<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHỦ ĐỀ:</b>

<b>ĐƯỜNG TRÒN</b>

<b>Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN</b>

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh bốn đỉnh A, B, C, D cùng nằm trên
một đường trịn. Tìm tâm.

Bài 2: Cho một tam giác đều ABC. Gọi M, N, S là các trung điểm của AB, BC và
CA. Chứng minh rằng bốn điểm B, M, S, C cùng nằm trên một đường trịn. Tìm
tâm.

Bài 3: Cho một tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vng góc nhau. Gọi
M, N, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
rằng bốn điểm M, N, R, S cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4:

a/ Cho hai điểm A, B bất kỳ trên (O). So sánh <i>OA B</i>^ & <i>OB A</i>^ .

b/ Gọi C, D là hai điểm trên (O; R) sao cho CD = R. Tính các góc COD.
c/ Cho đường trịn (O; R) và hai bán kính OM, ON vng góc nhau. Tính góc,

cạnh OMN.

Bài 5: Trong các hình vẽ sau, chứng minh bộ bốn điểm A, B, C, D và M, N, P, Q
cùng nằm trên một đường trịn:

A C

B

D P Q

M

N

Bài 6: Trong hình bên, chứng minh rằng: OO’ là trung trực của đoạn AB.

O O'

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 8: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi M là một điểm trên (O) (M  A,
B). Vẽ tia Ot // AM (tia Ot nằm giữa hai tia OM và OB). Chứng minh: Ot là tia
phân giác của <i>MOB</i>^ .

Bài 9: Cho đường tròn (O; 3cm) và hai điểm A, B bất kỳ trên đó.

a/ Tìm độ dài lớn nhất của dây AB và nói rõ vị trí tương đối của A, B lúc đó.
b/ Qua điểm I cho trước, nêu cách xác định hai điểm A, B để AB dài nhất.
Bài 10: Cho ABC vng tại A có AB = 3cm, AC = 4cm.

a/ Tính đoạn BC.

b/ Xác định tâm và bán kính đường trịn (ABC)

Bài 11: Cho ABC ( <i>A≠</i>^ 90<i>°</i> ). Vẽ đường trịn đường kính BC, cắt hai cạnh AB,
AC lần lượt tại D, E. Hai đường thẳng CD, BE cắt nhau tại H. Chứng tỏ H là
trực tâm . Chứng tỏ H là trực tâm ABC, suy ra AH  BC và A, D, E, H cùng
thuộc một đường tròn.

Bài 12: Cho đường trịn (O) và hai đường kính AB và CD. Chứng tỏ ACBD là hình
chữ nhật. Khi nào nó là hính vng.

Bài 13: Trong hình vẽ bên, từ A vẽ đường kính AC của (O) và đường kính AD của
(O’). Chứng minh : 3 điểm C, B, D thẳng hàng.

O

O'
A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN</b>

Bài 1: Cho đường trịn có đường kính AB, tâm O; CD là một dây không cắt AB.
Từ A, B lần lượt vẽ AE, BF vng góc với đường thẳng CD.

a/ Chứng minh rằng CD, EF có cùng trung điểm. Suy ra CE = DF.
b/ Tính chất trên cịn đúng khơng lúc dây CD cắt đường kính AB.

Bài 2: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O). vẽ OM  AB tại M và ON  AC
tại N. Chứng minh rằng : MN // BC.

Bài 3: Cho đường tròn (O) và 3 điểm A, B, C nằm trên đó sao cho tâm O nằm

trong ABC. Vẽ hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm
cạnh BC. Chứng minh rằng : OI // AH.

Bài 4: Cho (O) và 3 điểm A, B, C nằm trên đó. Gọi M là trung điểm AB. Vẽ Mx
song song với BC, cắt AC tại N. Chứng minh rằng : ON  AC.

Bài 5: Cho đường trịn (O) và một điểm A ở ngồi đường tròn. Đường thẳng OA
cắt (O) tại B và C (B nằm giữa A, C). Gọi M là trung điểm AC. Vẽ dây HK
vng góc AC tại M. chứng minh rằng : AHCK là hình thoi.

Bài 6: Gọi I là trung điểm dây AB không qua tâm của đường tròn (O; R).
a/ Chứng minh: OI AB.

b/ Qua I vẽ dây EF. Chứng minh : EF  AB. Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của
các dây quay quanh I.

Bài 7: Cho đường trịn (O), đường kính AB. Chứng minh rằng: nếu hai dây AC và
BD song song với nhau thì bằng nhau.

Bài 8: Cho điểm P ở bên trong (O). Dựng một dây AB qua P sao cho PA = PB.
Bài 9: Cho điểm P ở bên trong (O). Dựng đường tròn (P) sao cho (O) chia (P)

thành hai nửa đường tròn.

Bài 10: Cho điểm A cố định bên trong (O; R) và MN là một dây quay quanh A.
Chứng minh rằng: trung điểm I của các dây MN thuộc về một đường cố định.
Bài 11: Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây AC tạo với AB một góc

<i>C_AB=</i>^ ₃₀<i>_°</i> _.

a/ ABC là tam giác đặc biệt gì? Tính cạnh và góc?
b/ Gọi I là trung điểm dây AC. Tính CI theo R.

Bài 12: Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OC, OD vng góc nhau.
a/ Hỏi OCD là tam giác đặc biệt gì? Tính cạnh và góc?

b/ Suy ra cách vẽ một dây bằng <i>R</i>

√

2 của đường tròn (O; R).

Bài 13: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có <i>A</i>^=70<i>°</i> _; <i>C</i>^=63<i>°</i> _{. Hãy sắp}
thứ tự độ dài các cạnh AB, BC, CA và suy ra thứ tự các khoảng cách từ tâm O
đến các cạnh AB, BC, CA.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 15: Cho ABC cân tại A và nội tiếp trong (O). Chứng minh AO là phân giác
<i>B_AC</i>^ _.

Bài 16: Từ một điểm A ở ngoài (O) kẻ đường thẳng không qua O, cắt (O) tại M, N.
Gọi K, I là trung điểm của AO, MN. Tính KI thei OA.

Bài 17: Từ một điểm A ở ngoài (O) , kẻ một đường thẳng cắt (O) tại M, N. Vẽ OI
 MN. Tính AI theo AM và AN.

<b>Bài 3: GĨC NỘI TIẾP</b>

Bài 1: Hãy so sánh các góc <i>ACB</i>^ , <i>AD B</i>^ , <i>AEB</i>^ , <i>AFB</i>^ ở hình vẽ bên.

A B

C

D E

F

Bài 2: Trong hình vẽ bên hãy tính:
a/

<i>P</i>

<i>C Q</i>

^

biết <i>MA N</i>^ =31<i>°</i>

b/ <i>MA N</i>^ biết <i>PC Q</i>^ =132<i>°</i>

C _O

Q

P

N

A
M

Bài 3: Cho đường tròn (O) và cung AB có số đo là 900_.

a/ Tính góc AMB biết M thuộc cung lớn AB.
b/ Tính góc ANB biết N thuộc cung nhỏ AB.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R.

a/ Tính góc ACB biết M thuộc cung lớn AB.
b/ Tính góc ADB biết N thuộc cung nhỏ AB.

Bài 5: Cho điểm A bên ngoài đường trịn (O), đường kính BC. Nối AB, AC cắt
đường tròn (O) lần lượt tại E, D. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng

minh AH  BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

a/ Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b/ Tính BC, BD biết CD = a.

Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của <i>BAC</i>^ cắt đường
tròn (O) tại M. Chứng tỏ MBC cân và OM vng góc với BC.

Bài 8: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường cao AH và đường kính AD.
Chứng tỏ AB.AC = AH.AD.

Bài 9: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Hai đường cao BD, CE
cắt đường tròn (O) lần lượt tại M. N. Chứng tỏ AMN cân và OA vng góc
với MN.

Bài 10: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD, BE
cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) tại I, K.

a/ Chứng minh: <i>CA I=C</i>^ <i>B K</i>^ =C<i>B I</i>^ b/ Chứng minh : CIK cân.
Bài 11: Cho một điểm S cố định khơng thuộc đường trịn (O). Qua S vẽ hai cát

tuyến bất kỳ SAB, SCD của đường tròn (O). Chứng tỏ SA.SB = SC.SD. Nêu
nhận xét tổng quát.

Bài 12: Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Qua A vẽ một cát tuyến cắt
dây BC tại D và cắt đường tròn (O) tại E. Chứng tỏ AB2_{= AD.AE}

Bài 13: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AB. Từ trung điểm M của
cung AB vẽ dây MN song song với BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S.
Chứng tỏ SA = SN, SC = SM

Bài 14: Cho một điểm M thuộc đường trịn (O), đường kính AB. Gọi Ax là tiếp
tuyến tại A của đường trịn (O) và C là hình chiếu của M trên Ax. Chứng minh
MA2_{= AB.MC.}

Bài 15: Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Lấy
một điểm M trên cung AC. Tiếp tuyến tại M gặp đường thẳng CD tại N. Chứng
minh rằng <i>MN D=</i>^ 2.<i>MB A</i>^

Bài 16: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thuộc
cung BC. Trên tia MA đặt MD = MB.

a/ Hỏi MBD là tam giác gì?

b/ So sánh BDA và BMC. Suy ra MA = MB + MC

Bài 17: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường kính BD.
Tính cạnh, góc BCD. Suy ra độ dài cạnh tam giác đều nội tiếp đường trịn (O;
R)

Bài 18: Cho góc nhọn xAy, trên tia Ax lấy điểm B. Đường trịn có đường kính AB,
tâm O, cắt cạnh Ay tại C, cắt phân giác Az của <i>xA y</i>^ tại D.

a/ Chứng tỏ OD và AC cùng vng góc với BC.

b/ AD và BC cắt nhau tại I, chứng minh IA.ID = IB.IC

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6></div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 4: GÓC TẠO BỞI MỘT TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY CUNG</b>

Bài 1: Cho xAy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) và cung AB là cung có số

đo bằng 900_.

a/ Tính các góc tạo bởi Ax, Ay và dây cung AB.
b/ Chứng tỏ OB // xy và tính AB theo R.

c/ Lấy M bất kỳ trên đường tròn (O) (M  A, B), tính số đo góc AMB.

Bài 2: Cho xAy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) và AB là dây cung tạo
góc <i>xA B=</i>^ 30<i>°</i> .

a/ Tính <i>AOB</i>^ , suy ra độ dài dây AB theo R.

b/ Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) khác A, B, tính góc AMB.

c/ Đường thẳng OB cắt xy tại C và cắt đường tròn (O) tại D (D  B). Tính CA,
CO theo R, chứng tỏ ACD cân và tính diện tích ACD theo R.

Bài 3: Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) và xBy là tiếp tuyến tại B của
đường trịn này.

a/ Tính các góc tạo bởi Bx, By và dây cung BC.
b/ Chứng minh xy // AC.

Bài 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. Vẽ dây AB = <i>R</i>

√

3 .
a/ Chứng tỏ ABC là nữa tam giác đều. Tính cạnh và góc cịn lại.

b/ Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại M. chứng minh MA2_{= MB.MC}

=3R2_.

Bài 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng song song với tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O), cắt hai đoạn AB, AC tại E, D. Chứng minh
AB.AE = AC.AD.

Bài 6: Cho ABC, giả sử trên tia đối của tia BC có điểm I sao cho <i>IA B=</i>^ <i>AC B</i>^ ,
chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn (ABC) và IA2_{= IB.IC.}

Bài 7: Cho ABC, biết rằng trên đường thẳng BC và ở ngoại đoạn BC có điểm I
sao cho IA2_{= IB.IC, chứng tỏ IA là tiếp tuyến của dường tròn (ABC).}

Bài 8: Qua điểm S ở ngồi đường trịn (O; R) vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và
cát tuyến SBC (B, C là giao điểm) của đường tròn (O).

a/ Chứng minh SA2_{= SB.SC = OS}2_{– R}2_{. Nêu nhận xét tổng quát.}

b/ Cho biết SA = 20cm và cát tuyến dài nhất cùng qua S bằng 50cm. Tính bán
kính đường trịn

</div>

<!--links-->