bộ giáo dục và đào tạo
trường đại học bách khoa hà nội
---------------------------------------

luận văn thạc sĩ khoa học
Cân bằng khối lượng
cơ cấu nhiều bậc tự do

ngành : cơ học kỹ thuật
mà số:23.04.3898
đỗ trọng phú

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. nguyễn văn khang

Hà Nội 2008


1

LỜI NÓI ĐẦU
Cân bằng khối lượng của cơ cấu được hiểu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt
tiêu nguồn kích động dao động xuất phát từ lực quán tính của các khâu động, một
trong những nguyên nhân chính gây ra dao động tại các gối đỡ và làm tăng tải trọng
động lực lên cơ cấu. Trong nhiều năm, bài toán cân bằng khối lượng của các cơ cấu
máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Ngay từ năm 1946, Semenov [16] đã
thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính và đưa ra giải pháp cân bằng các
thành phần của lực quán tính bằng cách lắp thêm các khối lượng phụ. Berkof [17]
đề nghị vào năm 1971 một phương pháp cân bằng khối lượng cho cơ cấu phẳng một
bậc tự do với con lắc vật lý và áp dụng cho cơ cấu bốn khâu phẳng. Kể từ những
năm sau đó, nhiều cơng trình nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng, cơ
cấu không gian được cơng bố trên nhiều các tạp chí chun khảo.

Một đánh giá tổng quan các nghiên cứu về cân bằng khối lượng cơ cấu được
trình bày trong cơng trình [3] và nhiều cơng trình khác. Theo nhận xét của các tác
giả, lực qn tính có thể cân bằng hồn tồn (cân bằng tĩnh) bằng cách lắp thêm các
khối lượng phụ (đối trọng cân bằng) vào các khâu hoặc thay đổi phân bố khối lượng
(vị trí khối tâm) của từng khâu. Giải pháp này khiến khối tâm chung luôn đứng yên
với mọi vị trí của cơ cấu, trong khi các đặc trưng động học của cơ cấu vẫn không
đổi so với thiết kế ban đầu. Tuy nhiên giải pháp cân bằng này làm tăng khối lượng
chung của toàn bộ cơ cấu, tăng ngẫu lực phát động của động cơ và có thể làm tăng
các phản lực động lực tại các khớp nối giữa các khâu trung gian. So với bài toán cân
bằng lực qn tính, bài tốn cân bằng mơmen lực qn tính phức tạp hơn rất nhiều.
Mơmen qn tính khơng thể cân bằng hoàn toàn nhờ thay đổi phân bố khối lượng
[21]. Các giải pháp kỹ thuật cho vấn đề này là phải lắp thêm các khâu phụ (hoặc
nhóm các khâu phụ) vào cơ cấu ban đầu để tạo ra các mômen cân bằng, trong khi
vẫn đảm bảo được các yếu tố truyền động như thiết kế và vẫn đảm bảo được khả
năng cân bằng lực quán tính. Các cơ cấu phụ này có thể là cơ cấu cam, các cơ cấu
thanh và đặc biệt là cân bằng thành phần ngẫu lực quán tính của từng khâu bằng


2

cách lắp thêm các khâu phụ là các cặp bánh răng hành tinh [22]. Như vậy, để đảm
bảo cho hệ lực qn tính cho tồn bộ các khâu được cân bằng hồn tồn (nghĩa là
khơng có các lực và các ngẫu lực truyền xuống các ổ đỡ), cơ cấu phải chiếm nhiều
không gian hơn do các khâu phụ bổ sung và yêu cầu bổ sung công suất động cơ.
Tuy nhiên, mọi giải pháp thiết kế kỹ thuật (lắp khối lượng phụ, khâu phụ) đều
phải xuất phát từ việc thiết lập các điều kiện cân bằng cho cơ cấu. Đó là các biểu
thức đại số dẫn tới triệt tiêu hoàn toàn véctơ chính và mơmen chính của hệ lực qn
tính của tất cả các khâu trong mọi vị trí của cơ cấu. Trong khi bài toán thiết lập các
điều kiện cân bằng khối lượng của các cơ cấu phẳng đã được nghiên cứu một cách
có hệ thống, bài tốn thiết lập các điều kiện cân bằng cơ cấu không gian đang còn

nhiều vấn đề cần phải nghiên cứu, nhất là với cơ cấu song song không gian. Điều
này xuất phát từ các đặc tính động học của hệ nhiều vật nói chung và cơ cấu khơng
gian nói riêng phức tạp hơn rất nhiều so với cơ cấu phẳng.
Từ các điều kiện cân bằng dưới dạng đại số tương đối đơn giản đã được thiết
lập, người kỹ sư thiết kế có thể xác định, chọn lựa các tham số hình học, khối lượng
khâu động một cách thích hợp về phương diện kỹ thuật để thoả mãn các điều kiện
này.
Gần đây, cơng trình nghiên cứu [13] và [14] đã đưa ra một cơ sở lý thuyết cho
bài toán thiết lập điều kiện cân bằng khối lượng của hệ nhiều vật một cách tổng
quát. Trong các cơng trình khác đã được cơng bố, các tác giả đã tập trung vào bài
toán cân bằng lực qn tính của một số cơ cấu thanh khơng gian cụ thể trên cơ sở
lắp thêm các cơ cấu phụ đối xứng. Các kết quả cân bằng lực quán tính các cơ cấu
chấp hành song song ba, bốn và sáu bậc tự do bằng cách thêm vào các khối lượng
phụ trên các khâu đã được đăng tải trong các công trình [23], [24], [25], [26]. Vì tay
máy song song khơng gian ngày càng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực rôbốt và
thiết bị mô phỏng bay, nên sự cân bằng tĩnh của cơ cấu hoặc tay máy song song
không gian sẽ trở thành phát kiến quan trọng. Như đã nhắc đến ở trên, một cơ cấu
song song cân bằng tĩnh là cơ cấu mà các nguồn dẫn động của nó không tham gia
chịu tải của các khâu động, với bất kỳ hình dạng nào của cơ cấu. Do vậy, các nguồn


3

dẫn động chỉ dùng để truyền gia tốc tới các khâu động, nó sẽ giúp giảm kích thước
và cơng suất của các nguồn dẫn động, và kết quả là nâng cao độ chính xác điều
khiển. Trong thiết bị mơ phỏng bay, thí dụ, khi tải trọng là rất lớn (thường cỡ hàng
tấn) và chuyển động của bàn máy di động của cơ cấu là khá chậm, tải trọng hoặc
mômen tác dụng lên các khớp truyền động chủ yếu là do trọng lượng của bàn máy
di động. Do vậy, nếu cơ cấu là cân bằng tĩnh thì các tải trọng và mơmen sẽ được
giảm thiểu, và nó sẽ đưa đến những cải tiến quan trọng về điều khiển và hiệu suất

năng lượng.
Để góp phần phát triển và làm phong phú thêm cơ sở lý thuyết về cân bằng
khối lượng của các cơ cấu máy, mục tiêu của luận án được định hướng theo một số
điểm sau:
-

Nghiên cứu hệ thống hoá cơ sở lý thuyết hiện có về bài tốn thiết lập các điều
kiện cân bằng khối lượng cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do và cơ cấu không
gian nhiều bậc tự do.

-

Tính tốn và thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng cho một cơ cấu phẳng
nhiều bậc tự do bằng một số phương pháp khác nhau.

-

Tính tốn các điều kiện cân bằng lực quán tính cho một số cơ cấu song song
không gian nhiều bậc tự do với sự trợ giúp của hệ chương trình tính MAPLE.
Tương ứng với các chủ đề nêu trên, nội dung của luận án được chia làm 3

chương. Chương một đề cập tới cơ sở lý thuyết chung được nghiên cứu và tổng hợp
từ các tài liệu chuyên khảo. Chương hai và chương ba là các thí dụ thiết lập điều
kiện cân bằng khối lượng cho cơ cấu phẳng và không gian nhiều bậc tự do.
Luận án được hồn thành tại Bộ mơn Cơ học ứng dụng, Khoa Cơ khí, Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học
GS.TSKH Nguyễn Văn Khang. Tôi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới các thầy
cơ trong Bộ mơn vì sự chỉ đạo tận tình về chuyên môn trong suốt thời gian học Cao
học và giúp tơi hồn thành luận văn này.



SUMMARIZE THE CONTENT SCIENTIFIC MASTER DISSERTATION
Plan: “Establish the static balancing conditions for parallel mechanisms”
Key word: Static balancing conditions of parallel mechanisms.
The plan include 4 chapter:
Chapter 1: Basic theory about the balancing conditions
Major content include:
-

Specify balancing conditions mass (complete shaking force and shaking moment
balancing) for mechanisms.

-

Establish general the shaking force and shaking moment balancing conditions in
algebra form for planar mechanism with multi-degree of freedom.

-

Establish general the shaking force and shaking moment balancing conditions in
algebra form for spatial mechanism with multi-degree of freedom.

Chương 2: Thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho một số cơ cấu phẳng
Major content include:
-

Establish the shaking force balancing conditions of planar eight_bar linkages threedegree-of-freedom.

Chương 3: Thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh cho một số cơ cấu song song không
gian

Major content include:
-

Establish the shaking force balancing conditions of spatial three-degree-of-freedom
parallel mechanism with revolute actuators.

-

Establish the shaking force balancing conditions of spatial four-degree-of-freedom
parallel mechanism with revolute actuators.

-

Establish the shaking force balancing conditions of spatial five-degree-of-freedom
parallel mechanism with revolute actuators.


TÓM TẮT LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đề tài: “Thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng cho cơ cấu song song”
Từ khoá: Cân bằng tĩnh cơ cấu song song.
Luận văn bao gồm 4 chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Nội dung chính bao gồm:
-

Nêu rõ điều kiện cân bằng khối lượng (cân bằng lực qn tính và cân bằng
mơmen lực quán tính) của cơ cấu.

-


Thiết lập điều kiện cân bằng lực qn tính và mơmen lực qn tính tổng quát
dạng đại số cho cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do.

-

Thiết lập điều kiện cân bằng lực quán tính và mơmen lực qn tính tổng qt
dạng đại số cho cơ cấu không gian nhiều bậc tự do.

Chương 2: Thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho một số cơ cấu phẳng
Nội dung chính bao gồm:
-

Thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính cho cơ cấu 8 khâu phẳng 3 bậc
tự do.

Chương 3: Thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh cho một số cơ cấu song song
không gian
Nội dung chính bao gồm:
-

Thiết lập các điều kiện cân bằng lực qn tính cho cơ cấu song song khơng
gian 3 bậc tự do dẫn động quay.

-

Thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính cho cơ cấu song song không
gian 4 bậc tự do dẫn động quay.


4


Chuong 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÂN BẰNG KHỐI LƯỢNG
CƠ CẤU NHIỀU BẬC TỰ DO
1.1 Khái nệm cân bằng khối lượng hệ nhiều vật rắn
1.1.1 Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn
Theo giáo trình động lực học hệ nhiều vật
[1], ta có quan hệ:


*
*
dl0
dp
F =
− , M =
−
dt
dt

z
B

(1.1)

Từ đó suy ra biểu thức thu gọn hệ lực qn
tính của vật rắn về một điểm O cố định:


d 
F * = − mvS

dt

d   

M O* =
−
I Si .ωi + rSi × mi vSi
dt

(

(1.2)

y
x

O
Hình 1.1 Hệ một vật rắn

)

(1.3)

Như thế thu gọn hệ lực quán tính của hệ p vật rắn không gian về điểm O cố định ta
được một lực và một ngẫu lực. Chúng có dạng như sau [1]:

*
d p 
F = − ∑ mi vSi
dt i =1


(

*
d p   

MO =
− ∑ I Si .ωi + rSi × mi vSi
dt i =1

(1.4)

)

(1.5)

Trong đó:

I Si : là tenxơ quán tính khối của vật rắn thứ i đối với khối tâm Si của nó,


rSi : là véctơ xác định vị trí khối tâm của vật rắn thứ i trong hệ quy chiếu RO ,

vSi : là vận tốc khối tâm Si trong hệ quy chiếu RO ,

ωi : là vận tốc góc của vật rắn thứ i trong hệ quy chiếu RO ,
mi : là khối lượng của vật rắn thứ i .


5


1.1.2 Định nghĩa cân bằng khối lượng của hệ nhiều vật
Một hệ nhiều vật được cân bằng khối lượng hoàn tồn, nếu véctơ chính và mơmen
chính đối với điểm O tuỳ ý của hệ lực quán tính của các khâu động của hệ triệt tiêu
[1]:



=
F * 0,=
M O* 0

(1.6)

1.2 Biểu thức cân bằng khối lượng tổng quát
1.2.1 Cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do
T

Đối với cơ cấu phẳng f bậc tự do ( f > 1 ), ta ký hiệu q =  q1 , q2 ,..., q f  là véctơ
chứa các toạ độ suy rộng đủ, khi đó các thành phần vận tốc khối tâm Si và vận tốc
góc của khâu thứ i có dạng:

=
xSi

∂xSi
∂ySi
∂ϕ Si
=
q , y Si

=
q , ϕSi
q
∂q
∂q
∂q

(1.7)

trong đó, ký hiệu:

q =  q1 , q2 ,..., q f 

T

(1.8)

và các đạo hàm:

 ∂xS ∂xS
∂xS 
=  i , i ,..., i 
∂q  ∂q1 ∂q2
∂q f 

(1.9a)

 ∂yS ∂yS
∂yS 
=  i , i ,..., i 

∂q  ∂q1 ∂q2
∂q f 

(1.9b)

∂ϕi  ∂ϕi ∂ϕi
∂ϕ 
=
,
,..., i 
∂q  ∂q1 ∂q2
∂q f 

(1.9c)

∂xSi

∂ySi

Thế các hệ thức (1.7) vào biểu thức của lực quán tính thu gọn (1.4) và (1.5) ta nhận
được các thành phần véctơ chính và véctơ mơmen chính của hệ lực quán tính của cơ
cấu phẳng nhiều bậc tự do:

d p  ∂xSi 
d p  ∂ySi 
*
*

(10)
− ∑  mi

q
=
−
Fx* =
,
F
0

 mi
 q , Fz =
∑
y
∂q 
∂q 
dt i 2=
dt i 2 
=



6

*
*
=
=
M
M
0
Ox

Oy

∂xSi 
∂ϕi 
d p   ∂ySi
*
=
− ∑  mi  xSi
− y Si
M Oz
 q
 + J Si
∂q
∂q 
∂q 
dt i = 2  

(11)

Thế các hệ thức (1.9) vào (1.10) và (1.11) và chú ý tới các điều kiện cân bằng khối
lượng, ta nhận được điều kiện cân bằng dưới dạng vi phân của cơ cấu phẳng f bậc
tự do [12]:
p

k 1, 2,..., f
=
∑ mi xSi ,k 0,=

(1.12a)


i =2
p

k 1, 2,..., f
=
∑ mi ySi ,k 0,=

(1.12b)

i =2

∑ m ( x
p

i =2

i

Si

)

ySi , k − ySi xSi , k + J Si ϕi ,k  =0,


trong đó sử dụng các ký hiệu:
=
xS i , k

k =1, 2,..., f


(1.12c)

∂xSi
∂ySi
∂ϕi ,k
=
=
, y Si , k
, ϕi , k
.
∂qk
∂qk
∂qk

1.2.2 Cân bằng khối lượng của cơ cấu không gian nhiều bậc tự do
Từ định nghĩa trên, và từ công thức thu gọn hệ lực qn tính của hệ vật rắn (1.4),
(1.5) ta có biểu thức cân bằng tổng quát:

d p 
∑ mi vSi = 0
dt i =1

(1.13)

)

(

d p   


I Si ωi + rSi × mi vSi =
0
∑
dt i =1

(1.14)

Các phương trình (1.13), (1.14) trong hệ quy chiếu RO có thể biểu diễn dưới dạng
ma trận như sau:

d p
∑ mi v Si = 0
dt i =1

(1.15)


d  p
I Si ωi + mi rSi v Si  =
0
∑

dt  i =1


(

)


(1.16)


7

Xét hệ nhiều vật hôlônôm, giữ và dừng. Giả sử vị trí của hệ được xác định bởi f
toạ độ suy rộng q1 , q2 ,..., q f . Khi đó vị trí các khối tâm là các hàm của các toạ độ
suy rộng:

=
rSi r=
(i 1, 2,..., p )
Si ( q1 , q2 ,..., q f )

(1.17)

Đạo hàm các biểu thức (1.17) theo thời gian t trong hệ quy chiếu RO , ta được biểu
thức xác định vận tốc khối tâm của vật rắn thứ i :

=
v Si

drSi ∂rSi
=
=
q J Ti ( q ) q
dt
∂q

(1.18)


Trong đó, J Ti ( q ) là ma trận Jacobi tịnh tiến và có dạng:

 ∂xSi

 ∂q1
∂rSi  ∂ySi

J Ti (=
q) =
∂q  ∂q1

 ∂zSi
 ∂q
 1

∂xSi
∂q2
∂ySi
∂q2
∂zSi
∂q2

∂xSi 

∂q f 
∂ySi 

...
∂q f 


∂zSi 
...
∂q f 
...

(1.19)

Nếu gọi ϕi là véctơ quay của vật rắn quanh trục quay tức thời, ta có:

=
ωi

d ϕi ∂ϕi
=
=
q J Ri ( q ) q
dt
∂q

(1.20)

Trong đó, J Ri ( q ) là ma trận Jacobi quay và có dạng:

 ∂ωix

 ∂q1
∂ϕi ∂ωi  ∂ωiy
J Ri (=
q) = = 

∂q
∂q  ∂q1

 ∂ωiz
 ∂q1

∂ωix
∂q2
∂ωiy
∂q2
∂ωiz
∂q2

∂ωix 

∂q f 
∂ωiy 

...
∂q f 

∂ωiz 
...
∂q f 
...

(1.21)

Thế các biểu thức (1.18) vào phương trình (1.15), ta được:


 
d  p
  ∑ mi J Ti ( q )  q  = 0
dt   i =1
 

(1.22)


8

Thế các biểu thức (1.18) và (1.20) vào phương trình (1.16) ta có:

d  p
 ∑ I S ( q ) J Ri ( q ) + mi rSi ( q ) J Ti ( q )
dt   i =1 i

(



0
) q  =
 

(1.23)

Với chú ý rằng, ma trận của tenxơ qn tính I Si có thể viết dưới dạng:

I Si = A i I (Sii) ATi


(1.24)

Trong đó I (Sii) là ma trận của tenxơ quán tính trong hệ quy chiếu động gắn liền với
vật rắn và có gốc ở khối tâm Si của vật rắn thứ i , A i là ma trận côsin chỉ hướng
của vật rắn thứ i . Từ đó ta có:

I Si ( q ) J Ri ( q ) = A i I (Sii) ATi ( q ) J Ri ( q )

(1.25)

Mặt khác ta có hệ thức:

(

)

(i )
∂ωi ∂ A i ωi
∂ωi(i )
J Ri (=
q) =
= A i ( q ) = A i J (Rii )
∂q
∂q
∂q

Với chú ý rằng, do A i = A i ( q ) nên

(1.26)


∂A i
=0
∂q

Trong đó ta đưa vào ký hiệu:

∂ω(i i )
J Ri ( q ) =
∂q
(i )

(1.27)

Thế (1.26) và (1.27) vào (1.23) ta được:

 
d  p
(i ) (i )
(1.28)
0
  ∑ A i ( q ) I Si J Ri ( q ) + mi rSi ( q ) J Ti ( q )  q  =
dt   i =1
 
Từ các biểu thức (1.22), (1.23) và (1.28) ta suy ra các điều kiện cân bằng khối lượng
của hệ nhiều vật:
p

∑ m J (q ) = 0
i =1


i

(1.29)

Ti

 p

0
 ∑ I Si ( q ) J Ri ( q ) + mi rSi ( q ) J Ti ( q )  =
 i =1


(

hoặc:

)

(1.30a)


9

 p

(i ) (i )
0
 ∑ A i ( q ) I Si J Ri ( q ) + mi rSi ( q ) J Ti ( q )  =

 i =1


(1.30b)

Sử dụng các hệ thức (1.29), (1.30a) với các chú ý:
-

Véctơ rSi có các thành phần là các toạ độ của khối tâm Si trong hệ toạ độ cố
định {Oxyz} , rSi là ma trận đối xứng lệch cỡ 3 × 3 :

 xS i 
 
=
rSi =
rSi
y Si  ,
 
 zSi 
-

 0

 z Si

 − ySi

y Si 

− x Si 


0 

− z Si
0
xS i

(1.31a)

Ma trận của tenxơ quán tính I Si của khâu thứ i đối với khối tâm Si được xác
định trên hệ toạ độ cố định {Oxyz} :

 I ixx

I Si ( q ) =  I iyx
 I izx


I ixy
I iyy
I izy

I ixz 

I iyz 
I izz 

(1.31b)

Sau một số biến đổi ta nhận được các điều kiện cân bằng như sau:

1.2.2.1 Điều kiện cân bằng lực quán tính chính:

∂rSi

p

m
∑=
∂q
i =1

i

q
=
0,

( q , q ,..., q )
1

2

T

f

(1.32)

Hay có thể viết lại dưới dạng:


∂xSi

0=
,
q

( q , q ,..., q )

∂ySi
q
=
m
=
0,
∑
i
∂q
i =1

( q , q ,..., q )

p

m
∑=
∂q
i =1

i


p

∂zSi

p

m
∑=
∂q
i =1

i

0,
=
q

1

1

2

2

2

T

f


( q , q ,..., q )
1

T

f

T

f

(1.33)

(1.34)

(1.35)

1.2.2.2 Điều kiện cân bằng mơmen qn tính chính:

∂rSi  
 p  ∂ωi
T
với q = ( q1 , q2 ,..., q f )
+ mi rSi
0
 ∑  I Si
 =
∂q
∂q  

 i =1 

(1.36)


10

Hay có thể viết lại dưới dạng:

∂ySi 
∂ω
∂ωix
∂ω 
+ I ixy iy + I ixz iz 
 + I ixx
∂q 
∂q
∂q
∂q 

(1.37)

∂zSi 
  ∂xSi
∂ωiy
∂ωix
∂ωiz 
m
z
x

I
I
I
−
+
+
+




∑
i
Si
Si
iyx
iyy
iyz
∂q
∂q 
∂q
∂q
∂q 
i =1 


(1.38)

∂xSi 
∂ω

∂ωix
∂ω 
+ I izy iy + I izz iz 
 + I izx
∂q 
∂q
∂q
∂q 

(1.39)

p



i =1



∂zSi



∑ m  y
i



Si


− z Si

∂q

p

p



i =1



∂zSi



∑ m  x
i



Si

− z Si

∂q

Các điều kiện cân bằng trên có thể viết lại dưới dạng:

p

p

p

=
∑ m x′ 0,=
∑ m y′ 0,=
∑ mi z′Si 0

i Si
i Si
=i 1 =i 1 =i 1

∑ m ( y
p

i =1

∑ m ( z
i

(1.42)

)

(1.43)

0

x′Si − xSi z′Si + I iyxs′ix + I iyy s′iy + I iyz s′iz  =


∑ m ( x
i

)

Si

p

i =1

(1.41)

0
z′Si − zSi y′Si + I ixxs′ix + I ixy s′iy + I ixz s′iz  =


p

i =1

)

Si

i


Si

(1.40)

0
y′Si − ySi x′Si + I izxs′ix + I izy s′iy + I izz s′iz  =


trong đó sử dụng các ký hiệu:

=
x′Si

∂xSi
∂ySi
∂zSi
=
, y′Si
=
, z′Si
∂q
∂q
∂q

(1.44)

=
s′ix

∂ωiy

∂ωix
∂ωiz
=
, s′iy =
, s′iz
∂q
∂q
∂q

(1.45)

với
=
q

q , q ,..., q ) ,
q ( q , q ,..., q )
(=
T

1

2

f

1

2


T

f

Điều kiện cân bằng (1.40) sẽ làm triệt tiêu véctơ chính của hệ lực qn tính (cân
bằng lực qn tính hay cịn gọi là cân bằng tĩnh) và điều kiện cân bằng (1.41 – 1.43)
sẽ làm triệt tiêu véctơ mơmen chính của hệ lực qn tính (cân bằng ngẫu lực qn
tính hay cịn gọi là cân bằng động).
Chú ý rằng, các điều kiện cân bằng được thành lập trong mục này chỉ là các điều
kiện đủ được biểu diễn dưới dạng vi phân. Bởi vậy, các điều kiện cân bằng này chỉ


11

có ý nghĩa về mặt lý thuyết và chưa có giá trị ứng dụng trong thực tiễn kỹ thuật.
Trong phần tiếp theo dưới đây sẽ nghiên cứu đưa chúng về dạng đại số.
1.3 Biến đổi các điều kiện cân bằng khối lượng của cơ cấu về dạng đại số
1.3.1 Các toạ độ suy rộng dư tối thiểu
Trong thực tế việc biểu diện vị trí ( rSi ), vận tốc ( v Si ) của khối tâm Si của khâu thứ
i của một cơ cấu theo phương trình (1.11) và (1.12) dưới dạng giải tích tường minh

rất khó thực hiện vì cơ cấu chịu liên kết của cấu trúc mạch vòng. Để biến đổi các
các điều kiện cân bằng dạng vi phân về dạng đại số, ta cần sử dụng số toạ độ suy
rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ.
Định nghĩa: Véctơ các toạ độ suy rộng dư tối thiểu q = [ q1 , q2 ,..., qn ] bao gồm các
T

phần tử là các toạ độ suy rộng dư, trong đó số lượng các toạ độ suy rộng dư tối
thiểu n được chọn sao cho là tối thiểu và đủ để biểu diễn vị trí khối tâm của các
khâu dưới dạng các biểu thức giải tích.

Hiện nay vẫn chưa có phương pháp tổng quát nào để xác định véctơ các toạ độ suy
rộng dư tối thiểu q trong các tài liệu chuyên khảo. Việc lựa chọn các toạ độ suy
rộng dư tối thiểu dựa trên các phương trình liên kết sẽ được giới thiệu trong các ví
dụ về cơ cấu cụ thể trong các chương sau.
1.3.2 Cơ cấu phẳng nhiều bậc tự do
1.3.2.1 Cân bằng lực quán tính (cân bằng tĩnh)
Các phương trình (1.12) là các điều kiện tổng quát để cân bằng các cơ cấu phẳng
nhiều bậc tự do. Xuất phát từ điều kiện tổng quát đó, một số phương pháp cân bằng
đã được xây dựng.
Nếu gọi q = [ q1 , q2 ,..., qn ] là véctơ toạ độ suy rộng dư tối thiểu như định nghĩa ở
T

mục 1.3.1, khi đó có thể biểu diễn vị trí của khâu i dưới dạng các biểu thức giải
tích:

=
xSi x=
y=
ϕi ( q )
Si ( q ) , y Si
Si ( q ) , ϕ Si

(1.46)

và các đại lượng vận tốc:

v Si = J Si q

(1.47)



12

trong đó J Si là ma trận Jacobi, thế vào điều kiện cân bằng lực qn tính (1.15), ta
có:


d  p
m
J
s = 0
∑
i
S
i 
dt  i =1

hệ thức trên dẫn tới:
p

∑m J
i =1

i

=0

Si

(1.48)


Phương trình (1.48) cho phép thiết lập các điều kiện cân bằng của hệ nhiều vật
hêlônôm dưới dạng đại số. Ta gọi phương pháp cân bằng theo (1.48) là phương
pháp sử dụng toạ độ suy rộng dư tối thiểu và ma trận Jacobi. Phương pháp này đã
được áp dụng trong cơng trình [19].
Nếu chú ý rằng điều kiện cân bằng lực quán tính (1.32) sẽ được thoả mãn nếu:

mv S = 0

(1.49a)
p

trong đó m = ∑ mi và v S là vận tốc khối tâm chung S của cơ cấu. Hệ thức trên
i =2

dẫn tới

rS = const

(1.49b)

Như vậy, cơ cấu sẽ được cân bằng tĩnh nếu khối tâm chung S của cơ cấu đứng yên
trong suốt quá trình chuyển động. Ta cũng có thể sử dụng các đặc điểm này để thiết
lập các điều kiện cân bằng của cơ cấu dưới dạng đại số, trong đó vị trí khối tâm
chung của cơ cấu được xác định nhờ các toạ độ suy rộng tối thiểu và ma trận cosin
chỉ hướng của các khâu. Ta gọi phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng này là
phương pháp sử dụng toạ độ suy rộng dư tối thiểu và toạ độ khối tâm chung.
Phương pháp này đã được áp dụng trong các tài liệu [23], [24], [25] các thí dụ minh
hoạ sẽ được giới thiệu trong phần sau.
Phương pháp thứ ba để thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh dưới dạng đại số dựa

trên các khái niệm véctơ hàm các toạ độ suy rộng được trình bày như dưới đây,
phương pháp này đặc biệt phù hợp khi sử dụng các hệ chương trình symbolic như
Maple và đã được áp dụng trong các cơng trình nghiên cứu [11], [12], [13], [14].


13

Trong các tài liệu chuyên khảo, các tác giả đã xây dựng biểu thức xác định vị trí
khối tâm chung của cơ cấu. Trong q trình tính tốn các tác giả sử dụng ma trận
côsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm Si của khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố
định theo hệ thức:

Hình 1.2 Định nghĩa hệ trục toạ độ phẳng

r=
rOi + A i rS(ii )
Si

(1.50a)

trong đó rOi là véctơ toạ độ của điểm gốc Oi đối với hệ toạ độ cố định {Oxy} và

rS(ii ) là véctơ toạ độ của điểm Si trên hệ toạ độ động {Oiξiηi } như hình vẽ 2.
rS(i ) = [ξi ηi ]
i

T

(1.50b)
T


Nếu chọn một véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư z =  z1 , z2 ,..., z p  bao gồm các
phần tử là các toạ độ suy rộng dư. Các phần tử của z được chọn với mục đích có
thể biểu diễn vị trí khối tâm của các khâu có dạng như sau:

xS i =
e*xi + aiT z,

y Si =
e*yi + biT z

i=
1, 2,..., p

(1.51)

trong đó các véctơ ai , bi gồm các phần tử không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q ,

e*xi và e*yi là các hằng số. Với cơ cấu phẳng, véctơ z thường có dạng:

z = cos ϕ 2 ,cos ϕ3 ,...,cos ϕ p ,sin ϕ 2 ,sin ϕ3 ,...,sin ϕ p 

(1.52)


14

Tương tự như cách biểu diễn phương trình (1.51), các phương trình liên kết của cơ
cấu có thể viết dưới dạng ma trận:


Dz = f ,

D = [ DI

DII ]

(1.53)

trong đó các ma trận D và f chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu
và không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q .
Phân chia các phần tử của véctơ z thành hai nhóm:

v
z= 
w 

(1.54)

với v là véctơ hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, phương trình (1.51) có thể viết lại
dưới dạng:

xSi =e*xi + aiTI v + aiTII w , ySi =y*xi + biTI v + biTII w i =1, 2,..., p

(1.55)

trong đó việc phân chia các phần tử của các véctơ ai , bi , ci tương ứng với việc phân
chia véctơ z:

 a iI 
 b iI 

,
=
ai =
b
i

b 
aiII 
 iII 

(1.56)

trong đó các véctơ aiI , aiII , biI , biII có các thành phần khơng phụ thuộc vào toạ độ suy
rộng q.
Phương trình liên kết (1.53) có thể viết lại dưới dạng:

DI v + DII w =
f

(1.57)

Ma trận DII được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của
véctơ w chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Từ (1.57)
có thể biểu diễn véctơ w qua véctơ v như sau:

=
w D−II1 ( f − DI v )

(1.58)


Từ phương trình (1.55) và (1.58), toạ độ khối tâm của khâu thứ i và các đạo hàm
của nó có thể được biểu diễn:

xS i =
exi + g iT v, ySi =
eyi + hiT v

(1.59)


15

T ∂v
T ∂v
=
x′Si g=
, y′Si h=
, q
i
i
∂q
∂q

( q , q ,..., q )
1

2

f


(1.60)

trong đó các véctơ g i , hi có dạng:

g iT =
aiTI − aiTII DII−1DI , hiT =
biTI − biTII DII−1DI
exi =
e*xi + aiTII DII−1f ,

eyi =
e*yi + biTII DII−1f

(1.61)

Thế phương trình (1.59) vào các điều kiện cân bằng (1.12) thu được:

 p
 p
T  ∂v
T  ∂v
g
=
m
=
0,
0
∑ i i 
 ∑ mi hi 
q

q
∂
∂
=
 i 1=

i1

q = ( q1 , q2 ,..., q f )

(1.62)

Điều kiện (1.62) được thoả mãn với mọi giá trị của v , nghĩa là véctơ lực chính của
hệ lực quán tính gây ra bởi các khâu của cơ cấu sẽ triệt tiêu tại mọi vị trí của cơ cấu
nếu như:
p

p

=
∑ mi giT 0,=
∑ mihiT 0

(1.63)

=i 1 =i 1

Các phương trình (1.63) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu
dưới dạng đại số. Tuy nhiên việc dẫn ra các phần tử của g i và hi là tương đối phức
tạp về mặt tốn học, các thí dụ trong chương hai sẽ cho thấy phương pháp này đặc

biệt phù hợp khi được tính tốn trên hệ chương trình như MAPLE.
1.3.2.2 Cân bằng ngẫu lực quán tính (cân bằng động)
Để thiết lập được các công thức xác định điều kiện cân bằng động dưới dạng tương
tự như (1.63), thế các phương trình (1.59) và (1.60) vào các điều kiện cân bằng
mômen trong hệ thức (1.12) ta nhận được:
p
p
 p
T
T  ∂v
T 
T
T  ∂v
(1.64)
−
+
−
+
h
g
v
g
h
h
g
m
e
e
m
0

(
)
∑ J Si ϕ i , k =
yi i 
i i 
 ∑ i xi i
∑ i i i
=
i 2
 ∂qk
 i 2=
 ∂qk i 2

(

)

Nếu sử dụng véctơ u có dạng:

=
u

∑ m (e
p

i =2

và ma trận S :

i


xi

hTi − eyi gTi

)

(1.65)


16

∑ m (g h
p

=
S

i =2

i

i

T
i

− hi gTi )

(1.66)


thì phương trình (1.64) được viết lại dưới dạng:
p
∂v
T ∂v
+v
+ ∑ J S ϕi , k = 0
u
∂qk
∂qk i = 2 i
T

k = 1, 2,..., f

(1.67)

Nếu chọn véctơ z có dạng như trong biểu thức (1.52):

z = cos ϕ 2 ,cos ϕ3 ,...,cos ϕ p ,sin ϕ 2 ,sin ϕ3 ,...,sin ϕ p 
thì các đạo hàm riêng ϕi ,k =

∂ϕi
được tính tốn bởi hệ thức:
∂qk

ϕi , k =
zi −1 z( n +1− 2),k − zn+i − 2 z(i −1),k

1, 2,..., p; k =
1, 2,..., f

i=

(1.68)

Khi đó có thể biểu diễn số hạng thứ 3 trong phương trình (1.67) dưới dạng ma trận
như sau:
p

∑J
i =2

Si

ϕi , k = z T H

∂z
∂qk

(1.69)

Tương ứng với việc phân tách véctơ z theo (1.54), ma trận H có thể phân làm bốn
ma trận con ứng với các véctơ v và w như sau:

H12 
H
H =  11

 H 21 H 22 

(1.70)


trong đó ma trận H12 , H 21 là các ma trận “0”, ma trận H11 , H 22 là các ma trận phản
đối xứng. Sử dụng các hệ thức (1.54), (1.58) và (1.70), có thể biểu diễn (1.69) dưới
dạng:

 ∂v 


∂z  v   H11 H12   ∂qk 
T
=
=
z H
∂qk  w   H 21 H 22   ∂w 
 ∂q 
 k
T

(1.71)

T
∂v
∂v
= vT  H11 + ( D−II1D I ) ( H 22 D−II1D I − H 21 ) − H12 D−II1D I 
+ ( D−II1f )( H 21 − H 22 D−II1D I )

 ∂q
∂q
k


Nếu sử dụng các ký hiệu véctơ u* và ma trận S* có dạng:

k


17

=
u*

( D f )( H
−1
II

21

− H 22 D−II1D I )

S* =H11 + ( D−II1D I ) ( H 22 D−II1D I − H 21 ) − H12 D−II1D I
T

(1.72)
(1.73)

thì phương trình (1.71) được biểu diễn dưới dạng:
∂z
∂v
∂v
+ v T S*
zT=

H
u*T
∂qk
∂qk
∂qk

(1.74)

Thế (1.74) vào (1.67) ta nhận được:

( u + u ) ∂∂qv + v ( S + S ) ∂∂qv
*

*

T

k

=
0

(1.75)

k

Điều kiện (1.75) được thoả mãn với mọi giá trị của v , nghĩa là véctơ mơmen chính
của hệ lực qn tính gây ra bởi các khâu của cơ cấu sẽ triệt tiêu tại mọi vị tí của cơ
cấu nếu như:
*

u + u=
0,

*
S + S=
0

(1.76)

Các điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính của cơ cấu có thể xác định dưới dạng đại
số nhờ các phương trình (1.76). Điều kiện cân bằng được thiết lập theo (1.76) là các
điều kiện đủ.
1.3.3 Cơ cấu không gian nhiều bậc tự do
1.3.3.1 Cân bằng lực quán tính (cân bằng tĩnh)
Các phương pháp thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh cơ cấu khơng gian nói chung
cũng gần tương tự như cơ cấu phẳng. Trong các tài liệu chuyên khảo, các tác giả đã
xây dựng biểu thức xác định vị trí khối tâm chung của cơ cấu. Trong q trình tính
tốn các tác giả sử dụng ma trận cơsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm Si của
khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định theo hệ thức:

r=
rOi + A i rS(ii )
Si

(1.77)

trong đó rOi là véctơ toạ độ của điểm gốc Oi đối với hệ toạ độ cố định {Oxyz} và

rS(ii ) là véctơ toạ độ của điểm Si trên hệ toạ độ động {Oiξiηiζ i } như trên hình vẽ 1.3.
rS(ii ) = [ξi ηi


ζi]

T

(1.78)


18

Hình 1.3 Định nghĩa hệ trục toạ độ khơng gian
Nếu ta chọn một véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư z = [ z1

z2 ... zm ] bao gồm
T

các phần tử là hàm của các toạ độ suy rộng dư, vị trí của khối tâm Si có thể biểu
diễn dưới dạng:

xS i =
e*xi + aiT z,

y Si =
e*yi + biT z, zSi =
e*zi + ciT z

i=
1, 2,..., p

(1.79)


trong đó các véctơ ai , bi , ci gồm các thành phần không phụ thuộc vào toạ độ suy
rộng q , các thành phần của véctơ z là các hàm của các toạ độ tổng qt mơ tả vị trí
của các khâu, e*xi , e*yi và e*zi là các hằng số.
Tương tự như cách biểu diễn phương trình (1.79), các phương trình liên kết của cơ
cấu có thể viết dưới dạng ma trận:

Dz = f ,

D = [ DI

DII ]

(1.80)

trong đó các ma trận D và f chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu
và không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q .
Phân chia các phần tử của véctơ z thành hai nhóm:

v
z= 
w 

(1.81)


19

với v là véctơ hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, phương trình (1.79) có thể viết lại
dưới dạng:


xSi =e*xi + aiTI v + aiTII w , ySi =y*xi + biTI v + biTII w , zSi =e*xi + ciTI v + ciTII w
i = 1, 2,..., p

(1.82)

trong đó việc phân chia các phần tử của các véctơ ai , bi , ci tương ứng với việc phân
chia véctơ z:

 a iI 
 b iI 
c 
, bi =
, c i  iI 
=
ai =


aiII 
biII 
ciII 

(1.83)

trong đó các véctơ aiI , aiII , biI , biII , ciI , ciII có các thành phần khơng phụ thuộc vào toạ
độ suy rộng q.
Phương trình liên kết (1.80) có thể viết lại dưới dạng:

DI v + DII w =
f


(1.84)

Ma trận DII được chọn sao cho là ma trận vuông khơng suy biến, số phần tử của
véctơ w chính là số phương trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Từ (1.84)
có thể biểu diễn véctơ w qua véctơ v như sau:

=
w D−II1 ( f − DI v )

(1.85)

Từ phương trình (1.82) và (1.84), toạ độ khối tâm của khâu thứ i và các đạo hàm
của nó có thể được biểu diễn:

xS i =
exi + g iT v, ySi =
eyi + hiT v, zSi =
ezi + k iT v
T ∂v
T ∂v
T ∂v
=
x′Si g=
, y′Si h=
, z′Si k=
, q
i
i
i

∂q
∂q
∂q

(1.86)

( q , q ,..., q )
1

2

f

(1.87)

trong đó các véctơ g i , hi và k i có dạng:

g iT =
aiTI − aiTII DII−1DI , hiT =
biTI − biTII DII−1DI , k iT =
ciTI − ciTII DII−1DI
exi =
e*xi + aiTII DII−1f ,

eyi =
e*yi + biTII DII−1f ,

ezi =
e*zi + ciTII DII−1f


Thế phương trình (1.86) vào các điều kiện cân bằng (1.32) thu được:

(1.88)


20

 p
 p
 p
T  ∂v
T  ∂v
T  ∂v
g
h
=
=
=
m
m
0,
0,
0
∑ i i 
∑ i i 
 ∑ mi k i 
=
 i 1=
 ∂q
i1=

 ∂q
i1
 ∂q
q = ( q1 , q2 ,..., q f )

(1.89)

Điều kiện (1.89) được thoả mãn với mọi giá trị của v , nghĩa là véctơ lực chính của
hệ lực quán tính gây ra bởi các khâu của cơ cấu sẽ triệt tiêu tại mọi vị trí của cơ cấu
nếu như:
p

p
p
T
T
i i
i i
=i 1 =i 1 =i 1

=
∑ m g 0,=
∑ m h 0,=
∑ mik iT 0

(1.90)

Các phương trình (1.90) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu
dưới dạng đại số. Tuy nhiên việc dẫn ra các phần tử của g i và hi là tương đối phức
tạp về mặt toán học, các thí dụ trong chương ba sẽ cho thấy phương pháp này đặc

biệt phù hợp khi được tính tốn trên hệ chương trình như MAPLE.
1.3.3.2 Cân bằng ngẫu lực qn tính (cân bằng động)
Để thiết lập được các cơng thức xác định các điều kiện cân bằng động cơ cấu không
gian nhiều bậc tự do dưới dạng tương tự như cơng thức (1.90). Thế các phương
trình (1.86) và (1.87) vào các điều kiện cân bằng mơmen lực qn tính trong hệ thức
(1.37-1.39) ta nhận được:

u1T

∂v
∂v p
+ v T S1
+ ∑ ( I ixxs′ix + I ixy s′iy + I ixz s′iz ) =
0
∂q
∂q i =1

(1.91a)

u T2

∂v
∂v p
+ v TS 2
+ ∑ ( I iyxs′ix ,k + I iyy s′iy ,k + I iyz s′iz ) =
0
∂q
∂q i =1

(1.91b)


u3T

∂v
∂v p
+ v TS3
+ ∑ ( I izxs′ix ,k + I izy s′iy ,k + I izz s′iz ) =
0
∂q
∂q i =1

(1.91c)

q = ( q1 , q2 ,..., q f )
trong đó:

u =
∑ m ( e k − e h ),

u =
∑ mi ( ezi giT − exik iT ),

p
p
T
T
T
T
1
2

i
yi i
zi i
=i 1 =i 1

=
u3T

∑ m (e
p

i =1

i

xi

hiT − e yi g iT )

(1.92)


21

và các ma trận phản đối xứng:

S1 =
∑ mi ( hik iT − k ihiT ),
p


S2 =
∑ mi ( k i giT − gik iT ),
p

=i 1 =i 1

=
S3

∑ m (g h
p

i =1

i

i

T
i

(1.93)

− hi g iT )

Các thành phần của véctơ quay si có thể viết dưới dạng:

six =
six* + r1Ti z, siy =
siy* + r2Ti z, siz =

siz* + r3Ti z

(1.94)

với các véctơ r1i , r2i và r3i có các phần tử không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q ,
các đại lượng six* , siy* và siz* là hằng số.
Và các đạo hàm được xác định bởi:

∂z
T ∂z
T ∂z
s′ix r1=
=
, s′iy r=
, s′iz r3Ti =
, q
i
2i
∂q
∂q
∂q

( q , q ,..., q )
1

2

f

(1.95)


Các thành phần của ma trận của tenxơ quán tính I i viết dưới dạng ma trận:
T
T
=
I ixx z=
dixx , I ixy z=
dixy , I ixz z T dixz
T
T
=
I iyx z=
diyx , I iyy z=
diyy , I iyz z T diyz

(1.96)

T
T
=
I izx z=
dizx , I izy z=
dizy , I izz z T dizz

với các véctơ dixx , dixy , dixz , diyx , diyy , diyz , dizx , dizy , dizz có các phần tử không phụ thuộc
vào toạ độ suy rộng q .
Đưa vào ma trận mới có dạng:

H1 = dixxr1Ti + dixy r2Ti + dixz r3Ti
H 2 = diyxr1Ti + diyy r2Ti + diyz r3Ti


(1.97)

H 3 = dizxr1Ti + dizy r2Ti + dizz r3Ti
Các phương trình (1.37-1.39) có thể viết dưới dạng ma trận:

∂z
s′ + I ixy s′iy +=
I ixz s′iz ) u T H1 =
, q
∂q

( q , q ,..., q )

(1.98a)

∂z
s′ + I iyy s′iy +=
I iyz s′iz ) z T H 2 =
, q
∂q

( q , q ,..., q )

(1.98b)

∑(I

ixx ix


∑(I

iyx ix

p

i =1
p

i =1

1

1

2

2

f

f


22

∑(I
p

i =1


∂z
I izz s′iz ) z T H 3 =
s′ + I izy s′iy +=
q
∂q

izx ix

( q , q ,..., q )
1

2

f

(1.98c)

Trong đó các ma trận H j có các phần tử không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng q .
Tương ứng với việc phân tách véctơ z theo (1.81), các ma trận H j có thể phân
thành 4 ma trận con tương ứng với các véctơ v và w như sau:

 H j1 H j 2 
=
H j =
j 1, 2,3

H
H
j4 

 j3

(1.99)

Sử dụng các phương trình (1.81) và (1.85), các phương trình (1.98) có thể viết dưới
dạng:

∂z  v   H j1
=

∂q  w   H j 3
T

zTH j

 ∂v 
H j 2   ∂q 
 
H j 4   ∂w 
 ∂q 
 

T
∂v
= v T  H j1 + ( DII−1DI ) ( H j 4 DII−1DI − H j 3 ) − H j 2 DII−1DI 

 ∂q

+ ( DII−1f ) ( H j 3 − H j 4 DII−1DI )
T


(1.100)

∂v
∂q

q = ( q1 , q2 ,..., q f )
Nếu sử dụng ký hiệu véctơ u*j và ma trận S*j có dạng:

(u ) =
(D f ) (H
* T
j

−1

T

j3

− H j 4 D−II1DI )

j=
1, 2,3

S*j =H j1 + ( DII−1DI ) ( H j 4 DII−1DI − H j 3 ) − H j 2 DII−1DI
T

(1.101)
(1.102)


thì các phương trình (1.100) được biểu diễn dưới dạng:

zTH j

∂z
∂v
∂v
=
u*T
+ v T S*j
j
∂q
∂q
∂q

j=
1, 2,3; q =
( q1, q2 ,..., q f )

(1.103)

Khi đó các phương trình (1.98) sẽ có dạng:

(u

j

+ u*j )


T

∂v
∂v
+ v T ( S j + S*j )
= 0
∂q
∂q

j = 1, 2,3; q = ( q1 , q2 ,..., q f )

(1.104)