TÍCH PHÂN kép (bội) (PHẦN 1) (GIẢI TÍCH)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.4 KB, 32 trang )

Chương 2:

TÍCH PHÂN BỘI
Phần 1:

TÍCH PHÂN KÉP

BÀI TỐN THỂ TÍCH

Xét vật thể hình trụ Ω được giới hạn trên bởi
mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao
xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và
đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị
chận trong Oxy. Tìm thể tích Ω.

D

z

z = f(x, y)

D

x

y

Xấp xỉ Ω bằng các hình trụ con

Thể tích xấp xỉ của hình trụ con

Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* )

V (Ω) = ∑Vij
i, j

Dij

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền
D đóng và bị chận.

D

Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn

∆Sk là diện tích
Dk

của miền con
Dk.

d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách
lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk.

d = max{d (Dk )}
k =1, n

Đường kính phân hoạch

Mk được chọn tùy ý trong Dk

f(Mk)
∆Sk = S ( Dk )

D
Mk

n

Sn = ∑ f (Mk )∆Sk
k =1

Tổng tích phân của f

n

Sn = ∑ f (Mk )∆Sk
k =1

f khả tích nếu:

lim Sn < ∞

d →0

với phân hoạch tùy ý của D
Tích phân kép của f trên D là giới hạn
nếu có của Sn

Sn
∫∫ f ( x , y )ds = dlim
→0
D

Phân hoạch D theo các đường // ox, oy
Dij

Khi f khả tích, việc tính tích phân khơng phụ
thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân
hoạch D theo các đường song song Ox, Oy.
Dk là hình chữ nhật với các cạnh ∆x, ∆y
⇒ ∆Sk = ∆x. ∆y
⇒ Thay cách viết tp kép

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( x , y )ds
D

D

Nhận dạng hàm khả tích
• Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) ∈
(C) nếu y’(x) liên tục tại x0.
• (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành
hữu hạn các đoạn trơn.
Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận
và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên
D.

Tính chất hàm khả tích
Cho D là miền đóng và bị chận

1 / S (D) = ∫∫1dxdy (Diện tích D)
D

2 / ∫∫ c.f ( x , y )dxdy = c.∫∫ f ( x , y )dxdy
D

D

∫∫ (f + g )dxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ gdxdy
D

D

D

3 / D = D1 U D2 , D1 vàD2 khô
ng dẫ

mnhau
(tố
i đa chỉ
dính biê
n)

∫∫ fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy

D1 UD2

D1

D2

Định lý giá trị trung bình
D là miền liên thơng nếu 2 điểm tùy ý trong D có
thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D.
Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên
thơng D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) ∈ D sao cho

1
f (M0 ) =
f ( x , y )dxdy
∫∫
S (D) D
1
f ( x , y )dxdy
∫∫
S (D ) D

gọi là giá trị trung
bình của f trên D.

CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP
y = y 2 (x)

a ≤ x ≤ b
D:
 y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )

D

b y2 (x )

y = y1 ( x )
a

Cách viết:

b

∫∫
D

∫a y ∫( x )

f ( x , y )dy dx

1

b

∫

f ( x , y )dxdy = dx
a

y2 (x)

∫

y1 ( x )

f ( x , y )dy

d

x = x2 ( y )

c ≤ y ≤ d
D:
 x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )

D
c

d  x2 ( y )

x = x1 ( y )

Cách viết:

∫∫
D



f ( x , y )dx ÷dy

÷
c  x1 ( y )


∫ ∫
d

∫

f ( x , y )dxdy = dy
c

x2 ( y )

∫

x1 ( y )

f ( x , y )dx

VÍ DỤ

1/ Tính I = ∫∫ xydxdy
D

với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1)
CÁCH 1
B

1
y=

x

A
O

1

0 ≤ x ≤ 1
D:
0 ≤ y ≤ x
1

x

1

2 x

y
I = dx xydy = x   dx
2 0

0
0
0

∫ ∫

∫
1

3

x
1
=
dx =
2
8

∫
0

B

1
y=

x

D

1

A
O

I = ∫∫ xydxdy

1

CÁCH 2

0 ≤ y ≤ 1
D:
y ≤ x ≤ 1

1

∫ ∫

= dy xydx
0

1

y

2 1

x 
= y   dy
2 y

0

∫

1

2

1− y
1
= y
dy =
2
8

∫
0

2/ Tính I = ∫∫ ( x + y )dxdy

D

với D: x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0

y = 1− x

2

1− x 2

−1

0

I = ∫ dx ∫ ( x + y )dy
1

-1

1

1

2

y
=  xy + 
2 0

−1

∫

1− x 2

dx

 −1 ≤ x ≤ 1 1
2
D:

2
2 1− x
2
0 ≤ y ≤ 1 − x = ∫  x 1 − x +
 dx =
−1 

2 

3

y = 1− x

2

I = ∫∫ ( x + y )dxdy
D

1− y 2

1

∫

I = dy
-1

1

0 ≤ y ≤ 1
D:
2
2
− 1 − y ≤ x ≤ 1 − y

0

∫

( x + y )dx

1− y 2
1

∫0

2

= 2 y 1 − y dy
2
=
3

I = ∫∫ ( x + 1)dxdy

3/ Tính

D

với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2
y=x

2

y

=

x

1

x

0

x2

I = ∫ dx ∫ ( x + 1)dy
1

2

= ∫ ( x + 1)( x − x )dx
0

0 ≤ x ≤ 1
D: 2
x ≤ y ≤ x

1

1
= ∫ ( x − x )dx =
4
0
3

4/ Tính

I = ∫∫ ( x + 1)dxdy
D

với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16,
y2 – 24x = 48
2

y 2
y
 −2≤ x ≤ 2−
D :  48
8
− 24 ≤ y ≤ 24


y2 – 24x = 48

y2 + 8x = 16

5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường
2

y = (2 − x ) x , y = x − 2 x
Hoành độ giao điểm

(2 − x ) x = x 2 − 2 x
⇔ x = 0, x = 2

x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 2
D: 2
 x − 2 x ≤ y ≤ (2 − x ) x
2

S (D ) =