<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ 2 LỚP 7

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho dãy giá trị của dấu hiệu:

4 7 5 8 5 7 4 8 7 3

1 2 3 4 6 8 8 2 3 1

Tần số của giá trị 8 là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 2. Đơn thức đồng dạng với đơn thức



2x y

3 3 là:
A.



2xy

3 B.

2

1

 

x y

2 3

2

C.

3

1

x y

2

D.





3

5xy

Câu 3. Bậc của đơn thức

5x

2





2yx

3



là:

A. Bậc 4 B. Bậc 5 C. Bậc 6 D. Bậc 7

Câu 4. Những số nào sau đây là nghiệm của đa thức

3x

2



3x

?

A. 0 và 1 B. 1 và –1 C. –3 và 3 D. 0 và –1

Câu 5. Cho ΔMNP có M 60  o, N 55  o. So sánh nào sau đây là đúng?

A. NP>MP>MN B. MN>MP>NP C. NM>NP>MP D. NP>MP>MN
Câu 6. Cho hình bên, biết G là trọng tâm của ΔABC. Tìm câu sai:

A.

GD GM

GN

1

GA



GB



GC



2

B.

GA

GB

GC

2

GD GM





GN



C.

AD

BM

CN

3

AG



BG



CG



2

D.

GD GM GN





Câu 7. Tập hợp nghiệm của đa thức

4x

2



9

là:
A. 3

2

 
 
 

B. 3

2

 



 

 

C. 3 3;

2 2

 



 

 

D.



G

D

N M

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Câu 8. Với bộ 3 đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ 3 nào không thể là 3 cạnh của tam
giác:

A. 3cm, 4cm, 5cm B. 6cm, 9cm, 12cm

C. 2cm, 4cm, 6cm D. 5cm, 8cm, 10cm

Câu 9. Trong tam giác ABC các đường cao AE của góc A và BF của góc B cắt nhau
tại H. Khi đó điểm H:

A. là trọng tâm của tam giác ABC B. cách đều 3 cạnh của tam giác ABC
C. cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC D. là trực tâm của tam giác ABC.

Câu 10. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh có góc A 120 o. Hai đường phân giác

trong của góc

B



và góc C trong tam giác ABC cắt nhau tại I. Số đo của góc BIC là:
A.

140

o B.

160

o C.

150

o D. Một kết quả khác
+) Với hai đa thức: P x

 

 x32x2 x 1 và Q x

 

x3x2 x 2 hãy trả lời
câu hỏi 11, 12, 13:

Câu 11. P(x) + Q(x) là đa thức:

A. x21 B.

x

3



3x

2



1

C. x2 1 D.

3x

2



3

Câu 12. Biết P(x) + R(x) = Q(x). Vậy đa thức R(x) là:

A.



2x

2



2x 3



B.

2x

3



3x

2



2x 3



C.

2x

3



3x

2



2x 3



D.

2x

2



2x 3



Câu 13. Nghiệm của đa thức P(x) + Q(x) là:

A. 0 B. 1 C. – 1 D. Vô nghiệm
Câu 14. Bậc của đa thức

2x

4

 

x 4x

3



2x

4



5

là:

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 15. Thu gọn đơn thức

4x y. 2x y . xy

3





2 3

 



3



ta được:

A. 8x y5 8 B. _{8x y}6 7 _C.8x y6 7 D. 8x y 5 8
Câu 16. Nghiệm của đa thức

_

<i>_x</i>_₂

_

_

<i>_x</i>2_₁

_

_là:

A. 2; -1; 1 B. 2; -1 C. 2 D. 2; 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A. 7 B. 9 C. 8 D. 6
Câu 18. Cho ABC vuông tại B có AB = 8 cm; AC = 17cm. Số đo cạnh BC là:

A. 13 cm B. 25 cm C. 19 cm D. 15 cm

Câu 19. Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Khi đó O là giao điểm của:

A. Ba đường cao B. Ba đường trung trực

C. Ba đường trung tuyến D. Ba đường phân giác.

Câu 20. Cho tam giác ABC cân tại B, trực tâm H. Thêm điều kiện gì để H là trọng
tâm của tam giác này?

A. AB > AC B. AB AC C. A 60  o D. B 90  o

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án D D C D C D C C D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A B D C B C A D B C

II. Bài tập tự luận

Dạng 1: Thống kê

Bài 1. Điều tra điểm thi học kì 2 của học sinh lớp 7A được ghi lại trong bảng sau
7 10 5 9 6 8 8 7 10 8 7 8 9 7 8 5 10 8 8 9

8 9 8 7 7 9 8 5 9 6 8 10 8 8 10 8 7 9 8 6

a) Dấu hiệu điều tra là gì? Có bao nhiêu đơn vị điều tra
b) Lập bảng tần số, tính số trung bình cộng và tìm mốt
c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nêu nhận xét

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu: điểm thi học kì 2 của học sinh lớp 7A
b) Bảng tần số:

Điểm thi học kỳ II (x) 5 6 7 8 9 10

Tần số n 3 3 7 15 7 5 N=40

,

X 7 875 , mốt M_o 8.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 2. Để đánh giá lượng nước (tính theo m3_{) tiêu thụ mỗi gia đình trong một}
tháng của 30 hộ trong một xóm, người ta lập bảng như sau:

9 6 11 9 7 8 7 9 10 14

5 14 8 10 7 10 8 7 9 12

6 11 10 7 9 8 7 10 10 12

Hãy cho biết:

a) Dấu hiệu mà người ta cần quan tâm là gì?

b) Lập bảng tần số các giá trị của dấu hiệu. Tìm mốt của dấu hiệu?

c) Qua bảng ‘tần số’, em hãy rút ra nhận xét về lượng nước tiêu thụ của mỗi gia
đình?

d) Tính số trung bình cộng?

f) Vẽ biểu đồ biểu diễn lượng nước tiêu thụ của các gia đình trong xóm?

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu: lượng nước (tính theo m3_{) tiêu thụ mỗi gia đình trong một tháng của}
30 hộ trong một xóm.

b) Bảng tần số :

Lượng nước (x) 5 6 7 8 9 10 11 12 14

Tần số (n) 1 2 6 4 5 6 2 2 2 N=30

Mốt M_o 10

c) Học sinh tự nhận xét.
d) X9

f) Học sinh tự vẽ biểu đồ.

Bài 3. Một giáo viên theo dõi thời gian giải xong một bài tập (tính theo phút) của
học sinh 7A như sau:

9 7 8 4 6 8 7 7 8 7

8 8 8 11 4 7 4 11 9 8

7 7 8 11 7 6 8 7 4 8

a) Dấu hiệu ở đây là gì và dấu hiệu này có tất cả bao nhiêu giá trị?
b) Lập bảng “tần số”.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Hướng dẫn:

b) Bảng tần số:

Thời gian (x) 4 6 7 8 9 11

Tần số (n) 4 2 9 10 2 3 N=30

c) X 7 4 ,

Mốt của dấu hiệu M_o 8.
Dạng 2. Thực hiện phép tính
Bài 4. Thực hiện phép tính sau:

a) 333 55 3

444 22 5  b)

1 5 13 5

4 :

3 2 3 4

 

  

 

 

c) 5: 1 5 5: 1 2

9 11 22 9 15 3

   

  

   

   

d)

 

 

2
1

0 ₃

2 1 1 ₂ ₅

0,1 . 2 : 2

7 49

_{ } 
 
  _ _
   _ _
 
  __{ } _  
Hướng dẫn:

a) 23
20

 b) 2

c) 5 d) 3

Bài 5. Tìm x, biết:

a)



x 2 :3 1



1
3

    b) 2x 3 5 3

  

c) 1x . 2,7 9

3    d)



 



2 2

x 1  2x 1 0

Hướng dẫn:

a) x4 b) x4

c) x 10 d) khơng có giá trị nào của x.

Dạng 2. Đơn thức

Bài 6. Hãy thu gọn và tìm bậc của đơn thức: M 3x y.2 9x y2 5
2

 

 _ _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

4 6
27

M x y

2

 , đơn thức M có bậc là 10.

Bài 7. Tính tích của hai đơn thức:



0,5x y

2 và



2x y

2 3. Tính giá trị của đơn thức
vừa tìm được tại x = 0,25 và y = 4.

Hướng dẫn:



, 2

 

. 2 3



4 4
A 0 5x y 2x y x y

Tại x = 0,25 và y = 4 thì A

_

0 25,

_

4.44 1

Bài 8. Thu gọn các đơn thức rồi tìm bậc và chỉ ra phần hệ số của chúng (với a, b là
hằng số)

a)









2

2

1

2

M

2axy

4axy

ab

16







 

_

_





b)



2



2





16.

2x y .

axy

N

5b







Hướng dẫn:

a) _M 1 _{a b x y}4 4 2 3
32

  có bậc là 5, hệ số là 1 _{a b}4 4
32

 .

b) _N 64a_{x y}5 3
5b

  có bậc là 8, hệ số là 64a
5b

 .

Bài 9. Cho 3 đơn thức A ab x y ;B ax y ;C b x y 2 4 3  4 3  2 4 3. Những đơn thức nào đồng
dạng với nhau nếu :

a) a, b là hằng số; x, y là biến
b) a là hằng số; b, x, y là biến
c) b là hằng số; a, x, y là biến

Hướng dẫn:

a) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B, C.
b) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, C.
c) Các đơn thức đồng dạng với nhau là: A, B.

Bài 10. Cho đơn thức: _A 2_{x y}2 15_xy2



_{x y}3 2



5 8

  

_ _ _ 

  

. Biết x y

32và x 3y 3  . Tính
giá trị của đơn thức A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có x y 3y x 3y 3 1

3 2 6 3 6 9 3



    

 (Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

x 1
2
y
3



 




Ta có: . . . .

5

6 5 6

3 3 2 8

A x y 1

4 4 3 81

 
    _{ }  

 

Vậy A 8

81

  .

Bài 11. Cho hai đơn thức A 3xy3 2x y3 2

4 9

  

 _ _ _

  

; _B

 

_xy 25_{x y}2 3
8



a) Thu gọn đơn thức A, đơn thức B

b) Tìm phần hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức trên

c) Hai đơn thức trên có là hai đơn thức đồng dạng khơng? Vì sao?

Hướng dẫn:

a) _A 1_{x y}4 5
6

 , _B 5_{x y}4 5
8



b) Học sinh tự làm.

c) Hai đơn thức trên có đồng dạng vì có cùng phần biến là x y . 4 5

Bài 12. Cho hai đơn thức: A 2xy z3 . 9 x yz3

3 10
   
 _ _{ } _
   ;
2 3
1
B 1 x yz

4



a) Tính giá trị của biểu thức B khi x 1 y, 1,z 1
2

   
b) Tìm hệ số, phần biến và bậc của đơn thức M A B .

Hướng dẫn:

a) B 5
8

 khi x 1 y, 1,z 1
2

   

b) 3 6 5 5

M x y z

4



Đơn thức M có hệ số là 3

4, phần biến là

6 5 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Dạng 3. Đa thức

Bài 13. Cho đa thức

P(x)



7x

3



3x

4



x

2



5x

2



6x

3



2x

4



2019 x



3

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến
b) Viết các hệ số của P(x). Nêu rõ hệ số có bậc cao nhất và hệ số tự do của P(x).
c) Chứng tỏ rằng đa thức P(x) khơng có nghiệm.

Hướng dẫn:

a) P x( )x4 4x22019

b) Các hệ số của P(x) là 1; 4; 2019. Hệ số có bậc cao nhất là 1, hệ số tự do là 2019.
c) Ta có x44x20 x x44x22019 0 x

Vì P(x) > 0 x nên đa thức P(x) khơng có nghiệm.
Bài 14. Cho các đa thức _{A 4x}2 _{5xy 2x 5y 3y}2

     ; _B _3x2 _{2xy 5y y}2

     ;

2 2

C x 3xy 2x 2y  .

Hãy tính A + B + C; A – B – C; A – B + C; 2A + 3B – 5C.

Hướng dẫn:

A + B + C =6y210y 4x
A – B – C8x210xy

A – B + C6x24xy 4x 4y  2

2 2

2A 3B 5C 4x   19xy 6x 25y y  
Bài 15. Cho hai đa thức:

 

4 3

A x 8x 3x 3x 2x 4 và _{B x}

 

_2x4 _{4x 2 3x}3 _x2 _{4x 4x}4

      

a) Tính A(x) + B(x) và A(x) – B(x)

b) Tìm nghiệm của đa thức M(x). Biết rằng 4

M(x) A(x) B(x) 2x   2

Hướng dẫn:

a) A x( )B x( )14x46x3 x213x 6
A x( )B x( )2x4 x2 3x 2

b) M x( )x23x

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 16. Cho các đa thức:A(x) x 33x24x; B(x) 2x33x24x 1 .

Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa
thức B(x)

Hướng dẫn:

Ta có: A 0( )033 0. 24 0 0.  nên x = 0 là nghiệm của đa thức A(x)

Mặt khác, B 0( ) 2 0. 33 0. 24 0 1 0.   nên x = 0 không phải là nghiệm của đa
thức B(x).

Bài 17. Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a) 2x + 1 b) 6 – 2x c) _x3 _4x

 d) x20188x2015

Hướng dẫn:

a) x 1

2

  b) x 3

c) x 2; x 0; x2 d) x 2 x; 0.

Bài 18. Cho đa thức 2

D(x) 2x ax 7a 3  , tìm a biết rằng D(x) có nghiệm là – 1

Hướng dẫn:

Ta có: 2 1







2a.



1



7a 3 0 

  2 8a 3 0  a 1
8

 

Vậy a 1
8

 .

Bài 19. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện x f x. ( 2)(x4). ( )f x
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm.

Hướng dẫn:

Cho x = 0 ta được: 0. ( 2)f   4. (0)f  f(0) = 0
Cho x = 4 ta được: 4. (2)f 0. (4)f f(2) = 0
Ta thấy f(0) = f(2) = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

a) A x 22xy y 2 tại x 1;y 2
b) _{B 3xy x y}





_{2x y 2x y}3 2 2 ₅

     biết x y 0  .

Hướng dẫn:

a) A = 9 hoặc A = 1.
b) B = 5.

Bài 21. Tìm đa thức M, N biết:

a) M



5x22xy



6x29xy y 2
b)



3xy 4y 2



N x 27xy 8y 2

Hướng dẫn:

a) M x 211xy y 2
b) _N _x2 _{10xy 12y}2

   

Bài 22. Cho hai đa thức_{A(x) 2x x 2}



 

_{5 x 3}



_7x3

     và



 





2



B(x) x x 5  2x 3 x 3x 2x

a) Thu gọn A(x) và B(x)

b) Tìm nghiệm của đa thức P x

 

A x

 

B x

 

x 4x 52







Hướng dẫn:

a) A x( )7x32x29x 15 ; B x( )3x33x2 7x 3 .
b) P x( ) 2x 18

Ta có P x( )  0 2x 18 0  x 9
Vậy x 9 là nghiệm của đa thức P(x).

Bài 23. Chứng tỏ rằng các đa thức sau khơng có nghiệm:

a) 10x23 b)



x 1

 

2 x 2



25

Hướng dẫn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài 24. Cho hai đa thức f x( )

_

x 1 x 3

_



_

và g x( )x3ax2bx 3 . Xác định hệ
số a; b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức
g(x).

Hướng dẫn:

Đa thức f(x) có nghiệm là x = 1, x = -3.

Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên ta có:













. .

. .

3 2

3 2

1 a 1 b 1 3 0 a b 2 a 3

3a b 10 b 1

3 a 3 b 3 3 0

     _ _{ } _ _ _{ }



 

  

    

        




Vậy a = - 3; b = -1.

Bài 25. Cho đa thức một biến

 

1 5 4 3 5 4 2

5 4 7 5

2

Q x  x x  x x ax bx  c x 

Tìm a, b, c biết rằng Q(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 5 và hệ số tự do là – 10.

Hướng dẫn:

Trước hết ta thu gọn Q(x) và sắp xếp Q(x) theo lũy thừa giảm của x.









5 4 3 2

1

( ) 4 7 5 5

2

Q x _a _x  b x x  x  x  c

 

Vì Q(x) có bậc 4 nên 1 0 1

2 2

a  a .

Hệ số cao nhất là 5 nên b  4 5 b9.
Hệ số tự do là – 10 nên    c 5 10 c 5.

Vậy ta có 4 3 2

( ) 5 7 5 10

Q x  x x  x  x .
Dạng 4. Hình học

Bài 26. Cho ΔABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH BC (HBC). Gọi K là
giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔHBE

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EK = EC

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Hướng dẫn:

a) ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Theo câu a suy ra AE = HE; BA = BH

 BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) Chứng minh ΔAEK = ΔHEC (g.c.g)  EK = EC

d) Xét tam giác AEK vng tại A có: AE < EK (quan hệ giữa đường xiên và đường
vng góc), mà EK = EC (cmt). Vậy AE < EC (đpcm).

Bài 27. Cho ΔABC vng tại C có A 60  o. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. 
Kẻ BD vng góc với tia AE (D  AE).

a) Chứng minh AD = BC.

b) Kẻ EK vng góc với AB (KAB). Chứng minh ΔAEB cân, từ đó suy ra
AK = KB.

c) Chứng minh: ba đường thẳng AC, EK, DB đồng qui.

Hướng dẫn:

K

H

E

C
B

A

K
D

E
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a) Vì tam giác ABC vuông tại C và A 60  oB 30  o

Vì AE là tia phân giác của góc BAC nên  _{CAE EAB 30}  o

 

Từ đó ta chứng minh ΔABC = ΔBDA (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BC = AD (đpcm).

b) Ta có: EBA EAB 30   o Tam giác EAB cân tại E

Trong tam giác cân EAB có EK AB nên EK là đường cao suy ra EK là đường trung
tuyến của ΔEAB .

Vậy BK = AK (đpcm).

c) Xét tam giác EAB có: EK AB, AC BE, BD EA suy ra EK, AC, BD là 3 đường
cao của tam giác EAB nên chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm (đpcm).

Bài 28. Cho ΔEMN cân tại E



E 90  o



, các đường cao MA, NB cắt nhau tại I. Tia EI
cắt MN tại H.

a) Chứng minh ΔAMN = ΔBNM.

b) Chứng minh EH là đường trung tuyến của ΔEMN.
c) Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AN = 3cm, AE = 2cm.

d) Chứng minh I cách đều ba cạnh của ΔABH.

Hướng dẫn:

a) ΔAMN = ΔBNM (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Vì hai đường cao MA và NB cắt nhau tại I nên I là trực tâm  EI MN

 EH MN.

Xét tam giác cân EMN có EH MNEH là đường trung tuyến của ΔEMN (đpcm).

H

I

B

A

N

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

c) Ta có: EM = EN = AN + AE = 5cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔEAM vng tại A có 2 2 2 2 2

AM EM EA 5 2 21

AM 21

d) Chứng minh BA//MN (hs tự chứng minh)

ΔBMN vuông tại B, H là trung điểm của MNBH = MH = NH

ΔHBN cân tại H HBN HNB 

Mặt khác, BA//MNABN BNH  (hai góc so le trong)

ABN NBH  BI là phân giác của gócABH 

Chứng minh tương tự có AI là phân giác của góc BAH 

Suy ra I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABH.
Vậy I cách đều ba cạnh của ΔABH (đpcm).

Bài 29. Tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho BD = BA.

a) Chứng minh rằng: Tia AD là tia phân giác của HAC 
b) Vẽ DK AC (K  AC ). Chứng minh rằng: AK = AH
c) Chứng minh rằng: AB + AC < BC + AH

Hướng dẫn:

a) Ta có BD = BA ΔBAD cân tại BBAD BDA  
Xét ΔAHD vng tại H có HDA HAD 90   o

Mặt khác BAD DAC 90   o, mà BAD BDA  suy ra HAD DAC 
Vậy AD là tia phân giác của HAC . 

b) Chứng minh ΔADH = ΔADK (cạnh huyền – góc nhọn) AH = AK (đpcm).

K

D

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

c) Xét ΔKDC vng tại K có: KC < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Ta có: AB + AC = AB + AK + KC

BC + AH = BD + DC + AH

Vì AB = BD (gt), AK = AH (cmb), KC <DC (cmt)
Suy ra AB + AC < BC + AH (đpcm).

Bài 30. Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường thẳng
AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HD, HE.

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với AB, AC. Chứng minh
rằng HA là tia phân giác của MHN . 

c) Chứng minh rằng DAE 2MHB  .

Hướng dẫn:

a) Vì AB là đường trung trực của HD nên AD = AH (tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng)

Vì AC là đường trung trực của HE nên AH = AE (tính chất đường trung trực của
đoạn thẳng)

Suy ra AD = AE (đpcm).

b) Vì M và A cùng thuộc đường trung trực AB của DH nên ta chứng minh được:

 

MDAMHA

Tương tự vì N và A cùng thuộc đường trung trực AC của HE nên ta chứng minh
được:NHA NEA

Mà ADEAED(vì ΔADE cân tại A)MHAAHN
Vậy HA là tia phân giác của MHN (đpcm). 

c) Xét ΔADE cân tại A có _{DAE 180} o _2ADE

  (1)

N
M

E

D

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Mặt khác MHB 90  oMHA 90  oMDA(2)
Từ (1) và (2) suy ra DAE 2MHB  

Bài 31. Cho ΔABC vng tại A có AB = 6cm, AC = 8cm; đường phân giác BI.

Kẻ IH BC (HBC). Gọi K là giao điểm của AB và IH.
a) Tính BC.

b) Chứng minh ΔABI = ΔHBI.

c) Chứng minh BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

d) Chứng minh IA < IC.

e) Chứng minh I là trực tâm của ΔKBC.

Hướng dẫn:

a) BC = 10cm

b) ΔABI = ΔHBI (cạnh huyền – góc nhọn).
c) Từ câu b suy ra AB = HB  ΔABH cân tại B

mà BI là phân giác của góc ABH   BI là phân giác của ΔABH
Suy ra BI cũng là đường trung trực của ΔABH.

Vậy BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH(đpcm).

d) Ta có IA = IH. Mà trong tam giác IHC có: IC > IH.

 IA < IC (đpcm).

e) Xét tam giác KBC có: CA KB; KH BC, mà AC  KH = I
K

H
I

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Vậy I là trực tâm của tam giác KBC (đpcm).

Bài 32. Cho ΔABC vuông tại B,ACB CAB . Điểm K là trung điểm của AB. Đường 

trung trực của AB cắt AC tại M.
a) Chứng minh ΔABM cân.
b) Chứng minh MBC MCB  .

c) Vẽ BH là đường cao của ΔABC; BH cắt MK tại I. Chứng minh BM AI.
d) BM cắt AI tại E. Chứng minh HE // AB

e) Cho ACB 60  o, AC = 12cm. Tính độ dài đoạn AH.

Hướng dẫn:

a) Vì M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB (tính chất)

 ΔABM cân tại M.

b) Vì ΔABM cân tại M nên MBA MAB

Xét ΔABC vng tại B ta có: BCA CAB 90   o
Lại có CBM MBA 90   o

Suy ra MBC MCB (đpcm).

c) Xét tam giác IAB có AH BI, IK AB, IK  AH = M

 M là trực tâm của tam giác IAB  BM IA.

d) Chứng minh được ΔIBA cân tại I  IK là đường phân giác của ΔIBA
Chứng minh ΔIHE cân tại I có IK là phân giác của góc HIE   IK HE
Mặt khác có IK BA  HE//AB (đpcm).

e) Từ kết quả câu b  ΔMBC cân tại M

E
I

H

K
M

A
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

mà ACB 60  onên ΔMBC là tam giác đều  MC = MB = BC =MA = AB 6

2  cm

Tam giác MBC đều có BH MC  BH là đường trung tuyến của ΔMBC

 CH = HM =MC 6 3

2  2

Vậy AH = HM + MA =3 + 6 = 9cm.

Bài 33. Cho ABC vng tại B có A 60  o. Vẽ đường phân giác AD (D  BC).
Qua D dựng đường thẳng vng góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N.
Gọi I là giao điểm của AD và BM. Chứng minh:

a) BAD = MAD.

b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM.
c) ANC là tam giác đều

d) BI ND .

Hướng dẫn:

a) BAD = MAD (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Từ câu a  AB = AM  ΔABM cân tại A

Mà AD là phân giác của BAM   AD là đường trung trực của ΔABM
Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM (đpcm).

c) Chứng minh D là trực tâm của tam giác ANC AD NC.
Mà AD là phân giác của Asuy ra ΔANC cân tại A, 

I

N

M

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Lại có A 60  o ΔANC là tam giác đều (đpcm).
d) Tam giác ABM đều  AB = 2BI.

Lại có B là trung điểm của AN  AB = BN = 2BI.

Xét tam giác BND vuông tại B có: BN < ND (quan hệ đường vng góc và đường
xiên)  2BI < ND  BI < ND (đpcm).

Bài 34. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vng góc với BC (H



BC). Gọi M là
trung điểm của BH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

a) Chứng minh rằng: AMH = NMB và NB  BC.
b) Chứng minh rằng: AH = NB, từ đó suy ra NB < AB.

c) Chứng minh rằng: BAM MAH 

d) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng: Ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) AMH = NMB (c.g.c)  AHM NBM 90  o  NB BC.
b) Từ câu a  AH = NB.

Xét tam giác ABH vuông tại H có AH < AB (quan hệ đường vng góc và đường
xiên)  NB < AB (đpcm)

c) Từ câu a  MAH BNM  

Xét ΔABN có NB < AB (cmt)  BNM BAM 
Vậy MAH BAM   (đpcm)

I

N
M

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

d) Vì H là trung điểm của BC, M là trung điểm của BH  CH 2CM
3



Lại có CM là trung tuyến của ΔANC  H là trọng tậm của ΔANC

 AH là đường trung tuyến của ΔANC (1)

Mà I là trung điểm của NC  AI là đường trung tuyến của ΔANC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng (đpcm).

Bài 35. Cho tam giác ABC có AB<AC. Từ trung điểm D của BC vẽ đường vng góc
với tia phân giác của góc A tại H. Đường thẳng này cắt các tia AB tại E và AC tại F.
Vẽ tia BM song song với EF (MAC).

a) Chứng minh ΔABM cân.
b) Chứng minh: MF = BE = CF.

c) Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt tia AH tại I. Chứng minh: IF AC.

Hướng dẫn:

a) Ta có: AH EF mà BM // EF  AH BM
Lại có AH là đường phân giác của góc BAM 
Vậy ΔABM cân tại A (đpcm)

b) Học sinh tự chứng minh

c) Chứng minh IC = IM ΔIMC cân tại I.

Theo câu b, MF = FC  IF là đường trung tuyến của ΔIMC

 IF MC  IF AC.

I
M

E

F

H
D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Bài 36. Cho ΔABC cân tại C. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC.
Các đường thẳng AE, BD cắt nhau tại M. Các đường thẳng CM, AB cắt nhau tại I
a) Chứng minh AE = BD

b) Chứng minh DE // AB

c) Chứng minh IM AB. Từ đó tính IM biết BC = 15cm, AB = 24cm
d) Chứng minh AB+2BC > CI + 2AE.

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔCAE = ΔCBD (c.g.c)  AE = BD.

b) Chứng minh CDE CAB  , mà hai góc ở vị trí so le trong  DE // AB.

c) Ta chứng minh được M là trọng tâm của tam giác ABC  CI là đường trung
tuyến của ΔABC

Mà ΔABC cân tại C  IM AB.
Ta tính được IM = 3cm

d) Lấy F là điểm đối xứng với A qua E  AE = EF. Ta chứng minh được
ΔCEF = ΔBEA (c.g.c)  AB = CF.

Xét ΔACF có AC+ CF > AF (bất đẳng thức tam giác)

 AC + AB > AF, mà AC = BC (gt)  AB + BC > 2AE (1)

Mặt khác ta lại có CB > CI (2) (quan hệ giữa đường xiên và đường vng góc)
Từ (1) và (2)  AB+2BC > CI + 2AE (đpcm).

Bài 37. Cho ΔADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho:
1

DB EC DE

2

 

a) ΔABC là tam giác gì? Chứng minh.

F

I
M

E
D

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

b) Kẻ BM AD, CN AE. Chứng minh BM = CN.

c) Gọi I là giao điểm của MB và NC. ΔIBC là tam giác gì? Chứng minh.
d) Chứng minh AI là phân giác của BAC . 

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh được ΔADB = ΔAEC (c.g.c)  AB = AC (hai cạnh tương ứng)

 ΔABC cân tại A.

b) Từ câu a ΔADB = ΔAEC  MAB NAC 

Ta chứng minh được ΔABM = ΔACN (cạnh huyền – góc nhọn)  BM = CN.
c) Tam giác IBC là tam giác cân tại I (học sinh tự chứng minh) IBC ICB 
d) Chứng minh được ΔABI = Δ ACI (c.c.c)

 

BAI CAI

   AI là là phân giác của BAC (đpcm). 

Bài 38. Cho ΔABC vng tại A có AM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia

MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh ΔMAB = ΔMDC

b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh KB = KD.

c) KD cắt BC tại I và KB cắt AD tại N. Chứng minh ΔKNI cân.

Hướng dẫn:

I

N
M

C
B

E
D

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

a) ΔMAB = ΔMDC (c.g.c)

b) Ta có ABM DCM (vì ΔMAB = ΔMDC)

Suy ra AB // CD (có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Mà AB AC  CD AC hay tam giác ACD vuông tại C.

Chứng minh được ΔABK = ΔCDK (c.g.c)  KB = KD (hai cạnh tương ứng)
c) Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ABC KN 1KB

3

 

Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ACD KI 1KD
3

 

Mà KB = KD (cma) KN = KI ΔKNI cân tại K (đpcm).
Dạng 5. Một số bài tập nâng cao.

Bài 39.

a) Tìm x biết x 2  3 2x 2x 1

b) Tìm các giá trị nguyên của x và y biết: 5y 3x 2xy 11  

Hướng dẫn:

a) Ta có x 2  2x 3 2x 1

Xét x 3
2

 ta có:   x 2 2x 3 2x 1  

x 4
5

 (không thỏa mãn)

N I

K

D

M

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Xét 3 x 2

2  ta có:   x 2 2x 3 2x 1  

x 2 (không thỏa mãn)
Xét x 2 ta có: x 2 2x 3 2x 1    

x 6 (thỏa mãn)
Vậy x = 6 là giá trị cần tìm.

b) Ta có: 5y 3x 2xy 11  
10y 6x 4xy 22  

_

2x 5 2y 3

_



_

7

Từ đó ta tìm được các cặp giá trị ngun (x; y) là (3; - 2); (2;-5); (6;-1); (-1;-2).
Bài 40. Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn 8x 3y 29  và 9x 1008z 9  . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức A 26x 3y 2015z  

Hướng dẫn:

Ta có 9x 1008z 9  18x 2016z 18  (1) và 8x 3y 29  (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:

26x 3y 2016z 47  
A 26x 3y 2015z 47 z 47

       vì z 0 .
Dấu “=” xảy ra khi z = 0, x = 1, y = 7.

Vậy giá trị lớn nhất của A là 47 khi x = 1, y = 7, z = 0.

Bài 41. Cho A = 1 3 5 2009 . Chứng minh rằng ba số: 2A – 1; 2A; 2A + 1 đều . . ...

khơng phải là số chính phương.

Hướng dẫn:

Ta có 2A chia hết cho 2 nhưng 2A khơng chia hết cho 4 nên 2A khơng là số chính
phương.

2A – 1 = (2A – 3) + 2 2A – 1 chia cho 3 dư 2  2A – 1 khơng là số chính
phương.

Giả sử 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Vậy 3 số 2A – 1; 2A; 2A +1 khơng là số chính phương.

Bài 42. Cho đa thức f(x) x 8101x7101x6101x5 ... 101x2101x 1 . Tính
f(100).

Hướng dẫn:

Ta có:

( ) 8 . 7 . 6 . 5 ... . 2 .

f 100 100 101 100 101 100 101 100  101 100 101 100 1





.





. ...





.





.

8 7 6 2

100 100 1 100 100 1 100 100 1 100 100 1 100 1

          



 



...



 



8 8 7 7 6 3 2 2

100 100 100 100 100 100 100 100 100 1

          

99

  .

Bài 43. Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f x( )ax2 bx c , với a, b, c là hằng
số, a khác 0. Tìm tam thức bậc hai trên biết f(1) =4, f(-1) = 8 và a c  4.

Hướng dẫn:

Với f 1( )4   a b c 4(1)
Với f 1( )   a b c 8 (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta được a c 6 
Lại có a c   4 a =1; c = 5; b = - 2
Vậy tam thức cần tìm là f x( )x22x 5 .

Bài 44. Cho f(x) 2x +ax+4 2 (a là hằng số); g(x) x 25x b . Tìm các hệ số a, b
sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5)

Hướng dẫn:

Ta có f(1) 6 a  ; g(2)  6 b; f( 1) 6 a   ; g(5) b

Theo đề bài ta có: 6 a 6 b a b 12 a 3

6 a b a b 6 b 9



        

 

 

  

      

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Bài 45. Cho đa thứcA

 

x 



8x2 5x 14

 

99. 3x310x26x 2



50 . Sau khi thu
gọn thì tổng các hệ số của A(x) là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Giả sử A x

 

a x_n n a_{n 1}xn 1 ... a x₂ 2 a x a₁ ₀



     

Tổng các hệ số a_na_{n 1}_  ... a₂a₁a₀ A(1)



8 5 14 

 

99. 3 10 6 2  



50  1
Vậy tổng các hệ số của A(x) là – 1.

Bài 46. Cho đa thức



27 7



2002

( ) 1

Q x  x x  . Tìm tổng các hệ số của các lũy thừa

bậc lẻ của đa thức sau khi khai triển đa thức trên.

Hướng dẫn:

Ta thấy bậc của đa thức Q(x) là 27.2002 với hệ số của lũy thừa cao nhất là 1. Suy
ra đa thức có bậc chẵn.

Giả sử 27.2002 1 2

1 2 1 0

Q( )x x a x_n n .... a x a x a



     

1 2 1 0

(1) 1 _n _n ...

Q  a _ a _  a a

1 2 1 0

( 1) 1 _n _n ...

Q   a _ a _  a a



1 3 1



(1) ( 1) 2 _n _n ...

Q Q a _ a _ a

      

Đặt Sa_n_₁a_n_₃...a₁ (tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ)
Mặt khác Q(1)

_

1 1 1 

_

2002 1 ; Q

  

1    1 1 1



2002 32002

Vậy

2002

2002 1 3

1 3 2

2

S S 

   

Bài 47. Chứng minh rằng: Tồn tại số có dạng 111…111chia hết cho 31.

Hướng dẫn:

Xét 32 số: 1, 11, 111, 1111,…… ...

32

111 111_{} khi chia cho 31 chắc chắn tồn tại 2 số có
cùng số dư. Giả sử _m ...

m

a 111 111_{} và _n ...

n

a 111 111_{}có cùng số dư khi chia cho 31

(m > n)

Xét m n ... ... ... ...

m n m n n

a a 111 111 111 111 111 111000 000



</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Suy ra ... . n

m n

111 111 10 31







Mà



10 31n,



 1 ...

m n

111 111 31






Vậy tồn tại số có dạng 111…111 và chia hết cho 31 (đpcm)

Bài 48. Cho ba số dương 0 a b c 1  . Chứng minh rằng:

a b c

2
bc 1 ac 1 ab 1 
Hướng dẫn:

Vì 0 a b c 1  nên:

_

a 1 b 1

_



_

 0 ab 1 a b  

1 1 c c

ab 1 a b ab 1 a b

   

    (1)

Tương tự: a a

bc 1  b c (2);

b b

ac 1 a c (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra a b c a b c

bc 1 ac a ab 1  b c a c a b (4)

Mà a b c 2a 2b 2c 2 a b c





2

b c a c a b a b c a b c a b c a b c

 

      

           (5)

Từ (4) và (5) suy ra a b c 2

bc 1 ac 1 ab 1  (đpcm).

Bài 49. Cho x, y, z, t thỏa mãn: x y z t

y z t  z t x  t x y   x y z 

Tính

2017 2018 2019 2020

x y y z z t t x

P

z t x t x y z y

           
_ _ _ _ _ _ _ _

   

       

Hướng dẫn:

Ta có: x y z t

y z t  z t x  t x y   x y z 

 x 1 y 1 z 1 t 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

x y z t x y z t x y z t x y z t

y z t z t x t x y x y z

           
  
       
Xét TH1:

















x y z t

y z t x

x y z t 0

z t x y

t x y z

    

   


    _{ }
   

    


Khi đó P 

_

1

_

2017 

_

1

_

2018 

_

1

_

2019 

_

1

_

2020 0
Xét TH2: x y z t   0

y z t z t x t x y x y z x y z t

               

Khi đó P

_{ }

1 2017

_{ }

1 2018

_{ }

1 2019

_{ }

1 2020 4
Vậy P = 0 hoặc P = 4.

Bài 50. Cho





...

2 2 2 2

B 1 1 1 1

6 12 20 n n 1

 
   

_  _  _  _{ }_  _


   _{ } _

Chứng minh rằng  n 2 n,  thì B 1
3



Hướng dẫn:

Ta có:









. . ...n n 1 2

4 10 18
B

6 12 20 n n 1

 













. . .

. . ....
. . .

n 1 n 2
1 4 2 5 3 6

2 3 3 4 4 5 n n 1

 















. . ... . . ...
. . ... . . ...

1 2 3 n 1 4 5 6 n 2 1 n 2 n 2

2 3 4 n 3 4 5 n 1 n 3 3n

   

    



Với n N, n 2 thì

.

n 2 2 2 4 2 1

B

3n 3 2 6 3 3

 

    

Vậy B 1
3

</div>

<!--links-->