BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------------------------------------------

BÙI MẠNH CƯỜNG

NGHIÊN CỨU HIỆN TƯỢNG FINITE - TIME - ESCAPE
Ở HỆ PHI TUYẾN KHI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ĐẦU RA CÓ SỬ
DỤNG BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI THỜI GIAN HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC

Hà Nội - 2007


[2]

LỜI CAM ĐOAN
*********
Tôi xin cam đoan những kết quả trong luận văn là do bản thân tôi thực
hiện dựa trên sự hướng dẫn của thày giáo hướng dẫn khoa học và các tài liệu
tham khảo đã trích dẫn.
Học viên

Bùi Mạnh Cường


[3]

LỜI CẢM ƠN
*********
Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Dỗn Phước
đã tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu trong quá trình nghiên cứu và làm
luận văn, PGS đã giành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ và tạo mọi điều
kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thày cô giáo trong bộ môn Điều khiển
Tự động – Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo nhà trường và các thày cô giáo
trong bộ môn Đo lường và Điều khiển Tự động Trường Đại học Kỹ thuật Công
nghiệp Thái Nguyên đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành
khoá học.

Học viên

Bùi Mạnh Cường


[4]

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

1

Lời cam đoan


2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

4

MỞ ĐẦU

5

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ HIỆN TƯỢNG PEAKING VÀ ỔN ĐỊNH
TOÀN CỤC CHO MỘT LỚP HỆ PHI TUYẾN

7

1.1. Tổng quan chung

7

1.2. Một số định nghĩa cơ bản

12

1.3. Điểm lại một số phương pháp và kết quả đã đạt được

14


Chương 2. CÁC ĐỊNH LÝ GẦN ĐÚNG VÀ ĐỊNH LÝ ỔN ĐỊNH CƠ
BẢN

18

2.1. Định lý ổn định

18

2.2. Các định lý gần đúng và ổn định

22

Chương 3. NGHIÊN CỨU VẦN ĐỀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC VÀ BÁN
TOÀN CỤC CHO MỘT LỚP HỆ PHI TUYẾN

30

3.1. Các kết quả ổn định toàn cục và bán toàn cục cho trường hợp đơn
giản

30

3.2. Ổn định toàn cục và bán toàn cục. vấn đề peaking

33

3.3. Hiện tượng peaking trong hệ tuyến tính


35

3.4. Các kết quả ổn định tổng quát

38

3.5. Ví dụ và mơ phỏng

42

Chương 4. KẾT LUẬN CHÍNH CỦA LUẬN VĂN

51

TÀI LIỆU THAM KHẢO

52

TÓM TẮT LUẬN VĂN

54


[5]

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Để ổn định đối tượng điều khiển, người ta thường dùng bộ điều khiển
phản hồi trạng thái. Tuy nhiên trong thực tế có những trạng thái khơng thể đo
được, ví dụ đối với các hệ cơ, độ dịch chuyển là không đo được. Điều đó

khiến cho bộ điều khiển phản hồi trạng thái khơng thực hiện được. Vì vậy vấn
đề thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra làm đối tượng ổn định là một vấn đề
quan trọng và có ý nghĩa thực tiễn cao.
Đối với hệ tuyến tính, vấn đề ổn định tiệm cận toàn cục bằng bộ điều
khiển phản hồi đầu ra đã được giải quyết hoàn toàn. Điều kiện đủ để hệ tuyến
tính có thể ổn định tiệm cận tồn cục bằng bộ điều khiển phản hồi đầu ra là hệ
quan sát được toàn cục và ổn định tiệm cận toàn cục bằng bộ điều khiển phản
hồi trạng thái. Từ đó để thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra cho hệ tuyến
tính, người ta sẽ thiết kế theo nguyên lý tách: Thiết kế bộ điều khiển phản hồi
trạng thái làm hệ tuyến tính ổn định tiệm cận tồn cục, sau đó thiết kế bộ quan
sát để sấp xỉ các biến trạng thái từ các biến đầu ra. Ghép bộ điều khiển phản
hồi trạng thái với bộ quan sát trạng thái ta sẽ được bộ điều khiển phản hồi đầu
ra làm hệ tuyến tính ổn định tiệm cận tồn cục.
Tuy nhiên hệ phi tuyến nói chung lại khơng thỏa mãn nguyên lý tách.
Một hệ phi tuyến quan sát được toàn cục, ổn định tiệm cận toàn cục bằng bộ
điều khiển phản hồi trạng thái. Chưa chắc đã có thể ổn định tiệm cận toàn cục
bằng bộ điều khiển phản hồi đầu ra. Có thể giải thích cho ngun nhân là do
khi lắp bộ điều khiển phản hồi đầu ra vào hệ thì trong hệ kín sảy ra hiện tượng
“finite - escape - time”, tức là hiện tượng một vài biến trạng thái không đo
được tiến đến vô cùng trong thời gian hữu hạn, trong khi các biến trạng thái
khác vẫn bị chặn. Vì vậy để hệ phi tuyến có thể ổn định tiệm cận toàn cục


[6]

bằng bộ điều khiển phản hồi đầu ra, người ta thường phải áp đặt lên hệ nhưng
điều kiện đặc biệt.
2. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI:
Nhược điểm của bộ điều khiển phản hồi đầu ra phi tuyến là thường chỉ
đạt được tính ổn định bán tồn cục cho hệ.

3. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:
Xác định lớp các hệ phi tuyến có tính ổn định bán tồn cục khi sử dụng
bộ điều khiển phản hồi đầu ra.
4. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:
Luận văn này được trình bày trong 4 chương. Nội dung cụ thể của mỗi
phần sau:
Chương 1. Tổng quan về hiện tượng peaking và ổn định toàn cục cho một
lớp hệ phi tuyến.
Chương 2. Các định lý gần đúng và định lý ổn định cơ bản.
Chương 3. Nghiên cứu vần đề ổn định toàn cục và bán toàn cục cho một
lớp hệ phi tuyến.
Chương 4. Kết luận chính của luận văn.


[7]

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆN TƯỢNG PEAKING VÀ ỔN ĐỊNH
TOÀN CỤC CHO MỘT LỚP HỆ PHI TUYẾN

1.1. Tổng quan chung
Luận văn này đề cập đến vấn đề ổn định tồn cục cho một lớp hệ phi
tuyến có cấu trúc truyền ngược. Hệ có cấu trúc truyền ngược này bao gồm
một hệ tuyến tính mắc nối tiếp đằng trước một khâu phi tuyến, đầu ra của
khâu tuyến tính là đầu vào của khâu phi tuyến. Với đầu vào của khâu phi
tuyến bằng khơng thì khâu phi tuyến là ổn định tiệm cận tồn cục (GAS).
Bài tốn thiết kế ổn định của cả hệ bằng cách thiết kế bộ điều khiển phản
hồi trạng thái ổn định cho khâu tuyến tính, tức là khơng làm vi phạm tính chất
ổn định tồn cục của khâu phi tuyến, có nghĩa là địi hỏi trạng thái của khâu
tuyến tính phải được điều chỉnh về khơng rất nhanh với tốc độ giảm theo hàm
mũ. Tuy nhiên việc điều chỉnh trạng thái của khâu tuyến tính tiến về với tốc

độ rất nhanh khó thực hiện được vì khi đó xảy ra hiện tượng peaking.
Hiện tượng peaking là hiện tượng một số biến trạng thái của hệ thống
tăng đến giá trị rất lớn, có thể là đến vơ cùng trong một khoảng thời gian hữu
hạn trong khi các biến trạng thái khác vẫn có giá trị hữu hạn.
Trong hệ thống tuyến tính, hiện tượng peaking xuất hiện khi hệ được
điều khiển ổn định bởi bộ điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh có hệ số
khuyếch đại lớn, nhằm mục đích tạo ra các điểm cực của hệ thống kín có phần
thực âm lớn để đẩy nhanh tốc độ tiến về khơng của các biến trạng thái. Khi đó
có một vài trạng thái của hệ tăng đến giá trị rất lớn, trước khi chúng suy giảm
về không. Những biến trạng thái như vậy có tác động và gây ra sự mất ổn
định đối với khâu phi tuyến và thậm chí có thể làm cho một vài trạng thái tiến


[8]

đến vô cùng trong thời gian hữu hạn – hiện tượng này được gọi là hiện tượng
finite - time - escape.
Vấn đề mất ổn định của hệ do ảnh hưởng hiện tượng peaking có thể
giảm thiểu và ngăn ngừa được nếu như khâu phi tuyến có tính phi tuyến
khơng tăng quá nhanh theo các biến trạng thái, như đã được miêu tả trong
phần 2.1, 2.2 và 3.1 của luận văn này. Các phần còn lại của luận văn này đề
cập đến các phân tích chi tiết của hiện tượng peaking và sự thoả hiệp giữa tốc
độ tăng của biến trạng thái của khâu tuyến tính và tính phi tuyến của khâu phi
tuyến.
Trong luận văn này, nghiên cứu khả năng ổn định tồn cục – hệ phi
tuyến có cấu trúc như sau:
u

ΣL


ξ

ΣN
C

x

y

Hình 1.1: Cấu trúc hệ Σ

Trong đó ΣL là hệ thống tuyến tính điều khiển được và ΣN là hệ phi
tuyến, các véc tơ ξ , x là các biến trạng thái của ΣL và ΣN. Bài toán ổn định là
thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho khâu tuyến tính nhưng đảm bảo
tính ổn định cho cả hệ Σ theo sơ đồ sau:
w

u

ΣL
F

ξ

ΣN
C

x

y


Hình 1.2: Cấu trúc hệ Σ có bộ điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính


[9]

Hệ thống Σ được mơ tả bởi các phương trình:
x& = f (x,ξ )

(1.1a)

ξ& = Aξ + Bu

(1.1b)

n
v
µ
Trong đó, x ∈R ,ξ ∈R ,u ∈R và hệ Σ thoả mãn các giả thiết:

H1: hệ tuyến tính ξ& = Aξ + Bu thỏa mãn tính điều khiển được hay cặp

( A, B ) thoả mãn điều kiện sau:

Rank ( B, AB,..., An −1B) = n .

H2: ánh xạ f : R n +v → R n thuộc lớp C1
H3: khâu phi tuyến x& = f (x,0) = g (x ), x ∈ R n

(1.2)


có gốc toạ độ 0 là trạng thái ổn định tiệm cận toàn cục.
Nhiều nghiên cứu gần đây về ổn định phi tuyến đã tập trung vào hệ
thống Σ được thể hiện dưới dạng “mơ hình chuẩn”, có thể dùng phép biến đổi
hệ toạ độ không gian trạng thái để biến đổi hệ về dạng mơ hình chuẩn.
Các hệ thống thuộc loại này xuất hiện phương pháp thiết kế phản hồi
trạng thái như tuyến tính hóa từng phần và thiết kế two-time-scale, cách thiết
kế này bao gồm hai pha thiết kế đó là “pha thiết kế nhanh” và “pha thiết kế
chậm”.
Trong thiết kế tuyến tính hóa từng phần, bước thiết kế thứ nhất, hệ thống
phi tuyến dạng tổng quát được biến đổi về dạng như trong phương trình (1.1)
thơng qua phép biến đổi vi phơi và có thể dùng một khâu phản hồi. Giả thiết
y = Cξ là đầu ra, trong khi (C, A) là một cặp quan sát được hay thỏa mãn điều

(

)

kiện Rank C T , AT C T ,..., (A(n −1) ) C T = n , từ các điều kiện H1, H2, H3 ta có thể thấy
T

rằng (1.1) là “hệ pha cực tiểu tồn cục”. Bước thiết kế thứ hai - là chủ đề của
luận văn này - bao gồm việc tìm ra một bộ điều khiển phản hồi trạng thái


[10]
u = F ξ để đảm bảo rằng đầu vào ξ là đầu vào của khâu phi tuyến (1.1a) sao

cho khơng làm mất tính GAS của hệ.
Trong thiết kế two-time-scale, người ta giả thiết rằng động học của khâu

tuyến tính (1.1b) bắt buộc phải nhanh hơn động học của khâu phi tuyến ΣN, ví
dụ như (1.1a) có thể là một thiết bị tác động chậm với một cơ cấu chấp hành
nhanh. Trong cách thiết kế này, các biến tương ứng bao gồm hai thành phần
tác động chậm và thành phần tác động nhanh, ví dụ: ξ = ξ s + ξ f và u = u s + u f
với chỉ số s bên dưới là đại diện cho thành phần tác động chậm, và f là đại
diện cho thành phần tác động nhanh.
Và ý tưởng của phương pháp là tạo ra một tín hiệu u s (x) sao cho có thể
bỏ qua được động học của (1.1b). Nếu A là nghịch đảo được bằng cách cho
ξ = 0 ⇒ Aξ s = − Bu s ⇒ ξ s = − A−1 Bu s ( x ) ta có:

(

x& = f x,− A −1 Bu s ( x ) + ξ

)= f (x, ξ )
∆

f

s

f

(1.3a)

Từ ξ = ξ s + ξ f ⇒ ξ f = ξ − ξ s ⇒ ξ& f = ξ& − ξ& s ⇒
ξ& f = Aξ f + Bu f + A −1 Bu& s ( x )

(1.3b)


(

)

Với u& s (x, ξ ) = ∇u s (x ). f (x, ξ ) = ∇u s (x ). f s x, ξ f .
Như vậy nếu bỏ qua A −1 Bu& s (x ) thì hệ (1.3) chính là hệ có dạng (1.1)
Ý tưởng của pha thiết kế chậm là tìm ra us (x ) sao cho thỏa mãn giả thiết
H3 cho hệ phi tuyến (1.3a) với ξ f = 0
Nhiệm vụ của pha “thiết kế nhanh” là tìm ra bộ điều khiển phản hồi
trạng thái u f = F ξ f mà bộ điều khiển này làm nhiệm vụ giảm thiếu sự ảnh
hưởng của ξ f đối với (1.3a) và A −1 Bu& s (x )


[11]

Nếu ma trận A khơng nghịch đảo được, ta có thể thay A-1 bằng (A+BF)-1
đây chính là giá trị nghịch đảo nhỏ nhất. Khi đó thành phần A −1 Bu& s (x ) có thể
bỏ qua được.
Phương pháp này có thể thực hiện được thông qua một thủ tục đa tạp
tích phân.
Trong luận văn này tập trung thảo luận chi tiết về những khó khăn khi
thiết kế ổn định hoặc bán ổn định cho hệ (1.1)
Định nghĩa 1.1:
Hệ thống Σ được gọi là ổn định bán toàn cục tại điểm trạng thái p được
điều khiển bởi một lớp các luật điều khiển phản hồi F, nếu tất cả mọi tập con
Ω giới nội của không gian trạng thái của hệ Σ thì tồn tại một luật điều khiển

thuộc F làm cho p trở thành điểm cân bằng ổn định tiệm cận của hệ kín với
miền hấp dẫn chứa tập con Ω .
Chú ý: ổn định bán tồn cục khơng có nghĩa là ổn định tồn cục, có thể xem

một ví dụ trong báo cáo [15], phụ lục A
Trong luận văn này, ta giả sử một lớp các bộ điều khiển phản hồi trạng
thái u = F ξ là L (v, µ ) , ta tập trung vào lớp này vì hai lý do sau đây:
Thứ nhất: thiết kế bộ điều khiển ổn định tuyến tính dễ dàng tạo ra phần cứng
và cài đặt lên hệ thống
Thứ hai: lý do mang tính lý thuyết (bản chất) là ta sẽ phải xem xét kỹ hơn về
tính chất ổn định của các hệ truyền ngược. Và rõ ràng khả năng ổn định bán
toàn cục của hệ (1.1) phụ thuộc vào cấu trúc và tính phức tạp của hệ (1.1a)
hay đó chính là sự ảnh hưởng giữa tốc độ tăng của hàm phi tuyến f và mức độ
peaking của hệ tuyến tính (1.1b)


[12]

1.2. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản
R : trường số thực
R n : là véc tơ cột gồm n phần tử thuộc trường số thực
R n×m : là ma trận có kích thước n×m với các phần tử thuộc trường số thực.
n
Nếu x ∈ R thì x là chuẩn ecolit của x

Nếu M ∈ R n×m thì M là chuẩn ma trận bậc 1 của M
Bn (x, ~ ) là một miền kín trong R n với tâm là x và bán kính là ~
Nếu Ω thuộc không gian Rn là mở, và g là một ánh xạ vào không gian
véc tơ m chiều g : Ω → R m là khả vi tại mọi điểm z ∈ Ω thì Dg (z ) là ma trận
Jacobi của g tại điểm z, đây là một ma trận m×n phần tử.
Giả thiết có hai biến z 1 , z 2 với z 1 ∈ R n ; z 2 ∈ R n và n1 + n2 = n thì
1

2


Di g ( z ); i = 1,2 là ma trận Jacobi của g tại z tương ứng với biến z 1 , z 2 .

Định nghĩa 1.2:
Một hệ điều khiển thuộc lớp C1 là một hệ:
1
x& = f (x, v ), x ∈ R n , v ∈ R m sao cho ánh xạ f : R n × R m → R n thuộc lớp C
∆

Khi hệ không bị kích thích, nghĩa là v = 0 hay x& = f (x,0 ) và đặt g (x ) = f (x,0)
Định nghĩa 1.3:
Một hệ x& = f (x,0 ) được gọi là ổn định đầu vào không (Zero Input Stable
– “ZIS”) nếu có một điểm cân bằng tiệm cận tồn cục là gốc toạ độ f (0,0 ) .
Một hệ x& = f (x, v ) được gọi là ổn định đầu vào theo hàm mũ nếu có một
điểm cân bằng ổn định tiệm cận toàn cục theo hàm mũ là gốc toạ độ [16].


[13]

Định nghĩa 1.4:
Một đầu vào chấp nhận được (admissible input) là một hàm η (t ) ∈ R m với
0 ≤ t < ∞ bị chặn và đo được. Nếu η (t ) là đầu vào chấp nhận được, thì x f ,n (t , x )

được gọi là nghiệm của hệ x& = f (x,η (t )) với điều kiện đầu là x và u = η (t ) .
Định nghĩa 1.5:
Một hệ được gọi là bị chặn đầu vào, bị chặn trạng thái (Bounded Input
Bounded State – “BIBS”) nếu với mọi R > 0, K > 0 tồn tại một hằng số C > 0
sao cho với mọi đầu vào η : [0, ∞) → R m thỏa mãn:
η (t ) ≤ K với mọi t ≥ 0 và điều kiện đầu x(0) thỏa mãn x(0 ) ≤ R thì ta có
x(t ) ≤ C với mọi t ≥ 0 .


Hệ là ổn định BIBS nếu nó là BIBS và với mọi đầu vào tiến tới 0 khi
t → +∞ và với mọi điều kiện đầu x(0) sao cho nghiệm x (t ) → 0 khi t → +∞

Định nghĩa 1.6:
Một hệ thuộc dạng chuẩn (nomal form - NF) là một hệ có dạng:
x& = f ( x, ξ11 ,..., ξ v11 ,..., ξ 1µ ,..., ξ vµµ )

(1.4a)

ξ&11 = ξ 21 , ξ&21 = ξ 31 , L ξ&v11 −1 = ξ v11 , ξ v11 = u1
M
M
L
M
M
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
&
&
&
ξ1 = ξ 2 , ξ 2 = ξ 3 , L ξ vµ −1 = ξ vµ , ξ vµ = u µ

(1.4b)


Trong đó v1 ≥ v2 ≥ L ≥ vµ và x ∈ Rn.
Định nghĩa 1.7:
Động học khơng của hệ thuộc dạng chuẩn NF là hệ
x& = f (x,0)

(1.5)


[14]

Định nghĩa 1.8:
Một hệ thuộc dạng chuẩn (1.4) có nhiều khâu tích phân mà nối tiếp nhau
(Chain of Intergrators Normal Form - CINF) là một hệ NF sao cho f là một
hàm của x, ξ11 ,..., ξ1µ cũng như f không phụ thuộc vào ξ ij với j > 1
Hệ (1.4) thuộc dạng CINF có thể được biểu diễn bằng một hệ có µ đầu
vào: x& = f ( x, v µ )

(1.6)

trong đó vi là đầu ra của khâu tích phân thứ i

1.3. Điểm lại một số phương pháp và kết quả đã đạt được
Đối với trường hợp ổn định cục bộ cho hệ (1.1) đã xét, hệ (1.1) có hàm
f được định nghĩa trên một tập mở Ω ∈ R n +v chứa gốc tọa độ, (nhưng không
nhất thiết Ω bao kín cả khơng gian Rn+v) và giả thiết H3 được nới lỏng hơn,
điểm 0 ∈ R n là một điểm ổn định tiệm cận bán toàn cục của (1.2)
Mục đích là tìm ra luật điều khiển u = u (x, ξ ) làm cho hệ (1.1) có một điểm cân
bằng ổn định cục bộ là gốc tọa độ của khơng gian Rn+v. Luật điều khiển này
có dạng tuyến tính: u = F ξ và F được xác định sao cho A + BF là Hurwitz.
Đối với từng trường hợp ổn định tồn cục cho hệ (1.1) thì có hai hướng sau:

Hướng thứ nhất: thiết kế bộ điều khiển ổn định phi tuyến toàn cục bằng
cách sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ tuyến tính (1.1b)
Hướng thứ hai: thiết kế bộ điều khiển tuyến tính bán tồn cục bằng cách
sử dụng các tính chất động học phi tuyến của khâu phi tuyến f.
Các kết quả đối với phương pháp được thể hiện ở hướng thứ nhất cho
thấy rằng nếu (1.1) ở dạng CINF thì hệ sẽ có tính ổn định tồn cục [17].


[15]

Các kết quả của phương pháp được thể hiện ở hướng thứ hai được tổng
quát hóa bằng định lý VLVSIS, đây là tổ hợp kết quả nghiên cứu của [18],
[19].
Định lý 1.1:
Hệ (1.1) được gọi là ổn định toàn cục bằng bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tuyến tính u = F ξ nếu f là Lipchitz toàn cục và thỏa mãn ZIS theo hàm
mũ.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu đối với trường hợp phản hồi phi tuyến
của các tác giả [20],[21] Byrnes và Isdori đã chỉ ra rằng hệ (1.4) khơng những
ổn định cục bộ mà cịn có thể ổn định toàn cục, và tác giả cũng đưa ra phương
pháp để chuyển một hệ phi tuyến nhiều đầu ra trở thành hệ (1.4), bằng cách
tương tự cho hệ tuyến tính nếu giả thiết H3 thỏa mãn thì hệ (1.1) được gọi là
“pha cực tiểu”. Các tác giả cũng chứng minh rằng khi một hệ Σ thuộc dạng
chuẩn (1.4) và là pha cực tiểu thỏa mãn giả thiết (H1, H2, H3) thì hệ Σ được
gọi là ổn định bán toàn cục tại gốc toạ độ đối với một lớp L (v, µ ) . Trong tài
liệu khác[22], tác giả biểu diễn kết quả cho hệ (1.4) với µ = 1 và 0 là điểm ổn
định theo hàm mũ của động học khơng.
Theo kết quả này thì với mọi tập đóng Ω bị chặn của khơng gian trạng
thái thì ta có thể tìm được một bộ điều khiển sao cho hệ trở thành BIBO với
các tín hiệu vào thuộc tập Ω .

Trong [22] đã mở rộng các kết quả trong trường hợp điểm cân bằng p
được thay bởi một miền hấp dẫn tổng quát hơn.
Tuy nhiên gần đây người ta đã chứng minh được rằng các kết quả của
[23], [24] là khơng phù hợp vì các giả thiết ban đầu. Điển hình là cơng trình
của Sussman [25] đã chỉ ra rằng hệ (1.1) có thể thỏa mãn các điều kiện (H1,


[16]

H2, H3) và thậm chí cả các giả thiết khắt khe hơn trong [22] vẫn có thể khơng
điều khiển được hoàn toàn theo hàm mũ hoặc ổn định BIBO.
Chú ý: trong ví dụ ở tài liệu [25] có chỉ ra rằng hệ (1.1) có một số điểm p
được gọi là điểm kỳ dị, nếu với mọi quỹ đạo xuất phát từ p sẽ tiến tới ∞
trong một khoảng thời gian hữu hạn. Rõ ràng, nếu Ω chứa một điểm kỳ dị thì
khơng có bộ điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính hoặc phi tuyến nào có
thể ổn định hệ kín với miền hấp dẫn chứa gốc tọa độ và cũng khơng có một
bộ điều khiển phản hồi nào làm cho hệ trở thành BIBO với mọi tín hiệu vào
nằm trong Ω .
Ý tưởng làm cho hệ (1.1) có thể ổn định bán tồn cục bởi lớp L (v, µ )
xuất phát từ lý do sau: ln ln có khả năng chọn được một bộ điều khiển
phản hồi trạng thái u = F ξ sao cho với mọi giá trị riêng của A + BF nằm bên
trái của đường thẳng Re z = −a , trong đó a có thể lớn tùy ý. Do vậy với miền
tập Ω đã cho, có thể chọn F sao cho bộ điều khiển u làm cho (x, ξ ) ∈ Ω với
mọi điều kiện đầu (x(0 ); ξ (0 )) tiến rất nhanh về lân cận của đa tạp ξ = 0 ; khi đó
hệ sẽ đạt được động học khơng và bắt buộc x phải tiến về không.
Tuy vậy ý tưởng này thất bại là do hiện tượng peaking, tất nhiên bằng
cách lựa chon bộ điều khiển phản hồi trạng thái u = F ξ sao cho A + BF có các
điểm cực nằm bên trái với đường Re z = −a có thể đảm bảo rằng với mọi quỹ
đạo của hệ kín tuyến tính ξ& = ( A + BF )ξ thỏa mãn:


ξ (t ) ≤ κ ξ (0 ) e − at

với mọi

ξ (0 ) và t ≥ 0 .

Hệ số a có thể được chọn lớn tùy ý. Tuy nhiên hệ số κ phụ thuộc vào F
Hiện tượng peaking nói một cách tổng quát là ta không thể chọn F sao
cho a đủ lớn mà không làm cho K lớn theo.


[17]

Trong thực tế, nếu thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính F
sao cho tất cả các giá trị riêng của ma trận A + BF nằm bên trái đường
Re z = −a . Khi đó κ (a ) tăng theo hàm a s khi a → ∞ , với κ (a ) là giá trị cận

dưới nhỏ nhất của κ (a ) bởi bộ điều khiển phản hồi trạng thái F trên. Điều này
có nghĩa là thực tế mặc dù ξ sẽ → 0 theo hàm mũ, tuy nhiên nó vẫn có thể tăng
giá trị rất lớn trước khi giảm về không.
Hiện tượng peaking sẽ được phân tích chi tiết cụ thể ở mục 3.2, 3 phần
tiếp theo đưa ra một số công cụ cho phép đánh giá sự ảnh hưởng giữa tốc độ
giảm về không của các biến trạng thái theo hàm e a đối với sự ổn định của hệ
truyền ngược (1.1).


[18]

Chương 2. CÁC ĐỊNH LÝ GẦN ĐÚNG VÀ ĐỊNH LÝ
ỔN ĐỊNH CƠ BẢN

2.1. Định lý ổn định
Trong phần này, nghiên cứu khâu phi tuyến có dạng:
x& = f ( x, v),

x ∈ Rn , v ∈ Rm

(2.1)

Khâu phi tuyến này có ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của hệ Σ ở
dạng (1.1)
Giả sử, khâu phi tuyến này thỏa mãn một số giả thiết nào đó thì phải đảm
bảo tính ổn định BIBS. Có nghĩa là tồn tại bộ điều khiển ổn định phản hồi
tuyến tính u = F ξ sẽ làm cho hệ kín
 x& = f (x, ξ ),
&
ξ = ( A + BF )ξ

(*)

Có tất cả các quỹ đạo trạng thái tiến tới không khi t → +∞ . Mặt khác nếu
như tồn tại quỹ đạo hội tụ đều tới 0 thì nó cũng đảm bảo tính ổn định tồn cục
của hệ kín (*). Định lý của Sontag’s cũng phát biểu rằng nếu (2.1) là BIBS và
ZIS thì (2.1) sẽ ổn định BIBS, do vậy khó khăn ở chỗ là làm sao cho (2.1) là
BIBS, ở đây sẽ chỉ ra rằng, đối với hệ (2.1) thỏa mãn BIBS và ZIS thì sẽ tồn
tại một tín hiệu đầu vào v làm cho biến trạng thái x tiến tới 0 với một tốc độ
suy giảm theo hàm mũ với một tốc độ nào đó
Giả thiết véc tơ K = (K1 ,..., K m ) với Ki; i=1,…, m là các số thực dương;
a >0.

Giả sử I (m, K , a ) biểu diễn một tập tất cả các hàm đo được thuộc Rm

η (⋅) = (η1 (⋅),...,η m (⋅)) trong nửa đoạn [0, ∞) sao cho thỏa mãn:


[19]
η i (t ) ≤ K i e − at với t ∈ [0, ∞), i = 1,..., m

(2.2)

Giả thiết x(0) ≤ R ta có định nghĩa về a được gọi là “phù hợp” đối với
tập (R,K) như sau:
Định nghĩa 2.1:
G: tất cả các nghiệm x(t) của hệ
x& = f ( x,η (t ))

(2.3)

Tương ứng với một đầu vào η ∈ I (m, K , a ) với điều kiện đầu x(0) thỏa
mãn x(0) ≤ R , sao cho x(t ) → 0 khi t → 0 . Thì a được gọi là “phù hợp” với
cặp (R,K).
Khi đó ta có thể thấy rằng trạng thái x của hệ sẽ hội tụ đều về 0 tương
ứng với mọi điều kiện đầu x(0) ∈ {x : x ≤ R} và η ∈ I (m, K , a )
Vậy ta có thể thấy rằng với mọi cặp (R, K) bất kỳ ta có thể tìm ra được 1
số a phù hợp theo định nghĩa 2.1 trên. Định lý sau của Sontag sẽ khẳng định
sự tồn tại số a này dựa trên hàm Lyapunov. Phần chứng minh của định lý này
được cho ở phụ lục A. Tiếp theo ta đưa một định lý để xác định a một cách
gần đúng.
Định lý 2.1:
Cho hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện ZIS, với mọi R > 0 và K = (K1 ,..., K m ) và
Ki là số thực dương chặt ( K i > 0, ∀i = 1, m ) thì tồn tại một số a > 0 được gọi là
phù hợp với cặp (R,K), quay trở lại với vấn đề nghiên cứu tính ổn định của hệ

(1.1), đặt m = v và v = ξ , ta thấy hệ (1.1) chính là hai khâu (1.1b) và khâu phi
tuyến (2.1) mắc nối tiếp nhau. Theo định lý 2.1 ta có:
Giả sử Ω R,K là tập thuộc không gian trạng thái của hệ (1.1), tương ứng số R,K


[20]

{

Ω R , K = ( x, ξ ) : x ∈ R n , ξ ∈ R v , x ≤ R, ξ1 ≤ K 1 ,..., ξ v ≤ K v

}

(2.4)

Thì sẽ tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái u = F ξ cho hệ (1.1)
sao cho với mọi quỹ đạo của hệ (1.1) xuất phát từ Ω R,K sẽ được kéo về lân cận
0 với một miền hấp dẫn nào đó có thể.
Hay có nghĩa là với một số a > 0 là phù hợp với cặp (R,K) thì sẽ có một
bộ điều khiển ổn định phản hồi trạng thái u = F ξ sao cho với mọi giá trị riêng
của ma trận AF = A + BF làm cho ξ → lân cận 0 một cách rất nhanh.
FE: với mọi giá trị riêng λ của AF thỏa mãn Re λ < −a thì
e tAF ≤ κe − at với mọi t ≥ 0, κ > 0

(2.5)

Trong thực tế điều này có nghĩa là tồn tại 1 lân cận N của gốc tọa độ R v
sao cho
N: Nếu ξˆ ∈ N, ξ (t ) = e tA ξˆ với ξ (t ) = (ξ1 (t ),..., ξ v (t )) thỏa mãn ξ i (t ) ≤ K i e − at , với
F


t ≥ 0, i = 1,..., v

(ví dụ, ta có thể chọn N là một miền hấp dẫn có bán kính là
κ −1 min(K1 , K 2 ,..., K v ) và tâm tại gốc tọa độ)

Giả sử Ω R (N)là một miền biểu diễn không gian trạng thái

{(x, y ) :

x ≤ R, ξ ∈ a} ta có định lý sau:

Định lý 2.2:
Giả sử hệ (1.1) thỏa mãn các tính chất H1, H2, H3 với a > 0 là phù hợp
với (R,K) đã cho, F, N thỏa mãn FE và N thì hệ kín Σ F gồm (1.1) và bộ điều
khiển phản hồi trạng thái ổn định tuyến tính u = F ξ có điểm cân bằng ổn định
bán tồn cục tai gốc tọa độ với miền hấp dẫn chứa gốc tọa độ và tập Ω R (N ) .


[21]

Chứng minh: ta thấy nếu x(t ), ξ (t ) → 0 khi t → ∞ , hơn nữa nếu với mọi điều
kiện đầu x(0 ), ξ (0 ) thuộc tập Ω R (N) thì ξ (t ) sẽ thuộc tập I (v, K , a ) . Khi đó theo
điều kiện G thì x(t ) → 0 khi t → +∞
Do vậy với mọi quỹ đạo trạng thái của Σ F xuất phát Ω R (N) sẽ tiến tới 0.
Tiếp theo sẽ chứng minh rằng hệ Σ F ổn định tại gốc tọa độ
Từ điều kiện G cho thấy các điều kiện đâu có thể là bất kỳ trong miền
Ω R (N), thì x(t ) và ξ (t ) → ∞ khi t → ∞ là hội tụ đều. Do đó nếu ta chọn một

lân cận ϑ của gốc tọa độ R n × R v , khi đó sẽ xác định được 1 giá trị T sao cho


(x(t ), ξ (t )) ∈ ϑ với

t ≥ T đối với mọi quỹ đạo trạng thái của Σ F thỏa mãn điều

kiện đầu (x(0 ), ξ (0 )) ∈ Ω R (N).
Đặt Φ = Φ (t, w) là một miền chứa w với w ∈ R n × R v , thì mọi quỹ đạo trạng
thái của Σ F sẽ xuyên qua w tại t = 0.
Vì ánh xạ w → Φ (t , w) là một vi phân trên đường C1, thì ảnh của Ω R (N)
là w chứa ánh xạ này sẽ chứa một lân cận ϑ ' của 0.
Nếu w'∈ϑ ' thì w' → Φ (T , w)

với w ∈ Ω R (N). Bởi vậy nếu t ≥ 0 thì

Φ (t , : .w') = Φ (t + T , w ) ∈ ϑ , cho nên mọi quỹ đạo của Σ F xuất phát tại một điểm

trong ϑ ' bị chứa hoàn toàn trong ϑ . Vì ϑ là một lân cận tùy ý của gốc tọa độ
→ hệ (1) ổn định Lyapunov tại gốc.


[22]

2.2. Các định lý gần đúng và ổn định
Để có thể xác định được hệ số a của định lý 2.1 ta đưa ra một định lý gọi
là định lý gần đúng và khẳng định rằng mọi nghiệm của (2.3) có thể được lấy
gần đúng bằng nghiệm của phương trình sau:
x& = g (x )

(2.6)


Với điều kiện đầu η thỏa mãn bị chặn theo một hàm mũ xấp xỉ nào đó.
Ta xét trong trường hợp đơn giản m = n, có đầu vào là v như sau:
x& = g ( x, t ) + v, x ∈ R n , v ∈ R n , t ≥ 0

(2.7)

Khi các kết quả gần đúng được chứng minh cho trường hợp này, thì các
kết quả đó sẽ đươc mở rộng sang cho các hệ truyền ngược.
Ban đầu đối với hệ (2.7) giả sử cho một hằng số C nào đó thỏa mãn hai
iu kin:
ã C1: g : R n ì [o, ) → R n liên tục, thuộc lớp C1 ∀x(t ) ;
• C2: Dx g (x, t ) ≤ C với mọi x,t.
Nếu η (t ) là hàm có giá trị đo được ∈ R n trên khoảng [0, ∞) và x ∈ R n
Định nghĩa x g .η (t , x ) là nghiệm của x& (t ) = g ( x(t ), t ) + η (t ) tại thời điểm t sao
cho x(0 ) = x . Cũng như vậy x g biểu diễn cho x g , 0 .
Chú ý rằng giả thiết C2 nghĩa là x g ,η (t , x ) được định nghĩa cho ∀ (x, t ) và t ≥ 0
Định nghĩa gần đúng dưới đây được phát biểu như sau, nếu η thỏa mãn
η (t ) ≤ Ke − at , với t ≥ 0

(2.8)

Thì với mọi quỹ đạo x g ,η (t , x ) được xấp xỉ bởi các quỹ đạo tương ứng với
đầu vào bằng 0 và điều kiện đầu x ∗


[23]
x g ,η (t , x ) − x g (t , x * ) ≤ θe − at với t ≥ 0

(2.9)


Với a là đủ lớn. Ta thấy rằng a phụ thuộc vào K, θ , C điều này được
chứng minh trong phụ lục B.
Định lý 2.3:
Giả sử C1 và C2 thỏa mãn, với K > 0, θ > 0 bất kỳ, chọn a ∈ R sao cho
a > C + K / θ . Nếu, η (t ) là một hàm có giá trị trên R n đo được sao cho thỏa mãn

điều kiện 5.3 thì với mọi x ∈ R n sẽ tồn tại x ∗ ∈ R n sao cho thỏa mãn 5.4. Đến
đây ta sẽ thay thế giả thiết C1 bằng các hằng số C(R), sao cho ∀ R > 0 thỏa
mãn
• C3: Dx g (x, t ) ≤ C (R ) ∀ t và ∀ x sao cho x ≤ R
Trong trường hợp này ta vẫn sử dụng các định nghĩa trước x g .η (t , x ) ,
x g (t , x ) , ngoại trừ ánh xạ x không cần thiết định nghĩa cho mọi x, t .
g

Giả sử D(g) xác định một miền nào đó của ánh xạ xg, có nghĩa là x g (t , x ) được
định nghĩa có các cặp (t, x ) .
Xét hệ khơng bị kích thích (2.7);
x& = g ( x, t ), x ∈ R n , t ≥ 0

(2.10)

Hệ này là BICBS (Bounded Initial Condition Bounded Stable) nghĩa là
∀ hằng số R > 0 thì tồn tại một hằng số S sao cho x g (t , x ) ≤ S với mọi

(t, x ) ∈ D(g),

t ≥ 0 và x ≤ R

Điều này có được nhờ áp dụng các định lý liên tục chuẩn cho việc giải
các phương trình vi phân thường, có nghĩa là nếu g là BICBS, thì hệ 5.2

khơng có hiện tượng finite - escape - time hay có nghĩa là mọi quỹ đạo của g
được xác định với mọi t ≥ 0 .


[24]

Định nghĩa hàm quá điều chỉnh ρ g : (0, ∞) → (0, ∞] như sau:
 x g (t , x )

ρ ( R) = sup 
: x ≤ R,0 ≤ t < ∞, (t , x ) ∈ D( g )
R


g

(2.11)

Chú ý rằng ρ g (R ) ≥ 1 với mọi R, và ρ g (R ) có thể → + ∞ thì phương trình
vi phân BICBS (2.10) có chính xác một hàm ρ g (R ) có giá trị hữu hạn ∀ R > 0.
Chứng minh phát biểu này ở phần phụ lục C.
Định lý 2.4:
Giả thiết rằng C1 và C3 thỏa mãn, g là BICBS, K > 0, θ > 0, R > 0 và
Rˆ = θ + ( R + θ ) ρ g ( R + θ )

(2.12)

Với ρ g (R ) là hàm quá điều chỉnh của g. Giả sử rằng a > C (Rˆ ) + K / θ thì,
nếu η (t ) là hàm có giá trị trong R n đo được sao cho (2.8) thỏa mãn, sẽ tồn tại
một điểm x ∗ ∈ R n sao cho bất đẳng thức

x g ,η (t , x ) − x g (t , x * ) ≤ θe − at

(2.13)

Thỏa mãn với mọi t ≥ 0 .
Có thể áp dụng định lý gần đúng theo một số cách khác nhau để làm cho
hệ (1.1) ổn định bán toàn cục, sau đây là cách đơn giản nhất, ta viết:
f ( x, v) = f ( x, v) − f ( x,0)

(2.14)

Và lựa chọn các hằng số R, K sao cho Ci (R, K ) thỏa mãn:
m

f ( x, v ) ≤ ∑ C i ( R , K ) v i
i =1

ví dụ, nếu ta định nghĩa

với mọi (x, v ) ∈ Ω R , K


[25]
 f ( x, v)

C∗ ( R, K ) = sup
: ( x, v ) ∈ Ω R , K 
 v



(2.15)

Hay f thuộc lớp C1 hay có nghĩa là C∗ (R, K ) là hữu hạn đối với ∀ (R,K).
Thì f (x, v ) ≤ C.(R, K ) v với (x, v ) ∈ Ω R.K và v ≤ ∑ vi cho nên ta có thể thay thế
tích các Ci (R, K ) với i = 1,..., v bằng C∗ (R, K )
Có thể lựa chọn Ci (R, K ) , i ≥ 1 bằng cách khai triển hàm
m

f ( x, v ) = ∑ vi f i ( x , v )

(2.16)

i =1

Trong đó f1 ,..., f m là các hàm liên tục có giá trị đo được thuộc R n trên
miền khơng gian R n × R m ta thấy fi không là một hàm duy nhất (ví dụ, nếu n =
1, p = 2 và f (x, v1 , v 2 ) = v1v 2 ta có thể đặt f1 (x, v ) = v1

và f 2 (x, v ) = 0 hoặc

f1 ( x, v ) = 0 và f1 (x, v ) = v 2 . Ta cũng có thể lựa chọn fi bằng cách như sau:

∂f
( a,σv) dσ
∂vi
0

1

f i ( x, v ) = ∫


(2.17)

Chú ý: để (2.16) thỏa mãn thì fi phải được xác định bằng (2.17) điều này cho
thấy khai triển (2.16) là luôn tồn tại. Tuy nhiên, người ta mong muốn thực
hiện cách khai triển nào đó thuận tiện nhất chứ không phụ thuộc vào một khai
triển cụ thể. Từ đó dẫn đến xem xét các khai triển tổng quát hơn cho các dạng
f ( x, v ) = g ( x, v ) + f ( x, v ) trong đó f (x, v ) = 0 , nhưng g(x) được thay bằng g (x, v )

và g (x, v ) là phụ thuộc v.
Từ khai triển (2.16), ta có thể thấy rằng
C i ( R , K ) = sup { f i ( x , v ) : ( x , v ) ∈ Ω R , K }

Giới hạn tốc độ tăng của f(x,0)được xác định là

(2.18)