SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH
TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TƠNG
(Đề thi có 08 trang)

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
NĂM HỌC 2020-2021
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 1; y = 2 .

B. x = −1; y = 1 .

C. x = 1; y = 1 .

x+2
là
x −1

Mã đề 024

D. x = 2; y = 1 .

TSP-2021

Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ...................

Câu 2. Cho khối nón có thể tích bằng 15 chiều cao h = 5 . Đường kính đáy của khối nón đã cho
bằng
A. 9 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. ( −1;0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −2;0) .

TSP-2021

A. ( −1; 2 ) .

Câu 4. Cho khối lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối
lăng trụ đã cho bằng
A. 2a3 .

B.

2 3
a .
3


C.

4 3
a .
3

D. 4a3 .

Câu 5. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x3 − 3x 2 .

B. y = − x3 + 3x 2 .

C. y = x4 − 2x2 .

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

D. y = −x4 + 2x2 .

1


Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e 2 x −

e2x 1
+ +C .
C.
2 x


B. 2e + 2ln x + C .
2x

e2x
− ln x 2 + C .
D.
2

TSP-2021

e2x
A.
− 2 ln x + C .
2

1
là
x2

Câu 7. Quay một hình vng có chu vi là 8dm quanh một cạnh của nó ta được một khối trụ có
thể tích bằng

(

)

A. 2 dm3 .

(


)

(

B. 8 dm3 .

(

)

)

(

)

C. 8 dm2 .

D. 2 dm2 .

C. 0; + ) .

D. ( −; 0 ) .

x

Câu 8. Tập xác định của hàm số y = 2 − 3 là
A. ( 0; + ) .

B. ( −; + ) .


Câu 9. Một bạn có 4 áo xanh, 3 áo trắng và 3 quần mày đen. Hỏi bạn đó có bao nhiêu cách chọn
một bộ quần áo để mặc?
A. 21 .

2
B. C10 .

C. 36 .

D. 10 .

Câu 10. Cho khối chóp có thể tích bằng 10 diện tích đáy B = 5 . Chiều cao của khối chóp đã cho
bằng
A. 3.

B. 6.

C. 2.

D. 4.

Câu 11. Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như đường cong bên dưới?

B. y = x − 3x − 3x + 2 .

C. y = x3 − 3x + 2 .

D. y = x3 − 3x − 2 .


3

TSP-2021

A. y = x3 − 3x 2 − 3x − 2 .

2

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng
A. −1 .

B. 0 .

C. 2 .

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

D. 1 .

2


Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

−

A. Hàm số nghịch biến trên ( −;1) .


B. Hàm số đồng biến trên ( −; −1) .

C. Hàm số nghịch biến trên ( −; 0 ) ; (1; + ) .

D. Hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) .

Câu 14. Diện tích của một mặt cầu bằng 16 . Thể tích của khối cầu bằng
A. 128 .
3

B. 256 .
3

Câu 15. Nghiệm của phương trình
A. x = 2018 .

C. 32 .
3

D. 64 .

TSP-2021

Phát biểu nào sau đây là đúng?

3

2 x − 2 = 42021 là

B. x = 4038 .


C. x = 4044 .

D. x = 2023 .

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm phân thức bậc nhất chia bậc nhất và có đồ thị như hình vẽ
bên. Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2021 là

B. 1 .

C. 0 .

D. 3 .

TSP-2021

A. 2 .

Câu 17. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 2 và công bội q = 3 . Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân.
A. 24 .

B. 54 .

C. 162 .

Câu 18. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

D. 48 .

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số là

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

3


A. 3 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 2 .

Câu 19. Cho khối lập phương có cạnh bằng 4. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
A. 4 .

B. 12 .

C. 16 .

D. 64 .

)

A. 1; −2 .

B. 2 .

C. −1; 2 .


D. 1 .

Câu 21. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
A. 2 rl .

B.  rl .

D. 4 rl .

C. 1  rl .
3

(

)

Câu 22. Cho 0  a  1 . Giá trị của biểu thức M = 3log a a2 3 a bằng?
B. 3 .

A. 5 .

2

C. 5 .

D. 7 .

2

TSP-2021


(

Câu 20. Tập nghiệm dương của phương trình log 2 x2 − x − 1 = 0 là

4
2
Câu 23. Hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây

đúng?

B. a  0, b  0, c  0 .

C. a  0, b  0, c  0 .

D. a  0, b  0, c  0 .

Câu 24. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 24 x − 10 trên đoạn −
 10; 4 là
B. −15 + 29 3 .

A. −10 + 32 2 .

C. 36 .

D. 35 .

Câu 25. Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
sai với mọi x 


. Phát biểu nào sau đây là

?

 f ( 2x + 1) dx = 2F ( 2x + 1) + C .
C. ( F ( x ) ) ' = f ( x ) .
A.

1
 f ( 2x + 1) dx = 2 F ( 2x + 1) + C .
D.  f ( x ) dx = F ( x ) + C .
B.

(

)

Câu 26. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 2 ) x 2 − 4 . Số điểm cực trị của hàm
3

TSP-2021

A. a  0, b  0, c  0 .

số y = f ( x ) là
A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .


D. 4 .

Câu 27. Thể tích khối lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vng cạnh a và đường
GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

4


chéo AC = 2a bằng
A. 2a3 .

2a3 .

B.

C.

3a3 .

D. a3 .

A. 1 .

B. 4 .

Câu 29. Đồ thị hàm số y = −
A. 2 .

C. 2 .


B. 4 .

3

( x − 1)

2

C. 3 .

B. 2x + 3 ln ( x − 1) + C.

+ C.

D. 3 .

x4
+ x 2 + 1 cắt trục hoành tại mấy điểm?
2

Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. 2x −

TSP-2021

x x2 − 4
Câu 28. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2
là
x − 2x − 3


D. 0 .

2x + 1
trên khoảng ( −;1) là
x −1

C. 2x +

3

( x − 1)

2

+C .

D. 2x + 3 ln (1 − x ) + C

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
cùngvng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a; AD = a 3 và SC = 7a . Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
B. a 3 .

A. 3a 3 .

C. 2a 3 .

D. 4a 3 .


Câu 32. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các canh bằng nhau. Đặt

((CAB ) ; ( BCCB)) =  giá trị tan
A.

6.

B.



2.

C.

x −1

(x

2

− 2x + 3

)

2021

6
.
2


D. 2 3 .
3

dx , bằng cách đặt t = x2 − 2x + 3 ta đưa nguyên hàm đã cho về

dạng
A. I = 

1

( t + 3)

2021

dt .

B. I =

t

TSP-2021

Câu 33. Cho I =

bằng

1
2021


dt .

C. I =

1

 2t

2021

dt .

D. I = 

1
2 ( t + 3)

2021

dt .

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA = a 3 , đường thẳng SA vng
góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là
A. 30o .

B. 90o .

C. 60o .

D. 45o .


Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình log32 x − 2 log 3 x + 3  0 là
A. ( 3; 27 ) .

B. ( −; 3)  ( 27; + ) .

C. ( 0; 3)  ( 27; + ) .

D. 3; 27  .

Câu 36. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4x + sin x là

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

5


A. 2x − cos x + C .
2

B. x 2 − cos x + C .

C. 2 x 2 + cos x + C .

(

)

Câu 37. Xét các số thực a, b thỏa mãn log 2 2a.8b = log


2

2
D. x + cos x + C .

2 . Mệnh đề nào là đúng?

B. 2a + 8b = 2 .

C. 2a + 6b = 1 .

D. a + 3b = 2 .
m ln x + 4
Câu 38. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên
ln x + m
khoảng ( 0; e ) là ( a; b  . Khi đó a + b bằng
A. −3 .

B. −1 .

C. −2 .

D. 0 .

x3 −6 x − 4

Câu 39. Biết rằng phương trình

x = a − 3 b − 3 c , ( a, b, c 

A. 28 .

4x − 3x .2
3

2

) . Khi đó giá trị của
B. 24 .

x2

− 24x = 32 có nghiệm là

TSP-2021

A. 4ab = 1 .

2abc gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau
C. 55 .

D. 50 .

Câu 40. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một

quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền gần nhất với kết quả
nào sau đây biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó
khơng rút tiền ra.
A. 210 triệu đồng.

C. 220 triệu đồng.

B. 212 triệu đồng.
D. 216 triệu đồng.

Câu 41. Một thiết bị kỹ thuật là một khối tròn xoay. Mặt cắt của khối trịn xoay đó qua trục của nó
được mơ tả trong hình bên. Thể tích của thiết bị đó bằng

TSP-2021
A. 80 cm3 .
B. 312 cm3 .
C. 316 cm3 .
D. 79 cm3 .
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a . Hình
chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng

( ABCD ) một góc 45o . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD .
GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

6


A.

25 2
a .
2

B.


125 2
a .
4

C.

125 2
a .
2

D. 4 a2 .

Câu 43. Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi HSG có 10 bạn trong đội

TSP-2021

tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A1, 3 bạn từ 12A2, 5 bạn còn lại đến từ các lớp khác nhau.Thầy giáo
xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau.Tính
xác suất sao cho khơng có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau.
A. 73 .

B. 53 .

126

126

C. 5 .

D. 38 .


9

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có chiều cao là 9

63

3
a . Biết rằng tam giác ABC là tam giác
35

nhọn và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Hai mặt phẳng ( ABBA ) ; ( ACCA ) cùng

tạo với đáy một góc bằng nhau. Góc BAC = 60o , AC = 3AB = 3a. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và AC bằng
A.

2a
.
3

B.

a
.
3

C. a .

D.


3a
.
2

Câu 45. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

TSP-2021

Có bao giá trị của tham số m để phương trình 3 f ( sin x ) + m = 0 có lẻ nghiệm trên đoạn  − ;2 
A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 46. Cho các số thực a  b  0 thỏa mãn 3 log50 a = log 2 b = log5 ( 7a − 6b ) . Giá trị
B. 12 + 6 3 .

A. 22 .

C. 24 + 6 15 .

a
bằng
b

D. 36 .


Câu 47. Cho hình chóp SABC có thể tích là V, gọi M , H , I theo thứ tự là trung điểm BC , AM , SH

một mặt phẳng qua I cắt các cạnh SA, SB, SC tại các điểm A, B, C . Thể tích của khối chóp

SABC có giá trị lớn nhất là
A.

V
.
5

B.

V
.
3

C.

V
.
2

Câu 48. Cho hàm số F ( x ) = ( x − 1) e x là một nguyên hàm của hàm số
hàm của hàm số

f  ( x)
e2x


D.

f ( x)
ex

27 V
.
256

, họ tất cả các nguyên

là

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

7



x2 
A.  x +  e x + C
2 


B. x +

x2
+C .
2


C. x + x2 + C .

(

)

D. x + x2 e x + C

Câu 49. Cho các số thực dương x, y, z khi biểu thức

TSP-2021

 xy yz zx

P = log 2 (10x 2 + 7 y 2 + 15z 2 ) − 2 log 
+
+ + 2 ( x + y + z )  − 2 log ( xyz ) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá
x
y
 z


trị xyz gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau
A. 4 .

B. 7 .

C. 5 .

D. 6 .


Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn và có bảng biến thiên như sau:

( )

Số điểm cực trị của hàm số g x = e
A. 7 .

B. 6 .

−1
x2

( f ( x + 1)) là
3

C. 5 .

D. 4 .

TSP-2021

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

8


BẢNG ĐÁP ÁN
2
C

27
B

3
B
28
D

4
A
29
A

5
C
30
D

6
C
31
B

7
B
32
A

8
B

33
C

9
A
34
A

10
B
35
C

11
C
36
A

12
A
37
D

13
C
38
A

14
C

39
C

15
C
40
B

16
B
41
D

17
B
42
B

18
D
43
D

19
D
44
A

20
B

45
C

21
A
46
C

22
D
47
B

23
A
48
C

24
A
49
D

25
A
50
D

TSP-2021


1
C
26
C

LỜI GIẢI CÁC CÂU VẬN DỤNG-VẬN DỤNG CAO
m ln x + 4
Câu 38. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên
ln x + m
khoảng ( 0; e ) là ( a; b . Khi đó a + b bằng
B. −1 .

A. −3 .

C. −2 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn A.
Điều kiện ln x + m  0  0  x  e−m
m2 − 4 1
. .
Ta có y =
2
( ln x + m ) x
Hàm số biến trên khoảng ( 0; e )  y  0, x  ( 0, e )
2


−
m − 4  0
 2m2
  −m
  −m
 −2  m  −1 .
e  ( 0; e ) 
e  e

x3 −6 x − 4

4x − 3x .2
3

Câu 39. Biết rằng phương trình

x = a − 3 b − 3 c , ( a, b, c 
A. 28 .

2

) . Khi đó giá trị của
B. 24 .

x2

− 24x = 32 có nghiệm là

2abc gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau
C. 55 .


D. 50 .

Chọn C.
Điều kiện x 

3
.
4
x3 − 6 x − 4

Phương trình  4x − 3.2
 4 x − 3.

( 2)
4

4 x −3

Dễ thấy f ( t ) = t.

4x − 3 =

 3x − 4 
=

 x 

( 2)
4


x2

t2

 3x − 4 
= 8
  4 x − 3.
 x 

( 2)
4

9 x 2 + 24 x +16
x

 4 x − 3.

2

( 2)
4

( 2)
4

4 x−

4 x −3


24 x +16
x2

=

( 2)

 3x − 4 
=

 x 

đồng biến trên ( 0; + ) nên phương trình trở thành

3x + 4
 4x3 − 12x 2 − 24x − 16 = 0
x

12

4

 3x − 4 


 x 

( 2)
4


 3x−4 


 x 

2

TSP-2021

Lời giải

 2x3 − 6x 2 − 12x − 8 = 0  3x3 = ( x + 2 )  x 3 3 = x + 2
2
x= 3
= 1 + 3 3 + 3 9 = 1 − 3 −3 − 3 −9  2abc = 54 .
3 −1
3

Câu 40. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một
quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

9


suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền gần nhất với kết quả
nào sau đây biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó
khơng rút tiền ra.

Chọn B.

2
Sử dụng cơng thức tính lãi kép ta có số tiến sau 6 tháng là A = 100.000.000 (1 + 2% )
Số tiến sau 1 năm tháng là B = ( A + 100.000.000 )(1 + 2% )  212 triệu.
2

TSP-2021

B. 212 triệu đồng.
D. 216 triệu đồng.
Lời giải

A. 210 triệu đồng.
C. 220 triệu đồng.

Câu 41. Một thiết bị kỹ thuật là một khối tròn xoay. Mặt cắt của khối trịn xoay đó qua trục của nó
được mơ tả trong hình bên. Thể tích của thiết bị đó bằng

B. 312 cm3 .

C. 316 cm3 .

D. 79 cm3 .

TSP-2021

A. 80 cm3 .

Lời giải
Chọn D.
Ta thấy khối tròn xoay là hợp thành của khối tru có bán kính bằng 3cm, chiều cao bằng 8cm với

khối nón bán kính bằng 2cmchiều cao bằng 6cm. Phần chung của khối nón và khối trụ cũng là một
khối nón bán kính bằng 1cm chiều cao bằng 3cm.
1
1
Thay vào cơng thức tính thể tích ta được V = 8.32  + 3.22  − .3.12  = 79 (cm3 )
3
3
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a . Hình
chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng ( ABCD )
một góc 45o . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD .
25 2
125 2
125 2
a .
a .
A.
B.
C.
a .
2
4
2

2
D. 4 a .

Lời giải
Chọn B.

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh


10


TSP-2021

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD suy ra O chính là tâm đường trịn ngoại tiếp hình
chữ nhật ABCD. Ké đường thẳng d qua O vng góc với (ABCD) do d // SH nên d cắt SD tại F và
S là trung điểm DF. Mặt phẳng trung trực của SD cắt d tại I khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoai
tiếp chóp SABCD. Gọi G là trung điểm SD ta có IG vng góc SD.
15a
15a
Giả thiết suy ra SBH = 45o  SBH vuông cân tại B suy ra SH = BH =
.
 FO =
4
2

5 10a
3
15 10a
; FG = FD =
2
4
8
OD IG
OD.FG 5 10a
Ta có tan OFD =
=
 IG =

=
OF FG
OF
8
125 2
5 5a
a .
Bán kính của mặt cầu là R = SI = IG2 + GS2 =
do đó diện tích mặt cầu bằng
4
4
Dùng đinh lý Pitago tính được FD =

TSP-2021

Câu 43. Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi HSG có 10 bạn trong đội
tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A1, 3 bạn từ 12A2, 5 bạn còn lại đến từ các lớp khác nhau.Thầy giáo
xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau.Tính
xác suất sao cho khơng có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau.
A. 73 .

B. 53 .

126

126

C. 5 .
9


Lời giải:
Chọn D
Ta có khơng gian mẫu là n (  ) = 10!

D. 38 .
63

Gọi A là biến cố “ khơng có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”
A là biến cố “ có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”
A1 là biến cố “ học sinh A1 ngồi đối diện nhau”; A2 là biến cố “ học sinh A1 ngồi đối diện nhau”.

( )

Khi đó n A = n ( A1 ) + n ( A2 ) − n ( A1  A2 ) .
Xét biến cố A1 : Trước hết chon 1 trong 5 cặp ghế để xếp 2 hs A1 ngồi, đổi chỗ 2 bạn này có 2!
1
cách, 8 người cịn lại có 8! . Theo quy tắc nhân có n ( A1 ) = C5 .2!.8!

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

11


( )

1
2
2
2
Tương tự n ( A2 ) = C5 . A3 .8! ; n ( A1  A2 ) = A5 .2!. A3 .6! thay vào ta được P A =


Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có chiều cao là 9

25
38
 P ( A) = .
63
63

TSP-2021

3
a . Biết rằng tam giác ABC là tam giác
35

nhọn và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Hai mặt phẳng ( ABBA ) , ( ACCA ) cùng

tạo với đáy một góc bằng nhau. Góc BAC = 60o , AC = 3AB = 3a. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và AC bằng
A.

2a
.
3

B.

a
.
3


C. a .

D.

Lời giải:
Chọn A

3a
.
2

TSP-2021

Do tam giác ABC nhọn và ( ABC ) ⊥ ( ABC ) nên kẻ AH ⊥ BC  AH ⊥ ( ABC ) và H nằm trong đoạn
BC. Do hai mặt phẳng ( ABBA ) ; ( ACCA ) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên H cách đều

AB và AC do đó H là chân đường phân giác trong của góc BAC . Theo tính chất đường phân giác
BH AB
ta có
=
 CH = 3BH .
CH AC
Gọi I, J là các trung điểm của BC , BC  suy ra ( ABI ) // (CAJ ) do đó

(

) (
)
Kẻ KC = //AI  KC //AJ khi đó d ( I , (CAJ ) ) = d ( I , (CKAJ ) ) .

d ( I , ( CKAJ ) )
IC 2
2
=
=  d ( I , (CKAJ ) ) = d ( H , (CKAJ ) ) .
Ta có
3
d ( H , (CKAJ ) ) HC 3
1
1
1
Kẻ HD ⊥ KC , HF ⊥ AD  d ( H , (CKAJ ) ) = HF và
=
+
HF
HA HD
d ( AB, A ' C ) = d ( ABI ) , (CAJ ) = d I , (CAJ ) .

2

2

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

2

.

12



Ta có
BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB.AC cos A = 7a2  BC = a 7 , AI 2 =

 cos ICK =

8

 sin ICK =3

AI 2 + IC 2 − AC 2
8
. Do AICK là hình bình hành nên
=−
2 AI .IC
91
3
9 3
 HD = HC.sin HCD =
a thay vào được
91
4 13

91
1
1
1
1
2
=

+
= 2  HF = a  d I , (CKAJ ) = a .
2
2
2
3
HF
HA HD
a

(

)

Câu 45. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

TSP-2021

Xét tam giác AIC có: cos AIC =

AB2 + AC 2 BC 2 13a2
13
.
−
=
 AI = a
2
4
4
2


Có bao giá trị của tham số m để phương trình 3 f ( sin x ) + m = 0 có lẻ nghiệm trên đoạn  − ;2  .
A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn C.
Đặt t = sin x, −1  t  1 . Xét đồ thị y = sin x trên đoạn  − ;2  (có thể dùng bảng biến thiên)

−m
(*) dựa vào bảng biến thiên của hàm f ( x) ta thấy chỉ có
3

TSP-2021

Phương trình trở thành f ( t ) =

−m
= −2 phương trình (*) có nghiệm t = 1 suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Các trường họp
3
cịn lại phương trình có chẵn nghiệm hoặc vơ nghiệm. Vậy m = 6 là giá trị thỏa mãn.
Câu 46. Cho các số thực a  b  0 thỏa mãn 3 log50 a = log 2 b = log5 ( 7a − 6b ) . Giá trị a bằng
b

A. 22 .


B. 12 + 6 3 .

C. 24 + 6 15 .
Lời giải

D. 36 .

Chọn C.
t
t

 x = 50 , y = 8
Đặt 3log 50 x = log 2 y = log 5 ( 7 x − 6 y ) = 3t suy ra 
t

7 x − 6 y = 125

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

13


t

t

t

 25 

 125 
5
 7.50 − 6.8 = 125  7.   − 6 = 
 . Đặt u =   ta được
 4 
 8 
2
 u = 1( l )
t
t

x  50   25 
3
2
=   =   = u2 = 24 + 6 15 .
u − 7u + 6 = 0   u = 3 − 15 ( l ) . Do
y
 8   4 

u
=
3
+
15(
tm
)

t

t


t

TSP-2021

Câu 47. Cho hình chóp SABC có thể tích là V, gọi M , H , I theo thứ tự là trung điểm BC , AM , SH

một mặt phẳng qua I cắt các cạnh SA, SB , SC tại các điểm A, B, C . Thể tích của khối chóp

SABC  có giá trị lớn nhất là
A.

V
.
5

B.

V
.
3

V
.
2
Lời giải
C.

D.


27 V
.
256

Chọn B.

)

(

)

TSP-2021

(

1
1
1
1
1
1
1

Ta có SI = SH = SA + SM =  SA + SB + SC   SI = SA + SB + SC
2
4
4
2
4

8
8

y
x
z
SA
SB
SC
Đặt
= x,
= y,
= z suy ra SI = SA + SB + SC do bốn điểm I , A, B, C đồng phẳng nên
4
8
8
SA
SB
SC
x y z
+ + = 1  2x + y + z = 8 .
4 8 8
V
SA SB SC 
1
V
=
 VSABC =
Ta có SABC =
.

VSABC
SA SB SC xyz
xyz

2x + y + z = 8
Bài toán trở thành tìm giá thị nhỏ nhất của P = xyz với giải thiết 
.
 x, y , z  1
Ta có 2x + y + z = 8  8  2x + 2  1  x  3 .

Lại có ( y − 1) ( z − 1)  0  yz  y + z − 1 = 7 − 2 x  0 thay vào ta được
P = xyz  x ( 7 − 2x ) = −2x2 + 7 x = f ( x ) lập bảng biến thiên của f ( x ) trên 1;3 ta được

f ( x )  3 do đó giá trị lớn nhất của VSABC là

V
.
3

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

14


f ( x)

Câu 48. Cho hàm số F ( x ) = ( x − 1) e x là một nguyên hàm của hàm số
hàm của hàm số

e2x


, họ tất cả các nguyên

là
B. x +

x2
+C .
2

(

C. x + x2 + C .

)

D. x + x2 e x + C

Lời giải
Chọn C.

Xét



f  ( x)
e2x


1

−2 x
u = 2 x
du = −2e dx
. Suy ra

dx đặt 
e
dv = f  ( x ) dx v = f  ( x )




Do hàm số F ( x ) = ( x − 1) e x là một nguyên hàm của hàm số

(( x −1) e ) ' =
x

f ( x)
e

x

 xe x =

f ( x)
e

x

f  ( x)

e2x
f ( x)

 f ( x ) = xe 2 x thay lại ta được

ex



dx = e −2 x f ( x ) + 2 e −2 x f ( x ) dx

nên

f  ( x)
e

TSP-2021


x2 
A.  x +  e x + C
2 


f  ( x)

ex

2x


dx = x + 2 xdx = x + x2 + C .

Câu 49. Cho các số thực dương x, y, z khi biểu thức
 xy yz zx

P = log 2 (10x 2 + 7 y 2 + 15z 2 ) − 2 log 
+
+ + 2 ( x + y + z )  − 2 log ( xyz ) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá
x
y
 z


trị xyz gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau
A. 4 .

B. 7 .

C. 5 .

D. 6 .

TSP-2021

Lời giải
Chọn D.
Viết lại P = log 2 (10x2 + 7 y 2 + 15z 2 ) − 2log ( x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 + 2xyz ( x + y + z ) )

= log 2 (10x 2 + 7 y 2 + 15z 2 ) − 2 log ( xy + yz + zx ) = log 2 (10 x 2 + 7 y 2 + 15z 2 ) − 4 log ( xy + yz + zx )
2


Ta cần chỉ ra 10 x 2 + 7 y 2 + 15z 2  m ( xy + yz + zx ) để đưa P về về một biến ta biến đổi như sau:

20 x 2 + 14 y 2 + 30 z 2  2m ( xy + yz + zx )

 ( 20 + m ) x 2 + (14 + m ) y 2 + ( 30 + m ) z 2  m ( x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + yz + zx )

( x + y + z)
x2
y2
z2

+
+

1
1
1
1
20 + m 14 + m 30 + m
m
Mặt khác theo bất đẳng thức SCHWARZ

2

( x + y + z)
x2
y2
z2
+

+

Ta có
1
1
1
1
1
1
+
+
20 + m 14 + m 30 + m 20 + m 14 + m 30 + m
1
1
1
1
Đến đây ta chỉ việc chọn m thỏa mãn
+
+
= giải ra ta chọn được m = 10 .
20 + m 14 + m 30 + m m
2

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

15


Vậy ta được 10x2 + 7 y 2 + 15z 2  10 ( xy + yz + zx ) dấu bằng xảy ra khi


Từ đó ta có P  log2 (10 ( xy + yz + zx ) ) − 4log ( xy + yz + zx ) = ( log ( xy + yz + zx ) −1)  0
2

5
3

15 3 600 10
 y = x; z = x
Dấu bằng xảy ra 
.
4
4  xyz = x =
16
47 47
 xy + yz + zx = 10

Câu 50. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn và có bảng biến thiên như sau:

( )

Số điểm cực trị của hàm số g x = e

( f ( x + 1)) là
3

B. 6 .

C. 5 .

D. 4 .


Lời giải
Chọn D.

(

)

 f x +1 2 = 0
)
(1)
 (
 2

2
x
g ( x ) = e
f ( x + 1)  3 f ( x + 1) + 3 f  ( x + 1 )  = 0  
2
x

 3 f ( x + 1) + 3 f  ( x + 1) = 0 ( 2 )
x
Ta thấy (1) các nghiệm của 1 là nghiệm bỗi chẵn nên qua đó g ( x ) khơng đổi dấu.
−1

(

Xét phương trình ( 2 ) :


)

2

2
2
f (t ) + 3 f  (t ) = 0
f ( x + 1) + 3 f  ( x + 1) = 0 đặt t = x + 1 ta đươc
3
3
x
( t − 1)

Do f ( t ) , f  ( t ) không đồng thời bằng không nên
Dựa vào bảng biến thiên ta có

2

+3

f  (t )

= 0 (* )

f (t )
( t − 1)
f ( t ) = a ( t − t )( t − t )( t − t )( t − t )
1

3


2

3

Tính đạo hàm rồi thay vào ta được phương trình trở thành (* )

TSP-2021

A. 7 .

−1
x2

TSP-2021

x
y
z
=
=
 15 x = 12 y = 20 z
1
1
1
30 24 40
Ngồi ra ta cũng có thể dùng phương pháp cân bằng hệ số trong bất đẳng thức CAUCHY để chứng minh
25 2

x + 4 y 2  10xy 

4

15 2 20 2

x + z  10xz  cộng các vế ta được 10x2 + 7 y 2 + 15z 2  10 ( xy + yz + zx ) .
4
3

25

2
2
3y + z  10 yz 
3


4

2

( t − 1)

3

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

+

3
3

3
3
+
+
+
=0
t − t1 t − t2 t − t3 t − t4

16


Xét hàm số h ( t ) =

2

( t − 1)

3

 h (t ) =

+

3
3
3
3
+
+
+

t − t1 t − t2 t − t3 t − t4

−6

+

Ta có bảng biến thiên của h ( t )

t

−

h ' (t )
h (t )

−3

( t − t1 )

t1

−

2

+

−3

( t − t2 )


2

+

−3

( t − t3 )

t2

−

+

2

−3

( t − t4 )

t3

−

+

.

2


−

+

−

+

+

t4

1

−

+

+

0

TSP-2021

( t − 1)

4

0


−

−

−

−

−

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình h ( t ) = 0 ln có 4 nghiêm đơn phân biệt do đó hàm số

g ( x ) có 4 điểm cực trị.
==========THE END=========

TSP-2021

GV: Trương Đức Thịnh - THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh

17