữ sốtận cùng là 7
Vậy 132019 có chữ sốtận cùng là 7

3.3. Để B n
n

2 3
3 2

+
=

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

⇔2n+3 3 n+2

⇒3 2

(

n+3 3

)

 n+2 và 2 3

(

n+2 3

)

 n+2

(

) (

)

( ) {

}

{

}

n n n

n

n U

n vi n Z

3 2 3 2 3 2 3 2
5 3 2

3 2 5 1; 1; 5; 5
1;1 ,

⇒ + − + +

⇒ +

⇒ + ∈ ∈ − −

⇒ ∈ − ∈




Câu 4:

a) Vì N nằm giữa M và B nên ta có:
MN NB MB hay MB a b cm+ = = + ( )
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Nên AB=2.MB=2(a b cm+ ) ( )

b) Vì tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

   



0 0

60 100

⇒ + = + =

⇒ =

AOM MOB AOB hay MOB
MOB

Vì tia ON nằm giữa hai tia OM và OB

   



0 0

20 40

⇒ + = + =

⇒ =

MON NOB MOB hay NOB
NOB

Suy ra:   0
20

= =

MON NOB

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Ta có:
C

C

2 9 9 2 8

2 8 2 8 9

9 8 7

1 5 5 ... 5 1 5 1 1:1 5 5 ... 5

1 5 5 ... 5 1 5 5 ... 5 5

1 1 1 1

1 1: ...

5 5 5

+ + + + + + + +

= = + = +

+ + + + + + + +

 

= +  + + + + 

 

D

2 9 9 2 8

2 8 2 8 9

9 8 7

1 3 3 ... 3 1 3 1 1:1 3 3 ... 3

1 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3 3

1 1 1 1

1 1: ...

3 3 3

+ + + + + + + +

= = + = +

+ + + + + + + +

 

= +  + + + + 

 

Do 19 19 ; 18 18 ; 17 17 ; ...; 1 1
5 3
5 <3 5 < 3 5 <3 <

C D

9 8 7 9 8 7

1 1 1 .... 1 1 1 1 .... 1

5 3

5 5 5 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

1: .... 1: ....

5 3

5 5 5 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1: .... 1 1: ....

5 3

5 5 5 3 3 3

⇒ + + + + < + + + +

   

⇒  + + + + >  + + + + 

   

   

⇒ +  + + + + > +  + + + + 

   

⇒ >

ĐỀ SỐ20: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019
Bài 1. (4,0 điểm). Tính hợp lý giá trịbiểu thức:

a) 3 7. 3 13: 13

5 13 5 6 5

A= − − + .

b) 151515 17109 1500 176
161616 17 1600 187

B= +  − − 

 

  .

c) 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 2018.2020

C= +  +  +    + 

     .

Bài 2. (3,0 điểm). Tìm sốtựnhiên x, biết:

a) 2x− ≤1 4.

b) 1 2 2015 2019
2x+2x+ +2x+ + +... 2x+ =2 −8.
Bài 3. (3,0 điểm)

a) Một đơn vịbộđội xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ.
Tính sốngười

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

b) Tìm các chữ số a và sốtựnhiên x sao cho

(

12+3x

)

2 =1 96a .
Bài 4. (4,0 điểm)

a) Tìm sốnguyên tốcó hai chữ sốkhác nhau có dạng xy(x> >y 0) sao cho hiệu của
sốđó với sốviết theo thứtựngược lại của sốđó là sốchính phương.

b) Cho các số ngun dương a; b; c; d; e thoả mãn a2+b2+c2 +d2+e2 chia hết
cho 2. Chứng tỏrằng: a+ + + +b c d e là hợp số.

c) Cho n∈, n>2. Chứng tỏrằng

2
2

3 8 15 1

...
4 9 16

n
P

n

−

= + + + + không là số nguyên.

Bài 5. (5,0 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2cm, trên tia Oy
lấy hai điểm M và B sao cho OM =1cm, OB=4cm.

a) Chứng tỏ M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Từ O kẻhai tia Ot và Oz sao cho yOt=130, yOz=30. Tính sốđo zOt .

c) Qua O kẻthêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Oz, Ot. Biết rằng trên hình có

190 góc phân biệt chung gốc O. Tính n.

Bài 6. (1,0 điểm)

Cho 1

(

20202018 20082007

)

7 3

Q= − . Chứng minh Q là sốtựnhiên chia hết cho 5.
--HẾT—

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019
Bài 1.

a) 3 7. 3 13: 13

5 13 5 6 5

A= − − + 3 7. 3 6. 8
5 13 5 13 5
−

= − + 3. 7 6 8 3 8 1

5 13 13 5 5 5

−   −

=  + + = + =

  .

b) 151515 17109 1500 176
161616 17 1600 187

B= +  − − 

 

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

c) 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 2018.2020

C= +  +  +    + 

     

2 2 2 2

2 3 4 2019

. . ...

1.3 2.4 3.5 2018.2019

(

(

2.3.4...2019 . 2.3.4...2019

) (

) (

)

)

2.3.4...2019 . 3.4.5...2018

= =2.2019=4038.

Bài 2.

a) Ta có: 2x− ≤1 4 ⇔ − ≤4 2x− ≤1 4 ⇔ − ≤3 2x≤5 3 5

2 x 2

−

⇔ ≤ ≤ .

Vì x là sốtựnhiên nên x∈

{

0; 1; 2

}

b) 2x+2x+1+2x+2+ +... 2x+2015 =22019−8

(

2 2015

)

2019
2 . 1 2x 2 ... 2 2 8

⇔ + + + + = −

(

2016

)

(

2016

)

2 . 2x 1 2 . 2 1

⇔ − = −

2x 2 x 3

⇔ = ⇔ = .
Bài 3.

a) Gọi sốngười của đơn vịbộđội là a (người).

Vì đơn vịđó xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15 nên

(

a−15 20

)

 ;

(

a−15 25

)

 ;

(

a−15 30

)

 .
Suy ra,

(

a−15

)

∈BC

(

20; 25; 30

)

Ta tính được: BCNN(20; 25; 30)=300⇒BC(20; 25; 30)=

{

0; 300; 600; 900; 1200; ...

}

{

15; 315; 615; 915; 1215; ...

}

a

⇒ ∈ .

Vì đơn vịđó xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a41 và sốngười của đơn vịchưa đến
1000 người nên

chọn a=615.

Vậy sốngười của đơn vịđó là 615 người.
b) Ta có:

(

)

12+3x =1 96a ⇔9. 4

(

+x

)

2 =1096 100+ a ⇔9. 4

(

+x

)

2 =1089+ +7 100a.

Vì 1089 9 nên

(

7 100+ a

)

9⇒

(

7+a

)

9 ⇒ =a 2.

Với a=2, 9. 4

(

+x

)

2 =1296⇔

(

4+x

)

2 =144 4 12 8

4 12 16

x x

+ = =

 

⇔ ⇔

+ = − = −

  .

Vì x là sốtựnhiên nên chọn x=8.

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

a) Theo đềta có: xy−yx là sốchính phương.

Khi đó: 10x+ −y (10y+x)=10.

(

x− y

) (

− x−y

)

(

x−y

)

là sốchính phương.
Suy ra: x−y là sốchính phương.

Vì x> >y 0 nên x y; ∈

{

1; 2; ...; 9

}

, ta xét các trường hợp sau:
+ TH1: x− =y 1 và xy là sốnguyên tố nên xy =43.

+ TH2: x− =y 4 và xy là sốnguyên tố nên xy=73.

+ TH3: x− =y 9 và xy là sốngun tốnên khơng có sốnào thoả mãn.
Vậy xy∈

{

43; 73

}

b) Ta xét:

2 2 2 2 2

( )

a +b +c +d +e − a+ + + +b c d e

(

) (

)

(

) (

)

a a b b c c d d e e

= − + − + − + − + − .

Mà a a

(

−1 2

)

 (hai sốnguyên liên tiếp).

Suy ra: a a

(

− +1

) (

b b− +1

) (

c c− +1

)

d d

(

− +1

) (

e e−1

)

2.
Theo đề: 2 2 2 2 2

a b c d e

 + + + + 

  nên

(

a+ + + +b c d e

)

2

( )

Mà a; b; c; d; e là các sốnguyên dương nên a+ + + + >b c d e 2

( )

2
Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra a+ + + +b c d e là hợp số.

c) Ta có: 2 2

3 8 15 1

...
4 9 16

n
P

n
−

= + + + + 4 1 9 1 16 1 ... 2 21

4 9 16

n
n

− − − −

= + + + +

1 12 1 12 1 12 ... 1 12

2 3 4 n

= − + − + − + + − 1 12 12 ... 12

2 3

n

 

= − − + + + 

 < −n 1

( )

1
Lại có:

(

)

2 2 2

1 1 1 1 1 1

... ...

2 +3 + +n <1.2+2.3+ + n−1 .n

1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 2 3 3 4 n 1 n

= − + − + − + + −

−
1

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Suy ra: P n 1 1 1 n 2 1

n n

 

> − − − = − +

  > −n 2

( )

2
Vậy n− < < −2 P n 1 nên P không phải số nguyên.

Bài 5.

a) Trên tia Oy ta có OM <OB (1cm< 4cm) nên M nằm giữa O và B.

Suy ra OM +MB=OB ⇒MB=OB−OM = − =4 1 3cm.

( )

1
Do A và M nằm trên hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và M .

Suy ra AM =AO+OM = + =2 1 3cm.

( )

Mặt khác do A và B nằm trên hai tia đối nhau và M nằm giữa O và B nên suy ra
M nằm giữa A và B.

( )

Từ

( )

1 ,

( )

2 và

( )

3 suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) TH1: Oz và Ot nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng xy: Vì
 yOz< yOt nên tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy nên   yOz+zOt< yOt

   130 30 100

zOt yOt yOz

⇒ = − = −  = .

TH2: Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờlà đường thẳng xy,
khi đó tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz nên zOt  = yOt+yOz=130+30 =160.

c) Đặt m= +n 4. Khi đó:

z
t

B
M

A O

y
x

z
t

y
x

B
M

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Tia thứ1 tạo ra m góc có gốc O.

Tia thứ2 tạo ra m−1 góc có gốc O khác các góc ởtrên.

Tia thứ3 tạo ra m−2 góc có gốc O khác các góc ởtrên.

...

Tia thứ m tạo ra m−

(

m−1

)

góc có gốc O khác các góc ởtrên.

Như vậy tổng số góc phân biệt chung gốc O là:

1 2 ... ( 1)

m+ − + − + + −m m m m− =m m. − + + +1 2 ...

(

m− +1

)

m

[

]

2 1 .

2 2

m m m m

m + −

= − = .

Theo đềta có: 2 190
2

m −m

= 2

380
m m

⇔ − = ⇔

(

m−20 .

) (

m+19

)

=0 20
19
m
m

=


⇔  = − .
Chọn m=20. Suy ra n=16.

Bài 6.

Vì 2020; 2008 đều là bội của 4 nên 20202018 và 20082007 cũng là bội của 4.
Đặt 2018

2020 =4m

(

m∈*

)

; 20082007=4n

(

n∈*

)

.
Khi đó 20202018 20082007 4 4

7 −3 =7 m−3n

( ) ( )

4 4

7 m 3 n 2401m 81n

= − = − .

Ta thấy 2401m và 81n có tận cùng là 1 nên 2401m −81n có tận cùng là 0.
Suy ra 1

(

20202018 20082007

)

7 3

Q= − có tận cùng là 0 hoặc 5.
Vậy Q là sốtựnhiên chia hết cho 5.

ĐỀSÓ 21: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1. (2,0 điểm)

a. Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 5 0, 75 7 : 17

24 12 8

A=− + −  −

−

  .

b. Rút gọn 11 13255 152571725919 21

5 5 5 5 5 5

B= + +

+ + + + +

Câu 2. (2,5 điểm)

a. Tìm x biết: 3 1− =x 6.
b. Tìm x biết: 3 3 9 18

8x+ +2 x−2 =2 .

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Câu 3. (2,0 điểm)

a. Chứng minh rằng: 28

10 +8 72 .

b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1
2− + −4 8 16+32−64<3.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽcác tia Oz
và Ot sao cho xOz= °70 , yOt= °55 .

a. Chứng tỏtia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.
b. Chứng tỏtia Ot là tia phân giác của góc yOz.

c. Vẽtia phân giác On của góc xOz. Tính góc nOt.
Câu 5. (0,5 điểm) Cho 1 1 1 1 ... 1 .

2 3 4 2019

A= + + + + + Chứng minh A không là sốtựnhiên.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019

Câu 1: a. 5 0, 75 7 : 17 5 18 14 : 17 9. 8 9
24 12 8 24 24 24 8 8 17 17

A=− + −  − =− + +  − = − = −

−

   

(

) (

)

(

)(

)

10 4 8

5 7 9 10 14 18

11 13 15 17 19 21 11 15 19 13 17 21 4 8 11 13

5 1 5 5

25 25 25 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 5

B= + + = + + = + +

+ + + + + + + + + + + + +

10
11 13

5 1 1

5 5 5 125 130

= = =

+ +

Câu 2: a. 3 1− =x 6
1 x 2
⇒ − =

1 x 2
⇒ − = ±

+) 1− = ⇒ = −x 2 x 1.

+) 1− = − ⇒ =x 2 x 3.

Vậy x∈ −

{

1;3

}

là các giá trị cần tìm.
b. 3 3 9 18

8x+ +2 x−2 =2

3 3 6

8 .8x 8x 8 8 0

⇒ + − − =

(

) (

3 3

)

8 8x 1 8 8 1 0

⇒ + − + =

(

)(

)

8 1 8x 8 0

⇒ + − =

3
8x 8 0
⇒ − = (vì 3

8 + >1 0)
3

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

x

⇒ =
Vậy x=3.

c. Gọi

( )

a b, =d

Suy ra a=d m. , b=d n. trong đó m, n, d∈*,

(

m n,

)

=1.
Khi đó

[ ]

a b, ab mnd

d

= =

Vì

[ ]

a b, =6

( )

a b, và a+ =b 30 nên 6
30
mnd d
dm dn

=


 + =



(

)

30
mn

d m n
=


⇒  + =



Vì

(

m n,

)

=1 và m+ ∈n Ư(30), nên ta có bảng:

m 3 2
n 2 3

d 6 6

a 18 12

b 12 18

Vậy hai số phải tìm là 12 và 18.
Câu 3: a. Ta có 72=8.9

10 + =8 100...008 (27 chữ số 0)
+) 28

10 + =8 100...008 có ba chữ sốtận cùng là 008 chia hết cho 8 nên 1028+8 8
(1)

+) Tổng các chữ số của 100...008 (27 chữ số 0) là: 1 27.0 8+ + =9 9
28

10 8 9

⇒ +  (2)

Mà ƯCLN

( )

8;9 =1 (3)
Từ(1), (2), (3) suy ra 28

10 +8 72 (đpcm).
b. Ta có 2 1 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32
A= − + − + −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1

2 4 8 16 32 2 4 8 16 32 64

A A    

⇒ + = − + − + −  + − + − + − 

   

3 1

64
A

⇒ = −

3 1

64
A

⇒ = < 1

3
A

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

a. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy, ta có tia Ot nằm giữa

hai tia Ox và Oy ⇒xOt  +yOt=xOy

   180 55 125

xOt xOy yOt

⇒ = − = ° − ° = °

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy, ta có  xOz<xOt

(

70° <125°

)

⇒ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.

b. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, ta có tia Oz nằm giữa

hai tia Ox và Oy ⇒xOz  +yOz=xOy=180°

 180 70 110

yOz

⇒ = ° − ° = °

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy, ta có  yOt< yOz

(

55° <110°

)

⇒ Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz

Ta lại có  55 110 
2 2

yOz
yOt= ° = ° =

⇒ tia Ot là tia phân giác của góc yOz.

c. Vì On là tia phân giác của góc xOz nên   70 35
2 2

xOz

xOn= = °= °

Ta có    xOn+nOt+yOt=xOy=180°

 180 35 55 90

nOt

⇒ = ° − ° − ° = °.
Câu 5: Xét tổng 1 1 1 1 ... 1

2 3 4 2019

+ + + + +
Chọn mẫu chung là 10

2 .3.5.7.9....2017
Thừa số phụ của phân số 1

1024 là số lẻ

(

3.5.7.9...2017

)

, còn lại các thừa số phụ
khác đều chẵn. Do đó sau khi quy đồng mẫu và cộng các tử lại thì tử là số lẻ, còn
mẫu chung là số chẵn.

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

ĐỀ SỐ22: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019
Câu 1: (4,0 điểm)

1. Tìm x biết:

2
1 1

0
2 4

x

 −  − =
 

  .

2. Tìm số nguyên n đểphân số 2 7
5

n
M

n

−
=

− có giá trị là số nguyên.
Câu 2: (5,0 điểm)

1. Tìm sốnguyên tố x y, sao cho x2+165= y2.

2. Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì n n

(

+ +1

)

2019 không chia hết cho
2020.

3. So sánh 50

71 và 3775.
Câu 3. (3,0 điểm)

1. Chứng minh rằng hai số lẻliên tiếp là hai sốnguyên tốcùng nhau.
2. Chứng minh rằng:

2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100 3
3−3 +3 −3 + + 3 −3 <16.
Câu 4: (7,0 điểm) Cho góc vuông xOy. Vẽtia Oz sao cho  1

xOz= yOz.

1. Tính xOz.

2. Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc xOz và yOz. Tính góc

mOn?
Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm tất cảcác cặp số nguyên

( )

x y, thỏa mãn: 2 2019
3 y 1

x + =x + .

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019
Câu 1: 1.

2
1 1

0
2 4

x

 −  − =
 
 
2
1 1
2 4

x

 −  =
 
 

1 1
2 2

x

⇒ − = hoặc 1 1

2 2

x− = −

+) TH1: 1 1

2 2

x− =

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

+) TH2: 1 1

2 2

x− = −

0
x=
Vậy x∈

{ }

1; 0

2. Ta có 2 7 2 10 3 2

(

)

3 2 3

5 5 5 5

n

n n

M

n n n n

− +

− − +

= = = = +

− − − −

Vì 2∈ nên để M∈ thì 3

n− ∈ ⇒ −n 5 là ước của 5.

Lập bảng:
5

n− 1 −1 5 −5

n 6 (tm) 4 (tm) 10 (tm) 0 (tm)

Vậy với n∈

{

0; 4; 6;10

}

thì M có giá trị là số nguyên.

Câu 2: 1. Vì 2 2
165

x + =y nên y2 >165 ⇒ >y 12

Vì y là sốnguyên tố, y>12 nên y là số lẻ ⇒ y2 là số lẻ
Ta có 2 2

165

x + =y và y2 là số lẻ nên 2

x là số chẵn ⇒x là số chẵn

Vì x là sốnguyên tố nên x=2
Khi đó: 2 2

2 +165= y
2

169

y =

y

⇒ = (thỏa mãn).
Vậy x=2,y=13.

2. Vì n là số tự nhiên nên n n

(

+1 2

)

 ⇒n n

(

)

là số chẵn ⇒n n

(

+ +1

)

2019 là số
lẻ

Do đó n n

(

+ +1

)

2019 khơng chia hết cho 2020.
3. Ta có 50 50

(

3 2

)

50 150 100

71 <72 = 2 .3 =2 .3

(

)

75 75 2 2 150 150
37 >36 = 2 .3 =2 .3

Vì 50 150 100 150 150 75

71 <2 .3 <2 .3 <37 nên 7150 <3775.
Câu 3: 1. Gọi hai số lẻliên tiếp là 2n+1 và 2n+3

(

n∈

)

Gọi ước chung lớn nhất của 2n+1 và 2n+3 là d ⇒2n+1d và 2n+3d

(

2n 3

) (

2n 1

)

d

⇒ + − +  ⇒2d ⇒ ∈d

{ }

1; 2

Vì 2n+1 và 2n+3 là số lẻ nên d=1.

Vậy hai số lẻliên tiếp là hai sốnguyên tốcùng nhau.
2. Đặt 1 22 33 44 9999 100100

3 3 3 3 3 3

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

2 3 4 5 100 101
1 1 2 3 4 99 100
3VT 3 3 3 3 3 3
⇒ = − + − + + −

2 3 4 99 100 101
4 1 1 1 1 1 1 100
3VT 3 3 3 3 3 3 3
⇒ = − + − + + − −

2 3 4 5 100 101 102
4 1 1 1 1 1 1 100
9VT 3 3 3 3 3 3 3
⇒ = − + − + + − −

101 102
16 1 101 100 1

9 VT 3 3 3 3
⇒ = − − <

3
16

VT

⇒ <

Vậy 1 22 33 44 9999 100100 3

3−3 +3 −3 + + 3 −3 <16.
Câu 4:

a) Vì xOz và yOz là hai góc kề nhau nên   xOz+yOz=xOy ⇒xOz +yOz= °90

Mà  1   4

xOz= yOz⇒ yOz= xOz
Do đó xOz+4.xOz= °90


5.xOz 90

⇔ = °

 18  72

xOz yOz

⇔ = ° ⇒ = °

Vậy xOz= °18 , yOz= °72 .

2. Vì Om là tia phân giác của xOz nên   1 1.18 9

2 2

xOm=mOz= xOz= ° = °

Vì On là tia phân giác của yOz nên   1 1.72 36

2 2

yOn=nOz= yOz= ° = °

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có  yOn< yOx

(

36° < °90

)

⇒ tia On nằm giữa hai tia Ox Oy,

  
xOn nOy xOy

⇒ + =

 36 90  54

xOn xOn

⇒ + ° = ° ⇒ = °

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOm <xOn

(

9° < °54

)

n

m
z

O
y

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

⇒ tia Om nằm giữa hai tia Ox On,
  

xOm mOn xOn

⇒ + =


9 mOn 54

⇒ ° + = °

 45

mOn

⇒ = °

Vậy mOn=45°.

Câu 5: +) TH1: Với y<0 , ta có:
2019

3 y 1

VP= + không là số nguyên

VT =x +x là số nguyên

⇒ Trường hợp này loại.

+) Với y=0, ta có x2+ =x 32019.0+ ⇒1 x2+ =x 2

(

)

1.2

( ) ( )

2 . 1

x x

⇒ + = = − −

1
x

⇒ = hoặc x= −2.

+) Với y≥1, ta có: VP=32019y+1chia cho 3 dư 1

Vì x ngun nên x có dạng 3 ; 3k k+1; 3k+2

Với x=3k và x=3k+2 thì VT =x x

(

+1 3

)


Với x=3k+1thì VT =x x

(

)

chia cho 3 dư 2.
Do đó trường hợp này loại.

Vậy cặp số nguyên

( )

x y; cần tìm là:

( )

1; 0 ,

(

−2; 0

)

ĐỀ SỐ23: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019
Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có):

(

2 4

)

105 5 .2 2 .3

A= − − .

b) 1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90
B=− +− +− +− +− +− .
Câu 2. (6,0 điểm)

a) Tìm x biết: 2 5
4 3

x− +x

= .

b) Tìm x, y nguyên biết: 3x+xy+2y=17.
c) Chứng minh: 3 5 7

2a 2a 2a

M = + + + + +

(

a∈

)

chia hết cho 42.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho 2

n
A

n

−
=

a) Tìm điều kiện của n để: A là một phân số.

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

a) So sánh không qua quy đồng: 20187 132019

10 10

A= − + − ; 132018 20197

10 10

B= − + − .

b) Cho sốnguyên tố p>3. Hỏi p2+2018 là sốnguyên tố hay hợp số.

c) Cho sốtự nhiên A gồm 100 chữ số 1, sốtựnhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng
minh rằng A B− là sốchính phương.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kềbù. Biết góc xOy bằng 1
5 lần

góc yOz.

a) Tính sốđo mỗi góc.

b) Gọi Ot là tia phân giác của góc yOz. Tính sốđo góc xOt.

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xz chứa tia Ot, vẽthêm n tia
phân biệt (không trùng với các tia Ox; Oy; Oz; Ot đã cho) thì có tất cảbao nhiêu

góc?

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019
Câu 1: a)

(

2 4

)

105 5 .2 2 .3

A= − − =105 2. 5−

(

2−2 .33

)

=105 2. 25 24−

(

−

)

=105 2 103− = .

b) 1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90
B=− +− +− +− +− +−

1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

− − − − − −

= + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9

           

= −  + −  + −  + −  + −  + − 
           

1 1 3
4 10 20

− −

= + = .
Câu 2: a) 2 5

4 3

x− +x

(

) (

)

3 x 2 4 5 x

⇔ − = +

3x 6 20 4x

⇔ − = +

x

⇔ = −
Vậy x= −26.
b) 3x+xy+2y=17

(

) (

2 3

)

x y y

⇔ + + + =

(

x 2 3

)(

y

)

⇔ + + =

Ta có bảng:

x+ −1 1 −23 23

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

x −3 −1 −25 21

y −26 20 −4 −2
Vậy

(

x y;

) (

∈ − −

{

3; 26 ;

) (

−1; 20 ;

) (

−25;−4 ; 21;

) (

−2

)

}

c) 3 5 7

2a 2a 2a

M = + + + + + 2

(

3 5

)

2a+. 2 2 2

= + + 2

(

)

2a+. 2 8 32 2a+.42

= + + = .

Ta có: 2

2a+.42 42 nên M42 (đpcm).
Câu 3: a) Để A là một phân sốthì

3 0 3

n n
n n
∈ ∈
 ⇔
 + ≠  ≠ −

 
  .

b) Ta có: 2
3
n
A
n
−
=
+
5
1
3
n
= −
+

Để A là một sốnguyên thì

(

n+ ∈3

)

( )

5 = ± ±

{

1; 5

}

Ta có bảng:

n+ −5 −1 1 5
n −8 −4 −2 2

Vậy để A là một sốnguyên thì n∈ − − −

{

8; 4; 2; 2

}

.
Câu 4: a) Ta có: 20187 201913 132018 20197

10 10 10 10

A B− = − + −   − − + − 

    2018 2019 2018 2019

7 13 13 7 6 6
10 10 10 10
− + − +

= + = −

Mà 2018 2019

2018 2018

1 1 6 6

10 10

10 2019 10 2019
< ⇒ > ⇒ >

A B A B
⇒ − > ⇒ > .

b) Vì p là sốnguyên tố lớn hơn 3 nên 2

p chia cho 3 dư 1.

3 1

p k
⇒ = + .
Ta có: 2

2018 3 1 2018 3 2019
p + = k+ + = k+

Vì 3k3 và 2019 3 ⇒

(

3k+2019 3

)



(

)

2018 3

p

⇒ + 
Vậy 2

2018

p + là hợp số.

c) Ta có: − =  − 

100 ch÷ sè 1 50 ch÷ sè 1

11...11 2.11...11
A B
 

=  − 
 
 

50 ch÷ sè 1 2 chữ số 1 và 49 chữ số 0

11...11. 100...001 2

= 

50 ch÷ sè 1 50 ch÷ sè 9

11...11.99...99

= 

50 ch÷ sè 1 50 ch÷ sè 1

11...11.11...11.9
 
=  

2
2
50 ch÷ sè 1

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

 
=  
 

50 ch÷ sè 1

11...11.3

Vậy A−B là sốchính phương.

Câu 5:

a) Vì xOy và yOz là hai góc kềbù nên  xOy+yOz=180°

Mà  1  5

xOy= yOz⇒ yOz= xOy

 

6xOy 180 xOy 30

⇒ = ° ⇒ = °.

 5.30 150

yOz

⇒ = ° = °.

Vậy xOy= °30 ; yOz=150°.

b) Ot là tia phân giác của góc yOz   150 75
2
zOt yOt °

⇒ = = = °

Ta có   0
180

xOt+tOy= (2 góc kềbù)




0 0

75 180

105
tOx
tOx

+ =

Vậy xOt=105°.

c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ mỗi tia trong n+4 tia đó tạo với
4 1 3

n+ − = +n tia còn lại thành n+3 góc. Có n tia tạo thành

(

n+4

)(

n+3

)

góc,
nhưng như vậy mỗi góc được tính hai lần. Vậy có tất cả

(

)(

)

2
n+ n+

góc.
ĐỀ SỐ24: ĐỀGIAO LƯU MƠN TỐN 6 – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019
Câu 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính:

a) 2.3.5 4.9.25 6.9.35 10.21.40
2.3.7 4.9.35 6.9.49 10.21.56
A= + + +

+ + +

b) 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
4 9 16 400

B= −  −  −    − 

     

2010 2009 2008 1
....

1 2 3 2010

1 1 1 1
...

2 3 4 2011

C

+ + + +

+ + + +
Câu 2. (3 điểm)

t

z

y

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

1) Tìm sốtựnhiên x, biết:

a) 1 3 5 7+ + + + +9 ....+

(

2x− =1

)

225

b) 1 2 3 2015 2019

2x+2x+ +2x+ +2x+ + +... 2x+ =2 −8

2) Tìm sốcó ba chữ sốchia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho
7.

Câu 3. (2 điểm)

a) Tìm sốnguyên tốpsao cho các sốsau cũng là sốnguyên tố: p+14; p+40
b) Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1

2− + −4 8 16+32−64<3
Câu 4. (2 điểm)

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng 50°, vẽ tia ODsao cho tia OCnằm
giữa hai tia OA và OD, và COD= °60 . Tính BOD.

b) Vẽhai tia Ox Oy, sao cho AOx=22 ,° BOy=48°. Tính xOy.

c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt gốc Ođể tạo thành 190 góc đỉnh O trên
hình.

Câu 5. (1 điểm)

Tìm sốtựnhiên n sao cho 2

n + n là sốchính phương.
……….HẾT……….

LỜI GIẢI ĐỀGIAO LƯU MƠN TỐN 6 – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019
Câu 1:

a) 2.3.5 4.9.25 6.9.35 10.21.40
2.3.7 4.9.35 6.9.49 10.21.56
A= + + +

+ + +

2.3.5 2.3.5.2.3.5 2.3.5.3.3.7 2.3.5.5.7.8
2.3.7 2.3.7.2.3.5 2.3.7.3.3.7 2.3.7.5.7.8

+ + +

(

)

(

)

2.3.5 1 2.3.5 3.3.7 5.7.8 5
2.3.7 1 2.3.5 3.3.7 5.7.8 7

+ + +

= =

+ + +

b) 1 1 1 1

1 1 1 ... 1
4 9 16 400

B= −  −  −    − 

     

3 8 15 399

. . ...

4 9 16 400

− − − −

2 2 2 2
3.8.15....399
2 .3 .4 ...20
= −

1.3.2.4.3.5....19.21
2.2.3.3.4.4....20.20

= −

1.2.3...19 3.4.5...21
.

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

1 21 21
.

20 2 40

= − = −

c) Ta có 2010 2009 2008 .... 1
1 + 2 + 3 + +2010

2009 2008 2007 1

1 1 1 .... 1 1

2 3 4 2010

       

= + +  + +  +  + + +

       

2011 2011 2011 2011 2011
...

2 3 4 2010 2011

= + + + + +

1 1 1 1 1

2011 ...

2 3 4 2010 2011

 

=  + + + + + 

 

Do đó

2010 2009 2008 1
....

1 2 3 2010

1 1 1 1
...

2 3 4 2011

C

+ + + +

+ + + +
1 1 1 1 1
2011 ...

2 3 4 2010 2011

2011
1 1 1 1

...

2 3 4 2011

 + + + + + 
 
 
= =
+ + + +
Câu 2:
1)

a) 1 3 5 7+ + + + +9 ....+

(

2x− =1

)

225

(

2 1

)

1 : 2 1

(

)

2 1 1 225

2
x
x
− − +
 
   − + =
 

(

2 2 : 2 1

)

.2 225
2
x
x
− +
=
.2 225
2
x
x=
2
225
x =
15
x=

b) 1 2 3 2015 2019

2x+2x+ +2x+ +2x+ + +... 2x+ =2 −8

(

2 3 2015

)

2019 3

2 1 2 2x + + +2 + +... 2 =2 −2

(

2016

)

(

2016

)

2x 2 − =1 2 2 −1
3

2x =2
3
x=

c) Gọi sốtựnhiên cần tìm là abc

(

a b c, , ∈,1≤ ≤a 9, 0≤b c, ≤9

)

Ta có abc=100a+10b+ =c 98a+7b+2a+3b+ =c 98a+7b+

(

a+ + +b c

) (

a+2b

)

Vì

98 7 7 2 7

7
abc

a b a b
a b c

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Mà a b, ∈,1≤ ≤a 9, 0≤ ≤ ⇒ ≤ +b 9 1 a 2b≤27
Suy ra a+2b∈

{

7;14; 21

}

Trường hợp 1 : a+2b=7

Ta có 2blà số chẵn suy ra a lẻ và a<7⇒ =a

{

1;3;5

}

và khi đó tương ứng

{

3; 2;1

}

b=

với 1, 3 3

7
a b

c
a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn) ⇒abc=133

với 3, 2 2 9

7
a b

c c

a b c

= =



⇒ = =

 + +

  hoặc (thỏa mãn)⇒abc=322 hoặc abc=329

với 5, 1 1 8

7
a b

c c

a b c

= =



⇒ = =

 + +

  hoặc (thỏa mãn)⇒abc=511 hoặc abc=518

Trường hợp 2 : a+2b=14

Ta có 2blà số chẵn suy ra a chẵn và a<8⇒ =a

{

2; 4; 6;8

}

và khi đó tương
ứng b=

{

6;5; 4;3

}

với 2, 6 6

7
a b

c
a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn)⇒abc=266

với 4, 5 5

7
a b

c

a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn)⇒abc=455

với 6, 4 4

7
a b

c
a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn)⇒abc=644

với 8, 3 3

7
a b

c
a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn)⇒abc=833
Trường hợp 3 : a+2b=21

Ta có 2blà số chẵn suy ra a lẻ và a≤9⇒ =a

{

3;5; 7;9

}

và khi đó tương ứng

{

9;8; 7; 6

}

b=

với 3, 9 2 9

7
a b

c c

a b c

= =



⇒ = =

 + +

  hoặc (thỏa mãn)⇒abc=392 hoặc abc=399

với 5, 8 1 8

7
a b

c c

a b c

= =



⇒ = =

 + +

  hoặc (thỏa mãn)⇒abc=581 hoặc abc=588

với 7, 7 0 7

7
a b

c c

a b c

= =



⇒ = =

 + +

  hoặc (thỏa mãn)⇒abc=770 hoặc abc=777

với 9, 6 6

7
a b

c
a b c

= =



⇒ =
 + +

  (thỏa mãn)⇒abc=966
Vậy các sốtựnhiên cần tìm là:

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

+ Nếu p=2 thì p+14 16= và p+40=42 đều không phải là sốnguyên tố.
+ Nếu p=3 thì p+14 17= và p+40=43 đều là các sốnguyên tốsuy ra p=3 là
giá trị cần tìm

+ Nếu p≠3 suy ra p có dạng 3k+1 hoặc dạng 3k−1

Với p=3k+1 thì p+14=3k+ +1 14=3k+15=3

(

k+5 5

)


Với p=3k−1thì p+40=3k− +1 40=3k+39=3

(

k+13 3

)



Vậy nếu p≠3 thì hoặc p+14 hoặc p+40là hợp sốsuy ra không thỏa mãn bài ra
Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là p=3

b) Đặt 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64
A= − + − + −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1

2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32

A  

⇒ =  − + − + − = − + − + −

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 63

3 1 1

2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32 64 64

A

⇒ = − + − + − + − + − + − = − =

21 21 1
64 63 3
A

⇒ = < =

Vậy 1 1 1 1 1 1 1
2− + −4 8 16+32−64<3
Câu 4: (2 điểm)

a) Tia ODsao cho tia OCnằm giữa hai tia OA và OD nên   AOC+COD= AOD

AOD= ° + ° =50 60 110°

Ta có AOD và DOB là hai góc kềbù nên  AOD+DOB=180°
110° +DOB=180°
DOB= °70
b) Ta có BOy và yOA là hai góc kềbù nên  AOy+yOB=180°

480
220

y
x

600

A B

C D

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

AOy+ ° =48 180°
AOy=132°

Ta có  AOx<AOy

(

22° <132°

)

nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy
Suy ra   AOx+xOy=AOy

22° +xOy=132°
xOy=110°

c) Vì mỗi tia với 1tia cịn lại tạo thành 1góc. Xét 1tia, tia đó cùng với n1tia
cịn lại tạo thành n1góc. Làm như vậy với n tia ta được n n



1



góc. Nhưng

mỗi góc đã được tính 2 lần do đó với với n tia phân biệt sẽtạo thành





n n

góc.

Theo đềbài





190
2

n n







380
n n 





20.19
n n 
n20
Câu 5:

Đặt 2 2

n + n=a

(

a∈

)

(

)

2 1 1

n + n+ −a =

(

)

2 2

1 1

n+ −a =

(

n+ −1 a

)(

n+ +1 a

)

Với n a, ∈ ta suy ra n+ − =1 a 1 và n+ + =1 a 1
Suy ra n a− =0và n a+ =0

Suy ra n=0

ĐỀ SỐ25: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019
Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tìm x biết

2 2 2

3 7 17 37 16

5 5 5

5 5

7 17 37
x

 + + 

 

+  =

 + + 

 

2. Tính 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
2 3 4 2018 2019

A= −  −  −    −  − 

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Câu 2. (3,0 điểm)

1. Cho a b, là sốtựnhiên. Chứng minh: ƯCLN

( )

a b, = ƯCLN

(

5a+2 , 7b a+3b

)

2. Cho p và p+4 là các sốnguyên tố

(

p>3

)

. Chứng minh rằng p+14 là hợp số.
Câu 3. (4,0 điểm)

Trong đợt phát động “Tết trồng cây đời đời nhớơn Bác Hồ” – Xuân Kỷ Hợi, tổng số cây
trồng được của cảhai lớp 6A và 6B là 175 cây. Biết rằng số cây trồng được của lớp 6A và

3 sốcây trồng được của lớp 6B bằng sốcây trồng được của lớp 6B và
1

2 sốcây trồng được

của lớp 6A. Tính sốcây trồng được của mỗi lớp.
Cây 4. (5,0 điểm) Đềbài.

Cho góc BAC bằng o

110 . Lấy điểm D nằm giữa B và C sao cho góc BAD bằng 40o. Trên

nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là AC, vẽtia AE sao cho góc CAE bằng 30o (

E thuộc

đoạn BC).

a) Chứng tỏ E nằm giữa hai điểm D và C.

b) Tia AD có là phân giác của góc BAE khơng? Vì sao?

c) Lấy 2015 điểm phân biệt trên đoạn BC khác các điểm B D E C, , , . Hỏi có bao nhiêu góc
có đỉnh A được tạo thành.

Câu 6. (3,0 điểm)

1. Tìm sốtựnhiên n có 4 chữ số sao cho n là sốchính phương và là bội của 147.

2. Tìm sốtựnhiên n có 4 chữ sốsao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho 132 thì dư
98.

Câu 7. (1,0 điểm) Chứng minh rằng 1

A< với 12 23 34 ... 99100
5 5 5 5

A= + + + + .

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019
Câu 1.

2 2 2

3 7 17 37 16

5 5 5

5 5

7 17 37

x

 + + 

 

+  =

 + + 

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

1 1 1

8 2 7 17 37 16

1 1 1

5 5 5

7 17 37

2 8

5 5

x

 + + 

 

⇒ +   =

 + + 

 

⇒ =

⇒ =
Vậy x=4

2. 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
2 3 4 2018 2019

A= −  −  −    −  − 

      

1 2 3 2017 2018 1
. . ... .

2 3 4 2018 2019 2019

A

⇒ = =

Vậy 1

2019

A=

Câu 2.

1. Gọi d m, lần lượt là ước chung lớn nhất của

(

5a+2 ; 7b a+3b

)

và

( )

a b, 5 2

7 3

a b d
a b d

+

⇒  +






5 2

7 3

a b d
a b d

+

 +





(

) (

)

5 7a 3b 7 5a 2b d

⇒ + − + 

35a 15b 35a 14b d

⇒ + − − 

b d
⇒  (1)

5 2

7 3

a b d

+

 +





(

) (

)

3 5a 2b 2 7a 3b d

⇒ + − + 

15a 6b 14a 6b d

⇒ + − − 

a d
⇒  (2)

Từ (1) và (2) ⇒d là ước chung của a b, . Do đó d≤m .

Mặt khác hiển nhiên m là ước của d nên m≤d , suy ra m=d.
Vậy ƯCLN

( )

a b, = ƯCLN

(

5a+2 , 7b a+3b

)

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Suy ra p có dạng 3k+1

(

)

14 3 15 3 5 3

p k k

⇒ + = + = +  ⇒ +p 14 là hợp số.

Câu 3. Gọi a là sốcây lớp 6A trồng được, b là sốcây lớp 6B trồng được.

(

a b, >0

)

Do tổng sốcâytrồng được của cảhai lớp 6A và 6B là 175 cây ⇒ + =a b 175⇒ =a 175−b
Theo đềbài ta có:

1 1
3 2

a+ b= a b+

(

)

1 1

175 175

3 2

175 75 100

b b b b

b
a

⇒ − + = − +

⇒ =

⇒ = − =

Vậy lớp 6A trồng được 100 cây, lớp 6B trồng được 75 cây.
Câu 4.

a) Ta có:  

(

o o

)

40 110

BAD<BAC < ⇒ tia AD nằm giữa tia AB và AC
  

   o o o

110 40 70
ABD DAC BAC

DAC BAC ABD

⇒ + =

⇒ = − = − =

Ta có:  

(

o o

)

30 70

CAE<CAD < ⇒ tia AE nằm giữa tia AD và AC, mà D E C, , cùng thuộc
BC

E

⇒ nằm giữa D và C

b) Ta có: tia AE nằm giữa tia AD và AC
  

   o o o

70 30 40
DAE EAC DAC

DAE DAC EAC

⇒ + =

⇒ = − = − =

 

(

)

40
DAE BAD

⇒ = = (1)

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

⇒ D nằm giữa B và E (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD có là phân giác của góc BAE

c) Góc có đỉnh A được tạo thành từ2 điểm trong 2019 điểm thuộc BC và đỉnh A.

⇒ có 2019.2018 2037171

2 = góc.

Câu 5. 1. Đặt n=147k =3.49. 3k (k∈)

Vì n là sốchính phương chia hết cho 3 nên phải chia hết cho 9.
3

k

⇒  ⇒ =k 3k1

2 2

1 1 2

9.49. 21 .

n k k k

⇒ = = =

Do n có 4 chữ số ⇒1000≤212k1≤9999⇒ ≤ ≤3 k1 22
Ta có:

2
2

2 2

1 2
21 21

k k

k = =   

  ⇒k1 là sốchính phương.

{

}

1 4, 9,16
k

⇒ =

{

}

441. 1764, 3969, 7056
n k

⇒ = ∈

2. Gọi số cần tìm là x

x chia cho 131 thì dư 112

(

)

131. 112 , 77

x k k k

⇒ = + ∈ <

(

)

131. 112 132 112

x k k k x k k

⇒ = + + − ⇒ = + −

x chia cho 132 thì dư 98 ⇒98 112= − ⇒ =k k 14
131.14 112 1946

x

⇒ = + =

Vậy số cần tìm là 1946.
Câu 6.

Chứng minh rằng 1

A< với 12 23 34 ... 99100
5 5 5 5

A= + + + + .

2 3 4 100
1 2 3 99

...
5 5 5 5

A= + + + +

2 3 99
1 2 3 99

5 ...

5 5 5 5

A

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

2 3 99 100
98 99

98 99 2 99 100

99 100

1 1 1 1 99

4 ...

5 5 5 5 5

1 1 1

20 1 ...

5 5 5

1 1 1 1 1 1 99

20 4 1 ... ...

5 5 5 5 5 5 5

2 99

16 1 1

5 5

A

A A

A

⇒ = + + + + −

⇒ = + + + −

   

⇒ − = + + + −  − + + + − 

   

⇒ = − + <

1
16

A

⇒ <

ĐỀ SỐ26: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019
Bài 1. (6 điểm)

1. Tính và so sánh:
15 9 20 9
9 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 27
A= −

−

2019 2018 2017 2016 2015

2 2 2 2 2 ... 2 1

B= − − − − − − −

2. Tìm xbiết: 1 5 9 13 17 ...+ + + + + + =x 501501
3. Tìm các số nguyên x và ybiết: 2xy−6y+ =x 9.

Bài 2. (4 điểm)

1. Cho A= − + − + − + +1 2 3 4 5 6 ... 19−20
a. Acó chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khơng?
b. Tìm tất cảcác ước của A.

2. Cho n là sốnguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2

2018

n + là sốnguyên tố hay là hợp số?

Bài 3.(4 điểm) Tìm tất cảcác số nguyên nđể:
1. Phân số 1

n
n

− có giá trị là một số nguyên.
2. Phân số 12 1

30 2

n
n

+ là phân sốtối giản.
Bài 4.(4 điểm)

1. Cho A và Blà hai điểm trên tia Ox sao cho OA=a cm( ) với a>0; AB=3cm. Tính

OB.

2. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. trên cùng một nửa mặt phẳng bờlà đường
thẳng AB, kẻba tia OC, OD, OE sao cho BOC =42 ,° AOD =97 ,° AOE =56°. Chứng

tỏtia ODchia góc COE thành hai phần bằng nhau.

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = + + +1 2 3 ... đểđược một sốcó ba chữ sốgiống
nhau.

----Hết---

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019
Bài 1.

1.Tính và so sánh:

(

)

(

)

29 18 2
15 9 20 9 30 18 2 20 27

9 19 29 6 9 19 19 29 18 28 18

2 .3 5.2 3

5.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2 2.1.1

2
1.1.1
5.2 .6 7.2 27 5.2 .2 .3 7.2 .3 2 .3 5.3 7.2

A= − = − = − = =

− − −

2019 2018 2017 2016 2015

2 2 2 2 2 ... 2 1

B= − − − − − − −

Đặt 2018 2017 2016

2 2 2 ... 2 1

C= + + + + +

(

2018 2017 2016

)

2C =2. 2 +2 +2 + + +... 2 1

(

)

2019 2018 2019 2019 2019

2C=2 +2 + + ⇒ =... 2 C 2 − ⇒ =1 B 2 − 2 − =1 1

Vậy A=2B.

2. Tìm xbiết: 1 5 9 13 17 ...+ + + + + + =x 501501
Ta có 5= +2 3; 9= +4 5; 13= +6 7; 17= +8 9 ...

Do vậy x= +a (a+1)

(

a∈

)

Nên 1 5+ + +9 13 17+ + + = + + + + + + + + +... x 1 2 3 4 5 6 7 ... a

(

a+ =1

)

501501
Hay

(

a+1

)(

a+ +1 1 : 2

)

=501501

(

a+1

)(

a+2

)

=1003002=1001.1002⇒ =a 1000
Do đó x=1000+

(

1000 1+ =

)

2001.

3. Tìm các số ngun x và ybiết: 2xy−6y+ =x 9.
2xy−6y+ =x 9

(

) (

)

2y x− +3 x−3 =6

(

x−3 2

)(

y+ =1

)

Vì x, ylà các số nguyên nên

(

x−3

)

và

(

2y+1

)

là các ước của 6 và

(

2y+1

)

là số lẻ
nên:

• 3 6 9

2 1 1 0

x x

y y

− = =

 

⇒

 + =  =

 

• 3 6 3

2 1 1 1

x x

y y

− = − = −

 

⇒

 + = −  = −

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

• 3 2 5

2 1 3 1

x x

y y

− = =

 

⇒

 + =  =

 

• 3 2 1

2 1 3 2

x x

y y

− = − =

 

⇒

 + = −  = −

 

Bài 2.

1. Cho A= − + − + − + +1 2 3 4 5 6 ... 19−20

a. Acó chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

(

1 2

) (

3 4

) (

5 6

)

...

(

19 20

)

A= − + − + − + + − (có 10 nhóm)

( ) ( ) ( )

1 1 1 ...

( )

= − + − + − + + − (có 10 số hạng)

( )

10. 1 10

= − = −

Vậy A2, A3, A5.

b. Tìm tất cảcác ước của A.
Ư(A) = ± ±

{

1; 2;± ±5; 10

}

2. Cho n là sốnguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2

2018

n + là sốnguyên tố hay là hợp số.

n là sốnguyên tố lớn hơn 3 nên n 3. Vậy 2

n chia cho 3 dư 1 ⇒n2 =3m+1

Do đó 2

(

)

2018 3 1 2018 3 2019 3 673 3

n + = m+ + = m+ = m+ 
Vậy 2

2018

n +

Bài 3.

1. 1
2

n
n

− là sốnguyên khi

(

n+1

) (

 n−2

)

Ta có n+ =1 

(

n−2

)

+3

Vậy

(

n+1

) (

 n−2

)

khi 3 ( n−2)

(n− ∈2) Ư(3) = − −

{

3; 1; 1; 3

}

⇒ ∈ −n

{

1; 1; 3; 5

}

.
2. Gọi dlà ƯC của12n+1 và 30n+2

(

d∈*

)

(

) (

)

12n 1 d; 30n 2 d 5 12n 1 2 30n 2 d 1 d

⇒ +  +  ⇒ + − +  ⇒  mà d∈*⇒ =d 1.
Vậy phân sốđã cho tối giản với mọi n nguyên.

Bài 4.

1. Cho A và Blà hai điểm trên tia Ox sao cho OA=a cm( ) với a>0; AB=3cm.

Tính OB.

*) Trường hợp điểm B nằm trên tia đối của tia AOkhi đó điểm A nằm giữa O và B

3 ( )

OB OA AB a cm

⇒ = + = +

*) Trường hợp điểm B nằm giữa tia AO.

- Nếu a>3thì điểm B nằm giữa A và Osuy ra OB=OA−AB= −a 3 (cm)

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

- Nếu a<3 thì O nằm giữa A và Bkhông xảy ra trên tia Ox.
2.

- Lập luận tia OE nằm giữa 2 tia OA và OD.
- Tính được DOE =41°.

Mặt khác BOD và AOD là hai góc kềbù nên BOD =180° −AOD= °83 .

- Lập luận tia OC nằm giữa hai tia OB và OD.

Tính được COD =41° ⇒COD =DOE, chỉra tia OD nằm giữa 2 tia OE, OC.
Vậy tia ODchia góc COE thành hai phần bằng nhau.

Bài 5.

Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a (alà chữ sốkhác 0).

Gọi số số hạng của tổng là n, ta có:

(

)

111. 3.37.

(

)

2.3.37.
2

n n

a a n n a

= = ⇒ + =

Vậy n n

(

)

chia hết cho 37, mà 37 là sốnguyên tố và n+ <1 74 (n=74 khơng thỏa
mãn)

Do đó n=37 hoặc n+ =1 37.

Nếu n=37⇒ + =n 1 38 lúc đó

(

)

703
2

n n+

= không thỏa mãn.

Nếu n+ =1 37⇒ =n 36 lúc đó

(

)

666
2

n n+

= thỏa mãn.
Vậy số số hạng của tổng là 36.

ĐỀ SỐ27: ĐỀ THI KSCL HSG HUYỆN THƯỜNG TÍN - NĂM 2019
Câu 11: (5,0 điểm) Tính giá trịcác biểu thức sau:

a) 2 5 : 5 1 .

 

3 2
3 6 18

A   

b) B 3. 5. 5







2 2 : 113



16



2022

 

 

c) 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020

C          

     

Câu 12: (4,0 điểm) Tìm x biết:

a) 121



115x



3x 



25 9 5  x



8



2 4 3



1 1 1 1 2016 2017 2018

2 3 4 12 2017 2018 2019

x   x        

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>





100 96 4 104

2019 2019 2019 1 2019 1

2019 1
2019

x

    








Câu 13: (3,0 điểm) Cho 1

n
A

n






a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.

Câu 14: (6,0 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, lấy một điểm
O. VẽOz sao cho:  1

xOz  xOy

a) Tính góc xOz, yOz?

b) Vẽtia Om sao cho xOm 18. Vẽtia On sao cho yOn 72. Tính góc

?

mOn

c) Lấy điểm A Oz ;B Oy ;C Ox. Nối AB,AC; Ở giữa hai tia Ox và Oz. Vẽ

thêm n tia gốc O không trùng với tia Ox và Oz (đường thẳng AC cắt tất cảcác
tia trong góc xOz; đường thẳng ABcắt tia On tại I ) và người ta đếm được tất cả
214 tam giác. Tìm n?

Câu 15: (2,0 điểm)

Cho 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
1.3 2.4 3.5 2017.2019

A         

     

Chứng minh rằng A2 ?

LỜI GIẢI ĐỀ THI KSCL HSG THƯỜNG TÍN-NĂM 2019
Câu 1:

a) Ta có 2 5: 5 1 .

 

3 2
3 6 18

A    2 5 : 5 1 .9

3 6 18

   2 1 1

3 6 2

   5 1

6 2

  1

 .
Vậy 1

A .

b)B 3. 5. 5







2 2 : 113



16



2022

 

  3. 5. 25







8 : 11



16



2022





3. 5. 33 : 11  16 2022

    3. 5.3 16







2022





3. 15 16 2022

  

 

3. 1 2022

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

c) Ta có 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020

     

4 . 9 16. ... 4076361
1.3 2.4 3.5 2018.2020



2.2 3.3 4.4. . ...2019.2019
1.3 2.4 3.5 2018.2020



2.3.4...2019 2.3.4...2019
.

1.2.3...2018 3.4.5...2020



2
2019.

2020



2019
1010

 .

Vậy 2019

1010

C  .
Câu 2:

a) 121



115x



3x 



25 9 5  x



8





121 115 x 3x 16 5x 8

      

6 x 3x 16 5x 8

     

6 x 8x 24

   

9x 30

 

10
3

x

  .

Vậy x =10

3 .



2 4 3



1 1 1 1 2016 2017 2018

2 3 4 12 2017 2018 2019

    





2 4 3



1 4 3 1 2016 2017 2018

2 12 12 12 2017 2018 2019

x   x        

    





2 4 3



1 0. 2016 2017 2018

2 2017 2018 2019

x   x      

   





2 4 3



1 0

x   x  

 

2 4 0

x

   hoặc 3 1 0
2

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Với x2  4 0  x2 4x2 22  

 

22 x 2 hoặc x  2

Với 3 1 0
2

x    3 1

x   1

x   .
Vậy 2; 2; 1

x    

 

 .





100 96 4

104
4

2019 2019 ... 2019 1 2019 - 1
2019 - 1
- 2019

x

   

 (*)
ĐK: x 2019

Đặt A2019100 201996  ... 20194 1

2019 .4A2019104 2019100  ... 20198 20194

(20194 1).A2019104 1

 20191044 1

2019 1

A 



(*) 1 .20191044 1 20191044 1
2019 1 2019 1
- 2019

x

  

 

 1 1

- 2019

x 

 x - 2019 1

x - 20191 hoặc x - 2019 1

x 2020 (thỏa đk) hoặc x 2018 (thỏa đk).

Vậy x 2020 hoặc x 2018.

Câu 3:

a) Để A là một phân sốthì 1
4

n
n



 là một phân sốkhi n 4 0hay n  4.
Vậy các số nguyên n  4 thì A là một phân số.

b) Ta có 1
4

n
A

n







4 5
4

n
n

 




5
1

n

 


Để A là một sốnguyên thì 5

n là một sốnguyên khi 5 ( n 4) hay n  4 Ư

 

5 (n4)



5; 5;1; 1 



n 5 5 1 1

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

Vậy n 



1; 9; 3; 5  



.
Câu 4:

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng xy nên tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau

hay góc xOy là góc bẹt, suy ra xOy 180 
Ta có:  1 

xOz  xOy 1.180
5

 36.

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , xOz xOy (vì

36 180 ) nên tia Oz nằm giữa hai tiaOx và Oy

Suy ra: xOzzOy xOy

36 zOy 180
zOy180 36

zOy 144.
Vậy xOz 36, zOy 144.

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, xOm xOy (vì

18 180 ) nên tia Om nằm giữa hai tiaOx và Oy

Suy ra: xOm mOy xOy
18 mOy 180
mOy 180  18
mOy 162

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , yOn yOm (vì

72 162 nên tia On nằm giữa hai tia Om và Oy

m
z

y
x

I

O

A

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Suy ra: yOnnOm yOm



72 mOn 162

 162 72

mOn    

 90

mOn 

Vậy mOn 90.

c) Vì có n tia chung gốc O nằm giữa hai tia Ox và Oz nên trên đoạn thẳng AC

có n2 điểm, suy ra n 2 đoạn thẳng nối từO đến các điểm đó.

Mỗi đoạn thẳng có thểkết hợp với n 1 đoạn thẳng và các đoạn thẳng tương
ứng trên AC đểtạo thành n1 tam giác.

Do đó n2 đoạn thẳng sẽtạo thành



n2



n 1



tam giác.

Vì sốtam giác được tính hai lần nên sốtam giác tạo thành là







n n 

tam
giác.

Theo đềđếm được tất cả214 tam giác gồm 4 tam giác: ABC,AIO,ABO,

OBI

 và 210 tam giác được tạo bởi hai trong n2 đoạn thẳng nối từO đến

n  điểm trên đoạn thẳng AC và các đoạn thẳng tương ứng trên AC.

Do đó:







210
2

n n 






n2



n1



210.2





n2



n1



21.20

Vì n 2 và n1 là hai sốtựnhiên liên tiếp nên n 19.
Vậy n 19.

Câu 5:

Ta có 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

1.3 2.4 3.5 2017.2019

     

4 9 16 4072324
. . ...

1.3 2.4 3.5 2017.2019



2.2 3.3 4.4. . ...2018.2018
1.3 2.4 3.5 2017.2019

 2.3.4...2018 2.3.4...2018.
1.2.3...2017 3.4.5...2019



2
2018.

2019

 2019. 2
2019

 2.

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

ĐỀ SỐ28: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019
Câu 1. (5,0 điểm)

1. Tính: A 1 1 1 1 2

3 4 7
3 3

5 3 36 15 9
−
= − −− + − + + .
2. Cho 2 3 2018 2019

7 7 7 ... 7 7

B= + + + + + .

Tính B. Hỏi B có là số chính phương khơng?

3. Tìm x biết

(

x+ + + + +2

) (

x 7

) (

x 12

)

+ + +...

(

x 42

) (

+ +x 47

)

=655.
Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm sốtự nhiên có 3 chữ số, biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư
16.

2. Cho 201920182019 1

2019 1

C= +
+ và

2019
2020
2019 1
2019 1
D= +

+ . So sánh C và D.
Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm sốtựnhiên ab biết: ab a b bbb. . =

2. Cho N=155* 710 * 4 *16 là số tự nhiên có 12 chữ số. Chứng tỏ rằng nếu thay
các dấu * bởi các chữ sốkhác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tùy ý thì N
ln chia hết cho 396.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho đoạn thảng AB=7cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia
AB lấy điểm Q sao cho AQ=AP.

1. Biết BP=3cm, tính đoạn PQ.

2. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽtia Ax, Ay sao cho

 60

BAx= °, BAy=150° . Tính QAy , yAx .

3. Cho O không thuộc đường thẳng AB và thêm 2016 điểm phân biệt khác thuộc
đoạn thẳng AB và không trùng với 4 điểm A B P Q, , , , Hỏi có thể vẽ được bao
nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong sốcác điểm đã cho?

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho 1 5 9 8065 8069

2 3 4 ... 2018 2019

M= + + + + + . Tìm chữ sốtận cùng của M

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

1. Ta có 1 1 1 1 2

3 4 7
3 3

5 3 36 15 9

A= − −− + − + +−

3 3

1 1 1 2 1

3 5 15 4 36 9 73

A= − +   + − − +− +

 

−

 

5 9 1 1

15 73

8 1
36

A= + + +− − − +

. 1

( )

1 1 1
73 73

A= + − + =

Vậy 1

A= .

2. Ta có 2 3 2018 2019
7 7 7 ... 7 7

B= + + + + + và 7B= + + + +72 73 74 ... 72019+72020
Khi đó 2020

7B B− = 7 −7 suy ra

2020

7 7

6
B= − .

Một sốchính phương chia hết cho p thì chia hết cho 2

p (p∈Ν,p≠0)
B chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 72 vì 7 khơng chia hết cho 72
Vậy B khơng là sốchính phương.

3 Ta có

(

x+ + + + +2

) (

x 7

) (

x 12

)

+ + +...

(

x 42

) (

+ +x 47

)

=655

(

)

47 2 47 2

1 47 2 1 :2 655

5 x 5

− −

   

⇔ +  + +  +  =

   

10x 245 655 x 41

⇔ + = ⇔ =

Vậy x=41

Câu 2.

1. Gọi sốtựnhiên có ba chữ số là a
Ta có 23 14 9 23

25 16 9 25

a p a m

a q a n

= + + =

 

⇒

 = +  + =

  (m, n, p, q∈Ν) sai de
Khi đó a+ ∈9 BC

(

23, 25

) {

= 0;575;1150;...

}

Vì a là sốcó ba chữ số nên a=566

(

)

2018

2018 2019

2019 2019 2019 2019

2019. 2019 1

2019 1 2019 1 2018 2018

2019 1

2019 1 2019 1 2019 1 2019 1

C= + ⇒ C= + = + + = +

+ + + +

(

2019

)

2019 2020

2020 2020 2020 2020

2019. 2019 1

2019 1 2019 1 2018 2018

2019 1

2019 1 2019 1 2019 1 2019 1

D= + ⇒ D= + = + + = +

+ + + +

Vì 20182019 20182020

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

1. Ta có bbb b= .111 37.3.= b=37.3.7=ab a b. . ⇒ab=37
2. Ta có 396 = 4.9.11

+ N có hai chữ sốtận cùng là 16 chia hết cho 4 suy ra N chia hết cho 4
+ Tổng các chữ số của N bằng

1 5 5 * 7 1 0 * 4 * 1 6 30 * * * 30 6 36+ + + + + + + + + + + = + + + = + = chia hết cho 9 suy ra N 
chia hết cho 9.

+ Tổng các chữ số hàng chẵn của N – Tổng các chữ số hàng lẽ của N = 18 – 18 = 0
chia hết cho 11 suy ra N chia hết cho 11.

Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy ra N chia hết cho 396.
Câu 4.

Ta có BP=3cm suy ra AP=4cm

Mà AQ=AP⇒QB=AQ+AB= + =4 7 11cm

Ta có BAy QAy + =180°⇒QAy=30°

  150  90

BAx+yAx= °⇒yAx= °

3. Ta có 2016 + 4 = 2020 điểm thuộc AB (khơng có điểm nào trùng nhau) và 1
điểm không thuộc AB. Vậy qua 2021 điểm sẽcó các đoạn thẳng là
2021(2021-1):2=2041210

Câu 5.

Tất cả số hạng tổng trên đều có dạng 4 1 4

n n

a + =a a
Nếu a tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì 4n 1

a + tận cùng giống tận cùng của a

Nếu a tận cùng là 7, 9 suy ra 2

a có tận cùng là 1 suy ra a4n tận cùng là 1 suy ra

4
.
n

a a có tận cùng giống a .
Nếu a tận cùng là 3 suy ra 2

a tận cùng là 9 suy ra 1 suy ra a4n tận cùng là 1suy ra

4
.
n

a a có tận cùng giống a

Q A P B

y

x

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Nếu a tận cùng là 2 suy ra 4n

a tận cùng là 6 suy ra a4n.a tận cùng giống 6.2 =>
tận cùng là 2 => giống a

Chứng minh tương tựta có các sốtận cùng là 4, 8 thì 4
.
n

a a có tận cùng giống a
Vậy 4n 1

a + có chữ sốtận cùng giống a với mọi a

 Chữ sốtận cùng của M giống chữ sốtận cùng của N với N là tổng

2019.2020

2 3 4 ... 2019 1 2019.1010 1
2

N= + + + + = − = −

Do 2019.1010 có tận cùng là 0 => N tận cùng là 9 => M tận cùng là 9.

ĐỀ SỐ29: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Tính: A 1 1 1 1 2

3 4 7
3 3

5 3 36 15 9
−
= − −− + − + + .
2. Cho 2 3 2018 2019

7 7 7 ... 7 7

B= + + + + + .

Tính B. Hỏi B có là sốchính phương khơng?

3. Tìm x biết

(

x+ + + + +2

) (

x 7

) (

x 12

)

+ + +...

(

x 42

) (

+ +x 47

)

=655.
Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm sốtự nhiên có 3 chữ số, biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư
16.

2. Cho 201920182019 1

2019 1

C= +
+ và

2019
2020
2019 1
2019 1
D= +

+ . So sánh C và D.
Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm sốtựnhiên ab biết: ab a b bbb. . =

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho đoạn thảng AB=7cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia
AB lấy điểm Q sao cho AQ=AP.

1. Biết BP=3cm, tính đoạn PQ.

2. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽtia Ax, Ay sao cho

 60

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho 1 5 9 8065 8069

2 3 4 ... 2018 2019

M= + + + + + . Tìm chữ sốtận cùng của M

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019
Câu 1.

1. Ta có 1 1 1 1 2

3 4 7
3 3

5 3 36 15 9

A= − −− + − + +−

3 3

1 1 1 2 1

3 5 15 4 36 9 73

A= − +   + − − +− +

 

−

 

5 9 1 1

15 73

8 1
36

A= + + +− − − +

. 1

( )

1 1 1
73 73

A= + − + =

Vậy 1

A= .

2. Ta có 2 3 2018 2019
7 7 7 ... 7 7

B= + + + + + và 7B= + + + +72 73 74 ... 72019+72020
Khi đó 2020

7B B− = 7 −7 suy ra

2020

7 7

6
B= − .

Một sốchính phương chia hết cho p thì chia hết cho 2

p (p∈Ν,p≠0)
B chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 2

7 vì 7 khơng chia hết cho 72
Vậy B khơng là sốchính phương.

3. Ta có

(

x+ + + + +2

) (

x 7

) (

x 12

)

+ + +...

(

x 42

) (

+ +x 47

)

=655

(

)

47 2 47 2

1 47 2 1 :2 655

5 x 5

− −

   

⇔ +  + +  +  =

   

10x 245 655 x 41

⇔ + = ⇔ =

Vậy x=41

Câu 2.

1. Gọi sốtựnhiên có ba chữ số là a
Ta có 23 14 9 23

25 16 9 25

a p a m

a q a n

= + + =

 

⇒

 = +  + =

  (m, n, p, q∈Ν) sai de
Khi đó a+ ∈9 BC

(

23, 25

) {

= 0;575;1150;...

}

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

(

)

2018

2018 2019

2019 2019 2019 2019

2019. 2019 1

2019 1 2019 1 2018 2018

2019 1

2019 1 2019 1 2019 1 2019 1

C= + ⇒ C= + = + + = +

+ + + +

(

2019

)

2019 2020

2020 2020 2020 2020

2019. 2019 1

2019 1 2019 1 2018 2018

2019 1

2019 1 2019 1 2019 1 2019 1

D= + ⇒ D= + = + + = +

+ + + +

Vì 20182019 20182020

2019 +1 2019> +1nên 2019C>2019D⇒ >C D
Câu 3.

1. Ta có bbb b= .111 37.3.= b=37.3.7=ab a b. . ⇒ab=37
2. Ta có 396 = 4.9.11

+ N có hai chữ sốtận cùng là 16 chia hết cho 4 suy ra N chia hết cho 4
+ Tổng các chữ số của N bằng

1 5 5 * 7 1 0 * 4 * 1 6 30 * * * 30 6 36+ + + + + + + + + + + = + + + = + = chia hết cho 9 suy ra N 
chia hết cho 9.

+ Tổng các chữ số hàng chẵn của N – Tổng các chữ số hàng lẽ của N = 18 – 18 = 0
chia hết cho 11 suy ra N chia hết cho 11.

Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy ra N chia hết cho 396.
Câu 4.

Ta có BP=3cm suy ra AP=4cm

Mà AQ=AP⇒QB=AQ+AB= + =4 7 11cm

Ta có BAy QAy + =180°⇒QAy=30°

  150  90

BAx+yAx= °⇒yAx= °

3. Ta có 2016 + 4 = 2020 điểm thuộc AB (khơng có điểm nào trùng nhau) và 1 điểm
không thuộc AB. Vậy qua 2021 điểm sẽcó các đoạn thẳng là 2021(2021-1):2=2041210
Câu 5.

Tất cả số hạng tổng trên đều có dạng 4 1 4
.

n n

a + =a a

Q A P B

y

x

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Nếu a tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì 4n 1

a + tận cùng giống tận cùng của a

Nếu a tận cùng là 7, 9 suy ra 2

a có tận cùng là 1 suy ra 4n

a tận cùng là 1 suy ra

4
.
n

a a có tận cùng giống a .
Nếu a tận cùng là 3 suy ra 2

a tận cùng là 9 suy ra 1 suy ra a4n tận cùng là 1suy ra

4
.
n

a a có tận cùng giống a
Nếu a tận cùng là 2 suy ra 4n

a tận cùng là 6 suy ra a4n.a tận cùng giống 6.2 =>
tận cùng là 2 => giống a

Chứng minh tương tựta có các sốtận cùng là 4, 8 thì 4
.
n

a a có tận cùng giống a
Vậy 4n 1

a + có chữ sốtận cùng giống a với mọi a

 Chữ sốtận cùng của M giống chữ sốtận cùng của N với N là tổng

2019.2020

2 3 4 ... 2019 1 2019.1010 1
2

N= + + + + = − = −

Do 2019.1010 có tận cùng là 0 => N tận cùng là 9 => M tận cùng là 9.

ĐỀ SỐ30: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA- NĂM 2019
Câu 1. (4,0 điểm)

1) Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lí: .
a)123. 456456−456. 123123

b) 5 4 3 1 13

2.1+1.11+11.2+ 2.15+15.4
2) Rút gọn biểu thức sau:

(

)

22 7 15

2
14
11.3 .3 9

2.3

M = + .

Câu 2. (6,0 điểm)

1) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có hai chữ số, y là số nguyên âm lớn
nhất. Hãy tính

giá trị của biểu thức : 2018 2017
2020. 2019.
A= x − y .
2) Tìm số nguyên x và ybiết : xy− +x 2y=3 .

3) Tìm x, biết : 1 8 . 1 8 . 1 8 ... 1 8 . 1 8
10 22 36 8352 x 10
 +   +   +   +  = −

       

       

Câu 3. (4,0 điểm)

1)Tìm phân sốtối giản a

b lớn nhất

(

)

*
, ∈

a b sao cho khi chia mỗi phân số 14; 16
75 165
cho a

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

2) Cho 1.2.3...2018. 1 1 1 ... 1 1
2 3 2017 2018

A=  + + + + + 

  , chứng tỏ rằng A là số tựnhiên
chia hết cho 2019.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 4 cm. Trên tia Oy

lấy hai điểm M và B sao cho OM = 2 cm, OB = 8 cm.
1) Chứng tỏđiểm Mlà trung điểm của đoạn thẳng AB.

2) TừOhai tia Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng

xy sao cho yOz=40 ,° yOz=110°. Tính sốđo zOt .

3) Qua O kẻthêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Ot, Oz. Biết rằng trên hình có

120góc phân biệt chung gốc O. Tính n .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, blà bình phương của hai số nguyên lẻliên tiếp. Chứng minh rằng :

A=ab− − +a b chia hết cho 48 .

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA - NĂM 2019
Câu 1.1) a) Ta có : 123. 456456−456. 123123 123.456.1001 456.123.1001= − =0

b) 5 4 3 1 13 5 4.2 3 2.1 13 5 1 1

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11.2 15.4 2 2 4

+ +

+ + + + = + + = + +

1 13
3

4 4

= + = .

2) Ta có :

(

)

22 7 15 29 30 29

2 2 28 28

11.3 .3 9 11.3 3 3 (11 3) 3.14 3.7 21
2 .3 4.3 4 2 2
2.3

M = + = + = + = = = .

Câu 2.

1) Vì xlà tổng của tất cảcác sốngun có hai chữ số nên :

(

)

( 11) ...

(

)

10 11 ... 99

x= − + − + + − + + + +

= −

(

)

+10  + −

(

)

+11+ + −... 

(

)

+99= + + + =0 0 ... 0 0

y là sốnguyên âm lớn nhất nên: y= −1 . Do đó:

( )

2017

( )

2018 2017 2018

2020. 2019. 2020.0 2019. 1 0 2019. 1 2019

A= x − y = − − = − − = .

2) Ta có: xy− +x 2y= ⇒3 xy− +x 2y− = ⇒2 5

(

xy−x

) (

+ 2y−2

)

=5
⇒x y

(

− +1

) (

2 y− = ⇒1

)

(

y−1

)(

x+2

)

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

y -1 -5 -1 1 5

y -4 0 2 6

x + 2 -1 -5 5 1

x -3 -7 3 -1

Vậy các cặp số nguyên x, ythỏa mãn là:

( ) (

x y; ∈ − −

{

3; 4 ,

) (

−7;0 , 3; 2 ,

) ( ) (

−1;6

)

}

.
3) Ta có:

8 8 8 8

1 . 1 . 1 ... 1

10 22 36 8352
 +   +   +   + 

       

       =

18.30.44...8360
10.22.36...8352 =

2.9.3.10.4.11...88.95
1.10.2.11.3.12...87.96
=

(

(

2.3.4...88 . 9.10.11...95

) (

) (

)

)

88.9 33

1.2.3...87 . 10.11.12...96 = 96 = 4 . Do đó:

8 8 8 8 8

1 . 1 . 1 ... 1 . 1
10 22 36 8352 x 10
 +   +   +   +  = −

       

       

33 1

.
4 x 5

⇒ = 1 33: 4

5 4 165

x x

⇒ = ⇒ =

Vậy 4
165
x= .
Câu 3.

1) Theo đềbài ta có : 14: 14 14
75
75 75
a
a b
b
b a

= ∈ ⇔ 




 (Vì (14,75) =1, (a, b) =1

16 : 16 16

165
165 165
a
a b
b

b a

= ∈ ⇔ 




 ( Vì (16,165) = 1, (a, b) =1
Đểphân sốtối giản a

b lớn nhất thì a= ƯCLN(14; 16)=2,b= BCNN(75; 165) = 825.
Vậy phân số cần tìm là : 2

825 .
2) Ta có : 1 1 1 ... 1 1

2 3 2017 2018

+ + + + + = 1 1 1 1 ... 1 1

2018 2 2017 1009 1010
 +  + + +  + 

     

     

= 2019 1 1 ... 1
1.2018 2.2017 1009.1010

 + + + 

 

 

= 2019.2.3...2016.2017 1.3.4...2016.2018 ... 1.2...1008.1011...2017.2018
1.2.3...2017.2018

+ + +

Do đó : 1.2.3...2018. 1 1 1 ... 1 1

2 3 2017 2018

A=  + + + + + 

 =

2.3...2016.2017 1.3.4...2016.2018 ... 1.2...1008.1011...2017.2018
1.2.3...2018.2019.

1.2.3...2017.2018

+ + +

(

)

2019. 2.3...2016.2017 1.3.4...2016.2018 ... 1.2...1008.1011...2017.2018 2019

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Vậy A là sốtựnhiên chia hết cho 2019.
Câu 4.

1)

( hình vẽ)

Trên tia Oyta có OM < OB (2 < 8) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B. Do đó :
8 2 6

OM +MB=OB⇒MB=OB−OM = − = cm

Vì M nằm trên tia Oy, A nằm trên tia Ox. Hai tia Ox, Oy là hai tia đối nhau , do
đó OM và OA

là hai tia đối nhau suy ra : O nằm giữa M và A. Ta có: MA=OA+OM = + =4 2 6

Vì O nằm giữa A và M; M nằm giữa O và B ⇒ M nằm giữa A và B. Lại có MA = 
MB (=6cm)

⇒ Mlà trung điểm của AB

2) Kẻtia Oz'là tia đối của tia Oz, khi đó

Tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Oz' nên :

  yOz+yOz'=zOz' ( hình vẽ)

  ' ' 180 40 140

yOz zOz yOz

⇒ = − = ° − ° = °

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có
 yOt< yOz' 110

(

° <140°

)

nên tia Ot nằm 
giữa hai tia Oy, Oz'. Do đó:

  yOt+tOz'= yOz'⇒tOz  '= yOz'−yOt=140° −110° = °30

Vì tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Oz'; tia Ot nằm giữa hai tia Oy, Oz' ⇒ tia Ot nằm
giữa hai tia Oz, Oz' nên : zOt  +tOz'=zOz'⇒zOt  =zOz'−tOz' 180= ° − ° =30 150°.

Vậy zOt=150° .

3) Tất cảcác tia chung gốc O là n+4 ⇒ Số góc do n+4 tia này tạo ra là :

(

)(

4 1

) (

)(

)

2 2

n+ n+ − n+ n+

= . Theo đềbài ta có :
z'

t

z

110°
40°

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

(

)(

)

(

)(

)

120 3 4 240 15.16
2

n n

+ +

= ⇒ + + = = vì n+3 và n+4 là hai số tự
nhiên liên tiếp nên : n+ =3 15⇒ =n 12

Câu 5.

Vì a,blà bình phương hai số nguyên lẻliên tiếp nên :

(

)

(

) (

)

2 1 ; 2 1

a= n− b= n+ n∈

Ta có :ab a b− − + =1

(

ab a−

) (

− − =b 1

)

a b

(

− − − =1

) (

b 1

) (

a−1

)(

b−1

)

. Do đó:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

2

(

)(

)

(a 1) 1 2 1 1 2 1 1 4 1 .4 1 16 1 1

A= − b− = n− −    n+ − = n n− n n+ = n n− n+
mà n n

(

−1

)(

n+1 3

)

 ( tích 3 sốnguyên liên tiếp)⇒A

(

16.3

)

⇒ A48

(

dpcm

)

ĐỀ SỐ 31: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 – 2019
Bài 1. ( 5,0 điểm) Tính giá trịcác biểu thức sau:

(

)

3 2 4

1, 6. 1 .1, 25 1, 08 :

5 25 7

0, 6 .50% :

1 5 1 2 5

0, 64 5 2 .2
25 9 4 17

A

   − 

     

   

= + + −  

−

   

−  − 

 

b) 11.9 .3112 714 275
2 .9

B= − .

c) 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 . 1 1 1, 08 2

1.3 2.4 3.5 2016.2018 2017.2019 25

C= +    +    +   … +    +  − 

          .

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số bằng các tổng a+ = + = +b c d e f với
các số a b c d e, , , , thỏa mãn 35; 130; 14

49 143 26

a c e

b = d = f = .
b) Tìm các sốtựnhiên x y, thỏa mãn

2 3 2 3

x y x+y
+ =

+ .
c) Cho 1 5 522 533 520192018

1 5 5 5 5

M = + + + +…+

+ + + +…+ và

2 3 2019

2 3 2018

1 3 3 3 3

N = + + + +…+

+ + + +…+ . Hãy so sánh M
và N.

Bài 3. (3,0 điểm)

a) Tìm các sốnguyên tố x và y để P=xy+5x−2y−10 cũng là sốnguyên tố.
b) Chứng minh rằng:

1) Q=n5−n chia hết cho 10 với mọi

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

2) Cho 5 5 5 5

1 2 3 2019

A= + + +…+ và B= + + + …+1 2 3 2019.

Chứng minh rằng A và B có sốtận cùng giống nhau.
Bài 4. (6,0 điểm)

Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy vẽ
các tia Om tạo với Ox một góc bằng a0. Vẽtia On tạo với Om một góc

(

a+10

)

0 và
tạo với Oy một góc là

(

a+20

)

a) Tính 0
a .

b) Trên nửa mặt phẳng chứa Om và On vẽcác tia Oz và Ot sao cho góc tOx bằng

22 và góc yOz bằng 400. Tính góc tOz.

c) Vẽthêm 2019 tia gốc O khác các tia Ox Oy Oz Ot Om On, , , , , . Hỏi có tất cảbao nhiêu
góc tạo thành.

Bài 5. (2,0 điểm)

Có 2021 sốnguyên khác nhau thỏa mãn rằng cứghép 10 sốbất kì thành một nhóm
thì tổng thu được là một sốdương. Chứng minh rằng trong các sốđó cóít nhất là

203 sốngun dương.

--HẾT--

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 - 2019
Bài 1.

(

)

3 2 4

1, 6. 1 .1, 25 1, 08 :

5 25 7

0, 6 .50% :

1 5 1 2 5

0, 64 5 2 .2
25 9 4 17

A

   − 

     

   

= + + −  

−

   

−  − 

 

8 5 27 2 4
1, 6. . :

3 1 2
5 4 25 25 7

. :
16 1 50 9 36 5 2 5

.
25 25 9 4 17

   − 

       

   

= + + −   

−

     

−  − 

 

3, 2 4 3 1 5
. .
3 117 36 5 2 2

.
5 36 17

= + +

16 7 1 3 16 19

. 1

3 4 7 4 3 3

= + + = + = .

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

(

)

29 27

2 28 2 28
3 11 9

11.3 3 1

2 .3 2 .3 6

−
−

= = =

c)Với mọi *
n∈N ta có

(

)

(

)

(

)

2
2

1 2 1

2 2 2

n
n n

n n n n n n
+

+ +

+ = =

+ + + .

Từđó

2 2 2 2 2

2 3 4 5 .2018 27 2

. . . .

1.3 2.4 3.5 4.6 2017.2019 25 25
C= …  − 

 

2 2 2 2 2
2 2 2 2

2 .3 .4 .5 2018
1.2.3 .4 .5 2017 .2018.2019

…
=
…
2
2019
= .

Bài 2. (4,0 điểm)

49 143 26

a c e

b = d = f = .
b) Tìm các sốtựnhiên x y, thỏa mãn

2 3 2 3

x y x+y
+ =

+ .
c) Cho 1 5 522 533 520192018

1 5 5 5 5

M = + + + +…+

+ + + +…+ và

2 3 2019
2 3 2018

1 3 3 3 3

N = + + + +…+

+ + + +…+ . Hãy so sánh M
và N.

Lời giải 
a) Gọi T = +a b

Ta có 35 5

49 7

a a

b = ⇒ =b . Vậy
a

b có phân sốtối giản là
5

7 do đó a 5, 7b .

Từđó 12

5 7 12 12

a b a b T

T
+

= = = ⇒  .

Tương tựthì 130 10 21

143 11 10 11 21

c c d T

T
d = = ⇒ = = ⇒  .

Và 14 7 20

26 13 7 13 20

e e f T

T
f = = ⇒ = = ⇒  .

Mà BCNN

(

12; 21; 20

)

=420⇒T420⇒maxT =840.

b) 15 10 6

(

)

9 4 . *

( )

2 3 2 3

x y x y

x y x y x y
+

+ = ⇒ + = + ⇒ = −

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

c)Ta có

(

2 3 2018

)

2 3 2019

2 3 2018 2 3 2018 2 3 2018

1 5 1 5 5 5 5

1 5 5 5 5 1

1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 5 5 5 5

M = + + + +…+ = + + + + +…+ = +

+ + + +…+ + + + +…+ + + + +…+

(

2 3 2018

)

2 3 2019

2 3 2018 2 3 2018

1 3 1 3 3 3 3

1 3 3 3 3

1 3 3 3 3 1 3 3 3 3

N = + + + +…+ = + + + + +…+

+ + + +…+ + + + +…+

2 3 2018
1

1 3 3 3 3

= +

+ + + +…+

Vậy 1 2 13 2018 1 2 13 2018

1 5 5 5 5 1 3 3 3 3

M −N = + + − 

+ + + +…+  + + + +…+ .

Rõ ràng 2 13 2018 1 1 0

1 3 3+ + + +…+3 3 1= ⇒M −N ⇒M >N.
Bài 3.

a) Ta có P=xy+5x−2y−10=x y

(

+ −5

) (

2 y+5

) (

= x−2

)(

y+5

)

Bới vậy đểP là sốnguyên tốthì một trong hai giá trị x−2 và y+5 phải bằng 1 mà
5 7

y+ ≥ nên x− = ⇔ =2 1 x 3 từđó P= +y 5. Nếu y lẻthì P sẽ chẵn, điều này vơ

lí ⇒ y phải chẵn mà y là sốnguyên tố ⇒ =y 2
Vậy x=3;y=2.

1) Ta có 5

(

)

Q=n − =n n n − .

(*) Nhận thấy rằng nếu n lẻthì n4−1 chẵn

(

)

n n

⇒ − luôn là số chẵn ⇒Q2.

(*) Nếu n không chia hết cho 5 thì sử dụng định lí Phecma ta có n4 ≡1

(

mod5

)

tức
là 4

n − sẽchia hết cho 5. Vậy n n

(

4−1

)

luôn chia hết cho 5 với mọi n.

Từđó Q chia hết cho bội chung của 2 và 5 tức là 10.
Bài 4.

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

Ta có    0 0 0 0 0

180 10 20 180 50

xOm+mOn+nOy= ⇒ + +a a + +a = ⇔ =a .
b)

Ta có  0   0 0 0 0

180 180 40 22 118

tOz= −tOx−zOy= − − =
c)

Như vậy ta có tất cảlà 2025 tia.

Với mỗi tia trong đó, kết hợp với 2024 tia cịn lại thì sẽtạo được 2024 góc nhưng
mỗi góc sẽbịtính 2 lần, do đó sốgóc được tạo ra sẽ là 2024.2025 2049300

2 = .

Bài 5.

Nếu chỉcó tối 202 sốngun dương thì dễ dàng lấy ra được 10 sốkhơng dương
trong số1819 sốcịn lại, khi đó xét tổng của 10 số này là một sốkhơng âm, điều này vơ lí.
Vậy phải có ít nhất 203 sốnguyên dương.

Chú ý: Đềbài không rõ ràng.

ĐỀ SỐ32: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN CHƯƠNG MỸ2019
Câu 1. (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức:

5 2

2 4
1

3, 2
, 08 :

25 7
.2

9 7

 − 

 

 



−


 



= và

(

)

4
0,8 : .1, 25

1, 2.0, 5 : 0,8
1

0, 64
25
B

 

 

 

= +

−
Tính A+3B?

2. Cho 1 1 1 ... 1

3.7 7.11 11.15 2019.2023

S = + + + + . So sánh Svới 504

6068
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn:

(

)

2x−1 : 9=49 b) 3x+3x+2 =810
c) 2 2 1

3 3

x
y

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

1. Cho 2 3 2019
5 5 5 ... 5

A= + + + + . Chứng tỏrằng 4A+5là sốchính phương.

2. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì 3n+2và 5n+3là hai số nguyên tố
cùng nhau.

Câu 4. (2,0 điểm)

1. Cho phân số 2019
2020
P

x
=

− . Tìm số ngun x để P có giá trị lớn nhất. Tìm giá
trị lớn nhất đó.

2. Hãy chia số36 thành ba số a b c, , sao cho 3
4
a

b = và

4
5
b
c = .
Câu 5. (6,0 điểm)

1. Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy. Trên tia Oxlấy điểm M sao cho
1

OM = cm. Trên tia Oylấy hai điểm Nvà Psao cho ON =1cm, OP=3cm.

a) Chứng tỏrằng Nlà trung điểm của đoạn thẳng MP.

b) Trên tia đối của tia Mylấy điểm Q sao cho MQ=2cm. Tìm trung điểm
của các đoạn thẳng PQ MN NQ, , ? Giải thích vì sao?

2. Cho hai tia Ox và Oy đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường
thẳng xy vẽ các tia OA OB OC, , sao cho xOA=45 ;° xOB= °80 ;yOC= °65 .

a) Tia OAcó là tia phân giác của xOB khơng? Vì sao?

b) Vẽtiếp 2016 tia chung gốc O trong đó khơng có hai tia nào trùng nhau kể

cảcác tia đã cho. Hỏi có tất cảbao nhiêu góc được tạo thành?

Câu 6. ( 1 điểm) Lớp 6A có 45 học sinh làm bài kiểm tra mơn Tốn khơng có ai bịđiểm
dưới 2 và chỉ có 2 bạn được điểm 10. Chứng tỏrằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có
điểm kiểm tra bằng nhau. Biết điểm kiểm tra là sốtựnhiên từ0 đến 10?

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ - NĂM 2019

Câu 1.

1. Ta có:

5 2

.2
6 3, 25 .2

17
9

2 4 4 7

1, 08 : 1:

25 7 7 4

11 7 4
3

36
17

 

 − 

 

 

= = =

− 


=




(

)

4
0,8 : .1, 25

4 3 3 25
5

1, 2.0, 5 : 0,8 :

1 5 5 4 12

0, 64
25
B

 

 

 

= + = + =

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

1 25 1 25 13

3 3.

4 12 4 4 2

A+ B= + = + =

2. 1 1 1 ... 1

3.7 7.11 11.15 2019.2023
S = + + + +

4 4 4 4

4 ...

3.7 7.11 11.15 2019.2023

1 1 1 1 1 1 1 1

4 ...

3 7 7 11 11 15 2019 2023

1 1 2020

3 2023 6069
505

6069
S

S

= + + + +

= − + − + − + + −

= − =

Ta có:

504 5564 505 5564

1 ; 1

6068= −6068 6069 = −6069
Mà 5564 5564 504 505

6068>6069⇒6068<6069
Vậy S> 504

6068
Câu 2.

(

)

(

)

2x−1 : 9=49⇒ 2x−1 =411⇒2x− =1 21 hoặc 2x− = −1 21

+) 2x− =1 21⇒ =x 11

+) 2x− = − ⇒ = −1 21 x 10

Vậy x∈ −

{

10;11

}

2) 2

3x+3x+ =810

4
10.3 810

3 81

3 3

4
x
x
x

x
=
=
=
⇒ =
Vậy x=4

3) 2 2 1

3 3

x
y
− =

(

)

2 1 2

2 1 6

x

y

x y

− =

⇒ − =

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

Nê ta có bảng:

2x−1 1 3 -1 -3

y 6 2 -6 -2

x 1 2 0 -1

Vậy

( ) ( ) (

x y; =

{

1; 6 , 0; 6 ,−

) (

− −1, 2

)

}

4) 80x;56 x ⇒ ∈x ƯC(80,56)

Ta có ƯCLN(80,56)=8

Nên ƯC(80,56)= Ư(8)=

{

± ± ± ±1; 2; 4; 8

}

Vì x∈ƯC(80,56) và x≥3 nên x∈

{ }

4;8
Câu 3:

1) Ta có:

( )

2 3 4 2020

2020

2
2020 1010
5 5 5 5 ... 5

5 5 5

4 5 5 5

A

A A

A

= + + +
− = −
+ = =

Vậy 4A+5là sốchính phương.

2) Đặt: ƯCLN(3n+2,5n+3) =d

(

) (

)

(

) (

)

3 2 ; 5 3

5 3 2 3 5 3

1 1

n d n d

n n d

d d

⇒ + +

⇒ + − + 
⇒ =

 




Vậy với mọi sốtựnhiên n thì 3n+2và 5n+3là hai sốnguyên tốcùng nhau.
Câu 4:

1. ĐK: x≠2020

*Nếu x<2020thì x−2020< ⇒ <0 P 0

*Nếu x>2020thì x−2020> ⇒ >0 P 0

Vì x là số nguyên nên x−2020 1≥

Do đó 2019 2019
2020

P
x

= ≤

−

Xảy ra P=2019 khi x−2020= ⇒ =1 x 2021

Vậy với x=2021 thì giá trị lớn nhất của P=2019.

2. Vì chia số36 thành ba số a b c, , nên a+ + =b c 36 (1)

Ta có:

3 3

4 4

a

a b
b = ⇒ =

4 4

5 5

b

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

Thay vào (1) ta có 3 5 36 3 36 12
4b b+ +4b= ⇒ b= ⇒ =b
9; 15

a c

⇒ = =

Vậy a=9; b 12;= c=15
Câu 5:

1. Ta có hình vẽ:

a) Do ON =1cm, OP=3cm nên ON <OPsuy ra N nằm giữa hai điểm O

và P.
Ta có:

1 3 2

ON NP OP

NP NP

+ =

+ = ⇒ =

Do OM ON, là hai tia đối nhau nên O nằm giữa hai điểm M và N

Ta có: MN =ON+OM = + =1 1 2

Vì MN =NP=MP: 2 nên Nlà trung điểm của đoạn thẳng MP.

b) Do Q thuộc tia Mx nên Q thuộc tia Ox, mà P thuộc tia Oy nên điểm O

nằm giữa hai điểm P và Q.

Do tia MQ và tia MOlà 2 tia đối nhau nên điểm M nằm giữa hai điểm O

và Q. Ta có:

1 2 3

OQ=OM +MQ= + = (cm).
3

OP OQ

⇒ = = cm

Lại có điểm Onằm giữa hai điểm P và Q
Vậy điểmO là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Tương tự:

+ Điểm O nằm giữa hai điểm M và N; OM =ON =1cm, nên điểmO là

trung điểm của đoạn thẳng MN.

+ Điểm M nằm giữa hai điểm Q và N; MN =NQ=2cm, nên điểmM là
trung điểm của đoạn thẳng QN.

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

a) Do xOA=45 ;° xOB= ° ⇒80  xOA<xOB

⇒Tia OA nằm giữa hai tia Ox và OB. Ta có:

  

 45 80  35

BOA AOx BOx

BOA BOA

+ =

+ ° = ° ⇒ = °

Mà xOA= °45

Suy ra xOA ≠ AOB. Vậy tia OA không là tia phân giác của xOB.
b) Do xOC và yOC là hai góc kềbù nên xOC + yOC=180°

 180  180 65 115

xOC yOC

⇒ = ° − = ° − ° = °

Ta có: xOA=45 ;° xOB= °80 ;xOC=115°

⇒Tia OB nằm giữa hai tia Ox và OC. Ta có:

  

 80 115

115o 80o 35o
BOC BOx COx

BOC
BOC

+ =

+ ° = °

⇒ ∠ = − =

Do tia OB nằm giữa hai tia OA và OCmà BOA =BOC= °35 nên tia

OB là tia phân giác của AOC.

c) Có tất cả 2021 tia phân biệt chung gốc O.

Từ1 tia ban đầu tạo với 2020 tia còn lại được tất cả 2020 góc.

Mà có tất cả 2020tia như vậy nên có 2020.2021góc. Tuy nhiên mỗi góc
đã được tính 2 lần nên sốgóc tạo thành là: 2020.2021: 2=2041210(góc).
Câu 6:

Số học sinh lớp 6A đạt điểm kiểm tra từ2 đến 9 là: 45 2− =43( học sinh)

Ta có: 43=8.5 3+

Khi phân chia 43 học sinh vào 8 loại điểm kiểm tra từ2 đến 9 thì theo Ngun lý
Dirichlet ln tồn tại ít nhất 5 1+ =6học sinh có điểm kiểm tra giống nhau.

ĐỀ SỐ 33: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN VĨNH YÊN2019
Câu 1: (2,0 điểm)

1. Thực hiện phép tính: 100 99 99 2

2 ... 2

2 1

A

=

−

− − −

2. Cho 34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49

A= + + + . và 39 65 52 26

7.16 16.31 31.43 43.49

B= + + +

Tính A

B.

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

1. Tìm x∈ biết: 1 1 1 ... 1 101
2.5 5.8 8.11+ + + +x x( +3)=618

2. Tìm các cặp sốnguyên dương ( ; )x y biết :

3 xy x y

+ + =

13.

3. Tìm các số nguyên tố a b c, , biết:2a+3b+6c=78

Câu 3: (1,5 điểm)

1. Tìm hai sốtựnhiên a và b thõa mãn điều kiện:a+2b=51 và

[ ]

a b; +

( )

a b; =93.
2. Khi phân tích ra thừa sốnguyên tố,

1000!

chứa thừa sốnguyên tố

7

với sốmũ

bằng bao nhiêu?
Câu 4: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng: tích của 4 sốtựnhiên liên tiếp cộng 1 là một sốchính phương.
Câu 5: (2,0 điểm)

Cho xOy=60 .° Trên các tia Ox; Oy lần lượt lấy các điểmA B, (điểm A B, khác
điểm

O

).Trên đoạn thẳng AB lấy điểm

C

sao cho AOC= °30 .

a) Tính sốđo BOC.

b) Từ

O

vẽtia

Oz

sao cho COz = °90 .. Tính sốđo AOz.
Câu 6: (1,0 điểm)

Cho 12 12 12 .... 12 ... 1 2

5 6 7 2004

A

n

= + + + + + + . Chứng minh rằng: 1 1
65 < <A 4.
LỜI GIẢI ĐỀGIAO LƯU HSG HUYỆN VĨNH YÊN

NĂM HỌC 2018-2019 
Câu 1: 1. Ta có

A

=

2

100

−

(

2 +

... 2

+ + +

2 1

)

99 98 2 100 99 3 2

2 ... 2

2 1

2 ... 2

2 B

=

+

+ + + ⇒

B

=

+

+ + +

(

100 99 3 2

) (

99 98 2

)

2B B 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 2 2 1

⇒ − = + + + + + − + + + + +

⇒ 100

2 1

B= −

Vậy 100 100

(

100

)

100 100

2 2 2 1 2 2 1 1

A= − =B − − = − + =

2. Ta có

34

51

85

68 7.13 13.22 22.37 37.49

A

=

+

17.2 17.3 17.5 17.4 17. 3.2 3.3 3.5 3.4
7.13 13.22 22.37 37.49 3 7.13 13.22 22.37 37.49

A  

⇒ = + + + =  + + + 

 

17. 13 7 22 9 37 22 49 37
3 7.13 13.22 22.37 37.49

− − − −

 

=  + + + 

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

17. 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 13 13 22 22 37 37 49

 

=  − + − + − + − 

 

17 1 1
.

3 7 49

 

=  − 

 

Lại có: 13.3 13.5 13.4 13.2 13. 3.3 3.5 3.4 3.2
7.16 16.31 31.43 43.49 3 7.16 16.31 31.43 43.49

B= + + + =  + + + 

 

13. 1 1 1 1 1 1 1 1 13. 1 1
3 7 16 16 31 31 43 43 49 3 7 49

   

=  − + − + − + − =  − 

   

Từđó suy ra A
B

17 1 1
.

17
3 7 49

13 1 1 13

3 7 49

 − 
 

 
= =
 − 
 
 
.

Vậy 17
13
A

B = .

Câu 2.

1. Ta có: 1 1 1 ... 1 101
2.5+5.8+8.11+ + x x( +3) = 618

1 3 3 3 3 101

. ...

3 2.5 5.8 8.11 x x( 3) 618

 

⇒  + + + + =

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 101

. ....

3 2 5 5 8 8 11 x x 3 618

 

⇒  − + − + − + + − =
+

 

1 1 101 1
:
2 x 3 618 3

 

⇒ − =
+

 

1 1 101 1 1 1 101 1 1 101

2 x 3 618 3 2 x 3 206 x 3 2 206

 

⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −

+ + +

 

1 103 101 1 1

3 103 100

3 206 3 103 x x

x x

−

⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =

+ +

Vậy x=100.

2. Từ 3xy+ + =x y 13.

1 (3

1)

.(3

1)

13.

3 x y

y

⇒

+ +

+ − =

1 1

(3 1).( ) 13 .

3 3

y x

⇒ + + = +

( )

(3y 1).(3x 1) 40. *

⇒ + + =

x 0 (loại) 1

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Vì

x y

;

ngun dương do đó 3y+1và 3x+1cũng là hai số nguyên dương nên từ
(*)suy ra3y+1;3x+1là ước của 40. Mặt khác 3x+1 là số chia 3 dư 1 nên ta có
bảng sau:

3x+1 1 4

3y+1 40

10

Vậy cặp sốnguyên dương ( ; )x y thõa mãn bài tốn là ( ; )x y =(1;3)
3.Tìm các số nguyên tố a b c, , biết:2a+3b+6c=78 *

( )

Vì 2a2;6 2;78 2c  nên từ

( )

* suy ra 3 2b . Mà b là sốnguyên tốsuy ra b=2.
Lại có 3 3;6 3;78 3b c  nên từ

( )

* suy ra 2a2. Mà a là sốnguyên tốsuy ra

a

=

3

.
Thay

a

=

3

;b=2 vào (*) ta có

c

=

11

Vậy các sốnguyên tố ( ; ; )a b c thõa mãn bài toán là ( ; ; )a b c =(3; 2;11)
Câu 3. 1.Gọi ( ; )a b =d ⇒ =a md b; =ndvới ( ;m n∈N*); ( ; )m n =1. Khi đó

[ ]

a b; =d m n. .
Từ a+2b=51 ⇒md+2nd =51⇒(m+2 )n d =51 (1).

Từ

[ ]

a b; +

( )

a b; =93⇒dmn+ =d 93⇒d mn( + =1) 93 (2)

Từ (1)và (2)suy ra d∈UC(51;93) mà ƯCLN (51;93)=3 ⇒ ∈d

{

1;3}
+) Với d =1Thay vào (1)và (2)ta có: 2 51

92
m n
nm

+ =



 =



Vì m n; ∈N* nên từ m+2n=51suy ra m lẻ và m<51

Kết hợp với nm=92suy ra m=23khi đó n=4( khơng thõa mãn (1))

+)Với d =3Thay vào (1)và (2)ta có: ( 2 ).3 51 2 17

3 93 31

m n m n

nm mn

+ = + =

 

⇔

 =  =

 

Vì m n; ∈N* nên từ m+2n=51suy ra m lẻ và m<17

Kết hợp với nm=31suy ra m=1khi đó n=31( khơng thõa mãn m+2n=17)
Vậy không tồn tại hai sốtựnhiên a và b thõa mãn điều kiện:a+2b=51 và

[ ]

a b; +

( )

a b; =93.

2.Ta có :

1000! 1.2.3.4.5...999.1000.

=

Trong dãy số1; 2;3; 4;5;...;1000 :

- Các bội của

7

là 7;14; 21;35;...;994; gồm :994 7 1 142
7

− + = (số).

- Các bội của 2

7 là 49;98;....;980.; gồm : 980 49 1 20
49

−

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

- Các bội của 3

7 là 343;686;; gồm : 2 số.Khơng có sốlà bội của 74
(vì 4

7 =2401 1000> ). Do đó khi phân tích ra thừa sốnguyên tố,

1000!

chứa thừa số

nguyên tố

7

với sốmũ bằng :

142.1 20.2 2.3 188

+

=

Câu 4.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n n, 1,n2,n3



n 



. Theo đề bài ta có:







1 .( 3







An n  n  n   n n n  n  



n2 3n n



2 3n 2



1

     (*)

Đặt n2 3n t t







thì

  

* t t2



 1 t2 2t  1



t1







2 3n 1

A n  

  .

Vì n  nên suy ra:



n2 3n 1



.

Vậy n n



1



n2



n 3



1 là số chính phương.

Câu 5. a) Vì điểm

C

thuộc đoạn thẳng ABnên tia

OC

nằm giữa hai tia

OA

và

OB

  

AOC+BOC = AOB

hay30° +BOC =60° ⇒BOC= °30

b) Từ

O

vẽ tia

Oz

sao cho COz = °90 .. Tính

sốđo AOz.

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1:tia

Oz

và tiaOAnằm trên nửa mặt phẳng
bờ chứa tia

OC

Khi đó trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia

OC

có

 (30 90 )

COA<COz ° < ° nên tia OA nằm giữa
hai tia

OC

và

Oz

,do đó:.

  
COA+AOz =COz

   90 30 60 .

AOz COz COA

⇒ = − = ° − ° = °

TH1:tia

Oz

và tiaOAnằm trên hai nửa mặt phẳngđối nhau bờ chứa tia

OC

.

Khi đó,tia

OC

nằm giữa hai tia

OA

và

Oz

nên ta có:  AOz =COA COz+ = ° + ° =90 30 120 .°

B

30)0

z
C

A
y

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

Câu 6.

Ta có : 12 12 12 .... 12 ... 1 2 1 1 1 ... 1

5 6 7 2004 4.5 5.6 6.7 2003.2004

A

n

= + + + + + + < + + + +

1 1 1 1 1 1 1

...

4 5 5 6 6 2003 2004

A

⇒ < − + − + − + −

1 1 501 1 500 500 1

4 2004 2004 2004 2000 4

A −

⇒ < − = = < = (1)

Mặt khác , 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
5.6 6.7 7.8 2004.2005 5 6 6 7 7 2004 2005

A> + + + + = − + − + − + −

1 1 400 80 7 7 1
5 2005 2005 401 401 455 65

A

⇒ > − = = > > = (2)

Từ (1)và (2) suy ra 1 1
65< <A 4;

ĐỀ SỐ 34: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ - NĂM 2019
Câu 1. (6,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lý:
1. A



2019 174 .2018 2019(2018 174)



 
2. 40. 171717 1717171 1717171

303030 424242 565656

B     


3. 1 1 1 1 ... 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100

C      

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Chứng minh nếu ab 2cd với a, b, c, d là các chữ số khác 0 thì abcd chia hết

cho 67.

B

30)0

z

C

A
y

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

2. Tìm sốtựnhiên x biết:

chữ số

1 2 15

15 0

2 .2 .2x x x 100...00 : 5



Câu 3. (4,0 điểm)

1. Chứng minh rằng phân số 8 1
36 4

n
n



 tối giản với mọi sốtựnhiên n.

2. Tìm sốchính phương có 4 chữ số mà nó là lập phương của một sốtự nhiên.
Câu 4. (5,0 điểm)

1. Cho đường thẳng xy và điểm O thuộc đường thẳng đó tìm cùng một nửa mặt
phẳng bở xy kẻ các tia Oz Ot Om; ; sao cho xOt 60 ;xOz 120 ;tOm 90
.Chứng minh Omlà tia phân giác của zOy.

2. Cho đoạn thẳng AB 6cm, C là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

AC  AB. Gọi D E; lần lượt là trung điểm của CAvà CB, F là trung điểm của

AD. Tính EF .

3. Cho đường thẳng xy, O là một điểm trên đường thẳng đó.Trên nửa mặt

phẳng bờ xy, vẽ10 tia chung gốc O đôi một phân biệt, không tia nào trùng với

;

Ox Oy. Hỏi có bao nhiêu góc có số đo nhỏ hơn 180 tạo thành từ 10 tia đó và

;

Ox Oy?

Câu 5. (1,0 điểm)

Chứng minh rằng từ 52 sốngun bất kì ln tồn tại 2 sốmà tổng hoặc hiệu của
chúng chia hết cho 100.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ- NĂM 2019
Bài 1.





1. 2019 174 .2018 2019(2018 174)
2019.2018 174.2018 2019.2018 2019.174

2019.174 174.2018

174.(2019 2018)
174.1

174

A   

   

 




</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

171717 1717171 1717171
40.

303030 424242 565656
17.10101 17.10101 17.10101
40.

30.10101 42.10101 56.10101
17 17 17

40.

30 42 56
1 1 1
40.17

30 42 56
1 1
40.17
5.6 6.
B
B
B
B
B
 
 
    
 
 
 
    
 
 
 
    
 
 
 
    

 

  1

7 7.8

1 1 1 1 1 1
40.17

5 6 6 7 7 8
1 1
40.17.
5 8
3
40.17.
40
51
B
B
B
B
 
  
 
 
 
 
 
       
 

 
 
   
 



3

1 1 1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100

C      

2 2 2 2 2

2 ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 ...

1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6 98.99 99.100
1 1
2

2 99.100
4899
19800
C
C
C
C
     
          
 

Bài 2.

1.Ta có ab 2cd

và abcd ab.100cd 2 .100cd cd cd.201cd.67.3

Vậy abcd chia hết cho 67

2. Ta có

chữ số

1 2 15

15 0

2 .2 .2x x x 100...00 : 5

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

2 15 15

3 3 15 15 15

3 15 3

3 12

2 .2 .2.2 .2 10 : 5
2 .2 2 .5 : 5
2 2 : 2

2 2

3 12
12 : 3
4

x x x
x
x
x

x
x
x






 

 
 

Bài 3.

1. Gọi d (36n 4;8n 1).Ta có 8n1 ;36d n 4d

Vì 8n1d 9 8



n 1



d 72n 9d

Vì 36n 4d 2 36



n4



d 72n8d



72n 9

 

72n 8



d

    

72n 72n 9 8 d

     1d  d 1

2. Gọi sốchính phương có 4 chữ số là abcd

Vì abcdlà số có 4 chữ số nên1000abc 9999

Vì abcdlà sốchính phương nên ta có abcd x2,(x N )

Vì abcdlà lập phương của một sốtựnhiên nên ta cóabcd y3(y N)

Và 1000abcd 9999

1000 9999

10 21

y
y

  

Lại có y3 x2 nên y là số chính phương

 y=16

 y3 163  4096

Vậy số phải tìm là 4096

Bài 4.(5điểm)

1)Trên nửa mặt phẳng bở xy có

 

xOt xOz (do 60 120)

=>Tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oz

  




60 120

xOt tOz xOz

tOz
tOz

 

   
 

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

 

zOt tOm (vì60 120)

=> Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Om

  




60 90
30

zOt mOz tOm
mOz

mOz

 

   

 

+Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có :mOt tOy (vì 90 120)
=> Tia Om nằm giữa hai tia Ot và Oy

  




90 120

mOt mOy tOy

mOy
mOy

  

   

 

Do đó ta cómOy mOz  30

Lại có tia Om nằm giữa 2 tia Oz và Oy

Nên tia Om là tia phân giác của góc zOy.
2.

Vì C AB và 2

AC  AB nên 2.6 4

AC   cm
và AC+CB=AB=> CB=AB-AC=6-4=2cm

Vì D là trung điểm của CA => AD=DC= 4 2
2 2

AC

  (cm)
Vì E là trung điểm của CB => CE=BE= 2 1

2 2

BC   (cm)

Vì F là trung điểm của AD => AF=DF= 2 1
2 2

AD

  (cm)
Do đó ta có EF=FD+DC+CE=1+2+1=4(cm)

3).

Vì O là điểm trên trên đường thẳng xy.Vẽ10 tia chung gốc O đôi một phân biệt, không tia
nào trùng với Ox, Oy nên ta có 12 tia phân biệt.

Cứ1 tia bất kì tạo với 11 tia cịn lại tạo thành 11 góc chung gốc O
Sốgóc tạo thành từ12 tia là: 12.11 (góc)

Do mỗi góc được tính 2 lần nên sốgóc phân biệt là 12.11:2=66 (góc)
Vậy có 66 góc tạo thành có sốđo nhỏhơn 180từ10 tia đó và Ox, Oy

E
D

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Bài 5.

Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100,ta có thể có các số dư từ 0,1,2,3,…,99.Ta phân các sốdư
thành các nhóm sau:

    

0 ; 1,99 ;...; 49,51 , 50

  

. Ta có tất cả51 nhóm và khi chia 52 số cho
100 ta có 52 số dư. Theo ngun lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có 2
trường hợp:

Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có 2 sốdư tương ứng đó sẽ chia
hết cho 100.

Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau,suy ra tổng của hai sốdư có hai sốdư tương ứng đó
sẽchia hết cho 100

Ta suy ra điều phải chứng minh.

ĐỀ SỐ 35: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LẬP THẠCH - NĂM 2019
Câu 1. Thực hiện phép tính:

2 2

84 35
13 13
  + 
   
   

b) 10101 5 5 4
111111 222222 3.7.11.13.37

 + − 

 

 

Câu 2. Tìm sốnguyên x, biết rằng:

(

)

720 : 41 − 2x−5 =2 .5
b) x− + =2 7 12

Câu 3. Tìm sốtựnhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có sốdư theo thứtự là 3, 4, 5.
Câu 4. Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần thưởng như
nhau. Hỏi có thểchia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng, mỗi phần thưởng có
bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?

Câu 5. Cho 1 1 1 ... 1

101 102 103 200

A= + + + +
Chứng minh rằng: 7

12
A>

Câu 6. Cho điểm C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB. Biết 
,

CA=a CB=b. Gọi I là trung điểm của AB. Tính độdài ICtheo a và b.

Câu 7. Chứng minh rằng: nếu n∈Nvà ÖCLN n( , 6) 1= thì (n−1)(n+1) 24

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
Câu 1: a)

2 2

84 35 7056 1225 7056 1225
49

13 13 169 169 169

  +  = + = =

   

   

b) 10101 5 5 4
111111 222222 3.7.11.13.37

 + − 

 

 

5.10101 5.10101 4.10101
111111 222222 3.7.11.13.37

= + −

5 5 4 1 5 2 5 7

11 22 11 11 22 22 22 22

= + − = + = + =

Câu 2: a)

(

)

(

)

720 : 41 − 2x−5 =2 .5⇒720 : 36 2− x =40
36 2x 18 2x 18 x 9

⇒ − = ⇒ = ⇒ =
Vậy x=9

b) x− + =2 7 12⇒ − =x 2 12 7− ⇒ − =x 2 5
2 5

x− = hoặc x− = −2 5
7

x

⇒ = hoặc x= −3

Vậy x=7 hoặc x= −3

Câu 3: Gọi a là sốtựnhiên cần tìm

5 3 ( ) 2 10 6

a= m+ m∈N ⇒ a= m+ chia 5 dư 1

7 4 ( ) 2 14 8

a= n+ n∈N ⇒ a= n+ chia 7 dư 1

9 5 ( ) 2 18 10

a= p+ p∈N ⇒ a= p+ chia 9 dư 1

Do đó: 2a− ∈1 BC(5, 7, 9).Để a nhỏ nhất thì 2a−1là BCNN(5, 7, 9)=315

2a 1 315 2a 316 a 158

⇒ − = ⇔ = ⇔ =

Vậy sốtựnhiên nhỏ nhất chia cho 5 dư 3, cho 7 dư 4, cho 9 dư 5 là 158
Câu 4: Goi x là số phần thưởng nhiều nhất có thểchia *

(x∈ )
Theo đề: 200 , 240 , 320x x x và x nhiều nhất

(200, 240, 320) 40
x ƯCLN= ⇒ =x

Vậy có thểchia nhiều nhất thành 40 phần thưởng.
Mỗi phần thưởng có sốbút bi là: 200 : 40=5(cây)

Mỗi phần thưởng có sốbút chì là: 240 : 40=6(cây)

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Câu 5: 1 1 1 ... 1

101 102 103 200

A= + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1

... ...
150 150 150 150 200 200 200 200

   

> + + + +  + + + + + 

    (có 50 số hạng

1
150 và

1
200)

50 50 1 1 7

150 200 3 4 12

= + = + =

Vậy 7
12
A>
Câu 6.

TH1: Cthuộc tia đối của tia AB

Do C thuộc tia đối tia AB nên tia AB và AC đối nhau
Nên A nằm giữa C và B

CA CB+ =CB

AB=BC−AC = −b a

I là trung điểm AB

2 2

AB b a
AI = = −

Do tia AC và tia AB đối nhau
I là trung điểm AB

A nằm giữa C và I

2 2

b a a b
IC=CA+AI = +a − = +
TH2:

Cthuộc tia đối của tia BA

Do C thuộc tia đối tia BA nên tia BA và BC đối nhau
 B nằm giữa A và C

CB+BA=CA

AB= AC−BC = −a b

I là trung điểm AB

2 2

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

Ta có tia BA và tia BC đối nhau

I là trung điểm AB suy ra tia BI và BA trùng nhau
Suy ra BI và tia BC đối nhau

Suy ra B nằm giữa C và I

2 2

a b a b
IC=BI+BC= − + =b +
Vậy

2
a b
IC = +
Câu 7.

Vì (n−1), (n+ ⇒ =1) n 6k+1 hoặc n=6k+5 k∈

*Với n=6k+ ⇒ −1 (n 1)(n+ =1) 6 (6k k+ =2) 12 (3k k+1)
Nếu kchẵn ⇒12k24

Nếu klẻ ⇒(3k+1) 2 ⇒12 (3k k+1) 24

*Với n=6k+ ⇒5 (n−1)(n+ =1) (6k+4)(6k+ =6) 2(3k+2).6(k+ =1) 12(3k+2)(k+1)
Nếu kchẵn ⇒(3k+2) 2 ⇒12(k+1)(3k+2) : 24

Nếu klẻ ⇒(k+1) 2 ⇒12 (k k+1)(3k+2) 24
Vậy (n−1)(n+1) 24

Câu 8.

Gọi abclà sốtựnhiên có ba chữ số cần tìm

Theo đềta có: abc cba− =100a+10b c+ −100c−10b a−
2

99a 99c 9.11(a c) 3 .11(a c)

= − = − = −

Để abc cba− là sốchính phương thì a c− =11 (khơng tồn tại) hoặc
0

a− = ⇒ =c a b

Vậy số cần tìm có dạng abc với a= ∈c

{

1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9

}

và

{

0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9

}

b∈

ĐỀ SỐ 36: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGỌC LẶC - NĂM 2019
Câu 1: (4,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức 1 1 12 13 14 ... 1199 1200

3 3 3 3 3 3

A= + − + − + + − .

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

Biết 4 6 9 7
7.31 7.11 10.41 10.57

A= + + + và 7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B= + + + .
Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên x biết:

(

)

2018 2019
0
1

3 2 .7 2.7 .

2019
x − =

b) Tìm các sốtựnhiên x, y biết: 2xy−5x+2y=148
Câu 3: (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng bình phương của một sốnguyên tốkhác 2 và 3 chia cho 12 dư 1
 b) Chứng minh rằng 1 1 1 .... 1 1

101 102 103 130 4

S = + + + + >
Câu4 :(6,0 điểm)

Cho góc bẹt xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy điểm M và B
sao cho OM=1cm, OB = 4cm.

a) Chứng tỏđiểm M nằm giữa hai điểm O và B; điểm M là trung điểm của AB.
b) TừO kẻtia Ot và Oz sao cho tOy =130 ;° zOy = °30 .Tính sốđo tOz?

c) Cần vẽthêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ
trong hình đểtạo thành tất cả 105 góc.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c, d ∈N. Biết tích ab là liền sau của tích cd và a+ = +b c d. Chứng minh a=b

HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1:

a) Tính giá trị của biểu thức 2 3 4 199 200

1 1 1 1 1 1

1 ...

3 3 3 3 3 3

A= + − + − + −

Ta có 2 3 198 199

1 1 1 1 1

3 3 1 ...

3 3 3 3 3

A= + − + − + −

2 3 198 199 2 3 4 199 200 200

200 200

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 1 ... 1 ... 5

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1

4 5 5 : 4

3 3

A A

   

+ = + − + − + −  + + − + − + − = −

   

 

⇒ = − ⇒ = − 

 

b) Tính tỉ số A
B

Biết 4 6 9 7

7.31 7.11 10.41 10.57

A= + + + và 7 5 3 10 11
19.31 19.43 23.43 10.41 23.57

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57
A= + + + = − + − + − + − = −

7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57
B = + + + = − + − + − + − = −

5 2 2

A B A
B

⇒ = ⇒ =

Câu 2: Tìm số nguyên x biết :

a)

(

)

2018 2019

(

)

2018 2019 4 2019 2018
0

3 2 .7 2.7 . 3 2 .7 2.7 3 2 2.7 : 7

2019

x − = ⇒ x − = ⇒ x − =

3x 16 14 3 x 14 16 3x 30 x 10 x 10

⇒ − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ( thỏa mãn)

b) Tìm các sốtựnhiên x, y biết

(

)

(

) (

)

(

)(

)

2 5 2 148 2 2 5 5 148 5 2 1 5 1 143

1 2 5 143

xy x y xy y x y x x

x y

− + = ⇒ + − − = − ⇒ + − + =

⇒ + − =

Do x, y là các sốtựnhiên nên x+1 và 2y−5 là ước của 143
Do 143= 1.143=11.13 nên ta có bảng sau

x+1 1 143 11 13

2y-5 143 1 13 11

x 0 142 10 12

y 74 3 9 8

Câu 3:

a) Chứng minh rằng bình phương của một sốnguyên tốkhác 2 và 3 chia cho 12 dư 1
Gọi p là sốnguyên tốkhác 2 và 3 ta chứng minh p có dạng 6k+1hoặc 6k+5 (k∈N*)
Vì p là sốnguyên tốkhác 2 và 3 khi chia p cho 5 sốdư có thể là 1;2;3;4 hoặc 5

* Nếu p=6k+ =2 2(3k+1) ( là hợp số)

* Nếu p=6k+ =4 2(3k+2) ( là hợp số)
* Nếu p=6k+ =3 3(2k+1) ( là hợp số)
Vậy p=6k+1hoặc p=6k+5

TH1: p=6k+1 thì

(

) (

)(

)

2 2

(

)

6 1 6 1 6 1 36 6 6 1 36 12 1 12 3 1

p= k+ = k+ k+ = k + +k k+ = k + k+ = k +k + chia 12 dư 1
TH2: p=6k+5 thì

(

) (

)(

)

2 2

(

)

6 5 6 5 6 5 36 30 30 25 36 60 25 12 3 5 2 1

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

b) Chứng minh rằng 1 1 1 .... 1 1

101 102 103 130 4

S = + + + + >

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

.... ... ... ...

101 102 103 130 101 102 110 111 112 120 121 122 130

S = + + + + = + + +   + + + +   + + + + 

     

Ta có 1 1 ... 1 1 1 ... 1 10 1
101 102+ + +110>110+110+ +110=110=11
1 1 ... 1 1 1 ... 1 10 1

111 112+ + +120>120+120+ +120=120=12
1 1 ... 1 1 1 ... 1 10 1

121 122+ + +130>130+130+ +130=130 =13
1 1 1 431 429 1

11 12 13 1716 1716 4
S> + + = > =
Câu 4:

Trên tia Oy ta có OM<OB.( vì 1cm<3cm.) nên điểm M nằm giữa hai điểm nằm giữa hai
điểm O và B

Ta có M nằm giữa hai điểm O và B nên tia MO và tia MB là hai tia đối nhau (1)

TiaOx và tia Oy là hai tia đối nhau mà A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm giữa
hai điểm A và M nên tia MO và Tia MA là hai tia trùng nhau (2)

Từ (1) và (2) ⇒Tia MA và tia MB đối nhau (3)

M nằm giữa hai điểm O, B nên OM MB+ =OB⇒ +1 MB= ⇒4 MB= − =4 1 3(cm)

Do O nằm giữa hai điểm A, M nên MO OA+ =MA⇒ + =1 2 MA⇒MA=3(cm)
Ta có MA=MB=3(cm) (4)

Từ (3) và (4) ⇒M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) TH1: Tia Oz và tia Ot cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy

B
M

A O y

130°
t

30°

B
M

A O y

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy ta có  zOy<tOy(vì 300 <130 )0 nên tia Oz nằm
giữa hai tia Oy và Ot ta có :    0  0  0 0 0

30 130 130 30 100

zOy tOz+ =tOy⇒ +tOz= ⇒tOz= − =
TH2: Tia Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oy

Do tia Oz và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oy nên tia Oy
nằm giữa hai tia Oz và Ot nên ta có    0 0   0

30 130 160

zOy tOy+ =tOz⇒ + =tOz⇒tOz=

c) Giả sửta cần vẽthêm n tia phân biệt gốc O ( không trùng với các tia đã vẽ) thì tổng số
tia gốc O là : n+4 tia

Trong n+4 tia này ta tách ra một tia, tia này tạo với n+3 tia còn lại n+3góc. Ta cứ làm
như vậy với n+4 tia thì tổng sốgóc tạo thành là

(

n+4

)(

n+3

)

(góc)

Tuy nhiên mỗi góc tính hai lần nên tổng sốgóc thực tế là

(

n+4

)(

n+3 : 2

)

(góc)
Theo bài tổng sốgóc tạo thành là 105 góc ta có

(

n+4

)(

n+3 : 2 105

)

= ⇒

(

n+4

)(

n+ =3

)

210⇒

(

n+4

)(

n+ =3

)

15.14⇒ + =n 4 15⇒ =n 11( thỏa
mãn)

Vậy cần vẽthêm 11 tia

Câu 5: Cho a, b, c, d N. Biết tích ab là liền sau của tích cd và a+ = +b c d. Chứng minh

a=b

Theo bài ab cd 1;a b c d a c d b

a d c b
− = −


= + + = + ⇒ 

− = −


130°
30°

B
M

A O y

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Ta có

(

) (

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 1

a b c d a b c d a ab b c cd d a b c d

a b c d a c a c b d b d

a c a c d b b d a c a c a c b d a c a c b d

a c a d a c a d

+ = + ⇒ + = + ⇒ + + = + + ⇒ + = + −
⇒ + − − = − ⇒ − + + − + = −
⇒ − + − − + = − ⇒ − + − − + = − ⇒ − + − − = −
⇒ − − = − ⇒ − − = −
1
2
1
a c
d c

a d
− =

⇒ − = − ⇒ − =

 hoặc

1
2
1
a c
d c
a d
− = −

⇒ − = −
 − =

TH1: d− =c 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 4 8 4 4 2 1

2 1 2 1 2 1

4 2 0 0

a b c a b c c a b c c

ab c c ab c c ab c c

a b ab a ab b a b a b



+ = + + = + +
  + = + + 
⇒ ⇒ ⇒
= + +  = + + = + +
  
⇒ + = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ =

TH2: d− = −c 2 làm tương tự a=b

ĐỀ SỐ 37: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019
Câu 1. (5,5 điểm)

1. Tính: a)

6
1
3
25
,
37
12
1
01
,
0
:
415
,
0
200
112
+
−






+
=
A b)
2019
1

...
4
1
3
1
2
1
2018
1
...
3
2016
2
2017
1
2018
+
+
+
+
+
+
+
+
=
B .

2. Tìm x, biết:x+(x+1)+(x+2)+...+(x+30)=1240
Câu 2. (4,5 điểm)

a) Tìm các số có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 8 dư 7 chia cho 31 thì dư
28.

b) Chứng tỏrằng

3
5
2
+
+
n
n

, (n∈) là phân sốtối giản.

c) Tìm số nguyên x, y biết

12
6
6
2
=
= y
x .

Câu 3. (4,0 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể. Vòi 1 chảy trong 10 giờthì đầy bể, vịi 2
chảy trong 6 giờthì đầy bể.

a) Hỏi cả2 vịi cùng chảy thì trong bao lâu sẽđầy bể?

b) Nếu có vịi thứ 3 tháo nước ra trong vòng 15 giờ sẽ cạn hết bểđầy nước, thì
khi mở cả3 vịi

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Câu 4. (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽcác tia Oz
và Ot sao cho xOz= °70 ; yOt= °55 .

a, Chứng tỏtia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot?
b, Chứng tỏtia Ot là tia phân giác của yOz?
c, Vẽtia phân giác On của góc

xOz. Tính nOt ?
Câu 5. (2,0 điểm) Chứng tỏ:

a) 3
32
1
...
4
1
3
1
2
1

1+ + + + + >
b) 27 63 28

2
5 < <

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019
Câu 1.

1. a) Ta có:
2

11 121 83 1 204 100
0, 415 : 0, 01 : .

200 200 200 100 200 1 102 102
3
1 1 1 149 19 1 447 38 408 4

37, 25 3

12 6 12 4 6 12 12 12 12

A
   
+ +
   
   
= = = = = = −
− −
− + − + − +

Vậy A=−3

b)
2019
1
...
4
1
3
1
2
1
1
2018
1
...
1
3
2016
1
2
2017
1
2019
1
...
4
1
3
1
2

1
2018
1
...
3
2016
2
2017
1
2018
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+

=
B
=
2019
1
...
4
1
3
1
2
1
2018
2019
...
3
2019
2
2019
2019
2019
2019
1
...
4
1
3
1
2
1

2018
2019
...
3
2019
2
2019
1
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=

1 1 1 1

2019. ...

2 3 4 2019

2019

1 1 1 1

...

2 3 4 2019

 + + + + 

 

  =

+ + + +
Vậy B = 2019.

2. Ta có: x+(x+1)+(x+2)+...+(x+30)=1240

1240
2
30
).
1
30
(
.

30 + + =
+ x

x

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

Vậy x=25
Câu 2.

a) Gọi sốtựnhiên có 3 chữ số cần tìm là abc (1≤a≤9;0≤b,c≤9)

Theo bài ta có: abc:8 dư 7 ⇒(abc+1)8⇒(abc+1)+648⇒abc+658 (1)
31

abc dư 28 ⇒(abc+3)31⇒(abc+3)+6231⇒abc+6531 (2)

Từ (1) và (2) ⇒(abc+65)∈BC(8,31) vì ƯCLN(8, 31)=1 nên ⇒(abc+65)248
*

(abc 65 248. (k k )

⇒ + = ∈

+ Với k = 1⇒abc=183
+ Với k = 2⇒abc=431
+ Với k = 3⇒abc=679
+ Với k = 4⇒abc=927

+ Với k = 5⇒abc=1175 (loại vì abc<1000)

Vậy các số cần tìm là: 183; 431; 679; 927.

b) Gọi ước chung lớn nhất của (2n+5, 3)n+ là d:
d

n 5
2 + (1)

d
n
d
n
d

n+3 ⇒2.( +3) ⇒2 +6 (2)

Từ(1) và ( 2) ta có: (2n+ −6) (2n+5)d⇒1d⇒ ∈d ¦ (1)⇒ =d 1

⇒ ¦ CLN(2n+5,n+ =3) 1

Vậy ( )
3

5
2

N
n

n

∈
+

+ là phân sốtối giản.

c) Theo bài ta có: 2.12 6. 4
12

6
2

=
⇒
=
⇒

= x x

x

3
6

.
6
12

.
12

6 = ⇒ y = ⇒ y =

y

Vậy (x, y) cần tìm là (4, 3)
Câu 3.

a) Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được

10
1

phần của bể.

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được

6
1

phần của bể.

Trong 1 giờ chảy cả2 vòi chảy được số phần của bể là:

15
4

6
1
10

1
=

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

4
3
3
4
15
15

4
:

1 = = (h) = 3 giờ45 phút

Vậy cả2 vịi cùng chảy thì sau 3 giờ45 phút sẽđầy bể.
b) Trong 1 giờ, vòi 3 chảy được

1 phần của bể. 
Trong 1 giờ cả3 vòi chảy được số phần của bể là:

3
1
15

1
6
1
10

1 + + = (phần của bể)

Thời gian để cả3 vòi cùng chảy đầy bể là:

)
(
3
3
1
:

1 = h

Vậy cả3 vòi cùng chảy thì sau 3 giờ sẽđầy bể.
Câu 4.

a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOt yOx < vì (55° <180 )° nên tia Ot

nằm giữa 2 tia Oyvà Ox. Ta có:

  




+ =

° + = °

= °

55 180
125

yOt tOx yOx
tOx

tOx

Lại có, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó góc  xOz xOt< vì (70° <125 )°
nên tia Oznằm giữa 2 tia Oxvà Ot.

b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó xOz  <xOt<xOy vì
° < ° < °

(70 125 180 )nên tia Ot nằm giữa tia Ozvà Oy.

- Vì tia Oznằm giữa 2 tia Oxvà Otnên:

  



70 125

+ =

° + = °

= °
xOz zOt xOt

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

Vậy Otnằm giữa Ozvà Oymà zOt tOy = = °55 nên Otlà tia phân giác của góc


zOy

c) VìOnlà tia phân giác của xOz nên:  = =70° = °35
2

xOn nOz

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó xOn  <xOz<xOt vì
° < ° < °

(35 70 125 )nên tia Oznằm giữa 2 tia Onvà Ot, ta có:

nOz  +zOt=nOt

35° + ° =55 nOt

90° =nOt

Vậy 90° =nOt

Câu 5.

a) Theo bài ta có

       

= + + + + + = + + +  + + +  + + +  + + + 

       

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ... ... ...

2 3 4 32 2 3 4 5 8 9 16 17 32

S

Vì

1lớn hơn 
4
1. 
7
1
,
6
1
,
5

1 lớn hơn 
8
1.
15
1
,...
9

1 lớn hơn 
16
1
31
1
,...
17
1

lớn hơn
32

. Do đó

       

> + + +  + + + +  + + +  + + + 

       

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ...

2 4 4 8 8 8 8 16 16 32 32

S
⇒
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

1+ + + + +
>

S ⇒S >3

Vậy 3

32
1
...
4
1
3
1
2
1

1+ + + + + > (đpcm)
b) Ta có: 27 3 9 9

125
)

5
(

5 = = ; 263 =(27)9 =1289 vì 9 9 27 63
2
5
128

125 < ⇒ < (1).

Lại có: 63 9 7 7
512
)

2
(

2 = = ; 528 =(54)7 =6257 vì 7 7 63 28
5
2
625

512 < ⇒ < (2).

Từ(1) và (2) ta có: 27 63 28
5
2
5 < <

ĐỀ SỐ38: ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019
Câu 1. (3,0 điểm)

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

1. (3.4) .4132 1116
11.2 .4

A= .

2. Cho

4

6

9

7

7.31 7.41 10.41 10.57

A

=

+

và

7

5

3

11 19.31 19.43

23.43

23.57 B

=

+

.
Tính

A

B

239

118

92

1

7 2004

1981 1986

3

4

12 





=



+



+ −









C

Câu 2.(2,0 điểm)

1. Tìm x biết: 7 5.(− x−2)= +3 2.(4−x).
2. So sánh:

25

13

và

257

137

(không quy đồng).

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Tìm sốtựnhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho sốđó chia 7 dư 3 và chia 11 dư
5.

2. Cho a, b

∈

* thỏa mãn ( ; )a b =1. Chứng minh rằng: (a2+b ab2; )=1.
Câu 4. (3,5 điểm)

1. Cho

3

13

1 n

A

n

−

=

−

(n∈).

a) Tìm n nguyên để A nguyên.

b) Tìm n nguyên để A là phân sốtối giản.

2. Cho a b, ∈. Chứng minh rằng: (4a+b) 5 ⇔ (a+4 ) 5b  .
Câu 5. (5,5 điểm)

1. Trên cùng một mặt phẳng cho xOy= °30 và xOz= °80 .
a) Tính yOz.

b) Gọi Om; On là tia phân giác của xOy và yOz. Tính mOn.

2. Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt sao cho trong bất cứ 3 điểm nào
trong 2019 điểm ở trên ta ln tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏhơn 1 cm.
Chứng minh rằng: Sẽtồn tại ít nhất 1010 điểm nằm trong 1 đường trịn có bán
kính bằng 1 cm.

Câu 6. (3,0 điểm)

1. Cho

1 3 5 7

. . . ...

631 2 4 6 8

632

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

2. Cho x, y là 2 số nguyên thỏa mãn: x+2019x2 =2020y2+ y. Chứng minh
rằng: x−y là sốchính phương.

LỜI GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019
Câu 1.

1. Ta có (3.4) .4132 1116
11.2 .4
A=

2 2 5

3 .4 .4
11.2

= 9.4713

11.2

= 9.(2 )2 713

11.2

= 9.21413

11.2

9

22 =

.
Vậy

9

22 A

=

2. Ta có

4

6

9

7

7.31 7.41 10.41 10.57

A

=

+

⇒

5 A

=

4

6

9

7

35.31 +

35.41 +

50.41 +

50.57

5 A

=

35 31

41 35

50 41

57 50

35.31

35.41

50.41

50.57 −

+

−

+

−

+

−

5 A

=

1

31 −

35 +

35 −

41 +

41 −

50 +

50 −

57

1

31

57 =

−

⇒ A

5.

1

31

57 



=



−







Lại có:

7

5

3

11 19.31 19.43

23.43

23.57 B

=

+

⇒

2 B

7

5

3

11

38.31

38.43

46.43

46.57 =

+

38 31

43 38

46 43

57 46

38.31

38.43

46.43

46.57 −

=

+

1

31

38

43

46

57 =

−

+

−

+

−

+

−

1

31

57 =

−

⇒ B

2.

1

31

57 



=



−







Từđó suy ra

A

B

1 1

31 57

1 1

31 57

 − 

 

 

 − 

 

 

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

Vậy

5

2 A

B

=

.
3. Ta có:

239

118

92

1

7 2004

1981 1986

3

4

12 





=



+



+ −









C

C =

239

118

92 .

7 2004

1981 1986

12 

+

 

−





 





 



C =

239

118

92 .0

2004

1981 1986



+











=0.

Vậy C=0.

Câu 2: 1. Ta có: 7 5.(− x−2)= +3 2.(4−x)
7 5.2 5.( 2)− − − = 3 2.4+ +2.(−x)

7−5x+10= 3 8+ −2x
5x 2x

− + = + − −3 8 7 10
3x 6

− = −

2
x=

Vậy x=2.

2. Ta có: 25 1 12 1 120
13 = +13 = +130

257 120

1
137 = +137
Vì 120 120

130 >137 nên

25

13

257

137

Câu 3: 1. Gọi A là số cần tìm. (A∈ và 100< <A 999)

A chia 7 dư 3 nên A=7m+3 ⇔ A+ =4 7m+7 (m∈) chia hết cho 7

và A chia 11 dư 5 nên A=11n+ ⇔5 A+ =6 11n+11 (n∈) chia hết cho 11.
Ta thấy:

35 7 suy ra

A

+ +

4 35

= +A 39 chia hết cho 7 (1)
33 11 suy ra A+ +6 33= +A 39 chia hết cho 11 (2)
Từ(1) và (2) suy ra A+39 chia hết cho BCNN (7;11) =77

⇒ A=77.k−39 (k∈*)

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

2. Gọi UCLN (a2+b ab2; ) là d
Suy ra 2 2

a +b chia hết cho d và ab chia hết cho d.

Do ab chia hết cho dnên a d hoặc b d .

Với a d mà a2+b2 chia hết cho dsuy ra b d

Với b d mà a2+b2 chia hết cho dsuy ra a d

Từđó suy ra a d và b d hay d∈UC a b( ; )
Mà UCLN a b( ; )=1 nên UC a b( ; ) =U(1)=1

Suy ra d =1

Vậy 2 2

(a +b ab; )=1

Câu 4: 1. a) Ta có:

3

13

3 3 10

3(

1) 10

3

10

1 n

A

n

−

− −

=

= −

−

Để A nguyên thì 10 chia hết cho n−1 hay n− =1 Ư (10)= ± ± ± ±{ 1; 2; 5; 10}.
1

n− −10 −5 −2 −1 1 2 5 10

n −9 −4 −1 0 2 3 6 11

⇒n∈ − − −{ 9; 4; 1;0; 2;3;6;11}

Vậy nới n∈ − − −{ 9; 4; 1;0; 2;3;6;11} thì A nguyên.
b) Gọi d là UCLN(3n−13,n−1). Nên suy ra:

3 13
1

n d

−

 −




 ⇒

3 13
3.( 1)

n d

−


 −






⇒ 3n− −13 3(n−1)d
3n−13 3− n+ = −3 10d

⇒d∈ ± ± ± ±{ 1; 2; 5; 10}

Nếu d =2 thì n−1 2 ⇒ − =n 1 2k⇒n=2k+1 (k∈*) (1)

⇒3n−13=3(2k+ −1) 13=2.3k+ −3 13=2.3k−10=2(3k−5) 2 (2)
Nếu d =5 thì n−1 5 ⇒ − =n 1 5k⇒ =n 5k+1 (k∈*) (3)

3n 13 3(5k 1) 13 15k 10 5(3k 2) 5

⇒ − = + − = − = −  (4)

Từ(1), (2), (3), và (4) suy ra: n−1 10 và 3n−13 10
Đểphân số

3

13

1 n

−

là phân sốtối giản thì n≠{2k+1; 5k+1; 10k+1}.

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

a) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờlà tia Oxta có xOy < xOz (do 30° < °80 ),
nên tia Oy nằm giữa tia Ox và Oz. Ta có:

  
xOy+ yOz= xOz


30° +yOz= °80

 80 30 50

yOz

⇒ = ° − ° = °

Vậy yOz= °50 .

b) Do Om; On là tia phân giác của xOy và
yOz nên ta có:



1 

25

2 nOy

=

zOy

= °

;



1 

15

2 mOy

=

xOy

= °

  

mOn mOy nOy

⇒ = + =25° + ° =15 40°.
Vậy mOn= °40 .

Nếu khoảng cách giữa hai điểm đều bé hơn 1 thì ta chỉ cần chọn một điểm Abất
kì trong số2019 điểm đã cho, rồi vẽ đường tròn ( ,1)A , đường tròn ấy sẽ chứa cả
2018 điểm cịn lại, do đó ta có điều phải chứng minh.

Giả sử có hai điểm A và B trong đó 2019 điểm đã cho mà có khoảng cách lớn
hơn 1. Vẽ các đường tròn tâm là A, B và bán kính cùng là 1. Ta cịn lại 2017
điểm. Mỗi điểm Cbất kì trong số2017 điểm ấy.

Theo bài thì AB, AC, BC phải có một đoạn thẳng có độdài bé hơn 1.

Vì AB>1 nên BC<1 hoặc AC<1. Do đó hoặc là C nằm trong đường tròn
( ,1)A hoặc là B nằm trong đường trịn ( ,1)B .

Do có 2017 điểm C như vậy nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất
2017

1 1009
2

  + =

 

  điểm nằm trong cùng một đường trịn.

Giả sử đường trịn đó là ( ,1)A . Cùng với điểm A ta có 1010 điểm nằm trong
đường tròn ( ,1)A (đpcm).

Câu 6: 1. Đặt

2 4 6 8

. . . ...

632 3 5 7 9

633 N

=

1 3 5 7

631 2 4 6 8

632 .

. . . ...

.

. . . ...

2 4 6 8

632 3 5 7 9

633 

 



⇒

= 

 





 



M N

1

633 =

m
n

x
z

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Mà

1

2 <

3

;

3

4 <

5

; …;

631

633

632 <

632

nên

M <M N ⇒M <0,39
Vậy M <0, 04 (đpcm).

2. Ta có: 2 2

2019 2020

x+ x = y + ⇒y 2020x2−2020y2+ − =x y x2

2 2 2

2020(x −y ) (+ −x y)=x

2020(x−y x)( +y) (+ −x y)=x

(x−y)(2020x+2020y+ =1) x (1)

Gọi dlà ước chung lớn nhất của x−y và 2020x+2020y+1

thì (2020x+2020y+1)+2020(x−y) chia hết cho d ⇒4040x+1 chia hết cho d

Mặt khác, từ(1) ta có: 2

x chia hết cho d2 suy ra x chia hết cho d.

Từ 4040x+1 chia hết cho d mà x chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d
1

d

⇒ = hay UCLN x( −y, 2020x+2020y+ =1) 1

Từ đó suy ra x− y và 2020x+2020y+1 là các số nguyên tố cùng nhau, thỏa
mãn (1) nên chúng đều là các sốchính phương.

Vậy x−y là sốchính phương (đpcm).

ĐỀ SỐ39: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI - NĂM 2019
Câu 1. (3,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lý:

1 1 1 1 1 1

2 12 30 9120 9506 9900
A

50 51 52 97 98 99
50 ...

51 52 53 98 99 100

+ + + + + +

− − − − − − −



.
Câu 2. (5,0 điểm)

1) Tìm sốnguyên tố psao cho 2p−1;p2 +2 là các sốnguyên tố.
2) Cho biểu thức: = + + +

+ + + + + + + +

a b c d

B

b a c a b d b c d c d a

Tìm các sốnguyên dương a b c d, , , sao cho biểu thức B có giá trị là một số nguyên.
Câu 3. (5,0 điểm)

1) Tìm sốnguyên dương n (với n≠4) sao cho 2
4
+
=

−
n
M

n là phân sốtối giản.
2) Cho biểu thức 2018! 2018! 2018! ... 2018! 2018!

2 3 2017 2018

= + + + + +

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

Chứng minh rằng: E2019
Câu 4. (5,0 điểm)

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho

AOB=x (độ), AOC=

(

3x+10

)

(độ). Vẽ AOD sao cho AOD, AOC là hai góc kề
nhau và AOD=(x+10) (độ) với 0< ≤x 55.

1) Nếu 0
30

x= thì tia OB có phải là tia phân giác của COD khơng? Tại sao?
2) Tìm tất cảcác giá trịnguyên x đểtia OB không nằm giữahai tia OC và OD.

Câu 5. (2,0 điểm)

Viết 6 sốtự nhiên bất kỳvào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta
gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong năm mặt có thểnhìn thấy của con súc sắc
đó (khi súc sắc đã đứng yên) bao giờcũng tìm thấy được một hay nhiều mặt có
tổng các sốtrên đó chia hết cho 5.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI- NĂM 2019
Câu 1.

Xét tử:

1 1 1 1 1 1

2 12 30 9120 9506 9900

1 1 1 1 1 1

1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100
1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 97 98 99 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 2. ....

2 3 4 97 98 99 100 2 4 98 100
1 1 1 1

1 ...
2 3 4 99

T

= + + + + + +

= − + − + + − + −

   

= + + + + + + + + −  + + + + 

   

= + + + + +




1 1 1 1 1

1 ....

100 2 3 49 50

1 1 1 1 1

... (1)
51 52 53 99 100

T

 +  − + + + + + 

   

   

= + + + + +

Xét mẫu:

50 51 52 97 98 99
50 ...

51 52 53 98 99 100

50 51 98 99

1 1 ... 1 1

51 52 99 100

1 1 1 1

... (2)
51 52 99 100

M

= − − − − − − −

       

= −  + − + + −  + − 

       

= + + + +

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Câu 2.

1) Xét p=2,2p− =1 2.2 1 3− = (là sốnguyên tố) và p2+ =2 22+ =2 6 (là hợp số)
Vậy p=2không thỏa mãn

Xét p=3, khi đó khi đó 2p− =1 2.3 1 5− = (là số nguyên tố) và p2+ =2 32+ =2 11
(là sốnguyên tố)

Vậy p=3là giá trị cần tìm.

Xét p là sốnguyên tố lớn hơn 3 ⇒p có hai dạng là

3 1; 3 2 ( , 1)

p= k+ p= k+ k∈ k ≥

Nếup=3k+1thì 2

(

)

(

)(

)

2 3 1 2 3 1 3 1 2 9 3 3 1 2

p + = k+ + = k+ k+ + = k + k+ k+ +

(

)

9k 6k 3 3
= + + 

Do 2

3 2 3

p> ⇒ p + > mà p2+2 3 ⇒ p2+2là hợp số (loại)
Nếu p=3k+2 thì 2p− =1 2. 3

(

k+ − =2

)

1 6k+ − =4 1 6k+3 3
Do p> ⇒3 2p− >1 3 mà 2p−1 3 ⇒ 2p−1là hợp số (loại)
Vậy p=3là giá trị cần tìm.

2) Do a b c d, , , là các số nguyên dương nên a b c d, , , >0
Ta có:

(1)

(2)

(3)

(4)

a a a
a b c d b a c a b
b b b
a b c d a b d a b
c c c
a b c d b c d c d

d d d
a b c d a d c c d
< <
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 1< <B 2.
Do đó B khơng phải là số ngun.
Vậy, khơng có sốngun dương a b c d, , , nào đểB có giá trị là một số nguyên
Câu 3. 
1) Giả sử n+2d và n−4d

Đểphân số 2

4
+
=

−
n
M

n là phân sốtối giản thì d= ±1

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

(Nếu tử và mẫu không chia hết cho 2 và 3 thì cũng khơng chia hết cho 6)

+) Nếu d ≠2thì n+2khơng chia hết cho 2, n không chia hết cho 2
*

1 1

2 ( )

n k k

⇒ ≠ ∈

+) Nếu d≠3thì n+2khơng chia hết cho 3,

(

n− +1

)

3 không chia hết cho 3
2 2

3 1( )

n k k

⇒ ≠ + ∈

Vậy với *
1 1

2 ( )

n≠ k k ∈ và n≠3k2+1(k2∈) hay n là những sốnguyên dương lẻ,
chia hết cho 3 hoặc hoặc chia cho 3 dư 2 thì 2

4
+

−
n
M

n là phân sốtối giản
2) Vì 2019=3.673

mà 3 và 673 là hai sốnguyên tố

Để Chứng minh E2019 ta chứng minh E3 và E673
Ta xét từng số hạng của E

2018! 1.2.3...2018= có chứa thừa số 3 và 673. Do đó 2018! 3.673
2018!

2 có chứa thừa số3 và 673. Do đó
2018!

3.673

2 

2018!

3 có chứa thừa số6 và 673. Do đó
2018!

3.673

2 

Lần lượt như vậy ta thấy tất cảcác số hạng còn lại (trừ 2018!673 ) đều chứa thừa số
3 và 673 nên các số hạng đều chia hết cho 3 và 673

Số 2018!673 có chứa thừa số3 và thừa số1346 chia hết cho 673. Nên 2018! 3.673
673 
Vậy tất cảcác số hạng của E đều chia hết cho 3.673. Do đó: E2019
Câu 4.

1) Nếu x = 300thì AOB =300, AOC = 1000, AOD = 400

+) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ OA có  AOB< AOC , (300 < 1000) nên tia OB

nằm giữa hai tia OA và OC. Ta có:

      0 0 0

100 30 70
AOC=BOC+AOB⇒BOC= AOC−AOB= − =

B
A

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

+) Do AOC và AOD là hai góc kềnhau nên tia hai tia OD và OC nằm trên hai

nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia OA. Mặt khác OB và OC thuộc cùng

một nửa mặt phảng có bờ chứa tia OA nên hai tia OB và OD nằm trên hai nửa

mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia OA mà

 0 0

70 180

AOD+AOB= < . Nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OD.

Khi đó ta có:    0
70
BOD=AOD+AOB= .

+) Do AOC và AOD là hai góc kề nhau mà  AOC+AOD=1400 <1800 nên tia OA

nằm giữa hai tia OD và OCSuy ra:   DOC=DOA+AOC=1400
Vậy ta có:   0

BOD=BOC= mà DOC=1400
  

2
DOC
BOD BOC

⇒ = =

Suy ra: Tia OB là tia phân giác của COD.

2) Theo phần 1) ta thấy, BOC và BOD hai góc kề nhau có chung cạnh OB. Để

tia OB khơng nằm giữa hai tia OD và OC thì  BOC+BOD>1800
Ta có: BOC= AOC−AOB=

(

3x+10

)

− =x 2x+10 (độ)

  

(

10

)

BOD= AOD+AOB= +x x+ (độ)

  4 20

BOC BOD x

⇒ + = + (độ)

4x 20 180 x 40
⇒ + > ⇒ >

Mà theo đềbài: x≤55⇒40≤ <x 55

Vậy x∈ và 40< ≤x 55 thì tia OB khơng nằm giữa hai tia OD và OC.

Câu 5.

Gọi các sốtrên 5 mặt là a1; a2; a3; a4; a5
Xét 5 tổng:

1 1
2 1 2
3 1 2 3
4 1 2 3 4
5 1 2 3 4 5
S a

S a a
S a a a
S a a a a
S a a a a a

=
= +
= + +
= + + +
= + + + +

- Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài tốn đã giải xong.

- Nếu khơng có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng sốdư khi chia
cho 5 (vì 5 tổng mà chỉ có 4 sốdư khác 0 là 1; 2; 3; 4). Hiệu của hai tổng này chia
hết cho 5. Gọi hai tổng đó là Smvà Sn

(

1≤ < ≤n m 5

)

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

ĐỀ SỐ40: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA PHỐ BẮC GIANG 2018-2019
Câu 1. (6 điểm)

1. Tìm số nguyênn để 4n+5chia hết cho2n+1.

2. Tính 1 12 13 ... 20191 : 1 20191 .

2 2 2 2 2

A= + + + +    − 

   

Câu 2. (6 điểm)

1. Tìm sốtựnhiên a nhỏhơn 1000, biết achia cho 15 dư 5, chia cho 32 dư 22, chia

cho 40 dư 30.

2. Cho biểu thức: 1 1 1 ... 1 .

1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 101

B= + + + +

+ + + + + + + + + + +

Chứng minh 3.
4
B<

3. Tìm sốnguyên tố x y, biết 19x4+57= y2.
Câu 3.(4 điểm)

1. So sánh: 7420182019 1

74 1

C= +
+ và

2019
2020

74 2021

D= −
−

2. Lớp 6A có 29 học sinh, lớp 6B có 35 học sinh. Trong một buổi lao động cảhai lớp
trồng được tất cả285 cây. Tính sốcây của mỗi học sinh lớp 6A, 6B trồng được.
Câu 4.(3 điểm)

1. Cho xOy và yOz là hai góc kềbù. Biết xOy =5yOz. Tính xOy.

2. Cho điểm Bthuộc đường thẳng AC(Bkhông trùng với A và C). Hai điểm D E,
lần lượt là trung điểm của đoạn thẳngAB AC, . Chứng tỏđộdài đoạn thẳng BCgấp

đôi độdài đoạn thẳng DE.

Câu 5.(1điểm)

Tìm các sốnguyên tố p q, sao cho 7p+qvà pq+17đều là các sốnguyên tố.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ 
BẮC GIANG NĂM 2018-2019

Câu 1. 1, Ta có: 4n+ =5 2. 2

(

n+ +1

)

3 
Vì 2 2

(

n+1 2

)

 n+1 với ∀ ∈n 

Nên để 4n+5 2 n+1 thì 3 2 n+1
2n 1

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

Ta có bảng giá trị sau:

2n+1 -3 -1 1 3

n -2 -1 0 1

Vậy n∈ − −

{

2; 1; 0;1

}

thì 4n+5 2 n+1

2. Ta có 1 12 13 ... 20191 : 1 20191

2 2 2 2 2

A= + + + +    − 

   

⇒2. 2. 1 12 13 ... 20191 : 1 20191

2 2 2 2 2

A=  + + + +    − 

   

2. 1 1 12 ... 20181 : 1 20191

2 2 2 2

A= + + + +    − 

   

Xét hiệu:

2 2018 2019 2 3 2019 2019

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2. 1 ... : 1 ... : 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

A− = + +A  + +    −   − + + + +    − 

       

2 2018 2 3 2019 2019

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ... : 1

2 2 2 2 2 2 2 2

A= + + + + − − − − −    − 

   

2019 2019

1 1

1 : 1 1

2 2

A= −    − =

   

Vậy A=1

Câu 2. 
1. Ta có

15. 5 10 15

32. 22 10 32

40. 30 10 40

a m a

a n a

a q a

= + => +
= + => +
= + => +





=> a+ ∈10 BC(15;32; 40)

Mà 5 3

15=3.5; 32=2 ; 40=2 .5

(

)

15, 32, 40 2 .3.5 480
BCNN

⇒ = =

⇒a+ ∈10 B(480)=

{

0; 480;960;1440...

}

Vì a là sốtựnhiên nhỏhơn 1000 nên a∈

{

470;950 .

}

2. Ta có 1 1 1 ... 1

1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 101

B= + + + +

+ + + + + + + + + + +

Nhận xét: Vì :
2

2
2
1 3 4 2

1 3 5 9 3 3.2
1 3 5 7 16 4 4.3

+ = =

+ + = = >
+ + + = = >
…

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

Suy ra:

1 1 1 1

...

4 9 16 51

1 1 1 1

...

4 2.3 3.4 50.51

1 1 1 1 1 1 1

...

4 2 3 3 4 50 51

3 1
4 51
3
4
B
B
B
B
B

= + + + +

< + + + +

< + − + − + + −
< −

3. TH1: x là sốnguyên tố chẵn ⇒ x=2.

Thay x=2.vào (1)
ta có: 4 2

19.2 +572= y
⇒ 2 2
361 19
y = =

⇒ y=19 (thỏa mãn là sốnguyên tố).

TH2: xlà sốnguyên tố lẻ => 19x4 lẻ ⇒ 19x4+57chẵn
⇒ 2

y là số chẵn ⇒ ychẵn ⇒ mà ylà sốnguyên tố ⇒ y=2(vơ lí vì 19x4+57>2 ).

Vậy x=2; 19y= là giá trị cần tìm.
Câu 3.

1. Ta có:

2018
2019
2019 2019
2019 2019
2019
74 1
74 1

74 74 74 1 73

74.

74 1 74 1

74. 1 (1)

74 1
C
C
C
+
=
+
+ + +
= =
+ +
= +
+

2019
2020
2020 2020
2020 2020
2020
2020
2020
74 2021
74 2021

74 2021.74 74 2021.(1 73)
74.

74 2021 74 2021

74 2021 2021.73
74.

74 2021

2021.73

74. 1 (2)

74 2021
D
D
D
D
−

=
−
− − +
= =
− −
− −
=
−
= −
−

Từ(1) và (2) suy ra 74C>74 D ⇒ C>D

2. Gọi sốcây mỗi học sinh lớp 6A, 6B trồng được lần lượt là x y; (cây);

ĐK ( *

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

Ta có 29x+35y=285⇒29x=285 35− y
Vì 285 35− y5 mà

(

29;5

)

=1 nên x5

29x+35y=285⇒ <x 10
Do đó x=5

Thay x=5 ⇒ y=4 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy mỗi học sinh lớp 6A trồng được 5 cây.
Mỗi học sinh lớp 6B trồng được 4 cây.
Câu 4.

1. Ta có hình vẽ

Vì



xOy

và yOz là hai gó kềbù nên:
Suy ra  xOy+yOz =180°

mà xOy=5yOz

nên 6yOz=180°

=>yOz= °30 và

xOy



=

5.30 ° =

150 °

2. Ta có hình vẽ:

Ta có Bthuộc đoạn AC nên AB<AC

Mà Dlà trung điểm AB nên

2
AB

AD=DB= =>AB=2AD (1)

Elà trung điểm AC nên

2
AC

AE=EC= =>AC=2AE (2)

nên AD<AEhay D nằm giữa A và E

Suy ra AD+DE=AE=>DE=AE−AD(3)

AB+BC= AC => BC =AC−AB (4)

Từ(1); (2) ; (3)và (4) suy ra : BC=2AE−2AD=2(AE−AD)=2DE
Câu 5.

Vì pq+17 là sốnguyên tố nên pq là số chẵn ⇒ p 2= hoặc q=2
TH1: Nếu p= ⇒2 7p+ =q 14+q

Ta thấy 14 chia 3 dư 2.

Nếu qchia hết cho 3, q là sốnguyên tố ⇒q=3

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

Và pq+17=2.3 17+ =23(thỏa mãn là sốnguyên tố).

+) Nếu qchia 3 dư 1 ⇒ 14+qchia hết cho 3 mà 14+ >q 3⇒14+q là hợp số (loại).
+) Nếu qchia 3 dư 2 thì 2q chia 3 dư 1=>pq+17>3 chia hết cho 3 (loại vì là hợp số).
TH2: Nếu q= ⇒2 7p+ = +q 2 7p.

Ta thấy 2 chia 3 dư 2.

+) Nếu 7pchia hết cho 3 ⇒ p là sốnguyên tố ⇒ p=3.
Khi đó: 7p+ =q 7.3 2+ =23 (thỏa mãn là sốnguyên tố).
Và pq+17=3.2 17+ =23(thỏa mãn là sốnguyên tố).

+) Nếu 7pchia cho 3 dư 1 thì 7p+2chia hết cho 3 (loại vì là hợp số).

+) Nếu 7pchia cho 3 dư 2 thì pchia 3 dư 2 2pchia 3 dư 1 ⇒ pq+17=2p+17 chia
hết cho 3 (loại vì là hợp số).

Vậy giá trị của p, qthỏa mãn là p=2; 3q= hoặc p=3; 2q= .

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167></div>

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 và lời giải chi tiết năm 2018 - 2019



<b>TÀI LIỆU SƯU TẦM </b>

<b>TUYỂN TẬP </b>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 </b>

(

) (

)

(

) ( ) ( )

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

) (

)

(

) ( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

{

}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

}

(

)

(

)(

)

(

) (

{

) (

) (

) (

)

}

(

) (

{

) (

) (

) (

)

}

(

) (

)

{ }

(

)

(

)

(

)

{

}

{

}

(

)

(

)

( )