Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 3 tháng 9 năm 2015

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Tuần 3 tháng 9 năm 2015

<b>Mỗi tuần một bài toán</b>

Đ

<b>Đề bài</b>

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) và Dlà một điểm
thuộc cung BC không chứaA. M là trung điểmBC.P là một
điểm nằm trên đường thẳng DM.E, F thuộcCA, AB sao cho

P E kDC vàP F kDB. Gọi tiếp tuyến tạiE, F của đường tròn

(K)ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tạiT. Gọi tiếp tuyến tại

B, C của (O) cắt nhau tại S. Q thuộc (O) sao cho DQk BC.
Chứng minh rằng AQkST.

<b>Lời giải</b>

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>C</i>

<i>O</i>

<i>D</i>

<i>M</i>

<i>P</i>

<i>F</i>

<i>E</i>

<i>K</i>

<i>G</i>

<i>Q</i>

<i>T</i>

<i>R</i>

<i>S</i>

Ta dễ thấy tứ giácAEP F nội tiếp đường tròn(K). GọiDP cắt

(O)tạiGkhácD. DoP F kDB nên∠F P G=∠BDG=∠BAG

từ đó Gthuộc(K). Từ đó dễ có tam giác GF E vàGBC đồng
dạng. Chú ý chùm D(BC, M Q) = −1 nên hàng (BC, GQ) =

−1. Gọi AQ cắt (K) tại R khác A thì theo tính đồng dạng

(EF, GR) = −1 hay tứ giác GERF điều hòa, suy ra GR đi
qua T. Cũng từ tam giác GF E và GBC đồng dạng, lại có T

là giao hai tiếp tuyến tại E, F của (K) và S là giao hai tiếp

tuyến tại B, C của (O), nên hai tam giác GF T và GBS đồng
dạng. Từ đây suy ra tam giácGF B vàGT S đồng dạng. Từ đó

∠GT S = ∠GF B = 180◦−_∠GF A = 180◦−_∠GRA= ∠GRQ.
Từ đó suy ra AQkST. Ta có điều phải chứng minh.

<b>Nhật xét</b>

Bài tốn trên là một mở rộng cho bài tốn của chính tác giả đề
nghị trên báo TH&TT. Bài toán trên báo là trường hợp riêng khi

AD là đường kính của(O) thìDM đi qua trực tâmH của tam
giác hơn nữa AQ⊥ BC, do đó tiếp tuyến tại E, F của đường
tròn ngoại tiếp tam giác AEF sẽ cắt nhau trên trung trực BC.
Bài tốn có giá trị ứng dụng lớn. Chẳng hạn khi cho Dlà trung
điểm cung nhỏ BC thì P có thể coi là điểm bất kỳ trên trung
trực BC. Với cách dựng tương tự thìST sẽ song song với phân
giác ∠BAC, từ đó ta có thể tạo ra được một bài tốn đi qua
điểm cố định thú vị.

Bài toán cũng được quan tâm và đưa ra lời giải khác ngay trên
bloghình học sơ cấp. Một lời giải khác rất đẹp và thuần túy hình
học được đưa ra bởi bạn Nguyễn Tiến Dũngsinh viên Khóa
50 Đại học Ngoại thương. BạnNguyễn Cảnh Hồng lớp 11A1
Tốn, trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An cũng cho
lời giải khác dùng hàng điểm điều hịa ởđây.

<b>Bài tốn đề nghị</b>

Cho tam giácABC có phân giác trongBE.Dlà điểm thuộcBC

sao cho ∠DAC = ∠B.K là tâm nội tiếp tam giác ADC. EK

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABE tại Lkhác E. Chứng
minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác LBC nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

<i>A</i>

<i>B</i>

<i>D</i>

<i>C</i>

<i>K</i>

<i>E</i>

<i>L</i>

<i>S</i>

Mọi trao đổi xin gửi về email

• 148
• 3
• 13