<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Các bài toán cơ bản về Phương trình đường thẳng</b>
<b>Dạng 1 : Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coự vtcp </b>u



<b>= (a; b; c).</b>
<b> </b>Phương pháp: PT tham số của đường thẳng d là:

a
: b
c
 


  

  


o
o
o

x x t

(d) y y t ; t

z z t _{Chú ý: Nếu abc}_₀_{thì (d) có PT chính tắc là:} _b _c0

 

 

o o z-z

x x y y
a

Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm
thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.

<b>Dạng 2</b>:<b> </b><i> </i><b>ẹửụứng thaỳng (d) ủi qua 2 điểm A, B.</b>
Bước 1: Tìm AB

Bước 2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận AB



làm véc tơ chỉ phương.
<b>Dạng 3: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua A vaứ song song với đường thẳng </b><b>.</b>

B1: Tỡm VTCP


<i>u</i>_của_.

B2: Viết PT đường thẳng d đi qua A và nhận <i>u</i> làm VTCP.

<b>Dạng 4: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua điểm A vaứ vuoõng goực mp(</b><b>)</b>
B1: Tỡm VTPT cuỷa (a) laứ


<i>n</i>_.

B2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận


<i>n</i>_{làm VTCP.}

<b>Dạng 5:Viết PT đửụứng thaỳng (d) đi qua điểm A vaứ vuoõng goực với cả 2 đường thẳng (d1),</b>
<b>(d2)</b>

B1: Tỡm các VTCP 1, 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

<i>u u</i> _{của d}

1; d2.

B2: Đường thẳng d coự VTCP là:



<i>u</i>₌_ 1, 2_
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<i>u u</i>

B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận u


làm VTCP.
<b>Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:</b>
<b> (P): Ax+By+Cz+D=0</b>

<b> (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0</b>

<i><b>Cách 1: </b></i>

B1: Giải hệ

Ax By Cz D 0
A ' x B' y C 'z D ' 0

   




   

 _{tìm một nghiệm}(x ; y ; z )0 0 0 _{ta được 1 điểm M}(x ; y ; z )0 0 0
_{d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn cịn lại tìm 2 ẩn cịn lại)}

B2: Đường thẳng d có VTCP là:

b c c a a b

u ; ;

b ' c' c' a' a' b'

 

 

 



B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M(x ; y ; z )0 0 0 và nhận u


làm VTCP.

<i><b>Cách 2: </b></i>

B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, Bd_{. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT trên)}

B2: Viết PT đường thẳng AB.

<i><b>Cách 3:</b></i> Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x=t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham
số của d.

<b>Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).</b>
B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vng góc với mp(P).

B2: Hình chiếu cần tìm d’=(P) (Q)

(Chú ý: Nếu d(P)thì hình chiếu của d là điểm H=d (P)

<b>Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng </b>

<b>d</b>

1<b>_,</b>

<b>d</b>

2

<i>Cách 1:</i> B1: Viết PT mặt phẳng (_{) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d}₁_.

B2: Tỡm giao điểm B=( ) d  2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Cách 2:</i>

B1: Viết PT mặt phẳng (_{) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d}₁

B2: Viết PT mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
B3: Đường thẳng cần tìm d ( ) ( )   

<b>Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.</b>
B1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.

B2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
B3: Đường thẳng cần tìm d=(P) (Q)

<b>Dạng 10:Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vng góc đường thẳng </b>

<b>d</b>

1<b>_{và cắt đường thẳng}</b>

<b>d</b>

2

<i>Cách 1: </i>

B1: Viết PT mặt phẳng ( _{) qua điểm A và vng góc đường thẳng d}₁_.

B2: Tỡm giao điểm B   ( ) d2

B3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
<i>Cách 2<b>:</b></i>

B1: Viết PT mp (_{) đi qua điểm A và vng góc với d}₁_.
B2: Viết PT mp ( ) đi qua điểm A và chứa d2.

B3: Đường thẳng cần tìm d ( ) ( )   

<b>Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mặt phẳng ( </b><b>_{) và cắt đường thẳng d’}</b>

<i>Cách 1:</i>

B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(_).
B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
B3: Đường thẳng cần tìm d (P) (Q) 

<i>Cách 2:</i>

B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng ( ₎
B2: Tỡm giao điểm B =(P) d '

B3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.

<b>Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .</b>
B1: Tỡm giao điểm A d1(P)_{; B}d2(P)

B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

<b>Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và vng góc đường thẳng d’ cho trước tại </b>
<b>giao điểm I của d’ và mp( P ).</b>

B1: Tỡm giao điểm I = d’_{( P ).}
B2: Tìm VTCP u



của d’ và VTPT n của (P) và vu, n

  

B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và cú VTCP v


<b>Dạng 14: Viết PT đường vng góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.</b>

<i>Cách 1:</i>

B1: Tìm các VTCP u , u1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

của d1 và d2 . Khi đó đường thẳng d có VTCP là 1 2

u_u , u 

 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

B2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT 1 1

n u, u 

 

  

B3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT 2 2

n u, u 

 

  

B4: Đường thẳng cần tìm d (P) (Q)  . (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
<i>Cách 2: </i>

B1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)d1; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)d2 là chân các đường
vng góc chung của d1 và d2.

B2: Ta có

1 1

2 ₂

MN d MN.u 0

t, t '

MN d _MN.u ₀



 

 

 

 

 _

 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

B3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường
thẳng đi qua 2 điểm M, N

(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau)
<b>Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vng góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.</b>

B1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vng góc với (P).
B3: Đường thẳng cần tìm d (P) (Q) 

</div>

<!--links-->