GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.13 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
PHƢƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ
đề:

- Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc cao đối với sin và cos.
- Phương trình đối xứng

Trong bài toàn này chúng ta xét thêm các trường hợp khác, bao gồm:

1. Mọi phương trình lượng giác đều có thể thực hiện việc đại số hóa thơng qua hàm tan, cụ thể là đặt
tan

t x thì:

2 2 2

1
cot

2 1 2

sin 2 ; cos 2 ; tan 2

1 1 1

x

t

t t t

x x x

t t t





  

  

2. Đặt 1
sin
t

x

 hoặc 1

cos
t

x

 , điều kiện t 1
3. Đặt tasinx b cosx, điều kiện t a2b2.
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình sin 4xtanx

Giải

ĐK: cos 0





x   x  k kZ

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 
Đặt ttanx, suy ra phương trình có dạng:



 











2 3

2 2

4 2

2 2

2 1

2sin 2 .cos 2 tan 2 . 4 1 1

1 1

0 tan 0

6 3 0

3 12 tan 12 3

tan 0

tan 12 3

t t

x x x t t t t t

t t

t x

t t t

t x

x x k

k Z

x k

x


 



      

 

 

 

     

    

 



  

     

   



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>













sin

sin 4 2sin 2 cos 2 cos sin
cos

4sin cos cos 2 cos sin 4 cos cos 2 1 sin 0
2 1 cos 2 cos 2 1 sin 0

sin 0 sin 0

1 3 3 1

cos 2 cos 2 cos 2

2 2

2 2 2

x

x x x x x

x

x x x x x x x x

x x x

x x

x k x k

k Z

x k x k


 

   
  
    
    
 
 
 
    
  
 
 
 
 
  
     
 

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình cotxtanx2 tan 2x 
Giải

ĐK:

sin 0

sin 2 0

cos 0 sin 4 0 4

cos 2 0 4

cos 2 0
x

x k

x x x k x

x
x






        
  

 


Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 
Đặt t tanx cotx 1

t

   và tan 2 2 2

1
t
x
t



Khi đó phương trình có dạng:









2 2 2 2

4 2 2 2

2 2
2 2
1 1
2 2
3
3
4

4
1 4

1 1 4

6 1 0 1 4

1 2 2 1 0 1 2

tan 1 2 tan
tan 1 2 tan

tan 1 2 tan

t

t t t t t

t t

t t t t

t t t t t

x x k

x x k

x k
x
x k
x
  
  
 

 

      

      

        
   
         
  
     

    

 
 

   

      




k Z





 




Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









cos sin 2 sin 3
cot tan 2 tan tan 2

sin cos 2 cos sin 2
cos 2 cos sin 2 sin cos sin 3 sin

cos 3 cos sin 3 sin 0 cos 4 0
4

2 8 4

x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x

k

x  k x   k Z

     

  

    

      

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phƣơng trình 2 4

 

4 tan 5 0 1

cos
m
x

x

  

a) Giải phƣơng trình với m 1.

b) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm thuộc ;
2 2

 

 

 

  
Giải

ĐK: cos 0





x   x  k kZ

Viết lại phương trình dưới dạng:

2 2

1 4 4 4

4 1 5 0 1 0

cos cos cos cos

m m

x x x x

        

 

 

Đặt 2





cos

t t

x

  , khi đó phương trình có dạng:

 

2 1 0 2

f t  t mt 

a) Với m 1, ta được: t2    2t 1 0 t 1

 

ktm
Vậy với m 1 phương trình vơ nghiệm.

b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc ;
2 2

 

 

 

 

 Phương trình (2) có nghiệm t2
TH1: (2) có nghiệm t1 2 t2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 

2 0

4 5 0

1 0

' 0 5

4 5 0 4

2 0

2
2

2
af

m
m

af

m
S




   



 

    

 

       



 





 

  

 





Vậy với 5
3

m  thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc ;
2 2

 

 

 

 .

Ví dụ 4: Cho phƣơng trình









 

1 tan 3 1 tan tan 0 1

cos
m

m x m x x

x

    

a) Giải phƣơng trình với 9
37
m 

b) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm khác k



kZ



Giải

ĐK: cos 0





x   x  k kZ

Viết lại phương trình dưới dạng:





4



2



2



2



1 tan 3 1 tan tan 4 1 tan 0

m x m  x x m  x 
Chia cả 2 vế của phương trình cho



1 tan 2x



2 0 , ta được:





2 2 2 2 2

tan tan

1 3 4 0

1 tan 1 tan

x x

m m m

x x

 

     

 

 

Đặt





2
2

tan

0 1

1 tan
x

t t

x

  

 , khi đó phương trình có dạng:





 

1 3 4 0 2

m t  mt m

a) Với 9
37

m  ta được:

 





2
2

tan 3

4
28 27 36 0

12 1 tan 4

tan 3 tan 3

3
t

x

t t

x

t ktm

x x x  k k Z

 


     

 

 


         

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Xét hai trường hợp

TH1: Nếu m    1 0 m 1 ta được:

 

2 3 4 0

t t ktm

      Phương trình vơ nghiệm.

TH2: Nếu m    1 0 m 1

Phương trình (1) có nghiệm 

 

2 có nghiệm t

 

0;1

 

   

 

0 1 0

2 co1 0;1 0 0 1

2 co 2 0;1 1 1

0 1

2
f f

nghiem af

m

nghiem af

S






 







  




     



  





  




Vậy với 1
2

m  thỏa mãn điều kiện bài toán.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phƣơng trình:

a) 1 3sin 2 x2 tanx c) 6 tanxtan 2x
b) 1 3tan x2sin 2x d) sin 2x2 tanx3
Bài 2: Giải các phƣơng trình:

a) cos tan 1
2
x

x  b) 2 cos 2 tan

2
x
x

 

Bài 3: Giải các phƣơng trình: 
a)



1 tan x



1 sin 2 x



 1 tanx
b) 4sin2 x3 tan2x1

c) 3sin cos 4cot 1 0
2

x

x x  



cosxsinx



cos sinx xcos cos 2x x
Bài 4: Cho phƣơng trình 2

cot 2 1 0

sin
m

x m

x

   

a) Giải phương trình với m1.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ;
6 6

 

 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 5: Cho phƣơng trình 2





4 tan 2 1 tan tan 0

cos

x m x x

x

   

a) Giải phương trình với m 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 6: Cho phƣơng trình:





2 2

1 tan 1 3 0

cos

a x a

x

    

a) Giải phương trình khi 1
2
a

b) Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng 0;
2



 

 

 .

Bài 7: Cho phƣơng trình 2
2

4 2

cos cos 3 0

cos x x m cosx x

 

     

 

a) Giải phương trình với 2
3
m 

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0;
2



 

 

 .
Bài 8: Cho phƣơng trình 3cos 4sin 6

3cos 4sin 1

x x m

x x

  

 

a) Giải phương trình với m6.

</div>