ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
−−−−−−−−−

BÙI THỊ GIANG

TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 62 46 01 01

TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012


Cơng trình được hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn

Phản biện 1: GS. TSKH. Đinh Dũng
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Phản biện 3: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại
Trường ĐHKHTN
vào hồi 9 giờ 00 ngày 26 tháng 6 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam
- Trung tâm thông tin thư viện- ĐHQGHN.


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3
4
6
9

Chương 1. TÍNH CHẤT TỐN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
DẠNG FOURIER

1.1

1.2
1.3
1.4

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . .

1.1.2 Định lý ngược và định lý duy nhất . . . .
1.1.3 Định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . .
Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . .
Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine . . .
Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

19
19
20
27
32
35
45
51

Chương 2. TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER

2.1
2.2

2.3
2.4

2.5


Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . .
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến
đổi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển
2.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với đồng dạng .
2.2.3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với nghịch đảo .
Tích chập liên kết giữa phép biến đổi Fourier và Fourier ngược
Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine .
2.4.1 Tích chập khơng có trọng đối với phép biến đổi Fouriersine và Fourier-cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fouriercosine với hàm trọng lượng giác . . . . . . . . . . . . .
Tích chập đối với phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier . .

4

55
57
58
58
60
62
63
67
67
71
76


2.5.1
2.5.2
2.5.3


Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H1 . . . . . . .
Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H2 . . . . . . .
Tích chập đối với Hartley liên kết với Fourier . . . . . .

76
82
84

Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CHẬP
92
1
d
3.1 Các cấu trúc vành định chuẩn trên L (R ) . . . . . . . . . . . 93
3.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 98
3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn
hợp có dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với
nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian . . . . . . . 116
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CƠNG
BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . .

130
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

−5−



CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Các khơng gian:

• L1 (R) = {f : R → C | f khả tích Lebesgue trên R}.
• L2 (R) = {f : R → C | |f |2 khả tích Lebesgue trên R}.
• f

p

=

1/p

p
R |f (x)| dx

,

p = 1, 2.

• C0 (R)là khơng gian Banach của các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại
vơ cùng với chuẩn sup.
• S là khơng gian Schwartz, là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạn
trên R sao cho
sup sup(1 + |x|2 )m |(Dn f )(x)| < ∞
n≤m x∈R

với mọi m, n = 0, 1, 2, . . . .


• L0 (X): tập các tốn tử tuyến tính từ khơng gian X vào X sao cho
dom X = X.
• D(R) là khơng gian các hàm khả vi vô hạn trên R với giá compact.
Các tốn tử:

• Dn :=

1 d
i dx

n

.

• Hn (x) := (−1)n ex
n

• Φn (x) := (−1) e
• (F f )(x) :=

1
d
(2π) 2

2

1 2
2x

Rd


d
dx
d
dx

n

2

e−x , đa thức Hermite bậc n.

n

2

e−x , hàm Hermite.

e−i x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier.

6


• (F −1 f )(x) :=

1
d
(2π) 2

Rd


• (Fh f )(x) :=

1
d
(2π) 2

Rd

ei x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier ngược.
e−i x+h,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier với phép

dịch chuyển.

• Fh−1 Fh f (y) (x) :=

1
d
(2π) 2

Rd

ei x,y+h (Fh f )(y)dy, phép biến đổi ngược

của phép biến đổi Fourier với phép dịch chuyển.

• (Fα f )(x) :=

|α|
d

(2π) 2

Rd

e−i α·x,y f (y)dy, phép biến đổi Fourier với phép

đồng dạng.
d

αj

•

Fα−1 (Fα f )

(x) :=

ei α·x,y (Fα f )(y)dy, phép biến đổi ngược của

j=1
d
|α|(2π) 2

Rd

phép biến đổi Fourier với phép đồng dạng.

1
 1 d e−i y, x f (y)dy nếu xi = 0 ∀i = 1, . . . , d,
• (Fv f )(x) := (2π) 2 Rd

0 nếu x = 0,
i
phép biến đổi Fourier với phép nghịch đảo.

• cos xy := cos x, y ; sin xy := sin x, y , trong đó x, y là tích vơ hướng
của x, y trong Rd .
• (Tc f )(x) :=
• (Ts f )(x) :=

1
d
(2π) 2
1
d
(2π) 2

cos xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-cosine.
Rd

sin xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-sine.
Rd

• Phép biến đổi Hartley:
(H1 f )(x) :=
(H2 f )(x) :=

1

cas xyf (y)dy,


d

(2π) 2

Rd

1

cas(−xy)f (y)dy,

d

(2π) 2

trong đó cas xy := cos xy + sin xy.
Các hàm số.

−7−

Rd


1

2

• γ1 (x) := e− 2 |x| .
1 1 2

• γ2 (x) :=


e− 2 | x | nếu xi = 0 ∀i = 1, . . . , d,
0 nếu xi = 0.

• γ3 (x) := cas x.
• α(x) := e−i x,h , α1 (x) := e−i x,h1 , α2 (x) := e−i x,h2 .
• β(x) = ei x,h .
• γ(x) = cos x, h .
• δ(x) = sin x, h .
• δ1 (x) := cos xh1 .
• δ2 (x) := sin xh1 .
• δ3 (x) := cos xh2 .
• δ4 (x) := sin xh2 .

−8−


MỞ ĐẦU
Phép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớm
trong lịch sử của giải tích tốn học, và chiếm vị trí quan trọng trong tốn học do
mỗi phép biến đổi tích phân có thể dùng để giải phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, và áp dụng cho những bài toán của vật lý, cơ học, y học,
. . . Phép biến đổi tích phân được ra đời sớm nhất là phép biến đổi tích phân
Fourier được xác định bởi cơng thức sau:

1
(F f )(x) = √
2π

e−ixy f (y)dy.


(0.1)

R

Phép biến đổi tích phân Fourier có phép biến đổi ngược

1
(F −1 f )(x) = √
2π

eixy f (y)dy.

(0.2)

R

Về mặt tốn học, phép biến đổi tích phân Fourier được phát triển từ chuỗi
Fourier đó là việc biểu diễn một hàm bất kỳ thành chuỗi các hàm lượng giác
đơn. Về mặt lịch sử, nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) là người đầu tiên
biểu diễn thành công một hàm thành chuỗi của các hàm lượng giác khi ông
nghiên cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất. Trải qua hai thế kỷ phát triển,
một lý thuyết toán học được gọi ngắn gọn là Giải tích Fourier đã và đang
được phát triển mạnh mẽ, do lý thuyết đó có những ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực của toán học và của nhiều ngành khoa học ứng dụng khác.
Ngoài phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta cịn xét đến phép
biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi các công thức sau đây:

1
(Tc f )(x) = √

2π

R

1
(Ts f )(x) = √
2π

R

cos xyf (y)dy := gc (x),

(0.3)

sin xyf (y)dy := gs (x).

(0.4)

Hai phép biến đổi Tc , Ts này có một tính chất khác biệt so với phép biến đổi
tích phân Fourier là ở chỗ: nếu miền xác định của Tc , Ts là L1 (R), thì đó là các
tốn tử không khả nghịch do chúng đều là những ánh xạ không đơn ánh, trong

9


khi phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổi ngược trong L1 (R),
và hơn thế nữa, F là tốn tử tuyến tính khả nghịch liên tục trong không gian
Hilbert L2 (R).
Người ta thường gọi những phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàm
dưới dấu tích phân) có dạng


k(x, y) = a cos xy + b sin xy,

a, b ∈ C

là phép biến đổi tích phân dạng Fourier.
Trong số các phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến một
phép biến đổi tích phân do Ralph Vinton Lyon Hartley là một kỹ sư vô tuyến
điện đề xuất vào năm 1942, được xác định bởi công thức sau

1
(Hf )(x) = √
2π

cas(xy)f (y)dy,

(0.5)

R

ở đây hàm nhân dưới dấu tích phân được biết đến là hàm cas (cosine-and-sine)
được xác định bởi công thức: cas xy = cos xy + sin xy (xem [5, 18]). Phép
biến đổi Hartley là một phép biến đổi dạng Fourier, và có mối liên hệ rất gần
gũi với phép biến đổi tích phân Fourier. Thật vậy, hàm nhân trong phép biến
đổi Hartley có thể biểu diễn được qua các nhân của phép biến đổi Fourier và
Fourier ngược:

cas(xy) := cos(xy) + sin(xy) =

1 − i ixy 1 + i −ixy

e +
e
,
2
2

và hàm nhân của phép biến đổi Fourier lại biểu diễn qua nhân của phép biến
đổi Hartley:
1+i
1−i
e−ixy =
cas(xy) +
cas(−xy)
2
2
(xem [5, 18]). Trong cuốn sách về các phép biến đổi tích phân [29], K. J.
Olejniczak đã viết: ". . . có lẽ một trong những đóng góp giá trị nhất của Hartley
là một phép biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn
đề của truyền tải sóng điện thoại. Mặc dù phép biến đổi này bị quên lãng gần
40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷ qua bởi hai nhà
toán học Wang và Bracewell những người đã tạo ra lý thuyết hấp dẫn về đề tài
này. . . " Bằng chứng về tuyên bố trên là một danh sách dài những cơng trình đã
cơng bố về những ứng dụng của phép biến đổi Hartley (xem [5, 6, 7, 18, 27, 43]

−10−


và tài liệu tham khảo ở đó). Trong những cơng trình kể trên, các tác giả chỉ
ra nhiều ứng dụng hiệu quả của phép biến đổi Hartley trong các bài tốn của
thực tế như: xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số,

v.v. . . Mặt khác, tốn tử tích phân Hartley là một toán tử thực và đối xứng.
Do vậy, ưu việt của phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, về mặt
tính tốn số, là ở chỗ phép biến đổi Hartley của một hàm thực là hàm thực,
trong khi phép biến đổi Fourier của một hàm thực là hàm phức, và do máy
tính (computer) làm việc với số thực thuận tiện và nhanh hơn với số phức.
Liên quan đến lý thuyết của phép biến đổi tích phân, một lý thuyết khác
cũng được nghiên cứu và phát triển, tuy là ra đời muộn hơn. Đó là lý thuyết
tích chập của các phép biến đổi tích phân, và lý thuyết của các tốn tử tích
chập. Lý thuyết tích chập và các tốn tử tích chập được xây dựng khởi đầu
từ nửa đầu của thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những năm
gần đây vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhau
của tốn học như: phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại
số Banach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học và
cơng nghệ.
Tích chập được xây dựng và nghiên cứu đầu tiên là của phép biến đổi tích
phân Fourier
1
(f ∗ g)(x) = √
f (x − y)g(y)dy.
(0.6)
F
2π R
Đối với tích chập (0.6), điều đáng nhấn mạnh ở đây là đẳng thức sau được thỏa
mãn, thường được gọi là đẳng thức nhân tử hóa

F (f ∗ g)(x) = (F f )(x)(F g)(x).
F

Tiếp sau tích chập (0.6) của phép biến đổi tích phân Fourier, Churchill đã xây
dựng thành cơng một tích chập khác của phép biến đổi Fourier-cosine, được

xác định bởi công thức sau đây

(f ∗ g)(x) =
Fc

+∞

1

f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy.

d

(2π) 2

0

Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

Fc (f ∗ g)(x) = (Fc f )(x)(Fc g)(x),
Fc

−11−

(0.7)


trong đó Fc là phép biến đổi Fourier-cosine:
+∞


2
π

(Fc f )(x) =

f (y) cos xydy
0

(xem [12, 14]).
Ta xét thêm một phép biến đổi tích phân quen thuộc nữa là phép biến đổi
Laplace được xác định bởi công thức:
∞

e−xy f (y)dy.

(Lf )(x) =
0

Người ta cũng tìm được một tích chập của phép biến đổi Laplace này là phép
biến đổi tích phân
x

f (x − y)g(y)dy.

(f ∗ g)(x) =
L

0

Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là


L(f ∗ g)(x) = (Lf )(x)(Lg)(x).
L

Năm 1941, Churchill là người đầu tiên xây dựng được tích chập của hai
phép biến đổi tích phân khác nhau, đó là tích chập của hai phép biến đổi
Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi công thức dưới đây

(f ∗ g)(x) =
1

+∞

1

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy.

d

(2π) 2

0

Ký hiệu Fs là phép biến đổi tích phân Fourier-sine:

(Fs f )(x) =

2
π


+∞

f (y) sin xydy.
0

Khi đó, đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (0.8) là

Fs (f ∗ g)(x) = (Fs f )(x)(Fc g)(x)
1

(xem trong [12, 14]).

−12−

(0.8)


Cho đến nửa trước của thế kỷ 20, mới chỉ có một số lượng rất hạn chế của
các tích chập, phần lớn là tích chập khơng hàm trọng của các phép biến đổi
tích phân Fourier, Fourier-cosine, Laplace, Mellin, . . .
Năm 1967, Kakichev [21] đưa ra một phương pháp tổng quát cho xây dựng
tích chập của phép biến đổi tích phân K bất kỳ với hàm trọng γ(x) cho trước
dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
γ

K(f ∗ g)(x) = γ(x)(Kf )(x)(Kg)(x).
Sau thời điểm này, rất nhiều tích chập có trọng của các phép biến đổi tích phân
đã được tìm thấy như tích chập của phép biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine,
Hankel, Kontorovich- Lebedev, Stieltjes, . . . Chẳng hạn, tích chập với hàm trọng
γ(x) = sin x của phép biến đổi Fourier-sine được giới thiệu bởi Kakichev

+∞
1
√
(f ∗ g)(x) =
f (u) sign(x + u − 1)g(|x + u − 1|)
Fs
2 2π 0
+ sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|) − g(x + u + 1)
γ

− sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|) du. (0.9)
Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là
γ

Fs (f ∗ g)(x) = sin y(Fs f )(x)(Fs g)(x)
Fs

(xem [21]).
Trong hai chục năm gần đây, nhiều cơng trình liên quan đến các tích chập,
tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân và những ứng dụng của
chúng đã được công bố (xem [10, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 42]). Tùy thuộc vào tích
chập cụ thể mà chúng có thể ứng dụng vào phương trình tích phân và cấu trúc
vành định chuẩn. Sau đây, ta xét hai ứng dụng của lý thuyết tích chập vào giải
phương trình tích phân, và vào cấu trúc các vành định chuẩn cho không gian
L1 (R) và các đại số Banach.
Xét phương trình tích phân

k(x − y)ϕ(y)dy = f (x),

λϕ(x) +


(0.10)

R

trong đó λ ∈ C, k( ) là hàm số cho trước, còn ϕ( ) là ẩn hàm (trong khơng
gian thích hợp nào đó). Theo tích chập (0.6), phương trình (0.10) viết được

−13−


dưới dạng

λϕ(x) + (k ∗ ϕ)(x) = f (x).
F

(0.11)

Tác động toán tử Fourier F vào hai vế của đẳng thức (0.11) và sử dụng đẳng
thức nhân tử hóa của tích chập này ta thu được

λ(F ϕ)(x) + (F k)(x)(F ϕ)(x) = (F f )(x),
hay

λ + (F k)(x) (F ϕ)(x) = (F f )(x).
Theo bổ đề Lebesgue-Riemann, λ + (F k)(x) là hàm số liên tục trên R và triệt
tiêu tại vô cùng. Bởi vậy, nếu hàm số λ + (F k)(x) = 0 với mọi x ∈ R, thì
phương trình cuối viết được dưới dạng

(F ϕ)(x) =


(F f )(x)
.
λ + (F k)(x)

Sử dụng phép biến đổi Fourier ngược, ta nhận được cơng thức nghiệm của
phương trình (0.10)
(F f )(x)
.
(0.12)
ϕ(x) = F −1
λ + (F k)(x)
Cần phải lưu ý rằng quá trình giải phương trình (0.10) như trình bày ở trên
là hồn tồn hình thức, vì rằng ta chưa xác định không gian nghiệm cũng như
các điều kiện cho đẳng thức nhân tử hóa và điều kiện cho phép lấy biến đổi
Fourier ngược. Tuy vậy, những điều lo ngại vừa nêu được giải quyết rất tốt đẹp
nếu ta chọn không gian L1 (R) hoặc L2 (R), và sử dụng định lý Wiener-Lèvy
để đảm bảo cho việc tồn tại ánh xạ Fourier ngược như đã thể hiện trong công
thức (0.12).
Bây giờ, ta đề cập đến một ứng dụng khác của tích chập.
Nhắc lại rằng nếu hai hàm f (x), g(x) khả tích Lebesgue trên R (nghĩa là f, g ∈
L1 (R)) thì nói chung, hàm số tích f (x)g(x) khơng khả tích trên R (f g có thể
khơng thuộc khơng gian L1 (R)). Tình hình này sẽ thay đổi nếu tích thơng
thường vừa nêu của hai hàm f, g được thay thế bởi phép tốn nhân ∗ được xác
định theo (0.6). Nói cụ thể hơn, người ta chứng minh được rằng nếu f, g ∈ L1 (R)
thì hàm tích chập f ∗ g ∈ L1 (R). Hơn nữa, phép toán ∗ là giao hốn, có tính kết
F

hợp, và phép nhân này thỏa mãn quy tắc phân phối đối với phép cộng thông


−14−


thường của các hàm số. Biểu thị dưới dạng các cơng thức, ta có thể phát biểu
lại như sau:

f ∗ g = g ∗ f ∈ L1 (R),
F

F

f ∗ (g1 + g2 ) = f ∗ g1 + f ∗ g2 ,
F

F

F

∀f, g ∈ L1 (R),
∀f, g1 , g2 ∈ L1 (R).

Cùng với một định nghĩa chuẩn thích hợp cho mỗi hàm f ∈ L1 (R)

f

1

1
=√
2π


|f (x)|dx,

(0.13)

R

không gian véc tơ L1 (R) trở thành một vành định chuẩn giao hoán với phép
tốn nhân tích chập vừa nêu.
Khẳng định. Khơng gian véc tơ L1 (R), được trang bị bởi phép nhân tích chập
(0.6) và chuẩn (0.13), trở thành một vành định chuẩn giao hoán.
Trên đây là hai ứng dụng của phép nhân tích chập. Thực ra, phép nhân tích
chập có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: tính
tốn số, xử lý tín hiệu số, phương trình đạo hàm riêng, . . . (xem thêm [5, 6, 20]
và các tài liệu tham khảo ở đó).
Có thể dễ dàng liệt kê một danh sách dài các tác giả và những cơng trình
cơng bố của họ liên quan đến tích chập của các phép biến đổi tích phân và
ứng dụng: V. A. Kakichev, O. I. Marichev, S. B. Yakubovich, V. K. Tuan, S.
Saitoh, L. E. Britvina, I. Feldman, I. Gohberg, H. J. Glaeske, H. M. Srivastava,
B. Silbermann, N. Krupnik, D. T. Duc, N. X. Thao, Tr. Tuan, N. M. Khoa,
. . . (xem trong tài liệu tham khảo của luận án). Trong số này, có nhiều nhà tốn
học đứng đầu nhóm nghiên cứu tiềm năng ở các trung tâm nghiên cứu toán
học trên khắp thế giới, họ đã và đang tạo ra những khám phá thú vị của lý
thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân: S. B. Yakubivich (Porto, Bồ
Đào Nha), V. K. Tuan (Hoa kỳ), S. Saitoh (Aveiro, Bồ Đào Nha và Nhật Bản),
L. E. Britvina (Ukraine), I. Gohberg (Israel), H. M. Srivastava (Canada), B.
Silbermann (Đức). Một nguyên nhân khác mà lý thuyết tích chập đã thu hút
sự quan tâm của các nhà nghiên cứu tốn học là, mỗi một tích chập lại là một
phép biến đổi tích phân mới và do đó có thể lại là một đối tượng nghiên cứu
mới (xem [10, 33, 42]). Thực vậy, nói nơm na, các phép biến đổi quen biết như

phép biến đổi tích phân kỳ dị Cauchy, phép biến đổi Weierstrass là tích chập

−15−


của hàm

k1 (t) =

1
,
2πit

1 2

k2 (t) = e− 2 t

với hàm ϕ(t) tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier
và phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học, phép biến đổi Hartley,
hai phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine, và xét những ứng dụng của
tích chập đã xây dựng được. Sử dụng các tích chập đó, chúng tơi thu được tính
giải được cho một lớp phương trình tích phân dạng tích chập, phương trình
tích phân với nhân Toeplitz-Hankel, với nhân Toeplitz-Hankel có dịch chuyển,
và phương trình tích phân với nhân Gaussian. Hơn nữa, luận án còn thu được
điều kiện cần và đủ để những lớp phương trình kể trên có nghiệm, và cơng thức
nghiệm tường minh.
So sánh những gì thu được trong Chương 2 và 3 của luận án này với những
kết quả trong các cơng trình [34, 35, 36, 37, 38, 39], có hai điểm khác biệt nổi
bật sau đây:


• Thứ nhất, tất cả các tích chập được xây dựng trong luận án đều dùng
được cho việc cấu trúc vành định chuẩn cho không gian L1 (R), và phần
lớn trong số đó là giao hốn. Nghĩa là, L1 (R), được trang bị bởi một
trong các phép nhân tích chập trong luận án này cùng với chuẩn thích
hợp, trở thành một vành định chuẩn; phần lớn các vành trong số đó là
giao hốn. Tuy nhiên, L1 (R) khơng thể được trang bị bởi phép nhân tích
chập trong các cơng trình vừa trích dẫn vì chúng là các phép tốn khơng
có tính kết hợp.
• Thứ hai, luận án thu được các điều kiện cho tính giải được của phương
trình tích phân; những điều kiện giải được là tự nhiên do nó phù hợp
với tính giải chuẩn của tốn tử Fredholm (Noether), và điều kiện cần và
đủ để phương trình tích phân có nghiệm duy nhất và cơng thức nghiệm
tường minh, trong khi một số cơng trình khác chỉ thu được điều kiện đủ
cho tính giải được và cơng thức nghiệm ẩn của phương trình.
Luận án được chia thành ba chương, và được kết cấu như sau.
Chương 1 trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biến
đổi tích phân Fourier và phép biến đổi ngược, phép biến đổi Fourier-cosine
và Fourier-sine, và phép biến đổi Hartley. Mục 1.1 đề cập đến phép biến đổi

−16−


Fourier và phép biến đổi Fourier ngược, định lý duy nhất và định lý Plancherel
của phép biến đổi Fourier và một số tính chất tốn tử cơ bản của tốn tử tích
phân Fourier. Mục 1.2 trình bày các tính chất cơ bản của phép biến đổi Harley,
phép biến đổi ngược, và chứng minh một số đặc trưng toán tử của tốn tử tích
phân Hartley. Mục 1.3 trình bày phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine
và các tính chất tốn tử của hai tốn tử tích phân này. Trong Mục 1.4, luận
án thu được một số đặc trưng đại số của các tốn tử tích phân Tc , Ts , F, H đã

được xét đến trong các Mục 1.1, 1.2, và 1.3.
Chương 2 xây dựng tích chập của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier
và mở rộng cho phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học. Trong mục
đầu tiên của chương, luận án đưa ra một phát biểu về tích chập của các tốn tử
tuyến tính trên cơ sở các định nghĩa đã biết của các toán tử tích phân. Trong
Mục 2.2, luận án xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier với các phép
biến đổi hình học: phép tịnh tiến, phép đồng dạng, và phép nghịch đảo. Trong
Mục 2.3, luận án xây dựng tích chập và tích chập có trọng của phép biến đổi
Fourier. Tích chập và tích chập có trọng của các phép biến đổi Fourier-cosine
và Fourier-sine được trình bày trong Mục 2.4. Trong Mục 2.5, luận án trình
bày tích chập của phép biến đổi Hartley, và tích chập liên kết giữa hai phép
biến đổi tích phân Hartley và Fourier.
Chương 3 trình bày ứng dụng của các tích chập đã xây dựng ở Chương 2.
Mục 3.1 nghiên cứu ứng dụng của tích chập vào việc trang bị cho khơng gian
tuyến tính L1 (Rd ) sao cho nó có thể trở thành vành định chuẩn. Ứng dụng của
các tích chập để giải phương trình tích phân được trình bày trong Mục 3.2.
Có bốn lớp phương trình tích phân được nghiên cứu trong mục này. Mục 3.2.1
nghiên cứu tính giải được và cơng thức nghiệm của phương trình tích phân với
nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp. Mục 3.2.2 là một mở rộng cho lớp phương trình
trong Mục 3.2.1, đó là các lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel
có dịch chuyển và có trễ. Mục 3.2.3 trình bày lớp các phương trình tích phân
dạng tích chập được khái qt từ hai lớp phương trình đã nghiên cứu trong
các Mục 3.2.1, 3.2.2. Trong Mục 3.2.4, nhờ các tích chập của phép biến đổi tích
phân Fourier với các phép biến đổi hình học, luận án nghiên cứu được tính giải
được và công thức nghiệm tường minh của một số lớp phương trình tích phân
với nhân dạng Gauss.
Những nội dung chủ yếu của luận án đã được công bố trên các công trình
được liệt kê ở mục Danh mục cơng trình đã công bố liên quan đến luận án và

−17−



được báo cáo tại các hội nghị và xêmina dưới đây:
- Xeminar Giải tích - Đại số, Trường đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN.
- Xeminar bộ mơn Tốn Giải tích, Trường đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN.
- Xeminar bộ mơn Tốn học tính tốn, Trường đại học Khoa học Tự nhiên
- ĐHQGHN.
- Hội nghị tốn học tồn quốc, Đại hội Tốn học tồn quốc, Quy Nhơn 2008
- Hội nghị khoa học, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường đại học Khoa học Tự
nhiên - ĐHQGHN, 2010.

−18−


Chương 1
TÍNH CHẤT TỐN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
Th lý. Giả sử ϕ ∈ L1 (Rd )
là nghiệm của (3.49). Sử dụng tích chập (2.3), phương trình (3.49) được viết
lại dưới dạng
γ1
λϕ(x) + (ϕ ∗ k)(x) = g(x).
Fh

Tác động Fh vào hai vế của phương trình này và sử dụng đẳng thức nhân tử
hóa của tích chập (2.3), ta được

λ + γ1 (x)(Fh k)(x) (Fh ϕ)(x) = (Fh g)(x).
Từ giả thiết

λ + γ1 (x)(Fh k)(x) = 0,

suy ra

(Fh ϕ)(x) =

(Fh g)(x)
.
λ + γ1 (x)(Fh k)(x)

Sử dụng Mệnh đề 3.2.9, ta được

ϕ = Fh−1

Fh g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 (Fh k)

ϕ = Fh−1

Fh g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 (Fh k)

Ngược lại, xét hàm

−117−

(3.50)


Sử dụng Bổ đề 3.2.9, ta được


(Fh g)(x)
.
λ + γ1 (x)(Fh k)(x)

(Fh ϕ)(x) =
Suy ra

λ + γ1 (x)(Fh k)(x) (Fh ϕ)(x) = (Fh g)(x).
Sử dụng tích chập (2.3)
γ1

Fh λϕ + (ϕ ∗ k) (x) = (Fh g)(x).
Fh

Theo Mệnh đề 3.2.9, ϕ(x) thỏa mãn (3.49) với x ∈ Rd hầu khắp nơi. Phần (b)
được chứng minh.
Phần (a) bây giờ chỉ là hệ quả của (3.50) do các hàm của hai vế (3.50) là
liên tục trên Rd . Định lý được chứng minh.
✷
Mệnh đề 3.2.11. Giả sử λ = 0. Khi đó λ + γ1 (x)(Fh k)(x) = 0 với mọi x
nằm ngồi một hình cầu có bán kính hữu hạn. Hơn nữa, nếu Fh g ∈ L1 (Rd )
và nếu λ + γ1 (x)(Fh k)(x) = 0 với mọi x ∈ Rd , thì

Fh g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 Fh k
Nhận xét 3.2.12. Nếu λ ∈ C \ (−∞, 0] và k(x) là hàm Gaussian, thì
λ + γ1 (x)(Fh k)(x) = 0 với mọi x ∈ Rd .


Phương trình thứ hai
Giả sử α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Rd+
phương trình

(αi > 0, i = 1, . . . , d) cho trước. Xét

d

(
λϕ(x) +

αi )|α|
− |α·(x−u−v)|
2

j=1

(2π)d

k(v)e
Rd

2

ϕ(u)dudv = g(x),

(3.51)

Rd


trong đó λ ∈ C, g, k là các hàm đã cho trong L1 (Rd ), ϕ là hàm cần tìm.

−118−


Định lý 3.2.13. (a) Nếu phương trình (3.51) có nghiệm, và nếu tồn tại x ∈
Rd sao cho λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = 0, thì (Fα g)(x) = 0.
(b) Giả sử λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = 0 với mọi x ∈ Rd , và

(Fα g)
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 (Fα k)
Khi đó phương trình (3.51) có nghiệm trong L1 (Rd ) khi và chỉ khi

Fα−1

Fα g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 (Fα k)

Nếu thỏa mãn thì nghiệm của phương trình (3.51) được cho bởi cơng thức

ϕ(x) = Fα−1

Fα g
(x).
λ + γ1 (Fα k)

Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta cần bổ đề sau. Phép chứng minh Bổ
đề 3.2.14 tương tự như Bổ đề 3.2.9.

Bổ đề 3.2.14 (định lý ngược). Giả sử f, Fα f ∈ L1 (Rd ). Khi đó
d

αj
f (x) =

j=1

|α|(2π)

d
2

Rd

ei<α·x,y> (Fα f )(y)dy := Fα−1 (Fα f ) (x),

với x ∈ Rd hầu khắp nơi.
Ta chứng minh phần (b) của Định lý 3.2.13. Giả sử ϕ ∈ L1 (Rd ) là nghiệm
của phương trình (3.51). Nhờ chập (2.5), phương trình (3.51) có thể được viết
lại dưới dạng sau
γ1
λϕ(x) + (f ∗ k)(x) = g(x).
Fα

Tác động Fα vào hai vế của phương trình này và sử dụng (2.5), ta được

λ + γ1 (x)(Fα k)(x) (Fα ϕ)(x) = (Fα g)(x).
Vì vậy,


(Fα ϕ)(x) =

(Fα g)(x)
.
λ + γ1 (x)(Fα k)(x)
−119−

(3.52)


Sử dụng Bổ đề 3.2.14, ta thu được

Fα g
(x).
λ + γ1 (Fα k)

ϕ(x) = Fα−1
Do đó

Fα−1

Fα g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 (Fα k)

Điều kiện đủ được chứng minh tương tự như Định lý 3.2.10. Vậy phần (b)
được chứng minh. Phần (a) là hệ quả của (3.52)do các hàm trong phương trình
này liên tục trên Rd . Định lý 3.2.13 được chứng minh.
✷
Mệnh đề sau được chứng minh tương tự như Mệnh đề 3.2.11.

Mệnh đề 3.2.15. Giả sử λ = 0. Khi đó λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = 0 với mọi x
nằm ngồi một hình cầu có bán kính hữu hạn. Hơn nữa, nếu Fα g ∈ L1 (Rd ),
và nếu
λ + γ1 (x)(Fα k)(x) = 0
với mọi x ∈ Rd , thì

Fα g
∈ L1 (Rd ).
λ + γ1 Fα k

Phương trình thứ ba
Xét phương trình sau

λϕ(x) +

1
(2π)d

k1 (u)e
Rd

−|x−u+v|2
2

+

Rd

k2 (u)e


−|x−u−v|2
2

ϕ(v)dudv = p(x), (3.53)

trong đó λ ∈ C cho trước, k1 (x), k2 (x), p(x) xác định trong L1 (Rd ), và ϕ là
hàm cần tìm.
Do các tích chập trong Chương 2 được xét trong L1 (Rd ), các hàm đã cho
được giả sử trong L1 (Rd ), và hàm cần tìm cũng được xác định trong đó.
Trong phương trình (3.53), xét

1
K(x, v) =
(2π)d

k1 (u)e

−|x−u+v|2
2

Rd

−120−

+ k2 (u)e

−|x−u−v|2
2

du


(3.54)


là nhân.
Ta biết rằng hàm Gaussian d-chiều có dạng
2
1
− |x−u|
2σ 2 .
e
q(x) = √
d
( 2πσ 2 ) 2

Biến đổi Fourier của một hàm Gaussian là một hàm Gaussian (sai khác hằng
số, xem [4, §3], hoặc [32, Bổ đề 7.6]), và tích phân trên của hàm Gaussian là
1, mà thỏa mãn một trong tính chất của hàm delta. Mặt khác, nếu lấy giới
hạn của hàm Gaussian khi độ lệch chuẩn tiến dần về khơng, sẽ thỏa mãn một
số tính chất khác. Nghĩa là, phương trình sau xác định một hàm delta d-chiều
như là giới hạn hàm Gaussian đồng vị d-chiều

δ(x − u) = lim
2

σ →0

1

−

d e

|x−u|2
2σ 2

(2πσ 2 ) 2

.

Phương trình tích phân dạng tích chập với nhân Gaussian có nhiều ứng dụng
trong vật lý, cơ học và sinh học (xem [13, 15, 16]). Với mỗi f ∈ L1 (Rd ), ta viết
f˘(x) = f (−x). Đặt

A(x) : = λ + γ1 (x)(F k2 )(x), B(x) := γ1 (x)(F k1 )(x),
DF,F −1 (x) : = λ2 + λγ1 (x)[(F k2 )(x) + (F k2 )(−x)]
+ γ1 (x)H1 [(k2

DF (x) : =
DF −1 (x) : =

γ1

∗

k˘2 ) − (k1

γ1

∗


k˘1 )](x),

H1 ,F,F
H1 ,F,F
γ1
γ1
λ(F p)(x) + H1 [(k˘2 ∗ p) − (k1 ∗ p˘)](x),
H1 ,F,F
H1 ,F,F
γ1
γ1
λ(F p)(−x) + H1 [(k2 ∗ p˘) − (k˘1 ∗ p)](x).
H1 ,F,F
H1 ,F,F

(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)

Hay là

DF,F −1 (x) :=λ2 + λγ1 (x)[(F k2 )(x) + (F k2 )(−x)]
+ γ12 (x)F k2 (x)F k2 (−x) − γ12 (x)(F k1 )(x)(F k1 )(−x),
DF (x) :=λ(F p)(x) + γ1 (x)(F k2 )(−x)(F p)(x)
− γ1 (x)(F k1 )(x)(F p)(−x),
DF −1 (x) :=λ(F p)(−x) + γ1 (x)(F k2 )(x)(F p)(−x)−
γ1 (x)(F k1 )(−x)(F p)(x).

−121−


(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)


Định lý 3.2.16. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

DF,F −1 (x) = 0 với mọi x ∈ Rd ,

và

DF
∈ L1 (Rd ).
DF,F −1

Khi đó, phương trình (3.53) có nghiệm trong L1 (Rd ) khi và chỉ khi

F −1

DF
DF,F −1

∈ L1 (Rd ).

(3.63)

Nếu điều kiện (3.63) được thỏa mãn, thì nghiệm tìm được có dạng hiện


DF
DF,F −1

ϕ(x) = F −1

(x).

Chứng minh. Từ tích chập (2.45), (2.43) suy ra

1
(2π)d

e
Rd

−|x−u+v|2
2

f (u)g(v)dudv =

Rd

(1 + i)
(f
2

γ1

∗


F,F,H1

g)(x) +

(1 − i)
(f
2

g)(x) +

(1 + i)
(f
2

γ1

∗

F,F,H2

g)(x), (3.64)

và

1
(2π)d

e
Rd


−|x−u−v|2
2

f (u)g(v)dudv =

Rd

(1 − i)
(f
2

γ1

∗

F,F,H1

γ1

∗

F,F,H2

g)(x). (3.65)

Từ đẳng thức nhân tử hóa của các tích chập này, ta có

F

1

(2π)d

e
Rd

−|x−u+v|2
2

Rd

(1 + i)
γ1 (x)(F f )(x)(H1 g)(x)
2
(1 − i)
+
γ1 (x)(F f )(x)(H2 g)(x), (3.66)
2

f (u)g(v)dudv

=

f (u)g(v)dudv

=

và

F


1
(2π)d

e
Rd

−|x−u−v|2
2

Rd

−122−

(1 − i)
γ1 (x)(F f )(x)(H1 g)(x)
2


+

(1 + i)
γ1 (x)(F f )(x)(H2 g)(x). (3.67)
2

Điều kiện cần. Giả sử phương trình (3.53) có nghiệm ϕ ∈ L1 (Rd ). Suy ra
hàm ϕ thỏa mãn phương trình (3.53). Kết hợp k1 , k2 , ϕ ∈ L1 (Rd ) và các đẳng
thức (3.64), (3.65), ta kết luận rằng mỗi số hạng trong vế trái của đẳng thức
(3.53) thuộc L1 (Rd ). Tác động F vào hai vế của đẳng thức (3.53) và sử dụng
(3.66), (3.67) ta được


(1 + i)
γ1 (x)(F k1 )(x)(H1 ϕ)(x)
2
(1 − i)
(1 − i)
γ1 (x)(F k1 )(x)(H2 ϕ)(x) +
γ1 (x)(F k2 )(x)(H1 ϕ)(x)
+
2
2
(1 + i)
γ1 (x)(F k2 )(x)(H2 ϕ)(x) = (F p)(x). (3.68)
+
2

λ(F ϕ)(x) +

Nhờ công thức Euler đối với các hàm cos x, sin x, ta có

H1 =

(1 − i) −1
(1 + i)
F+
F ,
2
2

(1 − i)
(1 + i) −1

F+
F .
2
2
Phương trình (3.68) có thể được viết lại dưới dạng
H2 =

A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x),

(3.69)

trong đó A(x), B(x) được xác định bởi (3.55). Thay thế x bởi −x trong phương
trình (3.69), ta nhận được hệ tuyến tính hai phương trình sau

A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x)
B(−x)(F ϕ)(x) + A(−x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(−x),

(3.70)

trong đó (F ϕ)(x), (F −1 ϕ)(x) là các hàm cần tìm. Các định thức của hệ (3.70)
ký hiệu bởi DF,F −1 (x), DF (x), DF −1 (x) được xác định như trong (3.56), (3.57),
(3.58) một cách tương ứng. Nhờ có DF,F −1 (x) = 0 với mọi x ∈ Rd , ta tìm được

(F ϕ)(x) =

DF (x)
,
DF,F −1 (x)

−123−



và

(F −1 ϕ)(x) =

DF −1 (x)
.
DF,F −1 (x)

DF (x)
∈ L1 (Rd ), ta có thể sử dụng định lý ngược của phép biến đổi
DF,F −1 (x)
Fourier để nhận được

Do

ϕ(x) = F −1

DF
DF,F −1

(x).

Điều kiện cần được chứng minh.
Điều kiện đủ. Từ (3.59), (3.61), (3.62) suy ra DF,F −1 (x) ≡ DF,F −1 (−x), và
DF (x) ≡ DF −1 (−x). Vì vậy ta có

F −1


DF
DF,F −1

Xét hàm

ϕ(x) := F −1

(x) ≡ F

DF
DF,F −1

DF −1
DF,F −1

(x) = F

(x).

DF −1
DF,F −1

(x).

Suy ra ϕ ∈ L1 (Rd ). Áp dụng định lý ngược của phép biến đổi Fourier ta tìm
được
DF (x)
(F ϕ)(x) =
,
DF,F −1 (x)


(F −1 ϕ)(x) =

DF −1 (x)
.
DF,F −1 (x)

Hiển nhiên rằng hàm (F ϕ)(x) và (F −1 ϕ)(x) thỏa mãn (3.70). Vậy suy ra

A(x)(F ϕ)(x) + B(x)(F −1 ϕ)(x) = (F p)(x).
Do phương trình (3.69) tương đương với phương trình (3.68), ta được

F λϕ +

γ1
γ1
(1 + i)
(1 − i)
(k1 ∗ ϕ) +
(k1 ∗ ϕ)
F,F,H1
F,F,H2
2
2
γ1
γ1
(1 − i)
(1 + i)
+
(k2 ∗ ϕ) +

(k2 ∗ ϕ) (x) = (F p)(x).
F,F,H1
F,F,H2
2
2

−124−