Dạng I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD = 12a,
MN = 10a. CM AB vng góc với CD
Bài 2: Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. CM
a)AM vng góc với BC và SM vng góc với BC
b) SA vng góc với BC
bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. ( ) song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần lượt
tại M, N, P, Q
a)
Tứ gicá MNPQ là hình gì
b)
Xác định vị trí ( ) sao cho Mp vng góc NQ
Bài 4: Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AD và góc A = 900. Biết AD = 2BC
= 2AB.CM: AC vng góc CD
b)Với E là trung điểm AD tìn giao tuyến của 2 mp(SBC) và (SCD) biết góc SCD = 90 0. Xác định
góc giữa SA và BE
DẠNG II. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng khi nó vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
a
b

b, c cắt nhau , b,c �(P ) , a  b, a  c � a  (P )

c

P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vng góc với mặt phẳng thì

đường thẳng kia cũng vng góc với mặt phẳng
b

a

P

a // b , b  (P ) � a  (P )

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong
mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vng góc với mặt phẳng kia
Q

a
b

(P ) �(Q)  b �
�� a  (P )
a �(Q),a  b�

P

C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của hai mặt phẳng này cũng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó
1



( )
P


( )


( ) �( )  
�
��   (P )
( )  (P ),( )  (P )�

Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp:
Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
Hình thoi, hình vng có 2 đường chéo vng góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là trung
điểm BC.a)chứng minh BC vng góc AD
b)kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vng góc với mp(BCD)
bài 2: Cho hình chop SABC. SA vng góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.CM BC
 SB
b)Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH  (SBC), SC 
( AHK)
Bài 3: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng
minh

2


a)SO vng góc với (ABCD)
BÀI 4: Cho hình chóp S.ABC có SA =
BC.

a)

BC  SA

b)AC vng góc SD
a 6
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm
2

b)

SI  (ABC)

3


DẠNG III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đường thẳng và mặt
phẳng
Các định lý
b

a

P

 a // b
 b  ( )
 a  ( )

1. 


 

3.  a     // 
a  


 (  ) //( )
 a  ( )
a 

2. 

 a b
a  b
a  

 
4.  a    a // b 5. 
  b
 a // 
b  


B. Bài tập ứng dụng
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, SA vng góc (ABCD). Gọi  là mặt
phẳng qua A và vng góc với SC,  cắt SC tại I.
a)
Xác định giao điểm của SO và 
b)

CM BD vng góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và 
c)
Xác định giao tuyến của (SBD) và 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, SA vng góc (BCD) và SA = AB.
Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vng góc với (AHD)
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH  (ABC).
Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN 
(ABC)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, SA  (ABC)
a)
Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. CM BC  (SAB) và AH  (SBC)
b)
Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. CM SC  (AHK)
c)
Kẻ đường cao BM trong tam giác . CM BM //(AHK)
DẠNG IV. Mặt phẳng vng góc mặ phẳng
Phương pháp chứng minh
�( ) �( )   , Ox �( ),Ox   , Oy �( ),Oy  
.C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một
Khi đó:
vng.
�   : 0 � �90o
góc (( );( ))  góc (Ox;Oy)  xOy
�( )  ( ) �   90o

B. Bài tập ứng dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S.
Gọi O là tâm hình thoi
a)
CM SO  (ABCD)

b. CM (SAC)  (SBD)
Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA  đáy
a)
CM: (SAB)  (SBC)
b)
Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC)  (SBM)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a)
CM: (SAC)  (ABC)


b)
Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK)  (SBC)
c)
Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AI  AH
Bài 4: Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vng góc với nhau . AC =AD =BC
=BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD
a)
CM: IJ  AB , IJ  CD
b)
Tính IJ và AB theo a và x
c)
Xác định x sao cho (ABC)  (ABD)
Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng
a 6
vng góc với (ABC). CM
2
(SAB)  (SAC)
b) (SBC)  (SAD)


đoạn SD =

a)
Bài 6: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vng tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có
trong mặt phẳng vng góc với (ABC).
a)
CM: (SBC)  (SAC)
b) Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI)  (SBC)
V.CÁCH XÁC ĐINH GĨC
Lý thuyết
Góc của hai đường thẳng
A
a'

a

 =

O
b'






Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
�
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB

Thường chọn điểm O �a hoặc O



Chọn điểm O thuộc giao tuyến của  và  .
OA �( )
OB �( )
�
�
Dựng qua O : �
và �
OA  
OB  
�
�
�
Góc ( ,  ) = Góc (OA,OB ) = AOB


B

b

Góc của hai mặt phẳng





O




B

A



Chú ý: * 0 � �90o
* Nếu   90o thi chọn góc (�
 ;  )  180o  




Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng
A
a


B


O








Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
Dựng qua AB  ( ) tại B.
Dựng giao điểm O của a và  nếu chưa có.
( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (  ))
�
Khi đó: Góc (a;( )) = Góc (OA,OB ) = AOB


Bài tập
Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
Góc giữa AB và (BCD)
Góc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC)
Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, cạnh a, SO vng góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600.
Tính MN và SO
Tính góc giữa MN và (SBD)
VI.KHOẢNG CÁCH:
B. Bài tập
Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA  (ABC) và SA = a
CM: (SAB)  (SBC)
Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA  (ABCD) & SA = 5.
Tính các khoảng cách từ:



A đến (SBD)
C, O đến (SBC)
A đến (SBC)
Cho hình chop S.ABCD có đáy SA  (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB =
BC =

AD
= a, SA = a
2

CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng
Tính k/c từ A đến mp(SBC)
Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vng góc với nhau. Tam giác ABC
vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC = a.
a)CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b)Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vng góc chung của AD và BC
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvng tại C, SA  ( ABC )
Chứng minh rằng: BC  ( SAC )
Gọi E là hình chiếu vng góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  ( SBC )
Gọi mp(P) đi qua AE và vng góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  ( P )
Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  ( SAB )
bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB là tam giác đều,
( SAB )  ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng:

FC  ( SID )

bài 3: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
SA  ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vng

Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vng, E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD  a 2 ,
SA  ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng:

( SAC )  ( SMB)