BÀI GI NG

TOÁN CAO C P (A1)
Biên so n:

TS. V GIA TÊ
Ths.

CuuDuongThanCong.com

PHI NGA

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

CH
1.1. S

NG I: GI I H N C A DÃY S

TH C.

1.1.1. Các tính ch t c b n c a t p s th c.
A. S c n thi t m r ng t p s h u t Q.
Do nhu c u đòi h i c a cu c s ng,t p các s t nhiên N={0,1,2,...}, c s c a phép đ m đã
đ c m r ng sang t p các s nguyên Z={0, ± 1, ± 2,...}. Sau đó, do trong Z khơng có các ph n
t mà tích v i 2 ho c 3 b ng 1, nên ngu i ta đã xây d ng t p các s h u t Q, đó là t p g m các s
đ c bi u di n b i t s c a hai s nguyên, t c là s th p phân h u h n ho c vơ h n tu n hồn.

N u ch d ng l i trên t p Q thì trong toán h c g p ph i nhi u đi u h n ch , đ c bi t là g p khó
kh n trong vi c gi i thích các hi n t ng c a cu c s ng. Ch ng h n vi c tính đ ng chéo c a hình
vng có kích th c đ n v .
ng chéo đó là 2 khơng th mơ t b i s h u t . Th t v y
m
n u 2 = ∈ Q trong đó SCLN(m, n)=1 thì m2=2n2 ⇒ m=2p và 4p2=2n2 ⇒ n=2q. i u này vô
n

2 ∉ Q. Nh ng s xu t hi n và đ
lí vì lúc này m, n có c chung là 2. Ch ng t
xuyên trong gi i tích nh e, π c ng khơng ph i là s h u t .

c dùng th

ng

B. S vô t .
d

M t s bi u di n d i d ng th p phân vô h n không tu n hồn,hay khơng th bi u di n
i d ng t s c a hai s nguyên đ c g i là s vô t .

C. S th c.
T t c các s h u t và s vô t t o thành t p h p s th c.
Kí hi u t p s th c là R.
V y t p s vơ t là R\Q.
Ng i ta có th xây d ng t p s th c R nh vào m t h suy di n hay nói cách khác nh vào
m t h tiên đ .Chúng ta không trình bày đây mà coi r ng t p h p s th c R là quá quen thu c
và ki m tra l i s tho mãn tiên đ đó. Chúng ta coi đó là các tính ch t c a t p h p R.
Tính ch t 1: T p R là m t tru ng giao hoán v i hai phép c ng và nhân: (R, + , .).

1. ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R
2. ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc )
3. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba
4. R có ph n t trung hồ đ i v i phép c ng là 0 và đ i v i phép nhân là 1

∀a ∈ R , a + 0 = 0 + a = a
3

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

a.1 = 1.a = a
5. Phân ph i đ i v i phép c ng

∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac
(b + c ) a = ba + ca
6. T n t i ph n t đ i c a phép c ng

∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = 0
T n t i ph n t ngh ch đ o c a phép nhân

∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = 1
Tính ch t 2: T p R đ

c x p th t tồn ph n và đóng kín đ i v i các s th c d


ng.

1. ∀a, b ∈ R, a < b ho c a = b ho c a > b
2.

∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc
3. ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+
Tính ch t 3: T p R là đ y theo ngh a sau đây:
M i t p con X không r ng c a R b ch n trên trong R đ u có m t c n trên đúng thu c R và
m i t p con không r ng X c a R b ch n d i trong R đ u có m t c n d i đúng thu c R.
Cho X ⊂ R và a ∈ R
G i a là c n trên c a X trong R n u x ≤ a, ∀x ∈ X .
G i a là c n d
d

i c a X trong R n u x ≥ a, ∀x ∈ X .

G i X b ch n trên trong R(b ch n d
i) c a X trong R.

i) khi và ch khi t n t i ít nh t m t c n trên (c n

G i s nh nh t trong các c n trên c a X trong R là c n trên đúng c a X trong R, kí hi u
s đó là M* hay SupX (đ c là Suprémum c a X).
G i s l n nh t trong các c n d i c a X trong R là c n d
s đó là m* hay InfX (đ c là Infimum c a X).

i đúng c a X trong R, kí hi u


N u M* ∈ X thì nói r ng M* là ph n t l n nh t c a X, kí hi u M*=SupX=MaxX.
N u m* ∈ X thì nói r ng m* là ph n t nh nh t c a X, kí hi u m*=InfX= MinX.
G i X là b ch n trong R khi và ch khi X b ch n trên và b ch n d

i trong R.

Chú ý:
1. T p R\Q không n đ nh đ i v i phép c ng và phép nhân, ch ng h n
4

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

± 2 ∈ R \ Q nh ng

2 + (− 2 ) ∉ R \ Q
2. 2 ∉ R \ Q

2. ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q

xy ∈ R \ Q
1
∈R\Q
x

N u M là c n trên c a t p X thì SupX ≤ M và n u m là c n d

i c a t p X thì InfM ≥ m.

4. N u M*=SupX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α
N u m*=InfX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α
Ví d 1: Ch ng minh ( 2 + 3 + 6 ) ∈ R \ Q
Gi i: Gi s q= 2 + 3 + 6 ∈ Q ⇒ ( 2 + 3 ) 2 = ( q − 6 ) 2 hay q 2 + 1 = 2( q + 1) 6 ,
d dàng ch ng minh 6 ∉ Q (t ong t nh ch ng minh
và q2+1=0. i u này là mâu thu n. V y q ∉ Q.
Ví d 2: Tìm các c n d

2 ∉ Q ). Theo chú ý trên suy ra q+1=0

i đúng và c n trên đúng trong R n u chúng t n t i c a t p

⎧ 1 (−1) n
⎫
X =⎨ n +
, n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N *
n
⎩2
⎭

{

}

Gi i:


∀p ∈ N *

có

1
1
3
+
⇒ 0 < u2 p ≤ u2 =
2p
2p
4
2
1
1
1
1
1
1
⇒− ≤−
≤ u 2 p +1 ≤ 2 p +1 ≤
u 2 p +1 = 2 p +1 −
2 p +1
3
2 p +1
8
2
2
1
u1 = −

2

u2 p =

suy ra ∀n ∈ N * có −

1
3
= u1 ≤ u n ≤ u 2 =
2
4

InfX=minX= −

1
3
, SupX=maxX=
2
4

Ví d 3: Cho A, B là hai t p không r ng c a R và b ch n trên.
a. Ch ng minh Sup ( A ∪ B )=Max(Sup(A), Sup(B)).
b. G i A+B= {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b} , ch ng minh
5

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch


ng 1: Gi i h n c a dãy s

Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B)
Gi i:
a. Kí hi u α = SupA, β = SupB , γ = Max (α , β ) . V y t p h p các c n trên c a

A ∪ B chính là X= {x, x ≥ α và x ≥ β } hay X= {x, x ≥ γ } V y γ = Sup ( A ∪ B )
b.

∀a ∈ A, a ≤ SupA
∀b ∈ B, b ≤ SupB

⇒ ∀a + b ∈ A + B, a + b ≤ SupA + SupB

⇒ M * = Sup( A + B)

∀ε > 0

∃a ∈ A, a > SupA −
∃b ∈ B, b > SupB −

ε
2

ε

2

⇒ ∃a + b ∈ A + B, a + b > SupA + SupB − ε

⇒ ∃M * = SupA + SupB = Sup( A + B)
1.1.2. T p s th c m r ng
Ng

i ta thêm vào t p s th c R hai ph n t kí hi u là − ∞ và + ∞ . T p s th c m r ng

kí hi u là R và R = R ∪ {− ∞,+∞}, các phép toán + và ., quan h th t đ
1. ∀x ∈ R

c đ nh ngh a nh sau:

x + ( +∞) = ( +∞) + x = +∞
x + ( −∞ ) = ( −∞) + x = −∞

( +∞) + (+∞ ) = +∞

2.

( −∞) + (−∞ ) = −∞

3. ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0}

x( +∞) = (+∞ ) x = +∞
x( −∞) = (−∞ ) x = −∞

∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0}
x(+∞) = (+∞ ) x = −∞
x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞
4.


(+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞
(+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞
5. ∀x ∈ R
6

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

− ∞ < x < +∞
− ∞ ≤ −∞
+ ∞ ≤ +∞
1.1.3. Các kho ng s th c
Cho a, b ∈ R và a ≤ b . Trong R có chín lo i kho ng sau đây:

[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} đ
[a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
đ
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}
[a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x}
(− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a}
(a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} đ
(a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x}
(− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a}

c g i là đo n hay kho ng đóng b ch n

c g i là kho ng n a đóng ho c n a m

c g i là các kho ng m

Các s th c a,b g i là các mút c a kho ng.
1.1.4. Giá tr tuy t đ i c a s th c
A.

nh ngh a: Giá tr tuy t đ i c a s th c x, kí hi u x là m t s th c không âm xác đ nh

nh sau

⎧
⎪x
⎪
x =⎨
⎪− x
⎪⎩

khi x ≥ 0
khi x ≤ 0

B. Tính ch t
1. ∀x ∈ R,

x = Max( x,− x)

2. x = 0 ⇔ x = 0
3.


∀x, y ∈ R,
∀n ∈ N ,
*

xy = x y
n

n

i =1

i =1

∀x1 , x 2 , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi
∀x ∈ R, x n = x

n

7

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

4. ∀x ∈ R * ,

ng 1: Gi i h n c a dãy s


1
1
=
x
x

5.

∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y
∀n ∈ N * , ∀x1 , x 2 ,K, x n ∈ R,

n

n

i =1

i =1

∑ xi ≤ ∑ xi

6.

∀x, y ∈ R, Max( x, y ) =

1
(x + y + x − y )
2

Min( x, y ) =


1
(x + y − x − y )
2

7. ∀x, y ∈ R,

x − y ≤ x− y

1.1.5. Kho ng cách thông th
A.

ng trong R

nh ngh a: Kho ng cách trong R là ánh x

d : R× R → R

( x, y ) a

x− y

ó là hình nh tr c quan v kho ng cách gi a 2 đi m x và y trên đ
th c R.
B. Tính ch t
1.

d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y

2. ∀x, y ∈ R,


d ( x, y ) = d ( y , x )

3. ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )
4. ∀x, y, z ∈ R, d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z )

8

CuuDuongThanCong.com

/>
ng th ng tr c s


Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

1.2. S

PH C

Chúng ta đã bi t r ng trong tr ng s th c R khơng th phân tích thành th a s tam th c
b c hai ax 2 + bx + c khi Δ = b 2 − 4ac < 0 .Tuy nhiên s r t ti n l i n u có th th a s hố tam
th c này thành d ng a(x − α )( x − β ) trong đó α , β ∉ R .Nh m m c đích này thêm vào R m t
ph n t m i, kí hi u là i (g i là đ n v
s ph c.
1.2.1.
A.


o) k t h p v i các c p s th c ( x, y ) ∈ R 2 đ t o ra các

nh ngh a và các d ng s ph c

nh ngh a:
Cho ( x, y ) ∈ R 2 , m t s bi u di n d

i d ng z=x+iy, trong đó i = −1
2

g i là m t s ph c. T p các s ph c kí hi u là C.
G i x là ph n th c c a z, kí hi u Rez =x
y là ph n o c a z, kí hi u là Imz =y
G i mơđun c a z,kí hi u z xác đ nh b i s th c không âm

z = x2 + y2 = r ≥ 0
G i Acgumen c a z , kí hi u Argz xác đ nh b i s th c

⎧

Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ

⎩

=

x
y ⎫⎪
và sin θ = ⎬ , v i z ≠ 0
z ⎪⎭

z

Nh v y Acgumen c a z sai khác nhau k 2π , k ∈ Z và Arg0 không xác đ nh.
V y s ph c z có các d ng vi t:
1.

z =x+iy g i là d ng chính t c hay d ng đ i s c a s ph c z .

2.

z = r (cos θ

+ i sin θ ) g i là d ng l ng giác c a s ph c z.

B. Bi u di n hình h c c a các s ph c
y
M(z)
y
r
θ
0

x

x
9

CuuDuongThanCong.com

/>


Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Xét m t ph ng 0xy v i h to đ tr c chu n.
Ánh x ϕ : C → 0 xy đ t m i s ph c z=x+iy ng v i đi m M có to đ (x,y) trên m t
ph ng 0xy.V y ϕ là song ánh.G i m t ph ng 0xy là m t ph ng ph c.

∀z ∈ C , ϕ ( z ) g i là nh c a z trên 0xy

→

∀M ∈ 0 xy, ϕ −1 (M ) g i là to v c a M, đó là s ph c z ∈ C . Ngoài ra OM c ng đ
là véct bi u di n s ph c z. Nh v y OM = z và

cg i

⎛→ → ⎞
⎜ Ox, OM ⎟ =Argz
⎝
⎠

Trên m t ph ng ph c 0xy nh n th y:
Tr c 0x bi u di n các s th c z = x ∈ R , tr c này g i là tr c th c,còn tr c 0y bi u di n các
s ph c z = iy, y ∈ R g i là các s o thu n tuý,ng i ta g i tr c 0y là tr c o.
1.2.2. Các phép toán trên t p C
A. Phép so sánh b ng nhau

(


)

⎧⎪ x = x
x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨
⎪⎩ y = y '
'

∀ x, y , x ' , y ' ∈ R 4 ,
B. Phép l y liên h p

Cho z = x + iy ∈ C , liên h p c a z, kí hi u z cho b i z = x − iy
C. Phép l y s ph c đ i
Cho z=x+iy ∈ C, s ph c đ i c a z, kí hi u –z (đ c là tr z ) đ

c xác đ nh:

-z = -x-iy
D. Phép c ng
Cho z = x+iy, z’= x’+iy’,t ng c a z và z’, kí hi u z+z’ xác đ nh nh sau:
z+z’=(x+x’)+i(y+y’)
E. Phép nhân
Cho z=x+iy và z’=x’+iy’, tích c a z và z’, kí hi u z.z’ xác đ nh nh sau:
z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y)
F. Phép tr và phép chia
Là các phép tính ng

c c a phép c ng và phép nhân

z − z ' = z + (− z ' )

z
= z" ⇔ z = z '.z"
z'
10

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

T các phép tốn trên, nh n đ

i đây:

c các tính ch t d

1. ∀z ∈ C , z = z.
2. ∀( z , z ') ∈ C 2 ,

z + z' = z + z'

3. ∀(z , z ') ∈ C 2 ,

z. z ' = z z '
n

n


i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

∑ zi = ∑ zi ,

∀n ∈ N * , ∀z1 , z 2 ,K, z n ∈ C ,

∏ zi = ∏ zi
4. ∀z ∈ C , ∀z '∈ C * , C * = C \ {0}

⎛z⎞ z
⎜ ⎟=
⎝ z' ⎠ z'
5. ∀z ∈ C ,

z = z ⇔ z∈R
z = − z ⇔ z ∈ iR , iR = {iy , y ∈ R}

6. ∀z ∈ C


z. z = z

2

G. Phép lu th a, công th c Moavr ( Moivre)
Cho z = r (cosθ + i sin θ ),

∀k ∈ Z

G i z k là lu th a b c k c a z. B ng qui n p, d ch ng minh đ

c

z k = r k (cos kθ + i sin kθ )

(1.1)

G i (1.1) là công th c Moivre.
H. Phép khai c n b c n c a z ∈ C * .
Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) . G i ς ∈ C * là c n b c n c a z, kí hi u
nh sau:

n

z ,xác đ nh

ςn = z

⎧ρ n = r
θ + 2 kπ

v i
N u g i ρ = ς và Φ = Arg ς thì ⎨
hay là ρ = r n và Φ=
n
Φ
=
+
2
n
θ
k
π
⎩
k = 0,1,2,..., n − 1 .
1

V y s z có đúng n c n b c n, đó là các s ph c có d ng:
1

⎛
⎝

ς = r n ⎜ cos

θ + 2kπ
n

+ i sin

θ + 2kπ ⎞

n

⎟
⎠

k = 0,1,2,..., n − 1

(1.2)
11

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Chú ý:
• Trong ch ng 4, sau khi đã có các khai tri n c a các hàm s s c p, s nh n đ
th a c a s ph c z:

c d ng lu

z = re iθ
Khi đó cơng th c (1.1) s là : z k = r k eikθ ,
1

(1.2) s là : n z = r n e


i

k∈Z

θ + 2 kπ
n

n ∈ N * , k = 0,1,2,..., n − 1

,

• C n b c n c a 1.
Vì z=1 có z =1=r, Argz=0.V y c n b c n c a 1 là n s ph c d ng:

ωk = e

2 ikπ
n

k = 0,1,2,..., n − 1

,

Vì e ±2πi = 1 nên các s ph c ω k có nh ng tính ch t sau:
a.

∀k ∈ {0,1,2,..., n − 1},

ω k = ω n−k . .


b.

∀k ∈ {0,1,2,..., n − 1},

ω k = ω1k .

c.

1 − ω1n
∑ ω k = ∑ ω = 1 − ω = 0,
k =0
k =0
1
n −1

∀n ∈ N \ {0,1},

n −1

k
1

d. Các s ph c ω k bi u di n trên m t ph ng ph c b i các đ nh c a m t đa giác đ u n c nh
n i ti p trong đ ng tròn l ng giác và m t trong các đ nh là đi m có to v b ng 1. a giác này
nh n 0x làm tr c đ i x ng, ch ng h n v i n=2, n=3, n=4, bi u di n hình h c các s ω k cho trên
hình 1.2
y

y


−
x
-1

y

1
3
+i
2
2
-1

1

x

-1

-1

1

−
n=2

1
3
−i
2

2
n=3

n=4

h.1.2.

12

CuuDuongThanCong.com

1x

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Ví d 1: Hãy tìm t t c các ánh x

C → C sao cho:

f:

∀z ∈ C , f ( z ) + zf ( − z ) = 1 + z
Gi i:
f(-z) – zf(z)=1-z đúng

N u t n t i f thì


(1 + z ) f ( z) = 1 + z
2

suy ra

2

f(z)=1 n u z ≠ ±i .

ch ng t

t f (i ) = α + iβ ∈ C ,α , β ∈ R thì f (−i ) = 1 − i + iα − β

f :C → C
Ki m tra

khi z ≠ ±i
khi z = i

⎧1
⎪
z a ⎨α
⎪1 − β + i (α − 1)
⎩

α, β ∈ R

khi z = −i


S th y tho mãn đi u ki n đ t ra.
Ví d 2. Tính

a.
b.
c.

(1 − i )(1 − 3i )( 3 + i)
3 −i
1+ i
4

− 1 + 3i

Gi i:
t z = z1 z 2 z 3 trong đó z1 = 1 − i , z 2 = 1 − 3i , z 3 =

a.

3+i

Ta đi tìm mơđun và acgumen c a các s ph c này

⎧tgθ 1 = −1
π
r1 = z1 = 1 + 1 = 2 , θ1 = arg z1 trong đó ⎨
⇒ θ1 = −
4
⎩cos θ 1 > 0
T


ng t nh n đ

V y z = 4 2 .e

b.

t z=

−i .

c r2 = 2,θ 2 = −
5π
12

π
3

, r3 = 2,θ 3 =

π
6

5π
5π ⎤
⎡
= 4 2 ⎢cos( − ) + i sin( − )⎥
12
12 ⎦
⎣


z1
trong đó z1 = 3 − i, z 2 = 1 + i
z2

13

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

r1 = z1 = 2,θ1 = Argz1 = −

π
6

r2 = z 2 = 2 ,θ 2 = Argz 2 =
π π

V y z=
c.

2e

i(− − )
6 4

= 2e


−i

ng 1: Gi i h n c a dãy s

π
4

5π
12

t ξ k = 4 z , k = 0,1,2,3

⎧r = z = 2
⎪
Trong đó z = −1 + 3i ⇒ ⎨
2π
⎪ϕ = Argz =
3
⎩
V y z = 2(cos

ξ 0 = 4 2 (cos

2π
2π
+ i sin
)
3
3


π

π
1
+ i sin ) = 4 ( 3 + i )
8
6
6

ξ1 = 4 2 (cos

1
2π
2π
+ i sin ) = 4 (−1 + i 3 )
8
3
3

ξ 2 = 4 2 (cos

7π
7π
+ i sin ) = −
6
6

ξ 3 = 4 2 (cos


1
5π
5π
+ i sin ) = 4 (1 − i 3 )
8
3
3

4

1
( 3 + i)
8

Ví d 3. Tìm mơđun và acgumen c a s ph c
t z1 = 1 − i, z 2 =

Gi i:

T đó có: z = z1 .z 2
100

−200

. Ta có mơđun và acgumen c a các s ph c trên là:

z 2 = 2,θ 2 = Argz 2 =
100

z2


= 2 50 , Argz1

− 200

(1 − i )100
( 3 + i ) 200

3+i

z1 = 2 ,θ1 = Argz1 = −

V y z1

z=

100

π

π
4

6
= −25π = −π , [2π ]

= 2 − 200 , Argz 2

− 200


=−

200π 2
= π , [2π ]
6
3

14

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Cu i cùng

z = 2 50.2 −200 = 2 −150
Arg z = −

π
3

1
⎡ 1+ z ≥
Ví d 4: Ch ng minh r ng ∀z ∈ C thì ⎢
2
⎣ 1 + z2 ≥ 1

Gi i:

1
⎧
⎪1 + z < 2
Gi s ∃z = x + iy ∈ C sao cho ⎨
⎪1 + z 2 < 1
⎩
⎧( x 2 + y 2 ) 2 + 2( x 2 − y 2 ) < 0
⎧x2 < y2
3
⎪
⎪
⇒⎨ 2
⇒ 2x2 + 2x + < 0
⎨ 2
3
3
2
2
4
⎪x + y + 2x + < 0
⎪x + y + 2x + < 0
4
4
⎩
⎩
3
1
=− <0

2
2
Ch ng t mâu thu n.
Δ'x = 1 −

Ví d 5: Cho a,b,c ∈ C và

a = b = c = 1,

a ≠ c, b ≠ c

Ch ng minh
Arg

b
c−b 1
= Arg
a
c−a 2

[π ]

Gi i:
Hãy xét s ph c d

i đây, đ ý đ n 1 = a ,
a

⎛1 1⎞
⎜ − ⎟

⎛c−b⎞ a ⎜ c b ⎟
=
⎟
⎜
⎝c−a⎠ b ⎜1 − 1 ⎟
⎜
⎟
⎝c a⎠

2

2

2

⎛c−b⎞ a
= kπ = 0
⇒ Arg ⎜
⎟
⎝c−a⎠ b
c−b
a
⇒ 2 Arg
+ Arg = 0
c−a
b
c−b 1
b
⇒ Arg
= Arg

c−a 2
a

1
1
= b, = c
c
b

1
2
2
a = ⎛⎜ b − c . a ⎞⎟ b = ⎛⎜ c − b ⎞⎟ a
1 ⎝a−c b⎠ a ⎝c−a⎠ b
b

[π ]

[π ]
15

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Ví d 6: Cho a ∈ R hãy tính c n b c 4 trong t p C c a s ph c:


z = 8a 2 − (1 + a 2 ) + 4a(1 + a 2 )i
2

Gi i:

[

z = 2a + (1 − a 2 )i

Nh n xét

[

z = ± 2a + (1 − a 2 )i

V y

]

2

]

Ti p t c nh n xét th y:

⎧ 1
[(1 + a) + (1 − a)i ]⎫⎬
2a + (1 − a )i = ⎨
⎩ 2

⎭

2

2

⎧ 1
⎫
− 2a − (1 − a )i = ⎨ [(1 − a ) − (1 + a )i ]⎬
⎭
⎩ 2

2

2

Suy ra các giá tr c a

±

4

z s là:

2
{(1 + a) + (1 − a )i},
2

Ví d 7: Gi i ph


±

2
{(1 − a) − (1 + a)i}
2

ng trình v i n s z ∈ C :

z4 = z + z
Gi i:
Nh n xét z1=0 là nghi m
Xét z≠0,đ t

z = ςe iθ , ς ∈ R *+ , θ ∈ R

z 4 = z + z ⇔ ς 3 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 2 cosθ
⎧ς 3 cos 4θ = 2 cosθ
⇔⎨
⎩sin 4θ = 0
⎧4θ = 0 [2π ]
⎪
ho c
⇔ ⎨cosθ > 0
⎪ς 3 = 2 cosθ
⎩
L yθ = 0 ⇒ ς = 2

⎧4θ = π
[2π ]
⎪

⎨cosθ < 0
⎪ς 3 = −2 cosθ
⎩

1
3

3π
⇒ ς = 26
4
1

L yθ =

16

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

5π
⇒ ς = 26
4
1

L yθ =


V y các nghi m z ≠ 0 là:

z2 = 2

1
3

−
3π
3π ⎞
⎛
z3 = 2 ⎜ (cos
+ i sin ⎟ = 2 3 (−1 + i )
4
4 ⎠
⎝
1
6

1

5π
5π
⎛
z4 = 2 6 ⎜ cos
+ i sin
4
4
⎝

1

*

1.2.3 . Áp d ng s ph c vào l

1

−
⎞
⎟ = 2 3 ( −1 − i )
⎠

ng giác

A. Khai tri n cos nθ , sin nθ , tgnθ
Cho θ ∈ R, n ∈ N * .Áp d ng công th c Moivre và công th c nh th c Newton
n

cos nθ + i sin nθ = (cosθ + i sin θ ) = ∑ Cnk cos n − k θ .i k sin k θ
n

k =0

Tách ph n th c và ph n o, nh n đ

c

cos nθ = cosn θ − Cn2 cosn − 2 θ sin 2 θ + L +
sin nθ = Cn1 cos n −1 θ sin θ − Cn3 cosn − 3 θ sin 3 θ + L

Sau khi thay sin 2 θ = 1 − cos 2 θ vào các cơng th c trên s có:
1. cos nθ bi u di n d
lo i 1.

i d ng m t đa th c c a cosθ , g i đó là cơng th c Chebyshev

2. sin nθ b ng tích c a sin θ v i m t đa th c c a cosθ , g i là đa th c Chebyshev lo i 2.

sin nθ
n
sin nθ
Cn1tgθ − Cn3tg 3θ + L
= cos θ =
3. tgnθ =
cos nθ 1 − Cn2tg 2θ + Cn4tg 4θ − L
cos nθ
cos n θ
B. Tuy n tính hố cos p θ , sin p θ , cos p θ .sin q θ

1
⎧
2 cosθ = ω + ω = ω +
⎪
⎪
ω
Cho θ ∈ R, p ∈ N * ,ω = eiθ ⇒ ⎨
⎪2i sin θ = ω − ω = ω − 1
⎪⎩
ω


17

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch
p

1⎞
1⎞
⎛
⎛
p
V y 2 p cos p θ = ⎜ ω + ⎟ và (2i ) sin p θ = ⎜ ω − ⎟
ω⎠
ω⎠
⎝
⎝
S d ng công th c nh th c Newton và xét các tr
a. Tr

1.

ng 1: Gi i h n c a dãy s

p

ng h p sau đây:


ng h p p = 2m, m ∈ N *

1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
2 2 m cos 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ + C 21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + C 2mm
ω ⎠
ω
⎝
⎝
⎠
1
= 2 cos 2mθ + 2C 2 m cos 2(m − 1)θ `+ L + 2C 2mm−1 cos 2θ + C 2mm
m −1
⎛1
⎞
cos 2 m θ = 2 −( 2 m −1) ⎜ C 2mm + ∑ C 2km cos 2(m − k )θ ⎟
k =0
⎝2
⎠

2.

1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
22 m (−1) m sin 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ − C21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + (−1) m C2mm
ω ⎠

ω
⎝
⎝
⎠
1
= 2 cos 2mθ − 2C2 m cos 2(m − 1)θ + L + (−1) m C2mm
m
m −1
⎞
m ⎛ ( −1)
C2mm + ∑ (−1) k C2km cos 2(m − k )θ ⎟⎟
sin 2 m θ = 2− ( 2 m −1) (− 1) ⎜⎜
k =0
⎝ 2
⎠

b. Tr

ng h p p = 2m + 1, m ∈ N

1.

⎛⎛
1 ⎞
1 ⎞⎞
1⎞
⎛
⎛
2 2 m+1 cos 2 m+1 θ = ⎜ ω 2 m+1 + 2 m+1 ⎟ + C 21m+1 ⎜⎜ ⎜ ω 2 m−1 + 2 m−1 ⎟ ⎟⎟ + L + C 2mm+1 ⎜ ω + ⎟
ω⎠

ω
ω
⎝
⎠⎠
⎠
⎝
⎝⎝
= 2 cos(2m + 1)θ + 2C 21m+1 cos(2m − 1)θ + L + 2C 2mm+1 cosθ
m

cos 2 m+1 θ = 2 −2 m ∑ C 2km+1 cos(2m + 1 − 2k )θ
k =0

2.

1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
22 m +1 i (−1) m sin 2 m +1 θ = ⎜ ω 2 m +1 + 2 m +1 ⎟ − C21m +1 ⎜ ω 2 m + − − 2 m −1 ⎟ + L
ω
ω
⎝
⎠
⎠
⎝
1
= 2i sin(2m + 1)θ − 2i.C2 m +1 sin(2m − 1)θ + L + 2i (−1) m C2mm +1 sin θ
sin 2 m +1 θ = 2− 2 m (− 1)


m

m

∑ (−1)
k =0

k

C2km +1 sin(2m + 1 − 2k )θ

tuy n tính hoá cos θ. sin θ tr c h t tuy n tính hố t ng th a s
sau đó th c hi n phép nhân r i cùng tuy n tính hố các s h ng thu đ c.
p

q

Ví d 7: Cho ( n, a, b) ∈ N × R × R , tính các t ng:
n

Cn = ∑ cos( a + kb),
k =0

n

S n = ∑ sin( a + kb)
k =0

18


CuuDuongThanCong.com

/>
cos p θ , sin q θ ,


Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Gi i:

( )

n

n

k =0

k =0

Cn + iS n = ∑ ei ( a + kb ) = eia ∑ eib N u b ∈ 2πZ

Xét

Cn = (n + 1) cos a,

k


S n = (n + 1) sin a

N u b ∉ 2πZ

C n + iS n = e ia

(e )

ib n +1

− 1 ia
=e
e −1

e

i

( n +1) b
2

ib

nb ⎞
⎛
C n = cos⎜ a + ⎟
2 ⎠
⎝

n +1

n +1
⎛ nb ⎞
.b
b
i .⎜ a + ⎟ sin
2 ⎠
2
2
⎝
.
=e
b
b
i
b
2
sin
e 2i sin
2
2
2i sin

n +1
b
2 ,
b
sin
2

sin


Ví d 8: Ch ng minh ∀n ∈ N * ,

n

∑ sin k
k =1

nb ⎞
⎛
S n = sin ⎜ a + ⎟
2 ⎠
⎝
≥

n +1
b
2
b
sin
2

sin

1
n +1
−
2
2 sin 1


Gi i:
Vì sin0 = 0 và sin k ≤ 1 nên
n

n
n
1 n
2
=
≥
=
.∑ (1 − cos 2k )
k
k
k
sin
sin
sin
∑
∑
∑
2 k =0
k =1
k =0
k =0
n +1 1 n
n + 1 1 sin( n + 1)
=
− .∑ cos 2k =
− .

. cos n
2
2 k =0
2
2
sin 1

Vì

sin( n + 1)
1
. cos n ≤
sin 1
sin 1
n

nên

∑ sin k

≥

k =1

1.3. DÃY S

1
n +1
−
2

2 sin 1

TH C

Sau khi xem xét dãy s th c,chúng ta hồn tồn có th m r ng cho dãy s ph c vì r ng
m t dãy s ph c t ng đ ng v i m t c p dãy s th c.
1.3.1. Các khái ni m c b n c a dãy s th c
A.

nh ngh a
M t dãy s th c là m t ánh x t N vào R, kí hi u:

u:N →R
19

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

hay đ n gi n nh t,kí hi u (un)
V i n = n0 ∈ N xác đ nh, u n0 g i là s ph n t th n0 c a dãy, un th
ph

(1),

thu c vào n g i là ph n t


((−1) ),
n +1

ng là m t bi u th c

t ng quát c a dãy, ch ng h n cho các dãy sau đây:

⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎞
⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟
⎜⎝ n ⎠ ⎟
⎠
⎝

⎛1⎞
⎜ ⎟,
⎝n⎠

B. S hôi t , s phân kì c a dãy s
1. Dãy (un) h i t v a ∈ R n u

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ∈ N , n > n0 ⇒ un − a < ε
Kí hi u lim un = a , rõ ràng (un-a) h i t v 0.
n→∞

2. Dãy (un) h i t n u có s a ∈ R đ lim un = a
n→∞

3. Dãy (un) phân kì n u nó khơng h i t , ngh a là:


∀a ∈ R, ∃ε > 0, ∀n ∈ N , ∃n0 ∈ N , n0 > n, un − a ≥ ε
4. Dãy (un) nh n +∞ làm gi i h n n u

∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A
Kí hi u lim un = +∞ , đơi khi nói r ng (un) ti n t i + ∞
n→∞

5. Dãy (un) nh n -∞ làm gi i h n n u

∀B < 0

∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un < B .

Kí hi u lim un = −∞
n→∞

Dãy có gi i h n là +∞ ho c -∞ c ng g i là phân k .
C. Dãy s b ch n
1. Nói r ng (un) b ch n trên b i s A ∈ R n u ∀n ∈ N , un ≤ A .
2. Nói r ng (un) b ch n d

i b i s B ∈ R n u ∀n ∈ N , un ≥ B .

3. Nói r ng (un) là dãy b ch n n u t n t i M ∈ R+ sao cho ∀n ∈ N , un ≤ M .
1.3.2. Tính ch t c a dãy h i t
A. Tính duy nh t c a gi i h n
nh lí: Dãy (un) h i t v a thì a là duy nh t
Ch ng minh: Gi s lim = a1 , lim = a2 , a1 ≠ a2
n →∞


n→∞

20

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

1
a1 − a2
3

tε =

∀n > n1 ⇒ un − a1 < ε

∃n1 , n2 ∈ N ,

∀n > n2 ⇒ un − a2 < ε
G i n0 = Max(n1 , n2 ), ∀n > n0 s có:

a1 − a2 ≤ un − a1 + un − a2 < 2ε =

2
a1 − a2 mâu thu n.
3


B. Tính b ch n
1. Dãy (un) h i t thì b ch n trong R.
2. Dãy (un) ti n đ n +∞ thì b ch n d

i.

3. Dãy (un) ti n đ n -∞ thì b ch n trên.
Ch ng minh:
1. Gi s lim un = a ⇔ ∃n0

∀n > n0 ⇒ un − a < 1

n→∞

⇒ un ≤ u n − a + a < 1 + a

{

}

t M = Max u0 ,..., un0 ,1 + a ⇒ ∀n ∈ N , un ≤ M .
2. Gi s lim un = +∞, ∃n0

∀n > n0 ⇒ un > 1

n→∞

{


}

t m = Min u0 ,..., un0 ,1 ⇒ un ≥ m
3. Quy v 2. b ng cách xét (-un).
Chú ý:
1. T n t i các dãy s b ch n nh ng không h i t , ch ng h n

(un ) = ((−1) n +1 ).
2. M i dãy không b ch n s phân k .
3. M t dãy ti n t i +∞ thì khơng b ch n trên, đi u ng
(un ) = (−1) n n .

(

)

c l i không đúng, ch ng h n:

C. Tính ch t đ i s c a dãy h i t
1. lim un = a ⇒ lim un = a .
n →∞

n →∞

2. lim un = 0 ⇔ lim un = 0 .
n →∞

n →∞

3. lim un = a, lim vn = b ⇒ lim (un + vn ) = a + b

n→∞

n→∞

n→∞

.
21

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

4. lim un = a ⇒ lim λun = λa .
n →∞

n→∞

5. lim un = 0, (vn) b ch n ⇒ lim (un vn ) = 0 .
n→∞

n→∞

6. lim un = a, lim vn = b ⇒ lim (un vn ) = ab .
n→∞


n→∞

n→∞

un a
= .
n→∞ v
b
n

7. lim un = a, lim vn = b ≠ 0 ⇒ lim
n→∞

n→∞

Ch ng minh:

∀ε > 0

1.

∀n > n0 ⇒ un − a < ε

∃n0 ∈ N

mà un − a ≤ un − a < ε ⇒ lim un = a .
n→∞

2. Vì ta có un − 0 = un = un − 0 .
3. ∀ε > 0


∃n1 , n2 :

∀n > n1 ⇒ un − a <

∀n > n2 ⇒ vn − b <

ε
2

ε
2

,

,

t n0 = Max ( n1 , n2 ), ∀n > n0 ⇒ un + vn − ( a + b) <
4. ∀ε > 0

∃n0 , ∀n > n0 ⇒ un − a <

⇒ λu n − λa = λ u n − a ≤

λ
1+ λ

ε
2


+

ε
2

=ε.

ε
1+ λ

ε <ε

5. ∃M ∈ R+ sao cho ∀n ∈ N , vn ≤ M

∀ε > 0

∃n0 , ∀n > n0 ⇒ un <

⇒ un vn = un . vn <

εM
1+ M

ε
1+ M

<ε

6. G i α n = un − a .V y (α n ) h i t v 0
Ta có un vn = (a + α n )vn = avn + α n vn

mà lim avn = ab vì (vn) b ch n nên lim α n vn = 0 .
n→∞

n→∞

22

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

7. Tr

1 1
=
n→∞ v
b
n

c h t ta s ch ra lim

Vì lim vn = b ≠ 0 nên ∃n1 ∈ N , ∀n > n1 ⇒ vn − b <
n →∞

Ta có 0 ≤


2

⇒ vn >

b
2

v −b
1 1
2
− = n
≤ 2 vn − b
vn b
vn . b
b

suy ra ∀ε > 0

∃n2 ∈ N , ∀n > n2 ⇒ vn − b <

L y n0 = Max(n1,n2), ∀n > n0 ⇒

Ta th y

b

b

2


2

ε

1 1
− <ε
vn b

un
1
= un ,theo 6. ta nh n đ
vn
vn

un a
= .
n→∞ v
b
n

c lim

D. Tính ch t v th t và nguyên lý k p
1. Gi s

lim un = l ∈ (a, b) .Khi đó ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ a < un < b

n→∞

2. Gi s lim un = l và ∃ n0, , ∀n > n0 có a ≤ un ≤ b khi đó a ≤ l ≤ b

n→∞

3. Gi s 3 dãy (un), (vn), (wn) tho mãn:

∃n0 , ∀n > n0 ⇒ un ≤ vn ≤ wn và lim un = lim wn = a
n→∞

n→∞

Khi đó lim vn = a
n→∞

4. Gi s ∀n > n0 mà un ≤ vn và lim un = +∞ .Khi đó lim vn = +∞
n→∞

n→∞

Ch ng minh:
1.

∃n1 , ∀n > n1 ⇒ un − l < l − a ⇒ a < un
∃n2 , ∀n > n2 ⇒ un − l < b − l ⇒ un < b
L y n0 = Max(n1,n2) ⇒ ∀n > n0 có a2. L p lu n ph n ch ng và theo 1.
3. ∀ε > 0, ∃n1 , n2 ∈ N

∀n > n1 ⇒ un − a < ε
∀n > n2 ⇒ wn − a < ε
23

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

L y n3=Max(n0,n1,n2), ∀n > n3 s có:

− ε < un − a ≤ vn − a ≤ wn − a < ε
lim vn = a .

V y

n→∞

4. L y A ∈ R+* , ∃n1 , ∀n > n1 ⇒ u n > A
G i n2=Max(n0,n1), ∀n > n2 ⇒ vn > A
Ch ng t lim vn = +∞ .
n→∞

Chú ý:
1.

ng ch ra dãy ( ε n ) h i t v 0 và tho mãn

ch ng minh dãy (un) h i t v a, thông th

un − a ≤ ε n

2. B ng cách chuy n qua ph n t đ i, nh n đ

c k t qu sau đây:

N u ∃n0 , ∀n > n0 ⇒ u n ≥ v n và lim un = −∞ thì lim vn = −∞
n→∞

Ví d 1: Ch ng minh lim

n→∞

n→∞

1
=0
n

Gi i:

∀ε > 0

∃n0

∀n > n0 ⇒

⎛1⎞
V y ch n n0 = E ⎜ ⎟ + 1
⎝ε ⎠

1

1
< ε hay n >
ε
n
Kí ki u E(x) là ph n nguyên c a x.

n

n
,
n →∞
k =1 n + k

Ví d 2: Tính lim un = lim ∑
n →∞

2

n ∈ N*

Gi i:
n
n
n
n2
≤
=
= vn
∑
2

2
n2 + 1
k =1 n + k
k =1 n + 1
n
n
n
un ≥ ∑ 2
=
= wn
n +1
k =1 n + n
lim vn = lim wn = 1 ⇒ lim un = 1

∀n ∈ N * ,

n →∞

n →∞

n

un = ∑

n →∞

⎧0
⎪
n
Ví d 3: Ch ng minh lim a = ⎨1

n →∞
⎪+ ∞
⎩

khi a < 1
khi a = 1
khi a > 1

24

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

Gi i:
Xét a > 1, ∃h ∈ R+* đ a =1+h
n

a n = (1 + h ) = ∑ Cni hi ≥ 1 + nh
n

i =0

lim (nh) = +∞ ⇒ lim (1 + nh) = +∞ ⇒ lim a n = +∞

n →∞

n →∞

n →∞

n

⎛1⎞
1
n
Xét a < 1, a ≠ 0 ⇒
> 1 ⇒ lim ⎜ ⎟ = +∞ ⇒ lim a = 0 ⇒ lim a n = 0
⎜
⎟
n →∞ a
n →∞
n→∞
a
⎝ ⎠
V i a=0 rõ ràng an = 0, ∀n ⇒ lim ann = 0
n →∞

Xét a=1 ⇒ a n = 1 ⇒ lim a n = 1
n →∞

a ∈ R+*

Ví d 4: Tìm lim n a ,
n→∞

Gi i:
Xét a=1 rõ ràng lim n a = lim 1 = 1
n→∞

n →∞

Xét a>1, áp d ng công th c nh th c Newton

a=

⇒

( a ) = {1 + (
n

n

1

a ≥ ∑ Cnk
k =0

n

(

n

n

mà

n

n

k n
n

k =0

)

(

k

)

a −1

k

)

a −1 = 1+ n n a −1

⇒ ∀n ∈ N * thì 0 ≤ n a − 1 ≤
Xét 0 < a < 1 ⇒

)} = ∑ C (

a −1

a −1
= ε n ⇒ lim n a = 1
n→∞
n

1
1
> 1 ⇒ lim n = 1
n →∞
a
a

⎛ 1⎞
a = ⎜⎜ n ⎟⎟
⎝ a⎠

−1

nên lim n a = 1
n →∞

K t lu n ∀a ∈ R* , lim n a = 1 .
n→∞

⎛ an
Ví d 5: Tính lim⎜⎜ α

n →∞ n
⎝

⎞
⎟⎟,
⎠

a > 1,α ∈ N *

Gi i:
1

Vì a > 1 nên
α

1

∃h ∈ R đ a = 1 + h , áp d ng công th c nh th c Niut n (Newton)
*
+

α

25

CuuDuongThanCong.com

/>

Ch

ng 1: Gi i h n c a dãy s

∀n ∈ N \ {0,1}
n

n
⎛ α1 ⎞
⎜ a ⎟ = ∑ Cnk h k ≥ 1 + nh + n(n − 1) h 2 ≥ n( n − 1) h 2
⎜ ⎟
2
2
k =0
⎝ ⎠

n

n

⎛ α1 ⎞
⎛ α1 ⎞
⎜a ⎟
⎜a ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
n −1 2
⎠
⎝
h ⇒ lim ⎝ ⎠ = +∞
≥

⇒
n→∞
n
n
2
⎧ n α1
a
⎪ (a )
=⎨
α
n
⎪ n
⎩
n

Suy ra

α

⎛ αn
⎫
⎜a
⎪
⎬ =⎜
⎜ n
⎪
⎭
⎝

α

⎞
⎟
an
= +∞ .
⎟ ⇒ nlim
→ ∞ nα
⎟
⎠
c k t qu v n đúng ∀α ∈ R

Áp d ng nguyên lí k p d dàng th y đ
Ng

i ta nói r ng hàm m t ng nhanh h n hàm lu th a.

an
,
n → ∞ n!

Ví d 6: Tinh lim

a∈R

Gi i:
t n0 = E ( a ) + 1, ∀n > n0 s có:

a
a n ⎛ a a a ⎞⎛ a
= ⎜⎜ . ... ⎟⎟⎜⎜

...
n! ⎝ 1 2 n0 ⎠⎝ n0 + 1 n
an
=0
lim
n → ∞ n!

⇒
Ng

⎞ ⎛a a a⎞a
⎟ ≤ ⎜ . ... ⎟ = ε n
⎟ ⎜1 2 n ⎟n
0 ⎠
⎠ ⎝

i ta nói r ng giai th a t ng nhanh h n hàm s m .

1.3.3. Tính đ n đi u c a dãy s
A. Dãy đ n đi u
1. Dãy (un) t ng n u ∀n ∈ N , un ≤ un +1 ,
Dãy (un) t ng ng t n u ∀n ∈ N , un < un +1 .
2. Dãy (un) gi m néu ∀n ∈ N , un ≥ un +1 ,
Dãy (un) gi m ng t n u ∀n ∈ N , un > un +1 .
3. Dãy (un ) đ n đi u n u nó t ng ho c gi m.
Dãy (un ) đ n đi u ng t n u nó t ng ng t ho c gi m ng t
nh lí 1:
1. M i dãy t ng và b ch n trên thì h i t .
26

CuuDuongThanCong.com

/>