Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2011-2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.75 MB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Võ Tiến Trình 1

Đề

Tốn chun tuy

ển sinh trườ

ng Ph

ổ

Thơng Năng khiế

u –

Đạ

i H

ọ

c

Qu

ố

c Gia TP.HCM

Năm

2011 – 2012.

Câu 1.Cho phương trình bậc hai x2



m3



xm2 0, trong đó m là tham số sao cho

phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

a) Khi

m



1

, chứng minh rằng ta có hệ thức 8 8

1 2

2

6 x



x





b) Tìm tất cả các giá trị m sao cho x1  x2  5

c) Xét đa thức P x

 

 x3 ax2 bx. Tìm tất cả các cặp số



a b

,



sao cho ta có hệ

thức

P x

 

1



P x

 

2 với mọi giá trị của tham sốm.

Câu 2.

a) Cho

a b

,

là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 . 1

a b

P

ab

 





b) Cho

x y z

, ,

là các số thực thỏa mãn điều kiện

x



1,

y



1,

z



1

. Chứng minh
rằng ta có bất đẳng thức

1 

x



1 

y



1 

z



9 



x



y



z



Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có

AB



b AC

,



c

. M là một điểm thay đổi trên cạnh

AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt cạnh AC tại N.

a) Chứng minh tam giác AMNđồng dạng với tam giác ACB. Tính tỷ số

MA

MB

để diện

tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ACB.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh I luôn thuộc một

đường thẳng cốđịnh.

c) Gọi Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Chứng minh rằng độ dài IJ

không đổi.

Câu 4. Cho

a b c

, ,

là các số nguyên sao cho

2 a



b b

,2



c c

, 2



a

đều là các số chính

phương

 

*

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Võ Tiến Trình 2

b) Tồn tại hay không các số nguyên

a b c

, ,

thỏa mãn điều kiện

 

*

sao cho



a b b c c











a



không chia hết cho 27?

Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có

AB



3,

BC



4

a) Chứng minh rằng từ7 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật ABCD ln tìm được

hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn

5

b) Chứng minh rằng khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kỳ nằm trong
hình chữ nhật ABCD.

Hướng dẫn giải. 
Câu 1.

a) Khi

m



1

ta có phương trình x2 4x 1 0 với

    

'

4 1 3

0

nên phương

trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa x1 x2 4,x x1 2 1





8 8 8 8 4 4

1 2

2

6

1 2

2

6

1 2

2

6 x



x







x



x

 





x



x







4 4







1 2

2

6

1 2

6

1 2

6 x





 













1 2

2

1 2

6

4

2

6 x

x x





   

(đúng).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt



m 3



2 4m2 3



m 1 3



m



0 1 m 3

            

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khơng âm

 

0 1 3

0 3 0 1 3 *

0 0

m

S m m

P m



    






        

  



 

Ta có





2 2

1 2

5

1 2

5

1 2

2

1 2

5 3 2

5

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Võ Tiến Trình 3

2 2

2

3

2 m























 







 

















 







 







 





So với điều kiện (*) nhận 2

3
m .

P x

 

1



P x

 

2

,



m



P x

 

1



P x

 

2



0 

m





2 2





1 2 1 2 1 2 1 2 0

x x x x x x a x x b

        





2 2

1 2 1 2 1 2 0

x x x x a x x b m

        (vì x1  x2)



x1 x2



2 a x



1 x2



x x1 2 b 0 m

       









3 3 0

m a m b m m

       



a

6 

m b

3 a

9

0 m





 

 



6

0

6

3

9

0

9 a

b

a

b

 

 













 





Câu 2. 
a)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 . 1 1 1 2

1 1 1

a b a b a b ab a b

P

ab ab ab

      

  

  





2
1
1
ab
ab

 


Vậy Pmin  1 ab

b) Từ

x



1,

y



1,

z



1

ta có:



2 2 2





2 2 2



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Võ Tiến Trình 4





















2 2 2 2 2 2



2

1 x

1 y

1 z

1 x













Hơn nữa



1 

x



1 

y



 

1 x



y



x y

2 2

 

1 2

xy



x y

2 2





1 

xy









1 x

1 y

1 xy





 

Do đó ta có:



2 2 2





2 2 2







1 x  1 y  1 z  3 x  y  z 2 1xy 1 yz 1 xz





9 x y z

   

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Võ Tiến Trình 5



AMN





ACB

2 2

AMN
ACB

S AM AC

AM

S AC

 

     

 

Ta có:

2 2

MA AC MA AC

AB  AB  ABMA AB AC

MA AC

MB AB AC

 



b)Trong đường trịn (I) ta có:



1 

180 



90 

2 MAI





AIM





ANM

Kẻđường cao AH của tam giác ABC , H thuộc BC.

Ta có:

BAH





90 



ABC



90 



ANM

Do đó ta có: MAI  BAH A I H, , thẳng hàng.

Vậy I thuộc đường cao của tam giác ABC và đường cao này cốđịnh.

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có :

OJ vng góc BC, AI vuonnng góc BC nên OJ // AI.

IJ vng góc MN, AO vng góc MN nên IJ // AO

Do đó AIJO là hình hình hành nên IJ = AO khơng đổi.

Câu 4.

a) Ta có



2 a



b

 



2 b



c

 



2 c



a





3 

a

 

b

c





3

Theo đề giả sử

2 a b





3

nên



2 b



c

 



2 c



a





3

Vì sốchính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 nên

2 b c





3

và

2 c



a



3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Võ Tiến Trình 6

Từđó ta có

a

 

b

3 a





2 a



b





3;

b

 

c

3 b





2 b



c





3 



3

2

3 c



a



c



c



a



Vậy



a



b b





c c





a





27

b) Tìm được ba số thỏa

1, 2,0

Câu 5.

a)Chia hình chữ nhật thành 6 hình chữ nhật nhỏcó kích thước 1 x 2 mỗi hình có đường

chéo độ dài là

5

Theo ngun tắc đirichlet thì có ít nhất hai điểm nằm chung 1 hình là A, B và

Đề Toán Chuyên Tuyển Sinh Trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2011-2012

<b>Đề</b>

<b> Tốn chun tuy</b>

<b>ển sinh trườ</b>

<b>ng Ph</b>

<b>ổ</b>

<b>Thơng Năng khiế</b>

<b>u – </b>

<b>Đạ</b>

<b>i H</b>

<b>ọ</b>

<b>c </b>

<b>Qu</b>

<b>ố</b>

<b>c Gia TP.HCM </b>

<b>Năm</b>

<b> 2011 – 2012. </b>





<i>m</i>



1

2

2

6

<i>x</i>



<i>x</i>







 



<i>a b</i>

,



<i>P x</i>

 



<i>P x</i>

 

<i>a b</i>

,

<i>x y z</i>

, ,

<i>x</i>



1,

<i>y</i>



1,

<i>z</i>



1

1



<i>x</i>



1



<i>y</i>



1



<i>z</i>



9





<i>x</i>



<i>y</i>



<i>z</i>



<i>AB</i>



<i>b AC</i>

,

