bài tập ôn tập môn toán trong thời gian học sinh nghỉ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.61 MB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
I, Nguyên hàm

A- Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất 
1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số xác định trên Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên
nếu:

— Nếu là một nguyên hàm của trên thì họ nguyên hàm của hàm số trên là:

2. Tính chất: Nếu là 2 hàm số liên tục trên và thì ta ln có:

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 




 
 


 
 




♦ Nhận xét. Khi thay bằng thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
Một số lưu ý

1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.

2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số khơng bao giờ bằng tích (thương) của các 
nguyên hàm của những hàm thành phần.

( )

f x K. F x( ) f x( ) K

( ) ( ), .

F x  f x  x K

( )

F x f x( ) K f x( ) K

( ) ( ) , .

f x dx F x C const C 





( ), ( )

f x g x K k  0





f x dx( ) f x( )C. 



kf x dx( ) k



f x dx( ) .




f x( )g x dx( ) 



f x dx( ) 



g x dx( )

x

x dx C








  





( ) 1 ( ) 1

n

n ax b

ax b dx C

a n



    





dx x C

x   



1 dx 1 lnax b C

ax b   a  



1 1

dx C

x
x    



1 1 1

(ax b) dx   a axb C



sinx dx  cosx C



sin(ax b dx) cos(ax b) C
a

    



cosx dx sinx C



cos(ax b dx) sin(ax b) C
a

     



cot
sin x dx   x C



1 1

cot( )
sin (axb)dx  a ax b C



tan
cos x dx  x C



1 1

tan( )

cos (ax b)dx a ax b C



x x

e dx e C



eax b dx 1 eax b C

a

     



x

x a

a dx C

a

  



2 2

1
ln
2

dx x a

C

a x a

x a



  






x (ax b) 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của 
những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).

2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Dạng tốn 1. TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM

Dạng tốn 2. TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 
Định lý: Cho và là hàm số có đạo hàm liên tục thì

1. Đổi biến số dạng 1: đặt

với

Đặt trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.

Đặt

Đặt
Đặt

Đặt

( ) ( )

f u du F u C



u u x( )

( ) ( ) ( ) .

f u x u x dx  F u x  C



( ).

t  x

 1

2 2

( ) .

1 ( 1) . ,

( ) 2 .

PP
n

m

n

PP n n

n

PP
n

I f ax b xdx t ax b dt a dx

x

I dx t x dt n x dx

ax

I f ax b xdx t ax b dt ax dx




        




 

  

          

   


        






, .

m n  

 I 



n f x( )f x dx( )  PP  t  n f x( ),



1
(ln )

1
( ln )

I f x dx

x

I f a b x dx

x



   




    






PP

  ln

t x

t a b x

 

 

  


 ( )x x

I 



f e e dx  PP  t ex.

 I 



f(cos ) sinx  xdx  PP  t cosx dt  sinxdx.

 I 



f(sin ) cosx  xdx  PP  t sinx dt cosxdx.

 (tan ) 12

cos

I f x dx

x





  PP  2

tan (1 tan ) .

cos

t x dt dx x dx

x

    

 (cot ) 12

sin

I f x dx

x





  PP  2

cot (1 cot ) .

sin

t x dt dx x dx

x

       

 I  f(sin ; cos ) sin 22x 2x  xdx



 PP 

2
2

sin sin 2

cos sin 2

t x dt xdx

   

 

    



 I 



f(sinx cos ) (sinx  x cos )x dx  PP  t  sinx cos .x

1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa khai triển.
2. Tích các hàm mũ khai triển theo công thức mũ.
3. Chứa căn chuyển về lũy thừa.

4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin khai triển theo công thức tích thành tổng.

5. Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Đổi biến số dạng 2: đặt

Đặt

Đặt với

Đặt

Dạng tốn 3. TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUN HÀM TỪNG PHẦN

Dạng tốn 4. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm với và là các đa thức không căn.
( ).

x  t

 I  f a( 2 x2)x dx2n



 PP  x a.sint dx a.cos . .t dt

 I  f( x2 a2)x dx2n



 PP 

.tan

cos

adt

x a t dx

t

   

 I  f( x2a2)x dx2n



 PP 

sin

cos cos

a a t

x dx dt

t t

    



( ) .n
dx
I

x a ax bx c



  



 PP 

1 dt

x a dx

t t

     

 I  Rn1axb,...,nkax b dx

 

 



 PP  tn axb





1 2

. . . ; ;...; k

n B C N N n n n 

 ( )( )

dx
I

x a x b



 



PP
 

0
khi

0
0
khi

x a

t x a x b

x b

x a

t x a x b

x b

 

   

 

     

   

 

  

 

   

 

       

   

 

 



( )
,

( )

P x

I dx

Q x





 P x( ) Q x( )

Định lý: Nếu hai hàm số và có đạo hàm và liên tục trên thì
hay

Vận dụng giải tốn:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác

— Đặt: Suy ra:

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và phần còn lại. Nghĩa là nếu có

ln hay thì chọn hay và còn lại. Nếu khơng

có thì chọn đa thức và cịn lại. Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn
lượng giác,….

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Phương pháp giải:

— Nếu bậc của tử số bậc của mẫu số Chia đa thức.

— Nếu bậc của tử số bậc của mẫu số Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các
phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

với

+ Nếu mẫu số khơng phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác). 
B- Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 
Câu 1. Nguyên hàm F x

 

của hàm số

 

2 2 32

5 2

f x

x x x

  

 là hàm số nào?

A. F x

 

ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

      . B. F x

 

ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

      .

C. F x

 

ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

     . D. F x

 

ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

      .

Câu 2. Cho f x( ) x3 3x22x. Một nguyên hàm ( )F x của ( )f x thỏa F

 

1 0 là: 
A.

3 2 1

4 4

x

x x

    B.

3 2 1

4 4

x

x x

   

C.

3 2 1

x

x x

    D.

3 2 1

x

x x

   

Câu 3. Kết quả của





2 1

x x  dx



bằng:

A.





3
2

1
( )

x

F x   C B.





3
2

1
( )

x

F x   C

C.

2 3

( )

2 3

x x

F x   xC



  D.





2 3

( ) 1

x

F x  x  C

Câu 4. Tìm họ nguyên hàm F x

 

của hàm sốf x

 

 3x2 – 3x, ta được kết quả là:
( )

P x  Q x( )  PP 

( )

P x  Q x( )  PP 

1 1

( ) ( )

a b

ax m bx n an bm ax m bx n

 

 

    

       

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B m

mx n A B A B x Ab Ba

Ab Ba n

x a x b x a x b x a x b

  

     

      

 

        

2 2

( ) ( )

A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c



  



     

2 4 0.

b ac

   

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b

x a x b x a x b

     

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A. ( ) 3 3
ln 3

x

F x x  C B. ( ) 3 3

ln 3

x

F x x  C

C.

3 3

( )

3 ln 3

x

F x   C D.

3 3

( )

3 ln 3

x

F x   C

Câu 5. Nguyên hàm của hàm sốf x( )(12 )x 5 là:

A. 1 (1 2 )6

12 x C

   B. (12 )x 6 C

C. 5(12 )x 6C D. 5(12 )x 4 C
Câu 6. Tìm hàm số f x

 

biết rằng f x’

 

2x 1 và f

 

1 5

A. x2   x 3 B. x2   x 3 C. x2  x D. Kết quả khác 
Câu 7. Tìm hàm số y  f x( ) biết f x( )(x2 x x)( 1) và (0)f  3

A.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y  f x    B.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y f x   

C.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y  f x    D. y  f x( )3x21

NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) 
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số ( ) 1

2x 1

f x 

 là

A.



f x d

 

x  2x 1 C. B.



f x d

 

x 2 2x 1 C .

C.

 

x 2x 1

f x d   C



. D.



f x d

 

x  2 2x 1 C .

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1
3

f x

x



 .

A.



f x d

 

x  2 3 x C. B.



f x d

 

x  3 x C.

C.



f x d

 

x 2 3 x C. D.



f x d

 

x  3 3 x C.

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x  2x . 1
A.

 

x 1



2x 1 2x



f x d    C



. B.

 

x 2



2x 1 2x



f x d    C



C.

 

x 1 2x 1

f x d    C



. D.

 

x 1 2x 1

f x d   C



Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 3x  . 2
A.

 

x 3





3 2

f x d  x x  C



. B.

 

x 3





3 2

f x d   x  x C



C.

 

x 2





f x d  x  x 



. D.

 





2
3

x 2

f x d  x   C



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A.

 





1
2

f x  x  x  B.

 





f x  x  x   C

C.

 





1
5

f x  x  x  D. f x

  

 x 1



x  1 C
Câu 13. Biết một nguyên hàm của hàm số

 

1 1

1 3

f x

x

 

 là hàm số F x

 

thỏa mãn

 

2
1

F   . Khi

đó F x

 

là hàm số nào sau đây?

A.

 

2 1 3x 3

F x  x   B.

 

2 1 3x 3

F x  x  

C.

 

2 1 3x 1

F x  x   D.

 

4 2 1 3x

F x   

Câu 14. Biết ( )F x 6 1 là một nguyên hàm của hàm số x ( )
1

a
f x

x



 . Khi đó giá trị của a bằng

A. 3. B. 3. C. 6. D. 1

6 .
Câu 15. Tính 1 1

2dx

x

 

  

 

 



A.

2 2

x x

C

  B. 2

x

x  C C. 1 1

2 x  x C D.

2
2

x
C

x  

NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 16. Cho hàm số ( )f x 2x sinx 2 cosx. Một nguyên hàm ( )F x của ( )f x thỏa (0)F  là: 1
A. x2cosx2 sinx 2 B. x2 cosx2 sinx  2

C. 2cosx 2 sinx D. x2 cosx2 sinx 2
Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f x( ) tan2x là:

A.

tan
3

x

B.

tan 1

.
3 cos

x

x C. tan xx D. 3

2 sin
cos

x
x

Câu 18. Một nguyên hàm của hàm số f x( ) cos4x sin4x là:
A. cos 2x B. 1sin 2

2 x C. 2 sin 2x D.

cos x 
Câu 19. Biết F x( )





1tan2x dx



khi đó ( )F x là:

A. ( ) 12
cos

F x C

x

  B. ( )F x tanx C

C. ( )F x tanx C D. ( )F x cotx C

Câu 20. Gọi F x là nguyên của hàm số 1( ) f x1( )sin2x thỏa mãn F1(0) và 0 F x là nguyên của hàm số 2( )

2( ) cos

f x  x thỏa mãn F2(0) . Khi đó phương trình 0 F x1( )F x2( ) có nghiệm là:

A. ,

x   k k Z B. ,

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y cos . sin2x x là: 
A. 1cos3

3 x  C B.

cos x C

  C. 1sin3

3 x  C D. Đáp án khác. 
Câu 22. Một nguyên hàm của hàm số: y cos 5 .cosx x là:

A. F x

 

 cos 6x B. F x

 

sin 6x
C. 1 1sin 6 1sin 4

2 6 x 4 x

 

  

 

 

  D.

1 sin 6 sin 4

2 6 4

x x

 

 

   

 

Câu 23. Tìm



(sinx 1) cos3 xdx là:
A.

(cos 1)
4

x

C



 B.

sin
4

x
C

 C.

(sin 1)
4

x

C



 D. 4(sinx 1)3 C
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y sin3x.cosx là:

A. ( ) 1sin4
4

F x  x  C B. ( ) 1sin4

F x   x C

C. ( ) 1cos4
4

F x  x  C D. ( ) 1cos4

F x   x  C

Câu 25. Nguyên hàm của hàm số: y = 2cos 2 2
sin .cos

x
dx

x x



là:

A. F x

 

 cos – sinx x C B. F x

 

 cosx sinx C
C. F x

 

 cot – tanx x C D. F x

 

 cot – tanx x C
Câu 26. Tìm nguyên hàm 2 1 2

sin .cosx xdx



A. 2 tan 2x C B. 2cot2x C C. 4cot2x C D. 2cot2x C
NHĨM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )ex ex

A.



f x d

 

x ex ex C . B.



f x d

 

x   ex ex C .
C.



f x d

 

x ex ex C. D.



f x d

 

x   ex ex C .
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )2 .3x 2x.

A.

 

x 2 . 1

9 ln 2 ln 9

x

f x d      C

 

 



. B.

 

x 9 . 1

2 ln 2 ln 9

x

f x d      C

 

 



C.

 

x 2 . 1

3 ln 2 ln 9

x

f x d      C

 

 



. D.

 

x 2 . 1

9 ln 2 ln 9

x

f x d      C

 

 



Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm sốf x( )ex(3ex)
là

A. F x( )3ex  x C . B. F x( )3ex ex lnex C .
C. F x( ) 3ex 1x C

e

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) e4x 2

.
A.

 

x 1 2x 1

f x d  e  C



. B.



f x d

 

x e2x 1 C.

C.

 

x 1 4x 2
2

f x d  e  C



. D.

 

x 1 2x 1

f x d  e  C



Câu 31. Tính



(3 cosx 3 )x dx , kết quả là:
A. 3 sin 3

ln 3

x

x  C B. 3 sin 3
ln 3

x

x C

   C. 3 sin 3

ln 3

x

x  C D. 3 sin 3
ln 3

x

x C

  

Câu 32. Hàm sốF x

 

ex tanx C

là nguyên hàm của hàm số ( )f x nào?

A. ( ) 12

sin

x

f x e

x

  B. ( ) 12

sin

x

f x e

x

  C. ( ) 12

cos

x

f x e

x

  D. Kết quả khác 
Câu 33. Nếu



f x dx( ) ex sin 2x C thì ( )f x bằng

A. ex cos 2x B. ex cos 2x C. ex 2 cos 2x D. 1cos 2
2

x

e  x

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 

 

2x 4x.

A.

 

2
2

( )

ln 2 ln 2

x
x

F x   C B. ( ) 2



1 2 1



ln 2

x

F x    C

C. ( ) 2 1 4
ln 2 ln 2

x x

F x    C



  D.





( ) 1 2

2 ln 2

x

F x   C.

Câu 35. Tìm ex 3 52x

x e

 

  

 

 



A. ( ) 3 14
2

x

F x e C

x

   B. ( ) 3 14

x

F x e C

x

   

C. ( ) 3 14
2

x

F x e C

x

   D. ( ) 3 14

x

F x e C

x

   

NHÓM 5: HÀM PHÂN THỨC 
Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số 3 5

x
y

x




 là:

A. F x( )3x 4 ln x  2 C B. F x( ) 3x lnx  2 C
C. F x( )3x lnx  2 C D. F x( )3x lnx  2 C
Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số ( )

x
f x

x



 là:

A. lnx 1 B. x ln x 1 C. x lnx 1 D. 2 ln x 1
Câu 38. Cho hàm số

2
2

2 1

( )

2 1

x x

f x

x x

 



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A. 2 2
1

x
x
 
 B. 
2
2
1
x
x
 

 C.





2 ln 1

x  x  D. 2 2

x
x

 



Câu 39. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

 









2
1
x x
f x
x


 ?
A. 
2 1
1
x x
x
 
 B. 
2 1
1
x x
x
 
 C. 
2
1
x

x  D.

2 1
1

x x
x
 


Câu 40. Cho hàm số

 





2
2
3
1
x
f x
x


 . Một nguyên hàm F x

 

của f x

 

thỏa F

 

1  4 là :
A.

2 ln 4

x

x
x

   B.

2 ln 4

2 2
x
x
x
  
C. 
2
2
2

2 ln 4

x

x
x

   D. F x

 

x3 2x C

Câu 41. Nguyên hàm của hàm số

 

3 1
1
x
f x
x



 là:
A.

 

3 2

2 ln 1

3 2

x x

F x    x x  C B.

 

3 2

2 ln 1

3 2

x x

F x    x x  C

C.

 

3 2

ln 1

3 2

x x

F x    x x  C D.

 

3 2

2 ln 1

3 2

x x

F x    x x  C

Câu 42. Gọi hàm số ( )F x là một nguyên hàm của

3 2

3 3 1

( )

2 1

x x x

f x

x x

  



  , biết

1
(1)

F  . Vậy ( )F x là:

A.

2 2 13

( )

2 1 6

x

F x x

x

   

 B.

2 2 13

( )

2 1 6

x

F x x

x

   

C. 
2 1
( )
2 1
x

F x x C

x
   
 D. 
2 2
( )
2 1
x

F x x

x

  


Câu 43. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

2 2 1

( ) x x

f x

x

 

 biết (1) 1

F  . Kết quả là:
A.

( ) 2 ln 2

x

F x   x  x  B.

( ) 2 ln 2

x

F x   x  x 

C.

2 1

( ) 2 ln

2 2

x

F x   x  x  D.

2 1

( ) 2 ln

2 2

x

F x   x  x 

Câu 44. Ta có:





3 2

3 3 3

( ) 2

1 2

3 2 1

A

x x A B C

f x B

x x

x x x

C
 

  

     
 
    

.

Tính



f x dx( ) F x( )C, ta được kết quả là:
A.





3 2 1

( )

1 1 2

F x C

x x x

   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

B. ( ) 3 2 ln 1 ln 2
1

F x x x C

x

      



C. ( ) 3 ln 1 2 ln 2

F x x x C

x

     



D. ( ) 3 ln 1 2 ln 2 1

F x x x C

x

      


Câu 45. Nguyên hàm của hàm số f x( ) 1 12

x x

  là :

A. lnxlnx2  C B. ln x 1 C

x

  C. ln x 1 C

x

  D. Kết quả khác 
Câu 46. Tính nguyên hàm 1

2x 1dx



ta được kết quả sau:
A. 1ln 2 1

2 x  C B. ln 2x  1 C C. 
1

ln 2 1

2 x C

   D. ln 2x  1 C

Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f x

 

4
2

2x 3

x


là :
A.

2 3

x

C
x

  B.

3
2

2 3

x

C
x

  C.

3 ln
3

x

x C

  D. Kết quả khác

Câu 48.Kết quả của 1 2

x
dx
x





là:
A. 1 x 2  C B.

1 x C




 C. 2

1x C D.

1 x C

  

Câu 49. Một nguyên hàm F(x) của hàm số

 

2 5

f x
x



 là
A. ( ) 1ln 2 5 2016

F x  x   B. F(x)ln 2x 5

C.





2
( )

2 5

F x

x

 

 D.





( )

2 5

F x

x

 

Câu 40.Nguyên hàm của hàm số

 





1
1 2

y f x

x

 

 là:
A.

 

1. 1

2 1 2

F x C

x



 

 B.

 





ln 1 2

F x   x C

C.

 

1. 1
2 1 2

F x C

x

 

 D.

 

1
1 2

F x C

x



 



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 1. Tính

2 5

x

dx

x x



 



A.

2 2

2 5

x

C

x x

 

  B.

2 x 2x  5 C

C.

2 2 5

x x

C

  

D. x22x   5 C

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số

 

2 1

x
f x

x



 là

A. F x

 

 ln x2  1 C B. F x

 

 x2  1 C
C. F x

 

2 x2  1 C D.

 





3 1

F x C

x

 


Câu 3. Một nguyên hàm của hàm số f x

 

cos .x esinx là

A. F x

 

esin x B. F x

 

ecos x C. F x

 

esin x D. F x

 

sin .x esinx
Câu 4. Cho hàm số

 





2016

2 1

f x x x  . Khi đó :

A.

 





2017

2 1

4034

x

f x dx   C



B.

 





2016

2 1

4032

x

f x dx  



C.

 





2016

2 1

2016

x

f x dx  



D.

 





2017

2 1

2017

x

f x dx  



Câu 5. Hàm số F x

 

ex2 là nguyên hàm của hàm số

A. f x

 

2xex2 B. f x

 

e2x C.

 

x
e
f x

x

 D. f x

 

x e2 x2 1
Câu 6. Kết quả của



cosx s inx 1dxbằng:

A. ( ) 2



s in 1



3
3

F x  x  C B. ( ) 2



s in 1



F x   x  C

C. ( ) 2



s in 1



F x  x   C D.





( ) s in 1

F x  x   C

Câu 7. Kết quả của

x
x
e

dx
e 



bằng:

A. F x( ) ex  3 C B. F x( )2 ex  3 C

C. F x( )ex  3 C D. ( )

x
x

e

F x C

e x

 


Câu 8. Hàm số f x( ) lnx

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. F x( )ln2x C B. ( ) 1ln
2

F x  x  C

C. ( ) 1ln2
2

F x  x C D. ( ) 12

F x C

x x

 

Câu 9. Hàm số ( ) ln (1 )
ln

x

f x x

x x

  có các nguyên hàm là:

A. F x( )ln2x x2 C B.

2 2

ln
( )

x x

F x   C

C.

ln
( )

x

F x  x C D.

( ) ln (ln )

2 ln

x

F x x x C

x

  

Câu 10. Gọi F x là nguyên của hàm số ( )

( )
8

x
f x

x



 thỏa mãn F(2) . Khi đó phương trình 0
( )

F x  có nghiệm là: x

A. x 0 B. x 1 C. x  1 D. x  1 3

Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số:

3
2

x
y

x



 là:

A. F x( )x 2x2 B. 1



2 4



2 2

3 x x

  

C. 1 2 2 2

3x x

  D. 1



2 4



2 2

3 x x

  

Câu 12. Tìm nguyên hàm F x

 

biết

2
( )

x
f x

x x



  . Kết quả là:
A. ( ) 2 3 2



2 1



2 1

3 3

F x  x  x  x  B. ( ) 2 3 2



2 1



2 1

3 3

F x  x  x  x 
C. ( ) 2 3 2



2 1



2 1

3 3

F x  x  x  x  D. ( ) 2 3 2



2 1



2 1

3 3

F x  x  x  x 

Câu 13. Tìm nguyên hàm F x

 

biết ( ) sin

sin cos

x
f x

x x



 . Kết quả là:
A. ( ) 1



ln sin cos



F x  x  x  x  C B. ( ) 1



ln sin cos



F x  x  x  x C

C. ( ) 1



ln sin cos



F x  x  x x  C D. ( ) 1



ln sin cos



F x  x  x x  C

Câu 14. Tính nguyên hàm xex21dx



, ta được:
A. ( ) 1 2 1

x

F x  e   C

B. ( ) 1 2 1
2

x

F x  e   C

C. ( ) 1 2 1
2

x

F x   e   C

D. ( ) 1 2
2

x

F x  e  C

Câu 15. Tính 2 x ln 2dx

x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

A. F x( )2 2



x   1



C B. F x( )2 2



x   1



C
C. ( )F x 2 x  C D. F x( )2 x1  C

Câu 16. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của

1
( )

f x

x



 ?
A.

( )

x
F x

x

 

 B.

( ) ln 1

F x  x

C. F x( )ln



x  1x2



D. F x( )ln



x 1x2



Câu 17. Tìm cos20

sin

x
dx
x



A. ( ) 119

19 sin

F x C

x

   B. ( ) 119

19 sin

F x C

x

 

C. ( ) 119

19 cos

F x C

x

   D. ( ) 119

19 cos

F x C

x

 

Câu 18. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )

x
x

e
f x

e



 thỏa F

 

0  ln 3 là
A. F x( )ln



ex 2



ln 3 B. F x( )ln



ex 2



ln 3
C. F x( )ln



ex 2



2 ln 3 D. F x( )ln



ex 2



2 ln 3
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )e3 cosx. sinx

A. ( ) 1 3 cos .cos

x

f x dx  e x C



B.



f x dx( ) 3e3 cosx C

C. ( ) 1 3 cos

x
f x dx   e C



D.



f x dx( ) 3e3 cosx.cosx C

Câu 20. Nguyên hàm của hàm số: x
2x 1 4

d

I  

 



là:

A. F(x) = 2x 1 4 ln 2x 1



 4



 C
B. F(x) = 2x 1 4 ln 2x



 1 4



 C
C. F(x) = 2x 1 4 ln 2x



 1 4



 C
D. F(x) = 2x 1 7ln



2x 1 4



2 C

    

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số:

( ) x

x

x x e

y dx

x e








là:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 22. Nguyên hàm của hàm số: y 2dx 2

x a







là:

A. 1 ln
2

x a

a x a



 +C B. 
1

ln
2

x a

a x a



 +C C. 
1

ln x a

a x a



 +C D. 
1

ln x a

a x a


 +C
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số: y 2dx 2

a x







là:

A. 1 ln
2

a x

a a x



 +C B. 
1

ln
2

a x

a a x



 +C C. 
1

ln x a

a x a



 +C D. 
1

ln x a

a x a



 +C
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số: y 



x 4x 7 dxlà:

A.









5 3

2 2

1 2 2

4 7 7 4 7

20 5 x 3 x C

 

     

 

  B.









5 3

2 2

1 2 2

4 7 7 4 7

18 5 x 3 x C

 

      

 

 

C.









5 3

2 2

1 2 2

4 7 7 4 7

14 5 x 3 x C

 

     

 

  D.









5 3

2 2

1 2 2

4 7 7 4 7

16 5 x 3 x C

 

     

 

 

DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 
Câu 1. Một nguyên hàm của hàm số f x( )xex là:

A. ex  C B. e xx



1



C C. e xx



1



C D.

x

e C

Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số f x( )(x2 2 ).x ex là:
A. (2x 2).ex

B. x e 2 x C. (x2 x e). x D. (x22 ).x ex
Câu 3. Cho hàm số f x( )x e. x. Một nguyên hàm ( )F x của ( )f x thỏa (0)F  là: 1

A.  (x 1)ex 1 B.  (x 1)ex 2 C. (x 1)ex 1 D. (x 1)ex 2

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f x( )xex2 là hàm số:
A. F x( )2ex2 B. ( ) 1 2

x

F x  e C. F x( )2x e2 x2 D. F x( )ex2 xex2

Câu 5. Cho

( ) ln

x

f x 



tdt. Đạo hàm '( )f x là hàm số nào dưới đây?

A. 1

x B. ln x C.

ln x D. 1ln2
2 x 
Câu 6. Hàm số ( )f x (x 1)sinx có các nguyên hàm là:

A. ( )F x (x 1)cosx s inx  C B. ( )F x   (x 1)cosx s inx  C
C. ( )F x   (x 1)cosxs inx  C D. ( )F x (x 1)cosx s inx  C
Câu 7. Gọi hàm số ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x xcos 3x , biết (0)F  . Vậy ( )1 F x là:

A. ( ) 1 sin 3 1cos 3

3 9

F x  x x  x C B. ( ) 1 sin 3 1cos 3 1

3 9

F x  x x  x 

C. ( ) 1 2sin 3
6

F x  x x D. ( ) 1 sin 3 1cos 3 8

3 9 9

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 8. Tìm



xcos 2xdx là:
A. 1 sin 2 1cos 2

2x x 4 x  C B.

1 1

sin 2 cos 2

2x x 2 x  C
C.

2sin 2

x x

C

 D. sin 2x C

Câu 9. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 
A.

2.cos

sin

x x

x xdx  C



B



xsinxdx  xcosx sinx C

C.



xcosxdx xsinx cosx C D. sin 2 cos 2 1sin 2

2 4

x x

x xdx    x C



Câu 10. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.

3 1 3

3 9

x

x xe x

xe dx   e C



B.



xe dxx xex ex C

C.

.
2

x x x

xe dx  e C



D. xx dx xx 1x C

e e e



  



Câu 11. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.



lnxdx xlnx  x C B. ln xdx 1 C

x

 



C.

2 2

ln ln

2 4

x x

x xdx  x C



D.

3 3

2ln .ln

3 9

x x

x xdx  x  C



Câu 12. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.



ln2xdx xln2x 2



xlnx x



C B.

2 ln

x

xdx  C



C. ln2xdx lnx 1 C

x x

x



  



D. ln3 ln2 12

2 4

x x

dx C

x x x



  



Câu 13. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. 2 2 12

2 4

x x x

x x

dx C

e e e



  



B.



xe dxx  xex ex C

C.

3 1 3

3 9

x

x xe x

xe dx   e C



D.

2 . 2

x x x

xe dx  e C



Câu 14. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.

2ln .1

x

x xdx C

x

 



B.

3 3

2ln .ln

3 9

x x

x xdx  x  C



C.





x  1x dx2



xln



x  1x2



 1x2 C

D. sin



sin cos



x

x e x x

e xdx   C



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

A. ( ) .cos 2





1.sin 2





2 4

x

f x dx   x   x  C



B.





( ) .cos 2 1

x

f x dx   x  C



C. ( ) .cos 2





1.sin 2





2 4

x

f x dx  x   x  C



D. ( ) .cos 2





1.sin 2





2 2

x

f x dx   x   x  C



Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )x.ln 1



x



A.

( )

2( 1)

x

f x dx C

x

 





B.





( ) ln 1 ln(1 )

2 6

x

f x dx  x  x x C



C. ( ) 1



2 1 .ln 1







1 2

2 4 2

x
f x dx  x  x  x  C



D.





1 1

( ) ln 1 ln( 1)

2 4 2 2

x x

f x dx  x  x   x  C



Câu 17. Nguyên hàm của hàm số: I 





x 2 sin 3



xdx là:
A. F(x) =



2 cos 3



1sin 3

3 9

x x

x C



   B. F(x) =



2 cos 3



1sin 3

3 9

x x

x C



 

C. F(x) =



2 cos 3



1sin 3

3 9

x x

x C



   D. F(x) =



2 cos 3



1sin 3

3 3

x x

x C



  

II, TÍCH PHÂN 
Khái niệm tích phân

① Cho hàm số liên tục trên và Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên
thì được gọi là tích phân của từ đến và được kí hiệu là Khi đó:

với gọi là cận dưới, là cận trên.

② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho , nghĩa là:

③ Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn

bởi đồ thị của trục và hai đường thẳng là:

Tính chất của tích phân 
( )

f x

K

a b, K. F x( ) f x( )

K

F b( )F a( ) f x( ) a

b



( ) .

b

a

f x dx





( )  ( )  ( ) ( ) ,
b

b
a
a

I f x dx F x F b F a a

b

x





( ) 



( ) 



( )    ( ) ( ).

b b b

a a a

I f x dx f t dt f u du F b F a

 ( )

y f x a b;  S

 ( ),

y f x Ox x a x, b 



( ) 

b

a

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 và  với

 

Dạng toán 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 
Câu 1. Nếu



 



0 f x dx 10 và



 


4

0 f x dx 7 thì



 

4 f x dx có giá trị là:

A. 17 B. 170 C. 3 D. –3

Câu 2. Cho



 


2

f x dx và



 

 
4

f t dt .



 

f u ducó giá trị là :

A.– 2 B. – 4 C. 2 D. 4

Câu 3. Cho biết



 





 



5 5

2 2

3; 9

f x dx g x dx . Giá trị của 





   

 
5

A f x g x dx là

A. Chưa xác định B. 12 C. 3 D. 6

Câu 4. Giả sử



( ) 2

b
a

f x dx và



( ) 3

b
c

f x dx và a < b < c thì



( )

c
a

f x dx bằng?

A. 5 B. 1 C. –1 D. –5

Câu 5. Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn 0;10 thoả:



 





 



10 6

0 f x dx 7, 2 f x dx 3. Khi đó, giá trị

của 



 





 

2 10

0 6

P f x dx f x dx là

A. P  1 B. P  4 C. P  3 D. P  2

Câu 6. Nếu f

 

1 12, f x'

 

liên tục và



 


4

' 17

f x dx . Giá trị của f

 

4 bằng

A. 29 B. 5 C. 15 D. 19

Câu 7. Nếu f x

 

liên tục và



 


4

f x dx thì



 

f x dx bằng

A. 29 B. 5 C. 9 D. 19

Câu 8. Nếu



 

5

d
a

f x dx và , với thì có giá trị là:

A. 7 B. 3 C. D. 5

Câu 9. Cho là hàm số liên tục trên . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

 



( )



( )

b a

a b

f x dx f x dx



( ) 0.

a

f x dx



( ) 



( ) ,

b b

a a

kf x dx k f x dx (k  0).

    

 

 



( ) ( )



( )



( ) .

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



( ) 



( ) 



( ) .

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

 





d
b

f x dx a d b



b

 

a f x dx

3

( )

f x    a b;

 



( )



( )

b a

a b

f x dx f x dx



 (   ) 

b
a

kdx k b a k



 



     



( )



( )



( ) , ;

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b



( ) 



( )

b a

a b

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 10. Biết










0

2 4 0

b

x dx , khi đó b nhận giá trị bằng

A.   


1
4

b

b B.

 

 


0
2

b

b C.

 

 


1
2

b

b D.

 

 


0
4

b
b

Câu 11. Tìm m , biết










0

2 5 6

m

x dx .

A. m 1,m  6. B. m 1,m  6.

C. m  1,m  6. D. m  1,m  6.
Câu 12. Cho 



2

( ) ( )

x

F x t t dt. Giá trị nhỏ nhất của F x( ) trên 1;1 là:

A. 5

3 B. 1 C. 

6 D.

5
6

Câu 13. Cho



 


2

f x dx . Khi đó





 

 
2

4f x 3dx bằng:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Câu 14. Các số thực x sau đây thỏa mãn đẳng thức 










0

1 0

x

I t dt là.

x

0

hoặc x –2 .B.

x

0

hoặc x2 .C.

x

0

hoặc x1 . D.

x

0

hoặc x  –1
Câu 15. Giả sử 





2 1

dx

K

x . Giá trị của K là:

A. 9 B. 8 C. 81 D. 3

Câu 16. Giả sử 


 

  





0 2

3 5 1 2

2 3

x x

I dx a b

x . Khi đó giá trị a  2b là

A.30 B. 40 C. 50 D. 60

Câu 17. Tính tích phân 








a
dx

I

a ax (alà tham số thực dương).

A. I a . B. I   



2 2 2



a .

I

 

2 2 2

D. I  a.

Câu 18. Cho

 



4msin2

f x x. Tìm m để nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

thỏa mãn

 

       

 

0 1 à

4 8

F v F

A.  4

m B. 3

m C. 4

m D.  3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 19. Giả sử







 

2
sin 3 sin 2

I x xdx a b khi đó a b là

A. 1

6 B.

10 C. 

10 D.

1
5

Câu 20. Để hàm số f x

 

asinx b thỏa mãn f

 

1 2 và



 


1

f x dx thì a,b nhận giá trị :
A. a  ,b  0 B.

a





,

b



2

C. a  2 , b  2 D. a  2 , b  3
Câu 21. Cho f x( )Asin 2x B . Tìm A và B, biết f ' 0

 

4và







( ). 3

f x dx



2,  1

A B .B.



1,  3

A B .C.



2,  3

A B . D.



1,  1

A B

Câu 22. Cho 









x

I ax e dx. Xác định a để  I 1 e .

A.  4 .a e B. a 4e1. C.  2 .a e D. a 2e2.
Câu 23. Nếu



 

 



     



 



4 2

x

I e dx K e thì giá trị của K là :

A. 11 B. 10 C. 12,5 D. 9

Câu 24. Cho tích phân









2
2

2 1

ln 3 ln 2 ( , , )
1

 

   





x x x dx a b c a b c 

x . Chọn khẳng định đúng trong các

khẳng định sau:

A.a0 B.c0 C.b0 D.a b c  0

Câu 25. Tìm các hằng số A B, để hàm số f x

 

A.sinxB thỏa các điều kiện: f ' 1

 

2 ;

( ) 4



f x dx

A.




 


 


A
B

. B.








  


A
B

. C. 2




 


 


A
B

. D.







 


A
B

. 
Dạng tốn 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

           

       

       



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

b

f x u x dx F u x F u b F u a
a

– Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t  u x( ) dt  u x( )dx (xem lại các phương pháp đổi biến số trong
phần nguyên hàm)

– Bước 2. Đổi cận:

 

   

 

 

   

 

 

( )
( )

x b t u b

x a t u a (nhớ: đổi biến phải đổi cận)

– Bước 3. Đưa về dạng 





( )

u b

u a

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 1.Biến đổi

 



0 1 1

x

dx

x thành



 

f t dtvới t  1x . Khi đó f t

 

là hàm nào trong các hàm sau
đây?

A. f t

 

2t2 2t B. f t

 

t2 t C. f t

 

2t2 2t D. f t

 

t2t
Câu 2. Cho tích phân

1
3
0

1x xd



,với cách đặt t 31 thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào x

A.

1
3
0

3 t dt



. B.

1
2
0



t dt. C.

1
3
0



t t. D.

3 d



t t.

Câu 3. Tích phân

2 3
2
2

3
d
3

I x

x x







bằng:

A.



. B.. C.



. D.



.
Câu 4. Tích phân 2 2 2





d 0

a

x a x x a



bằng

A.

.
8

a


. B.

.
16

a


. C.

.
16

a


. D.

.
8

a


.
Câu 5. Biết tích phân

1
3
0

1 



x xdx M
N , với

M

N là phân số tối giản. Giá trị MN bằng:

A.35 B.36 C.37 D.38

Câu 6. Đổi biến x = 2sint tích phân

0 4 



dx

x

trở thành:

A.





tdt B.





dt C.





dt

t D.





dt

Dạng tốn 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Định lý: Nếu u  ( )u x và v  ( )v x là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn a b;  thì:

 

 





( ) ( )  ( ) ( )  



( ) ( ) 

b b

b
a

a a

I u x v x dx u x v x u x v x dx hay 



 . 



b b

b
a

a a

I udv u v vdu

Thực hành:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,… 
— Đặt:                

             

 

Vi phân
Nguyên ha m

u du dx

dv dx v Suy ra: 



 . 



b b

b
a

a a

I udv u v vdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì
chọn u ln hay log  1 .ln

a

u x x

a và dv cịn lại. Nếu khơng có ln ; log thì chọn u  đa thức

và dv cịn lại. Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u  lượng giác,….

— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. 
Câu 1. Biết rằng tích phân









 

2x 1e dxx a be.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. 1. B. 1. C. 15. D. 2.
Câu 2. Tìm a0 sao cho 2

. 4



a x

x e dx

A.4. B.1

4. C.

2. D.2.

Câu 3. Cho hàm số : ( ) 3 .
( 1)

 



x
a

f x bxe

x Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 và

( ) 5



f x dx

A.a 2,b 8. B.a2,b8 . C.a8,b2. D.a 8,b 2 . 
Câu 4. Biết rằng :

cos 2 (as 2 cos 2 )
4

x xdx in b c



, với a b, , cZ. Mệnh đề nào sau đây là đúng:
A.2a b c   1. B.a2b c 0 . C.a b  c 0. D.a b c  1 .

Câu 5. Cho m là một số dương và

(4 ln 4 2 ln 2)

m

x x

I 



 dx. Tìm m khi I = 12

A.m 4. B.m 3 . C.m 1. D.m 2 .

Câu 6: Biết

(2 1) cos  



x xdx m n



 . Tính T m2 .n

A. T   5. B. T   3. C. T   1. D. T 7.
Câu 7: Cho tích phân







2 sin

0 sin2

x

I xe dx. Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t sinx dt cosxdx . Đổi cận 

  

 

  



1
0

0 0

2
1

t

x t

I te dt

x t

Bước 2: Chọn

 

   

 

 

 

   

 

 t  t

u t du dt

dv e dt v e 



 



  

1 1 1 1

0 0

0 0 1

t t t t

te dt te e dt e e

Bước 3: 





1
0

2 t 2

I te dt

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

</div>

bài tập ôn tập môn toán trong thời gian học sinh nghỉ



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





















































<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>























 

 

 

 

 

 

 



















 

 

 

 

 



 



 

 





 

