Bài toán tĩnh và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (33.97 MB, 94 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠỈ

n ọ c

QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

* * *

BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG

CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO

CHỊU TẢI PHỨC TẠP

M ã số: Q T - 02 - 02

T P U S G Ĩ A V 'i i i Í Á . . i t . : í i l ự 7! ẼM

Ko 0T U ầ ?

CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI P G S.T S. Đ À O V Ă N D Ũ N G
CÁN B ộ THAM GIA GS. TSK H . Đ À O H U Y BÍC H

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A.

BÁO CÁO KẾT QUẢ THƯC HIỆN ĐE

t à i

NĂM 2002 và 2003

1. Tên đề tài:

"Bài tốn ữnh và động của mơi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp"

(Static and dynamic problems in elastoplastic media subjected

to complex loading processes)

Mã số: QT - 02 - 02

2. Chủ trì đề tài: PGS.TS. ĐÀO VÃN DŨNG

3. Cán bộ tham gia: GS. TSKH. ĐÀO HUY BÍCH, trường ĐHKHTN

4. M ục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Trong thực tế người ta thấy rằng nhiều kết cấu bị mất khả năng làm việc

không phải do không đủ độ bền mà do bị mất ổn định mạc dù thời gian làm

việc của chúng chưa nhiều. Do vậy nghiên cứu vấn đề ổn định của các kết cấu

thành mỏng được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.

Đặc biệt các vấn đề ổn định của bản và vỏ mỏng đàn - dẻo chịu tải phức

tạp còn có ít cơng trình nghiên cứu. Do vậy đề tài này nhằm giải quyết các bài

tốn sau đây:

* Ơn định đàn dẻo của vỏ trịn xoay.

* Ơn định của mảnh vỏ trụ tròn theo lý thuyết q trình đàn dẻo.

* Ơn định đàn dẻo của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với các điểu kiện biên

động học khác nhau.

* Các tính tốn bằng số cho một số bài toán ổn định.

* Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

* ứng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu hiện tượng mất ổn

định khí động.

5. Các kết quả đạt được.

a) B ài toán ổn định của vỏ tròn xoay: Bài toán ổn định của vỏ đàn hồi

tròn xoay đã được nghiên cứu, tuy nhiên với vỏ đàn - dẻo đang cịn ít được

quan tâm. Vì vậy trong cỏng trình này tác giả đã sử dụng lý thiiyết quá trình

đàn - dẻo dể thiết lập các hệ thức cơ bản cho bài toán ổn định vỏ tròn xoay

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

đàn - dẻo chịu tải phức tạp. Đã khảo sát bài toán ổn định của bản tròn và vỏ

cầu. Từ biểu thức của lực tới hạn có thể nhận lại kết quả của Timoshenco và

Hutchinson cho vỏ đàn hồi. Phương pháp đề xuất phù hợp, khoa học và có độ

tin cậy cao.

b) Vê' vấn đ ề ổn định của mảnh vỏ trụ tròn đàn - dẻo.

Trong bài báo, tác giả dựa trên tiêu chuẩn rẽ nhánh trạng thái cân bằng

và phương pháp Bubnop - Galerkin đã nghiên cứu hai vấn đề sau đây:

* Thiết lập hệ phương trình ổn định của mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu nén dọc

theo đường sinh, giải bài toán, đưa ra hệ thức chung của lực tới hạn đồng thời phân

tích chi tiết các trường hợp riêng cho phép nhận được kết quả cụ thể hơn.

* Giải bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt bằng phương pháp

Bubnop - Galerkin, dẫn ra được hệ phương trình đại số của Am . Từ đó nghiên

cứu lực tới hạn ở các gần đúng thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

c) Về sự ổn định của mảnh vỏ trụ đàn dẻo chịu tải phức tạp với liên kết

biên tựa bản lề và liên kết biên ngàn.

* Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.

* Giải bài tốn bằng phương pháp Bubnov - Galerkin.

* Xây dựng hệ thức tìm lực tới hạn cho mảnh trụ dài.

d) Phương pháp s ố cho bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt:

Trong cơng trình này tác giả đã sử dụng công cụ máy tính để tính tốn

bằng số cho một số dạng kết cấu cụ thể là mảnh vỏ trụ thép 30XTCA. Đã

nhận được các bảng số liệu tính tốn, từ đó đưa ra những nhận xét. Kết quả

khá phù hợp với tính chất cơ học của kết cấu.

e) Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

* Khảo sát xem trường hợp nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.

* Trường hợp nào khơng có nghiệm đúng và cách tìm nghiệm gần đúng.

f ) ứng dụng phương trình Var der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất

ổn định khí động.

* Sử dụng phương pháp tựa cân bằng điều hoà để nghiên cứu tính chất

nghiệm của phương trình.

* Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức.

* Điều kiên mất ổn định khí động.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trẽn các bài báo và báo cáo

khoa học sau:

Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích, ứng dụng phương trình Van der pol

để nghiên cứu hiện tượng mất ổn đinh khí động. Tuyển tập các cơng trình

Hội nghị Cơ học Tồn quốc lần thứ v n , Hà Nội, 12-2002.

2. Đào Văn Dũng, v ề bài toán ổn đinh của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá

trình đàn - dẻo. Tuyển tập các cơng trình Hội nshị Cơ học toàii quốc lần

thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.

3. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích. Cách tìm nghiệm của phương trình

Matchie. Tuyển tập các cơng trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ

VII, Hà Nội, 12 - 2002.

4.

Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem o f the cylindrical

panels subjected to complex loading with the simply supported and

clamped boundary constraints. VNU. Journal of science, Mat - Ph.

T.XIX, No.3, 2003.

5.

Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem o f the thin round

cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various

kinematic boundary conditions.

(Tạp chí cơ học đã nhận đăng vào số 1 năm 2004).

6.

Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem of shells of

revolution. Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

* Năm 2003:

+ Các bài báo và báo cáo khoa học và thù lao chun mơn

10.000.000d

6. Tình hình kinh phí hai năm 2002 và 2003:

* Nám 2002:

+ Chi hội nghị khoa học

200.000đ

6.000.000đ

l.OOO.OOOđ

800.000đ

+ Bồi dưỡng chuyên môn và xemina khoa học

+ Chạy chương trình trên máy tính

+ In ấn tài liệu, đánh máy và các chi phí khác

Tổng cộng: 8.000.000đ

+ Hội thảo và xemina khoa học

+ Chế bản điện tử, chạy chương trình

+ Các chi phí khác

2.400.000đ

1.600.000đ

l.OOO.OOOđ

T ổ n g c ộ n g : 1 5 .0 0 0 .0 0 0 đ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

7. Nhận xét và đánh giá kết quả thực hiện đề tài.

* Đã hoàn thành tốt mức dự kiến và các mục tiêu của đề tài, vượt chì riêu

về số bào báo và báo cáo khoa học: 3 bài báo đăng ở tuyển tập Hội nghị Cơ

học toàn quốc tháng 12 năm 2002; 1 bài đăng ở tạp chí khoa học ĐHQG năm

2003; 1 bài đã đăng Tạp chí Cơ học tập 25, số 1, năm 2003; 2 bài gửi đăng

Tạp chí Cơ học năm 2004.

* Các vấn đề nghiên cứu cập nhật và cần thiết.

* Đề tài không những góp phần về lý luận khoa học mà cịn có ý nghĩa

trong ứng dụng thực tiễn.

* Đề tài góp phần thúc đẩy chuyên môn của cán bộ cũng như góp phần

đào tạo cao học, NCS thông qua các xemina khoa học định kỳ và thường

xuyên. Điều này góp phần phát triển đội ngũ cán bộ cũng như ngành Cơ học

của Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học

Quốc gia Hà Nội.

* Đã hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp.

* Đang hướng dẫn 2 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp theo hướng đề tài.

* Nhóm đề tài kiến nghị được tiếp tục nghiên cứu theo phương hướng này.

XÁC NHẬN CỦA BAN CHỦ NHIỆM KHOA CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI

PGS. TS. Đào Ván Dủn.'■g

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

SCIENTIFIC PROJECT

Branch. Mathematics - Mechanics

1. Title: STATIC AN D DYNAMIC P R O B L E M S IN ELASTO PLASTIC

M EDIA SU BJEC TED TO CO M PLEX LOADING P R O C E S S E S

2. Code: QT - 02 - 02

3. Key implementors: Dao Van Dung

Dao Huy Bich

4. Duration: From 2002 to 2003

5. Main results:

In this project, our staff have studied the following topics.

1. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Application o f Van der pol

equation for solving aerodynamic instability problems. Proceedings of the

seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2. Dao Van Dung. On die stability problems of cylindrical panels in the

theory of elastoplastic processes. Proceedings of the seventh National

Congress. On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Solutions and propeties of solution

o f Matchie equation. Proceedings of the seventh National Congress on

Mechanics, Hanoi, December, 2002.

4. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the

cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported

and clamped boundary constraints. VNU Journal of science, Mat - Ph. T.XIX,

No.3, 2003.

5. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem o f the thin round

cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various

kinematic boundary conditions. Accepted to publication in the Vietnam

Journal of Mechanics, 2004.

6. Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem of shells of

revolution. Vietnam Journal o f Mech, NCST, Vol 25, N2 I, 2003

6.

Results: 3 research papers have been published in the Proceedings of

the Seventh National Congress on Mechanics Hanoi, December 2002 and 1

research paper published in VNU Journal of Science Math-Phys. TXIX, N23,

2003; 1 research paper published in Vietnam Journal o f Mech, Vol 25, N21,

2003; 1 research paper accepted to publication in the V Journal o f mech 2004.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

B.

NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐE

t à i

.

I. Lòi mở đầu:

Vấn đề tĩnh và động lực học của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

có một nội dung rất quan trọng đó là việc nghiên cứu sự ổn định của các kết

cấu đàn dẻo khi chịu tác động của quá trình tải phức tạp.

Để giải quyết bài toán đặt ra cần phải xây dựng các phương trình ổn

định, đưa ra lời giải, tìm các biểu thức xác định lực tới hạn. Sau đó tính tốn

bằng số cho một số dạng kết cấu.

Nội dung thứ hai cũng cần được quan tâm là xây dựng những phương

pháp giải cho các hệ phi tuyến, chỉ ra những tính chất nghiệm, những tương

tác giữa yếu tố phi tuyến và điều kiện mất ổn định khí động.

Do vậy đề tài có ý nghĩa khoa học và thời sự cũng như góp phần vào việc

phát triển cơ học vật rắn biến dạng và đào tạo đội ngũ cơ học.

ũ . Nội dung chính.

1. Vấn đ ề ổn định của vỏ trịn xoay đàn - dẻo.

Bài tốn Ổn định đàn hồi cúa vỏ tròn xoay đã được giải quyết, tuy nhiên

bài toán ổn định theo lý thuyết quá trình đàn dẻo cịn ít được quan tâm. Đề tài

nhằm thiết lập các hệ thức cơ bản của bài toán ổn định đàn dẻo của vỏ tròn

xoav chịu quá trình tải phức tạp. Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.

Khảo sát bài toán ổn định của vỏ cầu và bản tròn, nhận được biểu thức của lực

tới hạn cho các trường hợp sau:

* Bản tròn đàn - dẻo chịu tải đối xứng.

* Vỏ cầu đàn - dẻo chịu tải phân bố đều.

* So sánh các kết quả tìm được với các kết quả đã biết trước đây.

2. Bài toán ổn định đàn - dẻo của mảnh vỏ trụ.

Xét mảnh trụ tròn tựa bản lể hoặc ngàm theo các cạnh, mặt trung bình có

bán kính bằng R, bề dày h. Vạt liệu không nén được, không xét đến sự cất tải.

Giả sử kết cấu chịu các lực Pjj = p,j(t). Vấn đề là cần phải xác đinh giá trị tới

hạn t* và tương ứng là các lực tới hạn Pij* = Pjj(t*). Đề tài đã xây dựng được

biểu thức tìm lực tới hạ II ch'j các trường hợp sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

* Mảnh trụ chịu nén dọc đường sinh.

* Mảnh trụ chịu tác dụng của lực trượt.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương, tựa bản lể tại bôn cạnh.

* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương có hai canh tựa bản lề còn hai canh

kia chịu ngàm.

* Tính tốn bằng sơ' với những quy luật tải phức tạp khác nhau.

* Các kết quả phản ánh đúng ý nghĩa cơ học khi kết cấu làm việc.

3. Bài toán Ổn định của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp.

Xét vỏ trụ tròn dài 1, bán kính R và bề dầy h, chịu nén theo hai phương

bởi các lực p = p(t), q = q(t). Bài toán là cần tìm các tải tới hạn p* = p(t‘),

q* = q(t*). ở đây sử dụng tiêu chuẩn tựa tĩnh để xét sự ổn đinh của vỏ trụ. Đã

tìm được lực tới hạn bằng phương pháp Bubnov-Galerkin cho các trường hợp

sau:

* v ỏ trụ tròn tựa bản lề tại

= 0 và Xị = L

* Vỏ trụ tròn chịu ngàm tại

= 0 và X; = L

* Tính tốn bằng số đối với vỏ bằng thép 30XrCA với các quy luật đặt

tải bậc 2, bậc 3.

4. Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

Trong kỹ thuật có nhiều bài toán dao động của cơ hệ một bậc tự do dẫn

đến việc khảo sát phương trình Matchie:

ỷ - ( c o 2 - u)y = 0

trong đó co2 khơng đổi, u = u(t)

Đề tài đã xét các trường hợp sau:

* Khi nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.

* Khi phương trình Matchie khơng có nghiệm đúng thì đã chỉ ra cách tìm

nghiệm gần đúng của nó.

* Đã khảo sát được tính chất nghiệm phụ thuộc vào các tham số của

phương trình và điều kiộn đầu.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

5.

ứ ng dụng phương trình Van der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất

ổn định khí động.

Nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động dẫn tới nghiên cứu tính chất

nghiệm của phương trình Van der pol với hệ số phụ thuộc vào tần số của lực

kích động và có giá trị hữu hạn, do đó khơng áp dụng được phương pháp tham

số bé. Để tài đã áp dụng phương pháp tựa cân bàng điều hồ để giải bài tốn.

Vấn đề đặt ra là khi áp dụng phương pháp đó có cần đưa vào những giả thiết

nào đối với các hệ số.

+ Bài báo đã đưa ra được những điều kiện cho phép bỏ qua các đại lượng

điều hoà bậc cao.

+ Phát hiện một sơ' tính chất phù hợp với kết quả thực nghiệm, góp phần

giải thích về phương diện lý thuyết đối với các hiện tượng đó.

+ Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức trong phương

trình Van der Pol và điều kiện mất ổn định khí động đã được khảo sát trong

bài.

III. Kết luận.

Đề tài QT - 02 - 02 đã thực hiện đúng với bản đăng ký nghiên cứu và đã

hoàn thành tốt. Các kết quả đạt được là mới và có ý nghĩa khoa học. Đây là

những vấn đề thời sự được trong nước và ngoài nước quan tâm. Đề tài góp

phần phát triển chuyên môn cũng như đào tạo sinh viên, cao học, nghiên cứu

sinh. Đã góp phần hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nehiêp và đang

hướng dẫn 2 sinh viên theo hướng nghiên cứu này.

IV. Các kết quả.

1. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Application of Van der pol

equation for solving aerodynamic instability problems. Proceedings of the

seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.

2. Dao Van Dung. On the stability problems of cylindrical panels in the

theory of elastoplastic processes. Proceedings of the seventh National

Congress. On Mechanics, Hanoi, December, 2002.

3. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Solutions and propeties o f solution

of Matchie equation. Proceedings of the seventh National Congress on

Mechanics, Hanoi, December, 2002.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the

cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported

and clamped boundary constraints. VNU Journal o f science, Mat - Ph. T.XIX,

No.3, 2003.

5. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the thin round

cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various

kinematic boundary conditions. Accepted to publication in the Vietnam

Journal of Mechanics, 2004.

6. Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem o f shells of

revolution. Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c.

PHỤ LỤC

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

T u y ể n t ậ p c á c c o n g t r ì n h H ộ i n g h ị C c r Ỉ1ỌC : o à a a u ố c l ầ n t i ứ v u

Hà íVội, 12-2002

VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH CỦA MẢNH v ỏ TRỤ

THEO LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH DÀN DẺO

Đào Văn Dũng

Đ ại học Quác gia Hà iVộj

T ó m feắt. Dựa trin tiêu crulán rê nhánh trạng thái càn binq và phuơnq pnáọ 
3uònoo - Gaitriãn, báo cáo ngnie'n cưu nán đ ì á t điruĩ cùa mánh vó trti đàn - iio 
làm òdnq vát liêu khónq nén đuơe, chiu nén dọc ứìeo iuànq sữúi node chiu lực iru ợ t 
3 ã záy dung đutre àiétẩ thúc tim tái tài 'nạn. Vỡĩ két cáu là đàn hài node đàn dio 
nhá, từ két qua náy có th ỉ nilận itạ tác truớnq hạp đã òiét irướe đây.

1. 3 à ỉ :o á n án định

Xét một mánh rò trụ ĩròn tựa bàu lề theo các cạnh, mạt trung bìnn của 
có bán kính bàng R , bè dầy là k. Vật liệu là k iòn g nén. được và không xét dến sự 
cắt tải. Chọn hệ tọa độ trụ sao cảo trục r hướng dọc đường sinh, trục y = R8\ 
:heo aưcmg vòng tròn, :rục 2 theo hướng pháp tuyến cùa mành võ, ờ dây 91 ià 
3-óc ịm ờ tâm. Gọi a, b là chiêu dài và chiêu rộng của mánh vò tưcmg ứng theo 
:rục O x và O y. Già sừ kết cấu chịu tác dụng của các lực a?oài pij ĩhay đổi tùy 
ý theo một ;ham số tài í nào đấy. Vấn đè đặt ra là xác định giá trị :ới han í . và 
"tnmg ứng là các ì ực tói ỉxạn. p-j sao ciio khi •nrọrt auá các giá :rị nàỵ thi kết cáu 
bị mát ổn dịnh.

Sau đây giải bài toán đá nêu trong h.ai tnrờng hạn

2. M ả n h v ị tr ụ cìũ u n én d oc đ ư ờ n g sin h

Già thiết rin g man j trụ bị nén dọc đưcm? sinii bời iực phân bó đêu với caróm?

dộ bàng P(t). Tại thời điếm nào đấy tồn tại rrạng ihái ứng suát ọảằng trong két

~ p (^ )j Gyy = 0 , &zy = &z z = &'jz = Q zz = Qĩ

<T% = p(t) = ?■ (2-1)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

xác định :heo lý tiiuyết quá crìnii dàa dẻo Í2Ị là

-

-

—

p

ẻ = 0

ỉ"**)

“

ỷ ị s ) '

” ~ 2®/(ị) ’

s?

1

j

Độ dài cung cùa quỹ dạn biến dạng cảo bời

— —

— lè2

• C1 • - - J. --

\ 1(,:

—

Ếííl

V r

™

ytf

=»'

“ ®'(s)

Tích phàn phương trình này tìm đưọrc

®(J) = pit) = O'u- (2.3)

Phương 'rình, đa định đàn - dẻo của -nành trụ có dạn? [3i

d*Sxu _ d*5w d*5w 9 ! 325w 1 <52\3'

<*1

c^ỉtí/ a 9w ơ ỡw y / crỉu / 1 ỡ*\3\ . ,

d ĩ * đ i - ỡ y - ~ ởy* “ Ã*]ỹ l p <?=- " I ơ ĩ 7 / °

34,ị5 N d 25w

^ J x ^ ' ^ d x - d y àx- = 0 ^ ‘5)
trong đó

V — ĩ a. — í ■ - — ' — >t \

3 ’

ai = Ì ^ Ú ’

3 = 3 W’

3 1 V 'V _ V

@1 - , — , “ 7 . — 3 — -J , J5 = -7 (2.6)

4 4 © ạr <0;

Ta chọn biếu tiiứe của gia só độ võng, sao cho thõa d ã n điều kiện biên tựa 
bàn lè, dưới dạng

m-TX

n-zy

01» = A s in ---s in —— ■ (2.7)

a

i

Tỉiay hệ thức này vào (2.5) tim được phương trình, xác dinh p, aghiệm riêng cùa 
pnirơng trinii này là

m ir z riĩr y

ạ = B s i n --- s in --- (2.3)

a

0

trong đó.

3 - - r ,

,

, ( ? ) •

T * ( = ) * - * ( = ) ( t ) s ^ ( t ) ‘

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

9 fr r v K \' f m i r \ 4 4%/m i r \ 2 /TOT\ 5 /n ỉT \*

h?iV ( a ) p~ ai\ ~r ) * 2{ ~ J ( t ) ~ ( t )

k 2 R *

ư ớ c lược và biến đổi Hầ-n đến

*

u

ầ

' y

( Ề

! ^

^

)

V

™

Sau đây Qgiiiên cứu chi tiết hệ thức (2.9).

Trường hợp 1: Nếu mành

trụ

vuông (tức là a = á) và m = n = 1 tìù (2.9) 
trờ thành

_ Nh? / T \ • .V a2 t

p = 9 U J ( a i 3 ) - ^ ( ^ - * 3 - * ) •
Thay biếu thức cùa a i , Ị3\, 0Z, Í3s từ (2.6) vào đây :a được

Nt: Ị h \ 2 (1 3 3<d'\ N c r 4®'

p ~ ~ 9 ~ ( ỉ ) ( 4 “ ỉ i v “ x i (15« ' - ,V) ( )

Khi R — -hoo từ (2.10) suy ra

Nir1 f h\ *( i z . 3 ó'

p = f h \ ' 1 (1Z 2 Ó '\

( ĩ ) ( r + ĩ f )

(2-u)

Đây chính là hệ thức xác dinh lực tới hạn của bân đàn - dẻo ciiỊu aén theo một 
phương [3|

Trường hợp 2: Nếu giả thiết z ~ — 1 ss 2 (xem (lỊ), ;iù tử (2.6) dễ dàng suy

X , \ N „ -V

ĩ \ = £3 = ^7 3- ^ - 1) » 2^7 , ,35 = ~

(p'

ợ \ ỵ

J

ợ

o'

Đ ặt i = ^- và x = (mr) a i ^ j ” - 2 -T ^ j ”j , khi đó (2.9) đưa vè dạng

■’ - ĩ L ỵ - ĩ L — - -

r ~ p p ã 2 ’ N X

Suy ra hệ tíiức xác dịnh i 2 là

,2 N X * „ _ iV b2 i t ,

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

B ây giờ ta tìm g iá trị ahị Tì hất của t". Trước àết ta :ín i

d i 2 i V X * - 2 3 X

a x p [ X -

3

)

= 0

dẫn đến X . m 2 3 . M ặt khác vì

d2i2

d X 2

2 N „

= —- >

0

X = X ' p 3

Vậy giá trị niiò nhất của là

Tĩr đây tìm được biếu thức xác đinh lực p tới kạn

(2.13)

(2.14)

Nếu kết cấu là đàn dẻo niiò tức là iV = — , o' = d ịĩ- i) từ (2.14) nhận được kết

-ti

quà trong [lị.

Ip /

T rvờn g hợp 3: Ta không sứ dụng già thiết 3 - 1 as 2.
Trước hết đặt

3Ố . /TTIỐN2

* = T « & = í

h

\naJ

ì ’

* =

khi đó hệ thức (2.9) trờ ihànii

r n r J 2 ,

, -V , „ 1. iV à3

0 ' ' p i ỉ 2

ứ

T ừ đây suy ràng

, _ . V ý 3 ( a x g - T 2 -T

3

. / „ „

„

\

-VÒ'

Cực tiểu hóa biếu tixứe ầy theo é và. 9 nhận dược

-V ố2 / đ5\ - l

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Thay (2.16) Tào hệ thúc

của i“

dẫn rign

Sừ dụng biểu thức (2.6) của ữ ị, 01, /?3,

0

S và s

trong (2.16), từ dây tìm đtrợc

D l dàng tháy ràng, aéu sử dụng già thiết 3 ^ - 1 as 2 thì (2.17) trờ thành àệ 
chức (2.13).

Trường hợp kết cáu là đàn hoi tức là .V = é' = 3G thì từ (2.IT) suy ra

„ Gb , 2 Gk

i = 6—— hay 3 = ——

pR R

K é t auả này trùng với àệ thức trong [l|

3. Mành vỏ trạ chịu tác dung của lưc trượt

Giả thiết mành trụ ciiỊii tác dụng bời lực tnrơt phân bố đêu với ctròng độ
r (í), kìù đó trạng tiiái tn iớ c tới hạn là

<TS X ~ 0 ’ ^ s y = ~ r i & 'j y ~ O i & Z Z ~ G 'J Z = G z z — 0 ,

( 2 .1 7 )

ffu = ì / 3 r ; r = rịt) (3.1)

Các :hành phần teaxor tốc độ biến dạng tương ứng đirợc cho bời

3 t

0, e „ = 0, : ty = (3.2)

Do vậy độ dài (mug cda quỹ đạo biến dạng được xác dịnà như sau

T ừ đây suy ra

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Phư ơng -rùm ổn đính dàn - dẻo của m ành trụ được mô tả như san 3Ị

d 4Sia d*Sru d*5vi 18r 3*510 9 1 di*v _ , ,

dx* ' ° 3 d x 2d y 2 ' dy* ' ii2y d x ở y k2ỈÝ R â x 2 1 * 1

d ÁV d * v d * v IV 3*510 _ .
dx* 0 * d x 2d y 2 ởy* R d x 2 ( }
đr dây

«8 = 1 + ^ , & = 3 ^ - i , -V = — , *>' = *'(*)

Ta tìm biểu thức của gia 30 độ võng dưới dạng sao cào 'hòa mãn diều kiện 
biên tự a bàn ỉè trên các canh, do vậy

T- ' V—' . m i r z . n iry . _

5w = > > rlmn sin — — sin —r~ (3.S)

*—>

&

0

m = 1 n =L

khi đó tỉiay ÕVJ vào (3.5), ta ;ìm được nghiệm riêng 'P niur sau

iV 1

2 mT3 ^7ry
31H--- sin —T—

1 ó

a l
( = )

4
1 - ^ 3

( = )Mí t )

í ^ 4

i à J

' ■ E E ' ị / T Í T T71T ' T Ì X ' ■ ’ í n r ; < A " " ( 3 - T )

( t v + * ( . )

I

t

)

” ( * )

Bây giờ sứ dụng phương pháp Bu'onop - Galerkin đói với phương trình (3.4) ta 
được

n à

_

/■ [ f d 4 5 w d 4 5 w d 4 5 w 1 8 r 3 2 <5tí/ 9 1 d ’Ọ \ i v z j i r y

] j \ ~ d ĩ r ~ CLz d x 2d y -~ ~ w ~ HJn d z d y ' I ^ N R Ĩ Ĩ 1 ) T 9 y

-0 ó

Thay các biểu thức của 5w và ÌỌ vào hệ thức aày, thực hiện các phép đạo Hàm

riêng v à lấy tícà Dàân, vớ i CÌLÚ ý rằng

1 ( a

[ m iĩx . iirx - khi m = í

/ s in ---s in ---a x = < 2

ị

a

{ 0

kiũ m = i

v à - , „ •

* ( 2 a i , , .

f iirx rm rz I ---7 iiũ m — ! lẻ
/ s i n --- C O S ---0 1 =

J a a

khi đó ta thu được kết quả sau đây

a ó f ( m i ỉ \ * f T m ỉ \ - f m r \ z T \*

4 Ỉ ( a ) + * » ( « ) ( 6 ) - ( ĩ )

9 f mĩr) 4

__ kR v ~ j_

/ m i \ 4 / m i \ - ! i l l \ - ỉ TƯK

(v ) +*(

t

) (f) -Gr

T 2 r ^ T71TLI]

Ĩ^N f - f - ;

- m-)(7- - »-) A'7

vớ i m - r i ; n ~ r j lẻ.

■

A ^ Ế Í ^ Í * - 8 - ™ ^ 3 - * 5)

r n r \4 Amn

J

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bây già ký hiệu.

^ ( t ) ! ( ” )

(? )T 1=

khỉ đó kệ (3.3) dược viết dưới dạng

f m n A mn -i- f r J 2 1 2

(,-2

_ m ‘ ) ( p - a- ) Ai j ~ 0 ^ - 10)

Đ iy là hệ vị hạn các phưcmg trình, đại số tuyến tính, đối với Amn, giải hệ aày rắt 
phức tạp do vậy sau dây xét m ột vài gằn đứng.

a) Gần đúng thứ nhất. Ta. chọn m, n, i, j thuộc tập {1 ,2 } tức là

m ,n

(1,1)

(2,2)

(i,j) I

(2,2)

(1,1)

Hệ (3.10) trong trường họrp này trờ thảnh
4

h i M i — ~ĨT M

2 = 0

g Ĩ TM l — J22-A.11 — 0

Do diễu kiện A ll Ỷ 0* Ă-22 Ỷ 0 nẽn ciịnh tầức sau phải bằng không

(3.11)

/1 1 V T

\ ĩ r / a

= 0

suy ra hệ thức xác định lực tới hạn là

/1 1 /2 2 — = 0

Kỉiai triến cụ tiiể phương trìnii trên dẫn đến

()2 í f/'ir\ 4 l _ ó'

r~ =

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

X ý hiệu c = T , i h i đó ta được danz khác để tìm lực tới hạn là

ở

■

•

rét. Nếu R —» -Ị-oo till Í3.12Ì SITV ra
r =

A 1/2

1 /2

(3.12)

N hận xét. Nếu R —<•-i-oo tỉù (3.12) suy ra
r * N h 2 r

32c-5 ố2

Đây- là kết quả dã có trong [lị đối vớ i bản tnrợt

Nếu theo lý thuyết đàn dẻo nhị thì (3.12) dẫn đến hệ :hửc của (lỊ.

b) Gằn đúng thứ 'nai. Ta lấy ba số hạng

TTX T y 2TTZ . 2x y Zirz 3x y

õw = A n sin —- sin -7- — A22 s i n ---3in —— - A33 s in --- sin —7—

a o a 0 a o

khi đó ta. có

(nui)

(1,1) (2,2) (3,3)

Hệ (3.10) bây giờ có dạng

(2,2) (1,

1)

(2,2)

(3,3)

f l l M l + g / ' ^ ĩ2 = 0

g f TMi + Ỉ

22A22 T -^frAzz = 0

~ / r "4.22 - ĩ z z M z = 0

Do các hệ số A n , -^33 không dông thời bần? không dẫn đến định íiiúrc hệ 
3ố của nó bàng không ta được

= 0

K hai triển và n ít gọn tim được hệ tinrc xác dịnh lực tới hạn là

r* =

/ n

9 / r 0

- f r

9 /2 2

ẳ/r

ắ /r

/33

______ /1 1 /3 3 /3 3

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

trong đó

k‘ R2

= a * {íu +

/ « = f ( l 6* 1 1 + ^

, _ < t 4 / 01 9
/3 3 = —

}

‘11

/

33 =

9 V

81?11

+ Ã

2 fl

2 AuJ

( ĩ ) * ( í ) ‘

* - ■ - ( ; ) * [ ( : ) - * ( ỉ ) ‘ ( ĩ ) - ( ĩ ) l

c) Găn đúng thứ ba. Ta càọn m, n, t, j niiir sau

(m,a) I (1,1) (1,3) (3,1) (3,3) (2,2)

(*\i) I

M

(2,2)

(2,2) (1,1)

( 1 .3 )

( 3 ,1 )

(3.3)

Trường hợo này, ỉiệ (3.10) dẫn đến.

ỹ ỉ r M2 — 0

4 . .

- — / > ^ 2 2 -!- /13-^13 — 0

4

~ ^ g / r -A?2 ~ /31-^31 = 0
4 .

—: r^ 2 ~ /

33^33

= 0

1 9 1 1

T - /2 2 - ^ 2 2 ■+■ - z z f r A z z - . Í ~ Ả \ Z — z f r A 3 1 = 0

9 25 5 5 (3.13)

Vì các hệ só A u , A22, ^33, ^13, A31 không đông thời bang kỉiông suy ra dịnà 
tiiức của các hệ số cda aó trong (3.13) phải bằng 0, khai trim dinh thúc này ta 
được

r =

Ị \

/ 1 1 / 2 2 /3 3 /1 3 /3 1

4

^

\

( ^ / 1 1 / 3 3 / 1 3 T j ^ f 1 1 / 3 3 / 2 1 T ^ 7 /1 1 /1 3 /3 1 T 1 ^ /3 3 /1 3 /3 1 J / 2

trong đó các dại lượng

fm n.

được xác định cừ biếu tầứe (3.9).

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

4 . X ết luận

Trong báo cáo này tác giả đã giải quyết dược hai~váa đè eMail sau đay

a) Đã xây dựng hệ pỉnrơng trình, mơ t i an rtịnh của. minh trạ chịu nén dọc

đường 3ink, biểu diễn, được nghiệm của pỉurorng trình, đong thời phàn tích chi tiết 
các trường hợp cho phép tìm lực tới hạn của kết cấu

b) Đ ối r ó i bài toán mAnh trụ chịu lục trượt bằng phtrcmg pháp Babnop - 
Gaierkm, đã dẫn ra dược hệ phương trình đại số đối với Amn. Từ đó nghiên cứa 
lực tá i hạn ẻr các gần đúng thứ nhất, thứ hai Tà thứ ba

Công trình dược hồn thành v ó i sự tài tro' của Chương trình nghiên cứu Car

bàn về Khoa học tự nhiên

T à i lĩệ u t h a m k ilâ o

[lị Volmir A. s. ổn đùìA của các hệ biến dartạ. Muxcơva, 1963

[2| Đ ào Huy B íc ìl Lý thuyét quá ừinn đàn áio. N h ì x u ít bán £)ại học Qc ỊÍi Hà Nội, Hà Nội 
1999.

[3j Đ à o V ỉ a Đ ũng. Sái toán ch định ngối giới hạn dàn hịi theo iý thuyết quả trinh biỉn dạng đàn

dio. Luận án P T S, Hà Nội 1993.

[4| Don. o . Brush, Bo. o . Alm roth. SuddiruỊ o/ ban, pỉata and ihtilt. Me Graw-Hill book

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TOÁN

MẢNH V ỏ TRỤ CHỊU TÁC DỤNG CỦA

L ự c

TRƯỢT

Đào Văn Dũng

Đ ại học Q uốc g ia H à N ộ i

Phần này trình bày các kết quả tính toán bằng số cho bài tốn mảnh vỏ

trụ bán kính R chịu tác dụng của lực tnrợt. Khi đó ta có hộ thức xác định lực tới

hạn ở gần đúng thứ nhất là ([2]).

X = r c 4N h 2

128c3b 2

1 +

f d>^ 
1 + -^

V N y

1 4

c + c + -

9cJb 4

h 2R V [ l + (3 — - l ) c 2 + c 4]

L

ộ'

J

16[1 + (1 + —)c: + c 4] +

N

9cJb ‘

h - R 27i4[l + (3 — - l ) c : + c 4]

<t>'

Để tính tốn được thuận lợi ta đặt

N = ^ = —

= E 0 (s)

( 1 )

<Ị>’(s) = Et( s ) ; i = 3 — ! c = ■

“

h b

Khi đó hệ thức (1) được đưa về dạng

s =

9 V

3 V

128c3i 2

1 + 1 +

E,(s)

E0(s)y

c 2 -r c4 T

9cjb4

h 2R V

1

1 +

.Eọ(s) t

V e ’ ( s ) \

9 c4b4

h 2R 2J t 4

c 2 + c 4

1

16

1 +

E.(s).

2 4

c + c

(2)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Hệ thức (2) là phi tuyến đối vói s, do vậy ta giải bằng phương pháp lặp.

ở bước lặp thứ nhất lấy Et(s) = E0(s) = 3G khi đó ta có:

s, =

9V37Ĩ4

128c3i2

(1 + c ) +

c 4i 4

7C4(1 + c 2) 2

16(1 + c 2) 2 +

c 4i 4

9Í—Ỵ t t 4C1 +

c 2 ) 2

I h J

(3)

Nếu S[ < Ss (giới hạn đàn hồi) thì vịng lặp kết thúc ta nhận được giá trị tới

hạn trong miền đàn hổi là Tcr(1) = -j=(ị)

(S ị).

Nếu s, > e, thì ta tiếp tục thực hiện các bước lặp tiếp theo bằng công thức

lặp sau đây:

s„ =

9^3714

128c3i 2

1 +

■

>

4

c + c +■

4-4

c

1 9j — I .7T4

V h J

1

1 +

c + c

■

»

4

. <16 1-

1 + jL(0

|c2+c4

4 - 4

c i

/ D A 2

u .

JC* 1 +

-, Eọ(Sn-i)

1

c : +

C J

Lực tới hạn ở bước lặp thứ n là

^cr(n) =

=

(4)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bây giờ tính tốn cụ thè cho mánh vó là loại thép 30XTCA (xem bang sị

liệu bảng 8) vói Eo

=

Ec. Các đại lượng khác như sau

3G = 2 ,6 .1 0 5 MPa

ơs = 400 MPa

Tĩnh toán cho hai trường hợp:

R.

3b

a.

1) Tỷ số — thay đổi còn — lấy những giá tri cố đinh, tỷ số c = — cũng

h

b

cố định.

2) Đai lương i = — thay đổi còn — và c = — cố đinh.

h

b

'

Qua các kết quả tính tốn bảng 1 và bảng 2 ta có những nhận xét sau đây:

Mảnh vỏ càng mỏng thì lực tới hạn càng nhỏ điều này phù hợp với tính

chất cơ học của vật liệu.

Q trình tính tốn thường dừng ở vịng lăp thứ 4 đối với bài tốn — thav

h

đổi, còn đối với — thay đổi thì dừng ở vịng lăp 14.

h

Tỷ số c = — cũng ảnh hưởng đến giá tri của lưc tói han.

b

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

Đào Huy Bích. Lý thuyết quá trình đàn - dẻo. Nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Hà Nội, 1999.

[2]

Đào Văn Dũng. Về bài toán ổn định của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá

trình đàn - dẻo. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học tồn quốc lần thứ

v n ,

Hà Nội, 1 2 - 2 0 0 2 .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A.

K ết q uả lực tới hạn khi R/h thay đổi
3 b / h =■ J . U t :+ 0 2 c = 3 0 0 S a i 5 0 = 1 . 0 0 E - 0 5

R / h 1 s 1 Un g s u a t 1 T a o [ l a p 1

5 . 0 E + 0 2 1 1 . 9 8 E - 0 3 1 4 . 4 2 E + 0 2 1 2 . 5 5 E + 0 2 1 5 1
5 . 2 E + 0 2 1 1 . 9 7 E - 0 3 1 4 . 4 2 E + 0 2 1 2 . 5 5 E + 0 2 1 5 1
5 . 6 E + 0 2 1 1 . 9 5 E - 0 3 ỉ 4 . 4 2 E + 0 2 1 2 . 5 5 E + 0 2 1 4 1
6 . 2 E + 0 2 1 1 . 9 4 E - 0 3 1 4 . 4 2 E + 0 2 1 2 . 5 5 E + 0 2 1 14 1

6 . 2 E + 0 2 1 1 . 9 2 E - 0 3 1 4 . 3 8 E + 0 2 1 2 . 5 3 E + 0 2 ỉ 15 1
7 . 0 E + 0 2 1 1 . 9 1 E - 0 3 1 4 . 3 8 E + 0 2 1 2 . 5 3 E + 0 2 1 5 ỉ
8 . 0 E + 0 2 1 1 . 3 9 E - 0 3 1 4 . 3 8 E + 0 2 1 2 . 5 3 E + 0 2 1 4 1
9 . 2 E + 0 2 1 1 . 8 8 E - 0 3 1 4 . 3 8 E + 0 2 1 2 . 5 3 E + 0 2 1 4 .1

3 b / h = 3 . 0 E + 0 2 c = 4 00 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5
R / h 1 s 1 Ung s u a e I T a o 1 l a p 1

5 . 0 E + 0 2 ! 2 . 3 6 E - 0 3 ! 4 . 5 8 E + 0 2 ! 2 . 5 4 E + 0 2 ỉ 4 1
5 . 2E- Ì - 02 Ị 2 . 3 5 E - 0 3 1 4. 58E-TŨ2 ! 2 . 6 4 E+0 2 1 4 1
5 . S E + 0 2 1 2 . 3 4 E - 0 3 4 . 5 8 E + 0 2 i 2 . 5 4 Ĩ + 0 2 i 4
6 . 2 E + 0 2 Ị 2 . 3 3 E - 0 3 ị 4 . 5 3 E - 0 2 i 2 . 5 “ £ + 0 2 1 4 !
7 . 3 E + 0 2 i 2 . 3 2 E - 0 3 4 . 5 3 E - C Z 1 z ■ 5 4 2 - 0 2 4 ;
3 . OE+0 2 1 2 . 3 1 E - 0 3 1 4 . 5 5 E ^ 0 2 ! 2 . 5 3 E - 0 2 1 4 1
9 . 2 E + 0 2 1 2 . 3 0 E - Ũ 3 1 4 . 5 5 S + 0 " I 2 . Õ2H>02 4 I

3 b / h = 3 . 0 E + 0 2 c = 5 30 3 a i 3 0 = 1 . 3 0 E - Q 5
R / h 1 5 1 rJ n g s u a ũ 1 T a o 1 l a p ;

5 . 0 E + 0 2 1 2 . 3 1 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + 0 2 i 2 . 7 3 E + 0 2 1 4 1
5 . 2 E + 0 2 1 2 . 3 1 E - 0 3 ỉ 4 . 73E-Ĩ-02 ! 2 . ~ 3 £ + 0 2 i 4 Ị
5 . 6 E + 0 2 í 2 . 3 0 E - 0 3 Ị 4 . 7 3 E + 0 2 ! 2 . ' 3 E + 0 2 1 4 I
6 . 2 E + 0 2 1 2 . 7 9 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + 0 2 ! 2. 73E- Ì - 02 1 4 1
7 . 0 E + 0 2 1 2 . 7 9 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + 0 2 1 2 . 7 3 E + 0 2 1 4 1
8 . 0 E + 0 2 1 2 . 7 8 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + Ũ 2 1 2 . 7 3 E + 0 2 1 4 1
9 . 2 E + 0 2 1 2 . 7 8 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + C 2 1 2 . ~ 3 E + 0 2 i 4 i

3 b / h = 3 . Ũ E + 0 2 c = 8 0 0 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5
R / h 1 s 1 ữ n g s u a c 1 T a o 1 l a p i

5 . 0 E + 0 2 ! 4 . 3 1 E - 0 3 1 5 . 0 5 E + 0 2 i 2 . 3 2 E > 0 2 I 4 1
5 . 2 E + 0 2 1 4 . 3 1 E - 0 3 1 5 . 0 5 E + 0 2 1 2 . 9 2 H - 0 2 1 4 1
5 . 6 E + 0 2 1 4 . 3 1 E - 0 3 1 5 . 0 5 E + C 2 1 2 . 3 2 S + 0 2 1 4 1
6 . 2 E + 0 2 1 4 . 3 0 E - 0 3 5 . 0 5 E + 0 2 1 2 . 3 2 E - 0 2 ! 4 1
7 . OE+0 2 1 4 . 3 0 E - 0 3 5 . 0 5 E + C 2 ! 2 . 3 2 E - 0 2 ị 4 :
8 . 0 E + 0 2 1 4 . 2 0 E - 0 3 1 5 . 3 5 E + 0 2 í 2 . 32Z. +02 1 4 1
9 . 2 E + 0 2 1 4 . 3 0 E - 0 3 5 . 0 S E + 0 2 1 2 . 3 2 E + 0 2 1 4 i

3 b / h = 3 . 0E-Ì-02 c = 10 00 S a i 5 0 = 1 . 0 0 E - 0 5
R / h 1 s 1 Ung s u a : Ị T a o 1 l a p 1

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

3 b / h = 3
R / h 1

0 E + 0 2 c =
s

0 . 3 0 S a i 50
i u n g s u a e i

- 1 . 0 C E - 0 5
T a o 1 l a p 1

5 . 0 E + 0 2 1 2 . 7 7 E - 0 3 1 4 . 7 3 E + 0 2 1 2 . 7 3 E + 0 2 1 5 1
5 . 2 E + 0 2 1 2 . 7 5 E - 0 3 1 4 . 7 1 E + 0 2 1 2 . 7 2 E + 0 2 1 4 1
5 . 6 E + 0 2 1 2 . 7 0 E - 0 3 1 4 . 7 1 E + 0 2 1 2 . 7 2 E + 0 2 I 14 1
5 . 6 E + 0 2 1 2 . 6 7 E - 0 3 1 4 . 6 9 E + 0 2 1 2 . 7 1 E - 0 2 1 15 1
S . 2 E + 0 2 1 2 . 6 3 E - 0 3 1 4 . 6 9 E + 0 2 1 2 . T I E - 0 2 1 5 1
7 . 0 E + 0 2 1 2 . 5 6 E - 0 3 1 4 . S 5 E + 0 2 1 2 . Ó8 E ^ 0 2 I s 1
3 . 0 E + 0 2 1 2 . 5 0 E - 0 3 1 4 . 6 3 E + 0 2 1 2 . 5 7 E + 0 2 I 5 1

9 . 2 E + 0 2 1 2 . 4 5 E - 0 3 1 4 . 6 3 E + 0 2 1 2 . 0"7E-t0 2 1 14 1
9 . 2 E + 0 2 1 2 . 4 3 E - 0 3 1 4 . 6 0 E + 0 2 1 2 . ÕÕE- 02 1 15 !

3 b / h = 3 . 0 E
R / h 1

r 0 2 c =
5

0 . 4 0 5 a i 30
1 Ung s u a r 1

= 1 . OCE - 0 5
T a o ! l a p

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

I .

K ết q u ả lục tới hạn khi 3b/h thay đổi
R / h = 5 0 E + 0 2 c = 0 . 5 0 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5
i - 3 b / h s 1 Ong s u a t 1 T a o l a p

3 . 0 E + 0 2 6 . 6 2 E - 0 3 1 5 - 36 E+0 2 1 3 . 0 9 E + 0 2 5
3 . 2 E + 0 2 5 . 9 9 E - 0 3 1 5 . 2 8 E + 0 2 1 3 . Ũ5 E+ 0 2 14
3 . 2 E + 0 2 6 . 0 1 E - 0 3 I 5 . 3 1 E + 0 2 i 3 . 0 7 E + 0 2 15
3 . 6E+02 5 . 0 9 E - 0 3 1 5 . 1 8 E + 0 2 Ị 2 . 99E+02 6
4 . 2E+02 4 . 3 3 E - 0 3 1 5 . 0 5 E + 0 2 1 2 . 92E+02 14
4 . 2E+02 4 . 3 9 E - 0 3 1 5. 0 7 E + 0 2 i 2 . 93E+02 15
5 . 0 E + 0 2 4 . 0 3 E - 0 3 1 5 . 01E+02 i 2 . 3 9 E + 0 2 6
6 . 0 E + 0 2 4 . 0 1 E - 0 3 1 5. 0 1 E + 0 2 ! 2 . 39 EÍ - 0 2 14
6 . 0 E + 0 2 3 . 9 4 E - 0 3 1 4 . 9 9 E + 0 2 ; 2 . 3 8 E + 0 2 15
7 . 2 E + 0 2 4 . 1 7 E - 0 3 1 5 . Q3 E+0 2 . 2 . 90EH-02 13

R / h = 5 0 E + 0 2 c = 0 . 4 0 S a i s o = 1 . Ũ 0 E - 0 5
i = 3 b / h 5 ' J ng s u a t T a o l a p

3. 0E- Ì - 02 1 3 E - 0 2 1 5 . 3 3 E + 0 2 3 . 3 6 E - 3 2 4
3 . 2 E + 0 2 1 . 0 3 E - 0 2 Ị 5 . 7 4 E + 0 2 3 . 3 1 E + 0 2 14
3 . 2 E + 0 2 1 . 0 2 E - 0 2 i 5 . 7 X E - r 0 2 ■ 3 . 3 0 E + 0 2 ■) c
3 . 6 E + 0 2 8 . 5 3 E - 0 3 ; 5 . 5 7 E + 0 2 3 . 2 2 E + 0 2 6
4 . 2 E + 0 2 7 . 0 1 E - 0 3 1 5 . 4 1 E + 0 2 ! 3 . 1 2 E + 0 2 6
5 . OE-i-02 6 . 0 2 E - 0 3 1 5 . 3 1 E + 0 2 ; 3 . 0 7 E + 0 2 14
5 . 0 E + 0 2 5 . 9 9 E - 0 3 t 5 . 2 8 E + 0 2 1 3 . 0 5 E - r 0 2 15
6 . 0 E + 0 2 5 . 5 1 E - 0 3 5 . 2 5 E + 0 2 ! 3 . 0 3 EH- 0 2 7
7 . 2 E + 0 2 5 . 6 4 E - 0 3 5 . 2 5 E + 0 2 i 3 . 0 3 E + 0 2 8
R / h = 5 0 E + 0 2 c = 0 . 5 0 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5
i = 3 b / h 5 1 ' J n g s u a t ! T a o l a p

3 . 0 E + 0 2 2 . 4 6 E - 0 3 1 4 . 6 3 E + 0 2 : 2 . 67E+Ũ2 7
3 . 2 E + 0 2 2 . 3 7 E - 0 3 1 4 . 5 8 E + 0 2 ; 2 . S 4 E + 0 2 7
3 . 6 E - 0 2 2 . 2 0 E - 0 3 Ị 4 . 5 3 E + 0 2 2 . 61EH-02 6
4. 2 E- Ì - 0 2 2 . 0 9 E - 0 3 1 4 . 4 8 E + 0 2 : 2 . 5 8 E + 0 2 8
5 . 0 E + 0 2 2 . 7 3 E - 0 3 ! 4 . 7 1 E + 0 2 2 . 7 2 E + 0 2 14
5 . 0 E ^ 0 2 1 . 7 6 E - 0 3 ! 4 . 2 8 E + 0 2 2 . 4 7 E + 0 2 15
6 . 0 E r 0 2 2 . 3 5 E - 0 3 j 4 . 7 4 E + 0 2 ■ 2 . 7 4 E + C 2 14
6 . OE-i-02 1 . 8 2 E - 0 3 1 4 . 3 3 E + 0 2 : 2 . 50EÌ-Ũ2 15
7 . 2 Et0 2 2 . 7 2 E - 0 3 1 4 . 7 1 E + 0 2 2 . 7 2 E - C 2 14
7 . 2 E- Í - 0 2 2 . 1 3 E - 0 3 4 . 5 0 E + 0 2 ■ 2 . 6 0 E + 0 2 15

R / h = 5 0 E + 0 2 c = 1 . 2 0 5 a i s o = 1 . Ũ 0 E - 0 5
i = 3 b / h s 1 ' J ng s u a t ■ T a o l a p

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

R / h = 5 0 E + 0 2 c = 2 00 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5

i = 3 b / h s ' J n g s u a : : T a o 1 l a p

3 . 0 E + 0 2 1 X . 8 2 E - 0 3 1 4 . 3 3 E + 0 2 2 . 5 0 E + 0 2 1 6
3 . 2 E + 0 2 2 . 0 8 E - 0 3 1 4 . 4 8 E + 0 2 2 . 5 8 E + 0 2 1 14
3 . 2 E + 0 2 1 . 5 8 E - 0 3 1 4 . 1 1 E + 0 2 2 . 3 7 E + 0 2 1 1 5
3 . S E + 0 2 1 . 3 8 E - 0 3 1 4 . 4 5 E + 0 2 2 . 5 7 E + 0 2 1 9
4 . 2 E + 0 2 1 . 2 5 E - 0 3 1 4 . 4 2 E + 0 2 2 . 5 5 E + 0 2 1 6
5 . 0 E + 0 2 1 . 1 8 E - 0 3 1 4 . 4 2 E + 0 2 2 . 5 5 E + 0 2 1 6
6 . 0 E + 0 2 1 . 3 6 E - 0 3 1 4 . 3 3 E + 0 2 2 . 5 0 E + 0 2 Í 5
7 . 2 E + 0 2 1 . 2 5 E - 0 3 1 4 . 5 3 E + 0 2 2 . 6 1 E + 0 2 1 5

R / h = 5 0 E + 0 2 c = 3 00 S a i 5 0 = 1 . 0 0 E - 0 5
i = 3 b / h s 1 Un g s u a t T a o 1 l a p

3 . 0 E + 0 2 1 . 9 8 E - 0 3 1 4 . 42E-I-02 2 . 5 5 E r 0 2 1 5
3 . 2 E + 0 2 1 . 8 1 E - 0 3 1 4 .33EH-02 2 . 5 0 E- Ì - 0 2 ! 4
3 . 6E-r02 1 . 5 5 E - 0 3 4 . 17E-TŨ2 2 . 4 1 E + 0 2 : 2
4 . 2E-T-02 1 . 4 9 E - 0 3 4 . 0 4 E - 0 2 2 . 3 3 E- Í - 0 2 i 2
5 . 0 E + 0 2 1 . 3 7 E - 0 3 3 . 5 6 E > 0 2 2 . 0 5 Et0 2 i
6 . 0 E - 0 2 1 . 3 4 E - 0 3 3. 48E- Ì - 02 2 . 0 1 E - 0 2 i
7 . 2 E + 0 2 1 . 4 3 E - 0 3 3 . 1 1 E - 0 2 2 . 1 4EÍ - 02 Ị

R / h = 5 OEh-0 2 c = 3 50 S a i s o = 1 . 0 0 E - 0 5
i = 3 b / h 5 rJ n g s u a e T a o Í l a p

3 . 0 E ^ 0 2 2 . 1 5 E - 0 3 4 . 5 0 E - 0 2 2 . 6 0 E - 0 2 1 4
3 . 2 E + 0 2 1 . 9 5 E - 0 3 Ỉ 4 , 4 2 E ^ 0 2 2 . 5 5 E - 0 2 1 14
3 . 2 E + 0 2 1 . 3 3 E - 0 3 i 4 . 3 8 E + 0 2 2 . 5 3 E + 0 2 : 1 5 .
3 . 6 E + 0 2 1 . 6 6 E - 0 3 1 4 . 17E-TŨ2 2 . 4 i z - r 0 2 i 14
3 . 6 E + 0 2 i . 7 0 E - 0 3 1 4 . 2 3 E - 0 2 2 . 4 4 E + 0 2 i 15

4 . 2 E + 0 2 1 . 4 6 E - 0 3 1 3 . 8 0 E + 0 2 2 . 2 0 E + 0 2 1
5 . 0 E + 0 2 1 . 2 5 E - 0 3 1 3 . 2 6E-Í-02 1 . 8 8 E + 0 2 1
S. OE-i-02 1 . 1 5 E - 0 3 3 . OOEi-02 1 . 7 3 E + 0 2 1
7 . 2 E + 0 2 1 . 1 6 E - 0 3 1 3 . 0 1 E + 0 2 1 . 74E- Ì - 02 1

R / h = 5 0 E + 0 2

c

= 5 30 S a i 3 0 = 1 . 0 0 E - 0 5
i = 3 b / h 1 s 1 ■Jng s u a e 1 T a o 1 l a p

3 . 0 E - 0 2 1 2 . 8 1 E - 0 3 I 4 . 73 E- Í - 0 2 1 2 . 7 3 E - Í - 0 2 1 4
3 . 2 E + 0 2 1 2 . 4 9 E - 0 3 1 4 . 6 3 E + 0 2 i 2 . 6 7 E + 0 2 1 4
3 . oE-^-02 1 2 . 0 0 E - 0 3 Í 4 . 4 5 E - 0 2 ! 2 . 5 7 E + 0 2 1 4
4 . 2 E ^ 0 2 1 1 . 5 8 E - 0 3 j 4 . 11 E+Q2 ; 2 . 3 7 E + 0 2 1 1
5 . 0 E - 0 2 Ị 1 . 2 2 E - 0 3 ! 3 . 1 8 E - 0 2 i 1 . 8 4 E + 0 2 Í
6 . 0 E + 0 2 1 9 . 8 3 E - 0 4 1 2 . 5 5 E - 0 2 ! 1 . 4 8 E + 0 2 1
7 . 2 E + 0 2 1 8 . 5 1 E - 0 4 1 2 . 2 1 E + 0 2 I 1 . 28E-Í-02 1

R / h = 5 . 0 E + 0 2 c = 10. 00 S a l s o = 1 . 0 0 E - 0 5
i = 3 b / h 1 s i Ling s u a e ! T a o 1 i a D

3 . 0 E - 0 2 1 5 . 3 4 E - 0 3 1 5 . 2 1 Et0 2 i 2 . 0 1 E + 0 2 I 4
2 . 2 E + 0 2 1 4 . 7 0 E - 0 3 i 5 . 1 1 E + 0 2 1 2 . 9 5 E - Ì - 0 2 1 4
3 . 6 E + 0 2 1 3 . 7 2 E - 0 3 1 4 . 9 4 E + 0 2 1 2 . 8 5 E + 0 2 1 2
4 . 2 E + 0 2 1 2 . 7 4 E - 0 3 1 4 . 7 1 E + 0 2 1 2 . 7 2 E + 0 2 1 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Tuyển tập các cơng trình Hội nghị Cơ hoc toàn quốc lần thứ

vn

Hà Nội, 12 - 2002

CÁCH TÌM NGHIỆM VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

Tóm t ắ t : Trong kỹ thuậr nhiều bài toán dao động của lìé một bậc tự do dán đến việc klião 
sát phương trình Matchie. Trường hợp nào phương trình Mchie có nghiệm dũng. Tnrớiig

hợp nào khơng có Iighiệm dùng VCI cách lìm nghiệm gàn ching. Tính chất nghiệm phụ rlic

vào các tham s ố cùa phương trình và điéu kiện (láu ra sao. dó là Iiliữìig vấn đ ế dược kháo 
sát trong bài toán này.

1. Trường hợp phương trình Matchie có nghiệm đúng [1]

Để xét xem trường hợp nào phương trình M atchie có nahiệm đúng, ta nghiên cứu mối
quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình :

TRÌNH MATCHIE

Đ ào Huy Bích
Đ ại học Q uốc gia H à N ội

N guyễn Đ ãng Bích

Viện K H C N 'Xây Dựng - Bộ Xàv Dựng

( 1. 1)
Z + (co 2 - V ) z = 0 .

(

.

)

ở đây : ũ) 2 - tham số không đổi, u = u (t), V = v ( t) .
G iả sử m ối quan hệ giữa các nghiệm z và y có dạng :

(1.3)

(1.4)
(1.5)

( 1.6 )
à đây : Ằ2 - hằng số tích phân.

Bằng cách đ ặ t :

(1.7)
a

phương trình (1.6) có thê đưa về dạng cúa phương trình (1.1):

(1.7)

Như vậy a là nghiệm riẻng cùa phương trình (1.1) khi thay co - X.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Từ (1.5) và (1.7) suy r a :

' = u -2- ^ ( l n a ) .
dt v '
Đ ật (1.8) vào (1.2) ta đuợc

Z +

J 2

co2 - u + 2—7 0n a )

dt v ’

Phương trình (1.9) có thể viết lại dưới dạng ;

Z —

- 2 „2

X - C ũ + a —— -

d2 f l

dt l a

z = 0.

(1.8)

(1.9)

( 1.10)

Như vậy : nếu y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1), a là nghiệm riêng của
phương trình (1.1) khi thay co = X, t h ì :

z = ỷ - y í - I
v a
là nghiệm của phương trình (1.9) hoặc (1.10)

Để làm ví dụ, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) khi chọn u = 2 a r = const.
Khi đó ta tìm được :

y = c , e “‘ + C2e ~ °', (1.12)

trong d6 : C „ C j - hằng số tích phân.

N ghiệm riêng của phương trình (1.1) suy ra từ (1.12) khi thay

c, = c:

= — và co = À ta

có : a = ch^-t

Trong trường hợp này phương trình (1.9) (1.10) có dạng :

Z =

- o - V

, 2X2 1

2 ■

ch A.t J

(1.13)

(1.14)

hay là : z + (co2- 2Ã2th2^t)z = 0.

Nghiệm đúng tổng quát của phương trinh (1.14) có dạng

z = c , e “' (ũ) - Ã thẰ t)- C j e '“ (<D + ÂthÂt) (1.15)

N ghiệm (1.15) ổn định hay không ổn định chi phụ thuộc vào điểu kiện đấu:
- Đ iều kiện đầu dẫn tới c , = 0 thì nshiệm ổn định v ì : z 0 khi t -> 00

- Đ iều kiện đầu dẫn tới c . ^ 0 thì nshiệm khổng ổn định v ì : z -> oo khi t -> co

Như v ậ y :

• T ổn tại những phương trình M atchie có nghiệm đúng, ví dụ như phương trình
(1.14) có nghiệm đúng (1.15).

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

• Việc chọn u = u(t) ớ bước thứ nhất là tuv V , sao cho tìm được nahiệm đúng

tổng

quát

của phương trình ( 1.1)

2. Trường hợp phuơng trình Matchie khơng có nghỉệin đúng
Trong phương trình (1.1) nếu chọn :

u = q c o s p t ,
trong đó : q - biên độ, p - tần số

Khi đó phương trình (1.1) có dạng :

ỹ + (or -q co sP t)y = 0. (2.1)

Phương trình (2.1) hiện vẫn chưa tìm được nghiêm đúng. Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm
gần đúng của phương trình (2.1) khơng dùng giả thiết tham số bé. Từ phương trình (2.2)
suy r a :

í ■ \ 
i + í ì ì
ơ )

d_
dt

Đặt — = X , ta được :
y

X + X2 + ũ )2 - q c o s p t = 0

N hân cả hai v ế phương trình (2.3) với e kl rồi lấy tích phàn theo t ta được :

(2.2)

X + e " kl J ( x 2 - k x ) s k'd t + - sin(ị3t + <p) = 0,

(2.3)

(2.4)
k (p2 + k : f 2

trong đó : k - hằng số tuỳ ý sẽ chọn trong quá trình giải.

tgcp = ^ - (2.5)

N shiêm gần đúng của phương trình (2.4) được tìm theo phương pháp tựa cân bằng điều
hòa [2]. M uốn tìm gần đúng thứ nhất ta cho X dưới dấu tích phân bầng biểu thức có
dạng:

X = B + c sin((3t + (p + y ).

trong đó : B. c , V|/ - hằng số thực xác định trong quá trình giải
Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

X + - I B2 - k B + ị c 2 +C02 1 + 2BC - kC
p2 + k

(k sin lị/ p COS vị/)cos(pt + (p)

-2 B C - k C ,

- T , (k COS Vị/ + p sin Vị>) — —

p + k (p + k /

sin(pt + o) —

c-2(4P; + k 2Ỷ'2

sin 2 (p t + cp + Vị/ + ệ ) = 0

trong đó :

tg2(ị> = — .
2(3

(

2

.

6

)

(2.7)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Để xác định B, c, V|/ ta đ ặ t :

- - Ị b : - k B + - C 2

+ o r j

= B ,

2B C - k c /. . „ V

- j p — ị- ỹ - (k sin Vị/ — p cos y ) = - C sin lị/ ,

2B C - kC /,_________ _ V
p2 ị^2 (k COS \Ị/+ p sm 1|/)

-(p: + k 2) ^

(2.8)

= -C c o s v |/. I

Vói cách đ ặt (2.8) thì biểu thức (2.6) có thể v i ế t :

X = - B +

c

sin Vị/ cos(Ị3t + cp) +

c

COS Vị/ sin(Ị3t + <p) +

2(4P2 + k

2

Y'~

sin 2(pt + (p + V)/ + <|>)

Từ (2.8) suy ra :

l(p 2 + k 2f

-B2 - 2 k B + —c2 +C0 2 = 0 .
2

(p2 + 4 B2) c2 - q 2 = 0 .

(p2+ B 2>!- | ( 2 B - k ) k

q

q((32+ k ^

(2B - k ) p •
(32 -r2 B k + B2 - k2 '

(2.9)

(2.10)

(

.

)

(

.

)

Để nghiệm B, c của hệ phương trình (2.10), (2.11) là hằng số thực, ta chọn :

k = B . (2.13)

Đặt (2.13) vào các phương trình từ (2.10) + (2.12) ta được :

sin

\ị/

c

2 C4 +((32 +4co: ) c2 - q2 = 0 .

(p2 + B 2) !:

(2.14)

(2.15)

--- — — COS \ ụ =

c

q(p2 +

Bl Y

1

t g v : BỊ3

p2 - 2 B2

Dựa vào (2.13) biểu thức (2.9) có thể viết dưới dạng :

X = - B + C s in (p t + (p + ụ/)+

c2

2(4Ị32 + w f

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Biểu thức (2.17) là gần đúng thứ nhất cùa phương trình (2.3) khi bình phươna ty sò siữ a
hệ số hai điều hoà nhỏ hơn đơn v ị :

Đặt (2.14) vào (2.18) ta được:

c 2

4(4[32+ B 2) <

c2

2(c:

+8(32 +2co: ) <

(2.18)

( 2 . 1 9 )

Bất đẳng thức (2.19) luôn thoả mãn, không cần đặt điều kiện gì lên các hệ sỏ của
phương trình (2.3).

Dựa vào (2.5), (2.7), (2.16) ta có nhận xét, khi B và đồng thời là k đổi dấu thì cp. ộ, \ụ đổi 
dấu.

Phương trình (2.15) có hai nghiệm

c2 trái dấu,

để c là hằng

sô' thực ta chi chọn nahiệm

dương của c2

Từ đây suy ra :

c 2

- - - ( p 2 + 4 c o 2 ) + - ì /( ( 3: + 4 c o : ) - 8 q :

c, = c,

C2 = - C

i- ( p2 +4co2) + i- V ( p2 +4t» 2 ) 2 +8q2

(2.20)

c =

Đặt (2.20) vào (2.14) ta được

B2= 4 ( p2- 4 o r ) + . U ( p2+4co2)2+ 8 q : .

0 0

Dựa vào (2.22) ta có :

(2 .2 1 )

(

.

)

B =

B, = B, Bj = -B.

A (p2 - 4cj2) + g V (p2+ 4 “ : ) 2 - 8q : ; 2 - (2.23)

Dựa vào (2.17) khi trờ lại biến y ta được

= - B + C s in (p t + cp + >|/) +

Từ (2.24) suy ra :

y = D ex p - Bt - -

c

cos(pt + <p + Vị/)

-2(4p2 + B : }^

c2

sin 2 (p t-r(p + \ị/ + <ị>). (2.24)

p 4p

trong đó : D - hầng số tích phân.

’(pt + tp + lị/+ <ị>)

1

, (2.25)
ịp (4 p2 + W -Ỵ l

Vì phưcmg trình (2.1)

là

tuyến lính, phương trình (2.20) và

(2.22)

cho hai nghiệm cùa

c

và B nẽn từ nghiệm (2.25) có thể ap dụng phương pháp chổng chất nghiệm để dược

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

y = D ,.e ‘ Bl.exp

+ D2.eBl.exp

- ^ C c o s ( p t + (p + M/ ) ---— — — _

. p 4 p (4 p 2 + B 2 f :

1 _

p2

— — C c o s ( B t - ( p - u » ) 
---p 4 p(4p: + B : )^

cos 2(pt + )

cos 2(pt — cp — Vị/ — <ị>) , (2.26)

trong đó : Dj, D2 - h ằng sơ' tích phân.

Các đại lượng trong (2.26) xác định như sau : (p xác định theo (2.5), (ị) xác định theo
(2.7), V|/ xác định theo (2.16), c xác định theo (2.20), B xác đinh theo (2.22).

Biểu thức (2.26) goi là gần đúng thứ nhất cùa phương trình (2.1). Cấu trúc của nghiệm
gần đúng tổng quát (2.26) giống như cấu trúc cùa nghiệm đúng tổng quát (1.15).
Nghiệm (2.26) ổn định hay không ổn định phụ thuộc vào điều kiện đầu :

- Đ iều kiện đầu dẫn tới D2 = 0 thì nghiệm ổn định v ì : y —» 0 khi t - » 0 0
Đ iều kiện đầu dẫn tới D, * 0 thì nghiệm khỏng ổn định v ì : V —> 00 khi t —> co
Như vậy :

• Đ ể tìm nghiệm theo phương pháp tựa cân bằng điểu hoà [2], khơng cần đặt
điều kiện gì lên các hệ số cúa phươns trình xuất phát, nhất là khỏng cần giả
thiết tham số bé.

• Đ ể xác định B, c, Vị/ áp đặt (2.8) khơng cứng nhắc, có thể linh hoạt lựa chọn

sao c h o tìm đư ợc B, c , Vị/ là n h ữ n g hằng số thực.

3. Phương trình đưa được về dạng phương trình (2.1)
Xét phương trình :

z + 2vz + (co: -q c o s (3 t)z = 0 . (3.1)

Dùng phép đổi biến :

z = ye

Ta được :

ỷ + [(or - v2) - q c o s p t ] y = 0.

Phương trình (3.3) có d ạn a tươna tự như phương trình (2.1) khi co2 - v: > 0.
Dựa vào (3.2) (2.6) ta có thể viết lại biểu thức nghiệm cùa phương trình như sau :

Q-cos 2(pt + cp + y + (ị>)
(3.2)

(3.3)

z = D ,.e '(B+v)l.ex p - I c c o s ( p t + y

p 4p(4p +b Ỵ

+ D2.e(B‘v)'.e x p — C c o s ( p t- ( p - > |/) - - COS 2(pt — cp — V|/ — 4>)

p “ ' ■ 4 p (4 p 2 + B 2}^

trong đ ó B,

c

tính theo (2.21), (2.23) n h ư n g với o r được thay bằng co2 - V2.

Nghiêm

(3.4) ổn đ ịn h

không

phụ thuộc vào điểu kiện đáu khi B < V.
Cõng trình h ồn thành với sự tài trợ của H ội đ ổ n g Khoa học Tự nhiên

(3.4)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Tài liệu tham khảo

[1]. G. L. LAMBER. Element o f soliton theory . A. Wiley - Interscience Publication. John Wiley and
sons. New York - Chichester - Brisbane - Toronto, 1980.

[2]. ĐÀO HUY BÍCH, NGUYÊN ĐẶNG BÍCH, ứng dụng plncơiig trình Van der Pol d ể ngliién cini hién

tượng mất ổn định khí động. Tuyển tập các cồng trình Hội nghị Cơ hoc toàn quốc lần thứ v n . Hà Nội.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Tuyển tập các cơng trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ

vn

H à Nội, 12 - 2002

ÚNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VAN DER POL ĐỂ NGHIÊN c ứ u

HIỆN TƯỢNG MẤT Ổ

n

ĐỊNH KHÍ ĐỘNG

Đ ào H uy Bích
Đ ại học Q uốc gia H à Nội

N guyễn Đ ãng Bích

Viện KHCN - Xáv Dicng

Tóm t ấ t : Nghiên ciat liiện lượng m ất ổn định klú động dẩn tới ngiiiỂn cicií tinh chất nghiệm 
của phương trinh Van der Pol với hệ s ố phụ thuộc vào rán s ố cùa lực kicli dộng và có giá 
trị hữu hạn. do đó khơng áp dụng phương pháp tham s ố bé. Phương phái) lìirợc áp dụng ở 
đây là phươìĩg pháp tựa cân bâng điểu hoà. trong đó chimg tị dược khi nào việc bó qua 
điểu hồ bậc cao tà có cơ sờ. Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tó cưỡng bức trong 
phương trình Van der Pol và điếu kiện m ất ổn dịnh khi độníỊ đ ã được nghièn cim trong bùi 
báo Iirìv.

1. Vài nét về hiện tượng mất ổn định khí động

1.1. M ấ t ổn định kích động xoáy

Khi tách xoáy xẩy ra ở phía sau m ặt đón gió có tính chất chu kỳ, thì giữa tần số tách
xốy và vận tốc gió liên hệ với nhau bằng biểu thức

Sh = ^ ,

(1.1)

u
ờ đây : Sh - hằng số Struhal, ns - tần số tách xốy,

D - kích thuớc tiết diện ngang, u - vặn tốc gió.

Các kết quả nghiên cứu [1] cho thấy rằng khi vận tốc aió tăng thì tần số tách xốy cũng
tăng cho đến khi tần sơ' tách xốy bầng tần số dao động riêng cùa kết cấu thì xẩy ra cộng
hường, kết cấu lắc lư theo phươna cắt ngang luồne gió với bién độ lớn và xẩy ra mất ổn
định khí động. Lúc này liên hệ (1.1) khơng cịn đúng nữa, tần số ns không tăng mà duy
trì bang tần sơ dao động riêng cùa kết câu, mặc dù vận tốc 2ÍĨ vãn tăng. M iền tán sơ
tách xốy duy trì bảng tần sô dao động riêng của kẽt cấu gọi là miền cô két tần số tách

xốy, tại đó biên độ tăng và giảm đột n g ộ t theo kiêu cộng hưởng. Như vậy kích động
xoáy xẩy ra trong m iền cố kết tần số.

1.2. M ấ t ổn định G alloping

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

1.3. M ơ hình nghiên cứii hiện tượng m ất ổn định kh í động

Có nhiều m ơ hình nghiên cứu hiện tượng m ất ổn định khí độna, m ột trong nhữno mị
hình đó là m ơ hình phi tuyến V an der Pol. Trong trường hợp nay phương trinh chuven
động có dạng [3]

m ịỹ + 2ệco, y+ m?yj = p u ^ Ị y, ( k ị l - e ( k ) ^ ị i + y2( k ) ^ + I CL(k)sin(cot + <p)Ị.

(

1

.

2

)

, Dco

ở đây : k ---tẩn số q uy đ ố i ,

Dcừ

co - tần số tách xoáy thoả mãn hệ thức : — = 27iSh. (1.3)

Trong m ô hình này y,, y2, CL và £ là hàm của k, giá trị của những hàm này lấy theo kết
quả nghiên cứu thực nghiệm .

1.4. Phương p h á p giải

Đã có m ột sơ' phương pháp giải phương trình (1.2)

a) N ếu trong m iền cố k ết tần số tách xoáy co a co,, nếv xẩy ra trường hợp y2 = 0, C|_ = 0.
thì có thể giải phưcmg trình (1.2) bầng cách áp dụng giả t h i ế t : gía trị trung bình cùa
năng lượng hao tán sau một chu kỳ bãng không [1]

/

2m£ -p c o D 2y ỳ 2dt = 0, (1.4)

ớ đây thực tế xem như y thay đổi theo quy luật điều hoà

y = y„coscừt. (1.5)

b) Ta cũng có thể giải phương trình (1.2) bằng cách áp dụng phương pháp Krưlov-
B ogoliubov nhưng trong phương pháp này phải có sử dụng giả thiết tham sô' bé.
c) G iải ph ư ơn g trìn h (1 .2 ) cũ n g được thực h iệ n bằng phương pháp cân b àn g đ iều h o à

[4]. N hưng với phương pháp này có cần giả thiết nào ràng buộc đối với các hệ số
không ? Đ ây là vấn đề cần xem xét thảo luận

2. Mơ hình nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động

Để nghiên cứu hiện tượng m ất ổn định k h í động ta dùng mơ hinh phi tuyến Van der Pol :

X - ( 2 v - 3 a x : )x + a r x + y x3 = q c o s ( p t) . (2.1)

Nhân cả hai vế phương trình (2.1) với e kl, sau đó lấy tích phân theo t ta được :

[x + (k + 2 v ) x + a x 3]ek’ - J V l Ị q c o s ( p t ) - [ k ( k + 2 v ) + o r ]x - (y - a k ) x 3 jdt = c ,(2.2)

ờ đây k - hằng sô' chọn sao cho :

k(k + 2 v ) + (ú: = 0 .

Phưcmg trình (2.3) có hai nghiệm :

k, = - v + yjv- - C D 2 ,

k , = - v - v v : - Cử2 .

(2.3)

(2.4)

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Thay (2.4) và (2.5) vào phương trình (2.2) ta được :

x - ( k , + 2 v )x + a x3 - e ~ k|' {ek|,[ q c o s ( p t ) - ( Y - a k , ) x 3]dt = c , e " k|' , (2.6)

x - ( k , + 2v)x + ctx3 - e ’k!'

j e k!,[ q c o s ( | 3 t ) - ( y - a k , ) x 3]dt

= c ;e_k:' ,

(2.7)

Trừ v ế với v ế hai phưcmg trình (7) và (6) ta được :

(k, - k 2 )x = e"k:' J e kỉ' [ q c o s ( p t ) - (y - a k 2 ) x 3]dt - e ' k'' J e k,‘ [q c o s ( p t ) - (y - a k , ) x 3 ]dt +

+ C2e - k=t - C , e - k' \ (2.8)

ờ đây c , và Cj - hằng số tích phân.
Hộ thức (8) có thể viết dưới dạng :

X = 1 [ v * 1' | e k|,x 3d t - A.2e ' k;t | e kỉ' x 3d t] + A 0 c o s(p t + cp0) + — !— ( c , e ‘ k:‘ - c , e ‘ k

k , k 2 k , - k 2

(2.9)

ở đ â y : X . | = Ỵ - a k | , Ằ j = Ỵ - a k , ,

A 0 = q [ p J + ( 4 v 2 - 2 c o 2]p2 + co4] ^ , tg(p0 = - ^ 3

Cũ - p

(2 .10)

Nếu k,, k2 là thực thì c „ c , chọn là thực.

Nếu k „ k2 là phức liên hợp thì c , , c , chọn là phức liên hợp.
3. Tìm nghiệm riêng bằng phương pháp gần đúng .

Nghiệm riêng của phương trình (2.1) có thể tìm được từ biểu thức (2.9) khi cho

c =c,=0

X = — ỉ— Ị^ie "k|1 j e k|tx 3d t - A.2e ‘ kjt | e k2' x 3d t] + A 0 cos(ị3t + ©0) . (2.11)

k, - k ,

3.1. Gần đúng th ứ khơng

M uốn tìm gần đúng thứ k h ô n s ta cho X dưới dấu tích phân bằng không, ta được gần 
đúng th ứ k h ô n g là m ộ t đ iề u ho à b ậc n h ất

X = A 0 c o s ( p t + cp0 ), (2.1 2 )

ớ đ â y A 0,cp x ác đ ịn h th eo cô n g thứ c (2 .1 0 ).

3.2. Gần đúng thứ nhất

M uốn tìm gần đúng t h ứ nhất, trong (2 .1 1 ) t a thay X dưới dấu tích phân bàng biểu thức c ó
dạng gần đúng thứ không :

X = A | c o s ( p t + (p0+ ( P | ) , (2.1 3 )

ờ đây ApCp, - hằng số xác định trong quá trình giải.

Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

X = - A ?
4 1

- a ( 3 p ) 3 + Í2vy + ao )2 )3Ị3 / \
---— u , ■— sin3(Bt + <p0 +<p,) +
(3(3) + ( 4 v 2 - 2co: )(3P) +(D4

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

-♦ ỉ <

(y + 2a v )p2 - y u r / X

t F

# ^

# w

cosfe,+ip,+,,')

Hộ thức (2.14) k ết hợp với (2.10) có thể viết lại dưới dạng :

1 A 3

+ A0cos(p: + cp0). (2.14)

x = - A|

: r ^ ( k s in c p i + h c o s ( Pi) + 7 7

4 M M cos(pt + cp0) +

3 Ai. ^

^ ( k s m c p , - h c o s c p ,)

ờ đ â y : k = - a p 3 + (2vy + aco2 )p ,

h = (y + 2 a v )p 2 -yco2,

M : = [34 + ( 4 v2 - 2 c o 2 )p: +C04 ,

a(3py-^vY + aco^p

(y + 2avX 3p)2 - y o r

sin(pt + cp0),

(2.15)

(2.16)

Một cách gần đúng ta có thể đ ặ t :

A, coscp, = —^ - ( k s i n c p , + h c o s ( p ,)+ —

4 M ; M

3 A 3

- A | sincpj = —— ^(kcoscp, - h s in (p ,)
4 M

A ,- = — A? [ q 2(3 p )2 + r Ỵ l
3P) 4 + ( 4 v2- 2 c o2X3P) 2 + “ j p

(2 .1 7 )

(2.18)

Với cách đặt (2.17), (2.18) thì biểu thức (2.15) có thể viết thành tổng cùa hai điều hồ
bậc nhất và bậc ba khơng cuns pha :

X = A , cos(pt + (p0 + ọ , ) + A,3 c o s3 (p t + (p0 +<p, ^<ị>). (2.1 9 )
Từ (2.17) suy ra :

A f - - - T - T ----7A|* + — - j A | ị - 7 = 0 . (2.2 0)

3 a p + y 9 a p +Ỵ 9 a p + 7

tgcp, = A, k

A,2h - - M 2
3

(2.21)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

(p0 xác đ inh theo (2.10); A,,q>, xác định theo (2.20), (2.21) : A,..(ị> xác dịnh theo

(2.18), (2.16).

Biểu thức (2.19) được gọi là gần đúng thứ nhất. Tính gần đúng ớ đây thể hiện ờ chỏ đã
áp đặt hệ thức (2.17), áp đật này đồng nghĩa với việc bỏ qua sỏ' hạng thứ hai trong (2 1 9 )
khi xem A,3 nhỏ hơn A,

Vì vậy áp đ ặt (2.17) chấp nhận được k h i :

An

< 1.

,

(2.22)

Bất đẳng thức này là điều kiện đặt lên các hệ số cùa phương trình (2.20), (2.1)
3.3. Gần đúng th ứ hai

M uốn tìm g ần đ ú n g th ứ h a i, tro n g (2 .1 1 ) th ay X dưới dấu tích p h ân b ằn g b iểu thức có
dạng gần đúng thứ nhất.

X = A , cos(pt + cp2) + A23 cos3(pt + cp2 +cpr ), (2.23)

ở đây A , , (p,, A 23, cp23 - h ằn s số xác định trong quá trình giải.

Bằng cách thay như vậy ta tìm được :

X = A , cos(pt + <p2) + A 23 cos[3(pt + <p,) + 3(p23 ] + - — A ị A ,3cos[5(ị3t + cp, + ộ 5) + 3<p, 3 ] +

+ - — A 2A23 cos[5(pt + <p, + (|)5) + 6cp,3] + A ,a Ị3 cos[7(pt + + ộ . ) + 6cp13 ] +

4 M j

4 iM7

+ - - ^ - A L cos[9(pt + (p, + ộ9)+ 9 c p ,3], (2.24)

4 M ,

trong đó A 2, A 23 được tìm từ hệ phương trình :

A jM f - 2 A 2(k ,b + h ,a ) + d ^ (a2 + b2) - q2 = 0 ,

Aị3M ^ - 2 A ^ A Ỉ + ^ A ; 3j + d ị A ^ | A ; + ^ A ; 3j

=°-1 (2.25)

K hi giải hệ phương trình (2.25) cần thoả mãn điều kiện

A » . <1. (2.26)

A :

Bất đẳng thức này sẽ đặt điểu kiện lên các hệ sơ cùa phương trình (2.25). (2.1) ta thay

(p23 - tìm được từ hệ thức

- 4 k;

n

tg3cp;3 = --- Ỵ - —---3 T .

4 h , - 4 d ^ | A ; + j A Ỉ 3J

<p21 - tìm được từ hệ thức

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

<p0 - tìm được từ hệ thức (2.1 0)

(p2 - tìm được từ hệ thức cp, = c p „ + ( p ; ] . (2.29)

ờ đ â y : = —o t ( n p ) 3 + ( 2 v y + a c o 2 ) n Ị 3 ,

h „ = ( y + 2 a v X n | 3 ) 2 - Ỵ C Ũ 2 ,

tg(n<Ị)n) = - ^ ,

h„

d n = a

2

(np

)2

+ y 2,

M n2 = (n p )4 + ( 4 v 2 - 2co2 Xnp)2 + Cú4!

9 Aị

4 A 2

n = 1, 3, 5, 7, 9 (2.30)

A 2d : ’

A : d ị

(2.31)

(2.32)

Biểu thức (2.24) là gần đúng thứ hai. Quy trình tính này có thể tiến hành cho các oán
đúng tiếp theo, cho phép nhận được nghiệm ngày càng chính xác hơn

4. Ví dụ áp dụng

M ục này trình bầy m ột vài ví dụ tìm gần đúng thứ nhất, vì khn khổ của bài báo khơng
trình bầy các gần đúng tiếp theo.

4.1. M ấ t ổn định kh í đ ộng x o á y từ kích động ban đầu nhỏ.

Trong trường hợp này các tham số của phương trình (2.1) được lấy như sau

2v = ơ ; 3oc = 0.2ơ ; co2 = 1; y = 0,005 : q = p2

Khi đó từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm được A „ A,3 là hàm của tần số tách xoáy p
ứng với các giá trị khác nhau của tham số ơ = 0,05; ơ = 0,45; ơ = 0,60; ơ = 0 75.
Đồ thị của A |, A|J phụ thuộc tần số tách xốy p cho trên hình la , lb

H ình la. Đ ường cong cộng hường A,

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Phương trình (2.1) trong trường hợp này đã được khảo sát ư ona [5] b ần s phươna
pháp khác. Đ ường cong cộng hưởng A | trên hình la hồn tồn trùng với kết quả
trong [5],

H ình lb . Đ uờng cộng hường A,
Nhận x é t :

M ất ổ n định xẩy ra trong vùng tần số tách xoáy bằng 0 ,9 4 -ỉ-1,17 nghĩa là trong vùng
cộng hưởng biên độ tăng đột ngột, ngoài vùng cộng hường bièn độ giảm, vùng tán số
này chứa tần số dao động riêng của k ết cấu £0 = 1.

T rong vùng cộng hường khi ơ = 0,60 và ơ = 0,75 phương trình (2.20) có ba nghiệm

thực A, còn ơ = 0,05 và ơ = 0,45 phương trình (2.20) có 1 nghiệm thực A,

Bất đẳng thức (2.22) thoả m ãn v ì :

0,185
8,539

0,48
5,192

< 1 với ơ = 0,05

< 1 vói ơ = 0,60 :

A „ 0,41

5,362

0,56

< 1 với ơ = 0,45 ;

1 1 1 1 = < 1 với ơ = 0,75 ;

A. 5,081

- M ất ổn định xẩy ra trong vùng tần số 0,94 -ỉ- 1,17 có chứa tần sộ dao động riêng goi
là m ất ổn định kích động xốy, hiện tượng này thường xẩy ra với kết cấu cao mềm.
tiết diện ngang tròn. Đường cong biên độ A, thu được trong trường hợp này có dạng
tương tự như đường cong biên độ thu đuợc trong [3] tr. 161.

4.2. M ấ t ổn định kích động x o á y từ kích độ n g ban đấu lớn

Trong trường hợp này các tham sô cùa phương trinh (2.1) được lây như sau :
2v = ơ; 3 a = 0 ,2 ơ ; co2 = 1; Y = 0,005(3; q = p2

Khi đ ó từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm được A „ A,3 là hàm của tần số tách xoáy (3
úng với các g iá trị khác nhau của tham sô ơ = 0,325; ơ = 0,45: ơ = 0,60; ơ = 0,75.

ĐỒ thị của A |,

A|J

phụ thuộc tần số tách xốy p

cìiO

trên hmh 2a, 2b

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

H ình 2a. Đ ường cong cộng hườns A|

H lnh 2b. Đ ường cộng hường A|1
Nhân x é t :

M ất ổn định xẩv ra trong vùng tần sị tách xốy 0.94 1,17 vùng tán sô này chứa tần
số d ao động riẻna cùa kết câu (0 = 1.

T rong vùng cộng hường khi ơ = 0,60 và ơ = 0.75 phương trình (2.20)

có ba nghiệm

thực A, cịn ơ = 0.325 và ơ = 0.45 phương trình (2.20) có 1 nghiêm thực có giá trị
tăng và giảm đột ngột.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bất đẳng thức (2.22) thoả mãn vì ớ cá hai điểm cực đại cúa đổ thị déu I

< 1 với ơ = 0.325

A,3 4,3

<1- A,3 0.4

A, 29,738

A,

5,627

A „ 2,285

< 1.A,3 0,421

A, 21,580 A, 5,364
a;3 1,281

■<1‘.A,3 = — — <0,491
A, 16,083

A,

5,176
A „ 0,782

< 1 • A,3 0,561

A,

12,695 A, 5,055

với ơ = 0,60

M ất on định xẩy ra trong vùng tần sô 0,94 -ỉ- 1.17 có chứa tần sơ dao động riêng gọi
là m ất ổn định kích động xốy. Trước khi tăng đến cộna hưởng có '.'ùng tần số tại đó
biên độ Aị giảm gọi là m ất ổn định kích động xốy từ kích động ban đầu lớn. Đường
cong biên độ A | thu được trong trường hợp này có dạng tương tự như đường cong
biên độ thu được trong [3] tr. 163.

4.3. H iện tượng G alloping

Trong trường hợp này các tham số của phương trình (2.1) được lấy như sau :

2 v = ơ ; 3 a = ơ |3 ; co2 = l ; 7 = 0,0 0 5 0 : q = p 2

Khi đó từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm được A |, A,3 là hàm của tần số tách xoáy p
ứng với các giá trị khác nhau của tham số ơ = 0,03: ơ = 0,04; ơ = 0,05: ơ = 0,06.
Đồ thị của A ,. A l, phụ thuộc tần số tách xoáy p cho trẽn hinh 3a, 3b

p . 1 0

-H inh 3a. Đường cong cộng hường A,

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

-Al3

H ình 3b. Đường cộng hường A,
N hận x é t :

M ất ổn định xẩy ra không ở m ột vùng tần số m à bắt đầu từ một tần số tới hạn lớn
hơn tần số dao động riêng của kết cấu, sau tần số tới hạn biên độ cứ tăng và tãng
tiệm cận vói m ột giá trị nhất định.

Đường cong cộng hưởng A, ứng với ơ khác nhau có điểm giao cắt chung đó là điểm
tói hạn (P = 1,27 ; A = 10,0 ).

Trong khoảng tần số 0,2 + 0,9 phương trình có 1 nghiệm thực A[ < 0 , vì vậy khơng
có đồ thị của A, trên m ặt phẳng hệ trục toạ độ thực.

Bất đẳng thức (2.22) thoả mãn vì

15.561
26399

13,246
: 21,053

<1 với ơ = 0,03; —- = — — - < 1; với ơ = 0,04 ;A,3 14.162

A, 23.264

A u . 12.869 = — —— <
A, ' 19,495

< 1 với ơ = 0,05 ; —— = — < 1; với ơ - 0,06 ;

M ất ổn định xẩy ra bắt đầu từ m ột tần số tới hạn lớn hơn tần số dao động riêng và
sau tần sô tới hạn biên độ dao động tăng tiệm càn với m ột giá trị nhát định gọi là mãt
ổn định G alloping, hiện tuợng này thường xẩy ra đôi với vật thê có tiẽt diện ngang
bao quanh xấu. Đ ường cong cộng hường A, thu đựơc trong trường hợp này có dạng
tư ơ n g tự n h ư đ ư ờng c o n g b iên đ ộ th u được tro n g [3] tr. 167.

4.4. Trường hợp tìm nghiệm gần dũng khơng dìừig được ở rấp XI thứ nhát.

Trong trường hợp này các tham số cùa phương trình (2.1) được lấy như sau :

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

(3.10-2v = ơ; 3 a = ơ(3; co2 = 1; 7 = 0,005; q = p2

K hi đó từ phương trình (2.20), (2.18) ta tìm được A „ A,3 là hàm của tần số tách xoáy p
ứng với các g iá trị khác nhau cùa tham số ơ = 0,25: ơ = 0.4 5: ơ = 0.7 5: ơ = 13.
Đổ thị củ a A „ A,3 phụ thuộc tần số tách xốy [3 cho trẽn hình 4a, 4b

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199 210 221 232 243 254 265 276 287 298

Hình 4a. Đường cong cộng hưởng A|

Hình 4b. Đ ường cộng hường A „

Nhận x é t :

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Đ ường cong cộng hường A | úng với ơ khác nhau có miền cơ kết tẩn sô biến thiên
trong khoang 0,84 -ỉ- 1,0. Các tần sò nằm trong khoảns nàv đều nhỏ hơn tần sò dao

động rièng của kết cấu

Bien độ dao động

VƠI

p < 0,84 diên biến phức tạp, với p > 1 diễn biến gần như nhau.

Bất đẳng thức (2.22) khơng thoả mãn v ì:

A,3 22,524 , ^ „

A = 14 * 7 4 > ơ = > 1: với ơ = 0,45

A ,3 37,624

A, 14,287

A 13 . 104,941
A , : 14,171

A,3 60,105 , ,,

= > 1 với ơ = 0,75 ; > 1; với ơ = 1 3

A, 14,203 A , 14,171 ’

- Vì —^ > 1 với ơ nằm trong khoảng 0,25 -ỉ- 1,3 nên không thể tìm nghiệm theo gần

A-1

đúng thứ nhất m à phải tìm nghiệm theo gần đúng thứ hai.
5. Kết luận

- Đề xuất phương pháp tính gần đúng - tựa cãn bằng điều hồ.

- Để có thể bỏ các điều hoà bậc cao phải có các điều kiện đặt lên các hệ số của
phươna trình (2.1).

- Phát hiện m ộ t s ố tính c h ấ t p h ù h ợp với kết q u ả thực ng hiệm . G óp ph ần giải thích về
m ặt lý thuyết những hiện tượng đó.

- Sự hội tụ của phương pháp m ới thực hiện bằng số, cần có chứng m inh lý thuyết chặt
chẽ hơn.

Cơng trình hồn thành với sự tài trợ cùa Hội đồng Khoa học Tự nhiên.

T à i liệu th a m k h ảo

[1]. R. H. SCA LA R Flutter Derivatives at Vortex Lock - in. Struc. E n g ., ASCE. (to appear Apứi 1998).

[2]. G. V. PARKINSON. Aeroelastic Galloping in One Degree o f Freedom. , in Proceeding of 
Symposium on W ind Effects on Buildings and Structures, Vol. 1 National Physical Laboratory,
Teddinston, UK., 1963. pp. 581 - 609.

[3], E. SIMIU. R. H. SCALAN. Wind Effects on Structures. A Wiley - Interscience Publication. John
Wiley and sons, 1986. 509p.

[4], Ueda Y. The road to chaos. Aerial Press, Inc, 1992.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI

V IE TN A M N A T IO N A L U N IVER SITY. H AN O I

I55N DB6Ê-B612

T

KHO

J O U R N A L

T Ữ Á

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HANOI

JOURNAL OF SCIENCE

T. XIX, No 3, 2003

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TẠP CHÍ KHOA HOC

T. XIX, SỎ' 3, 2003

EDITORIAL COUNCIL

CHAIRMAN

V ũ M in h G ian g
E ditor in C hief

MEMBERS

• N guvẻn V ãn T h o ả (Deputy Editor in Chief)
• N guvẻn N h ụ v (Editorial Secretary)

• VŨ D u o n g N in h

EDITORIAL BOARD OF MATHEMATICS - PHYSICS

• N guvễn Đ ìn h Đ ức ( H e a d o f B o a rd )
• L ư u V ãn Bói

• N guvẻn Đ ìn h Đức

• L ê V ãn C ả m
• N guvẻn V ăn Lọi

• N g u v ẻn C h â u
• N g u v ẻn X u â n H à n

• Đ ặn g H ù n g T h á n g

• N guvẽn H ữu C õng
• N guvẽn V ãn M in h

• N guyễn P h ú T h ù y

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

VN U . JO U R N AL O F SCIENCE, Mathematics - Physics. T.XIX, Nq3 - 2003

ON THE ELASTOPLASTIC STABILITY PROBLEM OF

THE CYLINDRICAL PANELS SUBJECTED TO THE

COMPLEX LOADING W ITH THE SIMPLY SUPPORTED

A N D CLAMPED BOUNDARY CONSTRAINTS

D a o V a n D u n g

Department OĨ Mathematics, College o f Science, VNU

A b s t r a c t . In th is p ap er, an elasOoplastic s ta b ility problem of the cylindrical panels under
th e action of th e com pression force along th e g en eratrix and external pressure has been
in vestigated. By th e B ubnov-G alerkin m eth o d , we have established th e expression for
d e te rm in in g th e critical loads. T h e sufficient condition of extrem um for a long cylindrical
p anels w as considered. Som e num erical resu lts have been also given an d discussed.

1. F o r m u la tio n o f t h e s ta b ili ty p r o b le m a n d f u n d a m e n ta l e q u a tio n s

Let us consider a round cylindrical panel of thickness h and radius of the middle 
surface equal to R. We choose a orthogonal coordinate system O xyz so th a t the plane O xy 
co in c id e s w ith t h e m id d le s u rfa c e a n d th e a x is Ox lie s a lo n g th e g e n e ra trix o f cy lin d rica l
p a n e l w h ile y = R 91 w i t h 0 1 -th e a n g le c ừ c u la r a r c a n d 2 in th e d ire c tio n o f th e n o rm a l
to th e m id d le s u rfa c e . D e n o te t h e sid e s o f c y lin d r ic a l p a n e l b y a a n d b re sp e c tiv e ly to th e
axis O x and Oy.

■ Suppose th a t th e cylindrical panel is sim ultaneously subjected to the compression
fo rce o f i n te n s ity p(t) a lo n g t h e g e n e r a tr ix a n d e x te r n a l p r e s s u r e o f in te n s ity qi(t') in c re a s in g

m o n o to n o u s ly a n d d e p e n d in g a r b it r a r i l y o n a n y lo a d in g p a r a m e te r Í. W e h a v e to find th e
c ritic a l v a lu e s t = t „ p . = p ( i , ) , Vi„ = <?1 (t„ ) a t w h ic h a n in s ta b ility o f th e s tr u c tu r e s
a p p e a r s . In o r d e r t o in v e s tig a te t h e p r o p o s e d w e w ill u se th e c r ite r io n o f b ifu rc a tio n
o f e q u ilib riu m s t a t e s a n d d o n t ta k e in to a c c o u n t t h e u n lo a d in g in th e c y lin d ric a l p a n el.
A fte rh e r e w e w ill p r e s e n t t h e f u n d a m e n ta l e q u a tio n s o f s ta b ility p ro b le m .

1.1. P re - b u c k lin g p r v c e s s

S u p p o s e t h a t a t a n y m o m e n t t in t h e p r e -b u c k lin g s ta g e , th e r e e x is ts a m e m b ra n e
p la n e s tr e s s s t a t e

= - p ( t ) - ~p< ơvv = - 0 1 ơ ) - ^ - “ ?(*) -

&12 = ơ 13 = <723 = <733 = 0 ;

ơ = “ (p + g), ơu = (p2 - PQ + ợ2)1/2-

í1-1)

T h e m a te r ia l is a s s u m e d to b e in c o m p re s s ib le

£33 = - ( - 1 1 + £

22

)-T y p e s e t by

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

The c o m p o n e n ts o f t h e s t r a i n v e lo c ity te n s o r d e te r m in e d a cc o rd in g to th e th e o r y o f e la sto -
p la s tic p ro c e s s e s a r e o f th e fo rm [1]

On the ela sto p la stic s ta b ility ■problem o f

...

i l l = ^ ( - i > + ị q ) - Q ( s , t ) ( p - ị q ) ,
S2 2 = j ỹ ( - q + ị p ) - Q { s , t ) ( q - ị p ) ,

£ 3 3 — — ( ẻ ll + £22); é i l = C13 = '23 = 0,

( 1.2)

w here

. 1 . 1

/ 1 1 N PP + 99 - - õ?<7

Q (s ’í ) = p2_ p ọ + 9 2 .

T h e a r c - le n g th o f t h e s t r a in t r a j e c t o r y is re sp e c tiv e ly c a lc u la te d b y th e fo rm u la

fa = + =1 1 ^ 2 2 + -22) 1/2 - ^ ( s : 0 - (1-3)

So th e e q u ilib riu m e q u a tio n s a s s o c ia te d w ith th e re la tio n s (1 .2 ), (1.3) a n d b o u n d a r y co n
d itio n s e n tire ly d e fin e th e s tr e s s a n d s t r a in s t a te a t a n v p o in t M in th e s t r u c tu r e a t any
m o m e n t o f p r e -b u c k lin g p ro c e s s .

1.2. P o s t- b u c k lin g p r o c e s s

T h e s y s te m o f s t a b il i ty e q u a tio n s o f th e th in c y lin d ric a l p a n e l e s ta b lis h e d in [5] is
w r itte n in th e fo rm

d^Sw ỡ 4(5w d^Sw 9 f d 2Sw d 25w 1 d2(fi\

a i l W + a 3 d x 2d y 2 + a ' ° l W + J M \ Pl W + q l W ~ R d ^ ) = ’ (14)

, a v , Ớ V „ Ỡ V N d 25iu „

w here th e c o efficie n ts O j, Pi (i = 1 ,3 , 5) a re c a lc u la te d as follow s
. _ , 3 / N ____ 3 /, _ v _ \ p q

W iV \ ( 2 q - p ) 2

a i = L - - A l - N ) ^ u ’ ữ3 = 2 \ N J Ỡ Ĩ

n ' 1 4 - V /V

" s = 1 4 I1 A - 1 + 4 l ỹ _ 1 J ^ Ỉ

„ n . l ( N , \ { 2 V - q ) ( 2 q - V) a , I f N A (2p - q f

A = 2+ 2 l ^ " V --- --- ; «72

( 1 .6 )

For s o lv in g th e s t a b il i ty p r o b le m o f c y lin d ric a l p a n el, w e c o n sid e r tw o ty p e s o f k in e m a tic
c o n s tra in ts fo llo w in g

* T h e c y lin d r ic a l p a n e l is s im p ly s u p p o r te d a t th e fo iư e d g e s X = 0. X = a , y = 0,

y = b.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

D a o V a n D u n g

2. T he solvin g m eth od for th e sim ply supported cylindrical panel at four edges

We find the increment of deflection Sw in the form

M M

„

r A ĨITĨX . 2 m r y

ò w = > > Amnsin — sin ——

a b

m = l n = l

(2.1)

i t is e a s y t o see t h a t t h is s o lu tio n s a tis fie s th e k in e m a tic b o u n d a r y c o n d itio n s.

S u b s ti t u ti n g t h e e x p re s s io n o f Sw in to (1.5) w e re ce iv e th e p a r tic u la r s o lu tio n ý as
follow s

M M 
m = i n = 1

m r x . 2rmy

, sin — — s in . (2.2)

w h e re

N / r r i n\ 2 - /■ r m r \4 / m - \ 2 / 2 ? z ; r \ 2 „ / 2 n 7 T \ 4 ] - 1

= a ) M M v ) + M x ) ( 6 ) + H 6 ) ] ■ (2 -3)

Br,

I t is se e n t h a t th e sv st.em o f fu n c tio n s

TTL7TCC 2 n i r y

SiVmn - sin ——— sin (m, n = 1 , 2 , . . . , M )

a b

is linearly independent. Therefore we can apply the Bubnov-Galerkin m ethod for estab
lishing an expression of critical forces.

F i r s t o f 'a ll , s u b s ti t u te t h e e x p re s s io n s o f Ỗw a n d Ifi fro m (2 .1 ), (2 .2 ) in to (1.4),

i~ x 2j Try

a fth w a rd m u ltip ly b o t h sid e s o f th e j u s t re ce iv e d e q u a tio n b y ỖtL'ij = s i n --- s in — a n d
in te g r a te t h a t e q u a tio n fo llo w in g X a n d y . F in a lly w e g e t

f f \ dA6u' d i 6w d 4Su: 9 / d 2ỗw d2Sw 1 d2i f \

J J ° l l ^ + a 3 d x 2d y 2 + a 5 l ) y r + h ? N \ P d x 2 + q d y 2 ~ R d ĩ 1 )

0 0

sin sin dxdy = 0 (i. j = 1 , 2 , . . . . M). (2.4)

a 0

F o r ta k in g th is in te g r a l, it n e e d s to u s e th e re s u lt

a. b. - _ n f 0 w ith m / i : n / j

f f rrưĩTx i~ x . 2 n n y 2 j n y I r

s m--- s i n --- s in — -— sin -^7— = < ab

J J a a b 0 — w ith m = I. n = J.

0 0 K 4

A fte r s e rie s o f c a lc u la tio n s , th e r e la tio n (2 .4 ) giv es u s

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Because o f t h e c o n d itio n o n t h e e x is te n c e o f n o n - tr iv ia l s o lu tio n i.e. ,4mn ^ 0 th e n
receiv e th e expression, fo r d e te r m in in g c ritic a l lo a d s

O n the ela sto p la stic sta b ility problem o f ...

( m i r y f i f m y ( 2 m r \ * 9 - / m - \ i / 2n ~ \ ^

( a ) l b ) + M 6 ) - l h p \ a ) + n 6 ) .

9 /m 7 T \ 4 r /m 7 T \ 4 /r m r \2 / 2 r m \ i „ / 2 n - ' , 4 1 - i

a )

1 A (

« ) + A ( „ ) ( 6 )

+ * ( ff . ! ]

“

I2-6)

P u t t in g X = ^2~ ) > ^ = n 2 > j ; th e r e la tio n (2.6) c a n b e r e w r itte n in th e o th e r

4 N n 2 + Q3 + — j + ,Ỡ3 + -jjr'J y 2

1 = 7 X T n r r (2.7)

j ' ( p * + 9 ) ( / ? 1* + /2j + ệ )
-477 2H 2

, di di

M in im iz in g i , it m e a n s —~p = 0. = 0. t h a t y ield s

Ơ-/Í ƠI

^ = — --- — --- -g— ; (2.8)

2*2# ( p + £ ) ( / ? ! * + f t + § )

( a , - ậ ) (a x + /?3 + I ) - (a - | | ) ( a ,A - + S3 + y

+ _ ^ 2q g y f o i * - + a 3 + ặ ) ( a x + J 3 + y ) = 0- (2-9)
X2

S u b s titu tin g th e e x p re s s io n s (2.8) a n d (2.9) in to (2.7) w e o b ta in

4/V262

* ( ’ ♦ * )

r + a 3 + -ỵ

I

+ A + "y

I

(2.10)

w h e re X is fo u n d fro m th e e q u a tio n (2 .9 ).

A p p ly in g th e lo a d in g p a r a m e te r m e th o d [1], a n d so lv in g s im u lta n e o u s ly th e e q u a tio n
(1.3) a n d (2 .1 0 ) w e c a n fin d th e c r itic a l v a lu e s i„, p . = p{t*), q, = g i t . ) .

F o r long cylindrical panel, i.e. y = 1. X <c 1 we h a v e fro m (2.7)

j N f a s f c b2N

(jjX + q)/35 - CoX* ° i - 2R 2

C a lc u la tin g - T - = 0. le a d s u s X = = X . . In a d d itio n

ỜẤ. 2Co

g2i2 = Z C y N j S a v h

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

^ D a o V a n D u n g

S u b stitu tin g th e values of a 5, j3b and X = X . into (2.11) we ob tain

,2 4N 2b2

i — w 2 6 2 f 4 V N ) p ? — p g + g 2
R ĩ { P2 \ 1 + l ( ỉ í _ 1\ j á z j ) L w ĩ ỉ L

L 4 \ < Ể > ' J j P — p q + q 2 ] 7T2 / ? 2 ^

} • (2.12)

3. T h e s o lv in g m e th o d fo r t h e s im p le s u p p o r t e d c y lin d r ic a l p a n e l a t y — 0.

y = bs im u lta n e o u s ly c la m p e d a t t h e sid e s X = 0 . X = a

T h e k in e m a tic b o u n d a r y c o n s tr a in ts o f s ta b ility p ro b le m a re sa tis fie d c o m p le te ly
b y c h o o sin g

6w

~

Cmn

Í

1~ 008 2m7rx)sin ■ (3.1)
U sin g th e e q u a tio n (1 .5 ) a n d th e e x p re s s io n o f Sw w e c a n fin d th e p a r ti c u l a r s o lu tio n if in
th e fo rm

V’' ^ 2miTx . 2 m r y

<p = V V A n n COS — sin —ỵ — (3.2)

w h e re

Dmn

jV / 277Ỉ7T \ 2 r ( 2 m T T \A [ 2 r r v K \2 f 2 m r \ 2

= a(; a ) H a ) + M a ) ( 6 ) + M 6 ) J • (3-3)

( 2 m ~ x \ 2 m r y

I t is p o ss ib le t o p ro v e t h a t t h e s y s te m o f fu n c tio n s ow-mn = 1 — COS--- sin —-—

V a J b

is lin e a rly in d e p e n d e n t. T h e n w e c a n u se th e B u b n o v -G a le rk in . B y t h e sa m e m e th o d
p re s e n te d in t h e a b o v e p a r t w e c h a n g e th e e q u a tio n (1 .4 ) in to a r e la tio n a s follow s

f f r d ^ỏu: d i S w d AS w 9 Ị d 2ỏ w c P õ w \

J J \ a x d ^ +azd ^ + a i d ^ + l^N\p d ^ + q d ^ )

0 0

- m m s } i 1 - cos2J? ) sin 2Jr d x d y = 0 ( i ’ J‘ = 1 ’ 2...A /)- (3-4)

F o r ta k in g t h i s in te g r a l a b o v e a ll w e s u b s ti t u te ỖVŨ a n d if r e p re s e n te d b y (3.1) a n d (3.2)
in to (3 .4 ), a f te r w a r d s i n te g r a t e t h a t re c e iv e d e x p re s s io n . W e w ill o b ta in a s y s te m o f lin e a r
algebraic equations w ith t h e u n k n o w n s Cij w h ic h is w r i t te n in th e m a t r i x fo rm

[0jj][Cjj] = 0; i, j = 1 , 2 . . . . , M . (3.5)

B e c a u se o f t h e - c o n d itio n o n t h e e x is te n c e o f n o n - tr iv ia l s o lu tio n i.e. Cij — 0 th e n th e
d e te r m in a n t o f tile c o e ffic ie n ts o f Cij m u s t b e e q u a l to zero

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

O n the ela sto p la stic sta b ility pro b lem o f ... 13

A s s o c ia tin g t h is e x p re s s io n w i t h (1 .3 ) w e c a n d e te rm in e th e c ritic a l v a lu e s t . . p = p(t )
<J» = ?(£•)•

N o te t h a t a d e v e lo p m e n t o f t h e d e te r m in a n t (3.6) in g e n e ra l c a s e is c o m p lic a te d
m a th e m a tic a lly th e r e f o r e w e w ill ta k e th e s o lu tio n in th e firs t a p p r o x im a tio n .

I n th is c a s e w e c h o o se Sw a n d (p in th e fo rm

6w= c m„_ ^1 - co s / 2 7 7 1 7 7 1 \ — -— j sin . —— ,'I n - x y
N (2rrvn\2^

z_______________) _______________ _____________
- / 2m 7 r\4 „ /2 m n\ 2 / 2íiĩr \ 2 , /2 n 7 T \

( <1 ) + *

1 ^ ) ( i r ) + A ( i r )

í 2? ) c ™ 2m « . 2„ * „

(3--' 9 , o Õ--- ; c o s --- s in — — •»v__ A ---- a lii

---2t w tỴ a 6

6 /

S u b s titu tin g ỔIƯ a n d Í/P in to (3 .4 ), in te g r a tin g t h a t r e la tio n a n d ta k in g in to a cc o u n t the
c o n d itio n c mn7^ 0. le a d s u s

ab ( /2m -7T \4 f2m-iĩ\ 2 / 2717TN2 /2 n 7 T \4 9 r {2m -K \2 / 2 n 7 r \2 - .

t M

) + a 3 ( T ) ( T ) +3C

)

+ 3 * h r ) j

9 /2 m 7 T \4 r /2 m 7 T \4 /'2m7i\2 f'2m r\2 /2 n 7 T \4i -1-1

+ ĩ í ĩ ĩ ( a ) if t ( a ) + A ( « ) ( 4 ) + f l > ( i ) ' } - “• <3-8>

' m b \ 2 . 36

U sing n o ta tio n s £ = 722 ; 77- (— ) ; i = — , th e e q u a tio n (3.8) is r e w r itte n as follows

\ n a / h

4 /Vtt2 ^Cti77 4- q3 + — + 0 3 + —

3<n 7 7 _ . /3 s \ F 7 T 3.9)

<9i2 Ỡ22

M in im izin g th is r e la tio n i.e. -T— = 0. — - = 0. gives u s

ơ£ <777

(3,10)

(«1

- ặ )

+ 0 3 + ệ ) - (ft - ặ ) (a^ + +

+ 7

(Qlĩ?

+ Q 3 + +

*

f )

°‘

3Q;

V

(3.11)

P u ttin g t h e j u s t fo u n d v a lu e s o f £ a n d 7] in to (3.9) w e h av e

L - J | a 177 + Q3 + ^ Ị | A ^ + A + Ệ } , (3.12)

i2 = 4/v2fr2

R 2

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

14 D a o V an Dung

F o r fin d in g t h e c r itic a l v a lu e t , o f l o a d in g p a r a m e te r Í, w e n e e d t o so lv e s im u lta n e
o u sly th e e q u a tio n (1 .3 ) a n d (3 .1 2 ).

A fte r d e te r m in in g u w e c a n o b t a i n t h e c ritic a l fo rces as follow s
p . = p ( M > 9 - = ? ( * . ) ■

N ow co n sid er t h e c a s e o f a lo n g c y lin d ric a l p a n e l. B a se d o n [2] le a d s u s

T h e m in im iz a tio n o f t h e e x p re s s io n i2 in (3.13). i.e. = 0. y ie ld s TỊ =

OT\ 2 Co

M oreover

S i - — ° t f ' \ > 0. (3.14)

So th e sufficient c o n d itio n o f e x tr e m u m is sa tisfie d . T a k in g in to a c c o u n t Q5, /?5, tị., th e
re la tio n (3.13) b e c o m e s

1 3 / ậ' \ cf

12b2N 2 f 4 l N J p i - p q + q2 1 .

R9 "1 „ r 1 ( N \ (2p - q ) 2 1 3b2N J

I2

R e m a r k s

1) I f th e c y lin d r ic a l p a n e l h a s a v e ry s m a ll c u r v a tu r e i.e. R —» + o o ; q = 0 a n d

m = 1,77 = 1 th e n t h e e x p re s s io n (2.7) co in cid es w ith t h e r e s u lt o f [1. 5, 7].

2) If b = 2ttR t h a t m e a n s t h e c y lin d ric a l p a n e l b e co m es a c lo s ed ro u n d cy lin d rica l
shell, th e n t h e e x p re s s io n s (2 .1 0 ). (2 .1 2 ), (3 .1 2 ), (3.15) r e tu r n re s p e c tiv e ly t o th e p re v io u s
w ell-know n re s u lts .

4 . N u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s a n d d i s c u s s i o n

A n u m e ric a l a n a ly s is is c o n s id e re d o n th e lo n g c y lin d ric a l p a n e l m a d e o f th e steel
3 0 X rC A w ith a n e la s tic m o d u lu s 3G = 2.6 • 105 M P a , a n y ie ld p o in t ƠS = 400 M P a a n d
th e m a te ria l f u n c tio n 4>{s) p r e s e n te d in [1].

T h e r e la tio n s fo r d e te r m in in g th e c ritic a l lo a d s a r e g iv en in th e form :

* Formulae (2.12) and (1.3) f o r the p art a ) o f th e e x a m p le s .

* F o rm u la e (3 .1 5 ) a n d (1 .3 ) fo r th e p a r t b) o f th e e x a m p le s.
T h e n u m e ric a l r e s u lts a r e re a liz e d b y th e p ro g ra m o f M A T L A B .

E x a m p l e 1 . T h e c o m p le x lo a d in g law is given in th e fo rm

p = p(t) = po + P1Í 4; q = q{t) = qo + Q\U

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

a) Num erical results for th e simply supported cylindrical panel

On th e elaâiũplastic s ta b ility problem, o f ...

Table 1 : 4 = -

R 5

R

h t . s ■ 1 0 3 p , M P a q, M Pa ơ'u M Pa

1 0 0 8.27 2.639 470.7 2.827 469.3

2 0 0 8 .1 1 1.780 434.7 2.811 433.3

300 8.03 1.636 418.7 2.803 417.3

400 7.94 1.533 399.8 2.794 398.4

500 7.64 1.308 342.4 2.764 341.1

s ric a l r e s u lts fo r th e c la m p e d c y lin d ric a l p a n e l

Table 2 Ỏ _ 1

: R ~ 5
R

h t . s ■1 0 3 p » MPa g, MPa Ơ* MPa

1 0 0 8.44 4.392 • 508.3 2.843 506.9

2 0 0 8.25 2.440 464.7 2.825 463.3

300 8.13 1.880 439.6 2.813 438.2

400 8.09 1.734 429.7 2.809 428.3

500 8.04 1.647 420.3 2.804 418.9

MPa.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

16

D ao V an Dung

E xam ple 2. Suppose th a t th e complex loading law is of th e form
p = p(t) = P0+ P i i 3; po = 2 M P a, p ! = 0 . 1 M P a

q = q(t) = 90 + Ợ1Í2; 90 = 1 MPa, 9 i= 0 .1 M P a

a) Results of num erical calculation for th e simply supported cylindrical panel

Table 3 : 4 =

-R 5

R

h t . s ■1 0 3 p , M Pa g. M Pa cr* M Pa

1 0 0 16.90 2.581 484.7 30.563 470.2

2 0 0 16.47 1.775 448.5 29.117 434.7

300 16.25 1.609 431.1 28.408 417.6

400 15.83 1.479 399.1 27.075 386.2

500 14.54 1.145 3 0 9 . 5 23.146 298.6

b) Results of num erical calculation for th e clamped cylindrical panel

Tabl e4 : ị = ị

R

h t . s -1 0 3 p» M Pa q, M Pa <7* MPa

1 0 0 17.34 • 4.278 523.1 32.059 507.9

2 0 0 16.82 2.373 478.1 30.301 463.7

300 16.52 1.831 452.6 29.282 438.7

400 16.37 1.689 440.8 28.804 427.2

500 16.21 1.588 428.0 28.279 414.6

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

O n the e la sto p la stic sta b ility p ro b lem o f . 17

T h e a b o v e r e c e iv e d r e s u lts le a d s u s to so m e co n clu sio n s

1. By using th e Bubnov-G alerkin we have solved the elastoplastic stability problem
o f th e c y lin d ric a l p a n e ls w i t h tw o ty p e s o f k in e m a tic b o u n d a r y c o n s tra in ts .

2. W e h a v e sh o w n , fo r lo n g c y lin d ric a l p a n e l, th e su fficient c o n d itio n s o f e x tre m u m
3. T h e c r itic a l lo a d s o f t h e s im p ly s u p p o r te d c y lin d ric a l p a n e ls axe alw ay s sm a lle r
th a n c ritic a l lo a d s o f th e c la m p e d c y lin d ric a l p a n e ls (see ta b le s 1. 2. 3, 4 a n d fio n res 1 2).

4. T h e m o r e t h e c y lin d r ic a l p a n e l is t h in t h e m o re th e v a lu e o f c ritic a l s tre s s in te n s ity
Ơ-* is s m a ll (see ta b le 1-, 2 . 3, 4).

T h is p a p e r is c o m p le te d w i t h fin a n c ia l s u p p o r t fro m t h e N a tio n a l B asic R esearch
P ro g ra m in N a t u r a l S cien ces.

R e fe re n c e s

1. D a o H u y B ich , Theory of elastoplastic processes, V ie tn a m N a tio n a l U n iv e rs ity P u b
lis h in g H o u s e , H a n o i 1999 (in V ie tn a m e s e ).

2. Volmir A. s . Stability o f defoi-mable systems, Moscow 1963 (in Russian).

3. U lo L ep ik , B if u r c a tio n a n a ly s is o f e la s tic -p la s tic c y lin d ric a l shells, Int. Journal of

Non-linear Mech. 34(1999), 299-311.

w.

T . K o ite r , B u c k lin g a n d p o s tb u c k lin g b e h a v io u r o f a c y lin d ric a l p a n e l u n d e r
a x ia l c o m p re s s io n , Nat. Luchtvaart labort. Rep., N o 4 7 6 (1 9 5 6 ), A m s te rd a m .
5. D a o V a n D u n g . O n th e s t a b il i ty p ro b le m o f c y lin d ric a l p a n e ls a c c o rd in g to th e

th e o r y o f e la s to p la s tic p ro c e s s e s . P r o c e e d in g o f th e S e v e n th N a tio n a l C o n g re ss on
M e c h a n ic s , H a n o i, 18-H20 D e c e m b e r 2002, p p . 141-150 (in V ie tn a m e se ).

6. Dao Van Dung, Solving m ethod for stability problem x>i elastoplastic cylindrical 
sh e lls w ith c o m p re s s ib le m a t e r i a l s u b je c te d to co m p lex lo a d in g p ro c ess es , Vietnam

Journal o f Mechanics. N CST of Vol. 23, No 2(2001). pp. 69-86.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

VNU. JO U RN AL OF SCIENCE, M»thematics - Physics. T.XIX, N03 - 2003

REMARKS ON THE SHOOTING METHOD FOR NONLINEAR

TWO-POINT BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

A b s t r a c t . In th is note, we prove a convergent theorem for th e sh o oting m ethod combin
ing th e explicit E u le r’s schem e w ith th e N ew ton m ethod for solving nonlinear two-point
bo u n d ary problem s (T P B V P s). Some illu strativ e num erical exam ples are also considered.
A convergent re su lt o btained before by T. Jankow ski is a p articu la r case of our result,
w hen th e b o u n d ary condition (BC) becom es linear.

1. I n t r o d u c t i o n

T h e s h o o tin g m e th o d fo r T P B V P s h a s b e e n s tu d ie d th ro u g h ly in m a n y w o rk s (c.f
Ịl-lO ]). H ow ever, th e c o n v erg e n ce o f th e m e th o d d id n o t receiv e a d e q u a te a tte n tio n o f
re se a rc h e rs. I n 1995, T . J a n k o w s k i g av e a n a d e q u a te p r o o f for a c o n v e rg e n t th e o re m o f a
s h o o tin g m e th o d .

I n th is p a p e r , w e w ill g e n e ra liz e th is r e s u lt fo r n o n lin e a r o rd in a r y d ifferen tia] e q u a
tio n s (O D E s ) w ith n o n lin e a r b o u n d a r y c o n d itio n s.

C o n s id e r th e p ro b le m

w h e re / : J X E ’’ —> R ’’ is c o n tin u o u s in Í a n d c o n tin u o u s ly d iffe re n tia b le in y , ộ : R ” X R '’ —>

R p c o n tin u o u s ly d iffe re n tia b le in b o t h v a ria b le s.

I f w e d e n o te y = y(t: s) a s o lu tio n o f ( l a ) s u b je c t to in itia l c o n d itio n

w h e re <t>'(s) = y(b\ s ) ) + y(b; s)).y's (b; s) a n d o u <h axe p a r ti a l d e riv a tiv e s o f Ộ

w ith re sp e c t to th e first a n d t h e s e c o n d v a ria b le s , re sp e c tiv e ly . In a d d itio n , y ( i : s ) —

y1 (t: s) c a n b e fo u n d a s a s o lu tio n o f th e

rvp

N g u y e n T r u n g H i e u

Department o f Mathematics, College of Science, VNU

y' = t e J = [q.6]
<t>(y(a),y(b)) = 0,

( l a )

( l b )

y(a) = s.

th e n th e p ro b le m is r e d u c e d t o t h a t o f fin d in g s = s w h ic h solves th e e q u a tio n

é ( y { a :s ) ,y ( b \s ) ) = ậ(s,y (b;s)) = 0.
T h is e q u a tio n c a n b e so lv e d a p p r o x im a te ly b y th e N ew ! o n s ite r a tio n

S j - ! = S j - ộ l(s:i,y(b]sj ))~ 1<p(sj , y { b \ s j ) ) ĩ j > 0 ,

(1c)

(

)

(3)

(4)

Typeset by .Ạạ^S-TeX

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

VIETNAM NATIONAL UNIVERSITY, HRNOI

JOURNAL OF SCICNCC

MATHEMATICS - PHYSICS

T.XIX, No 3 - 2003

CONTENTS

N guyen T u a n A n h , P h u n g Q u o c B ao, A black-box m odel o f optical
am plifier chains in optical fibre telecom m unications system s... 1

D ao V an D u n g . On the elastoplastic stability problem o f the cylindrical
panels subjected to th e com plex loading w ith the sim ply supported and
claim ped b o u ndary co n strain ts... 8

N guyen T r u n g H ie u , R em arks on the shooting m ethod for nonlinear two-
point boundary-value p ro b lem s... 18

N guyen V an M in h , N g u y en M in h M a n , On the asym ptotic behavior o f
solutions o f neutral delay difference equations... 26

V u D u e M in h . T he advantages o f the new proposals in the dipole-dipole
induced p o larization sounding m ethod... 39

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

THỂ LỆ GỬI BÀI CHUYÊN SAN TOÁN - VẬT LÝ

I. Chuyên san Toán - Lý của Tạp chí Khoa học - Đại học Quốc gia Hà Nội còng bó các
cồng trinh nghiên cứu thuộc các lĩnh vực: Toán học, Cơ học, Vật lý và Tin học có nội dung
khoa học mới, chưa đăng và gửi ở bất kỳ tạp chí nào.

Bài viết được soạn thảo sạch sẽ trên máy vi tính bằng chương trinh AM S-TEX. in làm hai
bản gửi kèm theo đĩa mềm. Các ký hiệu cơng thức rõ ràng chính xác, ảnh vả hình vẽ rõ
ràng, để đúng chỗ, có đánh số và chú thích.

3. Các thuật ngữ khoa học viết theo quy định chính thức của Nhà nước. Nếu dùng thuât ngữ
mới hay thuật ngữ chưa được dùng rộng rãi, cẩn chú thích bằng tiếng mà thuật ngữ xuất
xứ ở bên cạnh.

ị. Bài viết của tác giả phải viết bằng tiếng Anh, nội dung cơ đọng, súc tích. Bải có nội dung
quá 12 trang thì phải bố cục sao cho có thể đăng làm 2 kỳ.

5. Phẩn tài liệu tham khảo chỉ nêu các tài liệu liên quan đến bài báo và được ghi theo quy
cách sau:

a. Đối với các tài liệu là sách: Tên tác giả, Tên sách (in nghiêng), Nhà xuất bản, nơi xuất
bản, năm xuất bản. Thí dụ:

1. Nguyễn Hổng Dương, Điện dộng lực học, NXB Đại học và Trung học

Chuyên nghiệp, Hà Nọi 1982, 316 trang.

b. Đối với các tài liệu là tạp chí: Tên tác giả, Tên bài báo, Tên tạp chí (in nchiẽng), Nơi
xuất bản, tập, số, năm xuất bản, trang. Thí dụ:

2. M. Fukigita, Simple Particle-Physics Model..., Phys. Rev. Lett.. New York,
V.6, N06(1989), pp 585 - 595.

5. Cuối bài ghi rõ họ tê n , địa c h ỉ, s ố đ iệ n th o ạ i khi cần liên lạc với tác giả.

7. Toà soạn không trả lại bản thảo nếu bải không được dăng. Trong trường hợp bài phải gửi
lại để tác giả sửa chữa thêm thì ngày nhận bài sẽ được tính từ ngày nhận bản thảo hoàn
chỉnh.

3. Thư từ, bài viết gửi theo địa chỉ:

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

V

ietnam

J

o u r n al

OF

r p r i r

i

b

u

i

f p

l b

V o lu m e 2 5 N u m b e r 1

1 2003

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

VIETNAM JOURNAL

OF

MECHANICS

N A T I O N A L C E N T R E F O R N A T U R A L S C I E N C E
A N D T E C H N O L O G Y O F V I E T N A M

E d ito r in Chief: N G U Y E N VAN DAO

D eputy E d ito rs in Chief: N G U Y E N VAN D IE P
D U O N G NG OC HAI

Editorial Board

N g u y en D o n g A n h . D ao H u y B ich, N guyen D ang B ich. N go H u y C an ,
N g u y en H im C hi, N g u y en V an D ao, N guyen T a t D ac. N g u y en V an
D iep, B u i V an G a, D u o n g N goe H ai. N g h iem H uu H a n h . N g u y en X u a n
H u n g , P h a m H u y en , N g u y e n V an K h a n g , N guyen T ie n K h iem , B u i T a
L ong, N g u y en C ao M e n h , Le T h i M in h N ghia. N guyen A n N ien, P h a m
V an N in h , N g u y en V an P h o , V u D u v Q u an g . P h a n K y P h u n g , N g u y en
T h ie n P h u c , D o S an h , N g u y e n H o a T h in h . T ra n Ich T h in h , P h a m Si
T ien

Aims and Scope

V ietn am Jo u rn a l o f M echanics is published q u arterly in English by th e N ational
C entre for N atu ral Science a n d Technolog}- of V ietnam .

T h e Jo u rn a l publishes original research p apers on all fundam ental aspects of Me
chanics: Solid M echanics, F lu id M echanics, G eneral M echanics, and also on th e o th er
branches of A pplied M echanics: S tru c tu ra l Mechanics. Soil M echanics, M echatronics,
H ydraulics, M achinery M echanics, etc.

T h e p ap ers will be published in 3 forms: Invited Papers. Scientific P ap ers and
S h o rt C om m unications. T h e In v ited P a p e rs are prepared on the in v itatio n of the
E ditorial B oard. T h e o th ers a re s u b m itte d by A uthors to th e E ditorial B oard and
will be reviewed and assessed by referees.

All papers m ust b e p rep ared by following th e Xotes for C o n trib u to rs

C orrespondence: Technical E ditor PH U N G VAN T IE U

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

V ietnam Journal o f M echanics, N C ST o f Vietnam Vol. 25, 2003 No 1 (9 - 18)

ON THE ELASTO-PLASTIC STABILITY

PROBLEM OF SHELLS OF REVOLUTION

Da o Hu y Bi c h
H a n o i N a t io n a l University

S u m m a r y . T h is p a p er deals w ith th e elasto-plastic stab ility problem s of shells o f revolution
su b je cted to com plex loading process. T h e governing equations were derived and were solved
by using th e B ubnov-G alerkin m eth o d and th e loading p aram eter m ethod. Some exam ples
were considered.

1. Introduction

N u m ero u s so lu tio n s o f th e e la sto -p la stic s ta b ility problem s o f re c ta n g u la r p lates
a n d c irc u la r c y lin d rica l shells hav e b e e n p u b lish ed in th e lite ra tu re by using different
th e o ries o f p la stic ity . T h e c ritic a l lo ad s a c tin g on th e se stru c tu re s w ere d eterm in e d
a n d th e in fluence o n w hich o f th e co m p lex lo ad in g process was considered.

M a n y s tr u c tu ra l shell co n fig u ra tio n s a re shells o f revolution, th e elastic sta b ility
p ro b lem s o f w hich w ere in v e stig a te d widely, b u t for e lasto -p la stic problem s th e re was
a few o n ly re su lts, esp ec ially w h en co n sid erin g th e com plex loading process ac tin g
on th e se s tru c tu re s [5, 6, 8, 10].

In th is p a p e r by u sin g th e th e o ry o f e lasto -p la stic processes and th e ad jacen t-
e q u ilib riu m c rite rio n we d eriv e th e govern in g e q u a tio n s o f th e elasto -p la stic stability-
p ro b lem o f shells o f rev o lu tio n . H ere w e re s tric t ourselves, th e applied lo a d is axisym -
m e tric a n d th e lin e ar b e n d in g e q u a tio n s a re used for th e p rebuckling d eform ation.
T h e B u b n o v -G ale rk iii m e th o d a n d th e lo a d in g p a ra m e te r m e th o d are ap p lied in
solving p ro b lem .

For illu s tr a tio n we co n sid e r th e a x isy m m e tric b uckling of a circ u lar p la te su b
je c te d to u n ifo rm co m p ressiv e lo a d in g a n d a shallow sp h e ric al cap su b je c te d to
u n ifo rm e x te rn a l p ressu re. P ro m th e o b ta in e d resu lts we can g e t a g a in th e resu lts
of T im o sh e n k o a n d H u tc h in so n for e la stic shells, th is fact provides th e reliab ility of
th e o b ta in e d resu lts.

2. Prebuckling state of a shell of revolution

L et u s c o n sid er a sh e ll o f re v o lu tio n , th e m iddle su rfa ce of w hich m ay be form
by ro ta tio n o f a p la n e cu rv e a b o u t a n axis in th e plane o f th e curve. P la n e s n o rm al

to axis o f re v o lu tio n in te rs e c t th e su rfa c e in curves called parallels a n d p la n es th a t
c o n ta in th e ax is in te rse c t th e s u rfa c e in cu rv es called m erid ian s. P o in ts o n th e su rfa ce

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

m a y b e referre d to c o o rd in a te s tp, 9, w here ip denotes th e angle betw een th e axis of 
rev o lu tio n a n d a n o rm a l to th e su rface a n d 9 is a circum ferential c o o rd in a te. T he
p rin c ip a l ra d ii o f c u rv a tu re o f th e surface in th e -p a n d 9 directions m ay be d en o ted
by i?2 a n d R i respectively. I t is convenient to in tro d u c e an a d d itio n a l variab le r 
defined b y th e re la tio n

r. ■ dr

r = R ịSÌm p, — = R2 cos ip. (2.1)

Ư th e ap p lie d lo a d is ax isy m m e tric, th e deform ation also is ax isy m m etric p rio r to
loss o f sta b ility . In th e p reb u c k lin g s ta te th e m em brane forces N ^ , N g, N^g are 
fu n ctio n s o f ip alone, th e y sa tisfy th e corresponding lin e ar m em b ran e eq u a tio n s [3]

^ - ( r N °) - R 2N jjco sip = - r R 2p v ,

+ R 2N°gCOS (2 .2 )
r N ° + R 2Njj sin ip = r R 2p z .

w here N ° = h ơ ị , N $ = h ơ ữg, N°g = hơịg.

E q u a tio n s are seen to b e s ta tic a lly d eterm in a te, so th a t solutions ca n be o b ta in e d
w ith o u t use o f c o n s titu tiv e a n d k in e m a tic relations. If th e shell is n o t su b je c te d to
to rsio n a l loading, N°g = 0 a n d th e second of equations is discarded.

3. Stability equations

T h e lin e a r s ta b ility e q u a tio n m a y be o b ta in ed by ap p lic a tio n of th e ad jac en t-
eq u ilib riu m crite rio n . F or th is p u rp o se we p u t

u = Uo + 5 u ,
V = v 0 + 6v, 
w = w0 + 6 w ,

w here ( u 0, v 0, w 0) re p re se n t th e eq u ilib riu m configuration whose s ta b ility is u n d er 
co n sid eratio n , (u , v , w ) is a n a d ja c e n t equilibrium co n figuration co rresp o n d in g to 
th e sam e value o f ap p lie d lo a d as co n fig u ratio n (u0. v 0, w 0) a n d (Su, Sv, ỏw) is an 
a r b itra r y sm all in c re m e n ta l d isp lac em e n t. F u rth erm o re

N ^ = N ° + ỗ i \ , M V = ỖMV

Ng = Ng + SNff, Me = SMg

N ^e = N % + SN^e, = SM^e,

w here 5 N V, 5 N g , Ỗ N ^ a n d ỖMV, ỎMg, ỗM ^e are g en eralized force a n d m o m en t 
in c re m e n ts c o rre sp o n d in g to (ỏ u , ỖV, Sw). A lth o u g h th e p rebuckling s ta te is axisym - 
m e tric , b u t th e p o st-b u c k lin g is m o re gen eral, so th a t th e s ta b ility eq u a tio n s o f shells

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

o f re v o lu tio n m a y b e o b ta in e d as follows [1]:

— Ị r S N y ) + R 2- ^ ( Ố N ^ ) - R 2SNgcosip = 0,

— ( r ỗ N ^ ) + R 2 ^ ( 5 N e ) + R 25 Nọo c o s ip = 0,

d r 1 d Õ , R a d S M * \ ,

é i i é 0r5M + 2 { w - + r d 6 COSV +

H--- - QQ

2

9 — Q ~ ( S M g COS <p) (t 5 N v + R 2ỎNg s in if)

-d

„ n _

a

(3.1)

+ r N > M + ^ ( R 2 N ° S ( 3 e + R 2N ^ S P v ) 0,

w here

S0V = 1 d 5 w 1 d S w

R 2 dtp ’ S0e r do ’

N ° , Nff, N^g a re d e te rm in e d fro m e q u a tio n s (2.2) of th e prebuckling sta te .

A c c o rd in g to th e th e o ry o f e la sto -p la stic defo rm atio n processes th e force and mo
m e n t in te n sitie s a re re la te d to th e in te rn a l stresses an d d eform ation by th e eq u atio n s
[4]

and

S N V = h

5Ng = h

Ỗ N ^ ^ h

h?

12

I f . 
12
h 3

™ ( 2 5 e ; + ỏe;) + ( ệ ' - NƠ°<k* + ơ2ổe'a + 2ơ°eố£’^ 0' ) ^ ơ f ’
r 0 2

ơ ° S e ; + ơ°9ỔE'e + 2 ơ ị eỗ £ ^

_0-V 2

ĩệ .( 2 6 e ; + Se'v ) + ( 4 / - N )

2 N <7° & ’ + ơ ị ỗ e l + 2crUffSe'g n

— 5 e \e + (ộ ' - N ) - 2 - Z---°— ---aỌ— Ể --*

(3 .2 )

L 3 T0 2 I

S M r = — r™ ( , 2 ỏ X « + ăxe) + ( ộ ' - N )

12
r27V

^ ( 2ổ x fl + ố x v ) + ( <p' - i V)

2 N

^ ỏ X ^ + ( ó ' - N )

o ị á X v + ơ$ỖXe + 2 ơ ^ ổ x ^ e 0

ơ aJ x v + ơ°g5 ỵ 0 + 2ơ^e5 ỵ v0 0
--- ---, 0

+ ơ9ỗXe + 2 ơ ^ ó ỵ ^ _(

(3.3)

w here

, _ # ( s )
ds

í « -- + f c; 2 + + ' Ĩ ! * ) 1'"

^ í - ^ + o ỉ í - « ỉ » ỉ + 3 « ỉ. 1

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

a n d th e lin e a r m id d le su rfa ce k in e m a tic rela tio n s are of th e form

, 1 ( d ỗ v \ _ 1 /ƠÒU . . \

ỗ£* = R 2 \ d ĩ ~ ) ’ ố£e = ị ( d 6 + S v C 0 S i p - i w S m V ’

1 ỡ ố in

0£* = R-2 { - d ĩ - ° WJ '

-1r r d f ỗ u \ 1

^ _ 2 [ ^ \ 7 / + r ¥ J ’ ° Xv

1 / dSPg \ 1 r

a

/

5x9=r{-00 + S0- Costp) = r.de{

r . _ 1 d 5 0 v 1 d / 1 d 5 w \

Xip _ R t l f y ~ I h t y K l h f y ) ' (3.4)

1 ( d o p e \ l r ỡ / 1 d ỗ w \ 1 dSw 1

- Ĩ K m + 1‘ A - ' H = r l » ( r » ) + i * r “ H '

_ 1 r 7- ỡ /ố /?0\ 1 ỡiĩ/3 ^ 1 l r r Ỡ / 1 ỠỐUM 1 d t \ d 5 v j \ '

X

v

9~2V

^ l 7 i r l ^ J ~ 2 l ^ c V V ^ l F / + r ã ỡ l r l ^ Ả '

T h e o b ta in e d e q u a tio n s (3.1) -7- (3.4) form a closed system of hom ogeneous equa
tio n s o f th e e la sto -p la stic s ta b ility p ro b lem of shell o f revolution. C om bining bound
a ry c o n d itio n s to th is s y ste m we ca n get th e so lu tio n of the problem by using th e
B u b n o v -G a le rk in m e th o d a n d th e load in g p a ra m e te r m ethod. For illu stratio n , solu
tio n s o f th e s e e q u a tio n s a re discu ssed in co n sid eratio n of circular p lates an d spherical
caps.

4. Circular plates

T h e m id d le p la n e of a c irc u la r p la te m ay b e defined by p o la r coo rd in ates r and
9. in sp e c ia liz a tio n o f th e shell o f revolution e q u a tio n s for th e p la te, R i a n d go
to infinity, th e an g le ip goes to zero, sin ip = 0, cosy;

T h e e q u a tio n (3.1) becom e

1 an d lim Rọdíp = dr.

R.2—►OO

Ỡ d 5 N Te

i r { r 5 N ' ) + d e SNg = 0,

ị { r f N r l ) + Ẽ ^ Ỉ + S N r ,

d 2 . . . . , L n ( d H M Te

d A ( d r d d + - - r

0,
1 d ỗ M rS \

(4.1)

1 d 2ỖMg
w ~ ) + r d d 2

[ ị - { i - N ? 5 P T + rN°gS(3g) + ^ ( K à p r + N°50e)

dỗ Mb

d r
= 0

w here th e s u b s c rip t ip h a s b e e n rep la ce d by r.

T h e e q u a tio n s (3.2), (3.3) a re th e sam e, b u t rep lacin g su b sc rip t ip by T. T h e 
rela tio n s (3.4) now a re of th e form

(4.2)

d ỏ v

d r f e ; =

1 ( d ỗ u \

Lr ( d 0 + 5 v ) ' K , = \
r . d

r d r (t ) + ;

d 6 v
~ ẽ ẽ J
dSPr

ỏxe

1 ( d S P e '

1 , &Xr« =

- H r

S i 1

^ ỉ* 1

_ dôBr

d r ’ - r ( a s + i 0 r . 2 L

dr

. r ) r

de

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

F or e x a m p le w e c o n sid er th e a x isy m m e tric buckling o f a p la te su b je c te d to uni
form co m p re ssiv e lo a d in g p = p h . P re b u c k lin g s ta te occurs in th e p la te

a°T= <7° = - p , N ? = N ° = - P , N?9 = 0
To _ UOI

_

ds

ơ r \ = p , = 2 | ẽ r ị, ẻ r =

m * )

(see [4])

d s TP

o r ệ ' ( s ) d s = flip, i.e, p = 0(s) = cr“ .

B ecause o f a x isy m m e tric b u ck lin g th e d e te rm in e d q u a n titie s do n o d d e p e n d on
variab le 9 a n d 50e = 0. T h e th ir d e q u a tio n o f (4.1) specializes to th e expression

r S M r ) - ^ ( S M g ) + ị { r p h ỏ 0 T) = 0
a n d th e re la tio n s (3.3), (4.2) le ad to th e following

ỏ X r = d S 0 r

d r

h 3 [2 „ { „ d S 0 r , 50,

' _ W r

à ỵe = — ,
r

5 M g =

-In te g ra tio n o f th e e q u a tio n (4.3) gives

(4.3)

(4.4)

- j - ( r S M r ) - 5M e + rphỗpr =

c,

d r (4.5)

b u t o M r = 5 Mg = 0 for p = 0, th e n

c

= 0. S u b s titu tin g th e expression o f S M r ,

5 Mg in to th e e q u a tio n (4.5) we h av e

r 2—t-t- + r ~ — — ^ 1 —

d r 2 d r

1 2 p

T~, N \

h 2

2) ỏ 3 r 0. (4.6)

L et a 2 1 2 p , th e g e n e ra l so lu tio n of (4.6) is

Pr = C l Ji(atr) + C 2Y i ( a r ) ,

J u Yi a re B essel fu n c tio n s o f firs t o rd e r o f th e first a n d second k in d s respectively. 
B u t 5(3r = 0 a t T = 0, y i( 0 ) = oo, th e re fo re

c2 =

0 a n d 50r = C i J i { a r ) .

If th e p la te is c la m p e d on its ed g e, so SPr = 0 a t r = a, w here a is th e p la te rad iu s, 
th e n J \ ( a a ) = 0, th e sm a lle st r o o t for w hich J \ = 0 is a a = 3.83. C o n se q u e n tly we

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

g e t th e r e la tio n for d efining c ritic a l load

P = L 2 2 '— J • (4-7)

Since ệ ' = Y = £ t (s), N = — = ^ = £:c(s) a n d s = 0 _1(p), from (4.7) th e
c ritica l load Per ca n b e d e te rm in e d .

F or elastic s ta b ility o f p la te m a d e o f incom pressible m a te ria l E t (s) = E c( s ) = 3G. 
th e ex p ressio n (4.7) red u c es to th e re s u lt of T im oshenko [9].

T h e e q u a tio n (4.6) m a y b e solved b y B u bnov-G alerkin m e th o d by p u ttin g sỏr = 
A r ( a - r ) , w hich satisfies c o n d itio n s 50r = 0 a t T = 0 a n d r = a. S u b stitu tin g th e 
expression o f SPr in to (4.6), m u ltip ly in g o b ta in e d resu lt w ith r ( a - r ) and in te g ratin g 
over th e p la te su rface, 0 < r < a, 0 < 9 < 2tt, gives

/ „ A'n h2

«, =

L25( ^ + 3 ) ^

|4 '8)

th e e rro r co n sists o f m o re th a n 2%.

5. Shallow spherical shell

P o in ts of th e m id d le su rface m ay b e referred to co o rd in a tes r an d 19, th e rise
of th e shell is m uch sm a lle r th a n th e base rad iu s a. W e have R 2 = R = const.

T

s i r u p = — and approximately COS tp % 1, R 2d ( f = d r .

T h e governing e q u a tio n s now have th e form

ị - ( v ỗ N r ) + ậ ỹ ự N r t ) - SNg = 0,

p r ô N re) + ^ + SN re = 0, (5.1)

9 2 , c r s n ( d 25 M Te 1 d 6 M r i ) \ f l d 25Mg d ỗ M e \

d r 3 6 r d d / ( r d o 2 d r )

- I ( S N r + 5Ne) - [ j- ( r N ? ỏ P r + rN% 53e) + + N°S0e)

w here ỗ N r, S N e, 5 N re - g e n e raliz ed force increm ents

= 0.

ỐNr = h \ N { 2 ỗ e ' r + ôel) + (o' - N ) 
Ó

o ? S s ; + ơ agỏ£g + 2ơ% 5e;e J

_

Õ -r

r2 , ơ°ỏ£‘r -f CTgdEg + 2cr%ỗ£’g o]

ỎNe = h [ ị N ( 2 S e ; + Se'r ) + (o ’ - A ) r ~ 2--- —

r 9 ơ ® ỗ E *

5 N re = A [ | i V ố e ^ + ( 0 '

-(5.2)

.

cr?ốe; - J d 0 + 2^ 1):;» 0
T0 2

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

a n d 5M r , 5M g, S M rg - g en eralized m o m e n t in c re m en ts

sMt= ~ u

[ l N { 2 s x r + + w

- N ^ ° rSXr - ơ °s5ỵ - ,
5M ° = ~ u [ f ^ 2<5** + **■) + w - AT)^ Xr + <^ f f + <7&* * * g ° ] , 0

Í M r , = [ | N Ô X r e + ( 0 ' - N ) ^ k - - ơ °t< , 5 Xt9 a °rg ] ,

T h e m id d le su rfa ce k in e m a tic rela tio n s in th is case are o f th e form

d ỗ v 5w 1 ( d ỗ u \ 5w - , l r 3 / ổ u \ l ỡ ố t n

Ỗ£' = f r + R ' S£° = r ( d 0 + 5 v ) + R ' 0^ = i l r d r ( r ) + r d O .

(I
5Xr =

dSPr
d r

rq d 6 w

5P r - d r

, 5 x e = z

r \ do

1 /d ỗ P e
6 0 . = 1 ^ 5

r Ơ0

w ) , SXrfi = \ [

_ l ị - 1 d ỗ p . ,

d r \ r J r 36 J ’

T h e e q u a tio n s (5.1) -f- (5.5) le ad to a coupled se t o f th re e hom ogeneous e q u a tio n s
in Su, ỖV, 5w. T h is s e t ca n b e red u c ed to tw o e q u a tio n s in 5w a n d a stress fun ctio n 
F.

F rom (5.4) we c a n g et th e c o m p a tity eq u atio n5.4) we c a n g et th e c o m p a tity eq u atio n

1 d 2K _ ± d _ f r2M f i ) _ l _ Ẽ L ( r S e \ ) =
r 2 d o 2 r d r r 2 d r V d r ) r 2 d r d O rB

A ỗ w

~ 1 T (5.6)

d2

I d

1 a2

w here A = ^ 3 + ^ + ^ ■

Inversely, fro m (5.2) th e s tr a in in crem en ts can b e expressed as follows

K = ề h

^

- 5Ns)

+ ầ [ ị ~ n ) [(2ơ ° “ ơ*)SN r + {2ơ°e ~ ơ °r)ỏ N e + 6ơ°eỏNreì ’

fe ỉ = ^ ( 2 S N e - S N r ) (5.7)

+ ầ ( ị ~ w ) f(2t7° ■ ơ °e)ỔNr + {2ơ°s ~ ơ °r) ỏ N e + 6ơ°6ỖNt^ ’

ề h ăK e + U v ' n ) [(2ơ? -

ơ °°)ỖNr + {2ơ°9 ■

ơ°r)ỖN° + ỗơ%ỐNre]

Ệ

'

T w o first e q u a tio n s (5.1) a re sa tisfie d id en tically if

5 N r

=

l d F

+

1 d 2F - S N e - a _, , ỈAr _ d 2F 5 N rB g r [ r q o)

r d r r 2 do2 d r 2

(5.8)

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

T h e th ir d e q u a tio n o f (5 .1 )a n d th e e q u a tio n (5.6) in use of expressions (5.3), (5.7)
a n d (5.8) le a d to th e e q u a tio n s for w a n d F.

F or e x a m p le we co n sid er a sp h e ric al c a p s u b je c te d to u niform ex te rn a l p ressu re p. 
L et u s assu m e th e p reb u c k lin g s ta te m a y b e a p p ro x im a te d by a m em b ran e analysis,
th e n N ° = Nff = - p | , N% = 0, so t h a t <7r° = 4 = - g , d = 0 ,o°u = |a? | = g ,
a n d cr2 = 0(s).

In th is case, th e th ir d e q u a tio n o f (5.1) h as th e form

d 2 n f d 26 M re 1 d 5 M Tg \

d25Mg

dỗMg

r , ỈAT

p R A

+ r & p - a T - + SNe) - 2 = 0 (5-9)

a n d th e in te rn a l m o m e n t in c re m e n ts (5.3), th e s tr a in in crem en ts (5.7) are re w ritte n
as follows

h 3 \ 2 N ( d 25 w 1 d 2ỏw 1 d S w \ , . n AJ -

w . 3 ( 2 + Ẳ a ? + r s r ) + w - N ) A S w . ’

. . . h 3 r 2 N f 2 d 25w 2 d S w d 25 w \ , ]

5 M ° = - Ĩ 2 . t ( # a * + r f r + + iộ - N ) A 5 W '

an* h 3 f l d 25 w 1 d 5 w \ . .

5Mr e = 18 \ r f r d e ( 5 1 0 )

1 ( 2 d F 2 d 2F d 2F \ 1 / 1 1 \

* _ 2W7i Vr ỡ r + r 2 Ỡ02

dr2 )

2h\

n

)

'

1 / d 2F l d F 1 d 2F \

2 N h \ d r 2 r d r r 2 8 9 2 ) 2h \ ậ / n )

r . 3 ( 1 d F 1 d 2F \ (K i n

đe; * _ 2Ã ^ V r2 ớớ r ỡ r ỡ ớ J ' 1 j

I n tro d u c tio n o f ex p re ssio n s (5.8), (5.10) in to e q u a tio n (5.9) a n d expressions
(5.11) in to e q u a tio n (5.6) gives

£ ( j + ệ ' ) AAỎU) + Sw = ~ , (5 .1 2 )

+ (5.13)

\ N

ệ ' J

R

T h e B u b n o v -G a le rk in m e th o d c a n b e ap p lied to th e sy stem of eq u a tio n s (5.12),

(5.13) by choosing ex p re ssio n s o f F a n d 5w, sa tisfy in g b o u n d a ry conditions. In re
su lts we g e t th e e q u a tio n for fin d in g c ritic a l load. O th erw ise, b ecause of th e a p p e a r
ance o f only L ap la c e o p e ra to r in (5.12), (5.13) we ca n use th e following c o o rd in a te
tra n s fo rm a tio n [7]

d 2 I d I d r 2

X = r c o s 9 , y = r s i n ớ , A = ị r 2 + ị ị : + - d ? + w ’

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

th e d iffe ren tia l eq u a tio n s axe seen to b e satisfied by so lu tio n s o f th e form

w h ere k ị , &2 axe w avelength p a ra m e te rs. In tro d u c tio n o f th e se expressions into
(5.13) gives

c

= y--- T"\--- S u b s titu tin g o b ta in e d re su lt for F an d
ex p ressio n o f 5w in to (5.12) yields

4/1

r

h? ( N

A / 1

h

, 1

p r ( 1 + 1 ) u + yfcf + 24/ e ( 3 + « 0 G v + ỹ ) •

\ N <t/J

A n a p p ro x im a te expression for che critic a l p ressu re m ay b e o b ta in e d by m in im iz atio n
of p w ith re s p e c t to k,Ị + k ị . T h e sm a lle st p is fo u n d as following

4 ( h \ 2 l l ỉ - ỉ + t y ) , ỹ

p

3V2 \ r ) ]Ị

n Z<V

(514)

T ak in g in to ac c o u n t N = — = = E c(s), ộ ' = E t (s), s = ệ ~ L(ơ°)\ by th e
loading p a ra m e te r m e th o d from (5.14) we can get th e critical pressure Per•

For a n e la stic shell o f inco m p ressib le m a te ria l E c(s) = E t (s) = 3G, from (5.1-.:) 
we o b ta in

tHis value is th e sa m e as t h a t given in [2, 7].

R e m a r k . In [8] th e se tw o p a r tic u la r cases; circ u lar p la te u n d e r un ifo rm com .ressive
load a n d sp h e ric a l cap u n d e r e x te rn a l pressure, hav e been co n sidered by use o f th e
in c re m e n ta l th e o ry o f p la s tic ity a n d th e d efo rm a tio n th e o ry of p la stic ity by g en e ral
izing d ire c tly fo rm u lae o f elastic so lu tio n s. B u t o u r form u latio n ca n be a p p lie d not
only to th e se p a r tic u la r cases, b u t to m ore g en eral cases o f shells of re v o lu tio n as
well. T h e in v e stig a te d cases o n ly p la y a role of illu s tra tio n o f th e m e th o d .

6. Conclusions

T h e g o v ern in g eq u a tio n s o f th e e la sto p la stic s ta b ility p ro b lem of shells ">f re
v o lu tio n s u b je c te d to co m p lex lo a d in g are d erived by using th e o ry of elc-stop ^astic
p rocesses a n d th e a d ja c e n t-e q u ilib riu m criterion.

T h e B u b n o v -G a le rk in m e th o d a n d th e loading p a ra m e te r m e th o d ca n b e used
for so lv in g p ro b lem , in som e p a r tic u la r in v e stig a te d cases we can g e t a n a ly tic a l
so lu tio n s.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

T h e e la sto -p la stic s ta b ility of circ u lar p la te s a n d sph erical shells is investigated.
O b ta in e d e x p re ssio n s o f c ritic a l loads reduce to resu lts o f T im oshenko a n d H utch in
son for e la stic shells.

T h is p u b lic a tio n is co m p leted w ith financial s u p p o rt of th e C ouncil for N a tu ra l
Science o f V ie tn a m .

R E F E R E N C E S

1. B ru sh D. O ., A lm ro th 3 . 0 . B uckling of bars, p la te s a n d shells. Me G raw -H ill
1975.

2. B u sh n ell D . S tre ss, s ta b ility a n d v ib ra tio n o f com plex bran ch ed shells of revolu
tio n . P ro c . A IA A /A S M E /S A E 14th S tru c t, D yn. M a ter. Conf. W illiam sburg
Va, 1973.

3. D ao H. B. T h e o ry o f E la stic ity . VNƯ P u b lish in g House 2000.

4. D ao H. B. T h e o ry o f E la sto p la stic processes. V N U P u b lish in g House 1999.
5. G rig o ly u k E. I. Loss of s ta b ility of th in p la stic shells w ith o u t unloading. P n k l.

M a th . M ech. 21, 1957, 846-849.

6. Hill R . P la s tic d e fo rm a tio n a n d in sta b ility in th in -w alled tu b e s u n d er com bined
loading: a g e n e ra l theory. J o u rn a l of. Mech. a n d P hvs. of Solids 47 1999,
921-933.

7. H u tch in so n J.

w.

Im p e rfe c tio n sen sitiv ity of ex tern ally pressurized spherical
shells. J o u rn a l o f A ppl. M ech. 34, 1967, 49-55.

8. L u b lin er J . P la s tic ity theory. M acm illan P u b lish in g C o m p an y 1990.

9. T im o sh e n k o s . p ., G ere J. M. T h e o ry of elastic sta b ility , 2d ed. M e G raw -H ill
1961.

10. Ulo L epik. B ifu rc a tio n an a ly sis of elastic-p la stic cy lin d rical shells. Int. Jo u rn a l
of N o n -lin ea r M ech. 34, 1999, 299-311.

Received October 4, 2002

V Ề B À I T O Á N Ổ N Đ ỊN H Đ À N DẺO C Ủ A v ỏ T R Ò N XOAY

B ài to á n Ổn đ ịn h đ àn hồi c ù a vỏ trò n xoay d ã đư ợ c giải q u y ết, tu y nhiên ổn
định đ àn dẻo cịn ít d ư ợ c q u a n tâ m . T rong bài báo này, s ử d ụ n g lý th u y ế t q u á
trìn h đ àn dẻo tá c g iả th iế t lậ p các hệ th ứ c cơ b à n c ù a bài to á n ổn định đ àn dẻo
c ủ a vó tr ò n x o ay chịu q u á tr ìn h d ặ t tải phứ c tạ p . Có th ể s ử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p
B u b n o v -G ale rk in v à p h ư ơ n g p h á p th a m số tài dể giải bài to á n , tro n g m ột Su trư ờ n g
hợ p riên g có th ể n h ậ n d ư ợ c n g h iệ m giải tích. Để m in h h ọ a d ã kháo s á t õn đ ịnh dàn
dẻo c ủ a b ả n tr ò n v à vỏ cầu. T ừ biểu th ứ c n h ậ n đ ư ợ c c ủ a lự c tớ i h ạn có th ẽ n h ậ n
lại k ế t q u à c ủ a T im o sh e n k o v à H u tch in so n cho vỏ dàn hoi. Đ iều này bảo đảm độ
tin cậ y c ủ a p h ư ơ n g p h á p tín h to á n .

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

N A TIO N A L C E N T R E F O R N A TU R A L SC IE N C E AND T E C H N O L O G Y O F V IETNAM
V IE T N A M J O U R N A L O F M E C H A N IC S V O L U M E 25, N . 1, 2003

CONTENTS

Pages

1. D ang D inh A ng, N guyen D ung, N guyen Vu H uy an d D ang D ue T rong. Uniqueness

of elastic c o n tin u atio n in a sem ilinear elastic body ị

2. D ao H uy Bich. O n th e elasto -p lastic sta b ility problem of shells of revolution g

3. N guyen Van D inh. T h e P oincare m eth o d for a stronglv nonlinear duffing oscillator

4. N guyen Van H anh, N guyen Van D iep and Ngo Huy C an. O n some num erical m ethods
for solving th e 1-D S aint-V enant eq uations of general flow regime. P a rt 2: Verification

an d ap p licatio n 26

5. N guyen M an h Hung. Long shore sedim ent tra n s p o rt co m p u tatio n for Hai H au beach

N am D inh province 3 9

6. T ran G ia Lich, N guyen M inh Son and Le Viet Cuong. C alculation of the horizontal
tw o-dim ensional u n stead y flows by th e m ethod of characteristics 4g

Trang

NỘI DUNG

1. Đ ặng Đ ình Á ng, N guyễn D ũng, N guyễn Vũ Huy v à Đ ặng Đ ứ c Trọng, v ẽ tín h thác

triền duy n h ấ t của v ậ t th ể đ à n hồi không thu ần n h ấ t ị

2. Đ ào H uy Bích, v ề bài to án ổn định đ àn dẻo của vò trò n xoay g

3. N guyễn V ăn Đ ình. P h ư ơ n g p h á p Poincaré cho chấn t ử Duffing phi tu y ến m ạnh 19

4. N guyễn V ăn H ạnh, N guyễn V ăn Đ iệp v à Ngô H uy c ẩ n . v ề m ột số p hư ơ ng pháp
giải số hệ p h ư ơ n g trìn h S a in t-V enant m ột chiều tro n g chế độ dòng chảy tổng quát.

P h ầ n 2: K iểm định và ứ n g d ụ n g 26

5. N guyễn M ạnh Hùng. T ín h to á n v ận chuyền bùn c á t cho khu vực ven bờ biển Hải

H ậu - N am Đ ịn h 39

6. T rần G ia Lịch, N guyễn M in h Sơn v à Lê Việt C ư ờ ng. T ính dịng chảy khơng dừng

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

V ietnam Jo u rn a l of M ECH A N ICS

N o t e s fo r C o n t r i b u t o r s

1. M a n u sc rip ts m u s t b e ty p e w r itte n d o u b le - sp a ce d "vith m a rg in s on one side
of w h ite A 4 p a p e r, a n d 2 co p ies m u s t b e s u b m itt e d

T h e m a x im u m le n g th o f th e S cientific P a p e r is 1 0 pages, a n d of S h o rt C o m m u
n ic a tio n is 4 pages, in c lu d in g fig u res, ta b le s a n d references. S pecial cases w ill be
d ecided b y th e E d ito r.

2. M a n u s c rip ts m u s t b e p re p a re d follow ing th e order: T itle , A u th o rs Affilia
tions, A b s tr a c t, In tro d u c tio n , M a in T ex t. C o n clu sio n , A cknow ledgem ents, R efer
ences, A p p e n d ix , A d d re sse s o f all a u th o rs.

3. A b s tr a c ts m u s t give concise fa c tu a l in fo rm a tio n a b o u t th e o b je c tiv e s o f th e
■vork, th e m e th o d s u sed , th e re s u lts o b ta in e d . A s u ita b le le n g th w ill n o t exceed
1 /3 o f a page. O n e c o p y o f th e a b s tra c t tr a n s la te d in to V ietn am e se is req u ired .

4. R eferen ces m u s t b e lis te d follow ing th e o rd e r of d o c u m e n ts c jte d in th e te x t
R eferences to p u b lis h e d p a p e rs m u st in c lu d e th e iu ti or(s), th ,; title o f t; ;
paper, the Journal name, the volume, the year and ELI Liber, the Kĩ; . , A last pi 
num bers.

R eference to b o o k s, r e p o r ts a n d th e ses m u s t in c lu d e th e a u tb • t he title,

d a te o f p u b lic a tio n , n a m e o f p u b lis h e r a n d p la c e o f p u b lic a tio n .

R eferences in la n g u a g e s o th e r th a n E n g lish m u s t b e r e f e n e d tf. by an Entijfib
tra n s la tio n (w ith th e o rig in a l lan g u ag f in d ic a te d in p a re n th e se s).

5. Illu s tra tio n s a n d T ab le s m u s t b e p ro v id ed w ith a n o rig in a l o f t.if m a n u sc rip t.
Illu s tr a tio n s (p h o to g ra p h s , g r a p h s a n d d raw in g s, ...) are to b f r^ferrv..! to as
“F ig u re (s )” , th e ta b le s as “T a b le ( s ) ” a n d sh o u ld b e n u m b e re d constcuvively in eke
o rd er to w hich th e y axe re fe rre d .

6. M a th e m a tic a l sy m b o ls a n d fo rm u lae ih o u ld b e ty p e d to avo id a m b ig u ities.
E q u a tio n n u m b e rs s h o u ld a p p e a r in p a re n th e se s a n d b e n u m b e re d consecutively.
A ll e q u a tio n n u m b e rs m u s t a p p e a r on th e r ig h t- h a n d side o f th e s r itio n and 
sh o u ld b e re fe rre d to w ith in t h e te x t.

7. A u th o rs o f a c c e p te d p a p e r s m u s t p ro v id e a copy on floppy d isk to fa c ilita te
ra p id p ro c e ssin g o f m a n u s c rip ts .

8. N o re s p o n s ib ility is a s s u m e d b y th e E d ito ria l B o a rd for permk'C ’On to pu b lish
th e p a p e r.

9. P a p e rs w ill b e re fu se d for p u b lic a tio n if th e a u th o rs d o n c i foil:. V-' tiiese N o tes
for c o n trib u to rs in p r e p a rin g m a n u s c rip ts .

10. A d d re ss for c o rre s p o n d e n c e : E d ito ria l B o a rd o f th e J o u r r ;.. of y > -± t:n ic s
70 TYan H u n g D ao , H a n o i, V ie tn a m . Tel: 84.4.9.4228^6; -J-: :_.&2.vn

Printed by THONG NEAT PRJN'CIlK; CL ■

Ậ

: -

•

. '■..I r

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

-ON THE ELASTOPLASTIC STABILITY PROBLEM

OF THE THIN ROUND CYLINDRICAL SHELLS

SUBJECTED TO COMPLEX LOADING

PROCESSES WITH THE VARIOUS

KINEMATIC BOUNDARY CONDITIONS

Da o Va n Du n g

H a n o i Natio nal University

S u m m a r y . In th is p ap er, th e elastoplastic stab ility of cylindrical shells simu!+aneously sub
jected to com pression force along th e generatrix and ex tern al pressure has baen presented.
Tw o ty p es o f considered kin em atic boundary conditions a re sim ply su p p o rted and clam ped
a t th e b u tt-e n d s. T h e expressions for determ ining th e critical forces by using the Bubnov-
G alerkin m eth o d [3] have been established. T h e sufficient condition o i extrem um for a long
cylindrical shell also is considered. Some resuits of num erical calculation have been aiso
given a n d discussed.

1. Stability problem

L e t’s co n sid e r a ,th in r o u n d cy lindrical shell o f le n g th L , ra d iu s R a n d thickness h.
W e choose a o r th o g o n a l c o o rd in a te system O x 1X2X3 so th a t th e axis C-X\ belonging
to th e m id d le su rfa c e a n d ly in g alo n g th e g e n e ra trix o f th e shell, 2'» = R 0 \ w ith 
0!-th e an g le o f c irc u la r a rc a n d £ 3 in th e d irec tio n o f th e n o rm a l to th e m iddle
surface.

A ssum e t h a t a m a te ria l o f sh ell is incom pressible a n d shell is su b je c te d to th e
com pression force p ( t) alo n g th e g e n e ra trix a n d e x te rn a l p ressu re qi (t ) w hich d e p e n d 
a rb itra rily o n a lo a d in g p a r a m e te r t. O ne o f th e m ain aim s o f th e s ta b ility pro b lem is 
to find th e m o m e n t t , w h en th e in sta b ility of th e s tru c tu re h a p p e n s a n d respectively

th e critic a l lo a d s p * = p ( t , ) , q{ = <Zi(i*)- S uppose t h a t th e u n lo a d in g does not 
h a p p e n in th e s tr u c tu re . W e u se th e criterio n o f b ifu rc a tio n of e q u ilib riu m s ta te to
in v e stig a te th e p ro p o se d p ro b lem .

A n in v e stig a tio n o f th e e la sto p la stic s ta b ility pro b lem is alw ays m a d e tw o p arts:
pre-b u ck lin g p ro ce ss a n d p o st-b u c k lin g process.

1.1. Pre-buckling process

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

ơ n = - p i t ) = - p ; <722 = - q i ( t ) j = - q ( t ) = - q , ơ l2 = ơ 13 = 0 2 3 = ơ33 = 0.

(1.1)

T h u s

O ' l l + Ơ’22 ĩ

ơ =

2 2 I I (Tu - y/>& 1 1 — ư l l ư I ư 22<7uơ 22 + Ơ22 = \ /V fp

2

— pq + q2.
C o m p o n e n ts o f th e s tra in velocity te n s o r d e te rm in e d according to th e th e o ry o f
e la sto p la stic p ro cesses [1] are of th e form

ẻ n = J ỹ ( - p - ị q ) - Q ( s , t ) ( p - ị q ) ,
£2 2 = j ỹ ( - q - ị p ) - Q ( s , t ) ( q - -p ),

ẻ33 = —{ é u + -22), £ 1 2 = £ 1 3 = t; 23 = 0 (1.2)

w here

; , 1 . 1 .

/ 1 1 s P P + W - T i P q - - J q „

Q { s , t ) = ( ± - ± ) --- 2 . - , m' = ặ ( s ) , -V = — ■

\ ( ự N J p PQ-r q s

T h e a rc -le n g th o f th e s tra in tra je c to ry is given resp ectiv ely by th e form ula

d s 2 X>2 9 V1/2

= - ỳ = [ è 2n - Èn è2 2 + é ị 2) = F { s , t ) . (1 .3 )
So, we c a n d e te rm in e , from eq uations (1.1) -7- (1.3) s so c ia tin g w ith b o u n d a ry con
d itio n s a n d th e eq u ilib riu m equations, s tre s s a n d s tr a in s ta te s &i any p o in t M t z
th e cy lin d ric a l shell a t anv m om ent of th e p reb u c k lin g process.

1 .2 . P o s t - b u c k l i n g p r o c e s s

As sh o w n in [1, 4], th e sy stem of s ta b ility eq u a tio n s of th e cylindrical shell is
w ritte n in th e form

- d^ip - <940? N d 25w

+ + 0 5 d ễ 2 + R t e i t = 0 (L4)

d ^ S w d*5w d^5w 9 ( d 25w d 2SuI 1 8 2’J \

a i ^ + a 3 d ĩ ị d 4 + a 5 ~ ^ ’ ~ N ^ y }~ d x f + q ' ơ x [ ~ n d ĩ ĩ ) ~

w here th e coefficients ơi , Pi (i = 1, 3. 5) a re c a lc u la te d as follows
1 / . V \ (2q — p ) 2

A = 1 + 1 ( ^ - 1 2 _ 7 ’

4 \ d ) p 2 — pq T Ợ*

^ ^ ì ề - ih

2 \ d / p* - pq -r <r

q r

?)

4 V d ) p 2 - p q - r q2

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

- ' - Ị O - D

ĩ t

:

f _ _____pq + q2

pq

■pq + q2 '

— 1 ^ / ì Q2

In o rd er t o solve th e s ta b ility p ro b lem of th e cylindrical shell, we consider two tvpes
of k in e m a tic b o u n d a r y c o n d itio n s following

* th e sh e ll is sim p ly supported at th e planes x x = 0 a n d X ị = L
* th e sh e ll is clamped at th e plan es Xi = 0 an d Xỵ = L.

H e re a fte r we will s tu d y th e so lu tio n of th ese two sta b ility problem s

2.

Solving the elastoplastic stability problem of simply supported

cylindrical shell

We fin d th e so lu tio n 5w w hich satisfies th e m en tio n ed b o u n d a ry conditions in 
th e form

M M

___

_ ^ \ — > rr iT X i TLXo

° w = / / / . A mn s i n ----— siu ~ ■

771=1 71=1

1 1

r r . p • 'TCl'ZXx . riX'i . . .
I t is ea sy to see t h a t th e sy ste m of functions owmn = sin — r— sin — is linearlv
in d ep en d en ce.

S u b s titu tin g th is ex p ressio n in to (1.4), we can o b ta in th e p a rtic u la r solution Ọ 
as follows

M M _____

\ > V — \ 77l7TXi 77.X o ..

^ = E E S m" si n i sin £ (1 2 )

m = l 71=1
w here

(2.3,

Now we p a s s to find th e ex p re jion d eterm in in g th e c ritica l forces by th e B ubnov-

G ale rk in m e th o d . F or d o in g th a t, one n ee d to realize th e following steps:

a) S u b s titu tin g th e ex p ressio n s of 5w a n d if from (2.1), (2.2) m to (1.5).
b) M u ltip ly in g b o th sides of t h a t s ta b ility eq u a tio n by

• Ì7rxl i x *
ow-i = sin —— sin — - •

J L A

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

-F in ally , we re a c h

f } Ị d* 5 w t d*5w t d*5w 9 ( d 25w d 25 w \

J J \ 1

d x ị + a 3 d x ị d x ị + a 5 d x ị + Ĩ ^ N [ P ~ d Ĩ Ị + q ~ d ĩ ỉ )

0 0 1 1

9 Ỡ V ì iiĩ X i . j x 2 , ,

h 2N R d x Ị Ỉ ~ L ~ R 1 2 = 0 = (2.4)

For ta k in g th is in te g ra l, it needs to use th e re su lt

L 2ir R Ị

f f . rm rxi . in x i . n x 2

7

X

2

, 0 w ith 771 -ệ. i, n Ỷ j

/ / s i n — -— sin —— sin ——1 sin —^ - d x xd x2 = < 1

J J L L R R Ị ± t R L w i t h m = t , n = j

A fter series o f c a lc u la tio n s, th e re la tio n (2.4) gives us

7tR L ( / m7T\ 4 /77i7r \2/ n \ 2 / n \ 4 9 r / m7T\ 2 / n \2-|

2 {< l ) + < l ) (r) + < r) - ĩẴ v Á l ) + <1{r) .

9 / ' 7 T i 7 r \ 4 r / m 7 T \ 4 ^ / 7 T i 7 r \ 2 / n \ 2 „ / r c \ 4 ' | - 1 'i . _ _____

+ h 2 R 2 \ ~ L ) W t ) + ^ { ~ ) ( f l ) + ^ 5 ( r ) . } A m " = 0 - ( 2 -5 )

T a k in g in to a c c o u n t th e existence o f n o n -triv ia l so lu tio n i.e. Aran Ỷ 0, we receive 
th e ex p re ssio n for d e te rm in in g critic a l loads

/ TTVK \ 2 / n \ 2 h 2N r /7717T\4 / r m r \ 2 f n \ 2 / n \ 4i

L

(2.6)
JV ( TTVK \ 4 f _ ( ttvk \ 4 f m n Y f n Y n / n \ 4V

m

L

) w £ ) + * (

) (fl) +3s( « ) }

N oticing t h a t th e re la tio n (2.6) coincides w ith one estab lish ed by a n o th e r m e th o d
in [1, 4],

B y p u tti n g lị) — n 2, 9 = f ——— ) ; i = th e re la tio n (2.6) is w ritte n in th e

\ TIL ! h

form

N t p 2( a i 6 + q3 + -7p) ( A # + 03 + ậ )

i2 = --- :--- ---z - ---5--- 2 - - (2.7)

M inim izin g th is expression, i.e. -5 - 7 = 0, -rnr = 0, a fte r som e calcu latio n s we get

Oĩp ƠU

1> = --- — ^ ---Õ - - (2-8)

(p + | ) + & + y )

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

( “ 1 - | l ) { w + & + f ) - (/31 - ậ ) (a x ớ + a3 + ^ ) +

^ + a3 + ? ) (Aớ + 03 + f ) = °-

(2.9)

0 2 (

S u b s titu tin g th e values (2.8) a n d (2.9) in to (2.7) we have

a 4 ^ r r 3 / < A p2 1 2 r 3 / (0S p<? 1

(p0 + g)2 U 4 V N ) p * - p q + q*\ + L 2 \ N J p t - p q + q* \ +

1 3 i l q2 r f l I V (2<? p ) 2 I f2 I

4 V N J p 2 — pq + q2 Ỉ IL ị \ ệ f ) p 2 — pq + q2\

2 I i i (2g p ) (2p - g ) Ị Ị . I + Ì Í Ỉ L - A j g P z i l ! r 1 Í2 1 0Ì
, 2 V f t ) p 2 - p q + q2 J 4 V ệ/ ) p 2 - p q + q2 )

w here 9 is a so lu tio n of th e e q u a tio n (2.9).

A p p ly in g th e lo a d in g p a ra m e te r m e th o d [1], we solve sim u ltan eo u sly th e eq u atio n
(1.3) a n d (2.10). A fter finding th e c ritica l value t", we ca n d eterm in e th e critical 
forces as follows

p * = p(t*), q* = q{t*)

F or long cy lin d rica l shells, i.e. ijj = 1, 9 <c 1, see [2], we deduce from (2.7)

(2.11)

{pO + q)P5 - N 6 2 
3z^

M inim izing th e expression of I2, i.e. QQ - Q ’ gives us

ữ = ? Ẽ l = tì

9 = 2 N ~ e

-N ow co n sid er th e sufficient c o n d itio n o f ex tre m u m [5]

B ecause

_ 1 _ l ( ^ - q2 _ (2 p Ị Ể I - ỉ - Ẳ > 0

05 4 V N J ơ ị 4<j2 A N ơ ị

g — I + _ ( ? L - = 1 4 + >

0

4 1 ^ y <7-2 A ơ ị 4 ^

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

So QÕĩ\g=3 > 0, th e sufficient co n d itio n o f m in im u m is satisfied. 
S u b s titu tin g th e values o f a 5, /?5 a n d 9 = 9. into (2.1 1) we o b ta in

d

2i21

z2 =

3Í1 ^ ? 2

4 \ i W p2 — pq + q2.
p2

[ - 1

( N (2p - <?)2

+ 4 N q
/ p2 — P<J +

q2-(2.12)

3. Solving th e elastoplastic stability problem of clamped cylindrical

shell

T h e k in e m a tic b o u n d a ry c o n d itio n s o f th e clam p e d shell a t th e planes I i = 0
a n d Xi — L a r e sa tisfie d co m pletely by choosing

M M „ _____

r _ V ' n ( 1 2rm rX i\ n x 2

0W = 2 ^ 2 ^ “ cos ~ J si n '

m=l n=l

(3.1)

U sing th e ex p re ssio n o f 5w a n d th e eq u a tio n (1.4) we c a n find th e p a rtic u la r solu tio n 
ip in th e fo rm

M M
V = Ỳ , Ỳ s E '

771=1 n=l

2rm rx1 . n x 2 . .

'mn COS L - sin (3.2)

w here

In o rd e r to a p p ly th e B ubn o v -G alerk in m e th o d , we n ee d to verify th e linearly inde
p en d e n ce o f th e sy s te m of fu n ctio n s in th e (3.1).

L e m m a . T h e s y s t e m o f fu n c tio n s

( 2 m 7 T X A . n x 2 , , n , , ,

Swrnn = ( l - COS L •] sin (m , n = 1 , 2 , . . . , M )

is linearly in d e p en d e n t.

Proof. L e t’s c o n s id e r a linear co m b in atio n

7mnSwmn = 0 V£ 1 6 [0, L ], V x 2 € [0 ,2irR], (3.4)

m = ln = l

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

M u ltip ly in g b o th sides o f (3.4) by s i n ^ ( j = 1,2, . . . , M ) a n d in te g ra tin g th e 
received ex p re ssio n w ith resp e c t to x 2 on th e segm ent [0, 2irR] we have

2irR M M

'y ^ ^ ] 7m niw mn sin —— d x2 = 0. (3.5)

m = l 71=1

Since

2 n R /

/

j x

2

I 0 w i t h Tl ỹ í j

ow m n s i n —— d x 2 = < / 2m7r x 1\

[ ( c o s — jF— J w ith n = j

T h u s th e re la tio n (3.5) becom es

M 2

7TÌ? 7mj ( l - cos ) = 0 V * i G [ 0 , I ] , V j = 1,2— , M . (3.6)

m=l

For d e m o n s tra te 7mj = 0 V n , j = 1 , . . . , 771, we choose

L _ L L

* i - 2 .

S u b s titu tin g in tu r n th ese values o f Xi in to (3.6), we receive

7 ij = 0, 72; = 0 , . . . , 7 Mj = 0 V j = 1 , 2 , . . . , M.

T h is le ad s to = 0 V m, j = 1 , 2 , . . . , M .

T h is re s u lt d e m o n stra te s t h a t th e sy ste m of fu n ctio n s <5u>mn is linearly in d e p en
d en t. So th e le m m a is proven.

F rom th e chosen sy stem of fun ctio n s, we can use th e B ubnov-G alerkin m e th o d
to get

L 2*r

f f f d ^ S w d*5w d ^ 5 w 9 f d Sw d 5 w \

J J íai dxị + a z dxịdxị +a5 dxị + h2N v dx\

dx\ /

- j ề ĩ ỉ a | } ( 1' cosSF 1) sinấf l <'I“iIí = 0 <M = 1'2...,3J)

For ta k in g th is in te g ra l, first o f all s u b s titu tin g 5w a n d <~p rep resen ted by (3.1) an d 
(3.2) in to (3.7), afte rw a rd s in te g ra tin g t h a t received expression, we will o b ta in a
sy ste m o f lin e a r alg eb raic e q u a tio n s w ith th e u n k n o w n s Dij w ritte n in th e m a trix
form a s follows

'aij ][Dij] = 0; i , j = 1 , 2 , . . . , M.

/

0

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

B ecause o f th e c o n d itio n o n th e ex iste n ce o f n o n -triv ial solu tio n i.e. Dịj Ỷ 0 th e n 
th e d e te rm in a n t o f th e coefficients of D ij m o st be equal to zero

d etfa y ] = 0 i, j = h 2 , . . . , M . (3.7a)

A sso c iatin g th is ex p re ssio n w ith (1.3) a n d by using th e p a ra m e te r m eth o d , we can
find th e c ritic a l v alu e t* o f th e lo a d in g p a ra m e te r a n d th e critical forces p*, qm.

N o te t h a t th e d ev e lo p m e n t o f th e d e te rm in a n t (3.7a) in general case is m a th
e m atic a lly co m p lic a te d , th e re fo re we w ill ta k e th e solu tio n in th e first an d second
a p p ro x im a tio n s

a) T h e f i r s t approxim ated solution: we choose 5w a n d 
X _ n i t 2 m ir x i \ n x 2

d w = A n n ^ l - cos — - — J sin

N /2m7T \ 2 _ '2mnxi n x 2

A . , .O S sin ^

^ - /2 m 7 T \ 4 / 2 r m r \ ' 2 f n \ 2 / 7 1 \ 4

fl( L ) + A ( L ) (i)

* H

r

!

S u b s titu tin g Sw, (f in to (3.7) a n d ta k in g t h a t in teg ral, gives us

1 f / 2 m n \ * /2TO7T\2 / n \ 2 „ / n \ 4 9 r /2m7T\ 2 „ _ / n \ 2i

+Q3( L ) (

r

v n

H

l

) +3n i ) J

9 / 2 m 7 r \4r „ / 2 r w r\ 4 „ / 2 m n \ 2 / n \ 2 . _ n

+ / ^ ( L ) H l ) + /M L ) (r) + P < r) \ K " = a

B ecause o f th e ex iste n ce o f n o il-triv ia l so lu tio n i.e. D mn Ỷ 0| yields a re la tio n for 
finding c ritic a l lo ad s

/ 2 m 7 T \ 2 „ ( n \ 2 h 2N f / 2 r m r \ * / 2 t o 7 t \ 2 / n \ 2 / n \ 4 l

P ( l ) + 3 9 (r ) = 9 \ Q l ( L ) + < l ) (r) + H r) I

N / 2 m 7 r \ 4 r / 2 t o 7 t \ 4 / 2 m 7 r \ 2 / n \ 2

+ M l )

w

l )

+ H l )

( i ) + A ( f i ) }

(3.8)

U s in g n o t a t i o n s £ = u 2, r] = ^ ^ , Ỉ = t h e e q u a t i o n (3.8) IS w r i t t e n in t h e
form

■víí (o.»+«3 + 5f ) ( a » + A + ệ )

I = --- :--- --- --- 7 j- --- >

M inim izin g th is re la tio n i.e. = 0, —---0, a fte r som e calculations we have

i =

_________2

N ________

(p + ^ ) ( h v + h + j )

(3.10)

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

( al ■ * r ) {01V+^ + ệ ) “ (A - ậ ) (al?7

+ a * + ^ ) +

_ _ ^ _ ( a l7? + a3+ ^ ) ( A7? + / ?3+ ệ ) = 0

(3.11)

S u b s titu tin g th e values o f £ a n d T] in th e expressions (3.10), (3.11) in to (3.9), gives

? = 4AT2772 f r. 3 / <t>\ p> 1 r 3 / 4 > \_____pq _

(p77 + 3g) 2 11. 4 \ N / p 2 - p q + q2\ [ 2 \ N ) p 2 - pq H

2 4 1 ( N / \ (2g - p ) (2p - g ) j I 1 l ( N A ( S p - g) 2 r 1

2

\(f / ) p 2 — pq + q2

J

V

Ộ' ) p2 — pq + <72 i

+ 3

(3.12)
w here 77 is a so lu tio n of th e e q u a tio n (3.11).

In o rd e r to rea ch a valu es of c ritica l loads, we need to solve sim ultaneously th e
e q u a tio n (1.3) a n d (3.12) b y ap p ly in g th e loading p a ra m e te r m e th o d [1], A fter
d e te rm in in g th e critic a l v alu e t ‘ , we ca n find th e critical forces as follows

p ' = p ( t * y , q‘ = q (tm).

Now c o n sid er a n in te re stin g case. It is a long cylindrical shell. B ased on [2], we have
3iV a5/?5

£ 1. ri « 1; i {pn + 3 q ) p 5 _ N r ) 2

d i‘^

T h e m in im iz a tio n o f th e re la tio n (3.13), i.e. — • = 0, yields

P

0

S _ .

r i = 2 N = r i

(3.13)

A nd ag a in

d 2i 2 _ 6 N 2a 5p 5

w ~ ~ ( * > ■ + § ) '

(3.14)

Since a5 > 0, /Ớ5 > 0 th e n ^ ị \ = . > 0; T h e sufficient co n d itio n of m inim um is

satisfied. T a k in g in to a c c o u n t Qs, Ổ5, 77*, th e re la tio n (3.13) is w ritte n in th e form

(3.15)
i 2 =

127V2

Ị

3 f ọ' \ Q2

4 \ N ) - p 2 - p q + q2

> + 4

( N

\ (2

p - q ) 2

p Kậ/ J p 2 - p q +

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

b ) T h e second approxim ated solution: W e ta k e th e solu tio n as follows

5 w

=

( l - cos ^

1

) sin I +

( !

- cos

i ^ l )

sm

2

;

V = D ll COS cos sin — ,

L t i L R

w here

- 1

(3.16)

(3.17)
D21

-S u b s titu tin g (3.16) in to (3.7) a n d ta k in g th is in teg ral, we o b ta in a sy stem of two
lin e a r alg eb raic eq u a tio n s w ith th e unknow ns D n , D 21- P rom th e co n d itio n D l l Ỷ 0, 
D 21 Ỷ 0 we have th e r e la tio n w hich p e rm its to d eterm in in g th e critical loads

{ ( § ) - - ( I m

y + M ẩ ) ‘ -

- 4 ) 1 +

9 (

h ? R 2 ': ! ) ■

Pi

1

ị2i ĩ'

K Lj

I2 |( s

r ^ 4 )

1 \4 9 r / 4 7 T \ 2 1\ 2] h 2R 2 9 (

V

4 ; r y

T )

0 11

i f )

1 + 03 ị

i f )

2( -\ R ) 2 + & lf 1\ 4 J
{ R j

-Hi

1 \ 4a s

18

1

h 2R 2N . = 0. (3.18)

4. Som e results of numerical calculation and discussion

W e co n sid er a long cy lin d ric a l shell m ade o f th e steel 3 0 X r c A w ith a n elastic 
m o d u lu s 3G = 2.6 • lC P M P a, an yield p o in t Ơ, = 400 M P a (see '1]).

T h e re la tio n s for d e te rm in in g th e critic a l loads are given in th e form
* fo rm u lae (2.12: a n d (1.3) for th e p a r t a) o f th e exam ples.

* F o rm u lae (3.15) a n d (1.3) for th e p a r t b) of th e exam ples.
T h e n u m e rical re su lts a r e rea lize d b y th e M A T L A B program .

E x a m p l e 1. S uppose t h a t th e co m p lex loading law is o f th e form

p = p ( t ) = (p ° + Pl L J q = q(t) = q0 + q\t\
Pi

w h ere Po = 2 M P a, Pi = 0 . 1 M P a , <7o = 2 M P a, q\ = 0 . 1 M P a.

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

a) N u m e ric a l re su lts for th e sim p ly s u p p o rte d cylindrical shell

Table 1
R

h f s -1 0 3 p ’ M P a q’ M P a <7* M P a

2 0 59.34 10.51 629.5 7.9 625.6

31 54.81 5.031 559.6 7.5 555.9

40 52.95 3.469 531.7 7.3 528.1

50 51.17 2.469 506.5 7.1 502.9

59 49.45 1.905 482.3 6.9 478.9

65 48.10 1.669 463.8 6 . 8 460.4

6 8 41.13 1.276 373.7 6 . 1 370.7

77 28.21 0.7346 232.4 4.8 230.0

b) N u m eric al re su lts for th e c la m p e d cylindrical shell

Table 2
R

h t* 5 - 1 0 3 p* M P a q* M P a ơ'u M P a

2 0 62.45 15.46 679.8 8.245 675.7

31 56.47 6.844 584.7 7.647 581.0

40 54.02 4.285 547.9 7.402 544.2

50 51.87 2.821 516.5 7.187 512.9

59 50.11 2.090 491.5 7.011 488.1

65 48.62 1.739 470.9 6.862 467.5

6 8 47.11 1.579 450.4 6.711 447.1

71 36.97 1.087 324.6 5.697 321.7

77 28.55 0.747 235.7 4.855 233.3

E x a m p l e 2 . T h e com plex lo a d in g law is given in th e form

p = p{t) = p 0 + P it3 -, Po = 2 M P a; Pi = 0.1 M Pa;

q = q{t) = q0 + q i t 2\ go = 2 M P a; qi = 0.1 M Pa.

a) R e s u lts o f n u m e rical c a lc u la tio n for th e sim ply s u p p o rte d cylindrical shell

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Table 3
R

s -1 0 3

h f p* M P a q* M P a cr; M P a

17 17.52 5.329 539.7 32.69 Õ24.2

2 0 17.27 3.961 517.0 31.82 501.9

23 17.03 2.992 495.5 30.99 480.7

25 16.89 2.563 484.2 30.54 469.7

28 16.67 2.060 465.6 29.80 451.5

30 16.49 1.798 450.3 29.19 436.4

33 15.62 1.440 382.8 26.39 370.3

35 14.66 1.173 316.9 23.49 305.9

b ) R e s u lts for th e clam p e d cylin d rical shell

Table ị
R

h t* s -1 0 3 p * M P a qm M P a Ơ' M P a

17 17.60 5.864 547.4 32.98 531.7

2 0 17.33 4.222 522.1 32.02 506.9

23 17.07 3.165 499.4 31.14 484.6

25 16.93 2.671 487.3 30.66 472.7

28 16.71 2.117 468.2 29.91 454.0

30 16.52 1.828 452.5 29.28 438.6

33 15.65 1.446 385.0 26.48 372.5

35 14.68 1.178 318.4 23.55 307.3

T h e ab o v e re su lts le ad us to som e conclusions

1. W e h av e u sed th e B u b n o v -G alerk in m e th o d for solving the e la sto p la stic s ta
b ility p ro b le m o f th e cy lin d rical shells w ith tw o ty p e s of v arious k in em atic b o u n d a ry
c o n d itio n s. In th is p a p e r, th e lin e arly in d e p en d e n ce of th e system s of fu n ctio n s Swij 
axe also in v e stig a te d .

2. F or long shells we have show n th e necessary a n d sufficient c o n d itio n s of
m in im u m .

3. T h e m o re th e sh e ll is th in th e m o re th e value o f critic a l stress in te n sity ơ'u is

sm a ll (see ta b le s 1, 2, 3, 4).

4. T h e c ritic a l lo a d s of th e sim p ly s u p p o rte d cy lin d rical shells su b je c te d to
c o m p lex lo a d in g axe alw ays sm a lle r th a n c ritic a l ones w h en th e cy lin d rical shells are
c la m p e d . T h is re s u lt co rre sp o n d s to th e real p ro p e rty o f m a te ria l (see ta b le s 1, 2,
3, 4).

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

5. T h e o ry o f e la sto p la stic processes c a n be ap p lied to th e sta b ility pro b lem of
cy lin d ric a l shells w h en b o th p re-b u ck lin g a n d p o st-b u ck lin g processes are com pli
ca te d .

T h is p a p e r is c o m p le te d w ith financial su p p o rt from th e N atio n al B asic R esearch
P ro g ra m in N a tu ra l Sciences.

R E F E R E N C E S

1. D ao H uy Bich. T h e o ry o f e la sto p la stic processes, V ietn am N atio n a l U niversity
P u b lis h in g H ouse, H anoi 1999 (in V ietnam ese).

2. V olm ir A. s . S ta b ility o f d efo rm ab le sy stem s. Moscow 1963 (in R ussian).
3. O gib alo v P. M ., K o n tu n o v M. A. P la te s a n d shells, Moscow, 1969 (in R ussian)
4. D ao V an D ung. S ta b ility p ro b le m o u tsid e elastic lim it according to th e th e o ry

o f e la sto p la stic processes. P h . D. T hesis, H anoi 1993 (in V ietnam ese).

5. D ao V an D ung. S olving m e th o d for s ta b ility p roblem of elasto p lastic cylindrical
shells w ith com p ressib le m a te ria l su b je c te d to com plex loading processes. V iet
n a m J o u rn a l o f M echanics, N C S T o f Vol. 23, 2001, No 2, pp. 69-86.

6 . H ill R. P la s tic d e fo rm a tio n a n d in sta b ility in thin -w alled tu b e r u n d er com bined

loadding: a g en e ral theory. J o u rn a l o f M ech. a n d P hys. of Solids 4 7 , 1999,
pp.921-933.

Received M ay 23, 2003

V È BÀ I T O Á N Ổn Đ ỊN H Đ À N D ẺO C Ủ A v ỏ T R Ụ T R Ò N MỎNG
C H ỊU T Ả I P H Ứ C T Ạ P V Ớ I C Á C Đ IỀ U K IỆN B IÊN Đ Ộ N G HỌC KH ÁC NHAU

B à i b áo tr ìn h b à y b à i to á n ổn đ ịnh c ủ a vỏ t r ụ chịu tá c d ụ n g dồng th ờ i cả lực
n én d ọ c đ ư ờ n g sin h v à á p lực ngoài. Đ ã x é t hai d ạ n g điều kiện biên dộng học là
t ự a b ả n lề v à n g à m tạ i X i = 0; X i = L. s ử d ụ n g p h ư ơ n g p h áp B ubn o v -G alerk in dã 
th iế t lậ p d ư ợ c hệ th ứ c dể tìm tả i tớ i h ạ n . Đ iều kiện đủ c ủ a cực tr ị cho vỏ dài dã
d ư ơ c x em x ét. M ôt số k ế t q u ả tín h to á n b ă n g so cũ n g d ư ợ c trin h b a y v a th ả o luạn.

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN HÀ NỘI

KHOA TOÁN Cơ TIN HỌC

Trần Thị Thanh Hà

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ

ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA TẤM MỎNG CHỮ NHẬT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Nsành Cơ học

Cán bộ hướng dẫn: PGS-TS Đào Văn Dũng

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

KHOA TỐN - C ơ - TIN HỌC

Hồng Văn Tùng

NGHIÊN c ứ ư ỔN ĐỊNH TRONG VÀ NGOÀI GIỚI

HẠN ĐÀN HỐI CỦA BẢN MỎNG CHỊU CÁC

LIÊN KẾT BIÊN KHÁC NHAU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành : Cơ học

Cán bộ hướng dẩn: Go.TSKH Đào Huy Bích

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TựNHIÊN

KHOA TOÁN - Cơ - TIN HỌC

Nguyễn Đức Trọng

ỔN ĐỊNH ĐÀN DẺO CỦA MẢNH v ỏ TRỤ

MỎNG CHỊU TÁC DỤNG ĐỔNG THỜI CỦA CÁC

Lực

NÉN THEO HAI PHƯƠNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: c ơ HỌC

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

PHIẾU ĐĂNG KÝ

k ế t

q u ả

n g h iê n

C

ứu

KH-CN

Tên đề tài:

Bài tốn tình và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp"

(Static and dynamic problems ill elastoplastic media subjected

to complex loading processes)

Cơ quan chủ trì đề tài:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, địa chỉ: 334 đường Nguyễn Trãi

Tel: 8.585.277

Cơ quan quản lý đề tài:

Đại học Quốc gia Hà Nội, địa chỉ 144 đường Xuân Thuỷ

Tel: 8.340.564

Tổng kinh phí thực thi:

23.000.000đ (Hai mươi ba triệu đồns)

Trong đó kinh phí của Nhà nước là: 23.000.000đ (Hai mươi ba triệu đồne)

Thời gian nghiên cứu: Năm 2002 và 2003

Tên các cán bộ phối hợp:

1. GS.TSKH. Đào Huy Bích, trường ĐH KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội

Sỏ đăng ký đề tài:

Số chứng nhận kết quả

Bảo mật:

nghiên cứu:

a) Phổ biến rộng rãi

b) Phổ biến hạn chế

c) Bảo mật

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Đã nghiên cứu các vấn đề sau đây:

1. Bài tốn ổn định đàn dẻo của vỏ trịn xoay.

2. Bai toan ổn đụih của manh vỏ trụ theo lý thuyết quá trình đàn dẻo.

3. On đinh đàn dẻo của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với các điều kiện

biên động học khác nhau.

4. Phương pháp sô để giải một sơ bài tốn ổn định.

5. Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.

. Ưng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu hiện tượng mất

Ổn định khí động.

Đã đăng 3 bài báo ở Tuyển tập các cơng trình Hội nghị Cơ học toàn

quốc lần thứ VII, Hà Nội, tháng 12 nãm 2002 và 1 bài báo ở Tạp chí Khoa học

ĐHQG tập 21, số 3, năm 2003 và 1 bài báo ở Tạp chí Cơ học tập 25, sô 1,

năm 2003 và 1 bài đã nhận đăng

ở

Tạp chí Cơ học năm 2004.

- Kết quả đào tạo: Góp phần đào tạo 3 sinh viên tốt nghiệp.

Kiến nghị về quy mô và đối tượng áp dụng nghiên cứu:

* Đề tài góp phần nâng cao chun mơn và đào tạo sinh viên, cao học,

nghiên cứu sinh.

* Góp phần vào việc nghiên cứu các vấn đề ổn định của các kết cấu

trong xây dựng, kiến trúc, giao thông v.v...

Chủ nhiệm 
đề tài

Thủ trưởng cơ quan 
chủ trì đề tài

Họ tên Đào V ăn Dũng

Học hàm PGS.TS

Học vị

Có ĩ?

Chù tịch Hội đồng 
đánh giá chính thức

Thủ trưởng cơ quan 
quản lý đề tài

p & t f u . k y

</div>

Bài toán tĩnh và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

<b>n ọ c </b>

<b>* * *</b>

<b>BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG </b>

<b>CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO </b>

<b>CHỊU TẢI PHỨC TẠP</b>

<b>M ã số: Q T - 02 - 02</b>

<i><b>Ko 0T U ầ ?</b></i>

<b>A. </b>

<b>BÁO CÁO KẾT QUẢ THƯC HIỆN ĐE </b>

<b>t à i</b>

<b>NĂM 2002 và 2003</b>

<b>1. Tên đề tài:</b>

<i><b>"Bài tốn ữnh và động của mơi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp" </b></i>

<i><b>(Static and dynamic problems in elastoplastic media subjected </b></i>

<i><b>to complex loading processes)</b></i>

<b>Mã số: QT - 02 - 02</b>

<b>2. Chủ trì đề tài: PGS.TS. ĐÀO VÃN DŨNG</b>

<b>3. Cán bộ tham gia: GS. TSKH. ĐÀO HUY BÍCH, trường ĐHKHTN</b>

<b>4. M ục tiêu và nội dung nghiên cứu:</b>

<b>Trong thực tế người ta thấy rằng nhiều kết cấu bị mất khả năng làm việc </b>

<b>không phải do không đủ độ bền mà do bị mất ổn định mạc dù thời gian làm </b>

<b>việc của chúng chưa nhiều. Do vậy nghiên cứu vấn đề ổn định của các kết cấu </b>

<b>thành mỏng được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.</b>

<b>Đặc biệt các vấn đề ổn định của bản và vỏ mỏng đàn - dẻo chịu tải phức </b>

<b>tạp còn có ít cơng trình nghiên cứu. Do vậy đề tài này nhằm giải quyết các bài </b>

<b>tốn sau đây:</b>

<b>* Ơn định đàn dẻo của vỏ trịn xoay.</b>

<b>* Ơn định của mảnh vỏ trụ tròn theo lý thuyết q trình đàn dẻo.</b>

<b>* Ơn định đàn dẻo của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với các điểu kiện biên </b>

<b>động học khác nhau.</b>

<b>* Các tính tốn bằng số cho một số bài toán ổn định.</b>

<b>* Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.</b>

<b>* ứng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu hiện tượng mất ổn </b>

<b>định khí động.</b>

<b>5. Các kết quả đạt được.</b>

<i><b>a) B ài toán ổn định của vỏ tròn xoay: Bài toán ổn định của vỏ đàn hồi </b></i>

<b>tròn xoay đã được nghiên cứu, tuy nhiên với vỏ đàn - dẻo đang cịn ít được </b>

<b>quan tâm. Vì vậy trong cỏng trình này tác giả đã sử dụng lý thiiyết quá trình </b>

<b>đàn - dẻo dể thiết lập các hệ thức cơ bản cho bài toán ổn định vỏ tròn xoay</b>

<b>đàn - dẻo chịu tải phức tạp. Đã khảo sát bài toán ổn định của bản tròn và vỏ </b>

<b>cầu. Từ biểu thức của lực tới hạn có thể nhận lại kết quả của Timoshenco và </b>

<b>Hutchinson cho vỏ đàn hồi. Phương pháp đề xuất phù hợp, khoa học và có độ </b>

<b>tin cậy cao.</b>

<i><b>b) Vê' vấn đ ề ổn định của mảnh vỏ trụ tròn đàn - dẻo.</b></i>

<b>Trong bài báo, tác giả dựa trên tiêu chuẩn rẽ nhánh trạng thái cân bằng </b>

<b>và phương pháp Bubnop - Galerkin đã nghiên cứu hai vấn đề sau đây:</b>

<b>* Thiết lập hệ phương trình ổn định của mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu nén dọc </b>

<b>theo đường sinh, giải bài toán, đưa ra hệ thức chung của lực tới hạn đồng thời phân </b>

<b>tích chi tiết các trường hợp riêng cho phép nhận được kết quả cụ thể hơn.</b>

<b>* Giải bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt bằng phương pháp </b>

<b>Bubnop - Galerkin, dẫn ra được hệ phương trình đại số của Am . Từ đó nghiên </b>

<b>cứu lực tới hạn ở các gần đúng thứ nhất, thứ hai và thứ ba.</b>

<i><b>c) Về sự ổn định của mảnh vỏ trụ đàn dẻo chịu tải phức tạp với liên kết </b></i>

<i><b>biên tựa bản lề và liên kết biên ngàn.</b></i>

<b>* Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.</b>

<b>* Giải bài tốn bằng phương pháp Bubnov - Galerkin.</b>

<b>* Xây dựng hệ thức tìm lực tới hạn cho mảnh trụ dài.</b>

<i><b>d) Phương pháp s ố cho bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt:</b></i>

<b>Trong cơng trình này tác giả đã sử dụng công cụ máy tính để tính tốn</b>

<b>bằng số cho một số dạng kết cấu cụ thể là mảnh vỏ trụ thép 30XTCA. Đã </b>

<b>nhận được các bảng số liệu tính tốn, từ đó đưa ra những nhận xét. Kết quả </b>

<b>khá phù hợp với tính chất cơ học của kết cấu.</b>

<i><b>e) Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.</b></i>

<b>* Khảo sát xem trường hợp nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.</b>

<b>* Trường hợp nào khơng có nghiệm đúng và cách tìm nghiệm gần đúng.</b>

<i><b>f ) ứng dụng phương trình Var der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất </b></i>

<i><b>ổn định khí động.</b></i>

<i><b>* Sử dụng phương pháp tựa cân bằng điều hoà để nghiên cứu tính chất </b></i>

<b>nghiệm của phương trình.</b>

<b>* Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức.</b>

<b>* Điều kiên mất ổn định khí động.</b>

<b>Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trẽn các bài báo và báo cáo </b>

<b>khoa học sau:</b>

<b>Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích, ứng dụng phương trình Van der pol </b>

<b>để nghiên cứu hiện tượng mất ổn đinh khí động. Tuyển tập các cơng trình </b>

<b>Hội nghị Cơ học Tồn quốc lần thứ v n , Hà Nội, 12-2002.</b>

<b>2. Đào Văn Dũng, v ề bài toán ổn đinh của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá</b>

<b>trình đàn - dẻo. Tuyển tập các cơng trình Hội nshị Cơ học toàii quốc lần</b>

<b>thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.</b>