Download Chuyên đề Toán tích phân ôn thi ĐH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (124.26 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>TÍCH PHÂN</b>
MỘT SỐ CƠNG THỨC CẦN NHỚ:
∫
<sub>sin</sub>
<i>du</i>
<i><sub>u</sub></i>
=
ln
|
tan
<i>u</i>
2
|
∫
<i>du</i>
cos
<i>u</i>
=
ln
|
tan
<i>u</i>
2
+
<i>π</i>
4
|
∫
<i>du</i>
√
<i>u</i>
2±
<i>k</i>
=
ln
|
<i>u</i>
+
√
<i>u</i>
2±
<i>k</i>
|
∫
<i>du</i>
√
<i>a</i>
2−
<i>u</i>
2=
arcsin
<i>u</i>
<i>a</i>
∫
<i>du</i><i>u</i>2+<i>a</i>2=
1
<i>a</i>arctan
<i>u</i>
<i>a</i>
∫
<i>du</i>
<i>u</i>
2−
<i>a</i>
2=
1
2
<i>a</i>
ln
|
<i>u</i>
−
<i>a</i>
<i>u</i>
+
<i>a</i>
|
∫
<i>du</i>
<i>a</i>
2−
<i>u</i>
2=
1
2
<i>a</i>
ln
|
<i>a</i>
+
<i>u</i>
<i>a</i>
−
<i>u</i>
|
∫√
<i>a</i>2−<i>u</i>2<i>du</i>=<i>u</i>2
√
<i>a</i>2
−<i>u</i>2+<i>a</i>
2
2 arcsin
<i>u</i>
<i>a</i>
∫√
<i>u</i>2
+<i>k du</i>=<i>u</i>
2
√
<i>u</i>2
+<i>k</i>+ln|<i>u</i>+
√
<i>u</i>2+<i>k</i>|∫
tan
<i>udu</i>
=−
ln
|
cos
<i>u</i>
|
∫
cot
<i>udu</i>
=
ln
|
sin
<i>u</i>
|
<b>TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ MẪU CHỨA TAM THỨC BẬC HAI</b>
1/ Dạng 1: A=
∫
<i>dx</i>
<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c</i>
A =
∫
<i>dx</i>(<i>mx</i>+<i>n</i>)2+<i>p</i>2 <sub>hoặc A</sub><sub> = </sub>
∫
<i>dx</i>
(<i>mx</i>+<i>n</i>)2−<i>p</i>2 <sub>sau đó áp dụng các cơng thức cơ bản để </sub>
tính.
2/ Dạng 2: B=
∫
(<i>mx</i>+<i>n</i>)<i>dx</i>
<i>ax2</i>
+<i>bx</i>+<i>c</i>
3/ Dạng 3:
∫
<i>dx</i>
√
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
4/ Dang 4:
∫
(<i>mx</i>+<i>n</i>)<i>dx</i>
√
<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c</i>5/ Dạng 5:
∫
<i>dx</i>
(
<i>px</i>
+
<i>q</i>
)
√
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
<sub> Đặt px+q=</sub>1
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
6/ Dạng 6:
∫
(<i>mx</i>+<i>n</i>)<i>dx</i>
(<i>px</i>+<i>q</i>)
√
<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c</i>7/ Dạng 7:
∫
<i>xdx</i>
(
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>b</i>
)
√
<i>cx</i>
<i>2</i>+
<i>d</i>
<sub> Đặt t= </sub>√
<i>cx</i>
<i>2</i>+
<i>d</i>
8/ Dạng 8:
∫
<i>dx</i>
(
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>b</i>
)
√
<i>cx</i>
<i>2</i>+
<i>d</i>
<sub> Đặt xt = </sub>√
<i>cx</i>
<i>2</i>+
<i>d</i>
9/ Dạng 9:
∫
(<i>mx</i>+<i>n</i>)<i>dx</i>
(<i>ax2</i>+<i>b</i>)
√
<i>cx2</i>+<i>d</i> <sub> = m Dạng7 + n Dạng 8</sub>10/ Dạng 10:
∫
<i>P<sub>n</sub></i>(<i>x</i>)<i>dx</i>
√
<i>ax2</i>+<i>bx</i>+<i>c</i>11/ Dạng 11: Các phương pháp thế Euler
Khử dạng
√
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
1/ a>0 đặt
√
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
=±
√
<i>a x</i>
+
<i>t</i>
2/c>0 đặt
√
<i>ax</i>
<i>2</i>+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
=<i>tx</i>
±
√
<i>c</i>
3/ đặt
√
<i>ax</i>
<i>2</i>
+
<i>bx</i>
+
<i>c</i>
<sub> = </sub> <i>t</i>(<i>x</i>−<i>x</i><sub>0</sub>) <sub> nếu </sub><i>ax</i>
<sub>0</sub>2+
<i>bx</i>
<i><sub>0</sub></i>+
<i>c</i>
<b>TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>
1/ Dạng 1:
∫
1
(
sin
<i>x</i>
)
<i>n</i>2/ Dạng 2:
∫
1
(
cos
<i>x</i>
)
<i>n</i>3/ Dạng 3:
∫
<i>dx</i>
<i>a</i>
sin
<i>x</i>
+
<i>b</i>
cos
<i>x</i>
+
<i>c</i>
<sub> t = </sub> tan<i>x</i>
2
4/ Dạng 4:
∫
<i>dx</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
5/ Dạng 5: tích phân liên kết
6/ Dạng 6:
∫
<i>a</i>sin<i>x</i>+<i>b</i>cos<i>x</i>
<i>m</i>sin<i>x</i>+<i>n</i>cos<i>x</i> <sub>dx</sub>
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
7/ Dạng 7:
∫
<i>a</i>
sin
<i>x</i>
+
<i>b</i>
cos
<i>x</i>
+
<i>c</i>
<i>m</i>
sin
<i>x</i>
+
<i>n</i>
cos
<i>x</i>
+
<i>p</i>
<sub>dx</sub>asinx +bcosx + c = α( msinx + ncosx + p) + β( mcosx – nsinx) + ω
8/ Dang 8:
∫
<i>a</i>sin<i>x</i>+<i>b</i>cos<i>x</i>
(<i>m</i>sin<i>x</i>+<i>n</i>cos<i>x</i>)2 <sub>dx</sub>
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
9/ Dạng 9:
∫
<i>dx</i>
sin
(
<i>x</i>
+
<i>a</i>
)
sin
(
<i>x</i>
+
<i>b</i>
)
∫
<i>dx</i>
sin
(
<i>x</i>
+
<i>a</i>
)
cos
(
<i>x</i>
+
<i>b</i>
)
∫
<i>dx</i>
cos
(
<i>x</i>
+
<i>a</i>
)
cos
(
<i>x</i>
+
<i>b</i>
)
<b>PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ HÀM VƠ TỈ:</b>
1/
∫
<i>f</i>
(
<i>x,</i>
√
<i>a</i>
2
−
<i>x</i>
2)
dx đặt <b>x = asint</b>
2/
∫
<i>f</i>
(
<i>x,</i>
√
<i>x</i>
2
−
<i>a</i>
2)
<sub>dx đặt x =</sub><sub>cos</sub>
<i>a</i>
<i><sub>t</sub></i>
3/
∫
<i>f</i>
(
<i>x,</i>
√
<i>x</i>
2
+
<i>a</i>
2)
<sub>dx đặt </sub><b><sub>x = atant</sub></b>4/
∫
<i>f</i>
(
<i>x,</i>
√
<i>a</i>
+
<i>x</i>
<i>a</i>
−
<i>x</i>
<sub>)dx đặt </sub><b><sub>x = acos2t</sub></b><b>TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ</b>
I =
∫
<i>x</i>
<i>m</i>
(
<i>a</i>
+
<i>bx</i>
<i>n</i>
)
<i>p</i>
1/ p ¿ Z gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số biểu thị bởi m và n đặt x =
<i>t</i>
<i>k</i>
2/
<i>m</i>+1
<i>n</i> ¿ Z thì gọi s là mẫu số của p đặt <i>a</i>+<i>bxn</i> <sub> = </sub>
<i>t</i>
<i>k</i>
3/ <i>n</i> <i>p</i>
<i>m</i>
1
¿ Z
<i>a</i>
+
<i>bx</i>
<i>n</i><i>x</i>
<i>n</i>=
<i>t</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH</b>
<i><b>Dạng 1: hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, hàm lẻ.</b></i>
1/ Nếu f(x) là hàm chẵn và lien tục trong [a;a] thì
I =
∫
−<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
<i>dx</i>
=
2
∫
0
<i>a</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
2/Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trong [a;a] thì I =
∫
−
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>g</i>
(
<i>x</i>
)
= 0
<b>Dạng 2: hàm số dưới dấu tích phân là thương giữa hàm chẵn và hàm mũ:</b>
I=
∫
−<i>a</i>
<i>a</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
<i>m</i>
<i>x</i>+
1
=
∫
<sub>0</sub><i>a</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
<i>dx</i>
Ví dụ: I =
∫
−1
1
<i>dx</i>
(
2
<i>x</i>+
1
)
√
1
−
<i>x</i>
2 <sub> I = </sub>∫
−<i>π</i>
2
<i>π</i>
2
sin
<i>x</i>
sin 2
<i>x</i>
cos5
<i>x</i>
<i>e</i>
<i>x</i>+
1
<b>Dạng 3: tính bất biến của tích phân xác định khi biến số thay đổi cận cho nhau:</b>
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì
∫
<i>a</i><i>b</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
<i>dx</i>
=
∫
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>f</i>
(
<i>a</i>
+
<i>b</i>
−
<i>x</i>
)
I=
∫
0
1
ln
(
<i>x</i>
+
1
)
<i>x</i>
2+
1
<b>Dạng 4: tích phân của các hảm số đối xứng nhau:</b>
Nếu f lien tục trên [0;1] thì
∫
0<i>π</i>
2
<i>f</i>
(
sin
<i>x</i>
)
<i>dx</i>
=
∫
0
<i>π</i>
2
<i>f</i>
(
cos
<i>x</i>
)
<i>dx</i>
( t =
<i>π</i>
</div>
<!--links-->
