Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (469.79 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GV: Nguyễn Văn Khánh

- 1 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ

ÑT : 0169 8033 568

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

 KHÁI NIỆM:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K; Khi đó:

f(x) đồng biến trên K,

∀

x1,x2

∈

K : x1 <x2

⇔

f(x1)<f(x2)

f(x) nghịch biến trên K,

∀

x1,x2

∈

K : x1 <x2

⇔

f(x1)>f(x2)

 ĐỊNH LÍ: Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:

f'’(x)  0,

∀

x

∈

K thì f(x) đồng biến trên K 
 f'’(x)  00,

∀

x

∈

K thì f(x) nghịch biến trên K 
(Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

 PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA CÁC HAØM SỐ: 
1.Tìm TXĐ .Tính f ’(x)

2. Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f ’(x) không xác định

3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến . nghịch biến của hàm số (theo ĐL trên)
 CHÚ Ý: Khi xét dấu f’(x) ta thường gặp áp dung dấu của nhị thức bậc nhất

(ax+b , a  0) hoặc dấu của tam thức bậc hai (ax2+bx+c,a  0) 
 ˆ Dấu của nhị thức bậc nhất

ax+b ( a  0)

ˆ Dấu của tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c(a  0)
 = b2-4ac , ’ = b’2-ac

1/  < 0 (hoặc ’ < 0 )  f(x) luôn cùng dấu với a , x  R
2/  = 0  f(x) luôn cùng dấu với a

2
b
x

a
  
3/  > 0  f(x) coù 2 N0 x1,x2 ( Gs x1< x2)

“ Trong trái,ngồi cùng” 
 VÍ DU 1Ï: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số : y=




x3 -3x2 +8x-2

Giaûi: TXÑ : D =  , y’=x2 -6x2 +8 , y’=0 2
4

x
x

 
 




Bảng biến thiên

x – 2 4 +
y’ + 0 – 0 +

y 1 4
3

1 0

∞

x -

b

a



+

ax+b trái dấu 0 cùng dấu

a a

x - x

x

+

f(x) cùng dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

GV: Nguyễn Văn Khánh

- 2 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ

ÑT : 0169 8033 568

+
_

_
0
1

0
0

1
0

1
_

y
y'

+∞
∞

x
-

∞

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 2) và (4; + ) , nghịch biến trên khoảng (2;4)

VÍ DU 2Ï: Xét chiều biến thiên của hàm số 2
1
y x .
Giaûi: Ta có TXĐ 



1;1



2
'

1
x
y

x






với mọi x  



1;1



. Do đó với mọi x  



1;1



, 'y trái dấu
với x . Ta có bảng biến thiên của hàm số .

Kết luận : hàm số đồng biến trên



1;0



, nghịch biến trên



0;1



.
 VÍ DU 3Ï: Tìm m để hàm số 1 3 2





2 2 1 3 2

y  x  x  m x m nghịch biến trên .
Giải. TXĐ : D =  . Ta coù 2

' 4 2 1

y  x  x m .
'y là tam thức bậc hai ( hệ số của 2

x là  1 0) có  ' 2m5 .

Do đó hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi  ' 0  2m 5  0  5
2

m   .

 Chú ý: Đối với hàm bậc 3, y’ là tam thức bậc hai.Khi đó:

 Hàm số y ĐB trên  ' 0,y   x R

0
0
a
 

 




ˆ Hàm số y NB trên   ' 0,y   x R
0

0
a
 

 






LUYỆN TẬP DẠNG CƠ BẢN



Lời khun

: Khi chúng ta muốn luyện tập giải các dạng luyện thi thì cần có kỉ năng giải

thành thạo các dạng cơ bản, thường gặp ở mức độ từ dễ đến khó .

Bài 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số :

a) 3 2

2 2 2

y  x  x  x ĐS: Hàm số nghịch biến trên 

b) 1 4 2

5
2

y x x  ĐS: Hàm số nghịch biến trên các khoảng



 ; 1



và



0;1



, đồng biến trên
các khoảng



1;0



và



1; 



c) 2 3 2

2 16 31
3

y  x  x  x ĐS: Hàm số nghịch biến trên các khoảng



 ; 4



và



2; 



, đồng
biến trên



4; 2



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

GV: Nguyễn Văn Khánh

- 3 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ

ÑT : 0169 8033 568

a) 2

1
x
y
x



 ĐS: Hàm số nghịch biến trên



 ; 1



và



 1;



b) 3

2 1



x
y

x ĐS: Hàm số đồng biến trên

1
;
2
 

 

  vaø
1

;
2
 

 
 

c) 2

y x ĐS:hàm số đồng biến trên



1;0



, nghịch biến trên



0;1



.
d)

2 2 4

2
x x
y
x
  


 ĐS: NB trên các khoảng



; 0



và



4; 



, ĐB trên các khoảng



0; 2



và



2; 4



e) y 1x 1x ĐS: Hàm số đồng biến trên



1;0



, nghịch biến trên



0;1



.
Bài 3:

a) Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên  : f x

 

 ³ 6 ² 17x  x  x4
b) Chứng minh rằng hàm số 3

2 1
x
y
x



 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

c) (4/ 10 –SGK 11CB) Chứng minh rằng hàm số y= 2x-x2đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và

nghịch biến trên khoảng (1 ; 2)

Baøi 4:

a) Tìm m để hàm số : 3









1 4 9

yx  m x  m  x đồng biến trên .ĐS: m  3 hoặc m 2
b) Tìm m để hàm số : 2 3

2
mx
y
x m




 nghịch biến trên từng khoảng xác định. ĐS:  3m 3
c) Tìm m để hàm số :









1 1

y m x  m x xnghòch biến trên .ĐS:  2 m1



LUYỆN TẬP DẠNG LUYÊN THI

Bài 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của hàm số : 2

2 1

y x x

ĐS: Hàm đã cho đồng biến trên 1; 2
5

 



 

 

, nghịch biến treân 2 ;1
5

 

 

 

HD: Để xét dấu y’ áp dụng BPT:





2
( ) 0

( ) ( )

( ) g( )



  



g x
f x g x

f x x

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số 2
8

y  x x  nghịch biến trên .

HD: Để chứng minh y’  0 , x  ,ta áp dung BPT

( ) 0
( ) 0
( ) ( )

( ) 0
( ) ( )

g x
f x

f x g x

g x

f x g x

 




  
 




  
  


Bài 3: Xét sự đồng biến , nghịch biến của các hàm số :

a) y = x –sinx , x  [0;2 ] ĐS: h/s đồng biến trên đoạn [0;2] 
b) y = x +2cosx , ;5

6 6

x   

 

ĐS: h/s nghịch biến trên ;5
6 6
 

 

 

 

Bài 4: Tìm m để hàm số 1 3









1 3 4

y  x  m x  m x đồng biến trên



0;3



HD: Hàm số đồng biến trên



0;3



khi và chỉ khi y 0, x



0;3



     






2
2 3
, 0;3
2 1
x x
m x
x

ÑS: 12

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

GV: Nguyễn Văn Khánh

- 4 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ

ĐT : 0169 8033 568

Bài 5: [ĐH.K.A -2013] Tìm m để hàm số 3 2

3 3 1

y x  x  mx nghịch biến trên khoảng



0; 



. 
ĐS:m  1

 Chú ý: Dạng tốn tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên 1

khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Một số sách tham khảo thường giải các bài toán 
dạng này bằng cách sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này hiện nay đã khơng 
cịn được học trong chương trình THPT nữa. Do đó cách giải như vậy là khơng hợp lệ trong kì thi 
TSĐH

.

Bài 6: Tìmađể hàm số 3 2

yx  x ax a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. ĐS: 9
4
a

HD: ycbt  1 2 1



1 2



2 4 1 2 1 4 3 1 9

3 4

a

x x   x x  x x     a (với x1,x2 là N0 của y’)

Baøi 7: Cho 0 <



2 

. Chứng minh rằng:



sin



+ cos



> 1

HD: XÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - 1 víi x

 0,

2 













Bài 8: Giải phương trình: 2

4x 1 4x  1 1

HD: Xét hàm số y 4x 1 4x21. TXÑ: 1;
2
 
  
 

D .ÑS: 1

2


x

Bài 9: Giải bất phương trình sau: x9 2x4 5

HD: Xét hàm số y f x( ) x9 2x4. TXÑ: D  





ÑS: T 



0;



Bài 10: [ĐH-K.B-2007] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân 
biệt:





2 8 2

x  x  m x . (1)

HD: (1)  3 2 2

6 32 (2)

x

x x m





  



. Xét hàm số f x

 

x36x232, x 2. Bảng biến thiến suy ra

đpcm

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 3

sin xcos xm.(1)

HD: (1)  t33t 2m, với sin cos 2 sin
4
t  x x x 

  . Xét hàm số

 

f t t  t, t  2; 2.
ĐS:  1 m1

Bài 12: [ĐH-K.D-2004] Chứng minh phương trình sau có đúng 1 nghiệm x5x22x  (1) 1 0

HD: Giả sử x là nghiệm của (1), ta có 0





0 0 1

x  x   x 05 0  x 0 0





0 1 1

x    x 05 1  x  . 0 1

</div>

Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

<i><b>GV: Nguyễn Văn Khánh</b></i>

<i> - 1 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ</i>

<i> ÑT : 0169 8033 568 </i>

<b> §1. SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ </b>

∀

∈

⇔

∀

∈

⇔

∀

∈

∀

∈

∞

x -

+

<i> ax+b trái dấu 0 cùng dấu </i>

<i> a a </i>

x - x

x

+

<i> f(x) cùng dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu </i>

<i><b>GV: Nguyễn Văn Khánh</b></i>

<i> - 2 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ</i>

<i> ÑT : 0169 8033 568 </i>

∞

























<b> </b>





Lời khun









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





<i><b>GV: Nguyễn Văn Khánh</b></i>

<i> - 3 - THPT SỐ 2 PHÙ MỸ</i>

<i> ÑT : 0169 8033 568 </i>

































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>