ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————–o0o——————–

PHẠM HỒNG QUÂN

MIỀN ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————–o0o——————–

PHẠM HỒNG QUÂN

MIỀN ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

84 60112. 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn:

PGS. TSKH Vũ Hồng Linh

Chủ tịch hội đồng: GS. TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2020


Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Danh sách hình vẽ

iv

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Hệ động lực phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


1.2

Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Lý thuyết hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Lý thuyết hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

Hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2

Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai . . . . . . .

18


Chương 2. Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên
tục

23

2.1

Điểm cân bằng trên biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Đặc trưng của biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3

Miền tựa ổn định và đặc trưng của biên tựa ổn định . . . . .

35

2.4

Thuật toán xác định biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . .

39


Chương 3. Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục
3.1

46

Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không ổn định gần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2

Miền tựa ổn định và hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . .

50

3.3

Ước lượng miền ổn định theo hàm năng lượng địa phương . .

52

i


Kết luận

62

Tài liệu tham khảo


62

ii


Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
PGS. TSKH Vũ Hồng Linh. Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và
chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt những
vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tình
giải đáp những thắc mắc của tơi trong suốt q trình làm luận văn này.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mơn Tốn học tính
tốn và Tốn ứng dụng, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo
mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tôi cũng xin
gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia
đình, bạn bè và cơ quan chủ quản đã động viên, giúp đỡ tơi rất nhiều trong
q trình học tập tại đây.
Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020.
Học viên

Phạm Hồng Quân

iii


Danh sách hình vẽ
1.1


Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . .

5

1.2

Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận. . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa
phương của một điểm cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

8

Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không
ổn định với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm
cân bằng hyperbolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gian
riêng ổn định và không ổn định tương ứng. . . . . . . . . . .

1.6


9
12

Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trong
chứng minh Định lý 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1

Giao giữa đa tạp không ổn định của x1 và đa tạp ổn định của

2.2

x2 không thỏa mãn điều kiện hoành. . . . . . . . . . . . . . 29
Miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0, 0) trong Ví dụ 2.1 35

2.3

Minh họa sự khác nhau giữa miền ổn định và miền tựa ổn định. 38

2.4

Đường cong A và B là giới hạn miền ổn định xác định bởi các
phương pháp khác. Đường cong C là biên ổn định thu được
bằng phương pháp hiện tại. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42


2.5

Bức tranh pha của hệ (2.3) và biên ổn định. . . . . . . . . .

43

2.6

Bức tranh pha của hệ động lực trong Ví dụ 2.3. Biên ổn định
là đường in đậm màu đỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1
3.2

45

Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng S(r) tại các giá trị
mức khác nhau và miền ổn định A(xs ). . . . . . . . . . . . .

48

Cấu trúc mặt mức năng lượng khi tăng giá trị mức. . . . . .

51

iv


3.3


Miền ổn định ước lượng theo mặt năng lượng hằng. . . . . .

3.4

Bức tranh pha của hệ trong Ví dụ 3.1. So sánh giữa biên ước
lượng và biên ổn định định chính xác. . . . . . . . . . . . . .

3.5

55
56

Miền ổn định chính xác và miền ổn định ước lượng trong Ví
dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.6

Miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . .

60

3.7

Miền ổn định ước lượng và biên ổn định chính xác trong Ví
dụ 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v


61


Mở đầu
Từ nhiều thế kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực
đã được xem là một bài tốn khó và hấp dẫn đối với con người, bởi nó xuất
hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, cơ học, vật lý, kỹ thuật.
Cũng vì đây là một chủ đề rất rộng nên khái niệm độ ổn định có thể được
hình thành theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu
tính ổn định. Trong đó, một trong những chủ đề quan trọng liên quan chặt
chẽ đến ổn định là miền ổn định của hệ động lực phi tuyến.
Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý và kỹ thuật được thiết kế để hoạt
động ở một trạng thái cân bằng. Nói cách khác, nó được cấu tạo để vận hành
tại một điểm cân bằng hoặc xung quanh một điểm cân bằng nào đó và được
mơ tả q trình vận hành bởi một hệ động lực phi tuyến. Yêu cầu quan trọng
nhất để vận hành thành cơng các hệ thống này là duy trì sự ổn định của
trạng thái cân bằng này. Tính ổn định đòi hỏi sự chắc chắn của điểm cân
bằng đối với nhiễu nhỏ do các tác động ở trong và bên ngồi hệ thống gây ra.
Nói cách khác, trạng thái của hệ thống sẽ dần về điểm cân bằng dưới những
nhiễu nhỏ nhất định. Tuy nhiên, hầu hết các hệ thống vật lý và kỹ thuật đều
khơng ổn định tồn cục. Có thể hiểu rằng các hệ thống này chỉ có thể quay
trở lại trạng thái cân bằng dưới một kích thước có giới hạn của nhiễu. Mặc
dù vấn đề này khá quen thuộc nhưng bài toán đặt ở đây là làm thế nào để
tính các miền ổn định xung quanh một điểm cân bằng của hệ động lực cho
trước. Từ đó, chúng ta cho phép hoặc hạn chế các nhiễu nhỏ chỉ dao động bên
trong miền ổn định đã được tính tốn. Cho đến nay, có một số phương pháp
được dùng tính tốn và xấp xỉ miền ổn định của một hệ động lực phi tuyến
cho trước nhưng hầu hết các phương pháp này đều dựa trên hàm năng lượng
hoặc hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12]. Tuy nhiên, một trong những cách tiếp
1



cận không dựa trên hàm Lyapunov đã được xem xét và trình bày trong [5].
Phương pháp này cho phép chúng ta tìm miền ổn định chính xác của một hệ
động lực phi tuyến cho trước. Một cách tiếp cận khác dựa trên các phương
pháp mặt mức ẩn và tập mức được nghiên cứu trong [7], [11].
Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày về “Miền ổn định của
hệ động lực liên tục”. Cụ thể hơn, chúng tơi sẽ trình bày lý thuyết về miền
ổn định và cách tìm miền ổn định bằng các phương pháp số. Luận văn này
được chia thành ba chương như sau.

❼ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại
một số khái niệm về ổn định và các tính chất liên quan. Ngoài ra, các lý
thuyết về hàm năng lượng, hàm Lyapunov cũng được đề cập đến. Các
lý thuyết này được sử dụng để ước lượng miền ổn định của các hệ động
lực phi tuyến có số chiều lớn.

❼ Chương 2: Miền ổn định và tựa như ổn định của hệ động lực liên tục.
Chương này sẽ tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng của biên ổn
định và biên tựa ổn định của các hệ động lực. Ở cuối chương, chúng tơi
sẽ đưa ra một thuật tốn để xác định một biên ổn định một cách hoàn
chỉnh.

❼ Chương 3: Ước tính miền ổn định của hệ động lực liên tục. Trong chương
cuối, chúng tôi sẽ tập trung vào các phương pháp ước lượng miền ổn
định của một hệ động lực cho trước dựa trên hàm năng lượng và tập
mức. Bên cạnh đó, một số thử nghiệm số được thực hiện cho một số hệ
động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp cũng được đưa ra.
Các tài liệu chính được sử dụng trong luận văn này bao gồm một số sách và
bài báo của các tác giả Hsiao-Dong Chiang và Luís Fernando Costa Alberto,

[2], [4], [5], [12]. Kết quả của luận văn được báo cáo tại seminar Bộ mơn Tốn
học tính tốn và Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học và được trình
bày tại Hội thảo Một số bài toán chọn lọc trong phương trình vi phân và điều
khiển do Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán tổ chức tại Tuần Châu, Quảng
Ninh, ngày 05-07/11/2020.
2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương thứ nhất này, chúng tơi sẽ nhắc lại các định nghĩa và
tính chất về tính ổn định và hệ động lực. Bên cạnh đó, lý thuyết về hàm
Lyapunov, hàm năng lượng đối với hệ động lực và ứng dụng của nó cũng
được trình bày trong mục cuối của chương này. Đây là các kiến thức cơ sở
cho nội dung các chương sau. Phần lớn các nội dung ở chương này được trình
bày dựa trên các tài liệu [1], [2], [4] và [5].

1.1

Hệ động lực phi tuyến
Trong chương này, chúng ta luôn xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm)

sau đây

x˙ = f (x),

(1.1)

trong đó x ∈ Rn là một biến véctơ và hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện
đảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.

Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết hàm f khả vi r lần và các đạo
hàm này liên tục. Điều kiện này đảm bảo rằng với mỗi giá trị ban đầu x0 ,
tồn tại một khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, 0 ∈ I và tồn tại duy nhất
hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn là một nghiệm của phương trình (1.1) sao
cho x(0) = x0 .
Định lý 1.1 ([5]). Cho x(t) là một nghiệm của phương trình (1.1) và [0, w+ ]
là một khoảng cực đại tồn tại nghiệm này. Khi đó, nếu tồn tại một tập compact
3


K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K với mọi t ∈ [0, w+ ] thì w+ = +∞, tức là nghiệm
tồn tại và xác định với mọi t ≥ 0.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm cần thiết cho các kết quả
về sau. Đường cong nghiệm của phương trình (1.1) xuất phát từ x0 tại thời
điểm t = 0 được gọi là một quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 và được ký
hiệu là φ(., x0 ). Hơn nữa, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 là một hàm theo
thời gian. Việc tham số hóa t → φ(t, x0 ) sinh ra một đường cong trong Rn ,
được gọi là một quỹ đạo nghiệm của (1.1) đi qua x0 . Quỹ đạo đi qua x0 được
ký hiệu là φt (x0 ) và được xác định bởi φt (x0 ) = {φ(t, x0 ) ∈ Rn , t ∈ R}.
Trong một số trường hợp, ta ký hiệu tập {φ(t, x) ∈ Rn , x ∈ A} bởi φ(t, A),

A ⊂ Rn .
Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm cân bằng của (1.1) nếu f (x) = 0,
tức là điểm cân bằng là một nghiệm đặc biệt khơng thay đổi theo thời gian.
Do đó, điểm cân bằng là một quỹ đao nghiệm không dịch chuyển. Tập tất cả
các điểm cân bằng của (1.1) được ký hiệu là E = {x ∈ Rn : f (x) = 0}. Một
dạng quan trọng khác của quỹ đạo nghiệm đó là quỹ đạo đóng. Một quỹ đạo
nghiệm γ là một quỹ đạo đóng nếu γ khơng phải là một điểm cân bằng và
với bất kỳ x ∈ γ , tồn tại T > 0 sao cho φ(T, x) = x. Điểm cân bằng và quỹ
đạo đóng có thể ổn định hoặc không ổn định. Tập M ⊂ Rn được gọi là một

tập bất biến của (1.1) nếu mọi quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1) xuất phát từ M
luôn nằm trong M với mọi t. Hợp và giao của các tập bất biến cũng là tập
bất biến. Tập M ⊂ Rn được gọi là tập bất biến dương (âm) của (1.1) nếu
mọi quỹ đạo nghiệm của (1.1) xuất phát từ M vẫn nằm M với mọi t ≥ 0
(t ≤ 0).
Một điểm p nằm trong tập w-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0
và T > 0, tồn tại t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε. Điểm p nằm trong tập

α-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T < 0, tồn tại t < T sao cho
|φ(t, x) − p| < ε. Nói cách khác, p được gọi là nằm trong tập w-giới hạn
(tập α-giới hạn) của x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một dãy {ti } ∈ R sao cho
φ(ti , x) → p khi ti → +∞ (ti → −∞).
Định lý 1.2 ([5]). Các tập w-giới hạn và tập α-giới hạn của một quỹ đạo
4


nghiệm φ(t, x) của hệ (1.1) là các tập đóng, bất biến. Ngoài ra, nếu quỹ đạo
nghiệm φ(t, x) của (1.1) bị chặn với t ≥ 0 (t ≤ 0) thì tập w-giới hạn (tập

α-giới hạn) khác rỗng, compact và liên thông. Hơn nữa, d(φ(t, x), w(x)) → 0
khi t → ∞.
Như ta có thể thấy rằng điểm cân bằng ổn định tiệm cận là loại đơn
giản nhất của tập giới hạn. Tuy nhiên, tập giới hạn vô cùng phức tạp; nó có
thể là điểm cân bằng, quỹ đạo đóng hay một dạng khác.

1.2

Tính ổn định
Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa ổn định Lyapunov và tiệm cận ổn


định.
Định nghĩa 1.3. Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định
Lyapunov nếu với mỗi lân cận mở U of x ∈ Rn , tồn tại một lân cận mở V
của x ∈ Rn sao cho φ(t, x) ∈ U với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại,

x được gọi là không ổn định.

x
V

U

x¯

φ(t, x)

Hình 1.1: Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov.

Một cách trực quan, một điểm cân bằng được gọi là ổn định nếu các
quỹ đạo xuất phát từ lân cận của điểm cân bằng vẫn còn nằm gần với điểm
cân bằng sau một khoảng thời gian bất kỳ. Mặc dù vậy, trong nhiều bài tốn
thì u cầu về quỹ đạo nằm gần với quỹ đạo là chưa đủ. Thay vào đó, người
ta đưa ra một yêu cầu mạnh hơn là các quỹ đạo gần với điểm cân bằng và
hội tụ về điểm cân bằng.
5


Định nghĩa 1.4.
(i) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định và tồn tại một lân cận mở U của x sao cho mọi quỹ đạo


φ(t, x) xuất phát từ lân cận U đều hội tụ về điểm cân bằng x khi t → ∞
hay lim φ(t, x) − x = 0 với mọi x ∈ U .
t→∞

(ii) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận tồn
cục nếu nó ổn định và với mọi x0 ∈ Rn , φ(t, x0 ) → x khi t → ∞.

x¯

x
U

φ(t, x)

Hình 1.2: Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận.

Định nghĩa 1.5.
(i) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi lân
cận mở U của γ , tồn tại một lân cận mở V của γ sao cho φ(t, x) ∈ U
với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại, γ được gọi là khơng ổn
định.
(ii) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định
và tồn tại một lân cận V của γ sao cho tập w-giới hạn của mọi điểm
trong V chứa trong γ .
(iii) Một tập đóng, bất biến γ ⊂ Rn được gọi là một tập hút nếu tồn tại lân
cận mở U của γ sao cho với mọi x0 ∈ U , φ(t, x0 ) ∈ U với mọi t ≥ 0
và φ(t, x) → γ khi t → ∞.
Thực tế, tập ổn định và tập hút là một tập bất biến ổn định tiệm cận.
Nói cách khác, một tập γ là tập hút nếu mọi quỹ đạo nghiệm trong lân cận


γ đủ gần với γ và hội tụ về γ khi t → ∞.
6


Để xác định tính ổn định của một điểm cân bằng x, ta cần một số công
cụ để mô tả dáng điệu của quỹ đạo nghiệm, ít nhất là về mặt định tính quỹ
đạo nghiệm xung quanh điểm cân bằng x. Đối với hệ động lực tuyến tính

x˙ = Ax, việc kiểm tra có thể thực hiện bằng cách tính các giá trị riêng và
véctơ riêng tương ứng của ma trận A. Do đó, dáng điệu động lực địa phương
của bài tốn phi tuyến có thể được nghiên cứu thống qua bài tốn tuyến
tính hóa. Bây giờ, ta giả thiết rằng x ∈ Rn là một điểm cân bằng của (1.1).
Bằng cách đổi biến x(t) = x + y(t) và sử dụng khai triển Taylor tại x, ta có

x(t)
˙
= y(t)
˙ = f (x)+Df (x)y+O( y 2 ), trong đó Df là đạo hàm của trường
véctơ f . Vì f (x) = 0 nên phương trình trở thành y˙ = Df (x)y + O( y 2 ).
Do đó, để nghiên cứu dạng điệu quỹ đạo nghiệm, ta xét hệ tuyến tính hóa

y(t)
˙ = Df (x)y.

(1.2)

Định nghĩa 1.6. Điểm cân bằng x của hệ phi tuyến (1.1) được gọi là hyperbolic nếu ma trận Jacobi tương ứng Df (x) khơng có giá trị riêng có phần
thực bằng 0. Ngược lại, nó được gọi là điểm cân bằng không hyperbolic. Hơn
nữa, một điểm cân bằng hyperbolic được gọi là loại k nếu k giá trị riêng của

ma trận Jacobi Df (x) có phần thực dương và n − k giá trị riêng có phần
thực âm. Đặc biệt, nếu Df (x) có đúng một giá trị riêng có phần thực dương,
ta gọi x là điểm cân bằng loại 1.
Nói chung, điểm cân bằng loại 1 được xem là tối quan trọng khi nghiên
cứu các đặc trưng về biên ổn định và biên tựa ổn định. Ta ký hiệu λ là một
giá trị riêng của Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy rộng ứng với
giá trị riêng λ. Nhắc lại rằng Eλ là bất biến đối với hệ (1.2). Nếu gốc tọa độ
là một điểm cân bằng hyperbolic thì ta có thể viết như sau Rn = E s ⊕ E u ,
trong đó E s = ⊕Eλ với Re(λ) < 0 và E u = ⊕Eλ với Re(λ) > 0. Ngoài
ra, nếu điểm hyperbolic là điểm cân bằng loại k thì E s và E u lần lượt có số
chiều là n − k và k .
Định lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]). Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.1) có
điểm cân bằng x. Nếu Df (x) khơng có giá trị riêng 0 và khơng có giá trị
riêng thuần ảo, thì sẽ có một đồng phôi h, xác định trên một lân cận U của
7


x, biến quỹ đạo φ(t, .) của hệ động lực phi tuyến (1.1) thành nghiệm của hệ
tuyến tính hóa của (1.2) có dạng etDf (x) . Phép đồng phơi bảo tồn các tính
chất của các quỹ đạo nghiệm và cách chọn tham số hóa theo thời gian.
Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho một điểm cân bằng của hệ
(1.1) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.8 (Tính ổn định tiệm cận, [5]). Giả sử rằng mọi giá trị riêng của
ma trận Jacobi Df (x) trong hệ tuyến tính tương ứng (1.2) đều có phần thực
âm. Khi đó, nghiệm cân bằng x = x của hệ phi tuyến (1.1) là ổn định tiệm
cận.
Với x là một điểm cân bằng và U ⊂ Rn là một lân cận của x. Ta sẽ
định nghĩa đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương
như sau
s

Wloc
(x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → +∞},
u
Wloc
(x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → −∞}.
u
s
(¯
x) lần lượt theo thứ tự là các tập bất biến dương
(¯
x) và Wloc
Chú ý rằng Wloc

và bất biến âm. Hình 1.3 dưới đây mơ tả các đa tạp địa phương này.
u
Wloc
(¯
x)

s
Wloc
x¯

x¯

Hình 1.3: Mơ tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương của
một điểm cân bằng.

8



Định lý 1.9 (Đa tạp ổn định và không ổn định, [5]). Giả sử hệ động lực phi
s
tuyến liên tục (1.1) có một điểm cân bằng hyperbolic x. Các tập Wloc
(x) và
u
Wloc
(x) được gọi là đa tạp ổn định địa phương và đa tạp khơng ổn định địa
phương. Khi đó, các đa tạp này lần lượt có chiều ns , nu giống như các không
gian véctơ riêng E s , E u của hệ tuyến tính hóa (1.2). Hơn nữa, các đa tạp
s
u
này cũng tiếp xúc với các không gian riêng E s , E u tại x; Wloc
(x) và Wloc
(x)
trơn giống như f (x) of (1.1). Đây là các tập bất biến của hệ phi tuyến (1.1)

và các quỹ đạo nghiệm của hệ phi tuyến trên các đa tạp này có tính chất tiệm
cận như nghiệm của hệ tuyến tính hóa trong khơng gian véctơ riêng tương
ứng.
Hình 1.4 minh họa định lý đa tạp vừa trình bày.
Eu

W u (¯
x)

Es

x¯


W s (¯
x)

Hình 1.4: Quan hệ giữa khơng gian con ổn định và không gian con không ổn định với
đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm cân bằng hyperbolic.

Chú ý 1.10 ([4]).
(1) Điểm cân bằng x là tập w-giới hạn của mọi điểm trong W s (x) và là tập

α-giới hạn của mọi điểm W u (x). Với điểm cân bằng hyperbolic, chiều
của W s (x) bằng số giá trị riêng của Df (x) có phần thực âm. Tổng số
chiều W s (¯
x) và W u (¯
x) bằng số chiều của không gian pha.
(2) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm đảm bảo rằng cả W s (x) và W u (x) không
thể tự giao với chính nó nhưng W s (x) và W u (x) có thể giao với nhau.

9


(3) Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định là các tập bất biến. Mọi quỹ
đạo nghiệm trên W s (¯
x) hội tụ về x¯ khi t → +∞, trong khi mọi quỹ đạo
nghiệm trên W u (¯
x) hội tụ về x¯ khi t → −∞.
Ví dụ 1.1. Ta xét hệ dao động Duffing như sau

x˙ = y
y˙ = x − x3 − εy,


ε > 0.

Bằng cách giải f (x, y) = 0, ta thu được ba điểm cân bằng là (±1, 0), (0, 0).
Trong đó, (0, 0) là điểm cân bằng loại 1 và các điểm còn lại là điểm cân bằng
ổn định. Thật vậy, sau khi tính tốn ma trận Jacobi Df (x), ta có hệ tuyến
tính hóa xung quanh điểm cân bằng (0, 0) là

x˙ = y
y˙ = x − εy.

√
0 1
−ε + ε2 + 4
Từ ma trận
, ta thu được hai giá trị riêng λ1 =
,
2
1 −ε
√
−ε − ε2 + 4
λ2 =
. Từ đó, ta có khơng gian riêng ổn định và khơng ổn
2
định tương ứng

E s = (x, y) : y =
E u = (x, y) : y =

−ε −
−ε +


√
2
√
2

ε2 + 4

ε2 + 4

x ,
x .

Các đa tạp ổn định và không ổn định tiếp xúc với không gian riêng ổn định,
không ổn định E s , E u tại điểm cân bằng hyperbolic (0, 0).
Ví dụ 1.2. Xét hệ như sau

x˙ = x
y˙ = −y + x2 .

10


Giải f (x, y) = 0, ta có điểm cân bằng hyperbolic (x, y) = (0, 0). Khi đó, hệ
tuyến tính hóa tương ứng

x˙ = x
y˙ = −y,
có các giá trị riêng là −1 và 1 ứng với không gian véc tơ riêng ổn định và
không ổn định là


E s = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}, E u = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}.
u
Để tìm Wloc
(0, 0), ta thấy rằng

dy
−y
y˙
=
=
+ x.
x˙
dx
x
x2 C
Bằng cách giải phương trình trên, ta thu được y(x) =
+ , trong đó C
3
x
u
(0, 0) có thể biểu diễn như là một hàm số với biến x
là một hằng số. Vì Wloc
nên ta có y = h(x) với h(0) = h (0) = 0. Do đó, suy ra
u
Wloc
(0, 0)

x2
= (x, y) ∈ R : y =

.
3
2

Mặt khác, mọi quỹ đạo nghiệm xuất phát từ (0, y) với y ∈ R, nằm trên trục

Oy và tiến đến (0, 0) khi t → ∞. Ngồi ra, khơng gian riêng con khơng ổn
s
định E u là trục Ox, ta có thể suy ra rằng Wloc
là trục Oy (xem Hình 1.5).
Ý tưởng về “điều kiện hồnh1 ” là cơ sở để nghiên cứu hệ động lực học
và được giới thiệu bởi Palis, 1969; Palis và de Melo, 1981 và Smale, 1967, [4].
Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết cho việc trình bày điều kiện
này. Cho M là một đa tạp trơn có biên hoặc khơng có biên. Một đa tạp con
dìm2 của M là một tập con A ⊆ M cảm sinh một cấu trúc tôpô (không cần
không gian con tôpô) tương ứng từ đa tạp tơpơ (khơng có biên), và một cấu
trúc trơn trong đó A → M là một phép dìm trơn, [8]. Bây giờ, ta giả sử A
và B là các đa tạp con dìm thực sự của M , ta nói rằng chúng thỏa mãn điều
kiện “hồnh” nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn.
1
2

Tài liệu tiếng Anh: transversality condition
immersed manifold

11


y


y

W s (0, 0)

Es

W u (0, 0)

Eu

x

x

Hình 1.5: Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gian riêng ổn định và
không ổn định tương ứng.

(i) Tại mỗi giao điểm x ∈ A ∩ B , không gian véctơ tiếp xúc của A và B
sinh ra không gian véctơ tiếp xúc của M tại x. Tức là,

Tx (A) + Tx (B) = Tx (M ),

x ∈ A ∩ B.

(ii) Chúng hồn tồn khơng giao nhau.
Một trong những đặc trưng quan trọng nhất của điểm cân bằng hyperbolic

x¯ đó là các đa tạp ổn định và đa tạp khơng ổn định của điểm cân bằng
hyperbolic giao hồnh tại x
¯. Điểm giao hồnh này rất quan trọng vì nó bảo

tồn dưới các nhiễu động của trường véctơ.

1.3

Lý thuyết hàm Lyapunov
Trong phần này, chúng tơi trình bày tổng quan về hàm Lyapunov.

Trước hết, ta sử dụng ký hiệu sau đây như là đạo hàm theo thời gian của
hàm V (x)
T

∂V (x(t))
.x(t)
˙
V˙ (x(t)) =
∂x
∂V (x)T
=
.f (x).
∂x
12


Định lý 1.11 ([5]). Giả sử x
ˆ là một điểm cân bằng của x˙ = f (x), trong đó

f : Rn → Rn . Cho V : U → R là một hàm liên tục xác định trong một lân
cận U của x
ˆ, khả vi trên U sao cho
(a) V (ˆ

x) = 0 và V (x) > 0 nếu x = xˆ và x ∈ U ,
(b) V˙ (x) ≤ 0 trong U \ {ˆ
x}.
Khi đó, x
ˆ là ổn định. Hơn nữa, cũng nếu
(c) V˙ (x) < 0 trong U \ {ˆ
x} thì xˆ là ổn định tiệm cận.
U

Bδ (ˆ
x)

U1

Hình 1.6: Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trong chứng minh
Định lý 1.11.

Chứng minh. Giả sử rằng với δ > 0 đủ nhỏ sao cho hình cầu Bδ (ˆ
x) = {x ∈
Rn : x − x
ˆ < δ} nằm trọn vẹn trong U . Ký hiệu ∂Bδ (ˆ
x) := {x ∈ Rn :

x − xˆ = δ} là biên của hình cầu Bδ (ˆ
x). Đặt α = min V (x), x ∈ ∂Bδ (ˆ
x).
Vì V (x) là một hàm liên tục và V (x) > 0 nên cách xác định α như ở trên
là định nghĩa tốt và α là một số dương.
Đặt U1 := {x ∈ Bδ (ˆ
x) : V (x) < α}. Bây giờ, ta xét x(0) ∈ U1 bất

kỳ. Ta có ngay V (x(0)) < α. Ký hiệu x(t) là quỹ đạo nghiệm thu được
xuất phát từ x(0). Từ giả thiết V˙ (x) ≤ 0, ta suy ra V (x(t)) < α. Ta sẽ
chứng minh điều này suy ra x(t) ∈ Bδ (ˆ
x). Thật vậy, giả sử tồn tại t1 sao cho
x(t1 )− xˆ > δ , vì tính liên tục của x(t) nên ta phải có một thời điểm t2 sớm
13


hơn t1 sao cho x(t2 ) − x
ˆ = δ và min V (x) = α > V (x(t2 )), x ∈ ∂Bδ (ˆ
x),
mâu thuẫn. Do đó, tính ổn định theo nghĩa Lypunov được thỏa mãn.
Để chứng minh tính ổn định tiệm cận khi điều kiện (c) được thỏa mãn,
ta cần chỉ ra x(t) → x
ˆ khi t → ∞. Vì hàm V (x(t)) đơn điệu giảm dọc theo
quỹ đạo nghiệm x(t) và x(t) nằm trong tập compact Bδ (ˆ
x) với t ≥ 0, ta suy
ra V (x(t)) bị chặn dưới với t ≥ 0. Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng số

b ≥ 0 sao cho lim V (x(t)) = b.
t→∞

Giả sử rằng b > 0. Từ điều kiện (a), ta thấy rằng tồn tại một thời
điểm T > 0 và một lân cận U ⊂ Bδ (ˆ
x) của xˆ sao cho x(t) ∈ Bδ (ˆ
x) với mọi

t > T . Từ điều kiện (c), ta có V˙ (z) < −ε, ε > 0 với mọi z ∈ Bδ (ˆ
x) \ U .
Khi đó,

∞

∞

∞

V˙ (x(t))dt < −

V˙ (x(t))dt <
nhưng

εdt = −∞,
T

T

0
∞

V˙ (x(t))dt = lim V (x(t)) − V (x0 ).
0

t→∞

Vì thế, b − V (x0 ) > −∞, điều này mâu thuẫn. Từ đây, ta suy ra b = 0. Do
đó, mọi quỹ đạo nghiệm nằm trong Bδ (ˆ
x) hội tụ về điểm cân bằng và ta kết
thúc chứng minh.
Nói chung, nhiều hàm Lyapunov có thể cùng tồn tại đối với một hệ
động lực phi tuyến. Chẳng hạn, nếu V là một hàm Lyapunov của một hệ phi

tuyến thì V1 = pV α cũng là một hàm Lyapunov của hệ này với p > 0 và

α > 1. Hơn nữa, các lựa chọn cụ thể của hàm Lyapunov có thể mang lại kết
quả có độ chính xác khác nhau khi xác định miền ổn định trên cùng một bài
tốn. Ngồi ra, cần nói thêm rằng khơng có cách xây dựng hàm Lyapunov
một cách có hệ thống cho các hệ động lực phi tuyến tổng quát.
Với điểm cân bằng ổn định tiệm cận x
ˆ, tồn tại δ > 0 sao cho x0 − xˆ <

δ : φ(t, x0 ) → xˆ khi t → ∞. Nếu δ lớn tùy ý thì xˆ được gọi là một điểm ổn
định toàn cục. Tuy nhiên, rất nhiều điểm cân bằng ổn định x
ˆ khơng phải là
điểm cân bằng ổn định tồn cục. Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm về
miền ổn định và biên ổn định của một điểm cân bằng ổn định.

14


Định nghĩa 1.12. Miền ổn định của một điểm cân bằng ổn định xs đối với
hệ động lực phi tuyến (1.1) được ký hiệu là A(xs ) và được xác định như sau

A(xs ) := {x ∈ Rn : lim φ(t, x) → xs }.
t→+∞

(1.3)

Biên ổn định của điểm cân bằng ổn định xs là biên của miền ổn định A(xs )
và được ký hiệu là ∂A(xs ).
Rõ ràng, miền ổn định có thể được biểu diễn như là A(xs ) = {x ∈
Rn : w(x) = xs }, trong đó w(x) ký hiệu tập w-giới hạn của x.

Thực tế, miền ổn định của điểm cân bằng ổn định là đa tạp ổn định.
Theo các tính chất tơpơ của đa tạp ổn định của xs trong [4], [6], miền ổn
định A(xs ) là một tập mở, bất biến và vi phơi với Rn . Nói cách khác, mọi
quỹ đạo nghiệm xuất phát từ một điểm trong miền ổn định đều nằm trọn
vẹn trong miền ổn định theo thời gian và số chiều của miền ổn định là n. Vì
biên của một tập bất biến cũng bất biến và biên của một tập mở là một tập
đóng nên ta có thể kết luận rằng biên ổn định ∂A(xs ) là một tập đóng bất
biến có số chiều < n. Nếu miền ổn định A(xs ) khơng trù mật trong Rn thì
biên ổn định ∂A(xs ) có số chiều là n − 1.

1.4

Lý thuyết hàm năng lượng
Hàm năng lượng đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định các

miền ổn định của một hệ động lực phi tuyến. Dựa vào đây, người ta đưa ra
phương pháp hiệu quả để ước lượng miền ổn định. Lý thuyết về hàm năng
lượng cho các hệ động lực phi tuyến tổng quát sẽ được trình bày trong phần
này. Các lý thuyết hàm năng lượng này cũng có thể được áp dụng rộng rãi
trong các vấn đề khác về hệ động lực phi tuyến.

1.4.1

Hàm năng lượng
Xét hệ động lực phi tuyến tổng quát được mô tả như sau

x(t)
˙
= f (x(t)).
15


(1.4)


Giả sử hàm V : Rn → R thuộc vào lớp C r với r ≥ 1. Khi đó, V được gọi là
một hàm năng lượng của hệ động lực phi tuyến (1.4) nếu thỏa mãn ba điều
kiện sau đây.
(1) Đạo hàm của hàm V (x) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) bất kỳ luôn không
dương, tức là

V˙ (x(t)) ≤ 0.
(2) Nếu x(t) là một quỹ đạo nghiệm không tầm thường (tức là x(t) không
phải là một điểm cân bằng) thì dọc theo quỹ đạo nghiệm khơng tầm
thường x(t) này, tập {t ∈ R : V˙ (x(t)) = 0} có độ đo bằng 0 trong R.
(3) Nếu với x(t) có giá trị V (x(t)) bị chặn với t ∈ R+ thì suy ra quỹ đạo
nghiệm x(t) cũng bị chặn với t ∈ R+ .
Các điều kiện (1) và (2) suy ra V (t) đơn điệu giảm thực sự dọc theo quỹ đạo
nghiệm bất kỳ trong khi điều kiện (3) phát biểu rằng hàm năng lượng là một
ánh xạ tương thích dọc theo quỹ đạo nghiệm bất kỳ. Một cách trực quan, ta
có thể hiểu rằng năng lượng của một chất điểm tại điểm xuất phát giảm giần
theo thời gian. Điều này là phù hợp với các mơ hình năng lượng trong vật
lý, được mơ tả trong các phương trình truyền nhiệt, truyền sóng. Tuy nhiên,
ta khơng u cầu bắt buộc hàm năng lượng nhận giá trị dương trong định
nghĩa này. Từ định nghĩa trên, dễ dàng quan sát thấy rằng một hàm năng
lượng có thể khơng phải là một hàm Lyapunov và ngược lại.
Ví dụ 1.3. Xét một lớp hệ động lực được mô tả như sau

x˙ = f (x) = −∇V (x),
trong đó V : Rn → R là một hàm vơ hướng, tương thích thuộc lớp C 1 . Rõ
ràng, V thỏa mãn điều kiện (3) đối với định nghĩa hàm năng lượng. Bây giờ,

ta sẽ đi kiểm tra các điều kiện (1)-(2). Đạo hàm V (x(t)), ta có
T

∂V (x)
V˙ (x) =
.f (x)
∂x
= ∇V (x), f (x)
= − ∇V (x), ∇V (x) = − V (x)
16

2

≤ 0.


Do đó, điều kiện (1) được đảm bảo. Ngồi ra, V˙ (x) = 0 khi và chỉ khi

f (x) = 0. Nói cách khác, V˙ (x) = 0 khi và chỉ khi x là một điểm cân bằng.
Do đó, điều kiện (2) được thỏa mãn và V (x) là một hàm năng lượng.
Định lý 1.13 ([5]). Giả sử tồn tại một hàm thỏa mãn các điều kiện (1)-(2)
của hàm năng lượng trong hệ động lực phi tuyến (1.4) và mọi điểm cân bằng
là cơ lập. Khi đó, mọi quỹ đạo nghiệm bị chặn của hệ (1.4) đều hội tụ tới
một trong số các điểm cân bằng.
Chứng minh. Giả sử S là tập w-giới hạn của quỹ đạo bị chặn x(t). Theo
Định lý 1.2, đây là tập khác rỗng. Để chứng minh S chỉ chứa điểm cân bằng,
ta sẽ chứng minh hai phần
(a) S nằm trong tập mà đạo hàm của V tại đó bằng 0,
(b) x
ˆ∈

/ S if xˆ ∈
/ E.
Giả sử rằng x
ˆ ∈ S . Từ định nghĩa tập w-giới hạn, suy ra tồn tại một
dãy tăng {tn }: x(tn ) → x
ˆ khi n → ∞. Từ tính bị chặn của x(t) và điều kiện
(1) của hàm năng lượng, ta suy ra V (x(t)) là một hàm khơng tăng, bị chặn
dưới. Do đó, tồn tại một số thực α sao cho V (x(tn )) → α khi n → ∞. Từ
tính liên tục của hàm V , ta suy ra V (ˆ
x) = α với mọi xˆ ∈ S . Từ tính bất
biến của S , suy ra rằng V˙ (ˆ
x) = 0 với mọi xˆ ∈ S . Như vậy, phần (a) được
chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử rằng x
ˆ ∈ S và xˆ ∈
/ E . Từ phần (a) và S là tập bất
biến, tồn tại một khoảng I mà tại đó, đạo hàm của nghiệm đi qua x
ˆ∈S
bằng 0. Mặt khác, V˙ (ˆ
x(t)) = 0 với mọi t ∈ I , điều này mâu thuẫn với giả
thiết (2) của hàm năng lượng. Do đó, x ∈ E . Do tính liên thơng của S và
mọi điểm cân bằng đều là điểm cô lập suy ra mọi quỹ đạo nghiệm bị chặn
của hệ (1.4) đều hội tụ đến một điểm cân bằng.
Định lý 1.13 khẳng định quỹ đạo nghiệm của hệ (1.4) hoặc hội tụ đến
một điểm cân bằng hoặc tiến đến vô cùng. Trong khi đó, định lý sau đây
khẳng định mọi quỹ đạo trên biên ổn định hội tụ đến một trong số các điểm
cân bằng không ổn định trên biên ổn định.
17



Định lý 1.14 ([4]). Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ phi tuyến
tổng quát (1.4) thì mọi quỹ đạo nghiệm trên biên ổn định ∂A(xs ) đều hội tụ
đến một điểm cân bằng trên biên ổn định ∂A(xs ).
Hệ quả sau đây của Định lý 1.14 cho phép ta sử dụng các khái niệm
đã trình bày để xấp xỉ biên ổn định. Nói riêng, đây cũng là một đặc trưng
của biên ổn định.
Hệ quả 1.15 ([4]). Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ phi tuyến
(1.4) có điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs (khơng phải là điểm cân bằng ổn
định tồn cục) thì biên ổn định ∂A(xs ) chứa trong miền là hợp các đa tạp ổn
định của các điểm cân bằng không ổn định trên biên, tức là

∂A(xs ) ⊆ ∪W s (xi ),

xi ∈ {E ∩ ∂A(xs )}.

Định lý tiếp theo đưa ra cấu trúc của các điểm cân bằng trên biên ổn
định. Ngoài ra, đây là điều kiện cần thiết để tồn tại một số loại điểm cân
bằng đặc biệt trên biên ổn định bị chặn.
Định lý 1.16 ([4]). Giả sử tồn tại một hàm năng lượng đối với hệ động lực
phi tuyến tổng quát (1.4) với điểm cân bằng ổn định xs (không phải là điểm
cân bằng ổn định tồn cục) thì biên ổn định ∂A(xs ) phải chứa ít nhất một
điểm cân bằng loại 1. Hơn nữa, nếu miền ổn định bị chặn thì biên ổn định

∂A(xs ) phải chứa ít nhất một điểm cân bằng loại 1 và một điểm nguồn.
Hệ quả sau đây của Định lý 1.16 được sử dụng để dự đốn tính khơng
bị chặn của miền ổn định.
Hệ quả 1.17. Nếu tồn tại một hàm năng lượng đối hệ phi tuyến tổng quát
(1.4) với điểm cân bằng ổn định tiệm cận xs (không phải là điểm ổn định
tồn cục) và nếu ∂A(xs ) khơng chứa điểm nguồn thì miền ổn định A(xs ) là
khơng bị chặn.


1.4.2

Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai
Mặc dù các hàm năng lượng có thể cung cấp thơng tin rõ nét về quỹ

đạo nghiệm toàn cục của các hệ động lực phi tuyến phi tuyến, nhưng vấn đề
18