Bổ đề cát tuyến và ứng dụng trong giải một số bài toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (297.05 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

http://www

.molympiad.blogspot.com

Bổ đề cát tuyến và ứng dụng trong giải

một số bài tốn

Lời nói đầu: Trong q trình giảng dạy đội tuyển thi VMO, thầyTrần Minh
Ngọc-THPT chuyên Lê Hồng Phong đã đề xuất bổ đề sau: "Cho tứ giácABCD nội
tiếp(O)có 2 đường chéoAC, BDcắt nhau tạiI. Khi đó IA

IC =
BA
BC.

DC" với tên gọi

"bổ đề cát tuyến". Bổ đề này đã xuất hiện trong "An elementary treatise on modern
pure geometry" của tác giả Lachlan năm 1893. Sau đây chúng ta sẽ sử dụng bổ đề
này để giải một số bài toán:

Trước khi đi vào ứng dụng ta cùng chứng minh lại bổ đề này:

Chứng minh: Ta có: IA

IC =
SIAD
SICD =

2.AD.ID.sin∠ADB
1

2.CD.ID.sin∠CDB

= AD.sin∠ADB
CD.sin∠CDB =
AD.AB

CD.BC hay đpcm.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

http://www

.molympiad.blogspot.com

Ngoài cách chứng minh đơn giản trên thì các bạn cịn có thể sử dụng tam giác đồng
dạng để chứng minh bổ đề. Bây giờ chúng ta sẽ cùng xem ứng dụng của bổ đề này
qua một số bài toán.

Bài toán 1(Thi thử KHTN đợt 3/2017): Cho tam giác ABC nội tiếp(O). P là
1 điểm bất kì trên cungBC khơng chứa Acủa(O). LấyE, F lần lượt trên AC, AB:

P B = CE, P C = BF. Gọi (AEF)∩(O) = A, G. Chứng minh rằng: GP chia đôi

BC.

Lời giải 1: Lấy S đối xứng B qua G. Ta thấy rằng: 4GF B ∼ 4GEC(g.g) do đó

GB
GC =

F B
EC =

P C
P B =

GC, do đó chú ý rằng: ∠SGC = 180

◦−

∠AGC =∠BP C do
đó 4BCP ∼ 4CSG(c.g.c) hay là ∠BGP = ∠BCP = ∠CSG nên GPkSC hay là

GP chia đơi BC(theo tính chất đường trung bình).

Nhận xét: Cách làm trên là cách tiếp cận bằng tam giác đồng dạng thật là độc đáo.

Lời giải 2: Ta thấy rằng: 4GF B ∼ 4GEC(g.g) do đó GB

GC =
F B
EC =

P C
P B. Gọi

GP ∩BC = I. Theo bổ đề cát tuyến thì: IB

IC =
GB
GC.

P B

P C = 1 do đó thu được

đpcm.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

http://www

.molympiad.blogspot.com

Tiếp theo là một chùm bài toán mà sử dụng bổ đề cát tuyếnđã giúp làm sáng tỏ
cũng như mở rộng vấn đề. Ta bắt đầu bằng bài toán hay sau:

Bài toán 2(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giácABCnội tiếp(O)có tiếp tuyến
tạiB, C cắt nhau ởT. AT ∩BC =D. HạT G⊥OA,H là chân đường cao hạ từ A

của tam giácABC. Chứng minh rằng: GD cắtT H trên (OBC).

Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Gọi T H ∩(OBC) = J. Ta thấy ngay rằng:

G∈(OBC). Kẻ các đường cao BE, CF của tam giác ABC. EF ∩BC =S. Ta để
ý rằng: (SH, BC) = −1 do đó HS.HM = HB.HC = HJ.HT vậy SJ M T nội tiếp
suy ra∠SJ T = 90◦do đóS, J, Othẳng hàng. Ta đi chứng minhJ, D, Gthẳng hàng.

GọiAT∩(O) =K. Ta có: AH ⊥BC màHJ ⊥SOdo đó∠J HA=∠J SH. Lại có:

J T là phân giác trong góc∠BJ Cdo đóT H.T J =T B2=T C2 =T O.T M =T K.T A

do đóJ HKA nội tiếp suy ra∠J HA=∠J KD=∠J SDdo đó J SKD nội tiếp. Gọi

OD∩(OBC) =L, D. Ta có: OJ.OS =OM.OT =OD.OLdo đó S, J, D, K, L đồng
viên hay là: ∠J KA=∠J LD=∠J GA do đóJ AGK nội tiếp. GọiGD∩(OBC) =
G, J0, ta có: DJ0.DG = DB.DC = DK.DA thế thì: J0AGK cũng nội tiếp do đó

J ≡J0 hay làJ, D, G thẳng hàng. VậySO, DG, T H đồng quy trên(OBC)(đpcm).

Nhận xét: Bài toán trên rất đẹp và cách giải trên do tơi phát triển từ một bài tốn nổi
tiếng từ kì thi vơ địch Tốn Iran năm 2011. Tiếp tục mở rộng hơn thay AH, AO

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

http://www

.molympiad.blogspot.com

Bài toán 3(Mở rộng bài toán 2): Cho tam giác ABC. Một đường tròn(Q) qua

B, C. Trung trực BC cắt(Q) lần lượt tạiI, K(theo thứ tựI, Q, K từ trên xuống)(I

nằm trong tam giác ABC). AI ∩(Q) = G và lấyH thuộc BC sao cho: AH đẳng
giác AI. AD là đường đối trung của tam giác ABC(D ∈ BC). Chứng minh rằng:

KH cắt GD trên(Q).

Lời giải: Gọi AI∩BC = L, KH∩(Q) = J. J Q∩BC = D0. Ta thấy rằng: J K

là phân giác góc ∠BJ C do đó J B

J C =
HB

HC. Mà IB = IC nên GI là phân giác góc
∠BGC do đó: LB

LC =
GB

GC. Để ý rằng:
D0B
D0C =

J B
J C.

GB
GC =

HB
HC.

LB
LC =

AB2
AC2 do đó

AD0 cũng là đường đối trung của tam giácABCnênD≡D0do đóGDcắtKH trên

(Q)(đpcm).

Nhận xét: Lời giải trên rất hay bởi đã tận dụng được các giả thiết tới mức tuyệt
đối(cách vẽ phụ cũng đơn giản). Tiếp tục mở rộng hơn bởi hai đường đẳng giác bất
kì ta được bài toán sau:

Bài toán 4(Nguyễn Duy Khương)(Mở rộng bài toán 2,3): Cho tam giácABC.
Một đường tròn (K) qua B, C. Lấy I, J trên BC sao cho AI, AJ đẳng giác trong

∠BAC(B, I, J, C nằm theo thứ tự đó trên BC). Trung trực BC cắt (K) tại M, N.
Gọi M J ∩(K) = Q, M và AD là đường đối trung của tam giác ABC(D ∈ BC).
Chứng minh rằng: QD cắtIN trên (K).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>