- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
BÀI tập TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG (bài tập đại số TUYẾN TÍNH)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.35 KB, 22 trang )
BÀI TẬP TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
A ∈ Mn(K)
n
λ∈ K là trị riêng của A ⇔ ∃ x∈ K , x ≠ 0: Ax = λx
x được gọi là trị riêng tương ứng với λ
Eλ = { x/ Ax = λx} : không gian riêng ứng với λ
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
1.
Trị riêng của A là nghiệm của pt đặc trưng:
p(λ) = det(A- λI) = 0 (p(λ) : đa thức đặc trưng.)
2.
Với mỗi λ, vector riêng là nghiệm x≠0 của hệ pt:
(A- λI)x = 0.
3.
Cơ sở kg riêng ứng với λ là hệ nghiệm cơ bản của hpt (A- λI)x = 0.
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
4 −5 2
1. A = 5 −7 3 ÷
÷
6 −9 4 ÷
Vector nào sau đây là vector riêng của A,
hãy chỉ ra trị riêng tương ứng.
1
2
0
X 1 = 2 ÷, X 2 = 2 ÷, X 3 = 1 ÷
÷
÷
÷
3÷
2÷
1 ÷
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
1 2 2
2. A = 1 2 −1÷
÷
−1 1 4 ÷
T
Tìm m để u=(2,-m,m) là vector riêng của A
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
3. Tìm trị riêng và vector riêng của
4 −2
A=
∈ M 2 ( R)
÷
1 1
4. Tìm trị riêng và cơ sở khơng gian riêng.
3 1 1
A = 2 4 2÷
÷
1 1 3÷
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
1. Nếu λ là trị riêng của A thì λn là trị riêng của An.
2. VTR của A cũng là VTR của An
3. Nếu λ là trị riêng của A thì
n
p(λ) = anλ + …+ a1λ + a0 là trị riêng của
n
p(A) = anA + …+ a1A + a0I
4. Nếu A khả nghịch và λ là trị riêng của A thì
λ
−1
là trị riêng của A
−1
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
6. Tìm trị riêng và vector riêng của
a. A3
b. A3 + 3 A2 − A − 2 I
c. A−3
4 −2
A=
∈ M 2 ( R)
÷
1 1
CHÉO HĨA MA TRẬN
A ∈ Mn(K) chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P
−1
AP là mt chéo.
A chéo hóa được⇔ A có n vec tor riêng đltt
Lấy ma trận P với mỗi cột Pi là các vector riêng đltt của A thì D = P
(Đường chéo của D chứa các trị riêng của A)
−1
AP chéo .
CHÉO HĨA MA TRẬN
Nhận dạng ma trận chéo hóa được:
Cách 1: Nếu A∈ Mn có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
Cách 2: Nếu A ∈ Mn ,
p (λ) = (λ − λ1 ) k1 (λ − λ 2 ) k2 ...(λ − λ r ) kr
và dimEλi = ki thì A chéo được
CHÉO HĨA MA TRẬN
Ma trận nào dưới đây chéo hóa được, nếu chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch P sao cho P
1
AP là ma trận chéo.
3 1 −1
÷
1) A = 1 1 1
÷
1 1 1÷
2 1 1
÷
2) A = 1 2 1
÷
1 1 2÷
-
CHÉO HÓA MA TRẬN
1 1 0
3) A = 0 1 0 ÷
÷
0 0 1÷
1 2
5) A =
÷
−
2
1
1 2 2
÷
4) A = 1 2 −1
÷
−1 1 2 ÷
CHÉO HÓA MA TRẬN
3 1 −1
6. Cho A = 1 1 1÷
÷
1 1 1÷
Tính A
17
.
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
f: U → U tuyến tính
λ là trị riêng của f ⇔ ∃ x ≠ 0: fx = λx
x được gọi là vector riêng ứng với trị riêng λ
Eλ = { x/ fx = λx} : kg riêng ứng với trị riêng λ.
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
Cách tìm trị riêng và VTR của f: U → U
1.
Xác định ma trận của f trong 1 cơ sở E của U.
A = [f ]E.
2.
Trị riêng của f là trị riêng của A.
3.
Với mỗi λ, nếu X là VTR của A, thì vector u thỏa [u]E = X là VTR của f.
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
1. f ( x1 , x2 x3 ) = ( x1 + 2 x2 + 2 x3 , x1 + 2 x2 − x3 , − x1 + x2 + 4 x3 )
a) Vector nào sau đây là vector riêng của f
x = ( 1,2,3) , y = ( 2,1,1)
b) Tìm m để vector sau là vector riêng của f
x = ( 3,2, m )
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
3 1 −1
2. Cho A = 1 1 1÷
÷
1 1 1÷
là ma trận của
trong cơ sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)}.
Tìm m để u = (m+1, 2, 2) là VTR của f.
f : R3 → R3
TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
3. Tìm trị riêng và vector riêng của
f: R2 → R2, f(x1,x2) = (4x1 – 2x2, x1 + x2)
4. f(x1,x2,x3) = (2x1+x2+x3, x1+2x2+x3, x1+x2+2x3)
Tìm trị riêng và cơ sở kg riêng của f.
5. Tìm trị riêng và VTR của f: R 3 → R3 nếu biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,-1), (1,1,2),
(1,2,1)} là
1 2 2
÷
A = [ f ]E = 1 2 −1
÷
−1 1 2 ÷
CHÉO HĨA AXTT
* f: U → U tuyến tính, f chéo hóa được nếu tồn tại 1 cơ sở E của U sao cho [f] E là ma trận chéo.
* f : U → U tuyến tính, dimU = n
f chéo hóa được ⇔ f có n vector riêng đltt
f chéo hóa được ⇔ ma trận của f trong cơ sở nào đó chéo hóa được.
Ví dụ
1. Cho f: R3 → R3 , biết ma trận của f trong cơ sở
E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} là
3 1 1
A = [ f ]E = 2 4 2 ÷
÷
1 1 3÷
Tìm một cơ sở B của R3 để ma trận của f trong cơ
sở này là ma trận chéo.
Giải
λ1 = 2, λ2 = 6
Trị riêng của A:
Cơ sở không gian riêng của A:
{
= 6 : { P = ( 1,2,1) }
λ1 = 2 : P1 = ( −1,1,0 ) , P2 = ( −1,0,1)
T
λ2
T
}
T
3
E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)}
Gọi u1, u2, u3 là các vector sao cho :
Cụ thể
[ ui ] E = Pi , i = 1,2,3
u1 = ( 0,0,3) , u2 = ( 0,1,2 ) , u3 = ( 4,5,4 )
Đặt :
B = { u1 , u2 , u3 }
[ f ]B
2 0 0
= 0 2 0÷
÷
0 0 6÷
thì
