Hướng dẫn ôn tập ở nhà toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (468.46 KB, 45 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ngày giao bài: 3/2/2020
Ngày hồn thành: 15/2/2020

ƠN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A.

Kiến thức

1. Phương pháp thế
a. Quy tắc thế

- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn
- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho

2. Phương pháp cộng đại số
a. Quy tắc cộng đại số:

Gồm 2 bước

- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới

- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)
b. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia

Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”
- Nghĩa là:

+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau
+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau

+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn
+ thay vào tính nốt ẩn cịn lại

B. Nội dung

Dạng I- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
*) Ví d:

Vớ d 1:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp thÕ 
a)

3 4 2

x y
x y

 




 

 b)

7 3 5

4 2

x y
x y

 




 

 c)

3 2

5 4 11
x y

x y
 




 


Giải:

3 3 3 10

3 4 2 3( 3) 4 2 3 9 4 2 7

x y x y x y x

x y y y y y y

      

   

  

   

        

   

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất là (10;7)

7 3 5 2 4 3 19

4 2 7 3(2 4 ) 5 7 6 12 5 6

19
x

x y y x x y

x y x x x x

y





     

   

  

   

       

    




Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất là (

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3 2 3 2 2 19

5 4 11 5( 3 2) 4 11 15 10 4 11 21

19
x

x y x y x y

x y y y y y

y



     
   
  

   
         
    



Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất là

25 21
;
19 19
 

 
 

Ví dụ 2:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp thế 
a)

3 5

5 2 23
x y
x y
 


 
 b)

3 5 1

2 8
x y
x y
 


 

Giải
a)
3 5

5 2 23
x y
x y
 


 

3 5

5 2(3 5) 23

y x
x x
 


 
  

⇔

y=3 x−5

5 x+6 x−1 0=2 3

⇔
¿

y=3 x−5

11 x=3 3

⇔
¿

x= 3

y=3 . 3−5= 4

¿ {¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

x=3

y=4

{¿ ¿ ¿
¿

3 5 1

2 8
x y
x y
 


 

⇔

y=2 x+8

3 x+5(2 x+8)=1

⇔
¿

y=2 x+8

3 x+10 x+40=1

¿
¿{¿ ¿ ¿

⇔

y=2x+8

13 x=−39

⇔
¿
x=−3

y=−3 . 2+8=2

¿
¿ {¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

x=3

y=2

{

Vớ d 3:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp thế

a)
2
3
10 0
x
y
x y

b)

2 3 1

3 2
x y
x y
  


 


Giải:

a)
2
3
10 0
x
y
x y




   

 ĐKXĐ: y0





3 2 10 10 6 4

3 10 2

10 0 5 30 6( / )

x y

x y x y x

y y

x y y y t m

 

     
   
       
 
      
   

Vậy hệ pt có một nghiệm duy nhất:
4
6
x
y





b)

2 3 1

3 2
x y
x y
  



 


⇔

√2(√2−y√3)−y√3=1

x=√2−y√3

¿
¿{¿ ¿ ¿

⇔

y=√2−1

√3

x=√2−y√3

¿
¿{¿ ¿ ¿

⇔

x=1

y=√2−1

√3

¿
¿{¿ ¿ ¿

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

x=1

y=√2−1

√3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vớ d 4:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng ph¸p thÕ 
a)









35. 2
50. 1
x y
x y
 



 


 b)

2 3
1
y x
y x
 


 

c)



 





 



14 . 2 .
4 . 1 .

x y x y

  



  


 d)

6
4
4 5
3
x
y
x
y







 


Gi¶i:
a)









35. 2
50. 1
x y
x y
 




 

 













50. 1 35. 2
50. 1
y y
x y
  



 

 





50 50 35 70
50. 1
y y
x y
  



 









50 35 50 70

50. 1
y y
x y
  



 








15 120
50. 1
y
x y




 

 





8
50. 1
y
x y





 








50. 8 1

y
x

8
350
y
x

Vậy hệ phơng trình cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y) = ( 350; 8)
b)
2 3
1
y x
y x
 


 
 
2 3

2 3 1

y x
x x
 


  
 
2 3

2 3 1

y x
x x
 



  
 
2.2 3
2
y
x
 



 
1
2
y
x






VËy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2; 1)
c)



 





 



14 . 2 .
4 . 1 .

x y x y

  



  

 

2 14 28 .
4 4 .

xy x y x y

xy x y x y

   


   



2 14 28

4 4
x y
x y
  


 
 





2. 4 4 14 28
4 4
y y
x y
   



 




8 8 14 28
4 4
y y
x y
   



 
 
6 36
4 4
y
x y



 


6
4 4.6
y
x





6
28
y
x

Vậy hệ phơng trình có 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y) =



28;6



d)
6
4
4 5
3
x
y
x
y







 

 
6
4

6 4 5

4 3
x
y

x x






 
 

 
6
4

18 3 16 20
x
y
x x





   


6
4
19 38
x

y
x





 
 
6
4
2
x
y
x





 
 
6 2
4
2
y
x






 
 
1
2
y
x






</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

*) Bài tập vận dụng
Bài 1:

x−y=3
3x−4y=2

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(10;7) b)

3x+5y=1
2x+y=−4

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)= (-3;2)

x+y=6
2x−3y=12

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(6;0) d)

x+2y=11
5x−3y=3

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(3;4)

Bài 2:

3x−y=5
5x+2 y=23

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(3;4) b)

3x+5y=1
2x−y=−8

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;2)

7x−3y=5
4x+y=2

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
11
19 ;
−6

19 ) d)

x+3y=−2
5x−4y=11

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
25
19;
−21
19 )
Bài 3: 
a)

5x−y=2
2x+3y=4

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
10
17;
16
17 )
b)

4x−2y=6
2x−y=1

{¿ ¿ ¿

¿ (vô nghiệm) c)

2x+y=3

x+1

2 y=

3
2

{¿ ¿ ¿

¿ (nghiệm đúng mọi x)
Bài 4:

3x−2y=11
4x−5y=3

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(7;5) b)

3x+4y=−4
12x+16y−5=0

{¿ ¿ ¿

¿ (vô nghiệm)

−3x+7y=7
2x−4y=−4

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(0;1) d)

2x−3y=−6
−4x−6y=12

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;0)

Bài 5:

3x+4y=1
0,5x−0,5y=2

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
17
7 ;
−11

7 ) b)

0,7x+0,5y=5
2x+3y=2

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
140
11 ;
−86
11 )
c)

x−y+8=0
3x+2y+1=3

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
−14
5 ;
26

5 ) d)

5y=x+2
2x=3y−1

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
1
7;
3
7 )
Bài 6: 
a)

x+y
y−2=1
3x+2y=6

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-2;6) b)

x
y=

2
3

x+y−10=0

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(4;6)
c)
x
2−
y

2=1
5x−8y=3

¿
{¿ ¿ ¿
¿ (x;y)=(
13
3 ;

3 ) d)

x

4−

y

6=1

x

y

3=8

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(16;18)
Dạng II- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

*) Ví dụ:

Vớ dụ 1:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

a)
2 3
6
x y
x y
 


 
 b)

2 2 9

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giải:

2 3 3 9 3 3

6 6 6 3

x y x x x

x y x y x y y

    

   

  

   

      

   

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất là:(x;y) = (3;-3)

2 2 9 5 5 1

2 3 4 2 3 4 2 3.1 4

y

x y y y

x y x y x x




   

   

  

   

      

   



Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất là:(x;y) = (1;
7
2)
Vớ dụ 2:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

3 3

2 7

x y
x y

 




 

 b)

2 3

6
x y
x y

 




 


Giải:

3 3 5 10 2 2

2 7 2 7 2.2 7 3

x y x x x

x y x y y y

    

   

  

   

      

   

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất:(x;y) = (2;-3)
b)

2 3

6
x y
x y

 




 



⇔
3x=9

x−y=6

¿
¿ {¿ ¿ ¿

⇔

x=3
3−y=6

¿
¿{¿ ¿ ¿

⇔

x=3

y=−3

¿
¿ {¿ ¿ ¿

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất:(x;y) = (3;-3)

Vớ dụ 3:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

3 2 7

2 3 3
x y
x y

 




 

 b)

2 3 2

3 2 3

x y
x y

 




 



Giải:

3 2 7 6 4 14 5 5 1 1

2 3 3 6 9 9 2 3 3 2 3.( 1) 3 3

x y x y y y y

x y x y x y x x

       

    

   

    

         

    

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất:(x;y) = (3;-1)

2 3 2 6 9 6 5 0 0 1

3 2 3 6 4 6 3 2 3 3 2.0 3 0

x y x y y y x

x y x y x y x y

      

    

   

    

        

    

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất:(x;y) = (-1;0)

Vớ dụ 4:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

5 2 4

6 3 7

x y

  




 

 b)

2 3 1

2 2 2

x y

x y

  




 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

5 2 4 15 6 12 3 2 3

6 3 7 12 6 14 6 3 7 11

3
x

x y x y x

x y x y x y

y



       
   
  
   
     
    



Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm là:(x;y) = (
2 11

;

3 3 )

2 3 1

2 2 2

x y
x y
  


 



2 3 2 2

2 2 2

1 2
1 2

4 2 2 2 4 4

6 2

2 2 2 1 2

2 2. 2

8
4
x y
x y
y
y
y
x y
x
x
  

 
 



    

 

  
  
     
 
   
  
   

 
 

Vậy hệ Pt đã cho có nghiệm duy nhất:(x;y) = (

6 2 1 2

;

8 4

   

)
Vớ dụ 5:Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:

2 11 7
10 11 31

x y
x y
 


 

 b)

4 7 16
4 3 24

x y
x y
 


 

c)



 





 



14 . 2 .
4 . 1 .

x y x y

  



  


 d)

2 3 5

3 4 2

x y
x y
 


  

Gi¶i:
a)

2 11 7
10 11 31

x y
x y
 


 
 

2 11 7
10 11 31

x y
x y

 

 
 
 
12 24
10 11 31

x
x y



 


2

10.2 11 31
x
y



 
 
2

20 11 31
x

y



 


2
11 11
x
y





2
1
x
y

Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhÊt (x; y) = (2 ;1)
b)

4 7 16

4 3 24

x y
x y
 


 
 

4 7 16
4 3 24

x y
x y
 


 
 
10 30
4 7 16

y
x y



 



3

4 7.3 16
y
x



 
 
3
4 16 21

y
x



 


3
4 5
y
x





 
3
5
4
y
x








Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhÊt (x; y) = (
5
4



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



 





 



14 . 2 .
4 . 1 .

x y x y

  



  

 

2 14 28 .
4 4 .

xy x y x y

xy x y x y

   


   



2 14 28
4 4
x y
x y
  



 
 





2. 4 4 14 28
4 4
y y
x y
   



 




8 8 14 28
4 4
y y
x y
   


 
 
6 36
4 4

y
x y



 


6
4 4.6
y
x



 
 
6
28
y
x






VËy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) =



28;6



2 3 5

3 4 2

x y
x y
 


  
 

8 12 20
9 12 6

x y
x y
 

 
  
 
14
9 12 6
x
x y
 


  



14

2.14 3 5
x
y



 
 
14
28 3 5
x
y



 


14
3 33
x
y



 

 
14
11
x
y






Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất



x14;y11



*) Bài tập vận dụng

Bài 1:
a)

3x+y=3
2x−y=7

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(2;-3) b)

2x+5y=8
2x−3y=0

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

2 ;1)

x+2y=20
3x−2y=12

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(8;6) d)

2x−3y=5
5x+3y=9

{¿ ¿ ¿

(x;y)=(2;-1

3 )

Bài 2:

4x+3y=6
2x+y=4

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(6;-2) b)

2x+3y=−2
3x−2y=−3

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-1;0)

2x−3y=11
−4x+6y=5

{¿ ¿ ¿

¿ Vô nghiệm d)

3x−2y=10

x−2
3 y=3

1
3

{¿ ¿ ¿

¿ Vô số nghiệm
Bài 3:

2x+7y=9
3x−y=2

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(1;1) b)

5x+3y=1
2x+y=−1

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-4;7)

2x+7y=1
3x+5y=−4

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(-3;1) d)

1
3 x+

5 y=−2
2x+y=1

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(33;-65)
Bài 4:

3x+4y=18
4x−3y=−1

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(2;3) b)

0,3x+0,5y=3
1,5x−2y=1,5

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(5;3)

2x+6y=1

3x+9y=−1

{¿ ¿ ¿

¿ Vô nghiệm d)

x−y=5
−1

2 x+
1

2 y=−

5
2

{¿ ¿ ¿

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 5:

−5x+2y=4
6x−3 y=−1

{¿ ¿ ¿

(x;y)=(-10

3 ;

-19

3 ) b)

3x+5y=9
2x−4y=−5

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

2;

2 )

x−3y=4
2x+y=7

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

7 ;−

7 ) d)

3 x−

1
5 y=3
10x−9y=2

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

133
5 ;
88
3 )
Bài 6: 
a)

x√2−3y=1
2x+y√2=−2

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

−6+

√

2
8 ;

−

√

2−1

4 ) b)

x5√3+y=2√2

−x√6−y√2=2

{¿ ¿ ¿

¿ (x;y)=(

√

6
4 ;

−7

√

4 )

Dạng III- Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
*) Ví dụ:

Vớ dụ 1:giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

a)
1 1
1
2 3
5
x y
x y

 




  


 b)

15 7
9
4 9
35
x y
x y

 



  


 c)

1 1 5

1 1 3

x y x y




 

Giải:

a) Xét hệ phơng tr×nh:
1 1
1
2 3
5
x y
x y

 



 

Điều kiện: x0; y 0

Đặt a =
1

x; b =

y khi đó hệ phơng trình trở thành

1
2 3 5
a b
a b
 


 



3 3 3
2 3 5

a b
a b
 

 
 

 
5 8
2 3 5

a
a b


 
 


8
5
8

2. 3 5
5
a
b





  

 
8
5

16
3 5
5
a
b





  

 
8
5
9
3
5
a
b





 

 
8
5

3
5
a
b





 

 
1 8
5
1 3
5
x
y



5
8
5
3

x
y

Vậy hệ phơng trình cã nghiƯm lµ (x; y ) =
5 5
;
8 3
 
 
 

b) XÐt hệ phơng trình:

15 7
9
4 9
35
x y
x y






  


 §iỊu kiƯn: x0; y 0

Đặt a =
1

x; b =

y khi đó hệ phơng trình trở thành

15 7 9
4 9 35

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



135 63 81
28 63 245

a b
a b
 

 
 

 
163 326
4 9 35

a
a b



 
 
2

4.2 9 35
a
b



 


2
9 35 8
a
b



 

 
2
9 27
a
b






2
3
a
b




 
1
2
1
3
x
y






 

 
1
2
1
3
x
y





 


(t/m)

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) =
1 1
;
2 3
 
 
 

Vớ dụ 2:giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

a)
1 1
5
2 5
7
x y
x y

 



  

 b)

1 1 5

1 1 3

x y x y


 

  


  
  

Gi¶i:

a) Xét hệ phơng trình:

1 1
5
2 5
7
x y
x y

 



  


 §iỊu kiƯn: x0; y 0

Đặt a =
1

x; b =

y khi đó hệ phơng trình trở thành

5
2 5 7
a b
a b
 


 



5 5 25
2 5 7

a b
a b
 

 
 
 
3 18
5
a
a b




 
 
6
6 5
a
b



 
 
6
5 6
a
b



 
 
6
1
a
b







1
6
1
1
x
y





 

 
1
6
1
x
y






( thoả mÃn)

Vậy hệ phơng trình cã nghiƯm lµ (x; y ) =
1
; 1
6
 

 
 

b) XÐt hƯ ph¬ng tr×nh:

1 1 5

1 1 3

x y x y


 
  


  
  

 §iỊu kiƯn: x   y

Đặt a =

x y ; b = 
1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>


8
2
x y
x y
 


 


2 10
8
x
x y



 



5
5 8
x
y



 
 
5
3
x
y




 (t/
m)

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là ( x; y ) =



5;3



*) Bài tập vận dụng

Bài 1:
a)
1
x+
1
y=

4
5
1
x−
1
y=
1
5
¿
{¿ ¿ ¿
¿ b)
1
x−
1
y=1
3
x+
4
y=5
¿
{¿ ¿ ¿
¿ c)
5
x+
3
y=1
2
x +
1
y=−1

¿
{¿ ¿ ¿
¿
Bài 2:
a)
1
x+
1
y=1
4
x−
2
y=1
¿
{¿ ¿ ¿
¿ b)
2
x−
5
y=10
1
x+
3
y=−1
¿
{¿ ¿ ¿
¿ c)
2
x+
5

y=
1
2
3
x+
3
y=
9
20
¿
{¿ ¿ ¿
¿
Bài 3: 
a)
15
x −
7
y=9
4
x+
9

y=35
¿

{¿ ¿ ¿

¿ b)

x+1+
3

y=−1

x+1+
5
y=−1
¿
{¿ ¿ ¿
¿ c)
2
x+
3

y−2=4
4

x−

y−2=1

¿
{¿ ¿ ¿
¿

Bài 4:
a)
1
3x+

1
3y=

1
4
5

6x+

1
y=
2
3
¿
{¿ ¿ ¿
¿ b)
1

x−2+
1

y−1=2
2

x−2−

y−1=1

{¿ ¿ ¿

¿ c)

x−1−
5

y−2=7
3

x−1+
2

y−2=−1

¿
{¿ ¿ ¿
¿
Bài 5:
a)
5

x+3−
9

y−2=100
3

x+3+
7

y−2=308

{¿ ¿ ¿

¿ b)

y+1+
1

x+2=1
4

y+1−
2

x+2=2

{¿ ¿ ¿

¿ c)

x−3+
5

y+1=2
5

x−3+
1

y+1=
29
20
¿
{¿ ¿ ¿
¿
Bài 6: 
a)
3
2x+1−

y−1=0
4

2x+1+
3

y−1=2
5
6
¿
{¿ ¿ ¿
¿ b)
1

x+y+
1

x−y=
2
3
1

x−y−
1

x+y=
1
3
¿
{¿ ¿ ¿

¿ c)
1

x+y−
2

x−y=2
5

x+y−
4

x−y=3

{¿ ¿ ¿

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

x−2−
3

y+1=8
1

x−2+
5

y+1=16

{¿ ¿ ¿

¿ e)

x+y=
4

x−y
40

x+y−
40

x−y=
9
2
¿
{¿ ¿ ¿
¿ f)
1

x+y+
1

x−y=
5
8
1

x+y−
1

x−y=−
3
8

{¿ ¿ ¿
¿

Dạng IV- Giải hệ phương trình chứa tham số
*) Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hƯ phơng trình:

1
2
mx y
x my

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2

b) Giải hệ phơng trình theo tham sè m

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.
Giải:

a) Thay m = 2 vµo hệ phơng trình

1
2
mx y
x my

ta có hệ phơng trình trở thành

2 1
2 2
x y
x y


 





1 2

2. 1 2 2

y x
x x
 



  

 
1 2
2 4 2

y x
x x
 


  


1 2
3 0
y x

x
 


 
 
1 2.0
0
y
x
 



 
1
0
y
x






Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiÖm duy nhÊt ( x ; y) = ( 0 ; 1)
b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

Ta cã hpt

1
2
mx y
x my
 


 
 





. 1 2

y mx

x m mx

 



  


  2

y mx

x m m x
 


  







2
1
1 2
y mx

m x m

 



  



2
1
2
1
y mx
m

x
m
 





 


2
2
2
1 .
1
2
1
m
y m
m
m
x
m
   
   

   



 
 


2
2
2
2
1
1
2
1
m m
y
m
m
x
m
 
 

 


 
 


2 2
2

2
1 2
1
2
1

m m m

y
m
m
x
m
   


 


 
 
 
2
2
1 2
1
2
1
m
y

m
m
x
m




 


 


Vậy hệ phơng trình có 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = 2 2

2 1 2

;
1 1
m m
m m
 
 
 
 
 

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 2 2

2 1 2

1
1 1
m m
m m
 
 

   2 m



1 2 m



 1 m2

 m2m0  m m.



1



0

0
1 0
m
m



 
 
0
1
m
m







VËy với m = 0 hoặc m = -1 thì hpt trên có nghiệm thoả mÃn điều kiện: x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xét hệ phơng tr×nh

1
2
mx y
x my
 


 


 

1
2
Tõ phơng trình

1 mx 1 y

1 y
m
x

thay
1 y

m
x

vào phơng trình

2 ta có phơng trình
1
. 2
y
x y
x

  
 

2
2
y y
x
x

 

 x2 y y2 2x  x2 y y2 2x0

Vậy x2 y y2 2x0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Vớ dụ 2: Cho hệ phơng trình:









1 2

m x y m

x m y



a) Giải hệ phơng trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Tìm giá trị của m tho¶ m·n: 2x2 – 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x 3y
x y

nhận giá trị nguyên.

Giải:

a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình

1 2

m x y m

x m y

  



  


 ta cã hÖ phơng trình trở thành

3 1 3

3 1 2
x y
x y
  



  

 
2 3
2 2
x y
x y
 


 
 

4 2 6

2 2
x y
x y
 


 
 


3 4
2 2
x
x y



 
 
4
3
4
2 2
3
x
y





  



4

3
4
2 2
3
x
y





  

 
4
3
2
2
3
x
y





 

 
4

3
1
3
x
y





 



VËy víi m = 3 th× hƯ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) =

4 1
;
3 3
 
 
 

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phơng trình



1 2

m x y m

x m y

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Tõ phơng trình

2 x my y 2 my 2 x y 

2 x y
m

y
 


thay

2 x y
m

y

vào phơng trình

1 ta có phơng trình:

2 2

x y x y

x y
y y
     
  
 
  
2 2
.

x y y x y

x y
y y
      
 
 
 

2 2
.

x x y

x y
y y
    

 
 
  
2 2

2x x y 2 x y

y y

   





2 2

2x x y  2 x y  x2 y2 3x y  2 0

Vậy x2 y2 3x y  2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.
c)Giải hệ phơng trình









1 2

m x y m

x m y

  



  


 theo tham sè m ta cã hpt









1 2

m x y m

x m y

  



  





















1 1 . 1

1 2

m x m y m m

x m y

     

 
  

 













1 . 1 2

1 2

m x x m m

x m y

     


  












2 2 1 1 2 2

1 2

m m x m m

x m y

      


  










 







. 2 1 2

1 2

m m x m m

x m y

   



  








1
1
1 2
m
x
m
m
m y
m








   








1
1
1 2
m
x
m
m
m y
m







   


` 





1
2 1

1
m
x
m
m m
m y
m






 
  

 





1
1
1
m
x
m
m
m y
m








  

 
1
1
m
x
m
y
m








Vậy hệ phơng trình có 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) =

1 1
;
m
m m

+) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = 1



1 1

2 m 7. 1

m m

   
 
   
    
2
2

2 4 2 7

1
m m
m m
 
 

 2m24m 2 7m m 2

 m2 3m 2 0 



m 2 .

 

m1



0

2 0
1 0
m
m
 

  
 
2
1
m
m


 


</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

d) Thay
1
m
x
m



;
1
y
m


vµo biĨu thøc A =

2x 3y
x y



 ta đợc biểu thức

A =

1 1
2. 3.
1 1
m
m m
m
m m

 

 
 



=

2 2 3
1 1
m
m
m
m
 
 

=

2 1 2

:
m m
m m
 
=
2 1
2
m
m

 =





2 2 5

2
m
m
 

=





2 2 5

2 2
m
m m


  = 
5
2
2
m



§Ĩ biĨu thøc A =

2x 3y
x y



 nhËn gi¸ trị nguyên 

5
2
2
m

nhận giá trị nguyên

5
2

m nhận giá trị nguyên

m2

(m+2) lµ íc cđa 5. Mà Ư(5) =

1; 5

2 1
2 1
2 5
2 5
m
m
m
m
 


  

  

 
 
1 2
1 2
5 2
5 2
m
m
m
m
 

  

  

 
 
1
3
3
7
m
m
m
m



 



Kết hợp với điều kiện m1; m2 Vậy với các giá trị m = -1; m = -3; m = -7; m = 3 thì
giá trị của biểu thức

2x 3y
x y

nhận giá trị nguyên.

*) Bi tp vn dng
Bi 1:Cho hệ phơng trình:

2
1
mx y
x my

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2

b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y =- 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 2: Cho hệ phơng trình : 9 3

x my o

mx y m

 




  


a) Gi¶i HPT víi m = -2

b) Giải và biện luận HPT theo tham sè m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm ngun

f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
Bài 3: Cho hệ phơng trình:

mx y 3
9x my 2m 3

 




  



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
c) Tìm m để 3x + 2y = 9

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
e) Tìm m để phơng trình có nghiệm ngun âm.
Bài 4:Cho hệ phơng trình :

(m−1)x+y=m
x+(m−1)y=2

¿
{¿ ¿ ¿

¿ ; có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vo m;

b) Tìm giá trị của m thoả mÃn 2x2 - 7y = 1

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =

2x 3y
x y



 nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho hệ phơng trình:

mxy=1

x+my=2

{

a) Giải hệ phơng trình theo tham số m.

b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Ngày giao bài: 17/2/2020

Ngày hồn thành: 29/2/2020

ƠN TẬP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A.

Kiến thức cơ bản

Để giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :
- Bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng

- Bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1

- Bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu

B. Nội dung

Dạng 1: Tốn tìm số

- Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số …viết trong hệ thập
phân. điều kiện của các chữ số .

Vớ dụ 1:Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì c s mi bng

7 số ban đầu.
Gii:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có ph ơng trình:
x - y = 2

- Ta có số đã cho là: xy10x y ,

số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là: yx10y x (1)
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng

7 số ban đầu ta có

ph-ơng trình:





4
10y + x = 10

7 x y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng tr×nh:





x - y = 2

4
10y + x = 10

7 x y




















x - y = 2

7. 10y + x = 4. 10x y









x - y = 2
70y 7 = 40x + 4yx









x - y = 2
33x 66 = 0y








x - y = 2
2 = 0

x y


 






y = 2
= 2
x y






 

y = 2
2 = 2
x






 

y = 2
= 4
x



 ( tho¶ m·n )

Vậy chữ số hàng chục là 4; chữ số hàng đơn vị là 2, Số đã cho là: 42

Vớ dụ 2:Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số
hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc s mi bng

5 số ban đầu.
Gii:

- Gi ch số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y
( Điều kiện: 0 < x , y  9); x , y  N)

- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có ph ơng trình:
x - y = 2

- Ta có số đã cho là: xy10x y ,

số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là: yx10y x (1)
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng

7 số ban đầu ta có

ph-ơng trình:



17
10y + x = 10

5 x y (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt:





y - x = 4

17
10y + x = 10

5 x y




















y - x = 4

5. 10y + x = 17. 10x y




</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>



y - x = 4
50y 5 = 170x x 17y




 





y - x = 4
165x 33y 0




 

 

- x + y = 4
15x 3y 0




 





- 15x +15 y = 60
15x 3y 0


 

 





12 y = 60
4
x y



  




y = 5
5 = 4
x




 

 

y = 5
= 1
x



 ( tho¶ m·n )

Vậy chữ số hàng chục là 1; chữ số hàng đơn vị là 5, Số đã cho là: 15

Ví dụ 3: Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng 18040, và
3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002.

LG

- Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y



x y N, 



- Theo bài ra, ta có :

5 4 18040 2004

3 2 2002 2005

x y x

x y y

  

 



 

  

 

Ví dụ 4:Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số
của nó. Nếu viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban
đầu 36 đơn vị.

LG

- Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N



,  ;0a b, 9



- Theo bài ra, ta có:

4( ) 4

48
8

ab a b a

ab
b

ba ab

    



  

 



  




Ví dụ 5:Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì
được một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo
thứ tự ngược lại là 18 đơn vị.

LG

- Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N



,  ;0a9;0 b 9



- Theo bài ra, ta có:

1 577 10 64 6

2 4

ab ab a b a

ab

a b b

ab ba

       



   

  

  

   




Ví dụ 6:Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần
và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải
tìm.

LG

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

- Theo bài ra, ta có:





25
4
5

4 5

6 5

4
25

25 9 20 0 5

4
a

loai

a b

ab a b a b b

ab ba

ab ba b b a

thoa man
b

 






 

     

    



   

  

  



  

 

      


 

- vậy số cần tìm là : 54

*) Bài tập vận dụng

B

ài 1: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng 2 số là 160 . Nếu lấy số lớn chia số bé đợc thơng là 9
d 10 ?

Bài 2 : Tìm số tự nhiên (STN) có 2 chữ số (CS) biết tổng 2 chữ số nhỏ hơn số đó 6 lần , 
nếu thêm 25 vào tích của 2 chữ số đó ta đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ?

Bài 3: Tìm STN có 2 chữ số biết tổng các chữ số là 8 (16) .Nếu đổi vị trí 2 chữ số thì 
đ-ợc số có 2 CS giảm ( tăng ) 36 (18) đơn vị ?

Bài 4: Tìm STN có 2 chữ số biết biết CS hàng chục hơn CS hàng đơn vị là 2 . Nếu xen 
CS 0 vào giữa 2 CS đó thì đợc số có 3 CS tăng 630 đơn vị ?

Bµi 5:Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng của hai chữ số

của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và nếu thêm 25 đơn vị vào tích của hai chữ số của số đó
thì sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho?

Dạng 2 . Tốn liên quan tới yếu tố hình học.

- Ta phải nắm được cơng thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang, hình chữ
nhật, hình vng, định lý Pi-ta-go.

Ví dụ 1: 1 HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m
thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất

Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y

Ta có hpt







 



2 80 30

3 5 195

x y x

y

x y xy

 

  





 



    




Ví dụ 2: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m
thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện

tích giảm đi 68m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó?

Gọi chiều dài HCN là x

Gọi chiều rộng HCN là y

Ta có hpt



 





 



2 3 100 22

2 2 68

x y xy x

y

x y xy

   

  





 



    




*) Bài tập vận dụng

Bµi 1 : Một mảnh vờn HCN có chu vi là 250 m . Tính diện tích mảnh vờn biết nếu tăng 
chiỊu dµi 15 m vµ bít chiỊu réng 15 m thì diện tích giảm 450 m2 ?

Bài 2 :Một mảnh vên HCN cã chu vi lµ 34 m . TÝnh diện tích mảnh vờn biết nếu tăng 
chiều dài 3 m và chiều rộng tăng 2 m thì diện tích tăng 45 m2 ?

Bi 3 :Mt mnh vn HCN cú chu vi là 56 m . Tính diện tích mảnh vờn biết nếu tăng 
chiều dài gấp 3 và chiều rộng tăng gấp đơi thì chu vi là 144 m ?

Bµi 4:Tính độ dài các cạnh góc vng của tam giác vng ,biết rằng nếu tăng các

cạnh lên 3cm thì diện tích tăng lên 36cm2 và nếu giảm một cạnh 2cm,cạnh kia đi

4cmthì diện tích của tamgiác giảm đi 26cm2

(x=9;y =12)

Bµi 5:Một sân hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm

chiều dài 5m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 25m2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Dạng 3 .Toán chuyển động

Vớ dụ 1: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính
vận tốc dự định và thời gian d nh.

*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:

Vận tốc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB

Dự định x (h) y (h) x.y (km)

LÇn 1 x +14 (h) y - 2 (h) (x +14).(y - 2) (km)

LÇn 2 x - 4 (h) y + 1 (h) (x - 4).(y + 1) (km)

- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình  hệ phơng trình của bài cần lập đợc

lµ:

(x +14).(y - 2) = x.y
(x - 4).(y + 1) = x.y




Giải:

- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)

(Điều kiện x > 4, y > 2). Thì quãng đờng AB là x.y (km)

- Nếu tăng vận tốc đi 14 km/h thì vận tốc là: x + 14 (km/h) thì đến sớm 2 giờ thời gian
thực đi là: y – 2 (h) nên ta có phơng trình: (x +14).(y - 2) = x.y (1)

- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x – 4 (km/h) thì đến muộn 1 giờ thời gian
thực đi là: y + 1 (h) nên ta có phơng trình: (x - 4).(y + 1) = x.y (2)

Tõ (1) vµ(2) ta cã hệ phơng trình:

(x +14).(y - 2) = x.y
(x - 4).(y + 1) = x.y







xy - 2x + 14y - 28 = x.y
xy + x - 4y - 4 = x.y







- 2x + 14y = 28
x - 4y = 4








- 2x + 14y = 28
2x - 8y = 8


 

 

6y = 36
x - 4y = 4







y = 6
x - 4.6 = 4




 

y = 6
x - 24 = 4







y = 6
x = 28




 (tho¶ m·n)

Vậy vận tốc dự định là 28 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 6 (h)

Vớ dụ 2: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ.
Tính quãng đờng AB.

*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:

Vn tc ( km/h) Thời gian (h) Quãng đờng AB

Dự định x (h) y (h) x.y (km)

LÇn 1 x +15 (h) y - 1 (h) (x +15).(y – 1) (km)

LÇn 2 x - 15 (h) y + 2 (h) (x - 15).(y +2) (km)

lµ:

(x +15).(y - 1) = x.y
(x - 15).(y + 2) = x.y


</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Giải:

- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đờng AB là x.y (km)

- Nếu tăng vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x + 15 (km/h) thì đến sớm 1 giờ thời gian
thực đi là: y –1(h) nên ta có phơng trình: (x +15).(y - 1) = x.y (1)

- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x – 15 (km/h) thì đến muộn 2 giờ thời
gian thực đi là: y + 2 (h) nên ta có phơng trình: (x - 15).(y + 2) = x.y (2)

Tõ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:

(x +15).(y - 1) = x.y
(x - 15).(y + 2) = x.y







xy - x + 15y - 15 = x.y
xy + 2x - 15y - 30 = x.y







- x + 15y = 15
2x - 15y = 30


 




x = 45
- x + 15y = 15




 

x = 45
- 45 + 15y = 15







x = 45
15y = 60




 

x = 45
y = 4




 (tho¶ m·n)

Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đờng AB dài là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)

Ví dụ 3: Quãng đường AC qua B dài 270km, một xe tải đi từ A đến B với vận tốc
60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6giờ, Tính thời gian ơ tơ đi
quãng đường AB và BC.

* Lập bảng

Thời gian Vận tốc Quãng đường

AB x 60 60x

BC y 40 40y

* Ta có hệ phương trình:

6 2

60 40 270 9

2
x
x y

x y

y





 

 



 

 

  




Ví dụ 4: Một ơ tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau
28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km

* Sơ đồ:

B
A

XD XM

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

* Lập bảng:

V t (đi ngược
chiều)

S (đi ngược
chiều)

t (đi cùng
chiều)

S (đi cùng
chiều)

Xe đạp x 3 3x 1 x

Xe máy y 3 3y 1 y

* Ta có hệ phương trình:

3 3 180 60 16

28 28 44

x y x y x

x y x y y

    

  

 

  

      

  

Ví dụ 5: 1 ơ tô đi qđ AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h. Biết
tổng chiều dài qđ AB và BC là 165km và thời gian ô tơ đi qđ AB ít hơn thời gian ơ tơ đi
qđ BC là 30ph. Tính thời gian ơ tơ đi trên mỗi qđ?

Gọi thời gian ô tô đi trên AB, BC lần lượt là x, y

Ta có hệ phương trình:

50 45 165 3

2
1

2
2

x y

x

x y y

 

 



 



 

 

  

 

Ví dụ 6: 1 ca nơ xi dịng 1 qng sơng dài 12km, rồi ngược dịng qng sơng đó mất
2h30ph. Nếu cũng trên qng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km rồi ngược dịng 8km thì hết
1h20ph. Tính vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước?

- gọi v ca nơ là x, v dòng nước là y (km/h; x > y > 0)
- v xi: x+y

- v ngược: x-y

- ta có hpt

12 12 5

4 8 4

x y x y



 

  




  

  

 giải hệ ta được x = 10 ; y = 2 (tmđk)

Ví dụ 7: Một ca nơ chạy trên sơng xi dịng 84 km và ngược dịng 44 km mất 5 giờ.
Nếu ca nơ xi dịng 112 km và ngược dịng 110 km thì mất 9 giờ.Tính vận tốc riêng
của ca nơ và vận tốc của dịng nước.

- gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nơ và vận tốc của dịng nước (km, 0 < y < x)
- vận tốc xuôi của ca nô: x + y

- thời gian xi dịng 84km là: 84/x+y
- thời gian xi dịng 112km là: 112/x+y
- vận tốc ngược của ca nơ: x - y

- thời gian ngược dịng 44km là: 44/x-y
- thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y

- theo bài ra ta có hệ phương trình:

84 44
5
112 110

x y x y



 

  





  

  

 đặt

1 1

;

a b

x y  x y 

*) Bài tập vận dụng

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau 5 giờ 20 phút ca nô chạy từ bến
A đuổi theo và đuổi kịp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca
nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h?

Bài 3: Một tầu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km. Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút.
Tính vận tốc của tầu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Bài 4: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ
40 phút ở B,rồi trở về bến A.Thời gian kể từ lúc đi đến lúc về đến A là 6 giờ. Tính vận
tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.

Bài 5: Một xuồng máy xi dịng sơng 30km và ngược dịng 28km hết một thời gian

bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi
trên hồ biết vận tốc của nước chảy trong sông là 3km/h.

Bài 6 :Một ô tô đi trên QĐ AB với vận tốc 50 Km/h rồi đi tiếp QĐ BC với vận tốc 45
Km/h .Tính thời gian xe đi trên mỗi QĐ ,biết thời gian đi trên AB ít hơn đi trên BC là 30
phút và QĐ tổng cộng là 165 Km ?

Bài 7 :Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định . Nếu VT tăng 20 Km/h
thì TG giảm 1 giờ .Nếu VT giảm 10 Km/h thì TG tăng 1 giờ .Tính VT và TG dự định ?
Bài 8 :Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định . Nếu VT tăng 14 Km/h
thì đến sớm 30 phút .Nếu VT giảm 10 Km/h thì đến muộn 45 phút .Tính QĐ AB ?

Bài 9 :Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định . Nếu VT tăng
14 Km/h thì đến sớm 2 giờ .Nếu VT giảm 4 Km/h thì đến muộn 1 giờ .Tính VT và TG
dự định ?

Bài 10:Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với
vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm
hơn 1 giờ . Tính qng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .

Bµi 11 : Một ca nô chạy trên 1 khúc sông xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km hết 7
giờ .Lần khác ca nô xuôi 81 Km và ngợc 84 Km cịng hÕt 7 giê.TÝnh VT dßng níc ?

Dạng 4.Toán năng suất

* Chú ý:

- Năng suất (NS) là số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian (t).
- (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch

Ví dụ 1 . Bài tập 46: (SGK - 27)

- Gọi số thóc năm ngối đơn vị thứ nhất thu đợc là x ( tấn ), đơn vị thứ hai thu đợc là y (
tấn ) . ĐK: x , y > 0

- Năm ngoái cả hai đơn vị thu đợc 720 tấn thóc nên ta có phơng trình:
x + y = 720 (1)

- Năm nay đơn vị thứ nhất vợt mức 15%, đơn vị thứ hai vợt mức 12% nên cả hai đơn vị
thu hoạch đợc 819 tấn ta có phơng trình :

(x + 0,15x) + (y + 0,12 y) = 819 (2)
Tõ (1 ) và (2) ta có hệ phơng trình :

720 1,15 1,15 828 0,03 9
1,15 1,12 819 1,15 1,12 819 720

x y x y y

x y x y x y

       

 

  

       

 

300
420
y
x







 (tho¶ m·n)

Vậy Năm ngối đơn vị thứ nhất thu đợc 420 tấn thóc đơn vị thứ hai thu đợc 300 tấn
thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất thu đợc 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu đợc 336 tấn
Vớ dụ 2 . Một tổ cụng nhõn dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Giải:

Gọi x(sản phẩm) là số sản phẩm làm được trong một ngày theo dự định,(x nguyên
dương)

Số sản phẩm khi thực hiện trong một ngày là x + 10 (sản phẩm)
Thời gian dự định làm xong công việc là

240

x (ngày)
Thời gian thực tế làm xong cơng việc là

240

x+10 (ngày)

Vì thực tế đã hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:

240

x −

240

x+10=2 . Biến đổi ta được phương trình x2 + 10x – 1200 = 0.

Giải phương trình x2 + 10x – 1200 = 0, ta được x

1 = 30 (nhận); x2 = - 40 (loại).

Vậy thực tế, mỗi ngày tổ đã hoàn thành được 30 + 10 = 40 (sản phẩm).

*) Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 18% và tổ hai vượt mức 21% nên sản xuất được 720 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 2: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 300 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 15% và tổ hai vượt mức 20% nên sản xuất được 352 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 3: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 15% và tổ hai vượt mức 20% nên sản xuất được 945 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 4: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 15% và tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 5: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 500 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 12% và tổ hai vượt mức 25% nên sản xuất được 599 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 6: Trong tháng I hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy.sang tháng II tổ một vượt
mức 20% và tổ hai vượt mức 14% nên sản xuất được 1050 chi tiết máy .Tính số chi tiết
máy của mỗi tổ làm được trong tháng I

Bài 7: Một tổ SX theo KH phải SX 720 SP theo NS dự định .Thời gian làm theo NS
tăng 10 SP/ngày ít hơn TG làm theo NS giảm 20 SP/ngàylà 4 ngày.Tính NS dự định ?

Bài 8: Một công nhân dự định làm 72 trong 1 TG nhất định ,nhưng thực tế phải làm 80
SP . Mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 1SP nhưng Tg HTCV vẫn chậm hơn dự
định là 12 phút .Tính số SP người đó dự định làm trong 1 ngày (Biết số SP người đó
làm trong 1 ngày khơng q 20 SP ) ?

Bài 9: Theo KH mỗi công nhân phải làm 60SP trong 1 TG dự định ,nhưng do cải tiến kỉ
thuật nên mỗi giờ mỗi công nhân làm thêm được 2 SP .Vì vậy chẵng những HTKH sớm
hơn 30 phút mà cịn vượt mức 3 SP .Tính số SP mỗi cơng nhân dự định làm trong 1giờ
theo kế hoạch ?

Bài 10 :Theo kế hoạch 2 tổ phải SX 360 SP . Nhưng thực tế T1 vượt 10 % , T2 vượt 15

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 11 :Theo kế hoạch 2 tổ phải SX 600 SP trong 1 thời gian nhất định . Do áp dụng
khoa học kỉ thuật vào trong SX nên T1 vượt 18 % và T2 vượt 21 % so với kế hoạch do

đó cả 2 tổ SX vượt 120 SP .Tính số SP mỗi tổ phải SX theo kế hoạch ?

Bài 12 :Trong tháng đầu 2 tổ SX được 900 (800) SP . Do áp dụng khoa học kỉ thuật
vào trong SX nên tháng thứ 2 T1 vượt 16 (15) % và T2 vượt 20 % so với tháng đầu nên

cả 2 tổ SX vượt 1060 (945) SP .Tính số SP mỗi tổ phải SX được trong tháng đầu ?

Dạng 5 : Toán làm chung, làm riêng một cơng việc

- Ta coi tồn bộ công việc là 1 đơn vị, nếu gọi thời gian làm xong công việc là x thỡ
trong một đơn vị thời gian làm được

x cụng việc .

* Ghi nhớ :Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không được cộng cột thời gian, năng
suất và thờ i gian của cùng 1 dũng là 2 số nghịch đảo của nhau.

Ví dụ 1. Bài tập 33: ( SGK - 24)

Hai ngời thợ cùng làm 1 công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ
và ngời thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả 2 ngời hồn thành 25% cơng việc. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi ngời hồn thành cơng việc đó trong bao lõu.

*GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:

Ngời 1 Ngời 2 Cả 2 Ngời

Thời gian
làm riêng

x (h) y (h) 16h

Năng suất/1 ngày 1

x (phần công việc)

y (phần công việc)

16 (phn cụng việc)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình của bài tập 33
( Sgk - 24)

- §ỉi 25% c«ng viƯc (=
1

4c«ng viƯc)

- GV hớng dẫn cho học sinh lập phơng trình  hệ phơng trình của bài cần lập đợc là:
1 1 1

16
3 6 1

x y



 





  




Gi¶i :

Gọi số ngày để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x ( ngày) và số ngày để
ngời thứ hai làm một mình xong cơng việc là y (ngày) (ĐK: x, y> 16)

- Mỗi ngày ngời thứ nhất lm c:
1

x (phần công việc)

- Mt ngy ngi th hai lm c:

y (phần công việc)

- Theo bài ra 2 ngời làm trong 16 giờ thì xong nên 1 giờ cả 2 ngời làm đợc:
1

16( phần

công việc) ta có phơng trình:

1 1 1
16
x y  (1)

- Theo bµi ra ngêi thø nhÊt lµm trong 3 giê vµ ngêi thø hai lµm trong 6 giờ chỉ hoàn
thành 25% công việc nên ta có phơng trình:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :

1 1 1
16
3 6 1

x y
x y

 



  


 Đặt a =

1
;
x
1
b =
y

ta cã hpt

1
16
1
3 6
4
a b
a b

 




  

 

16 16 1
12 24 1

a b
a b
 


 



48 48 3
24 48 2

a b
a b
 

 
 
 
24 1

1
16
a
a b




 



1
24
1 1
24 16
a
b




 
  


1
24
1
48

a
b




 
 



1 1
24
1 1
48
x
y




 
 


24
48
x
y



 


 (tho¶ m·n)

VËy ngời thứ nhất làm một mình thì sau 24 ngày xong công việc . ngời thứ hai làm một
mình thì sau 48 ngày xong công việc.

Vớ d 2 Bi tập 45:. (SGK - 27)

Gọi đội I làm một mình thì trong x ngày xong cơng việc, đội II làm một mình trong y
ngày xong cơng việc. ĐK : x , y > 132 .

Một ngày đội I làm đợc
1

x phần công việc, i II lm c

y phần công việc .

Vì hai đội làm chung thì trong 12 ngày xong cơng việc nên ta có phơng trình:

1 1 1
12

xy  (1)

Hai đội làm chung 8 ngày và đội II làm 3,5 ngày với năng xuất gấp đơi thì xong cơng
việc nên ta có phơng trình:

1 1 2

.8 3,5. 1

x y y

 

  

 

  ( 2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

1 1 1
12

1 1 2

.8 3,5. 1
x y

x y y



 



 
   
 
 

 đặt a =

x ; b =

y ta cã hÖ: 
1

12
8( ) 3,5.2 1

a b

a b b


 



   
 
1
28
1
21
a
b





 


 Thay a , b ta tìm đợc (x; y) = (28; 21) (thoả mãn)

x = 28 ( ngµy ) ; y = 21 ( ngµy )

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ví dụ 3: Hai vịi nước chảy cùng vào 1 bể khơng có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu
vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vịi
chảy bao lâu thì sẽ đầy bể?

LG

* lập bảng

V 1 V 2 Cả 2 V

TGHTCV x y 6

Năng suất 1h 1

x

1
y

1
6

Năng suất 2h 2

x

2
5

Năng suất 3h 3

y

* ta có hpt:

1 1 1

10
6

2 3 2 15

x

x y

y

x y



 

  





 



  




Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm
trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong cơng
việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.

* lập bảng

Tổ 1 Tổ 2 Cả 2 tổ

TGHTCV x y 12

Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12

Năng suất 4h 4/12 = 1/3

Năng suất 10h 10/y

* ta có hpt:

1 1 1

60
12

1 10 15

1
3

x

x y

y
y



 

  





 



  




Ví dụ 5: Hai vịi nước cùng chảy vào 1 bồn khơng có nước. Nếu vịi 1 chảy trong 3h rồi
dừng lại, sau đó vịi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vịi 1 chảy vào bồn
khơng có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào
bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vịi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

* lập bảng

Vịi 1 Vịi 2 Cả 2 vòi

Thời gian chảy x y

1h 1/x 8/9

4h 4/x 4/y

3h 3/x 1

8h 8/y

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

* ta có hpt:

3 8
1

1 4 4 8 12

x

x y

y

x x y



 

  





 



   




Ví dụ 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ
nhất chảy trong 3 giờ, vịi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vịi chảy được bể. Tính
thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể .

* lập bảng

Vịi 1 Vịi 2 Cả 2 vòi

TGHTCV x y

Năng suất 1h 1/x 1/y 3/10

Năng suất 2h 2/y 4/5

Năng suất 3h 3/x

* ta có hpt:

1 1 3

5
10

3 2 4 10

x

x y

y

x y



 

  





 



  




*) Bài tập vận dụng

Bài 1 : Hai vịi nớc cùng chảy vào 1 bể khơng chứa nớc sau 1 giờ 20 phút thì đầy .Nếu
mở V1 10 phút ,V2 12 phút thì chúng chảy đợc

15 bể .Hỏi nếu mỗi vòi chảy 1 mình thì
sau bao lâu đầy bể ?

Bi 2 :: Nu hai vũi nớc cùng chảy vào một cái bể khơng có nớc thì sau 1 giờ 30 phút
sẽ đầy bể . Nếu mở vịi thứ nhất trong 15 phút rồi khố lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp
trong 20 phút thỡ s c

5 bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể kh«ng chøa níc sau 
24

5 giờ thì đầy .Biết mỗi giờ
lợng nớc V1 chảy đợc bằng

2 lỵng níc V2 .Hỏi nếu mỗi vòi chảy 1 mình thì sau bao lâu
đầy bể ?

Bài 4: Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong việc. Nếu
ngời thứ nhất làm trong 4 ngµy råi nghØ vµ ngêi thø 2 lµm tiÕp trong 1 ngày thì xong
việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?

Bài 5:Hai i cụng nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì hoàn thành

.Mỗi ngày phần việc đội A làm gấp rưỡi đội B .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội
làm xong trong bao lâu? (x=40;y=60)

Bài 6:Hai đội công nhân A và B cùng làm một công việc trong 3 giờ 36’’ thì xong. Hỏi 
nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu mới xong cơng việc trên. Biết rằng thời
gian làm một mình của đội A thì ít hơn thời gian làm một mình của đội B là 3 giờ.

Bài 7 : Hai tổ công nhân cùng làm chung 1 CV trong 12 giờ thì hồn thành . Họ làm

chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt
công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hồn
thành cơng việc.

3
10

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 8 :: Hai ngời cùng làm chung 1 CV trong 20 ngày thì hồn thành . Họ làm chung
với nhau trong 12 ngày thì ngòi thứ nhất đi làm việc khác , ngời thứ hai tiếp tục làm ,đi
đợc 12 ngày thì ngời thứ nhất quay lại làm tiếp trong 6 ngày và ngời thứ 2 nghĩ thì cơng
việc hồn thành . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi ngời HTCV sau bao lâu ?

Bài 9 : Hai công nhân cùng làm chung 1 CV trong 1giờ 12 phút thì hồn thành .Họ làm
chung với nhau trong trong 30 phút thì ngời thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , ngời
thứ hai làm thêm 45 phút nữa thì đợc 75% cơng việc . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
ngời HTCV sau bao lâu ?

Bài 10: Hai công nhân cùng làm chung 1 CV trong 18giờ thì hồn thành .Ngời thứ nhất
làm 4 giờ và ngời thứ hai làm 7 giờ thì họ làm đợc

Bài 11: Hai ngời thợ cùng làm một cơng việc trong 16 (15)giờ thì xong . Nếu ng ời thứ
nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 (5) giờ thì họ làm đợc 25% cơngviệc . Hỏi mỗi
ng-ời làm cơng việc đó trong mấy giờ thì xong .

Bµi 12: Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động trong 4 giờ thì xong

3 công việc.

Nếu để mỗi lớp làm riêng thì lớp 9A làm xong cả công việc trước 9B là 5 giờ. Hỏi
mỗi lớp làm xong cơng việc trong bao lâu?

Bµi 13:Hai vịi nước cùng chảy vào bể khơng có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu

mở vịi thứ nhất trong 4 giờ và vòi thứ hai trong 6 giờ thì đầy

5 bể. Hỏi mỗi vòi nếu

chảy riêng thì mất bao lâu mới đầy bể?

Dạng 6 : Tốn có nội dung hóa học, vật lý
Ví dụ 1: Bµi 44 : (SGK)

- Gọi số gam đồng và số gam kẽm có trong vật đó là x (g) ; y( g) ( x ; y > 0 )
Vì vật đó nặng 124 gam nên ta có phơng trình : x + y = 124 (1)

Thể tích x gam đồng là:
10

89x ( cm3) . ThĨ tÝch cđa y gam kẽm là :

7 y ( cm3)

Vì thể tích của vật là 15 cm3 nên ta có phơng trình:

10 1
15

89x7 y ( 2) .

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

124
10 1

15
89 7

x y

x y

 





 



 từ đó giải hệ phơng trình tìm x; y.

Ví d ụ 2: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch
khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại
2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?

HD Giải:

+/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0)

Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là
30

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

+/ Ta coù hệ phương trình :

100

30 55 50
100 100
x y

x y

 





 




+/ Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80

*) Bài tập vận dụng

Bài 1: Người ta hòa lẫn 4 kg chất lỏng I với 3 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có
khối lượng riêng là 700 kg/m3 . Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối

lượng riêng của chất lỏng II là 200 kg/m3. Tính khối lượng riêng mỗi của chất lỏng.

Bài 2:Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lợng của mỗi loại quặng
đem trộn để đợc 25 tấn quặng chứa 66% sắt.

Dạng 7: Dạng dãy bàn ghế.

Bài 1: Trong phịng học có một số bàn ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6
học sinh khơng có chổ ngồi . Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế . Hỏi lớp
có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh .

3 6
4( 1)

x y

 




 

 (10 ; 36 )

Bài 2: Trong một phịng họp có một số ghế dài . Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9
người khơng có chổ ngồi , nếu xếp ghế 6 người thì thừa 1 ghế . Hỏi phịng họp có
bao nhiêu g hế và bao nhiêu người dự họp .

5 9
6( 1)

x y

 




 

 (15 ; 84)

Bài 3: Một hội trờng có 300 ghế đợc xếp thành nhiều dãy nh nhau. Ngời ta muốn sắp

xếp lại bằng cách bớt đi 3 dãy thì phải xếp thêm 5 ghế vào mỗi dãy còn lại. Hỏi lúc đầu
hội trờng có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế

D

ạ ng 8: Bài toán về tỉ lệ , phân chia đều:

*)công th ức : + Nếu x, y, z tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ a, b, c (tỉ lệ thuận) thì ta có:

x:y:z=a:b:c hay x/a = y/b = z/c = (x+y+z)/(a+b+c)

+ Nếu x, y, z tỉ lệ nghịch với nhau theo tỉ lệ a, b, c thì ta có: x/1/a = y/1/b =

z/1/c hay ax=by=cz

Ví dụ 1: Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo .Số kẹo này

được chia hết va chia đều cho các đội viên .Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy , phân
đội trưởng đề xuất cách nhận quà như sau:

Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại .Cứ tiếp tục như thế đến
bạn cuối cùng thứ n nhận nhận n cái kẹo. Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao
nhiêu đội viên ? Mỗi đội viên nhận được bao nhiêu cái kẹo ?

Giải: Gọi số người trong phân đội là a

Số kẹo trong phân đội được tặng là x (a,x>0)
Người thứ nhất nhận được :

11
x


</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Người thứ hai nhận được :

1
2 1

11
2

x
x     

 



(kẹo )

Vì hai số kẹo bằng nhau và có a người nên ta có :

1
2 1
1 00

1 2

11 11
1

(1 )
11

x
x

a x

   

    

 

 

   



 

  



Giải hệ này ta được x=100 ; a=10

Ví dụ 2: 12 người ăn 12 cái bánh .Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc , mỗi người đàn bà

ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có bao nhiêu người đàn ông , đàn bà và
trẻ em ?

Giải: Gọi số đàn ông , đàn bà và trẻ em lần lượt là x,y,z.(x,y,z là số nguyên dương
và nhỏ hơn 12)

Số bánh họ lần lượt ăn hết là : 2x ; y/2 ; z/4

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

 

12 2 2 2 24 1
2 12 8 2 48 2

2 4

x y z x y z
y z

x x y z

  

    

 



 

      

 



Lấy (2) trừ (1) ta được : 6x-z=24 (3)
Vì x, z Z

 , 6x và 24 chia hết cho 6 ,  z cũng chia hết cho 6 .Kết hợp với điều kiện

0<z<12  z=6.

Thay z=6 vào (3) ta được x=5 , từ đó y=1
Vậy có 5 đàn ông , 1 đàn bà và 6 trẻ em

Ngày giao bài: 3/2/2020
Ngày hồn thành: 8/2/2020

ƠN TẬP VỀ GĨC NỘI TIẾP
A- KIẾN THỨC

1- Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường trịn và hai cạnh của góc
chứa hai dây cung của đường trịn đó. Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

BC là cung bị chắn.

2-Định lý:Trong mt ng trũn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị

chắn

Ta có: ABC

1
2



s®BC
3-

Hệ quả:

Trong một đường trịn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng
nhau

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm

cùng chắn một cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng

B

- NỘI DUNG
*) Ví dụ:

Ví dụ 1: Bµi tËp 19 (SGK/75)
GT : S n»m ngoµi

AB
;

O

 

 

 

SA cắt (O) tại M, SB cắt (O) tại N
BM AN 

 

KL : SH  AB
Chøng minh :

Ta cã: AMB 90  0 và ANB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa
đ-ờng tròn)

BM SA

v AN  SB ⇒ BM và AN là hai đờng cao của tam

gi¸c SAB cã

⇒ SH là đờng cao thứ ba của  SAB 
⇒ AB  SH ( đcpcm)

Ví dụ 2: Bµi tËp 20 (SGK/76)
GT:

;
2

AC
O

 

 

   ' ; 2

 

 

 

AB
O

= A; D
KL: Ba điểm B; D; C thẳng hàng

Chng minh :
- Ta có ADB là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn

' ;
2

 

 

 

AB

O

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

D
A

O
M

- Tơng tự ADC là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn
;

AC
O

 

 

  ⇒ ADC 90  0

Mµ BDC = ADB + ADC

⇒ BDC = 900+900 = 1800

Vớ dụ 3: Bài tập 23 (SGK/76)
a) Trờng hợp điểm M nằm trong đờng tròn (O):

- Xét AMC và DMB Có AMC = BMD (2 góc đối

đỉnh)



ACM = MBD (2 gãc néi tiÕp cïng chắn AD)

H là trực tâm AMC DMB (g . g)
⇒

MA MD

MC MB ⇒ MA MB MC MD.  . (®cpcm)

b) Trờng hợp điểm M nằm ngồi đờng trịn (O):

Xét MAD và MBC:
cóAMD =BMC ( góc chung)



ADM =CBM ( hai góc nội tiếp cùng chắn AC
⇒ MAD MBC (g.g)

⇒ MA . MB = MC . MD

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho ABC (AB<AC) nội tiếp (O). Lấy D trên cạnh BC, AD cắt cung BC tại E
Chứng minh rằng: a) Góc AEC lớn hơn góc AEB

b) AB.CD = AD.CE

Bài 2: Cho ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn
tại E. Chứng minh rằng:

a) AB.AC = AD.AE
b) BE2 = AE.DE

Bài 3: Từ một điểm P nằm ngồi đường trịn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến (O)
(A, B là hai tiếp điểm). Trên dây AB lấy M bất kì. Qua M kẻ đường thẳng vng góc
với OM cắt PA tại S và PB tại Q. Chứng minh rằng: MS = MQ

Bài 4: Từ một điểm P nằm ngồi đường trịn (O;R), kẻ cát tuyến PAB. Gọi D là điểm
chính giữa cung AB. Kẻ đường kính DE, PE cắt (O) tại I, ID cắt AB tại K. Chứng minh
rằng: PA.KB = PB.KA

S

⇒ Ba ®iĨm B, D, C thẳng hàng .

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bi 5: Cho nửa (O) đường kính AB. Gọi I là điểm chính giữa cung AB. Lấy điểm M

thuộc cung AI, tiếp tuyến tại M cắt đường thẳng OI tại D.

Chứng minh: MDO = 2. MBA .

Bài 6: Cho ABC nội tiếp (O). Đường kính AD, kẻ đường cao AH
a) Chứng minh BAH ∽CAD

b) Gọi I là điểm chính giữa cung BC ( không chứa điểm A). Chứng minh rằng: AI là
phân giác của góc HAD

Bài 7: Cho 2 đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ hai cát tuyến CAD

và EAF ( C và E thuộc (O); D và F thuộc (O’) ). Chứng minh rằng:

a) BC.BF = BD.BE
b) BCE ∽BDF

Bài 8: Cho ABC nội tiếp (O). Hai đường cao AD, BK cắt nhau tại H. AD cắt (O) tại
E. Chứng minh rằng:

a) BC là phân giác của góc HBE
b) E đối xứng với H qua BC

Bài 9: Cho ABC đều nội tiếp (O). Một điểm D nằm trên cung nhỏ BC. Trên đoạn DA
lấy DK = DB. Chứng minh rằng:

a) BDK đều.
b) AD = BD + CD

Bài 10: Cho (O) và một điểm P ở bên ngoài. Vẽ đường tròn (P;PO). Hai đường tròn

(O) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Đường thẳng OP cắt (P) tại điểm thứ
hai C.

a) Chứng minh rằng: CA là tiếp tuyến của (O).

b) Lấy D thuộc cung AB của (P) (cung không chứa điểm O ). Chứng minh DO là tia
phân giác của góc ADB.

Bài 11: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O;R). Qua A kẻ đường thẳng cắt BC tại D và cắt
(O) tại E.

a) Chứng minh rằng: EA là tia phân giác của góc BEC

b) Chứng minh AEB ∽ABD. Suy ra Ad.AE khơng đổi (Khơng phụ thuộc vào
vị trí của điểm E)

Bài 12: Cho ABC đều nội tiếp (O;R), đường kính Ad, đường cao AH.
a) Chứng minh: ABH ∽ADC.

b) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tương ứng với các đỉnh A, B, C.
Chứng minh rằng: SABC =

. .
4R

a b c

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ngày giao bài: 10/2/2020
Ngày hồn thành: 15/2/2020

ƠN TẬP gãc t¹o bëi tia tiÕp tun và dây cung

A- KIN THC
1- nh ngha:

Cho dây AB của (O; R), xy là tiếp tuyến tại A

BAx ( hoặc BAy ) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung

+) BAx chắn cung AmB
+) BAy ch¾n cung AnB

2- Định lý: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn

3- Hệ quả: Trong một đường trịn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội
tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

B

- NỘI DUNG
*) Ví d ụ :

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ta cã:

 1

TPB



sđBP (Góc tạo bởi tia tt và dây cung)

mà BOP sđBP (Góc ở tâm)
 BOP 2TPB 

Mặt khác BTP BOP 90   0(PTO vuông ở P)
 BTP 2TPB 90   0(đpcm)

Vớ dụ 2: AC, BD là các đờng kính của (O); xy là tiếp tuyến tại A của (O). Tìm các góc 
bằng nhau.

Ta cã: A 1 C D  (cùng chắn cung AB )

 

C B , D A 3, A 2 B1(hai góc ở đáy của các tam giác cân)

    

3 2 1

A B  C D A (cùng chắn các cung bằng nhau)
Tương tự, ta có: A 2 A 4 B1

    0

CBA BAD OAx OAy 90   

Vớ dụ 3: Cho hình vẽ bên, (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, BAD, EAC là hai cát 
tuyến của hai đờng tròn, xy là tiếp tuyến chung tại A.

Chøng minh ABC = ADE .
Chøng minh:

Ta cã ABC = xAC (=

2s®AC

)

 

EAy ADE (=

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Ví dụ 4: Bµi tËp 33 (SGK/80)
GT A, B, C

(O)

TiÕp tuyÕn At

d // At, d cắt AB, AC lần lợt tại M, N
KL AB.AM = AC.AN

- Hớng dẫn HS lập sơ đồ phân tích nh sau:

AB.AM = AC.AN


AM AN

AC AB



Δ AMN ∽ Δ ACB

 



CAB chung AMN = C

Chøng minh.

Ta cã AMN = BAt (so le trong)



C=BAt ( =

2s® AB ) C = BAt .

=>AMN = C

xÐt Δ AMN vµ Δ ACB cã



CABchung



AMN = C

 Δ AMN ∽ Δ ACB (g.g)

Ví dụ 5: Bµi tËp 34 (SGK/80)

GT Cho ®iĨm M n»m ngoµi (O), tiÕptuyÕn MT, c¸t tuyÕn MAB.
KL MT2 = MA.MB.

- Hớng dẫn HS lập sơ đồ phân tích nh sau:
MT2 = MA.MB

T
O

M
B



AM AN

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>



MT MB

MA MT



Δ TMA ∽ Δ BMT(g.g)

 



M chung ATM = B

Chøng minh.

XÐt Δ TMA vµ Δ BMT cã:



M chung



ATM= B (= 
1

2s® AT )
 Δ TMA ∽ Δ BMT(g.g)



MT MB

MA MT

 MT2 = MA.MB.

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho Δ ABC nội tiếp (O). Một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của

(O) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) ABC ∽AED.

b) AB.AD = AC.AE

Bài 2: Cho (O;R). Từ điểm P ở bên ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến PT và cát tuyến
PAB với (O). Chứng minh rằng: PT2 = PA.PB = PO2 – R2

Bài 3: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại P. Dây cung AB của 1 đường
tròn kéo dài tiếp xúc với đường tròn kia tại C. AP cắt (O’) tại P và D.

Chứng minh rằng: BPC =  CPD

Bài 4: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến AM với
(O’) và tiếp tuyến AN với (O) ( M thuộc (O); N thuộc (O’) ). Chứng minh:

a) AB2 = MB.NB

b) MBA = NBA

Bài 5: Cho góc nhọn AMB nội tiếp (O). Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa M, vẽ
tia Ax sao cho xAB = AMB . Chứng minh: Ax là tiếp tuyến của (O).

Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Lấy điểm B thuộc (O). Qua
B kẻ tiếp tuyến với (O) cắt (O’) tại C và D. Gọi M là điểm chính giữa cũng CD. Chứng
minh: Δ ABM vng tại A.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

a) DCF = DCE 
b) DFC = CDE 

Bài 8: Từ điểm P ở ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến PA và PB đến (O). Đường thẳng song
song với PA kẻ từ B cắt (O) tại C, PC cắt (O) tại điểm thứ hai E. Đường thẳng BE cắt
PA tại M. Chứng minh rằng:

a) PM2 = BM.ME

b) M là trung điểm của PA

Bài 9: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O’;R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B sao cho O và
O’ ở về hai phía của AB. Vẽ tiếp tuyến AD với (O). Qua B vẽ đường thẳng song song
với AD cắt (O’) tại E cắt (O) tại F. Chứng minh rằng: ADEF là hình bình hành.

Bài 10: Cho Δ ABC nội tiếp (O;R). Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với tiếp

tuyến tại A của (O), đường thẳng này cắt AC ở M.
Chứng minh rằng: AB2 = AC.AM

Bài 11: Cho 2 đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Tiếp tuyến chung ngoài tiếp
xúc với (O) tại B và (O’) tại C. Chứng minh góc BAC vng.

Bài 12: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A (R>R’) dây BC của (O) tiếp
xúc với (O’) tại M (ba điểm O, A, M không thẳng hàng). Chứng minh rằng: AM là phân
giác của góc BAC

Bài 13: Từ điểm P ở ngoài (O), kẻ tiếp tuyến PA. Từ trung điểm B của AP kẻ cát tuyến
BCD ( C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD cắt (O) tại điểm thứ hai E và F.
Chứng minh: PF.PD = PC.PE = 4.AB2

Ngày giao bài: 17/2/2020
Ngày hồn thành: 22/2/2020

ễN TẬP góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn

A- KIẾN THỨC
1- Kh¸i niƯm:

- Góc BEC có đỉnh E nằm bên trong (O)

 BEC là góc có đỉnh ở bên trong đờng

tròn .

- BEC chắn hai cung là BnC ; AmD

2- Định lý:

S o ca gúc cú nh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị
chắn

 sd BnC sdAmD 
BEC

2



B

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

M
A

N
S

Ví dụ 1: Bµi tËp 36 (SGK)

Ta có:

  

sd AM sdNC

AHM

sdMB sd AN

AEN




(vì AHM và AEN là các góc có đỉnh ở bên trong đờng trịn)
Theo giả thiết thì AM MB, NC  AN

=>AHM AEN .

Vậy tam giác AEH cân tại A

Vớ d 2: Bài tập 40 (sgk/83):

Ta có



ADS =

2 (sđ AB+ sđ CE ) (đlý góc có đỉnh

ë bên trong đường tròn)



SAD =

2 sđAE ( đlý gãc tạo bởi tia tt và dây cung)
Mà BAE =EAC (AE là phân giác)

⇒ AM = MB

⇒ sđ AB+ sđ CE = sđ AB + sđ BE
= sđAE

⇒ ADS = SAD  ⇒ SDA cân tại S
Hay SA = SD

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Ta có :ADS =  BCA + DAC ( định lý góc ngồi của tam giác)



SAD = SAB +  BAE

Mà BAE = EAC ( AE là phân giác)



SAB =BCA ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn một cung)
⇒ ADS = SAD

⇒ SDA cân tại S Hay SA = SD

*) Bài tập vận dụng:

Bài 1: từ 1 điểm P nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến PT và cát tuyến PAB đến
(O) (A nằm giữa P và B), phân giác góc ATB cắt AB tại C và (O) tại D.

a) Chứng minh: PT = PC
b) Chứng minh: BD2 = DC.DT

Bài 2: Cho AB và AC là hai dây cung trong đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa

cung AB, N là điểm chính giữa cung AC. Các đường thẳng MN và AB cắt nhau tại E,
MN và AC cắt nhau tại F. Chứng minh: AE = AF

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm C trên cung AB. Lấy trên dây
AC một điểm D. Vẽ DE vuông góc AB tại E cắt đường trịn (O) tại P, Q (D nằm giữa E
và P). Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt ED tại F. Chứng minh CDF cân.

Bài 4: Cho đường tròn (O). Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn kẻ cát tuyến PAB và
hai tiếp tuyến PM, PN với (O) (M thuộc cung nhỏ AB). Lấy D là điểm chính giữa cung
lớn AB, DM cắt AB tại I. Chứng minh:

a) PM = PI

b) IA.NB = IB.NA

Bài 5: Từ M ở ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC. Trên tia
MAB lấy ME = MC. Chứng minh CE là tia phân giác của góc ACB

Bài 6: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của hai 
góc B và C cắt nhau tại E và cắt đường tròn ở F và D. Chứng minh tứ giác EDAF là
hình thoi.

Bài 7: Cho đường trịn (O;R) đường kính BC. Lấy A là điểm chính giữa của cung BC.
D là điểm di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí điểm D để 2AD + AE
nhỏ nhất.

Bài 8: Cho đường tròn (O). Trên (O) lấy các điểm A, C1, B, A1, C, B1 theo thứ tự đó.

Chứng minh rằng nếu các đường thẳng AA1, BB1, CC1 là các đường phân giác của 

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ngày giao bài: 24/2/2020
Ngày hồn thành: 29/2/2020

ễN TẬP VỀ góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn

A- KIẾN THỨC
1- Kh¸i niƯm:

- Góc BEC có nằm ngồi (O) , EB và EC có điểm chung với (O)  BEC là gúc cú nh
bờn ngoi (O)

- Cung bị chắn BnC ; AmD  lµ hai cung n»m trong gãc BEC

2- Định lý: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung
bị chắn

Ta có: BEC

 

sd sd
2

BnC AmD


B

- NỘI DUNG
*) Ví d ụ :

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

C E

B
O

a) AEB =

2 (sđ AB - sđ CD )(đlý góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

⇒ AEB =

2 (1800 - 600 )= 600

Tương tự

BTC = 

2 (sđ BAC - sđ CDB )
⇒ BTC = 

2 [(1800 + 600)- (600- 600)] = 60 0

Vậy AEB =BTC 
b) ta có



DCT =

2 sđCD =

2 600 = 300



DCB =

2 sđ BD =

2 600 = 300

 DCT = DCB

Vậy CD là tia phân giác của BCT

Ví dụ 2: Bài tập 37(SGK/T82):

Ta cã:



ASC =

 

2
Sd AB Sd MC

(đlý góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn).



MCA =

  

2 2

Sd AM Sd AC Sd MC


</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

ASC = MCA .

Ví dụ 3: Bµi tËp 39 (SGK/83)

Ta cã:

  1
SME

2 sđCBM (Góc tạo bởi tia tt và dây cung)

  1   

ESM (s® AC s®BM)

2 (Góc có đỉnh bên trong đường tròn)

màAC CB (gt)

  

 ESM 1 (s®BC s®BM )
2


 1 s®CBM

2 hay SME ESM

 EMS cân tại E (pcm)

Vớ d 4: Bi tập 41 (SGK/83)

GT: Cho A nằm ngoài (O), cát tuyến ABC vµ AMN;

 

 

CM BN S

KL: A BSM 2.CMN   

Chøng minh: 
Cã

  sdBM


s® CN

(định lý về góc có đỉnh nằm bên ngồi 
đ-ờng trịn)

L¹i cã :

 sd CN + sd BM 
BSM =

2 (định lý về góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn ) 
 A + BSM = 

 sd BM



sd CN

 

sd CN + sd BM

2 =


2.sdCN

2  A + BSM = sđ CN

Mà

= sd1 

CMN CN

(t/c vÒ gãc néi tiÕp)
Ví dụ 5: Bµi tËp 42 (SGK/83)

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

GT: Cho  ABC néi tiÕp (O) PB = PC ; 

   

QA = QC ; RA = RB

KL: a) AP  QR

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh CPI cân

Chứng minh:
a)

+) Vì P, Q, R là điểm chính giữa của các cung BC, AC, AB suy ra

  1

PB = PC

2BC



;

  1

QA =QC=

2AC;

  1

RA=RB

2AB



(1)

+) Gọi giao điểm của AP và QR là E  AER là góc có đỉnh bên trong đờng trịn

Ta cã :

 = sdAR + sd  + sd

QC CP

AER

(2)
Tõ (1) vµ (2)




  

(sd + sd + sd )
2

AB AC BC

AER

 AER

0
0

360 90
4

 

VËy AER = 900

hayAP  QR t¹i E

b) Ta có: CIP là góc có đỉnh bên trong đờng trịn 

 sdAR + sd 
2

CP
CIP

(4)
L¹i cãPCI là góc nội tiếp chắn cung RBP

= sd1  =sd +sd

2 2

RB BP

PCI RBP

(5)
mµ AR = RB ; CP BP     . (6)

Tõ (4) , (5) vµ (6) suy ra:



CIP = PCI . Vậy CPI cân tại P

*) Bi tp vn dụng:

Bài 1: Lấy các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó trên đường trịn (O) sao cho số đo các
cung AB, CD lần lượt là 600, 1200.

a) Chứng minh: AC vng góc BD.

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AD và BC. Tính góc AIB

Bài 2: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy M thuộc cung nhỏ AB.
Gọi P là giao điểm của AM với CB. Chứng minh:

a) APC =  ACM

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 3: Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm trên cung BC. Các
đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F.

Chứng minh rằng: AB2 = BE.CF

Bài 4: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Kẻ hai cát tuyến ABC (B nằm giữa A và
C) và AEF (E nằm giữa A và F). Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh:

a) A A +BIE = 2. CBF
b) AE.AF = AB.AC

Bài 5: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB. Lấy C thuộc đường trịn sao cho



COB = 600. Gọi I là điểm chính giữa của cung CB và M là giao điểm của OB và CI.

a) Tính góc CMO

b) Kẻ đường cao CH của COM. Tính độ dài OM theo R.

Bài 6: Cho đường trịn (O), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên cung
nhỏ AD lấy điểm M sao cho AOM = 60 0. Gọi P là giao điểm của CA và BM.

a) Tính góc BPC

b) Gọi E là giao điểm của AB và CM. Tính góc AEM

Bài 7: Cho đường trịn (O) và hai dây cung bằng nhau AB = AC. Trên cung nhỏ AC lấy
một điểm M. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.

</div>