CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2


Tích phân mặt loại 1
Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S
thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và
diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, .. , n . Trên
mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng
n

Sn = å f (Mk )D Sk
k =1

Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của
mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu
hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)
trên mặt S, kí hiệu là

ịị f ( x, y , z )ds = max(dlim
DS
S

k

n

å f (Mk )D Sk

)®0 k =1

Tích phân mặt loại 1
Tính chất :
Diện tích mặt S được tính bởi S = ịị ds
S

ịị (l f + mg )ds = l òò fds + mòò gds
S

S

S

Nếu mặt S được chia thành 2 mặt không dẫm lên
nhau là S1 và S2 thì

ịị fds = ịị fds + ịị fds
S

S1

S2


Tích phân mặt loại 1
Cách tính:
2
2
¢

¢
f
(
x
,
y
,
z
)
ds
=
f
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
))
1
+
z
+
z
ịị
ịị

x
y dxdy
S

Dxy

Trong đó :
Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0)
Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để
được z=z(x,y)
Biểu thức

1+ zx¢2 + zy¢2 dxdy = ds được gọi là vi

phân của mặt S


Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 1: Tính tích phân I1 trên mặt S là phần mặt
nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z
Hình chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1
ìï
x
ïï zx¢ =
2
2
ïï
x
+
y

Pt mặt S (z dương) z = x 2 + y 2 → í
ïï
y
¢
ïï zy = 2
2
x +y
ïïỵ
Suy ra: ds = 2dxdy

Vậy:

I1 = ịị ( x + y + z )ds = òò ( x + y + x 2 + y 2 ) 2dxdy
S

Dxy


Tích phân mặt loại 1
Đổi tp sang tọa độ cực:
2p

1

0

0

I1 = ò dj ò( cos j + sin j + r ) rdr
2p

I1 =
3


Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 2: Tính tích phân I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z
trên mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0,
x+2y+3z=6
Mặt S gồm 4 mặt nên tp I2
cũng được chia làm 4 tp
Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 →
ds=dydz, chiếu xuống mp
x=0 ta được Dyz: ΔOBC

C

B

O
A

I21 = òò fds = òò (2y + 3z )dydz
( x =0)

D OBC


Tích phân mặt loại 1
Tương tự, tp trên 2 mặt tọa
độ còn lại


C

I22 = òò fds = òò ( x + 3z )dxdz
( y =0)

O

D OAC

B
I23 = òò fds = òò ( x + 2y )dxdy
( z=0)

D OAB

A
Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu
xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt :
2
1
z = 2 - y - x Þ ds = 1+ 4 + 1dxdy = 14 dxdy
3
3
9 9
3


Tích phân mặt loại 1
14

fds = ịị 6.
dxdy
Do đó: I24 =
òò
3
( x +2 y +3 z=6)
D OAB
I2 = I21 + I22 + I23 + I24


Tích phân mặt loại 1
Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z trên
mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu
x2+y2+z2=2
Chú ý: Ta khơng thể chiếu S xuống mp z=0 được vì
cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ
là 1 đường tròn x2+y2=1
Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta
sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách
khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y2≤1, z2 ≤ 1
Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S:

x = ± 1- y 2


Tích phân mặt loại 1
Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nên mặt S nhận
x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp
cũng là hàm chẵn với x nên ta sẽ tính tp trên phần
mặt S với x>0 rồi nhân đơi.

ìï
- y
ïï x y¢ =
x = 1- y 2 ị ùớ
1- y 2
ùù
ùùợ xzÂ= 0
1
ị ds =
dydz
1- y 2
Vậy:
1

1

I3 = 2 ò dy ò
- 1

- 1

1 + 2z
1- y

2

dz


Tích phân mặt loại 1

Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid
y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0
Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của
paraboloid là Dxz : x2+z2≤1
ìï y x¢ = - 2 x
Pt mặt S:
2
2
y = 1- x - y ị ùớ
ùùợ y zÂ= - 2z
Vậy: S4 = òò ds = òò 1+ 4 x 2 + 4z 2dxdz
S4

2p

Dxz

1

p
S4 = ò dj ò r 1+ 4r dr = ( 125 - 1)
6
0
0
2


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Vecto Gradient: Cho mặt cong S có pt là F(x,y,z)=0.
Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto

Ñ F (M ) = ( Fx¢(M ), Fx¢(M ), Fx¢(M ))
Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu các đạo hàm
riêng F’x, F’y, F’z liên tục và không đồng thời bằng 0
trên S tức là vecto gradient của F liên tục và khác 0
Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thì ta đặt
F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 ( x, y ) Ỵ D
Lúc đó, mặt S trơn nếu các đạo hàm riêng z’x, z’y
liên tục trên D


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng
hay là mặt 2 phía nếu tại điểm u
rM bất kỳ của S xác
định được
u
r vecto pháp đơn vị n(M ) sao cho hàm
vecto n(M ) liên tục trên S
Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định
hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp
dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta
đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu
Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng
được với pháp vecto đơn vị là u
r
ÑF
n =±
| ÑF |



Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Pháp vecto đơn vị trên cịn có thể viết bằng cách
u
r
khác:
n = (cos a,cos b,cos g)
Trong đó α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi nửa dương 3
trục Ox, Oy, Oz với pháp vecto
Để xác định pháp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0,
ta sẽ làm theo 3 bước sau:
1. Tính Đ F = (Fx¢, Fy¢, Fz¢)
2. Xác định 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc là nhọn hay
là tù để suy ra 1 trong 3 tọa độ của pháp vecto là
dương hay âm
3. Xác định dấu của pháp vecto


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía
trên mặt phẳng x+2y+4z=8
2

Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0)
→ Ñ F = (1,2,4)

u
r
n
4
8

u
r
1
n =+
(1,2,4)
21

Hướng của mặt S là phía trên
tức là vecto pháp cùng hướng
với nửa dương trục Oz, nên:
uur u
r
p
g = g (Oz, n ) < → cosγ>0
2
Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa
độ thứ 3 là dương.


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 2: Cho S là phía trên của nửa mặt cầu
x2+y2+z2=R2, z≥0. Tính pháp vecto của S
Pt mặt S là
F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0)
Đ F = (2 x,2y ,2z )
Cho S là phía trên tức là pháp
vecto cùng hướng với nửa
dương trục Oz, suy ra góc γ≤π/2
nên cosγ>0
u

r
( x, y , z )
n =+
R

Vì mặt S chỉ tính với z dương
nên ta chọn dấu “+” để tọa độ
thứ 3 của pháp vecto dương


x≥

x≤

0

Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt

0

0
≤
y

u
r
( x, y , z )
n =+
R
Khi đó, 2 góc α, β là nhọn

hay tù sẽ phụ thuộc vào
x, y là dương, hay âm

y≥
0

Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0
→ α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2
Với y≥0: cosβ≥0 → β≤π/2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥π/2


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 3: Tính pháp vecto của mặt S là phía ngồi
mặt trụ x2+y2=1
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0)
Đ F = ( x, y ,0)
Rõ ràng, S là mặt trụ song song
với trục Oz nên pháp vecto
vng góc với trục Oz tức là
γ=π/2 → cosγ=0
Pháp vecto hướng ra phía
ngồi, ta sẽ so với nửa dương
u
r
n = +( x, y ,0)
trục Oy, thì β≤π/2 → cosβ≥0
Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thì thành phần thứ 2 của
vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”



Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của
mặt trụ z=x2
Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0)
Ñ F = (2 x,0,- 1)
Mặt S là phía dưới tức là
pháp vecto ngược với hướng
nửa dương trục Oz, tức là
γ>π/2 → cosγ<0

u
r
(2 x,0,- 1)
n =+
4 x 2 +1

Vậy để tọa độ thứ 3 của
pháp vecto âm, ta sẽ chọn
dấu “+”


Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt
Ví dụ 5: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của
mặt nón z = x 2 + y 2
Pt mặt S: F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z
x
y
ÑF = (
,
,- 1)

x2 + y 2 x2 + y 2
Với S là phía dưới mặt nón tức
là pháp vecto quay xuống dưới
Ta có γ>π/2 → cosγ<0
u
r
1
n =+
( x, y ,- 1)
2z

Do vậy, ta lấy dấu của pháp
vecto là “+” và thay x 2 + y 2 = z
để được :


Tích phân mặt loại 2 – Cách tính
Định nghĩa: Cho các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)
xácu
rđịnh trên mặt định hướng S với pháp vecto đơn
vị n = (cos a,cos b,cos g)
Tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ
trên mặt S được gọi là tp mặt loại 2 của 3 hàm P, Q, R
trên mặt S và kí hiệu là
ịị Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = òò( P cos a +Q cos b + R cos g) ds
S

S

Cách tính: Có 2 cách

Cách 1: Tìm
u
r pháp vecto của mặt S
n = (cos a,cos b,cos g)
Thay vào công thức trên, tức là đưa về tp mặt loại 1


Tích phân mặt loại 2 – Cách tính
Cách 2: Ta tính từng phần của tp mặt loại 2 trên
I1 = òò P ( x, y , z )dydz = òò P cos ads Theo 4 bước sau
S

S

Bước 1: Xác định góc α nhọn (hay tù) để có cosα≥0
(hay cosα≤0).
Bước 2: Vì cần tính tp theo dydz nên ta tìm hình chiếu
của S xuống mp Oyz là Dyz
Bước 2: Ta viết lại pt mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z)
để thay vào hàm P
Bước 4: Đưa tp trên về thành tp kép
I1 = òò P ( x, y , z )dydz = ±òò P ( x ( y , z ), y , z )dydz
S

Dyz

Trong đó: tp kép lấy dấu dương (âm) nếu cosα dương
(âm)



Tích phân mặt loại 2 – Cách tính
Đặc biệt: Nếu S là phần mặt song song với trục Ox
thì góc α=π/2 tức là cosα=0, Suy ra
I = òò Pdydz = 0
S

Tính tương tự cho 2 tp cịn lại


Tích phân mặt loại 2 – Cách tính
Ví dụ 1: Tính I1 = ịị zdxdy với S là phía ngồi của
S

mặt cầu x2+y2+z2=1
Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-1→ Ñ F = ( x, y , z ), Ñ F = 1
Ta phải chia S thành 2 phần ứng với z≥0 và z≤0,
chúng đối xứng nhau qua mp z=0 và cùng có hình
chiếu xuống mp Oxy là Dxy: x2+y2≤1
Ta sẽ tính tp này bằng 2 cách
Cách 1: Tính trực tiếp
Trên mặt S1 với z≥0, pt S1 là

z = + 1- x 2 - y 2

Pháp vecto hướng ra phía ngồi tức là hướng lên trên,
khi đó góc γ≤π/2 nên cosγ≥0 , tp kép lấy dấu “+”