Bất đẳng thức đại số và phương pháp PQR - Lê Phúc Lữ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.54 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

30
PHẦN 7. BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP PQR

Ta biết rằng phương pháp pqr là các tiếp cận mạnh và hiệu quả cho nhiều bài BĐT đối xứng 
ba biến. Trong đó, ta đặt pxyz q, xyyzzx r, xyz.

Thông dụng nhất sẽ là : p 3 q3,r1; còn nếu r 1 p3,q3.

Đi đơi với phương pháp này, ta có BĐT Schur để đánh giá các quan hệ giữa các đại lượng. 
Chẳng hạn như

2
(4 )

max , 0

p q p

r   

 

.

Chú ý: phương pháp này chỉ dùng được khi đề bài cho các số thực dương hoặc không âm. 
Bài 7.1. (Quảng Nam) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz zx3. Chứng minh
rằng 3 3 3

7 10

x  y z  xyz .
Lời giải. Ta có 3 3 3 3

9 3

x  y z  p  p r nên BĐT đã cho viết lại thành
3

9 10 10.

p  p r

Vì q3 và

2 2

(4 ) (12 )

9 9

p q p p p

r    nên ta có hai trường hợp :

- Nếu 2

p  thì 3 2

9 ( 9) 3 6 3 10

p  p p p   p  , BĐT cần chứng minh là đúng.

- Nếu 2

p  thì 3 3 10 3

9 10 9 (12 )

p  p r p  p pp , ta đưa về chứng minh

10
9

p p

 hay 2

(p3)(p 3p30)0.

BĐT cuối đúng do p 3 0 và p2 12,3p6 3 nên 2

3 30 0.

p  p 
Bài 7.2. (Vũng Tàu)

a) Chứng minh rằng nếu a b c, , 0 mà 1 1 1 1

1 1 3 a 1 1 3 b 1 1 3 c  thì abc1.

b) Chứng minh rằng nếu a b c, , 0 thì

2 1.

3
sym

a

a a bc



 



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

a) Đặt 3 , 3 , 3

1 1 3 1 1 3 1 1 3

x y z

a b c

  

      thì xy z 3 và

, , 0;

x y z  
 .

Ta cũng tính được a 3 22 x,b 3 22 y,c 3 22 z

x y z

  

   nên đưa về

2 2 2

(3 2 )(3 2 )(3 2 ) x  y  z  x y z hay

2 2 2

(x yz z)( xy y)(  z x)x y z .

Nhân hai vế cho 3

(xyz) 27, ta có

2 2 2 2 2 2 4 4 4 3

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2

( )( )( )( )

2( ) ( ) ( )

9 2( ) ( ) ( )

x y z z x y y z x x y z

x y y z z x x y z x y z

       

 

        

 

         

Ta đưa về chứng minh 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2(x y y z z x ) (x y z ) (x y z ) 3x y z

         

  .

Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, ,

px y z qx y  y z z x r x y z thì cần có

(4q p )p3r hay

(4 3 )

p q p

r  ,

đúng theo BĐT Schur.

b) Chia tử và mẫu của các phân thức cho a b c, , rồi đặt x bc2,y ca2 ,z ab2

a b c

   thì xyz1 và

cần chứng minh 1 1 1 1.

1 1 3 x 1 1 3 y 1 1 3 z 

Giả sử phản chứng rằng BĐT sai, tức là VT 1. Thay ( , , )x y z ( , , )x y z sao cho VT 1 thì
z z nên xyz 1. Nhưng theo câu a thì xyz 1 nên mâu thuẫn, ta có đpcm.

Bài 7.3. (Ninh Bình) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn 2 2 2

(a 1)(b 1)(c 1)8. Tìm giá
trị lớn nhất của Pab bc ca  .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

32
Dự đoán abbcca3. Ta giả sử rằng abbcca3. Thay ( , , )a b c ( , , )a b c với c c
sao cho abbcc a 3. Khi đó, 2 2 2

(a 1)(b 1)(c 1)8. Ta cần chỉ ra điều vơ lý.

Ta giải bài tốn sau: Giả sử x y z, , là các số thực dương và xyyzzx3. Ta cần chứng minh

rằng 2 2 2

(x 1)(y 1)(z 1)8.

Ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( 1)( 1)( 1) 1

2 2 1 2 4

x y z x y z x y y z z x x y z

r q pr p q r pr p

          

         

Ta cần chứng minh rằng 2 2

2 4 8

r  pr p   hay 2

(pr) 4.

Chú ý rằng khi q3 thì p3,r1 nên p r 2, điều này cho thấy 2

(pr) 4. Do đó, bất
đẳng thức cần chứng minh ở trên là đúng.

Bài 7.4. (chọn đội tuyển KHTN) Cho a b c, , 0, chứng minh rằng

3 3 3 1 1 1 2 2 2

(a b c ) 6(ab bc ca) 9(a b c ).

a b c

 

          

 

Lời giải. Ta viết lại BĐT đã cho thành

3 2

(p 3pq 3 )r q 6q 9(p 2 )q

r

     .

Chuẩn hóa q3, ta đưa về (p3 9p 3 )r 3 18 9(p2 6)
r

     hay

3 ( 9)

9 81

p p

p
r



  hay 2

(p 9)(p3 )r 0.

BĐT cuối đúng vì p3,r1.

Bài 7.5. (chọn đội tuyển KHTN) Cho a b c, , 0, chứng minh rằng

6 6 6

2 2 2

a b c a b c

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trường Đông miền Nam 2019 – Hướng tới kỳ thi VMO 2019 – 2020

33
Lời giải. Đặt x 2a ,y 2b ,z 2c xy yz zx xyz 4.

b c c a a b

       

   Ta cần có

6 6 6

12.

1 1 1

x y z

     

  

Khi đó vẫn với quy ước p x yz q, xyyzzx r,  xyz thì q r 4. Ta cần chứng minh

6rp p126r(p3)(p4)0. (*)

Theo BĐT Schur thì 3

9 4

p  r pq hay

3 3 16

9 4 (4 ) (9 4 ) 16

9 4

p p

p r p r r p p p r

p


        

 .

- Nếu p4 thì BĐT (*) đúng.

- Nếu p4 thì thay vào (*), ta có

6(16 ) (4 )( 3)(2 9)

6 ( 3)( 4) ( 3)( 4) 0

9 4 4 9

p p p p p

r p p p p

p p

   

        

  ,

</div>

Bất đẳng thức đại số và phương pháp PQR - Lê Phúc Lữ



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về