Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác và các bài toán liên quan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (290.75 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỔ ĐỀ VỀ HAI ĐIỂM LIÊN HỢP ĐẲNG GIÁC

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Giới thiệu

Bài viết này lấy cảm hứng từ bài toán của thầy Nguyễn Văn Linh đưa lên group "Hình học
phẳng" liên quan đến hai điểm đẳng giác. Đã có vài lời giải đăng lên và rất nặng về phần tính
tốn, tuy nhiên tác giả nhận thấy hồn tồn có thể giải dựa theo một bổ đề và từ đó các bài
tốn liên quan hay mở rộng cũng có thể giải quyết một cách triệt để. Vậy trước hết ta phát
biểu và chứng minh hai bổ đề quan trọng sau.

2 Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác

Bổ đề 1. Trong tam giác ABC lấy hai điểm P và Q liên hợp đẳng giác với nhau.AP cắt lại
đường tròn (ABC) tại R. QR cắt BC tại S. Khi đó ta có P SkAQ.

M

N
P

S

R

C
Q

A

B

Chứng minh. Ta lấy M, N lần lượt là giao điểm của tia AQ với BC và (ABC).
Do AP, AQ đẳng giác trong gócBAC nên ta dễ cóRN kBC.

Từ đó ta có 4QN C ∼ 4CRP và 4CM N ∼ACR (góc - góc) nên suy ra
AR·M N =CN ·CR=QN ·P R hay AR

P R =
QN
M N =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bổ đề 2. (Phan Anh Quân) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O). Lấy hai điểm liên
hợp đẳng giác P, Q.AP cắt lại(O) tại R, lấy S bất kì trên BC, RS cắt lại (O) tại M (M với
B nằm khác phía so với AC). Khi đó ta có ∠P SB =∠QM A.

L

M

P

K

R

C

Q

A

B

S

Chứng minh. Lấy K là giao điểm của QR và BC. Kẻ đường thẳng qua P song song với AM
cắt RM tại L.

Theo Bổ đề 1 ta có P K kAQ nên suy ra RL
LM =

RP
P A =

KQ nên KLkQM.
Vậy hai tam giác P KL và AQM có các cặp cạnh tương ứng song song.

Để ý rằng ∠LSC =∠BM S+∠M BS =∠BAR+∠CAM =∠QAC+∠M AC =∠QAM =

∠KP L nên tứ giácP KSL là tứ giác nội tiếp, suy ra ∠P SB=∠P LK =∠AM Q.

Nhận xét. Từ bổ đề này ta rút ra được kết quả của hai bài toán quen thuộc sau.

Bài 1.(Nga 2005) Cho tam giácABC có tâm đường tròn nội tiếp I. LấyM,N lần lượt là
trung điểm BC và cung BAC của đường tròn (ABC). Chứng minh rằng ∠AN I =∠BM I.

Bài 2. Cho tam giác ABC, lấy P, Q là hai điểm liên hợp đẳng giác nằm trên phân giác
gócBAC. LấyM,N lần lượt là trung điểm BC và cungBAC của đường tròn (ABC). Chứng
minh rằng P,Q, M, N đồng viên.

Bây giờ chúng ta đến với các bài tốn chính của bài viết.

3 Các bài tốn

Bài 1. (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giácABC nội tiếp(O), các đường caoAD,BE,CF đồng
quy tại H. EF cắt (O) tại hai điểm K và L. P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam
giác DKL. Chứng minh rằng P H chia đơi EF.

Bài tốn này đã được mở rộng bởi Trần Qn nên ta đi chứng minh ln bài tốn mở
rộng như sau

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

P
Y
Z

T

N
X

M

L

D
K

H

E
O

C
A

B
F

Chứng minh. Lấy T là giao điểm của EF với BC. M, N lần lượt là trung điểm BC và EF.
AD giao với EF và (DKL) lần lượt tại X và Y.

Ta thấy (T D, BC) = (T X, F E) =−1màM,N lần lượt là trung điểmBC và EF nên theo
hệ thức Maclaurin thì ta có T X ·T N =T F ·T E =T B·T C =T D·T M =T K·T L.

Từ đó suy ra tứ giác XN M D vàKDM L là các tứ giác nội tiếp.
Lấy Z là giao điểm của tia M N với (DKL).

Khi đó ta có ∠ZN X =∠XDM =∠Y ZN nên Y Z kKL hay D, P, Z thẳng hàng.
Từ đó áp dụng bổ đề 2thì ta có ∠P N F =∠HM D.

Mặt khác ta có 4HF E ∼ 4HBC, kết hợp M, N lần lượt là trung điểm BC, EF nên
∠HM D =∠HN F.

Vậy suy ra ∠P N F =∠HN F nên ta có P H đi qua trung điểm N của EF.

Nhận xét. Từ lời giải trên ta thấy hai điểm K, L là giao của EF với (O) chỉ để suy ra
được hai tứ giác nội tiếp nên ta vẫn có thể mở rộng hơn nữa bài toán này như sau.

Mở rộng 2. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC và vẽ hai đường tròn ω1, ω2 đi qua

B, C. Đường tròn ω1 cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F. BE cắt CF tại H và AH cắt BC
tại D. Giả sửEF cắt ω2 tại hai điểmK và L.P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam
giác DKL. Chứng minh rằng P H chia đơi EF.

Từ bài tốn này ta rút ra bài tốn đẹp sau khi cho đường trịn ω1 trùng ω2.

Bài 2. Cho tam giácABC nội tiếp (O), đường trịn bất kì đi qua B và C cắt lại AC,AB
lần lượt tạiE vàF. BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D. GọiP là điểm liên hợp đẳng giác
của H trong tam giác DEF. Chứng minh P H chia đơiEF.

Chúng ta tiếp tục với bài tốn khác có cấu hình khá giống bài 1.

Bài 3. (Trần Qn) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

J

Q

P

Z

Y

X

N

M

L

K

F

E

D

I

O

C

A

B

Chứng minh. Ta gọi N, J lần lượt là trung điểm cung BC chứa A và không chứa A của (O).
LấyM, Q lần lượt là trung điểmBC,EF và X là giao của IN và EF.

Ta dễ chứng minh được là KLM D nội tiếp nên ta gọi Y, Z lần lượt là giao điểm thứ hai
của M X và DI với (DKL).

Ta có 4J CN ∼ 4IEA mà M, Qlà chân hai đường cao của hai đỉnh tương ứng nên ta có
tỉ số J M

M N =
IQ
QA.

Mặt khác do QX kAN nên IQ
QA =

XN, từ đó suy ra XM kIJ hay M X ⊥EF.
Ta có ∠M Y Z =∠M DZ = 90◦ nên Y Z kKL hay ta thu được D, P, Y thẳng hàng.
Để ý rằng J I2 =J M ·J N nên ∠J IN =∠J M I hay ∠AIN =∠IM N =∠M ID.
Suy ra ∠IXQ=∠IN A=∠IM D.

Mặt khác theo bổ đề ta có ∠P XQ=∠IM D=∠IXQ nên suy ra P, I, X thẳng hàng hay
ta có đpcm.

Bài tốn này có thể mở rộng như sau (bạn đọc tự chứng minh)

Mở rộng. (Nguyễn Đăng Khoa)Cho tam giácABC nội tiếp(O)và hai điểmP,Qliên hợp
đẳng giác nằm trên phân giác góc BAC. E, F lần lượt là hình chiếu của P lên AC và AB. D
là hình chiếu của Q trên BC.EF cắt (O) tại hai điểm là K, L. Gọi P0 là điểm liên hợp đẳng
giác vớiP và Q0 là điểm liên hợp đẳng giác vớiQtrong tam giác DKL. Chứng minh rằngP Q0
và P0Q đều đi qua trung điểm cung BC chứaA của (O).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

N
M

P
Q

O

K

L

F

D

J

E
I

C
A

B

Chứng minh. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm cung nhỏ và cung lớn BC của (O). LấyE, F là
điểm tiếp xúc của (J) với AC và AB. Gọi N là điểm liên hợp đẳng giác với I trong tam giác
DKL.

Ta biết các kết quả quen thuộc làD, I, Qthẳng hàng; D, F, LvàD, E, K là hai bộ ba điểm
thẳng hàng.

Mặt khác dễ thấy LK là trung trực AI nên điểm M là trung điểm AI thuộc LK và từ đó
ta có AQkKL nên N nằm trên DA.

Áp dụng bổ đề thì ta có ∠N M L=∠DP I.

Suy ra ∠AM N = 90◦ +∠N M L = 90◦ +∠DP I = ∠QIP = ∠AID nên ta có M N k DI
hay N là trung điểm AD (đpcm).

Bài 5. (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) và có tâm đường
nội tiếp là I. Đường trònA-mixtillinear tâmJ tiếp xúc trong với (O)tại D. Lấy E,F là điểm
tiếp xúc của(J)vớiAC vàAB.EF cắt (O) tại hai điểmK vàL. GọiP là điểm liên hợp đẳng

giác của J trong tam giác DKL. Chứng minh rằng DP ⊥EF và DJ cắt P I trên (O).

F

M
P

N

K

L

D
J

E

I O

C
A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chứng minh. Do (J) tiếp xúc với (O)tại D nên dễ có D,J,O thẳng hàng.
Ta kẻ đường kính DN của (O), N I cắt lại (O) tại điểm M.

Theo bổ đề 2 thì ta có ∠P M D =∠IJ E = 90◦.

Mà dễ thấy DN là đường kính nên ∠DM N = 90◦, suy ra M, P, N thẳng hàng.
Tiếp tục sử dụng bổ đề 1 thì ta có IJ kP D hay P D ⊥EF.

Hoặc ta có thể nhận ra ngay tính chất quen thuộc O là tâm (DKL) và DP, DO là hai
đường đẳng giác trong góc KDL nên DP ⊥KL.

Nhận xét. Từ lời giải trên ta hoàn toàn có thể mở rộng bài tốn như sau (bạn đọc tự
chứng minh)

Mở rộng. Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AC, AB lấy hai điểm F và E sao cho

AE =AF. Một đường tròn (J)đi qua E,F là tiếp trong với(O) tại điểm D. Gọi M là trung
điểm EF,EF cắt (O) tại K, L. GọiP là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giácDKL.
Chứng minh rằngP M và DJ cắt nhau trên (O).

Lời kết. Qua bài viết này tác giả muốn trình bày tới bạn đọc ứng dụng rất hữu ích của
hai bổ đề trên, nó cho chúng ta có một cái nhìn tổng qt và một lời giải đẹp, khơng cần tính
tốn. Sau đây là vài bài tập dành cho bạn đọc.

4 Bài tập

Bài 1. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt
lại (O) tại D. Lấy điểm I bất kì trên đoạn AD, hình chiếu của I trên AC, AB lần
lượt làE, F.EF cắt (O) tại K, L. Chứng minh điểm liên hợp đẳng giác của I trong
tam giác DKL là trung điểm BC.

Bài 2. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có đường cao AD cắt lại (O) tại điểm D0.
H là điểm bất kì trên đoạn AD, E, F lần lượt là hình chiếu củaH lên AC, AB. EF
cắt (O) tại K, L. Chứng minh rằng điểm D là liên hợp đẳng giác của H trong tam
giác D0KL.

Tác giả phát hiện hai bài toán trên và sau đó thành viên Trần Quân trên group đã

đưa lên bài toán tổng quát cho hai bài trên.

Bài 3. (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), P là một điểm bất kì trên (O).
LấyJ trên đoạn AP. E, F là hình chiếu của J trên AC, AB. EF cắt (O) tại K, L.
LấyD là hình chiếu củaP trên BC. Chứng minh D là điểm liên hợp đẳng giác với J
trong tam giác P KL.

Bài 4. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt
lại(O)tại D. Lấy điểmI bất kì trên đoạnAD, dựng hình bình hànhAEIF (E thuộc
AC, F thuộc AB). EF cắt đường tròn (O) tại K và L. Chứng minh O là điểm liên
hợp đẳng giác vớiI trong tam giác DKL.

Bài 5. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), có đường trịn
A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D. Lấy điểm P khác D bất kì trên

(J). Tiếp tuyến của (J) tại P cắt đường tròn (O) tại E, F. Gọi J1 là điểm liên hợp
đẳng giác với J trong tam giác DEF. Chứng minh rằng

a) Hai đường thẳng J1P và DJ cắt nhau trên (O)

</div>