Dãy số đơn điệu và dãy số có giới hạn - Lê Phúc Lữ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.55 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 1.

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

A. Kiến thức cần nhớ.

Xét dãy số thực (un) đơn điệu tăng (trường hợp giảm tương tự). Ta biết rằng:

- Nếu dãy bị chặn thì sẽ hội tụ, tức là có giới hạn hữu hạn.

- Nếu dãy khơng bị chặn thì sẽ có limun  , tức là vẫn có giới hạn nhưng giới hạn ở vô cực.

Điều này cho thấy một khi dãy tăng thì ln có giới hạn. Ý tưởng này có thể vận dụng để giải
nhiều bài tốn giới hạn dãy số từ dễ đến khó.

* Một kết quả quan trọng:
1) Tổng 1 1 1 1

1 2 3

n
s

n

       .

Thật vậy, xét hiệu 4 2 1 1 1; 8 4 1 1 1 1 1,...

3 4 2 5 6 7 8 2

s    s s      s tương tự 2 2 1

1
2

k k

s s  

nên khi chỉ số của tổng tăng thêm gấp đơi thì tổng sẽ tăng thêm hơn 1

2 đơn vị; giá trị này khơng

nhiều nhưng cũng đủ làm cho sn có thể tới được vô cực.

2) Tổng 12 12 12 12

1 2 3

n
v

n

     bị chặn.

Thật vậy, 1 1 1 2 1 2.

1 2 2 3 ( 1)
n

v

n n n

      

     Từ đây cũng thấy được vn hội tụ.

3) Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn:

Cấp số nhân có cơng bội q ( 1;1) thì lim 1 .
1
n

u
S

q





B. Bài tập vận dụng, rèn luyện. 
Bài 1. Cho dãy số (un) thỏa mãn

1 2 2 1

2016
2018, 2017, n n n

u u u u u

n

 

     với n1.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1 1 2 2 2

1 2

1, n , 1.

n

u u n

u u u



  

   với n1.

Chứng minh rằng un hội tụ và tính limun.

Bài 3. Cho dãy Fibonacci (Fn) xác định bởi F1F2 1,Fn2Fn1Fn. Xét dãy số sau

1 2

2 2 2

n

n n

F F F

u     .
Tính limun.

Bài 4. Cho dãy số (an) thỏa mãn

1 1

1 2

1, n n , 1

n

a a a n

a a a



   

   . Chứng minh rằng liman  .

Bài 5. Cho dãy số (an) thỏa mãn 1

2
1

4 n 5 n 3 n 4, 1.
a

a a a n

 


    



Chứng minh rằng liman  và tính
2

1 1

2
1

2
lim

n n n

a a a

 



 

  .

Bài 6. Cho dãy số (an) thỏa mãn

1 2

2 2

1, 2,

3 4

, 1.
2

n n

n

a a

a n

n




  



 

   



a) Đặt 1
2

n
n n

a

b a   , chứng minh rằng bn bị chặn.

b) Chứng minh rằng (an) hội tụ.

Bài 7. Cho dãy số (un) thỏa mãn

1 1

2018

, 2

2017 n n n n

n

u u u u

u



    với n1.

a) Thử thay u11 để ra công thức tổng quát của un, từ đó dự đốn khoảng giá trị của (un)
và tính  u2018.

b) Chứng minh rằng

1 2

1 1 1

n

n
a

u u u

    hội tụ.

c) Chứng minh rằng

1 2

.
n

n
n
b

u u u

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 8*. Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1 a x, n 1 xn x2n
n



   . Chứng minh rằng (xn) hội tụ.

Bài 9*. Cho a0a b, 0b với a b, 0. Xét các dãy số (an),( )bn thỏa mãn

1 1 1

1 1

2017 2018

n n n n n

n n

a a b a b

a b

       với n0.

a) Chứng minh rằng tồn tại k để ak2018.
b) Chứng minh rằng limbn .

c) Chứng minh rằng dãy số (an) hội tụ.

Bài 10*. Với mỗi số nguyên dương n, xét f n( ) là tích các chữ số của n. Xét dãy số

u  a  và un1un f u( n).

Chứng minh rằng tồn tại số hạng của dãy mà trong các chữ số của nó có chữ số 0.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gợi ý cho các bài.

Bài 1. Dễ thấy u3u1 nên 4 3 2 2016 2 1 2016 3

2 1

u  u  u  u  u u , cứ như thế quy nạp

được dãy giảm. Mà dãy bị chặn dưới bởi 0 nên hội tụ, đặt limun  L 0, thay vào có L2.

Bài 2. Dễ thấy 1 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

1 1

n n

u u

u u u u u u





  

      nên dãy giảm, bị chặn dưới

bởi 0 nên hội tụ. Đặt limun  L 0. Viết 1 2 2 2 3
2

1 2

1 1

1 1

n
n

n n

n
n

u
u

u u u u u

u

   

     nên suy

ra 3

1 1

n n n n

u u u u . Đến đây mới được thay L vào để có lim0.

Bài 3. Nhắc lại cơng thức tổng quát của dãy 1 1 5 1 5

2 2

n n

n
F

    

      

   

       

 

nên dễ thấy un là

tổng của hai cấp số nhân có cơng bội 1 2

1 5 1 5

4 4

q   q   đều lùi vô hạn.

Suy ra 1 2

1 2

lim 2.

1 1

5
n

q q

u

q q

 

 

    



 

Bài 4. Rõ ràng dãy đã cho tăng. Nếu nó bị chặn, đặt chặn trên là C thì unC,n.

Ta có 1

n n

a a

nC

   , suy ra 1 1

1 1 1 1

1 2
n

a a

C n



 



       , mâu thuẫn.

Bài 5. Ta có an1an nên dãy tăng. Nếu dãy bị chặn thì có liman L 0, thay vào thấy vô

lý. Chú ý rằng 4 n 1 5 3 1 4 lim n 1 2

n n n

a a

a a a

 

      , trong biểu thức đã cho, chia tử và mẫu
cho 2

n

a là tính được giới hạn.
Bài 6. a) Ta có 1

2 1 2 1 2

4 4

2 2

n n

n n n n

a a

a a b b

n n



          nên dễ thấy ( )bn bị chặn.

b) Ta có dãy an tăng và 1
2

n
n

a

a   C với mọi n, suy ra 1 1

1 2

2 2

n n n

n

a a a

C a C

 





    .

Bài 7. a) Dự đoán 2 2
( 1) .
n

n u  n Chứng minh bằng quy nạp.

Chú ý rằng 2 2

1 2 2 ( 1) 2( 1) 1 ( 2)

n

n n n

u

u u u n n n

n

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>









2 2 2

1 2 2

2 1

( 1) 2 n 1 1 0

n n n n

n
u

u n u n u n u n

n u n n


 
 

             

 
  .

Dễ dàng có được  u2018  2018.
b) Ước lượng với 12 12

1 2  c) Ước lượng với
1 1
1 2 

Bài 8. a) Giả sử ngược lại là ak2018,k thì bn1bn nên với mọi n thì bnb.

Do đó 1 1 0

2017 2018 2017 2018

n n

n

a a a

b b

           , mâu thuẫn.

b) Xét vị trí k để ak2018, đặt 1
2018

k
a

q  thì bk1qbk và

2
1

2 1 1

2018 2018

k k

k k k k

a a

b   b  b q b nên tương tự có n
k n k

b q b . Suy ra limbn  .

c) Ta có k 2 k 1 1
k

a a

qb

    nên 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

k n k n k

k k

a a a

b q q q b q

   

 



        



   . Dãy an

bị chặn trên nên hội tụ (vì rõ ràng dãy đã tăng).
Bài 9. Chỉ cần chứng minh (xn) bị chặn trên. Ta có

1 2 4 2

1 1

4 2

n

n n n

x

x x x

n n n



 



     

 nên

1 2
1
2
n n
x x
n

   , tính tổng này thì thấy 1 1 2 2 2 1

1 1 1 1

1
2 1 2

n

x x x

n



 



        .
Bài 10. Rõ ràng nếu un có chứa chữ số 0 thì f u( n)0 và dãy trở thành hằng. Ngược lại nếu
khơng có số hạng nào như thế thì dãy tăng và tiến tới vô cực. Chú ý rằng

,
( )
lim 0
m m
f m
m

  

vì nếu đặt 1

1 2 1 10

k
k

ma a a  a  , còn 1

1 2 1

( ) k 9k

f m a a a  a  nên

1
( ) 9

0.
10
k
f m
m

 

   
Do dãy un   nên với mỗi k

