Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

VŨ BẮC NAM

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC
KẾT CẤU CẦU TREO DÂY VÕNG
CHUYÊN NGÀNH : CẦU TUYNEN VÀ CÁC CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG KHÁC
TRÊN ĐƯỜNG Ơ TƠ VÀ ĐƯỜNG SẮT
MÃ SỐ NGHÀNH : 2.15.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2006


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS.TS.ĐỖ KIẾN QUỐC

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS.TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại :
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp. HCM, ngày . . . . tháng . . . . năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên

: VŨ BẮC NAM

Ngày, tháng, năm sinh : 29/03/1981
Chuyên ngành

Phái: Nam
Nơi sinh:Tp.Hồ Chí Minh

: Cầu Tuynen và Các Cơng Trình Xây Dựng Khác
Trên Đường Ơ Tơ và Đường Sắt

MSHV

: 00104021

I- TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU CẦU TREO DÂY VÕNG

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
1. Nhiệm vụ :
a. Phân tích dao động uốn tự do trong kết cấu cầu treo dây võng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn
b. Lập trình tính tốn tần số và mode dao động kết cấu cầu treo dây võng
c. Kết luận
2. Nội dung luận văn :
Chương 1 : Tình hình nghiên cứu động lực học cầu treo dây võng - Nhiệm vụ của
luận văn
Chương 2 : Cơ sở lý thuyết tính tốn dao động uốn cầu treo dây võng
Chương 3 : Phương pháp phần tử hữu hạn tính tốn dao động uốn cầu treo dây võng
Chương 4 : Ví dụ minh họa
Tóm tắt và kết luận
Phụ lục

: Nội dung chương trình tính tốn


III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ (Ngày bắt đầu thực hiện LV ghi trong Quyết định giao
đề tài): .................................................................................................................................
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: .......................................................................
V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chun ngành thơng qua.


Ngày
TRƯỞNG PHỊNG ĐT – SĐH

tháng

năm

TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH


i

LỜI NÓI ĐẦU
Đề tài luận văn này là kết quả sau hai năm học tại trường Đại Học Bách
Khoa thành phố Hồ Chí Minh.
Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Chu Quốc Thắng, người đã hướng dẫn
tận tình và cho tôi những lời khuyên quý giá trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này .
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo
bộ môn Cầu - Đường nói riêng và khoa Kỹ Thuật Xây Dựng nói chung trong quá
trình học tập tại trường.
Tôi chân thành cảm ơn những người đã khuyến khích và động viên tôi trong
suốt quá trình học tập tại trường.


ii

TÓM TẮT
Một phương pháp phân tích dao động uốn tự do của kết cấu cầu treo dây

võng đã được trình bày dựa trên cơ sở lý thuyết tuyến tính và phương pháp phần
tử hữu hạn. Phương pháp này gồm hai bước như sau :
1. Xác định thế năng và động năng từng bộ phận trong kết cấu cầu treo dây
võng từ đó thiết lập phương trình chuyển động theo nguyên lý Hamilton
2. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nhằm mục đích :
a. Rời rạc hoá kết cấu thành một số hữu hạn phần tử
b. Chọn mô hình chuyển vị xấp xỉ trạng thái làm việc thực của kết cấu
c. Thiết lập ma trận độ cứng và các thuộc tính quán tính phần tử, sau đó
ghép nối các phần tử
d. Thiết lập dạng ma trận của phương trình chuyển động và giải bài toán trị
riêng
Ma trận độ cứng và các thuộc tính quán tính được xác định dựa vào các biểu
thức thế năng biến dạng và động năng của các phần tử sau đó ghép nối trên cơ
sở mô hình tương thích. Những ví dụ số cụ thể sẽ được thể hiện để minh hoạ việc
áp dụng và hiệu quả của việc phân tích và để nghiên cứu đặc trưng dao động
của cầu treo dây võng. Ta sử dụng máy tính để thực hiện một cách đơn giản,
nhanh chóng và chính xác cho việc giải những phương trình tần số siêu việt tìm
ra tần số tự nhiên. Mục đích tính ra những mode và tần số dao động của caàu.


iii

ABSTRACT
A method of dynamic analysis for vertical free vibrations of suspension
bridges has been developed that is base on linearized theory and the finite –
element approach. The method involves two distinct steps
1.

Specification of the potential and kinetic energies of the vibrating


members of the continuous structure, leading to derivation of the equaltions of
motion by Hamilton’s Principal
2.

Use of the finite – element technical to

a. Discrectize the structure into equivalent systems of finite – element
b. Select the displacement model most closely approximating the real case
c. Derive element and assemblage stiffness and inertial propperties
d. Form the matrix equations of motion and the resulting eigenvalue
problems
The stiffness and inertial properties are evaluated by expressing the potential
and kinetic energies of the element (of the assemblage) in terms of nodal
displacements. Detail numerial examples are presented to illustrate the
applicability and effectiveness of the analysis and to investigate the dynamic
characteristic of suspension bidges with widely different properties. This metod
eliminates the need to solve transcendental frequency equations, simplifies the
determination of the energy stored in different members of the bridge, and
represents a simple, fast and accurate tool for caculating the natural frequencies
and modes of vibration by means of a digital computer. The method is illustrated
by calculating the modes and frequencies of a bridge


iv

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………………………………………………………

i


TÓM TẮT ………………………………………………………………………………………………………………………

ii

CHƯƠNG 1 : TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CẦU
TREO DÂY VÕNG – NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN ……………………………….

1

1.1

Giới thiệu…………………………………………………………………………………………………………….

1

1.2

Nhiệm vụ của luận văn………………………………………………………………………………….

5

CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN
CẦU TREO DÂY VÕNG……………………………………………………………………………………… …

7

Mô tả sơ bộ và các giả thiết cơ bản………………………………………………………….

7


2.1.1 Mô tả bộ phận kết cấu cầu treo dây võng………………………………………………

7

2.1

2.1.2 Hệ

toạ

độ

quy

ước…………………………………………………………………………………………….

10

2.1.3 Các giả thiết tính toán đơn giản hoá…………………………………………………………

15

2.2

Phân tích kết cấu cầu treo dây võng không xét đến chuyển vị

của tháp……………………………………………………………………………………………………………………………

15


2.2.1 Thế năng biến dạng của cáp……………………………………………………………………….

16

2.2.2 Thế năng biến dạng của dầm cứng……………………………………………………………

22

2.2.3 Động

năng

của

hệ…………………………………………………………………………………………….
2.2.4 Phép

toán

biến

phân

của

phương

24
trình


chuyển

động………………………….
2.3

25

Ảnh hưởng chuyển vị của tháp đến dao động uốn tự

do…………………..

28


v

2.3.1 Chính xác hoá năng lượng biến dạng của cáp…………………………………….

28

2.3.2 Thế năng biến dạng được hấp thụ bởi tháp………………………………………….

32

2.3.3 Phương trình chuyển động của tháp………………………………………………………….

33

CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN

DAO

ĐỘNG

UỐN

CẦU

TREO

DÂY

VÕNG
35

…………………………………………………
3.1

Tính toán dao động uốn không xét đến chuyển vị của tháp……………

3.1.1 Mô

hình

hoá

kết

cấu


và

mô

hình

35

chuyển

vị…………………………………………..

35

3.1.2 Xác định ma trận độ cứng của kết cấu…………………………………………………….

39

3.1.3 Xác định ma trận khối lượng của kết cấu……………………………………………….

43

3.1.4 Phép toán biến phân của phương trình chuyển vị dưới dạng ma
trận…………………………………………………………………………………………………………………………………….

44

3.1.5 Phép thu gọn Guyan…………………………………………………………………………………………

47


3.1.6 Phân tích hình dạng mode của dao động…………………………………………………

49

3.1.7 Điều kiện trực giao………………………………………………………………………………………….

50

3.2

Tính toán dao động uốn có xét đến chuyển vị của tháp……………………

51

3.2.1 Hiệu chỉnh lại ma trận độ cứng của kết cấu…………………………………………

51

3.2.2 Hiệu

chỉnh

phương

trình

dao

động


dưới

dạng

ma

trận………………………
3.3

Chương

53
trình

tính

toán …………………………………………………………………………………….

56

CHƯƠNG 4 : VÍ DỤ MINH HOẠ…………………………………………………………………………

59

4.1

Bài toán dao động uốn tự do không xét đến biến dạng của tháp….

59


4.1.1 Cầu treo dây võng một nhịp…………………………………………………………………………

59

4.1.2 Cầu treo dây võng ba nhịp hai đầu khớp…………………………………………………

65


vi

4.1.3 Cầu treo dây võng liên tục ba nhịp……………………………………………………………

70

4.2

Bài toán dao động uốn tự do có xét đến biến dạng của tháp………….

73

TÓM TẮT VÀ KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………….

81

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………………………………………

83


PHỤ LỤC TÍNH TOÁN……………………………………………………………………………………………

86


1

CHƯƠNG 1
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CẦU TREO
DÂY VÕNG - NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN
1.1 GIỚI THIỆU
Thảm hoạ sụp đổ của cầu Tacoma Narrows vào năm 1940 đã ảnh hưởng rất
lớn đến việc nghiên cứu cầu treo dây võng mà tâm điểm liên quan đến bài toán
động lực học. Vào thời gian trước khi xảy ra sự cố trên, lý thuyết tính toán cầu
treo dây võng mới được phát triển dần dần từ thế kỷ thứ 19 đến nửa đầu thế kỷ
20 kéo theo việc xây dựng những kết cấu cầu mỏng manh hơn và kinh tế hơn.
Cầu Tacoma Narrows gồm 3 nhịp, nhịp giữa dài 853m rộng 11.9m, chiều cao
dầm cứng 2.44 m, chỉ 1 vài tháng sau khi xây dựng xong nó đã bị sập đổ như là 1
kết quả của dao động vượt quá mức ở vận tốc gió vào khoảng 18.7m/s

Hình 1 : Dao động uốn xoắn tại nhịp giữa trước khi sụp đổ [16]
Sau sự cố cầu Tahoma đã gây chấn động cho các nhà khoa học trên thế giới,
họ đã tập trung nghiên cứu tìm hiểu bài toán dao động của cầu treo và đề xuất
các biện pháp khắc phục. Trong thời gian này có nhiều nghiên cứu thuộc tính
dao động của cầu treo, và kết quả là nó đã cho thấy dao động với biên độ lớn


2

không chỉ do gió gây ra mà còn do những tải trọng động khác như hoạt tải xe,

động đất ..v..v.
Sử dụng các lý thuyết về ổn định khí động và những nghiên cứu trong ngành
hàng không để tiếp cận bài toán dao động cầu treo. Những nghiên cứu sử dụng
phương pháp này như là nghiên cứu của Farquharson, Von Karman, Frazer,
Scruton, Steinman and Selperg và những lý thuyết của Bleich [10], và những
người khác nữa. Do đó vấn đề ổn định khí động của kết cấu cầu treo là trung
tâm trong mọi nghiên cứu của các kỹ sư thiết kế cầu cũng như các nhà khoa học
và đã có rất nhiều nghiên cứu đề cập đến chủ đề này
Kiến thức về dao động tự nhiên và các mode có thể có của cầu treo rất cần
thiết cho việc nghiên cứu phản ứng của kết cấu đối với lực động, hoạt tải và lực
động đất. Những nghiên cứu ban đầu liên quan đến dao động tự do và những
mode dao động, đến những dao động mạnh, cô lập cáp treo trong mặt phẳng
đứng. Lý thuyết nghiên cứu đầu tiên của là của Poisson [16] vào năm 1820, và
Rohrs [16] vào năm 1851. Trong lý thuyết này, Rohrs khảo sát những mode đối
xứng của cáp theo phương ngang và xem như cáp làm việc không giãn, và cho ra
kết quả 2 mode dao động tự nhiên đầu tiên. Cũng với bài toán như trên nhưng
khảo sát một cách tổng quát hơn, Routh [16] năm 1868 cho lời giải chính xác
hơn với dao động đối xứng theo phương đứng (kết hợp với chuyển động dọc cầu)
của cáp treo không đồng nhất theo đường cong cycloid. Giống như Rohrs, Routh
cũng thừa nhận cáp làm việc không giãn. Ông chỉ ra rằng kết quả lời giải đối với
cáp treo đồng nhất có dạng cycloid sẽ giảm khi tỷ số của đường tên của cáp và
chiều dài nhịp nhỏ.
Thời gian sau đó những chủ đề nghiên cứu này tạm lắng xuống cho đến khi
xảy ra thảm hoạ tại cầu Tahoma những nghiên cứu về động lực học của cầu treo
lại phát triển mạnh. Năm 1941 Rannie và Von Karman [10] thiết lập lời giải của


3

cáp treo không giãn của cầu treo ba nhịp. Năm 1945, Vicent đã phát triển tiếp

phân tích của Rainie và Von Karman tính đến sự biến dạng đàn hồi của cáp
trong tính toán dao động theo phương đứng của cầu treo ba nhịp đối xứng. Tuy
nhiên ông đã không khảo sát kỹ bản chất của lời giải đạt được, vì vậy ông không
hiểu được những hiệu ứng cơ bản có thể xuất hiện trong cáp đàn hồi.
Từ năm 1941 đến năm 1943 Steinman [10] đã xây dựng một số các công thức
toán học đơn giản để tính toán tần số và mode của cả dao động theo phương
đứng và theo phương ngang trong cầu treo. Những kết quả này đã được kiểm
chứng tính hợp lý và chính xác một cách độc lập bởi những nghiên cứu phức tạp
về mặt toán học
Một lý thuyết bán kinh nghiệm tính tần số tự do của mode đầu tiên trong
phương đứng của cầu treo cáp rải đều được đề xuất bởi Pugsley [10] vào năm
1949. Pugsley đã chứng minh việc áp dụng những kết quả của ông ấy bằng việc
thử nghiệm trên cáp với tỷ số độ võng và chiều dài nhịp khoảng từ 1:10 đến tối
đa là 1:4.
Sau đó hàng loạt các phân tích đã phát triển phương pháp tính tần số và
mode dao động thẳng đứng cũng như làø dao động xoắn của cầu treo có xét và
không xét đến biến dạng giãn dài của cáp. Phương pháp tính thông dụng nhất
được trình bày bởi Bleich [30]. Ông phân tích dao động tự do bằng phương pháp
chính xác (lời giải của phương trình vi phân chuyển động tuyến tính bậc bốn), và
ông đã áp dụng các phương pháp này cho những ví dụ khác nhau. Một phương
phương pháp xấp xỉ gần đúng, trên cơ sở phương pháp của Rayleigh-Ritz, biểu
diễn biến dạng của kết cấu dưới dạng chuỗi Fourier đã được Bleich phát triển,
mặc dù chỉ áp dụng cho một vài mode đầu tiên bởi vì tính phức tạp và bậc siêu
tónh quá nhiều của kết cấu cầu treo.


4

Năm 1952, Pugsley đã trình bày vấn đề độ cứng của cáp làm việc không giãn
trong tính toán công do trọng lực gây ra trong cáp khi cáp chịu tải tác dụng của

tải trọng . Ông cũng đã nghiên cứu mối quan hệ giữa năng lượng này với “Lý
thuyết biến dạng tuyến tính” chuẩn đang được áp dụng rộng rãi vào lúc đó.
Trong lý thuyết này cho rằng độ cứng bản thân (gravity stiffness) của cáp thì
không đáng kể, điều này đã được chứng minh là dẫn đến kết quả sai khác khi
trong tính toán bỏ qua biến dạng giãn dài của cáp
Cho đến những năm sáu mươi, những phương pháp tính toán tần số và mode
dao động của cầu treo đã được phát triển tại trường đại học Washington do
Smith và Vicent [10]. Những tính toán này được thiết lập từ phương trình vi phân
chuyển động uốn, Thật đáng tiếc quan niệm cáp làm việc không giãn đã bị chỉ
trích rất nhiều trong nghiên cứu của Pugsley vẫn được áp dụng trong những
phương pháp này.
Như đã đề cập ở phần trên, những nghiên cứu thời gian gần đây, các bài toán
về phân tích dao động của cầu treo khó có thể giải một cách hữu hiệu bằng
phương pháp phân tích, nhưng nhờ có sự phát triển của máy tính điện tử kết hợp
với các phương pháp số khác nhau giúp cho các phân tích tăng đáng kể độ chính
xác của lời giải. Do đó với sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử, nó có
khả năng giải những bài toán cực kỳ phức tạp
Trong những năm đầu của thập niên 60, Konishi, Yamada và Takaoka [16]
bắt đầu phát triển những nghiên cứu về dao động của cầu treo và thiết kế sức
kháng chống động đất cho cầu treo. Họ mô hình hoá cầu treo ba nhịp bằng hệ
thống các khối lượng và các lò xo, họ sử dụng lý thuyết biến dạng tuyến tính để
tính toán chu kỳ và mode dao động tự do theo phương đứng. Trong nghiên cứu
này dao động của tháp cũng như của dầm cứng và cáp đã được xem xét.


5

Cuối những năm 60, Tezcan và Cherry [16] đã có những nghiên cứu tương tự
liên quan đến phân tích động đất của cầu treo, trong những nghiên cứu này ảnh
hưởng độ võng lớn đã được xét đến. Nghiên cứu của họ đề cập đến một phương

pháp lặp để phân tích phi tuyến tónh của cầu treo thông qua các ma trận độ cứng
tiếp tuyến (tangent stiffness matrices). Khái niệm ma trận này sẽ giải thích
phương trình tần số cơ bản dao động tự do của hệ thống kết cấu. Cầu được mô
hình thành hệ khối lượng thu gọn không gian chịu tác dụng động đất theo ba
phương trực giao tạo ra dao động: ngang, đứng và xoắn. Cùng với phân tích phi
tuyến dao động của cầu treo, nghiên cứu này đã đặt nền tảng cho những nghiên
cứu phi tuyến cầu treo sau này.
1.2 NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN
Phần nghiên cứu trong luận văn này nhằm phát triển phương pháp phân tích
dao động của cầu treo bằng máy tính điện tử. Phương pháp này với ý đồ xác
định đặc điểm tần số dao động tự do, những mode dao động theo phương đứng.
Phương pháp này dựa trên cơ sở “Lý thuyết biến dạng tuyến tính” và phương
pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp này kết hợp và đơn giản hoá những đặc
điểm riêng biệt, nó gồm có hai bước như sau:
1.

Định rõ sự khác nhau của thế năng biến dạng và động năng dao động

theo phương đứng của các bộ phận trong kết cấu liên tục, từ đó thiết lập phương
trình chuyển động
2.

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nhằm mục đích

a. Rời rạc hoá kết cấu thành hệ thống hữu hạn các phần tử
b. Lựa chọn mô hình chuyển vị xấp xỉ sự làm việc của kết cấu thực
c. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử sao đó tập hợp thành ma trận độ cứng
tổng thể cũng như các thuộc tính quán tính



6

d. Cuối cùng xây dựng phương trình chuyển động dưới dạng ma trận và giải
bài toán cho kết quả các trị riêng
Việc xác định độ cứng và các thuộc tính quán tính của các phần tử và kết cấu
đã được mô hình hoá dựa trên cơ sở các biểu thức thế năng biến dạng toàn phần
và động năng của các phần tử (hoặc của kết cấu) từ chuyển vị nút. Từ biểu thức
xác định này cho ta ma trận độ cứng và ma trận khối lượng . Sau đó sử dụng
nguyên lý Hamilton để thiết lập dạng ma trận của phương trình chuyển động.
Phương pháp phần tử hữu hạn này cung cấp một hệ thống các bậc tự do từ đó ma
trận các biểu thức đại số có thể được biểu diễn. Nó đã chứng minh được tính
thuận tiện trong việc tách riêng nghiên cứu của những mode đối xứng từ những
mode không đối xứng.
Cuối cùng những ví dụ số dùng để minh hoạ cho việc áp dụng và hiệu quả
của phân tích và nghiên cứu đặc tính dao động của nhiều loại cầu treo với những
thuộc tính khác nhau. Trong những ví dụ này ảnh hưởng độ giãn dài của cáp, độ
cứng của tháp, và của dầm cứng liên tục được khảo sát và các so sánh hữu ích sẽ
được đưa ra đánh giá.


7

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN
CẦU TREO DÂY VÕNG
2.1 MÔ TẢ SƠ BỘ VÀ NHỮNG GIẢ THIẾT CƠ BẢN
Trong mục này sẽ tóm tắt phác hoạ ra các bộ phận của kết cấu cầu treo và
chức năng của nó và xem xét ưu nhược điểm của cầu treo với các dạng kết cấu
cầu khác. Hệ toạ độ sử dụng trong phân tích tính toán cũng sẽ được trình bày.
Cuối cùng, mục này sẽ đưa ra các giả thiết cơ bản trong những phân tích ở phần

sau.
2.1.1 Mô tả các bộ phận kết cấu cầu treo dây võng
Cầu treo dây võng gồm có cáp chủ, dây treo,tháp, neo và dầm cứng
Hai cáp chủ là bộ phận chịu lực chính nâng đỡ các bộ phận khác của kết cấu
và được neo vào khối neo, là bộ phận chống lại lực kéo của cáp. Cáp chủ vắt
liên tục qua tháp thông qua bộ phận yên ngựa trên đỉnh tháp. Bộ phận yên ngựa
này được bắt bu lông vào đỉnh tháp hoặc là một thiết bị gối lăn như hình 2-3-b.
Trong những cầu dây văng hiện đại thời kỳ hiện nay tỷ số giữa đường tên cáp
với chiều dài nhịp chính thường vào khoảng 1/8 -1/11
Tháp thường gồm có hai bộ phận: kết cấu bên dưới còn gọi là trụ, và phần
tháp phía trên chống đỡ dây cáp. Kết cấu trụ có đặc điểm không khác so với các
kết cấu trụ cầu thông thường. Kết cấu tháp của hệ thống cầu treo gồm có cột
tháp và chân tháp. Để đảm bảo ổn định ngang, cấu tạo các hệ giằng ngang.
Chân tháp được ngàm chặt vào trụ hoặc có thể có dạng bộ phận cân bằng được
ngàm chặt. Bộ phận cân bằng có tính kinh tế cao tuy nhiên nó phải được cố định
chặt đảm bảo không bị mất ổn định trong suốt quá trình thi công.


8

Kết cấu dầm cứng gồm có hai dầm cứng hoặc dàn cứng và một hoặc hai hệ
giằng ngang chống lại áp lực gió và lực ngang do tải trọng di động gây ra đồng
thời truyền hệ lực này về trụ. Kết cấu giàn hoặc dầm cứng được sử dụng nhằm
giảm chuyển vị đứng do tải trọng nặng và những tải trọng động. Khi chiều cao
dầm cứng hoặc dầm bản quá lớn và không kinh tế ta nên sử dụng kết cấu giàn
cứng, hai dầm cứng nằm trong mặt phẳng của cáp chủ và các dây treo, chúng
được treo bởi các dây treo được nối với cáp chủ. Bên cạnh tác dụng nâng đỡ hệ
mặt cầu, dầm cứng làm việc chịu uốn trong mặt phẳng thẳng đứng và làm việc
theo phương ngang như bản cánh hoặc thanh biên của hệ giằng ngang. Dầm
cứng của mỗi nhịp được liên kết tại vị trí của tháp và trụ, mố nhằm ngăn ngừa

dịch chuyển ngang của bản mặt cầu
Chiều cao của dầm (dàn) cứng thường rất bé so với chiều dài nhịp (điều này
cũng đúng đối với hệ giằng ngang). Trong thực tế, kết cấu cầu treo dây võng ba
nhịp có thể kết hợp của ba loại kiểu dầm cứng khác nhau thông qua các bài toán
thường gặp sau, theo [24]
1.

Dầm cứng liên tục trên ba nhịp và cáp treo rải đều trên toàn bộ chiều dài

cầu. Và có thể có trường hợp dầm cứng liên tục trên hai nhịp và không liên tục
trên nhịp thứ ba, mặc dù kiểu này cực kỳ khác thường
2.

Một khả năng khác, dầm cứng liên tục trên cả ba nhịp nhưng không có

cáp treo ở hai nhịp biên. Trong trường hợp này, dầm cứng trong hai nhịp biên
nên ngắn hơn so với chiều dài nhịp biên
3.

Cuối cùng kiểu dầm cứng kê trên hai gối, nó được sử dụng rộng rãi và có

hiệu quả nhất. Kết cấu dạng này kinh tế hơn so với kết cấu dầm cứng liên tục
trên ba nhịp. Trong trường hợp này các gối đặt tại vị trí liên kết với tháp là hợp
lý nhất


9

Cầu treo là một kết cấu mềm so với các dạng kết cấu cầu khác, biên độ dao
động rất lớn. Nên chú ý rằng độ cứng của các bộ phận trong kết cấu cầu treo rất

khác so với các bộ phận các kết cấu khác, có sự tác động qua lại giữa các bộ
phận kết cấu cầu, do đó phải xem xét sự làm việc của một bộ phận nào đó trong
mối liên hệ với các bộ phận khác. Ứng suất trong các bộ phận như: tháp, cáp, và
neo do tónh tải gây ra là chủ yếu, trong khi ứng suất ứng suất trong các bộ phận
khác như: dầm (giàn) cứng và hệ giằng hoàn toàn là do hoạt tải, gió, sự thay đổi
nhiệt độ và có thể là do động đất gây ra
Ngoài hiệu quả kinh tế, cầu treo còn có những đặc điểm nổi bật khác như: về
mặt mỹ học kiểu dáng thanh mảnh, dẫn đến việc giảm cao độ đường đầu cầu, có
trọng tâm chịu tác dụng của áp lực gió thấp, sử dụng vật liệu hợp lý. Hầu như
không có phá hoại nguy hiểm trong quá trình xây dựng và sau khi hoàn thành

Hình 2-1. Các bộ phận của kết cấu cầu treo dây võng [24]


10

2.1.2 Hệ thống toạ độ
Hệ thống tọa độ được sử dụng trong cầu treo 3 nhịp như hình 2-1. Hệ thống
toạ độ này được chọn sử dụng trong cầu treo có một nhịp cũng như là nhiều nhịp,
cho dầm liên tục cũng như dầm kê trên gối tại 2 đầu .
Với bất kỳ số lượng nhịp như thế nào cũng có thể xem xét :
1.

Đối với cáp, trục x của nhịp thứ i (i=1,2,3) được định nghóa là trục nằm

ngang có điểm gốc tại mặt phẳng đứng đi qua gối tựa bên trái của mỗi nhịp như
hình 2-2.
Tung độ yi của nhịp thứ i được đo từ đường nối giữa 2 điểm neo đến điểm xa
nhất của cáp theo phương thẳng đứng.
2.


Đối với dầm cứng (hoặc dàn) trục x của nhịp thứ i (i=1,2,3) được định

nghóa là đường tim có gốc tại vị trí gối trái của mỗi nhịp.
3.

Đối với tháp, trục x’ là đường tim trục của cột tháp với điểm gốc tại vị trí

đỉnh tháp như hình 2-3-b.
2.1.3 Giả thiết cơ bản
Trong quá trình xem xét những nhân tố ảnh hưởng đến sự phân tích dao động
của cầu treo, những giả thiết gần đúng theo [24] như sau :
1.

Ứng suất trong kết cấu nằm trong giới hạn đàn hồi và tuân theo định luật

Hook.
2.

Tónh tải ban đầu chỉ gây ra ứng suất trong cáp mà không gây ra ứng suất

trong dầm cứng (hoặc giàn) .
Tuy nhiên nếu cầu treo được xây dựng mà tónh tải gây ra ứng suất trong dầm
cứng thì phải tính đến toàn bộ giá trị ứng suất ban đầu trong quá trình tính toán
bài toán dao động
3.

Coi như cáp có mặt cắt không thay đổi và có dạng parabol dưới tác dụng

của tónh tải. Giả thiết này yêu cầu tỷ số giữa độ võng của cáp với chiều dài nhịp



11

là rất nhỏ. Nói cách khác, góc nghiêng của cáp phải nhỏ. Ví dụ, khi tỷ số giữa
độ võng với chiều nhịp không quá 1:8, lúc này trọng lượng của cáp nên xem như
phân bố đều dọc theo chiều dài nhịp hơn là dọc theo chiều dài của cáp.
4.

Cáp được xem như hoàn toàn mềm. Điều kiện này coi moment quán tính

của cáp là rất bé so với moment quán tính của dầm cứng, giả thiết này với mục
đích xác định thành phần lực ngang trong cáp và ứng suất trong dầm cứng. Độ
cứng chống uốn của cáp đã được nghiên cứu rất kỹ và cho thấy ứng suất do
moment gây ra trong cáp có thể bỏ qua.
5.

Lực dây treo trong quá trình dao động, thay vì xem như là lực tập trung

có thể xem như lực phân bố đồng nghóa với việc coi khoảng cách giữa các dây
treo là bé
6.

Các dây treo được coi như làm việc không giãn, và giả thiết luôn thẳng

đứng trong quá trình dao động của cầu, do đó chuyển vị do dao động của cáp,
vc(xi,t), i = 1,2,3 và của dầm cứng (hoặc dàn) vg(xi,t), i = 1,2,3 được coi là bằng
nhau (hình 2-3-a)
v c (x i ,t) = vg (x i ,t) = v i (x i ,t)


, i = 1,2,3

(2.1)

Với vi(xi , t) là chuyển vị suy rộng theo phương đứng của hệ dao động. Nếu
xét đến biến dạng giãn dài của thanh treo thì độ chính xác tăng lên không đáng
kể theo H.Harbi [16] nhưng quá trình tính toán phức tạp hơn rất nhiều. Steinman
[10] đánh giá nếu xét đến sự biến dạng của thanh treo chỉ chính xác thêm vào
chỉ một vài phần trăm. Selberg [10] chỉ ra rằng sự thay đổi góc nghiêng của
thanh treo lệch so với phương đứng trong khi cầu dao động có ảnh hưởng không
đáng kể ngay cả khi kết cấu dầm cứng rất mảnh.
7.

Dựa trên lý thuyết biến dạng tuyến tính, phải giả thiết chuyển vị do dao

động phải nhỏ quanh vị trí cân bằng tónh


12

8.

Thành phần lực kéo theo phương ngang trong cáp, H(t), gây ra bởi lực

quán tính xem như rất nhỏ so với thành phần lực kéo theo phương ngang, Hw,
thành phần lực kéo theo phương ngang do tónh tải ban đầu.
H w + H( t ) ≈ H w

(2.2)


Tương tự. Lực dọc phụ thêm, P(t), do lực quán tính tại đỉnh tháp rất bé so với
lực dọc do tónh tải ban đầu, Pw .
Pw + P( t ) ≈ Pw

(2.3)

Trong nghiên cứu dao động tự do, ta coi như không có hoạt tải trên cầu, bỏ
qua sức cản dao động của kết cấu, và tổng khối lượng của cầu xem như là khối
lượng tập trung dọc theo đường tim dầm cứng. Hơn nữa độ cong ban đầu của
dầm cứng coi là nhỏ so với độ võng của cáp, do đó có thể bỏ qua trong quá trình
tính toán .
Các giả thiết khác sẽ được đưa ra trong quá trình phân tích sau naøy


Hình 2-2. Hệ toạ độ quy ước của kết cấu cầu treo dây võng [10]

13


14

Hình 2-3. Phân tố kết cấu tại trạng thái biến dạng & sơ đồ tính tháp cầu
[10]


15

2.2 PHÂN TÍCH CẦU TREO DÂY VÕNG KHÔNG XÉT ĐẾN CHUYỂN
VỊ CỦA THÁP
Để tạo cơ sở cho những phân tích cho phần này và những phần sau, phương

trình vi phân chuyển động của kết cấu cầu treo ba nhịp cùng với các điều kiện
biên của nó sẽ được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton. Việc sử dụng nguyên
lý Hamilton rất thuận lợi dựa trên những biểu thức chính xác và các điều kiện
biên. Ta không cần phải giải những phương trình vi phân chuyển động cũng như
kết quả phương trình tần số siêu việt, bởi vì những lời giải đã có trong các tài
liệu, nghiên cứu trước đây [10].
Trong phần phân tích tính toán, thành phần lực kéo ngang trong cáp Hw và
H(t) lần lượt do tónh tải và lực quán tính gây ra hai bên của tháp được xem là
bằng nhau trên tất cả các nhịp (coi như tháp không có lực kháng đàn hồi do
chuyển vị tại đỉnh). Điều này ngụ ý cáp vắt qua tháp thông qua bộ phận yên
ngựa do đó có thể chuyển vị tự do theo phương ngang trên những con lăn bên
dưới
2.2.1 Thế năng biến dạng của cáp
Từ kết quả dao động bé xung quanh vị trí cân bằng tónh, thành phần lực kéo
ngang trong cáp, Hw sẽ tăng lên đến giá trị [Hw+H(t)], và chiều dài của phân tố
cáp dsi trong nhịp thứ i sẽ tăng lên (dsi + Δ dsi) như chỉ ra trong hình 2-3-a
Thế năng biến dạng của phân tố cáp, dsi là :
⎧
1
ds ⎫
dVc (x i , t) = ⎨H w + .H(t). i ⎬ .Δdsi − w *i .vc dx i , i=1,2,3
2
dx i ⎭
⎩

(2.4)

Δdsi : độ dãn dài của phân tố cáp dsi
wi* : trọng lượng bản thân của cáp (wc) trên một đơn vị chiều dài của nhịp
thứ i cộng với tónh tải dầm cứng hoặc dàn (wgi) trên một đơn vị chiều dài nhịp

thứ i .