1.5 cm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG
NÉM XIÊN TRONG TRỌNG TRƯỜNG
CÓ LỰC CẢN BẰNG MATHLAB

LỚP L02, NHÓM 4:
1.
2.
3.
4.

Tp. HCM, 18/12/2020
i
1.5 cm


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN
ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG TRỌNG

TRƯỜNG CÓ LỰC CẢN BẰNG
MATHLAB

Nhóm 4:
1.
2.
3.
4.
GVHD:

Tp. HCM, 18/12/2020


TĨM TẮT BÀI BÁO CÁO
Trong chương trình học của chúng tôi về chuyển động ném xiên, chúng tôi giả định rằng
hiệu ứng cản môi trường là nhỏ đáng kể. Nhưng trên thực tế, lực cản của môi trường
(thường được gọi là lực cản môi trường, hoặc đơn giản là lực cản) có ảnh hưởng lớn đến
chuyển động của nhiều vật thể, bao gồm cả bóng quần vợt, viên đạn, và nhiều vật thể
khác nữa. Chúng tôi đã nghiên cứu về chuyển động ném xiên trong điều kiện khơng có
lực cản. Bây giờ chúng tơi muốn mở rộng phân tích này thành một bài toán vật thể ném
xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản. Khơng khó để đưa lực cản của mơi trường
vào các phương trình đối với một vật thể, nhưng giải chúng cho vị trí và vận tốc dưới
dạng hàm số của thời gian hoặc quỹ đạo chuyển động, có thể trở nên khá phức tạp. May
mắn thay, nó khá dễ làm xấp xỉ số khá chính xác cho các giải pháp này, sử dụng máy
tính. Đó là nội dung của phần báo cáo này.

i


LỜI CÁM ƠN

Trên thực tế khơng có sự thành cơng nào mà không gắn liền với những sự hỗ trợ, giúp
đỡ dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của người khác. Trong suốt thời gian từ khi
bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự
quan tâm, giúp đỡ của q thầy cơ, bạn bè. Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi
đến quý thầy cô ở Trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh với tri thức và
tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời
gian học tập tại trường. Và đặc biệt, trong học kỳ này, chúng em được tiếp cận với môn
học mà theo em là rất hữu ích đối với sinh viên ngành Khoa học Máy tính cũng như tất
cả các sinh viên thuộc các chun ngành khác. Đó là mơn học Vật lý Đại cương 1. Chúng
em xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã tận tâm hướng dẫn chúng em qua từng buổi
học trên lớp cũng như những buổi nói chuyện, thảo luận về lĩnh vực sáng tạo trong
nghiên cứu khoa học. Nếu khơng có những lời hướng dẫn, dạy bảo của thầy cơ thì chúng
em nghĩ bài báo cáo này rất khó có thể hồn thiện được. Một lần nữa, em xin chân thành
cảm ơn quý thầy cô. Bài báo cáo được thực hiện trong khoảng thời gian gần một tháng.
Bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học, kiến
thức của chúng em còn hạn chế và còn nhiều bỡ ngỡ. Do vậy, khơng tránh khỏi những
thiếu sót là điều chắc chắn, chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp q
báu của q thầy cơ và các bạn học cùng lớp để kiến thức của em trong lĩnh vực này
được hoàn thiện hơn.
Lời cảm tạ thầy cơ sau cùng, chúng em xin kính chúc q thầy cô thật dồi dào sức khỏe,
niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt kiến thức cho thế
hệ mai sau.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 12 năm 2020

ii


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH .......................................................................................... iiv
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ....................................................................................... v

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU CHUNG ................................................................................. 1
1.1. Cấu trúc bài báo cáo ............................................................................................ 1
1.2. Hình thức trình bày Báo cáo tổng kết .................................................................. 1
1.2.1. Về soạn thảo văn bản .....................................................................................1
1.2.2. Số trang bài báo cáo ......................................................................................1
CHƯƠNG 2. HÌNH THỨC TRÌNH BÀY CỤ THỂ ........................................................ 2
2.1. Kiểu định dạng (Style) và kiểu chữ (Font) ........................................................... 2
2.1.1. Tiểu mục thứ nhất ..........................................................................................2
2.1.2. Tiểu mục thứ hai ............................................................................................2
2.1.3. Tiểu mục thứ ba .............................................................................................2
2.1.4. Nội dung ........................................................................................................3
2.1.5. Chú thích (caption) cho các hình, bảng biểu và phương trình ......................3
2.1.6. Các danh mục ................................................................................................3
2.1.7. Các đề mục khác ............................................................................................3
2.1.8. Danh mục tài liệu tham khảo .........................................................................3
2.1.9. Phụ lục ...........................................................................................................5
2.2. Đánh số trang ........................................................................................................ 5
CHƯƠNG 3. NỘI DUNG BÀI BÁO CÁO ....................................................................... 6
3.1. Mở đầu .................................................................................................................. 6
3.2. Cơ sở lý thuyết ...................................................................................................... 6
3.3. Mathlab ............................................................................................................... 13
3.1. Kết luận............................................................................................................... 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 27

iii


DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH
Hình 1.1 Logo trường. ................................................................................................ 1
Hình 1.2 Sơ đồ thực hiện ............................................................................................ 2

Hình 3.1 Chuyển động ném xiên ................................................................................ 7
Hình 3.2 Quỹ đạo chuyển động của vật khi có lực cản khơng khí ............................. 13
Hình 3.3 Sơ đồ khối cho bài tốn ............................................................................... 15
Hình 3.4 Quỹ đạo chuyển động của vật khi có lực cản khơng khí với h=2 ............... 24
Hình 3.5 Quỹ đạo chuyển động của vật khi có lực cản khơng khí với h=0,01; 0,05; 0,1;
0,5 tương ứng với các màu xanh dương, đỏ, vàng, tím .............................................. 25
Hình 3.6 Đồ thị kiểm tra tính chính xác của chương trình ......................................... 26

iv


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers
APA American Psychological Association

v


CHƯƠNG 1.

1.1.

GIỚI THIỆU CHUNG

Cấu trúc bài báo cáo

1. Bìa: bằng giấy màu
2. Phụ bìa:

Trang 1: giống trang bìa. bằng giấy A4 thông thường (theo mẫu riêng cho

từng loại đề tài)
Trang 2: Tên lớp, nhóm, các thành viên, MSSV

3. Tóm tắt bài báo cáo
4. Lời cảm ơn
5. Mục lục
6. Danh mục bảng/ hình …
7. Nội dung báo cáo tổng kết (chương 1,…)
8. Danh mục tài liệu tham khảo
1.2.

Hình thức trình bày Báo cáo tổng kết

1.2.1. Về soạn thảo văn bản
Báo cáo tổng kết phải được trình bày ngắn gọn, rõ ràng, mạch lạc, sạch sẽ, khơng tẩy
xóa, khơng có lỗi chính tả, lỗi đánh máy... Văn bản phải được đánh máy vi tính trên hệ
soạn thảo Microsoft Word, sử dụng Bảng mã Unicode và kiểu chữ Times New Roman
1.2.2. Số trang bài báo cáo
Báo cáo tổng kết phải được in trên một mặt giấy khổ A4 (210x297mm), độ dày của báo
cáo (không kể phần mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục) từ 15 đến 30 trang
đối với bài tiểu luận, số trang này chỉ tính cho phần nội dung.

1


CHƯƠNG 2.

HÌNH THỨC TRÌNH BÀY CỤ THỂ

2.1. Kiểu định dạng (Style) và kiểu chữ (Font)

Nên sử dụng kiểu định dạnh (Style) để tạo sự thống nhất, dễ dàng chỉnh sửa và tạo ra
mục lục một cách thuận tiện nhất. Người sử dụng có thể dựa vào các kiểu định dạng
(Style) của các đề mục đã được định nghĩa sẵn trong tập tin này để tham khảo chính xác
các yêu cầu về định dạng. Người sử dụng chỉ cần chọn đúng kiểu định dạng (Style) phù
hợp với đề mục.
Các yêu cầu cho các đề mục được liệt kê chi tiết sau đây để tham khảo.
Tên chương sử dụng kiểu định dạng (Style) Heading 1 với các thông số: kiểu chữ (font)
Times New Roman, cỡ 14, in đậm, sử dụng chữ in hoa, Spacing Before: 24 pt, Spacing
After: 24 pt, Line spacing: single, không thụt đầu hàng, canh lề trái. Tên chương được
đánh số theo thứ tự CHƯƠNG 1, CHƯƠNG 2, …
2.1.1. Tiểu mục thứ nhất
Tên tiểu mục thứ nhất sử dụng kiểu định dạng (Style) Heading 2 với các thông số: kiểu
chữ (font) Times New Roman, cỡ 13, in đậm, Spacing Before: 6 pt, Spacing After: 12
pt, Line spacing: single, không thụt đầu hàng, canh lề trái. Tên tiểu mục thứ nhất được
đánh số theo thứ tự 1.1, 1.2, …
2.1.2. Tiểu mục thứ hai
Tên tiểu mục thứ hai sử dụng kiểu định dạng (Style) Heading 3 với các thông số: kiểu
chữ (font) Times New Roman, cỡ 13, in đậm và nghiêng, Spacing Before: 6 pt, Spacing
After: 12 pt, Line spacing: single, không thụt đầu hàng, canh lề trái. Tên tiểu mục thứ
nhất được đánh số theo thứ tự 1.1.1, 1.1.2, …
2.1.3. Tiểu mục thứ ba
Tên tiểu mục thứ ba sử dụng kiểu định dạng (Style) Heading 4 với các thông số: kiểu
chữ (font) Times New Roman, cỡ 13, in nghiêng, Spacing Before: 6 pt, Spacing After:

2


12 pt, Line spacing: single, không thụt đầu hàng, canh lề trái. Tên tiểu mục thứ nhất
được đánh số theo thứ tự 1.1.1.1, 1.1.1.2, …
Việc đánh số các tiểu mục sử dụng tối đa 4 chữ số.

2.1.4. Nội dung
Các phần nội dung sử dụng kiểu định dạng (Style) Content với các thông số: kiểu chữ
(font) Times New Roman, cỡ 13, Spacing Before: 10 pt, Spacing After: 0 pt, Line
spacing: 1.5 lines.
2.1.5. Chú thích (caption) cho các hình, bảng biểu và phương trình
Chú thích (caption) cho các hình, bảng biểu và phương trình sử dụng kiểu định dạng
(Style) Caption với các thông số: kiểu chữ (font) Times New Roman, cỡ 13, Spacing
Before: 0 pt, Spacing After: 0 pt, Line spacing: single, khơng thụt đầu hàng, canh lề
chính giữa.
2.1.6. Các danh mục
Các danh mục hình ảnh, bảng biểu, … sử dụng kiểu định dạng (Style) Normal với các
thông số: kiểu chữ (font) Times New Roman, cỡ 13, Spacing Before: 0 pt, Spacing After:
0 pt, Line spacing: 1.15 lines, không thụt đầu, canh lề trái.
2.1.7. Các đề mục khác
Các đề mục không được đề cập ở trên có thể dùng định dạng tùy ý nhưng phải là kiểu
chữ (font) Times New Roman, cỡ tối đa là 13, tối thiểu là 10 và phải thống nhất. Ví dụ
các bảng biểu có nhiều nội dung có thể dùng cỡ chữ 10.
2.1.8. Danh mục tài liệu tham khảo
Liệt kê các tài liệu được trích dẫn trong bài. Danh mục tài liệu tham khảo được trình bày
theo thứ tự được trích dẫn trong luận văn (theo tiêu chuẩn trích dẫn của APA hoặc IEEE – chỉ
chọn một loại).
Cách trình bày theo thứ tự là sau phần thơng tin được trích dẫn ghi số của tài liệu trong ngoặc
vng dạng [x,y,z] trong đó x,y, z là số thứ tự của tài liệu được liệt kê trong phần tài liệu tham
khảo ở cuối luận văn. Chú ý các trình bày các tài liệu trích dẫn truy xuất từ Internet. Cách trình

3


bày đầy đủ theo chuẩn APA hoặc IEEE có thể sử dụng công cụ References – Insert Citation
trong Word, nhớ chọn đúng Style!

Mẫu trình bày theo APA có thể tham khảo trong tài liệu APA Referencing Guide.
Mẫu trình bày theo IEEE có thể tham khảo trong tài liệu IEEE Referencing Guide.
Một số tài liệu tham khảo minh hoạ sau được ghi theo mẫu APA như sau:
Đối với các tham khảo là sách ghi theo dạng:
Tên Tác Giả ( năm xuất bản). Tên Sách. Nhà Xuất Bản
Ví dụ:
[1] Von Neumann, J. (1958). The Computer and the Brain. Yale University Press, New Haven,
Connecticut.
[2] Sơn, N.T (1999). Lý thuyết tập hợp. Nhà Xuất Bản Khoa Học và Kỹ Thuật, Tp. HCM.
Đối với các tham khảo là bài báo trong tạp chí ghi theo dạng:
Tên Tác Giả (năm xuất bản). Tên bài báo. Tên tạp chí, số báo, trang bắt đầu – trang kết thúc.
Ví dụ:
[1] Turing, AM. (1950). Computing machinery and intelligence. Mind, 59, 433 – 460.
[2] Anh, N.H & Nhơn, Đ.V (2001). Lời giải tối ưu và tập sinh trên mạng suy diễn. Tạp Chí Phát
Triển Khoa Học Cơng Nghệ, 4, 10 – 16.
Đối với tham khảo là bài báo trong kỷ yếu hội nghị ghi theo dạng:
Tên Tác Giả, (năm xuất bản ). Tên bài báo. Tên Hội nghị, pp. trang bắt đầu – trang kết thúc.
Ví dụ:
[1] Russell, S.J. & Wefald, E.H. (1989). On optimal game-tree search using rational metareasoning. In Proceedings of the 11th International Joint Conference on Artificial Intelligence,
pp. 334-340.

4


[2] Tùng, N.T. (2001). Phân tích sự phụ thuộc dữ liệu. Trong kỷ yếu hội nghị Nghiên cứu Khoa
Học Trẻ lần 3, pp. 18-22.
Đối với các tài liệu tham khảo là luận văn tốt nghiệp, ghi theo dạng:
Tên Tác Giả (năm xuất bản). Tên Luận Văn. Cấp luận văn, Tên Trường.
Ví dụ:
[1] Minsky, M.L. (1954). Neural Nets and the Brain-Model Problem. PhD thesis, Princeton

University.
[2] Vinh, N.P.T & Tùng, N.T (2001). Xây dựng Transducer. Luận văn đại học, Đại Học Bách
Khoa Tp.HCM.
Tài liệu có 2 hoặc 3 tên tác giả thì ghi tên tất cả các tác giả. Nếu nhiều hơn thì ghi tên người
đầu tiên kèm theo cụm từ “et al” .

2.1.9. Phụ lục
Phần phụ lục bao gồm những bổ sung hỗ trợ cho nội dung bài báo cáo như số liệu, biểu
mẫu, mã chương trình, hình ảnh, tài liệu minh chứng, … nhằm làm rõ các nghiên cứu
đã trình bày trong phần nội dung. Các tính tốn đã trình bày tóm tắt trong phần nội dung
phải được trình bày chi tiết trong phần phụ lục này.
2.2. Đánh số trang
Phần mở đầu được đánh số trang theo định dạng i, ii, iii, … bắt đầu từ trang TÓM TẮT
BÀI BÁO CÁO. Khơng đánh số cho trang bìa chính và trang bìa phụ.
Phần nội dung được đánh số trang theo định dạng 1, 2, 3, … bắt đầu từ trang đầu tiên
của phần nội dung. Kể từ trang này, tất cả các trang đều phải được đánh số trang liên
tục, bao gồm cả Tài liệu tham khảo, Phụ lục (nếu có), … cho đến trang cuối cùng. Các
trang trình bày theo chiều ngang khổ giấy (Landscape) vẫn phải được đánh số trang ở
vị trí như các trang khác. Số trang được ghi ở cuối trang (Footer), canh lề giữa và có
khoảng cách từ cạnh đáy (Footer from Botoom) là 0,5 cm. Không sử dụng phần đầu
trang (Header) cho bất kỳ thông tin gì.

5


CHƯƠNG 3.

NỘI DUNG BÁO CÁO

3.1. Mở đầu

3.1.1. Yêu cầu
Phương trình chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường được biểu
diễn theo biểu thức sau:
ma⃗ = mg
⃗ − hv
⃗
Với điều kiện ban đầu: x0 = y0 = 0; v0x = v0 𝑐𝑜𝑠α; v0y = v0 𝑠𝑖𝑛α.
Bài tập này yêu cầu sinh viên sử dụng Matlab để giải phương trình chuyển động trên,
tính tốn quỹ đạo và vẽ đồ thị quỹ đạo thay đổi phụ thuộc vào hệ số lực cản h.
3.1.2. Điều kiện
Sinh viên cần có kiến thức về lập trình cơ bản trong MATLAB.
Tìm hiểu các lệnh Matlab liên quan symbolic và đồ họa.
3.1.3. Nhiệm vụ
Xây dựng chương trình Matlab:
- Nhập các giá trị m, h, v0 , , t (thời gian bay).
- Thiết lập các phương trình vi phân ứng với x(t) và y(t). Sử dụng các lệnh symbolic để
giải hệ phương trình.
- Vẽ trên một đồ thị quỹ đạo của chất điểm với các hệ số h khác nhau(h = 0,01; 0,05;
0,1; 0,5), các thơng số cịn lại là như nhau (mỗi quỹ đạo có màu sắc khác nhau).
3.2. Cơ sở lý thuyết
3.2.1. Định luật II Newton
Định luật II của Newton được áp dụng cho chuyển động của những vật có gia tốc dưới
tác dụng của một ngoại lực tổng hợp khác không. Trước khi phát biểu định luật II dưới
dạng tổng quát nhất, ta định nghĩa động lượng 𝑝 của một chất điểm:
𝑝 = 𝑚. 𝑣

6


Động lượng của một chất điểm là một đại lượng vectơ hướng theo phương và chiều của

vận tốc 𝑣 .
Theo định luật II Newton, ta có “đạo hàm” theo thời gian của động lượng của một chất
điểm bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm này:
∑ ⃗⃗𝐹i =

𝑑𝑝

=

𝑑𝑡

𝑑
𝑑𝑡

(𝑚𝑣 )

Nói cách khác, tốc độ biến thiên động lượng của một vật bằng tổng các ngoại lực tác
dụng lên vật đó.
Với cơ học cổ điển, m khơng thay đổi, ta có:
∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 𝑚

⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡

Và vì 𝑎 =

⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡


(*)
, gọi ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 𝐹 , (*) sẽ được viết:
𝐹 = ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 𝑚𝑎

hay 𝐹 = 𝑚𝑎 (**) là một dạng khác của định luật II.
Dưới tác dụng của tổng các ngoại lực tác dụng 𝐹 , chất điểm m sẽ chuyển động với gia
tốc 𝑎 =

𝐹
𝑚

.

Từ 𝐹 = 𝑚𝑎 ta có ba phương trình vơ hướng theo ba thành phần:
𝐹𝑥 = ∑ 𝐹ix = 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑦 = ∑ 𝐹iy = 𝑚𝑎𝑦
𝐹𝑧 = ∑ 𝐹𝑖𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
Vậy (**) chính là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm.
3.2.2. Bài tốn phương trình quỹ đạo ném xiên khơng có lực cản mơi trường
Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong một phạm vi không lớn lắm, mọi chất điểm đều rơi
với cùng một gia tốc g theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới với giá trị không
đổi.

7


Hình 3.1: Chuyển động ném xiên khơng có lực cản môi trường
Ta sẽ khảo sát chuyển động của một chất điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất
với vectơ vận tốc ban đầu (lúc t = 0 là 𝑣 hợp với mặt nằm ngang một góc α) (hình 3.1).

(bài tốn ném xiên).
Chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa v0 ; đó cũng là mặt phẳng
chứa quỹ đạo chất điểm, trong hệ trục toạ độ xOy. Xét hệ toạ độ Decartes xOy với trục
tung có chiều dương hướng lên trên, ném một vật với vận tốc ban đầu bằng 𝑣0 hợp với
phương ngang một góc 𝛼 từ vị trí trùng với gốc toạ độ. Tại thời điểm t, chất điểm ở vị
trí M có toạ độ x, y; có gia tốc là vectơ 𝑎 = 𝑔 song song với Oy hướng xuống dưới.
Do vậy, hai thành phần của 𝑎 trên hai trục là:
𝑎 =0
𝑎 { 𝑎 𝑥= −𝑔 hay {
𝑦

𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡

=0

= −𝑔

(1)

Lấy nguyên hàm hai vế của biểu thức trên ta được:
𝑣𝑥 = 𝐶1
𝑣 { 𝑣 = −𝑔𝑡 + 𝐶
𝑦
2
Với
{
Vậy


𝐶1 = 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 (𝑡 = 0) = 𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐶2 = 𝑣𝑦 = 𝑣𝑦 (𝑡 = 0) = 𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣 { 𝑣 = −𝑔𝑡 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼 (2)
𝑦
0

Theo công thức tính vận tốc ta có thể viết (2) như sau:
dx

{

𝑑𝑡
𝑑y
𝑑𝑡

= 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼

= −𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼

(3)

8


Lấy nguyên hàm theo t biểu thức (3) ta được:
M{


x = 𝑣0 𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶3
1

2

y = − 𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐶4

với {

2

𝐶3 = x(t = 0) = 0
𝐶4 = 𝑦(𝑡 = 0) = 0

Suy ra các phương trình chuyển động của chất điểm là:
M{

x = 𝑣0 𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶3
1

y = − 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐶4

(4)

2

𝑦=−

1


𝑔

2 𝑣02 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼

𝑥 2 + tan(𝛼). 𝑥

(5)

Khử t trong hệ phương trình (4) ta được phương trình quỹ đạo của điểm M
Vậy quỹ đạo của chất điểm M là một hình Parabol OSA, đỉnh S, trục song song
với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ (hình 3.1).
Bây giờ ta đi tính toạ độ đỉnh S (vị trí cao nhất của chất điểm). Từ biểu thức
(2) ta có thể suy ra:
1
𝑣 2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = 𝑣02 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + (−𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼)2 = 𝑣02 − 2𝑔(− 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼)
2
𝑣 2 = 𝑣02 − 2𝑔. 𝑦 (6)

hay

Tại S vectơ vận tốc nằm ngang 𝑣𝑥 = 0, nên khi đó ta có 𝑣 = 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼, thay vào
biểu thức (6) ta được:
𝑣02 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 𝑣02 − 2𝑔. 𝑦𝑆
𝑦𝑆 =

hay

𝑣02 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
2𝑔


(7)

Chất điểm đến S vào lúc t, ứng với 𝑣𝑦 = 0 cho bởi
𝑡𝑆 =

𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑔

Khi này hoành độ của S là:
𝑥𝑆 = 𝑣0 . 𝑡𝑆 . 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑣02 .𝑠𝑖𝑛𝛼.𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔

(8)

Từ đây ta có thể tính được tầm xa của chuyển động của chất điểm M (khoảng
cách từ khi ném đến lúc rơi)
𝑂𝐴 = 2𝑥𝑆 =

9

𝑣02 .𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑔

(9)


3.2.3. Bài tốn phương trình quỹ đạo ném xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản
Giả sử rằng một vật có khối lượng m được ném từ mặt đất (trên mặt đất bằng phẳng) tại

t = 0, tạo một góc 𝛼 so với phương ngang. Ngồi ra, giả sử ngồi tác dụng của trọng lực,
vật cịn chịu một lực cản khơng khí tác dụng ngược hướng với hướng chuyển động tức
thời của nó và độ lớn của nó tỷ lệ thuận với tốc độ tức thời của nó.
Đây khơng phải là một mơ hình đặc biệt chính xác về lực cản do mơi trường, nhưng nó
dẫn đến các phương trình chuyển động có thể định hình được. Do đó, bằng cách sử dụng
mơ hình này, chúng ta có thể hiểu được cách lực cản của khơng khí điều chỉnh quỹ đạo
chuyển động của vật một cách cơ bản nhất.
Chúng ta hãy sử dụng một hệ tọa độ Descartes có điểm gốc trùng với điểm phóng và
trục Oz của nó hướng thẳng đứng lên trên. Cho vận tốc ban đầu của đạn nằm trong mặt
phẳng Oxz. Lưu ý rằng, vì cả trọng lực và lực cản đều không làm cho đường đạn di
chuyển ra khỏi mặt phẳng Oxz, chúng ta có thể bỏ qua tọa độ y trong bài tốn này một
cách hiệu quả.
Chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản mơi trường là chuyển động ném
xiên trong trọng trường chịu thêm tác dụng của lực cản tỉ lệ với vectơ vận tốc 𝐹𝐶 = −𝑐𝑣
trong đó c là hệ số lực cản của mơi trường.
Phương trình chuyển động của đường đạn được viết:
𝑚

dv
𝑑𝑡

= mg − cv (1)

Trong đó v = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑧 ) là vận tốc của vật, g = (0, −g) là gia tốc do trọng lực và c (hệ số
cản môi trường) là hằng số dương. Ở dạng thành phần, phương trình trên trở thành:
d𝑣𝑥
𝑣𝑥
= −𝑔
(2)
𝑑𝑡

𝑣𝑡
d𝑣𝑧
𝑣𝑧
= −𝑔 (1 + ) (3)
{ 𝑑𝑡
𝑣𝑡
𝑚𝑔

Ở đây, 𝑣𝑡 =
là vận tốc cuối: tức là vận tốc tại đó lực cản cân bằng với lực hấp dẫn
𝑐
(đối với vật rơi theo phương thẳng đứng xuống dưới).
Tích phân phương trình (2), ta được:
𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥

∫𝑣0𝑥

𝑣𝑥

=−

g
𝑣𝑡

𝑡 (4)

Trong đó 𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼 là thành phần x của vận tốc. Vì thế:
ln (

𝑣𝑥

𝑣0𝑥

)=−

hay:
10

g
𝑣𝑡

𝑡 (5)


𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑒

−

𝑔𝑡
𝑣𝑡

(6)

Rõ ràng từ phương trình trên, lực cản khơng khí gây ra vận tốc ngang của vật, nếu thay
𝑣
đổi, nó sẽ phân rã theo cấp số nhân theo quy luật thời gian 𝑡.
𝑔

Tích phân phương trình (3), ta được:
𝑣𝑧 𝑑𝑣𝑧


=−

∫𝑣

0𝑧 𝑣𝑡 +𝑣𝑧

g
𝑣𝑡

𝑡 (7)

Trong đó 𝑣0𝑧 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 là thành phần z của vận tốc. Vì thế:
ln (

𝑣𝑡 +𝑣𝑧
𝑣𝑡 +𝑣0𝑧

)=−

g
𝑣𝑡

𝑡 (8)

hay:
𝑣𝑧 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑒

−

𝑔𝑡

𝑣𝑡

− 𝑣𝑡 (1 − 𝑒

−

𝑔𝑡
𝑣𝑡

) (9)

Do đó, theo phương trình (6) và (9), nếu quả đạn ở trong khơng khí lâu hơn nhiều so với
𝑣
thời gian 𝑡 thì nó sẽ rơi thẳng đứng xuống dưới với vận tốc cuối 𝑣𝑡 , bất kể góc ném
𝑔

ban đầu của nó.
Ngun hàm của phương trình (6) ta có:
𝑥=
Nếu 𝑡 ≪

𝑣𝑡
𝑔

𝑣0 𝑣𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔

(1 − 𝑒

−


𝑔𝑡
𝑣𝑡

) (10)

, phương trình trên được rút gọn thành:
𝑥 = 𝑣0 . 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑡 (11)

là kết quả thu được khi khơng có lực cản. Ngược lại nếu 𝑡 ≫
𝑥=

𝑣0 𝑣𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔

𝑣𝑡
𝑔

:

(12)

Biểu thức trên rõ ràng đặt ra một giới hạn hiệu quả về khoảng cách vật có thể di chuyển
được theo phương ngang.
Nguyên hàm của phương trình (9) cho ta:
𝑧=
Nếu 𝑡 ≪

𝑣𝑡
𝑔


𝑣𝑡
𝑔

(𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑣𝑡 ) (1 − 𝑒

−

𝑔𝑡
𝑣𝑡

, phương trình trên được rút gọn thành:

11

) − 𝑣𝑡 . 𝑡 (13)


1

𝑧 = 𝑣0 . 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑡 − 𝑔𝑡 2 (14)
2

là kết quả thu được khi khơng có lực cản. Ngược lại nếu 𝑡 ≫
𝑧=

𝑣𝑡
𝑔

𝑣𝑡

𝑔

:

(𝑣0 . 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑣𝑡 ) − 𝑣𝑡 . 𝑡 (15)

Ngẫu nhiên hay, phân tích phương trình ở trên cho thấy rằng lực cản của khơng khí chỉ
bắt đầu có ảnh hưởng đáng kể đến quỹ đạo sau khi vật đã bay trong khơng khí tới một
𝑣
thời điểm thời gian 𝑡
𝑔

Rõ ràng, từ hai phương trình trước đó, thời gian bay của vật (tức là thời gian tại đó 𝑧 =
0, khơng bao gồm kết quả nhỏ 𝑡 = 0 ) là
𝑡𝑓 =
Khi 𝑡 ≪

𝑣𝑡
𝑔

2𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼

nghĩa là 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≪ 𝑣𝑡 và:
𝑡𝑓 =

Khi 𝑡 ≫

𝑣𝑡
𝑔


(16)

𝑔

𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑔

(17)

nghĩa là 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≫ 𝑣𝑡 (tức là thành phần thẳng đứng của vận tốc ném lớn

hơn nhiều so với vận tốc cuối). Vì thế theo phương trình (11) và (12) rằng phạm vi ngang
[0, 𝑥(𝑡𝑓 )] của quỹ đạo chuyển động của vật là:
𝑅=

𝑣02 .𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑔

(18)

khi 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≪ 𝑣𝑡 . Và:
𝑅=

𝑣0 .𝑣𝑡 .𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔

(19)

khi 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≫ 𝑣𝑡 . Tất nhiên, phương trình (18) là kết quả thu được khi khơng có lực
cản.

Kết quả này cho thấy rằng, trong trường hợp không có lực cản của khơng khí, phạm vi
ngang lớn nhất

𝑣02
𝑔

đạt được khi góc ném 𝛼 nhận giá trị 45°. Mặt khác, cơng thức (19)

cho rằng, khi có lực cản của khơng khí, phạm vi ngang lớn nhất

𝑣0 .𝑣𝑡
𝑔

, đạt được khi

góc 𝛼 càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên, góc 𝛼 khơng được q nhỏ vì biểu thức (19) chỉ có
𝑣 .𝑣
nghĩa khi 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≫ 𝑣𝑡 . Trên thực tế, giả sử rằng 𝑣0 ≫ 𝑣𝑡 , phạm vi ngang tối đa 0 𝑡
đạt được khi 𝛼~

𝑣𝑡
𝑣0

𝑔

≪ 1. Do đó, chúng tôi kết luận rằng nếu lực cản của không khí là

đáng kể thì nó sẽ làm cho phạm vi nằm ngang của vật chia tỷ lệ tuyến tính, thay vì bậc
hai, với vận tốc ném 𝑣0 . Hơn nữa, phạm vi ngang tối đa đạt được với góc ném nhỏ hơn
nhiều so với kết quả tiêu chuẩn 45°.


12


Hình 3.2: Quỹ đạo chuyển động của vật khi có lực cản khơng khí
Hình 3.2 cho thấy một số quỹ đạo ví dụ được tính tốn, từ mơ hình trên, với cùng góc
𝑣
ném 45° nhưng với các giá trị khác nhau của tỷ lệ 0. Ở đây, 𝑋 = 𝑥 𝑣2 và 𝑍 = 𝑧 𝑣2 . Các
𝑣𝑡
⁄0
⁄0
đường liền nét, nét đứt, nét đứt dài và nét chấm gạch tương ứng với

𝑣0

𝑔

= 0; 1; 2; 4, tương

𝑣𝑡
𝑣0

ứng. Có thể thấy rằng khi sức cản của khơng khí tăng lên (tức là khi

𝑔

𝑣𝑡

tăng lên), thì tầm


ném của vật giảm. Hơn nữa, ln có khoảng thời gian ban đầu trong đó quỹ đạo giống
𝑣
với khoảng thời gian được tính tốn khi khơng có lực cản của khơng khí (tức là 0 = 0).
𝑣𝑡

Cuối cùng, khi có sức cản của khơng khí, vật có xu hướng rơi xuống dốc hơn là bay lên.
𝑣
Thật vậy, khi có sức cản của khơng khí mạnh (tức là 0 = 4), vật rơi gần như thẳng đứng.
𝑣𝑡

Quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường có quỹ đạo là một đường cong không
cân xứng. Chúng ta sẽ thấy rõ điều này một cách trực quan qua phần vẽ đồ thị bằng
Mathlab sau.
3.3. Mathlab
Như đã đề cập, không khó để đưa lực cản của mơi trường vào các phương trình đối với
một vật thể, nhưng việc giải nghiệm của chúng rất phức tạp. Tuy nhiên, với sự phát triển
của máy tính, nó khá dễ để làm xấp xỉ số chính xác cho các giải pháp này với một tốc

13


độ nhanh chóng. Một trong những chương trình có thể giải quyết vấn đề này cho chúng
ta là Mathlab.
Chúng tôi sẽ xây dựng một chương trình Mathlab để xác định quỹ đạo chuyển động ném
xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản.
Trước hết chúng tơi phải tiến hành giải thuật bài tốn để sao có thể nhập được dữ liệu
vào Mathlab. Từ cơ sở lý thuyết, để đơn giản hóa dữ liệu chúng tơi sẽ coi vật bay trong
mặt phẳng Oxy. Từ phương trình vi phân bậc hai đã tìm ở trên ta có hệ phương trình vi
phân theo x và y như sau :
h

ẋ (t) = 0
m
{
h
ÿ (t) + g + ẏ (t) = 0
m
ẍ (t) +

với các điều kiện ban đầu x0 = y0 = 0; v0x = v0 𝑐𝑜𝑠α; v0y = v0 𝑠𝑖𝑛α
Bây giờ chúng tôi sẽ viết thuật toán cho bài toán đã được nêu ra như sau:
Cho phương trình vi phân bậc 2
ℎ
𝑥̇ (𝑡 ) = 0
𝑚
{
ℎ
𝑦̈ (𝑡 ) + 𝑔 + 𝑦̇ (𝑡 ) = 0
𝑚
𝑥̈ (𝑡 ) +

Hãy viết chương trình giải nghiệm phương trình trên sau đó vẽ đồ thị và in kết quả ra
màn hình.
Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình để nhập vào chương trình
Bước 2: Nhập phương trình
Bước 3: Sử dụng các lệnh symbolic để giải hệ phương trình với điều kiện ban đầu
x0 = y0 = 0; v0x = v0 𝑐𝑜𝑠α; v0y = v0 𝑠𝑖𝑛α
Bước 4: In kết quả giải hệ phương trình ra màn hình để đối chiếu với kết quả ở phần cơ
sở lý thuyết
Bước 5: Sử dụng các lệnh symbolic để vẽ đồ thị từ nghiệm của hệ phương trình và in đồ
thị ra màn hình


14


Để dễ dàng cho lập trình, chúng tơi sẽ vẽ sơ đồ khối cho giải thuật này:

Bắt đầu

Nhập các dữ liệu để
giải phương trình (m, h,
v0, , t) vào mathlab

In nghiệm hệ phương trình ra màn hình
ℎ
𝑥̇ (𝑡 ) = 0
𝑚
{
ℎ
𝑦̈ (𝑡 ) + 𝑔 + 𝑦̇ (𝑡 ) = 0
𝑚
𝑥̈ (𝑡 ) +

có lực cản mơi trường
Vẽ đồ thị

Kết thúc

Hình 3.3: Sơ đồ khối cho bài tốn
Sau đây chúng tơi sẽ đi vào chi tiết về chương trình chúng tơi đã xây dựng được theo
các bước phía trên (phiên bản Mathlab mà chúng tôi sử dụng là R2020)


15


Đầu tiên chúng tôi cần khai báo và nhập dữ liệu từ bài tốn vào chương trình là khối
lượng m(kg) của vật, vận tốc ban đầu 𝑣0 (m/s), góc ném , hệ số lực cản h, thời gian bay
time(s) và biến t của hệ phương trình vi phân. Trong Mathlab chúng tôi sử dụng các lệnh
sau:
syms
Create symbolic variables and functions
Syntax
syms var1 ... varN
Description
syms var1 ... varN creates symbolic variables var1 ... varN. Separate different variables
by spaces. syms clears all assumptions from the variables.
Khai báo các biến:
syms m g v0 alpha h t time;

input
Request user input
Syntax
x = input(prompt)
Description
x = input(prompt) displays the text in prompt and waits for the user to input a value and
press the Return key. The user can enter expressions, like pi/4 or rand(3), and can use
variables in the workspace.
• If the user presses the Return key without entering anything, then input returns
an empty matrix.
• If the user enters an invalid expression at the prompt, then MATLAB® displays
the relevant error message, and then redisplays the prompt.

Nhập dữ liệu bài toán:
m = input('Nhập khối lượng của vật m(kg) = ');
v0 = input('Nhập giá trị vận tốc ban đầu của vật v0(m/s) =
');
alpha = input('Nhập góc ném của vật alpha(Radian) = ');
h = input('Nhập hệ số lực cản môi trường h = ');
time = input('Nhập thời gian bay của vật t(s) = ');

16


Giờ chúng tơi sẽ giải phương trình tham số x(t) và y(t) thơng qua giải các phương trình
vi phân tương ứng. Như đã đề cập phía trên ta có:
Phương trình vi phân tương ứng của x(t): 𝑥̈ (𝑡 ) +

ℎ
𝑚

𝑥̇ (𝑡 ) = 0

Phương trình vi phân tương ứng của y(t): 𝑦̈ (𝑡 ) + 𝑔 +

ℎ
𝑚

𝑦̇ (𝑡 ) = 0

với các điều kiện ban đầu x0 = y0 = 0; v0x = v0 𝑐𝑜𝑠α; v0y = v0 𝑠𝑖𝑛α
Để giải phương trình vi phân trong Mathlab ta có thể sử dụng câu lệnh sau:
dsolve

Solve system of differential equations
Syntax
S = dsolve(eqn)
S = dsolve(eqn,cond)
Description
S = dsolve(eqn) solves the differential equation eqn, where eqn is a symbolic equation.
Use diff and == to represent differential equations. For example, diff(y,x) ==
y represents the equation dy/dx = y. Solve a system of differential equations by
specifying eqn as a vector of those equations.
S = dsolve(eqn,cond) solves eqn with the initial or boundary condition cond.
Nhập phương trình vi phân với điều kiện ban đầu để giải:
x(t) = dsolve('m*D2x = -h*Dx','Dx(0)= v0*cos(alpha)','x(0) =
0');
y(t) = dsolve('m*D2y = -m*g-h*Dy','Dy(0) =
v0*sin(alpha)','y(0) = 0');

Hiển thị trực quan kết quả giải của phương trình để đối chiếu với kết quả thu ở phần cơ
sở lí thuyết bằng câu lệnh sau:
pretty
Prettyprint symbolic expressions
Syntax
pretty(X)

17


Description
pretty(X) prints X in a plain-text format that resembles typeset mathematics.
x(t) = dsolve('m*D2x = -h*Dx','Dx(0)= v0*cos(alpha)','x(0) =
0');

y(t) = dsolve('m*D2y = -m*g-h*Dy','Dy(0) =
v0*sin(alpha)','y(0) = 0');
pretty(x(t));
pretty(y(t));

Thu được kết quả:

Có thể thấy kết quả trả về khá giống với kết quả trong phần cơ sở lý thuyết
Giờ chúng tơi có thể vẽ đồ thị dựa vào kết quả trên trong khoảng thời gian bay của vật
[0,time]
fplot
Plot expression or function
Syntax
fplot(f)
fplot(f,xinterval)
fplot(funx,funy)
fplot(funx,funy,tinterval)
Description
fplot(f) plots the curve defined by the function y = f(x) over the default interval [-5
5] for x.
fplot(f,xinterval) plots over the specified interval. Specify the interval as a two-element
vector of the form [xmin xmax].

18