ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội- Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình
hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cơ trong Khoa Tốn – Cơ – Tin học đã quan
tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên
cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học
vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cơ giáo, các cán bộ Phịng Sau đại học, Trƣờng Đại
học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,
những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
văn này.
Tác giả
Đào Thị Bích Thảo


MỤC LỤC
TỔNG QUAN .............................................................................................................1
Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ......................................3
1.1 Một số khái niệm cơ bản....................................................................................3
1.2. Phép biến đổi tọa độ .........................................................................................5
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ............................................................................................5

1.2.2. Hệ tọa độ cong ...............................................................................................7
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ......................................................................................8
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide .......................................................14
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ...........................................................................20
1.3.1. Tenxơ hạng nhất ..........................................................................................20
1.3.2. Tenxơ hạng hai ............................................................................................21
1.3.3. Khai triển cụ thể...........................................................................................21
1.4. Đạo hàm hiệp biến ..........................................................................................23
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ...................................................................................23
1.4.2. Kí hiệu Christoffel .......................................................................................25
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất ......................................................31
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ........................................................32
Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ.............................33
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. .................33
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .......42
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài tốn vỏ mỏng ........................................................48
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ...........................................................48
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng ............................................................49
2.3.3. Phƣơng trình cân bằng .................................................................................52
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ........................................................................53


TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà
toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.
Để giải các bài tốn trong lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các

phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Cơsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ
thức Cơsi mà khơng nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các
phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
-

Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chƣơng 2.

1


-

Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài

toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây:

2


Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trƣờng hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trƣng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dƣới.
Ví dụ nhƣ𝑎𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 .
Theo quy ƣớc: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu 𝑎𝑖
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 . 𝑎𝑖𝑗 biểu thị 1 trong 9 phần tử
𝑎11 , 𝑎12 ,𝑎13 , 𝑎21 ,𝑎22 , 𝑎23 ,𝑎31 , 𝑎32 ,𝑎33 .
Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ𝑎𝑖 phụ thuộc
vào một chỉ số nên 𝑎𝑖 là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. 𝑎𝑖𝑗 phụ thuộc vào 2
chỉ số(𝑖, 𝑗) nên𝑎𝑖𝑗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 32 = 9 phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3𝑛 phần tử.
Quy ƣớc về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ: 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 .
Hệ thống đối xứng

Xét hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống 𝑎𝑖𝑗 gọi là hệ thống đối xứng.
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 .

3


Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà khơng thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 𝑎𝑖𝑗 là hệ thống phản đối xứng.
𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 .
Ví dụ hệ thống Kronecker
𝛿𝑖𝑗 =

1,
0,

nếu 𝑖 = 𝑗
nếu 𝑖 ≠ 𝑗

là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó khơng thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống 𝑎𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo 2 chỉ số ( 𝑖, 𝑗 ) thì
𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 .
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3

𝑒𝑖𝑗𝑘


0,
= 1,
−1,

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

Cụ thể:𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 1 ,
𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1,
Cách thành phần còn lại của 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 0.
Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi là tenxơ phản biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai𝑎𝑗𝑖 gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

4


1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đềcác
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vng góc
𝑦

3

𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 với véc tơ cơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3
(Hình 1)


𝒆𝟑

𝑦

1

𝒆𝟏

𝑅 = 𝑅 (𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ) là véctơ bán kính của
O

𝒆𝟐

𝑦2

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.

Hình 1.

Véc tơ 𝑅 đƣợc biểu diễn dƣới dạng
𝑅 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦 2 𝑒2 + 𝑦 3 𝑒3 = 𝑦 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 = 1,2,3 .

(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑦 𝑖 𝑒𝑖 = 𝑦 𝑖 𝑑𝑒𝑖 + 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖
= 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 .

(𝑑𝑜𝑑𝑒𝑖 = 0)


𝑑𝑠 2 là độ dài bình phƣơng vơ cùng nhỏ của 𝑃𝑄
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 . 𝑑𝑅 = 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖
= 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 là các véctơ đơn vị và
trực giao nên tích vơ hƣớng𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 =0 nếu 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 1 nếu 𝑖 = 𝑗 nên 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 .
Suy ra:
𝑑𝑠 2 = 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑖
= 𝑑𝑦1

2

+ 𝑑𝑦 2

2

+ 𝑑𝑦 3 2 .

a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)
Xét một hệ thống𝑎 có các thành phần 𝑎𝑖 trong hệ cơ sở 𝑒𝑖 .
Phép cộng
𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 + 𝑏𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑒𝑖
= 𝑎1 + 𝑏1 𝑒1 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑎3 + 𝑏3 𝑒3 .
Nhân với một số
5


𝜆𝑎 = 𝜆 𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝜆𝑎𝑖 𝑒𝑖
= 𝜆𝑎1 𝑒1 + 𝜆𝑎2 𝑒2 + 𝜆𝑎3 𝑒3 .
Nhân vô hƣớng

𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 . 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝛿𝑖𝑗
= 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑎 3 𝑏 3 .
Nhân véctơ
𝑒1
𝑎 × 𝑏 = 𝑎1
𝑏1

𝑒2
𝑎2
𝑏2

𝑒3
𝑎3
𝑏3

= 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 .
Hay viết dƣới dạng:
𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 × 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 × 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑘
𝐿𝑒−𝐶𝑖

= 𝑎1 𝑏2 𝑒3 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎2 𝑏3 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 𝑒2
= 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 .
Tích hỗn hợp
𝑎 × 𝑏 𝑐 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑘 . 𝑐 𝑚 𝑒𝑚 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝑒𝑘 . 𝑒𝑚
= 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝛿𝑘𝑚 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑘
= 𝑎1 𝑏 2 𝑐 3 − 𝑎1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑏1 𝑐 3 + 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 1 + 𝑎 3 𝑏1 𝑐 2 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑐 1
= 𝑎1 𝑏 2 𝑐 3 + 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 1 + 𝑎 3 𝑏1 𝑐 2 − 𝑎1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑏1 𝑐 3 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑐 1 .
Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗)
𝑎⨂𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 ⊗ 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 ⨂𝑒𝑗
= 𝑎1 𝑏1 𝑒1 ⨂𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 ⨂𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 ⨂𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 ⨂𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 ⨂𝑒2

+𝑎2 𝑏3 𝑒2 ⨂𝑒3 + 𝑎3 𝑏1 𝑒3 ⨂𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 ⨂𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 ⨂𝑒3
b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng
tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : 𝔸 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗
6


Phép cộng
𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 .
Phép trừ
𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 .
Phép nhân vô hƣớng
𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 . 𝑏𝑘 𝑒𝑘 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 . 𝑒𝑘
= 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘 𝑒𝑖 𝛿𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗 𝑒𝑖 .
𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 . 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑘 𝑒𝑙 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑙 𝑒𝑗 . 𝑒𝑘
= 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑙 𝛿𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑙 .
Tích tenxơ
𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑘 𝑒𝑙 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑒𝑘 𝑒𝑙
= 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑘𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝑒𝑙 .
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong
Hệ tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 với hệ véc

𝑥3


tơ cơ sở 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 (Hình 2).
𝑅 = 𝑅 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) là véctơ bán kính

𝑔3

𝑔2
O

𝑥1

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ

𝑥

cong.

2

Biểu diễn véc tơ𝑅 dƣới dạng :

𝑔1

𝑅 = 𝑥 1 𝑔1 + 𝑥 2 𝑔2 + 𝑥 3 𝑔3

Hình 2

= 𝑥 𝑖 𝑔𝑖 .

Lấy điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 là lân cận của điểm 𝑃 𝑥 𝑖 .
𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑔𝑖 𝑑𝑥 𝑖 .

7

(1.2)


Độ dài bình phƣơng của véc tơ vơ cùng nhỏ𝑃𝑄 đƣợc xác định bằng
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅. 𝑑𝑅 = 𝑔𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑔𝑗 𝑑𝑥 𝑗
= 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 .
Trong đó 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 .
Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ𝑎 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖 và𝑏 = 𝑏𝑖 𝑔𝑖 = 𝑏𝑖 𝑔𝑖
Phép cộng, trừ
𝑎 ± 𝑏 = 𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔𝑖 .
Tích vô hƣớng
𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖 . 𝑏 𝑗 𝑔𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑔𝑖𝑗
= 𝑎𝑖 𝑔𝑖 . 𝑏𝑗 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑔𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑔𝑖𝑗 .
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính𝑅 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

𝑂, 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 biểu diễn dƣới

dạng:
𝑂𝑃 = 𝑅 = 𝑦 𝑖 𝑒𝑖 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦 2 𝑒2 + 𝑦 3 𝑒3 .
Với các véc tơ cơ sở 𝑒𝑖 là không đổi.
Trong tọa độ cong𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 bất kỳ, các biến 𝑥 𝑖 liên hệ với tọa đồ Đề các 𝑦 𝑖 trong
miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị.
𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑖 𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 và 𝑦 𝑖 = 𝜑𝑖 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 .
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
𝐽 = 𝐷𝑒𝑡


𝜕𝑦 𝑖
𝜕𝑥 𝑖
≠
0
;
𝐽
=
𝐷𝑒𝑡
≠ 0.
𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑦 𝑗

Ta có:
𝜕𝑦 𝑖
𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 1 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 3
= 𝑘 ∙ 𝑗 = 1 ∙ 𝑗 + 2 ∙ 𝑗 + 3 ∙ 𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 .
𝑗
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Suy ra 2 ma trận

𝜕𝑦 𝑖

𝜕𝑥 𝑘

𝜕𝑥


𝜕𝑦 𝑗

𝑘 ;

là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :

8


𝑔1 =
hay

𝜕𝑅
𝜕𝑅
𝜕𝑅
;
𝑔
=
;
𝑔
=
2
3
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3

𝜕𝑅

= 𝑅,𝑗 .
𝜕𝑥 𝑗

𝑔𝑗 =

(1.3)

Các véctơ 𝑔𝑗 = 𝑔𝑗 𝑃 = 𝑔𝑗 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là
hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó
𝑔1 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 1 ;
𝑔2 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 2 ;
𝑔3 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 3 .
Cùng với hệ véctơ cơ sở𝑔𝑖 , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến𝑔𝑖 liên hệ theo hệ
thức sau
𝑔𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗𝑖

(1.4)

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vơ
cùng nhỏ từ𝑃 𝑥 𝑖 tới điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 cho ta vi phân vơ cùng nhỏ của véc tơ bán
kính 𝑅 của điểm 𝑃.
𝑃𝑄 ≈ 𝑑𝑅 =

𝜕𝑅
𝜕𝑅
𝜕𝑅
1
2
𝑑𝑥
+

𝑑𝑥
+
𝑑𝑥 3
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3

= 𝑔1 𝑑𝑥 1 + 𝑔2 𝑑𝑥 2 + 𝑔3 𝑑𝑥 3 = 𝑔𝑖 𝑑𝑥 𝑖 .
Vậy véctơ 𝑅 đƣợc biểu diễn dƣới dạng: 𝑅 = 𝑥 𝑖 𝑔𝑖 .
Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân đƣợc từ hệ tọa độ cong này 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3
1

2

sang hệ tọa độ cong khác 𝑥 ′ ; 𝑥 ′ ; 𝑥 ′

3

.
𝑘

𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 ′
=
∙
.
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑘 𝜕𝑥 𝑗

(1.5)


Ta kí hiệu𝑔𝑖 là các rêpe địa phƣơng trong hệ tọa độ cong

1

2

𝑥′ ; 𝑥′ ; 𝑥′

3

. Do đó 𝑔𝑖

sẽ đƣợc xác định từ biểu thức:
𝑔′

𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗
= ′𝑖 = 𝑗 ∙ ′𝑖
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑅

𝑖

(1.6)

Thay 𝑔𝑗 ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
𝑔′

𝑖


= 𝑔𝑗

𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑥 ′ 𝑖

=

𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑥 ′ 𝑖

∙ 𝑔𝑗 ; 𝐷𝑒𝑡

9

𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑥 ′ 𝑖

≠ 0.

(1.7)


Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:
𝑔′
𝑔′
𝑔′

1

2


3

=

𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 ′ 1

∙ 𝑔1 +

𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 ′ 1

∙ 𝑔2 +

𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 ′ 1

∙ 𝑔3

𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
= ′ 2 ∙ 𝑔1 + ′ 2 ∙ 𝑔2 + ′ 2 ∙ 𝑔3
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

(1.8)


𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
= ′ 3 ∙ 𝑔1 + ′ 3 ∙ 𝑔2 + ′ 3 ∙ 𝑔3 .
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
1

2

Ngƣợc lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong 𝑥 ′ ; 𝑥 ′ ; 𝑥 ′

3

sang hệ tọa độ cong

𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 .
𝑗

𝑗

𝜕𝑅
𝜕𝑅 𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
𝑔𝑖 = 𝑖 = ′ 𝑗 ∙
=
∙ 𝑔′ 𝑗 .
𝑖
𝑖

𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

(1.9)

Khai triển cụ thể (1.9)
1

2

3

1

2

3

𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
′ +
′ +
𝑔1 =
∙
𝑔
∙
𝑔

∙ 𝑔′ 3
1
1
1
1
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
′ +
′ +
𝑔2 =
∙
𝑔
∙
𝑔
∙ 𝑔′ 3
1
2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 2
1

2

(1.10)


3

𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′
′
′
𝑔3 =
∙𝑔 1+
∙𝑔 2+
∙ 𝑔′ 3 .
𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 3
Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ𝑎 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 . Có thể biểu diễn véc tơ𝑎 dƣới
dạng:
𝑎 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎𝑗 𝑔 𝑗 .
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ𝑎 không đổi.
Biểu diễn𝑎 với các thành phần phản biến
𝑖

𝑎 = 𝑎′ . 𝑔′ 𝑖 = 𝑎𝑚 . 𝑔𝑚 = 𝑎𝑚 ∙
𝑖

𝜕𝑅
𝜕𝑥 𝑚

𝑖


𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 ′ ′
𝑚
=𝑎
∙
=𝑎
𝑔 .
𝜕𝑥 𝑚 𝑖
𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝑚
𝑚

𝜕𝑅

Suy ra:
𝑖

𝜕𝑥 ′
𝑎 =𝑎
∙
𝜕𝑥 𝑚
′𝑖

𝑚

(1.11)

Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

10



1

1

1

2

2

2

𝑎

′1

𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3
=
𝑎 +
𝑎 +
𝑎
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3

𝑎

′2


𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3
=
𝑎 +
𝑎 +
𝑎
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3

𝑎

′3

𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3
=
𝑎 +
𝑎 +
𝑎 ∙
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3

3

3

(1.12)

3


Biểu diễn 𝑎 với các thành phần hiệp biến
𝑖

𝑎 = 𝑎𝑖′ 𝑔′ = 𝑎𝑚 𝑔𝑚
𝑎 = 𝑎𝑚 𝑔𝑚 = 𝑎𝑚 𝑔𝑚 . 𝑔′ 𝑖 . 𝑔′
=

𝑖
𝑎𝑚 𝛿𝑖′𝑚 𝑔′

= 𝑎𝑚

𝜕𝑥 𝑚
𝜕𝑥 ′ 𝑖

𝑔′

𝑖

𝑖

từ đó suy ra
𝑎𝑖′

𝜕𝑥 𝑚

= 𝑎𝑚

𝜕𝑥 ′ 𝑖


∙

(1.14)

Biểu diễn cụ thể (1.14) nhƣ sau
𝑎1′ =

𝜕𝑥 1

𝜕𝑥 2

𝜕𝑥 3

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥 ′ 1

𝑎 +
′1 1

𝑎 +
′1 2

𝑎3 ,

𝑎2′ =

𝜕𝑥 1

𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
𝑎
+
𝑎
+
𝑎3 ,
1
2
𝜕𝑥 ′ 2
𝜕𝑥 ′ 2
𝜕𝑥 ′ 2

𝑎3′ =

𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
𝑎
+
𝑎
+
𝑎3 .
1
2
𝜕𝑥 ′ 3
𝜕𝑥 ′ 3
𝜕𝑥 ′ 3

(1.15)


Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng:
𝔸 = 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖 𝑔𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 𝑔𝑖 𝑔 𝑗 .
Trong đó 𝑎𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
𝑎𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
𝑎𝑗𝑖 là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
𝑔′ 1 ; 𝑔′ 2 ; 𝑔′ 3 tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành
phần 2 lần phản biến nhƣ sau:

11


𝑖𝑗

𝔸 = 𝑎′ 𝑔′ 𝑖 𝑔′ 𝑗 = 𝑎𝑚𝑛 𝑔𝑚 𝑔𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
𝑖

𝑗

=𝑎

𝑚𝑛

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑅 𝜕𝑥 ′
∙
∙
∙
𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝜕𝑥 𝑛


=𝑎

𝑚𝑛

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′
∙
∙ 𝑔′ 𝑖 𝑔′ 𝑗 .
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛

𝜕𝑅

𝑖

𝜕𝑅 𝜕𝑅
∙
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛

𝑗

Suy ra:
𝑖

𝑎

′ 𝑖𝑗

=𝑎

𝑚𝑛


𝑖𝑗

𝑗

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′
∙
.
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛

11

22

33

(1.16)
12

13

21

23

31

32

𝑎′ bao gồm 9 thành phần: 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ .

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần 𝑎′
𝑎

′ 11

11

ta sẽ đƣợc

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1


1

1

1

1

1

1

1

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 11 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 12 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 13
=
∙
𝑎 +
∙
𝑎 +
∙
𝑎
𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 21 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 22 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 23
+ 2 ∙
𝑎 +
∙

𝑎 +
∙
𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 31 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 32 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 33
+ 3 ∙
𝑎 +
∙
𝑎 +
∙
𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 3
1 2

𝜕𝑥 ′
=
𝜕𝑥 1

1 2

𝜕𝑥 ′
11
𝑎 +
𝜕𝑥 2

1


1

1 2

𝜕𝑥 ′
22
𝑎 +
𝜕𝑥 3
1

𝑎33 +

1

1

1

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 12
𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 13
𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 23
2 1 ∙
𝑎 +2 1 ∙
𝑎 +2 2 ∙
𝑎 .
𝜕𝑥 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 𝜕𝑥 3
Tƣợng tự với 8 thành phần còn lại của𝑎′

𝑎′

31

; 𝑎′

23

𝑖𝑗

với chú ý là𝑎′

12

= 𝑎′

21

; 𝑎′

32

= 𝑎′ .

Nếu biểu diễn dƣới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
𝑖

𝑗

𝑖


𝔸 = 𝑎′ 𝑖𝑗 𝑔′ . 𝑔′ = 𝑎𝑚𝑛 𝑔𝑚 . 𝑔𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 . 𝑔𝑚 . 𝑔′ 𝑖 . 𝑔′ . 𝑔𝑛 . 𝑔′ 𝑗 . 𝑔′
𝑖

𝑗

= 𝑎𝑚𝑛 . 𝛿𝑖′𝑚 . 𝛿𝑗𝑛′ . 𝑔′ . 𝑔′ = 𝑎𝑚𝑛

𝑗

𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛
𝑖
𝑗
𝑖 ∙
𝑗 ∙ 𝑔′ ∙ 𝑔′ .
′
′
𝜕𝑥 𝜕𝑥

Vậy:
𝑎

′

𝑖𝑗

= 𝑎𝑚𝑛

𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛
∙

.
𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 ′ 𝑗

(1.17)

Hệ thống𝑎′ 𝑖𝑗 gồm có 9 phần tử𝑎′ 11 , 𝑎′ 12 , 𝑎′ 13 , 𝑎′ 21 , 𝑎′ 22 , 𝑎′ 23 , 𝑎′ 31 , 𝑎′ 32 , 𝑎′ 33
12

13

=


trong đó𝑎′ 12 = 𝑎′ 21 ; 𝑎′ 13 = 𝑎′ 31 ; 𝑎′ 23 = 𝑎′ 32 .
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc:
𝑎

′

22

=

2

𝜕𝑥 1

𝑎11 +

𝜕𝑥 ′ 2


2

𝜕𝑥 2

𝑎22 +

𝜕𝑥 ′ 2

2

𝜕𝑥 3

𝑎33 +

𝜕𝑥 ′ 2

𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3
2 ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎12 + 2 ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎13 + ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎23 .
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
𝑗

𝑖

𝔸 = 𝑎′ 𝑗 𝑔′ 𝑖 𝑔′ = 𝑎𝑛𝑚 𝑔𝑚 𝑔𝑛 = 𝑎𝑛𝑚 𝑔𝑚 𝑔𝑛 𝑔𝑗′ . 𝑔′

=
=

𝑗
𝑎𝑛𝑚 𝑔𝑚 . 𝛿𝑗𝑛′ . 𝑔′

𝑎𝑛𝑚

𝜕𝑅

𝑖

𝑖
𝑎′𝑗

𝑎𝑛𝑚

=

𝑎𝑛𝑚

𝑗

𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑛
𝑗
∙ ′ 𝑗 ∙ 𝑔′
𝑚
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝑖


𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛
′𝑗
𝑚
∙
∙
∙
𝑔
=
𝑎
∙ ′ 𝑗 ∙ 𝑔′𝑖 ∙ 𝑔′𝑗 .
𝑛
𝑖 𝜕𝑥 𝑚
𝑗
𝑚
′
′
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

Vậy:
𝑖

=

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛
∙
.

𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑗

(1.18)

Tƣơng tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
𝑖

𝑎

′ 𝑖𝑗𝑘

=𝑎

𝑚𝑛𝑝

𝑎′ 𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑚𝑛𝑝

𝜕𝑥 ′
𝜕𝑥 𝑚
𝜕𝑥 𝑚

𝑗

𝜕𝑥 ′
∙ 𝑛
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝑛
∙
𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 ′ 𝑗


𝑘

𝜕𝑥 ′
∙
.
𝜕𝑥 𝑝
𝜕𝑥 𝑝
∙ ′𝑘 .
𝜕𝑥

𝑖

𝑖
𝑎′𝑗𝑘

=

𝑚
𝑎𝑛𝑝

𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 𝑝
∙
∙
.
𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑘

Tenxơ kết hợp
Do các véc tơ 𝑔𝑖 ; 𝑔𝑗 đều là các véctơ cơ sở nên véctơ𝑔𝑖 có thể biểu diễn thông qua
hệ véctơ cơ sở 𝑔𝑗 và ngƣợc lại.
Ví dụ:𝑔1 = 𝛼1 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 + 𝛼3 𝑔3 ,


(1.19)

Nhân cả hai vế của (1.19) với 𝑔1 ta đƣợc
𝑔1 . 𝑔1 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔1 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔1 ,
⇔ 𝑔11 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔1 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔1
Vì𝑔1 ⊥ 𝑔2 , 𝑔3 nên𝑔2 . 𝑔1 = 𝑔3 . 𝑔1 = 0

13

(1.21 )

(1.20)


Thay (1.21) và ( 1.20) có
𝑔11 = 𝛼1 .
Làm tƣơng tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với𝑔2
𝑔1 . 𝑔2 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔2 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔2 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔2
⇔ 𝑔12 = 𝛼2 .
Tƣơng tự tính đƣợc 𝑔13 = 𝛼3 .
Thay các 𝛼1 ; 𝛼2 ; 𝛼3 vào ( 1.19) suy ra
𝑔1 = 𝑔11 𝑔1 + 𝑔12 𝑔2 + 𝑔13 𝑔3
⇒ 𝑔𝑖 = 𝑔𝑖𝑚 𝑔𝑚 .

( 1.22)

Ngƣợc lại véc tơ 𝑔𝑖 có thể biểu diễn qua các cơ sở𝑔 𝑗 . Ví dụ
𝑔1 = 𝛽1 𝑔1 + 𝛽2 𝑔2 + 𝛽3 𝑔3


( 1.23)

Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với𝑔1 sẽ đƣợc
𝑔1 . 𝑔1 = 𝛽1 𝑔1 𝑔1 + 𝛽2 𝑔2 𝑔1 + 𝛽3 𝑔3 𝑔1
⇔ 𝑔11 = 𝛽1 .
Do 𝑔1 ⊥ 𝑔2 , 𝑔3 nên 𝑔1 . 𝑔2 = 𝑔1 . 𝑔3 = 0; 𝑔1 . 𝑔1 = 1.
Thực hiện tƣơng tự, nhân hai vế của ( 1.23) với𝑔2 sẽ có
𝑔12 = 𝛽2.
Nhân 2 vế của ( 1.23) với 𝑔3
𝑔13 = 𝛽3.
Thay 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 vào ( 1.23)
𝑔1 = 𝑔11 . 𝑔1 + 𝑔12 . 𝑔2 + 𝑔13 . 𝑔3
Hay
𝑔𝑖 = 𝑔𝑖𝑛 . 𝑔𝑛

(1.24 )

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau:
𝑔𝑖 = 𝑔𝑖𝑚 𝑔𝑚 .

( phép nâng chỉ số)

𝑔𝑖 = 𝑔𝑖𝑛 . 𝑔𝑛 .

( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide
a. Tenxơ mêtric hiệp biến

14



Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi 𝑑𝑠 2 là độ dài bình phƣơng của véctơ vơ cùng nhỏ là
𝑃𝑄
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅. 𝑑𝑅 = 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑗
= 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 1.25
= 𝑑𝑦1

2

+ 𝑑𝑦 2

2

+ 𝑑𝑦 3 2 .

Xét trong tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 . 𝑑𝑅 = 𝑔𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑔𝑗 𝑑𝑥 𝑗
= 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 .

( 1.26)

Trong đó 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
2

𝑚

𝑛


𝑑𝑠 = 𝛿𝑚𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝛿𝑚𝑛

𝜕𝑦 𝑚 𝑖 𝜕𝑦 𝑛 𝑗
𝑑𝑥 ∙ 𝑗 𝑑𝑥
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑛 𝑖 𝑗
∙
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗

= 𝛿𝑚𝑛

( 1.27)

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận đƣợc
𝑔𝑖𝑗 = 𝛿𝑚𝑛

𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑛
∙
1.28
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
=
∙
+
∙
+

∙
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến nhƣ sau
2

𝑔11

𝜕𝑦1
=
𝜕𝑥 1

2

𝑔22

𝜕𝑦1
=
𝜕𝑥 2

2

𝑔33

𝜕𝑦1
=
𝜕𝑥 3

𝑔12 =
𝑔13


𝜕𝑦 2
+
𝜕𝑥 1

2

𝜕𝑦 2
+
𝜕𝑥 2

2

𝜕𝑦 2
+
𝜕𝑥 3

2

𝜕𝑦 3
+
𝜕𝑥 1

2

𝜕𝑦 3
+
𝜕𝑥 2

2


𝜕𝑦 3
+
𝜕𝑥 3

2

,

,

,

𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
∙
+
∙
+
∙
,
𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2

𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
= 1∙ 3+ 1∙ 3+ 1∙ 3 ,
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥

15

1.29



𝑔12 =

𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
∙
+
∙
+
∙
.
𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3

b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
Hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑔𝑖 liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
𝑔𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗𝑖

- tenxơ Kronecker

Với hệ cơ sở 𝑔𝑖 , 𝑔𝑖 , 𝑔𝑖 đã biết ta xác định đƣợc
hay

𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3

𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔𝑖𝑗 .

Đặt:
𝑔1 =

𝑔2 × 𝑔3

𝑔

; 𝑔2 =

𝑔3 × 𝑔1

; 𝑔3 =

𝑔

𝑔1 × 𝑔2
𝑔

.

(1.30)

Hoặc
𝑔1 =

𝑔2 × 𝑔3
𝑔

; 𝑔2 =

𝑔3 × 𝑔1
𝑔

; 𝑔3 =


𝑔1 × 𝑔2
𝑔

.

Trong đó :
𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3 =

1
𝑔

.

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (𝑔1 ⊥ 𝑔2 , 𝑔3 ; 𝑔1 ⊥ 𝑔2 ; 𝑔3 ), các véc tơ cơ
sở 𝑔𝑖 , 𝑔𝑖 trùng nhau về hƣớng nhƣng độ lớn khác nhau.
Thật vậy, ta có 𝑔1 × 𝑔2 = 𝑘𝑔3 mà
𝑔3 =

𝑔1 × 𝑔2
𝑔

=

𝑘𝑔3
𝑔

Suy ra : 𝑔3 , 𝑔3 cùng hƣớng, khác nhau về độ lớn.
Tƣơng tự các cặp 𝑔1 , 𝑔1 ; 𝑔2 , 𝑔2 cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong


trƣờng

hợp

này:

𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖 . 𝑔 𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗

𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖 . 𝑔𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗
𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔𝑖𝑗

𝑔11
= 𝑔21
𝑔31

𝑔12
𝑔22
𝑔32

𝑔13
𝑔11
𝑔23 = 0
𝑔33
0

= 𝑔11 𝑔22 𝑔33 .
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính𝑔11 𝑔11 ta đƣợc:

16


0
𝑔22
0

0
0
𝑔33


𝑔11 𝑔11 = 𝑔1 . 𝑔1 . 𝑔1 . 𝑔1 = 𝑔1 . 1. 𝑔1 = 1
⇒ 𝑔11 =

1
𝑔11

Thực hiện tƣơng tự ta cũng nhận đƣợc
𝑔22 =

1
1
; 𝑔33 =
.
𝑔22
𝑔33

𝑔𝑖𝑖 = 𝑔𝑖 . 𝑔𝑖 = 𝑔𝑖
Giống nhƣ trên ta có thể suy ra𝑔𝑖 =
𝑔1 =
𝑔1 =


2

⇒ 𝑔𝑖 =

𝑔𝑖𝑖

𝑔𝑖𝑖 .

𝑔11 ; 𝑔2 =

𝑔22 ; 𝑔3 =

𝑔33 ,

𝑔11 ; 𝑔2 =

𝑔22 ; 𝑔3 =

𝑔33 .

c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟, 𝜑, 𝑧

𝑦3

( Hình 3.)

z


Phép biến đổi tọa độ

𝑟
P

𝑦1 = 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑,

𝑦2

𝑦 2 = 𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑,
𝑦 3 = 𝑥 3 = 𝑧.

𝑦1

𝜑
Hình 3.

Ta tính đƣợc
𝜕𝑦1 𝜕𝑦1
=
= 𝑐𝑜𝑠𝜑 ;
𝜕𝑥 1
𝜕𝑟

𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 2
=
= 𝑠𝑖𝑛𝜑 ;
𝜕𝑥 1

𝜕𝑟

𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
=
=0
𝜕𝑥 1
𝜕𝑟

𝜕𝑦1 𝜕𝑦1
𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 3
𝜕𝑦 3
=
= −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ;
=
= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 ;
=
=0
𝜕𝑥 2
𝜕𝜑
𝜕𝑥 2
𝜕𝜑
𝜕𝑥 2
𝜕𝜑
𝜕𝑦1 𝜕𝑦1
=
=0
𝜕𝑥 3
𝜕𝑧


;

𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 2
=
=0
𝜕𝑥 3
𝜕𝑧

Suy ra từ công thức (1.31)
𝑔1 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 , 𝑠𝑖𝑛𝜑, 0 ,
17

;

𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3
=
=1
𝜕𝑥 3
𝜕𝑧

(1.31)


𝑔2 = −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 0 ,

(1.32)

𝑔3 = 0,0,1 .
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa

độ trụ
𝑔11 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 1
𝑔22 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 = 𝑟 2
𝑔33 = 1
𝑔12 = 𝑔21 = 𝑐𝑜𝑠𝜑. −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0
𝑔13 = 𝑔31 = 0
𝑔23 = 𝑔32 = 0
Vậy:
1
𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 0
0
Suy ra

0
𝑟2
0

0
0 = 𝑟2
1

𝑔 = 𝑟.

Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ
Suy ra :

𝑔2 × 𝑔3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑; 0
𝑔3 × 𝑔1 = −𝑠𝑖𝑛𝜑; 𝑐𝑜𝑠𝜑; 0


𝑔1 = 𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑠𝑖𝑛𝜑; 0 ,

𝑔2 = −

𝑔1 × 𝑔2 = 0 ; 0 ; 𝑟

𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
;
;0 ,
𝑟
𝑟

𝑔3 = 0 ; 0 ; 1 .

Vậy:
𝑔11 = 1,

𝑔22 =

1
𝑟2

𝑔33 = 1 ,

,

𝑔12 = 𝑔21 = 𝑔13 = 𝑔31 = 𝑔23 = 𝑔32 = 0.
Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 = 𝑟 , 𝜃 , 𝜑
Phép biến đổi tọa độ:


𝑦 3 = 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 .

𝑦1 = 𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,
𝑦 2 = 𝑥 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 3 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,

18


𝑦3
𝜑
𝑟 = 𝑂𝑃
𝑃

𝑦2

𝑂
𝜃

𝑦1
Hình 4.

Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng
𝜕𝑦1
= 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,
𝜕𝑟
𝜕𝑦 2
= 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,
𝜕𝑟
𝜕𝑦 3

= 𝑐𝑜𝑠𝜑 ,
𝜕𝑟

𝜕𝑦1
= −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,
𝜕𝜃

𝜕𝑦1
= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 ,
𝜕𝜑

𝜕𝑦 2
= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 ,
𝜕𝜃

𝜕𝑦 2
= 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , (1.33)
𝜕𝜑

𝜕𝑦 3
=0,
𝜕𝜃

𝜕𝑦 3
= −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 .
𝜕𝜑

Vậy từ (1.3) ta có

𝑔1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑔2 = −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 , 0

(1.34)

𝑔3 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 , −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu
𝑔11 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 = 1 ,
𝑔22 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 ,
𝑔33 = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 𝑟 2
𝑔12 = 𝑔21 = 𝑔13 = 𝑔31 = 𝑔23 = 𝑔32 = 0 .
1
𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 0
0

0
𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
0

0
0 = 𝑟 4 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 .
𝑟2

𝑔 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 .

19


Từ (1.34) ta tính đƣợc
𝑔2 × 𝑔3 = −𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑; −𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜑; −𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 ,

𝑔3 × 𝑔1 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃; − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃; 0 ,

(1.35)

𝑔1 × 𝑔2 = −𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑; −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜑 .
Vậy theo (1.30) ta có:
𝑔1 = −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑; −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑; −𝑐𝑜𝑠𝜑 ,
𝑔2 =

𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
;−
;0 ,
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑔3 = −

1.36

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑
,−
,
.
𝑟
𝑟
𝑟

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.
𝑔11 = 1,


𝑔22 =

1
,
𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑

𝑔33 =

1
,
𝑟2

𝑔12 = 𝑔21 = 𝑔13 = 𝑔31 = 𝑔23 = 𝑔32 = 0.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất
Xét véctơ 𝑎 ( tenxơ hạng nhất )
𝑎 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖
Gọi các véc tơ 𝑒 𝑖∗ , 𝑒𝑖∗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
𝑒 𝑖∗
Suy ra:

=

𝑔𝑖
𝑔𝑖𝑖

𝑒𝑖∗ =


;

𝑔𝑖
𝑔𝑖𝑖

.

𝑎 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖∗ 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖 𝑒 𝑖∗ 𝑔𝑖𝑖 .

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, 𝑔𝑖 , 𝑔𝑖 trùng nhau về hƣớng, khác nhau về độ
lớn nên các véc tơ 𝑒 𝑖∗ , 𝑒𝑖∗ trùng nhau. Vậy 𝑎𝑖 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖∗ .
Ta gọi 𝑎𝑖∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.
Kí hiệu:
𝑔𝑖𝑖 =

1
= 𝐴2𝑖 ,
𝑔𝑖𝑖
20


𝐴𝑖 gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ 𝑎 có dạng :
𝑎𝑖
𝑎𝑖∗ = 𝑎𝑖 𝑔𝑖𝑖 = 𝑎𝑖 𝐴𝑖 = .
( không tổng theo i )
𝐴𝑖
1.3.2. Tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng:
𝔸 = 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖 𝑔𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖∗ 𝑔𝑖𝑖 𝑒𝑗∗ 𝑔𝑗𝑗
= 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗 𝑒𝑖∗ 𝑒𝑗∗ = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝑒𝑖∗ 𝑒𝑗∗ = 𝑎𝑖𝑗


1 1 𝑖∗ 𝑗 ∗
𝑒 𝑒 .
𝐴𝑖 𝐴𝑗

Suy ra:
𝑎𝑖𝑗∗ = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖 𝐴𝑗 = 𝑎𝑖𝑗

1 1
𝐴𝑖 𝐴𝑗

( không tổng theo 𝑖, 𝑗 )

𝑎𝑖𝑗∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
Tƣơng tự nhƣ trên ta có thể xác định đƣợc thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể
𝐴1 =
𝑎1∗ =

1

𝑔11 =

𝑔11

,

𝐴2 =

𝑎1

,
𝐴1

∗
𝑎11
= 𝑎11 𝐴1

𝑎2∗ =

𝑔22 =

1
𝑔22

𝑎2
,
𝐴2

,

𝐴3 =
𝑎3∗ =

𝑔33 =

𝑎3
.
𝐴3

∗

𝑎22
= 𝑎22 𝐴2 2 ,

∗
𝑎33
= 𝑎33 𝐴3 2 ,

∗
𝑎12
= 𝑎12 𝐴1 𝐴2 ,

∗
𝑎21
= 𝑎21 𝐴1 𝐴2 ,

∗
𝑎31
= 𝑎31 𝐴1 𝐴3 ,

∗
𝑎13
= 𝑎12 𝐴1 𝐴3 ,

∗
𝑎23
= 𝑎23 𝐴2 𝐴3 ,

∗
𝑎32
= 𝑎32 𝐴2 𝐴3 .


Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ 𝑟, 𝜑, 𝑧
𝐴1 = 1 ,

𝐴2 = 𝑟 ,

𝐴3 = 1 .

Đối với hệ tọa độ cầu 𝑟, 𝜑, 𝜃
𝐴1 = 1 ,

𝐴2 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 ,

21

𝑔33

,

(1.37)

,

2

1

𝐴3 = 𝑟 .

(1.38)