Cơ học kết cấu 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.43 MB, 160 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ThS. Nguyễn Thị Lục

Bài giảng

CƠ HỌC KẾT CẤU 2

Dùng cho sinh viên ngành Kỹ thuật xây dựng cơng trình

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2></div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học kết cấu 2 là một phần của môn Cơ học kết cấu, môn học cơ sở
trong chương trình đào tạo kỹ sư ngành xây dựng cơng trình. Mục tiêu của học
phần này là trang bị những kiến thức cơ bản về tính tốn các kết cấu siêu tĩnh,
giúp cho sinh viên nghiên cứu, giải một số bài toán thực tế trong khâu thiết kế
và thi công các cơng trình xây dựng.

Nội dung bài giảng này được biên soạn theo chương trình mơn học đã
được Hội đồng Khoa học trường Đại học Lâm nghiệp duyệt năm 2012, đó là các
phương pháp tính tốn kết cấu siêu tĩnh chịu những nguyên nhân thường gặp
trong thực tế như tải trọng, nhiệt độ thay đổi, chuyển vị cưỡng bức của liên kết
và chế tạo các phần tử khơng chính xác.

Để phù hợp với mục tiêu đào tạo và điều kiện học tập của sinh viên, bài
giảng được biên soạn thành 2 phần:

- Phần lý thuyết gồm 4 chương với nội dung về các phương pháp cơ bản
tính tốn hệ siêu tĩnh;

- Phần bài tập, thực hành gồm các đề bài, bài giải mẫu và lời giải.

Trong quá trình biên soạn, tác giả đã nhận được một số ý kiến đóng góp
quý báu của các cán bộ giảng viên trong bộ môn Cơ sở kỹ thuật và các thầy
trong Khoa Cơ điện & Cơng trình. Tác giả xin chân thành cám ơn sự quan tâm,
giúp đỡ đó và mong nhân được nhiều ý kiến tiếp theo, để lần xuất bản sau được
hoàn chỉnh hơn.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

MỞ ĐẦU

TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN HỆ SIÊU TÌNH 
I. Khái niệm về hệ siêu tĩnh

Ta biết rằng hệ siêu tĩnh là hệ nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng
tĩnh học thì chưa thể xác định được tất cả phản lực và nội lực trong hệ, để tính
tốn hệ này cần phải lập thêm một số phương trình phụ theo điều kiện liên kết
của hệ. Về mặt kết cấu thì hệ siêu tĩnh là hệ có liên kết thừa, q trình tính tốn
phức tạp hơn hệ tĩnh định. Nhưng hệ này lại được sử dụng nhiều trong thực tế vì
những ưu điểm nổi bật của nó như có biến dạng nhỏ, kết cấu gọn nhẹ và ít chịu
ảnh hưởng do các tác động nhiễu của mơi trường. Do đó việc nghiên cứu, áp
dụng các phương pháp tính tốn hệ siêu tĩnh là một phần khơng thể thiếu trong
công tác thiết kế và thi công các cơng trình xây dựng.

Trước khi nghiên cứu nội dung các phương pháp tính tốn, chúng ta cần
tìm hiểu, thống nhất một số khái niệm và định nghĩa về hệ siêu tĩnh như sau.
I.1.Định nghĩa

Hệ được gọi là siêu tĩnh nếu trong toàn hệ hoặc trong một vài phần của 
hệ ta khơng thể chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định tất cả

các phản lực và nội lực.

Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình (BBH) và có liên kết thừa.

(Chú ý: Liên kết thừa chỉ là quy ước về cấu trúc, nhưng cần thiết về điều 
kiện làm việc).

I.2.Tính chất

- Trong hệ siêu tĩnh chuyển vị, biến dạng và nội lực nhỏ hơn trong hệ tĩnh
định có cùng kích thước và tải trọng, nên tiết kiệm vật liệu hơn hệ tĩnh định.

- Trong hệ siêu tĩnh sẽ phát sinh nội lực khi có sự thay đổi nhiệt độ,
chuyển vị gối tựa, chế tạo khơng chuẩn xác, do đó có thể sử dụng tính chất này
để tạo sẵn nội lực và biến dạng ban đầu ngược với nội lực do tải trọng gây ra
làm cho sự phân bố nội lực trong hệ hợp lý hơn.

- Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu, hình dáng và kích
thước tiết diện của các phần tử thuộc hệ (E, F, J).

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Dầm

Hệ tĩnh định

Hệ siêu tĩnh

Độ võng ở giữa nhịp

EI
ql
Ym

4
·

384
5


EI
ql
Ym

4
·

384
1


Giá trị mômen uốn lớn nhất

8
2
·

ql
Mm 

12
2
·

ql
Mm 

Qua số liệu trên cho ta thấy chuyển vị và nội lực trong dầm siêu tĩnh nhỏ
hơn trong đầm tĩnh định khá nhiều. Bởi vậy dùng hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm vật
liệu hơn so với hệ tĩnh định tương đương. Đó là ưu điểm chính của hệ siêu tĩnh.
I.3. Bậc siêu tĩnh (S)

Bậc siêu tĩnh của hệ bằng số liên kết thừa đã quy đổi ra liên kết thanh 
loại một ngoài số liên kết cần thiết để cho hệ bất biến hình (BBH).

II. Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh

Nội dung tính tốn hệ siêu tĩnh là xác định nội lực và biến dạng (hay
chuyển vị) của các phần tử trong hệ làm cơ sở cho việc xác định độ bền, độ cứng
và tính ổn định trong các cơng trình. Theo sự phát triển của mơn học đến nay đã
có 6 phương pháp được xây dựng sau:

- Phương pháp lực; - Phương pháp đúng dần;
- Phương pháp chuyển vị; - Phương pháp gần đúng;
- Phương pháp hỗn hợp; - Phương pháp động học.
II.1. Phương pháp lực

Nội dung của phương pháp lực là việc tính nội lực và chuyển vị không
thực hiện trực tiếp trên hệ siêu tĩnh mà được thực hiện trên hệ thay thế tĩnh định
tương đương gọi là hệ cơ bản. Hệ này suy ra từ hệ đã cho bằng cách loại bỏ các 
liên kết thừa và thay vào đó là những lực chưa biết và thiết lập các điều kiện bổ
sung sao cho hai hệ làm việc giống nhau về lực và chuyển vị.

Việc xác định các lực tại liên kết thừa là nội dung chính của phương pháp
lực sẽ được giới thiệu cụ thể ở chương 1.

q q

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

II. 2. Phương pháp chuyển vị

Tương tự như phương pháp lực, q trình tính toán của phương pháp
chuyển vị cũng không thực hiện trên hệ đã cho mà được thực hiện trên hệ cơ
bản. Hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị ra từ hệ đã cho bằng cách thêm vào
những liên kết phụ để ngăn cản chuyển vị của các nút, sao cho điều kiện làm
việc của hai hệ là như nhau.

Việc xác định chuyển vị tại các nút hay biến dạng ở hai đầu các thanh là
nội dung của phương pháp chuyển vị sẽ được giới thiệu cụ thể ở chương 2.

Nhược điểm của hai phương pháp này là phải giải hệ phương trình nhiều
ẩn số, do đó tốn khá nhiều thời gian cơng sức và hầu như không giải được đối
với những hệ phức tạp, nhiều ẩn số. Để khắc phục nhược điểm này các phương
pháp hỗn hợp, phương pháp giải đúng dần vầ gần đúng dựa trên cơ sở của
phương pháp chuyển vị đã ra đời.

II. 3. Phương pháp hỗn hợp và liên hợp

Mục tiêu là phối hợp hai phương pháp lực và chuyển vị để giảm nhẹ khối
lượng tính tốn.

- Với phương pháp hỗn hợp ta tách hệ thành hai phần: Bộ phận thích hợp
với phương pháp lực và bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị.

Trong đó cần chú ý một số tính chất của hệ khi chịu tác dụng của ngoại
lực để lựa chọn bộ phận nào của hệ thích hợp với phương pháp lực hoặc bộ phận
nào của hệ thích hợp với phương pháp chuyển vị:

* Đối với hệ đối xứng, chịu lực tác dụng đối xứng nên sử dụng phương
pháp chuyển vị;

* Đối với hệ đối xứng, chịu lực tác dụng phản đối xứng nên sử dụng
phương pháp lực.

- Với phương pháp liên hợp ta phối hợp song song cả hai phương pháp
lực và chuyển vị để đưa hệ về hai bài toán độc lập: một bài toán theo phương
pháp lực, một bài toán theo phương pháp chuyển vị, do đó tách hệ phương trình
thành hai nhóm đọc lập và giải hệ phương trình đơn giản hơn nội dung chính của
phương pháp lực sẽ được giới thiệu cụ thể ở chương 3.

II. 4. Phương pháp đúng dần

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Phương pháp H.Cross: Nội dung thực chất là một hình thức của phương
pháp chuyển vị, trong đó giải hệ phương trình chính tắc theo phương pháp đúng
dần. Ưu điểm của phương pháp này là tính tốn đơn giản, chỉ cần giải một số rất
ít phương trình so với phương pháp chính xác, do đó thích hợp với hệ khung

nhiều tầng, nhiều nhịp.

- Phương pháp G. Kani: Nội dung tương tự như phương pháp H. Cross,
nhưng có thêm ưu điểm hơn nữa là có thể tự động khử được những sai lầm xẩy
ra trong các chu trình tính tốn.

II. 5. Phương pháp gần đúng

Phương pháp được xây dựng trên cơ sở của phương pháp tính chính xác,
nhưng cịn bổ sung thêm một số giả thiết khác nhằm đơn giản việc tính tốn. Giả
thiết bổ sung có thể thơ sơ (làm đơn giản) hơn, song cần phù hợp với thể loại kết cấu.

Có thể chia làm hai loại bài tốn:

- Giả thiết bổ sung thô sơ phục vụ cho việc ấn định trước kích thước tiết
diện của thanh - Phương pháp tính sơ bộ;

- Giả thiết bổ sung tương đối phù hợp với điều kiện làm việc của cơng
trình nhằm làm đơn giản việc tính tốn - Phương pháp tính kiểm tra gần đúng.
II. 6. Phương pháp động học

Các phương pháp nêu trên là phương pháp tĩnh học vì nội dung được xây
dưng trên cơ sở các phương trình cân bằng tĩnh học. Việc xác định nội lực và
biến dạng trong hệ cịn có thể tiến hành theo nguyên lý công khả dĩ và gọi là
phương pháp động học.

Nội dung của phương pháp này như sau:

- Loại ra khỏi hệ một số liên kết mà ta cần xác định phản lực và thay
chúng bằng các phản lực tương ứng cần tìm;

- Gây cho hệ mới một di chuyển khả dĩ vô cùng bé, (Chuyển vị khả dĩ là 
chuyển vị do nguyên nhân bất kỳ gây ra mà liên kết cho phép);

- Thiết lập điều kiện cân bằng theo nguyên lý công khả dĩ, (Nếu một hệ 
biến dạng cô lập cân bằng dưới tác dụng của các lực thì cơng khả dĩ của các 
ngoại lực và các nội lực trên những biến dạng đàn hồi khả dĩ tương ứng phải 
bằng không);

Trong biểu thức cơng khả dĩ có chứa cả đại lượng cần tìm, do đó có thể dễ
dàng suy ra giá trị của đại lượng này từ điều kiện cân bằng nói trên.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP LỰC VÀ CÁCH TÍNH HỆ SIÊU TĨNH 
1.1. Nội dung phương pháp lực và cách tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động 
1.1.1. Nội dung phương pháp lực

Như đã trình bày trên để tính được nội lực và chuyển vị của hệ siêu tĩnh
bất kỳ, ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, cần phải lập thêm một số
phương trình bổ sung theo điều kiện liên kết. Để lập đủ số phương trình xác
định tất cả nội lực của hệ có thể áp dụng phương pháp lực với nội dung sau.

- Tính nội lực và chuyển vị trên hệ siêu tĩnh không thực hiện trực tiếp
trên hệ đó mà được thực hiện trên hệ thay thế tĩnh định tương đương với hệ đã
cho gọi là hệ cơ bản;

- Hệ cơ bản theo phương pháp lực là hệ bất biến hình (BBH) suy ra từ hệ
siêu tĩnh bằng cách loại bỏ tất cả hay một số liên kết thừa và thay vào đó là
những lực chưa biết.

Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định, còn nếu chỉ
loại trừ một số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh bậc thấp. Điều quan trọng
là hệ cơ bản phải cho phép xác định nội lực một cách dễ dàng, nên đa số trường
hợp ta thường dùng hệ cơ bản tĩnh định.

- Việc thiết lập các điều kiện bổ sung sao cho hai hệ làm việc giống nhau
về lực, về chuyển vị và xác định các lực tại liên kết thừa là nội dung chính của
phương pháp lực.

Để làm cơ sở cho việc lập và giải hệ phương trình theo phương pháp lực
ta cần nghiên cứu cách tính bậc siêu tĩnh và lập hệ cơ bản.

1.1.2. Cách tính bậc siêu tĩnh

a. Tính bậc siêu tĩnh cho hệ bất kỳ

Như ta đã giới thiệu trong môn cơ học kết cấu 1, ta đã biết liên hệ số
lượng các miếng cứng và số lượng các liện kết từ đó ta có cơng thức tính bậc
siêu tĩnh của một hệ như sau:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Trong đó:

K - số liên kết khớp đơn trong hệ; 
H - số liên kết hàn đơn;

C - số liên kết đơn nối đất;
D - số miếng cứng.

Ngồi ra trong kĩ thuật cịn tính bậc siêu tĩnh theo khái niệm về chu vi kín V:

S = 3V- K (1.3)

Trong đó:

V - số chu vi kín;
K - số khớp đơn giản.

Ví dụ 1.1. Tính bậc siêu tĩnh cho các hệ trên hình 1.1, 1.2, 1.3 
a) Tính bậc siêu tĩnh cho hệ trên hình 1.1

Đây là hệ có nối đất, nên ta dùng công thức (1.2)
S = 2K+3H+C-3D

Nếu ta quan niệm số miếng cứng như sau:
AE, EF, FG, GH, DC, FB thì trong hệ có D = 6.

- Khi đó tại các điểm D, E, K, C, G là các mối hàn đơn, còn tại điểm F là mối
hàn kép (tụ hợp bởi 3 thanh EF, BF, GF) nên tổng số mối hàn đơn được quy đổi
theo công thức Hđ = HP(D -1) (cơ học kết cấu 1) như sau:

H = 5(2-1) +1 (3-1) =7.

- Số liên kết đơn nối đất C = 6 trong đó tại gối kép A sinh ra 2 liên kết, tại gối
đơn B sinh ra 1 liên kết và tại ngàm H sinh ra 3 liên kết.

- Số liên kết khớp đơn trong hệ K = 0.

Vậy bậc siêu tĩnh cho hệ: S = 0+3.7+6-3.6 = 9

Cũng có thể tính bậc siêu tĩnh theo khái niệm về chu vi kín V, theo (1.3):

S = 3V - K

- Ở đây ta có V = 4: trong đó ADKB nối với trái đất là một chu vi kín; DEFK,
FKCG, HCKB nối với trái đất là một chu vi kín.

Hình 1.1

A B

C
D

E G

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy bậc siêu tĩnh cho hệ: S = 3.4-3 = 9
b) Tính bậc siêu tĩnh cho hệ như hình 1.2 
Đây là hệ có nối đất nên ta dùng cơng thức (1.2)

S = 2K+3H+C-3D 
- Nếu ta quan niệm số miếng cứng như sau:
AC, CD, BD, GE, ED,FD thì trong hệ có: D = 6

Khi đó tại các điểm B, C, E, F là các mối hàn đơn: H = 4(2-1) = 4.

- Số liên kết đơn nối đất C = 4 ,trong đó tại gối kép A sinh ra 2 liên kết, tại gối
kép G sinh ra 2 liên kết.

- Số liên kết khớp đơn K = 1( 4-1) = 3.

Vậy bậc siêu tĩnh cho hệ là: S =0+2.3+3.4+4 -3.6=4
Ngoài ra ta cịn có thể tính bậc siêu tĩnh theo (1.3) như sau

- Ở đây hệ có V = 3, trong đó: ABDFG nối với trái đất là một chu vi kín;
BCD , DEF - là những chu vi kín.

- K = 5, tại A có 1 đơn khớp, tại G có 1 khớp đơn và tại D có 4 thanh quy tụ ta
tính ra số liên khớp đơn Dđ = Dp (D-1) = 1(4-1) = 3 khớp đơn.

Vậy bậc siêu tĩnh của hệ là: S = 3.3-5 = 4
c). Tính bậc siêu tĩnh cho hệ như hình 1.3

Bằng cách lập luận tương tự ta cũng
tìm ra được bậc siêu tĩnh cho hệ như hình
1.3 theo hai cách tính như trên

s= 0+3.1+12-3.2 =9 (theo công thức 1.2)
s=3.3-0 = 9 (theo công thức 1.3).

b. Tính bậc siêu tĩnh cho hệ dàn

- Với dàn không nối đất: S = D+3- 2M (1.4) 
- Với dàn có nối đất: S = D+C- 2M (1.5) 
Trong đó:

D - số thanh trong dàn;
C - số liên kết đơn nối đất;

M - số mắt (nút) của dàn.

Hình 1.2

G
B

C E

Hình 1.3

Trái đất

A B

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 1.2. Tính bậc siêu tĩnh cho hệ dàn như hình 1.4 
Đây là hệ dàn phẳng có nối đất nên ta sử

dụng công thức (1.5).
S = D+C-2M

Số thanh trong dàn D = 10, số mắt trong dàn

M = 6, số liên kết đơn nối đất tại A và B là
C = 4.

Vậy: S = D – 2M + C = 10 - 6.2 + 4 = 2 .

1.1.3. Hệ cơ bản của phương pháp lực

Từ các khái niệm đã nêu thì hệ cơ bản được định nghĩa đầy đủ là:

“Hệ cơ bản là hệ BBH suy từ hệ siêu tĩnh bằng cách loại bỏ tất cả hay 
một số liên kết thừa với điều kiện biến dạng của hai hệ là như nhau”.

Theo định nghĩa để lập hệ cơ bản ta căn cứ vào kết cấu của hệ siêu tĩnh
cần xác định số liên kết thừa để loại bỏ chúng và thay vào đó các phản lực chưa
biết - hệ cơ bản.

Để hệ cơ bản làm việc giống như hệ siêu tĩnh đã cho ta phải lập một số
điều kiện bổ sung sao cho biến dạng và chuyển vị của hai hệ là như nhau.

Theo định nghĩa này thì tại vị trí các liên kết bị loại bỏ:

- Trong hệ siêu tĩnh có phản lực, còn trong hệ cơ bản phải đặt vào các lực
kí hiệu là X1,X2…Xn. Các lực này chưa biết chiều và trị số, nên được giả định
có chiều bất kỳ và xem là các ẩn số cần tìm. Vì lấy lực làm ẩn số nên phương
pháp này gọi là phương pháp lực.

- Trong hệ siêu tĩnh chuyển vị theo phương của liên kết bị loại bỏ bằng
khơng, cịn trong hệ cơ bản có chuyển vị khác khơng, chưa xác định.

Nhưng theo điều kiện biến dạng của hai hệ là như nhau nên chuyển vị

trong hệ cơ bản tương ưng với vị trí và phương của liên kết bị loại bỏ phải bằng
không. Nghĩa là:

P =2kN

A B

4
3

5 6

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các ẩn X1, 
X2…Xn do các lực và do các nguyên nhân bên ngoài (tải trọng P, sự thay đổi 
nhiệt độ t, sự dịch chuyển gối tựa Z, sự chế tạo khơng chính xác Δ) gây ra phải 
bằng 0.



k





xk

(

X

,...,

X

n

,

P

,

t

,



,

Z

)



0

, k=1, 2,…,n (1.6)
Các biểu thức trong công thức (1.6) là các phương trình cơ bản của

phương pháp lực.

Với hệ có bậc siêu tĩnh là n, ta lập được n phương trình cơ bản, đủ để xác
định n ẩn Xi.

Sau khi tìm được các lực X1,...,Xn ta xem chúng là các lực tác dụng lên
hệ cơ bản, lúc này dễ dàng tìm được nội lực và chuyển vị trong hệ cơ bản, đó
cũng chính là nội và chuyển vị của hệ siêu tĩnh đã cho, vì các lực X1,…,Xn đã
thỏa mãn điều kiện làm việc của 2 hệ là như nhau

Ví dụ 1.3: Tìm hệ cơ bản cho hệ như hình 1.5,a

Với hệ siêu tĩnh trên hình 1.5 a, có bậc siêu tĩnh s = 5, có thể chọn hệ cơ
bản theo nhiều cách như hình b, c, d.

Chú ý:

- Một hệ siêu tĩnh có thể có một số hệ cơ bản tương đương. Nên việc chọn
hệ cơ bản nào để tính toán là một nội dung quyết định đến khối lượng và mức độ
khó khăn khi giải hệ phương trình cơ bản.

- Với liên kết thừa khơng có chuyển vị cưỡng bức thì có thể bỏ liên kết
thừa và thay bằng các lực ẩn XK(hình 1.5 b - hình 1.5 d)

Hình 1.5

A B

A B

C
P

c)
b)

X5
X2

B C
P

X3
X4

A B C

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

- Với liên kết thừa có chuyển vị cưỡng bức thì chỉ được phép cắt và thay
nó bằng các cặp lực bằng và ngược chiều nhau, mà không được phép loại bỏ,
(hình 1.6.a,b).

- Với hệ siêu tĩnh và hệ có liên kết đàn hồi thì chỉ được phép cắt liên kết

đàn hồi (hình 1.6,c,d)

- Với liên kết thanh cắt liên kết thanh 2 đầu khớp (hình 1.6,e,f)
Ví dụ 1.4:

1.1.4. Hệ phương trình chính tắc

Theo ngun lí cộng tác dụng, phương trình cơ bản (1.6) có thể viết ở dạng:



K1





K2



...





Kn





KP





Kt





K





Kz



0

Trong đó:
Km



- chuyển vị theo phương của lực XK do lực Xm gây ra;
....

,... KZ

KP 

 - do tải trọng, do thay đổi nhiệt độ … gây ra.

Hay: 1 2 ... 0

1  K   K n Kp Kt K KZ 

K X



X



nX



Với



Km- chuyển vị tương ứng vị trí và phương XK do lực đơn vị Xm1
gây ra.



Km





Km

X

m

m n

X2
m n

m
n

X/2
X2
d)

Hình 1.6

A P B

A B

X1
P

B
P

A X1 X1 
f)

P
a)

B*
a

A
P

X1
B
m

B
X1
P

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Với hệ có bậc siêu tĩnh bằng n ta có hệ n phương trình chính tắc như sau:
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
....
...
...
...
0
...
.
2
2
1
1
2
2
2
22
1

21
1
1
1
1
2
12
1
11



























 
nZ
np
n
n
n
n
n
p
n
n
z
t
p
n
n
X
X
X
X
x
X
X
X
X



(1.7)

Hệ phương trình (1.7) - hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực:
Các hệ số δ km (km) - hệ số phụ; δ kk - hệ số chính;

Các số hạng ∆kp,…, ∆kz - các số hạng tự do.

Các hệ số và số hạng tự do chính là các chuyển vị, chúng có thể xác định
như sau:

a) Tính các hệ số phụ và hệ số chính.

Các hệ số và số hạng tự do trong phương trình chính tắc là những chuyển
vị, nên chúng được tính theo công thức Morh [1], [2] như sau:

1 0 1 0 1 0 1

. . .

. .

EJ EF GF

li li li

n n n n

jm

k m k m k m

km jk

i i i i j

R

M M N N Q Q

ds ds ds R

c

 

   























(1.8)

1 0 1 0 1 0 1

. . .

. .

EJ EF GF

li li li

n n n n

jm

k k k k k k

kk jk

i i i i j

R

M M N N Q Q

ds ds ds R

c

 

   























(1.9)

Trong đó:

k
k

k N Q

M , , - các biểu thức giải tích của mơmen uốn, lực dọc, lực cắt
trong đoạn thứ i có chiều dài li, do tải trọng Pk=1 gây ra trong hệ cơ bản,

(i=1,…,n);
jk

R - là phản lực tại gối đàn hồi thứ j do tải trọng đơn vị Pk=1 gây ra trong

hệ cơ bản, (j=1,…m);
jm
m
m

m

N

Q

R

M

,

- là những đại lượng trên, nhưng do tải đơn vị Pm = 1

gây ra trong hệ cơ bản;

- cj - hệ số đàn hồi của gối đàn hồi thứ j, (j = 1,… m).

Chú ý:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

* Giá trị các biểu thức tích phân trong (1.8) có thể tính theo phương pháp
nhân biểu đồ Veresaghin ta có:

  

        

. . . .

n

jm

km k m k m k m jk

i j

R

M M N N Q Q R

c




   



(1.10)

           

. . . .

n

jm

kk k k k k k k jk

i j

R

M M N N Q Q R

c




   



(1.11)

* Theo định luật tương hỗ của các chuyển vị đơn vị ta có:

km mk (1.12)
b) Tính các số hạng tự do

* Chuyển vị do tải trọng gây ra

0 0 0

. . .

EJ EF GF

jP

k P k P k P

kP jk

j

R

M M N N Q Q

ds ds ds R

c



 





















(1.13)

Trong đó: M0p,N0p,Q0p,R0jp các biểu thức mômen uốn, lực dọc, lực cắt
trong từng đoạn và phản lực tại gối đàn hồi thứ j do tải trọng gây ra trong hệ
cơ bản.

Trong cơng thức (1.13) có thể tính theo phương pháp nhân biểu đồ ta có

 





 

0 0 0

. . . .

n

jP

kP k P k P k P jk

i j

R

M M N N Q Q R

c



    



(1.14)

Chú ý: Trong những cấu kiện chịu uốn của hệ, ta thường có thể bỏ qua ảnh 
hưởng củ lực dọc và lực cắt. Nên khi xác định các hệ số và số hạng tự do trong
phương trình chính tắc ta chỉ xét mơmen uốn.

* Chuyển vị do sự thay đổi nhiệt độ.

 



 



 t t ds N t ds

h

M m m cm

Kt ( 2 1 )



(1.15)

Trong trường hợp hệ gồm những thanh thẳng có tiết diện khơng đổi và
nhiệt độ thay đổi như nhau theo chiều dài từng đoạn, có thể tính:



  







kt (t2m t`1m) (MK) .tcm (NK)

h 



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Trong đó:
2m, 1m, cm

t t t - nhiệt độ ở thớ trên, thớ dưới và thớ trung bình của thanh; 
- hệ số dãn nở vì nhiệt của vật liệu;

h - chiều cao tiết diện thanh;



Mk

  

, Nk

  - diện tích phần biểu đồ



M ,k

  

Nk trên đoạn [0 - lk].

* Chuyển vị do chế tạo chiều dài thanh khơng chính xác.





  



m
i

i
iK

K N

(1.17)
Trong đó:

i

 - độ dơi của thanh thứ i được chế tạo dài (ngắn) hơn chiều dài thiết kế;
ik

N - lực dọc trong thanh thứ i do Xk = 1 gây ra trong hệ tĩnh định.

* Do chuyển vị cưỡng bức tại liên kết gối tựa.









j

j
jk

Kz

R

Z

(1.18)

Trong đó:

Zj chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thứ j của hệ tĩnh định (cho trước);
Rjk- phản lực tại liên kết thứ j do Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản.

1.1.5. Cách tìm nội lực và biến dạng trong hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động 
Nội dung tính hệ siêu tĩnh là xác định nội lực và biến dạng tại vị trí bất kỳ
của hệ. Mục này sẽ giới thiệu cách xác định các đại lượng đó sau khi biết giá trị
các lực ẩn X1,…,Xn.

a) Cách tính trực tiếp.

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc để tìm các ẩn Xn ta xem các lực
này như ngoại lực tác dụng lên hệ cơ bản. Lúc này có thể thay việc tính nội lực
và biến dạng trên hệ siêu tĩnh bằng cách tính nội lực và biến dạng trên hệ cơ bản
chịu nguyên nhân của các lực ngồi và cả các lực X1,…Xn. Vì hệ cơ bản là tĩnh
định nên có thể sử dụng các phương pháp đã biết như phương pháp mặt cắt để
xác định các đại lượng cần tìm.

b) Cách áp dụng ngun lí cộng tác dụng

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

0
0
0
0

...

1 X X P t Z

X S S S S S S

S
S

n    





 

Với SXK,Sp0,St0,S0,Sz0 - giá trị của S lần lượt do riêng từng nguyên nhân
gây ra trong hệ cơ bản.

Nếu gọi

S

K là giá trị của các đại lượng S do riêng lực XK1 gây ra trong
hệ cơ bản, thì:

0
0
0
2

2
1

...

t z

o
p
n

n

X

S

X

S

X

S









(1.19)

Về hình học khi cần tìm biểu đồ nội lực hay chuyển vị, ta cũng có biểu
thức tương tự.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

S

1

X

1

S

2

X

2

S

n

X

n

S

po

S

t0

S

z0

S









(1.20)

Trong đó:

(SK) - biểu đồ của đại lượng S do XK1 gây ra trong hệ cơ bản;
)

),....(

(S0p Sz0 - biểu đồ của đại lượng S do riêng tải trọng, sự thay đổi nhiệt
độ…. gây ra trong hệ cơ bản.

Nhận xét:

- Các biểu thức (1.19) và (1.20) áp dụng chung cho mọi trường hợp cả nội
lực và chuyển vị. Ví dụ, muốn tìm mơmen uốn M và độ võng y, cần thay đổi ký
hiệu S bằng ký hiệu M và y;

- Dùng các biểu thức này làm cho việc tính tốn đơn giản vì đã biết các
trạng thái đơn vị trong quá trình xác định các hệ số của phương trình chính tắc;

- Nếu đại lượng S chỉ là phản lực hoặc nội lực (khơng có chuyển vị ) và
hệ cơ bản là tĩnh định thì các đại lượng

S

P0

,

S

to

...

và các biểu đồ (SP0),(...,(Sz0) sẽ
không tồn tại. Vì những nguyên nhân này không gây ra phản lực và nội lực
trong hệ tĩnh định.

c) Cách vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc theo biểu đồ mômen uốn (M) 
Với hệ dầm và khung gồm các đoạn thanh thẳng, người ta thường bỏ qua
ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt khi tính các chuyển vị. Do đó trong phần tính
các hệ số của phương trình chính tắc không cần vẽ các biểu đồ đơn vị (QK) và
(NK), nên việc tính và vẽ các biểu đồ Q và N theo cách nêu trên (biểu thức 1.19
và 1.20) sẽ không thuận lợi, vì khơng biết các biểu đồ (QK) và (NK). Trong
những trường hợp này nên vẽ bản đồ (M) theo (1.20), sau đó suy ra biểu đồ (Q)
và (N) từ quan hệ đã biết trong môn SBVL (biểu đồ nội lực).

qt
dZ

dN
m

dZ
dM

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Trong đó:

m - cường độ mơmen phân bố;
qt - cường độ tải trọng dọc trục.

Khi thực hiện cần tách từng đoạn thanh, trong đó tải trọng phân bố liên tục.

Để tiện cho việc áp dụng ta sử dụng công thức xác định lực cắt, lực dọc ở
2 đầu của 1 đoạn thanh thẳng chịu tác dụng lực phân bố bất kì có cường độ
qn(z), qt(z), m(z) như hình (1.7).

Từ điều kiện cân bằng tổng mômen đối
với điểm a và b, ta suy ra:

.
)
(
)
(
1
;
)
(
)
(
1
l
q
M
M
l
Q
l
q
M
M
l

Q
m
n
t
P
P
m
n
t
P
t












(1.21)

Từ điều kiện cân bằng hình chiếu các lực lên phương ngang, ta có:
)
.( t
t
P

q
N

N   (1.22)
Trong đó:

t
t M

Q , và Q ,P MP - lần lượt là các lực cắt và mômen nốn tại đầu trái và 
đầu phải của thanh ab;

)
(qn

 - diện tích biểu đồ tải trọng phân bố qn (hợp lực của qn trên ab);



)

(

q

t



diện tích biểu đồ tải trọng phân bố qt (hợp lực của qt trên ab),



)

(m



diện tích biểu đồ tải trọng phân bố mômen m (tổng hợp mômen
m trên ab).







,

tỷ số khoảng cách từ hợp lực của tải qn đến đầu trái và phải của thanh. 
Trường hợp đặc biệt

*Với đoạn thanh chịu tải trọng phân bố đều q(z) = q; m(z) = m = const

l
q
N
N
m
l
q
tg
Q
m
l
q
tg
Q
t
t
P
n
P
n

t








2
1
2
1


(1.23)
Với:
l
M
M
tg
t
P



b
NP
Qt

qn(z)

qt(z)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

  góc nghiêng so với đường chuẩn của đường nối hai tung độ mô
men uốn ở hai đầu thanh.

* Với đoạn thanh không chịu tải trọng phân bố: 
t

P
P
t

N
N

tg
Q
Q




 

(1.24)

Chú ý: Để tính Nt và Np (ở 2 đầu của thanh) cần khảo sát cân bằng của
các nút, hoặc từng phần của hệ được tách ra khỏi hệ thanh. Khi khảo sát cân

bằng ta đặt các mômen và lực cắt đã biết cịn lực dọc N chưa biết, cần tìm.
Ví dụ 1.5. Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình 1.8,a. Cho biết độ cứng trong thanh 
đứng là EJ, trong thanh ngang là 2EJ. Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn.

P = 2kN

b) X1

3 3

(M1)
c)
4m

A B

D
C

q = 1,2 kN/m

a)
2EJ
EJ

2,4

MP°

6 3,8 3,8

 

M1 X1

e)
2,2

2,4

3,8

M
f)

3,9
0,9

1,266
Q

-0,9
1,266

3,9
N

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Lời giải:

1. Bậc siêu tĩnh

Hệ như hình 1.8 a là hệ phẳng nối đất nên ta có thể xác định bậc siêu tĩnh
theo công thức 1.2 hoặc theo khái niệm về chu vi kín theo cơng thức 1.3 ta có:

S = 3V - K = 3.1 - 2 = 1
Bậc siêu tĩnh bằng 1, tức là thừa 1 liên kết.
2. Hệ cơ bản

Từ hình 1.8 theo phương pháp lực ta có thể đưa ra được nhiều hệ cơ bản
bằng cách loại bỏ 1 liên kết, ở đây tối ưu nhất là loại bỏ 1 liên kết tại gối B, lúc
này liên kết B chỉ là liên kết gối đơn ta được hệ cơ bản như hình 1.8,b.

3. Hệ phương trình chính tắc: Hệ siêu tĩnh bậc 1 nên ta có một phương trình 
chính tắc:

0 .

1 1

X





P





4. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc

Để xác định được các hệ số của phương trình chính tắc ta sử dụng công
thức 1.11 và 1.13 với chú ý là hệ khơng có liên kết đàn hồi đồng thời bỏ qua ảnh
hưởng của lực dọc và lực cắt khi tính các chuyển vị. Ta có:

   

kk Mk Mk

  ,

 





kP Mk MP

 

- Muốn tìm được các hệ số này ta phải vẽ các biểu đồ mômen uốn

 

M1

do X1 = 1 và biểu đồ mômen uốn



MP0



do ngoại lực gây ra trên hệ cơ bản như

hình 1.8 c, d.

  

 

EJ
EJ
EJ
EJ
P
M
M
P
EJ
EJ
EJ
M
M
6
,
45
3
.
4
,
2
.
4
.
6
2
2
3
2
4

.
6
2
1
6
.
3
2
.
2
3
.
3
.
1
0
.
1
1
36
3
.
4
.
3
.
2
1
2
.

3
.
3
2
.
2
3
.
3
1
1
.
1
11

2  
























5. Giải phương trình tìm ẩn X1

Thay vào phương trình chính tắc ta được kết quả như sau:

0
266
,
1
45
2
,
61
0
2
,
61
.
45
1

1  

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

6. Vẽ biểu đồ nội lực

a. Mômen uốn: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng

 





1.X MP

M

M  

 

M1.X1: lấy tung độ trên biểu đồ

 

M1 nhân với giá trị X1 = -1,266. Dấu "-"
có nghĩa là ta phải đổi dấu của tung độ sau khi nhân vào. Kết quả trên hình vẽ
(hình 1.8 e). Sau đó lấy tổng đại số các tung độ trên 2 biểu đồ

 

M1 X1 và

 

P
M sẽ
được biểu đồ (M). Kết quả trên hình 1.8 f.

b. Lực cắt: Được vẽ bằng cách suy ra từ (M) 
- Trên đoạn AC: q = 0

733
,
0
3
0
2
,

2






l
M
M
Q
Q
tr
ph
ph
tr

- Trên đoạn BD: q = 0; 1,266

3
)
8
,
3
(
0








l
M
M
Q
Q
tr
ph
ph
tr

- Trên đoạn CD: q = const

9
,
3
4
.
2
,
1
.
2
1
4
2
,
2

8
,
3
2
1
9
,
0
4
.
2
,
1
.
2
1
4
2
,
2
8
,
3
2
1


















ql
l
M
M
Q
ql
l
M
M
Q
tr
ph
ph
tr
ph
tr

Dựng các tung độ vừa tính và vẽ biểu đồ (Q) như trên hình vẽ (hình 1.9a)

c. Lực dọc: Suy ra từ các biểu đồ lực cắt: (Q)

- Tách nút C:






    







9
,
0
1
2
0
266
,
1
2
1
0
Q

N
Y
P
Q
N
X

- Tách nút D:






    







9
,
3
3
4
0
266
,

1
4
3
0
Q
N
Y
Q
N
X

N1 giống N3 theo quan hệ lực dọc tại 2

đầu mỗi đoạn. Suy ra lực dọc tại A và
C theo N2 và N4.

Kết quả biểu đồ (N) được vẽ trên hình
vẽ 1.8 h.

Q2 = 0,733

Q1=0,9
P=2
N2
C
Hình 1.9a
N1
D

Q4 =1,266

Q3 =3,9

N4
N3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

1.2. Tính nội lực trong hệ siêu tính thường gặp 
1.2.1. Khung siêu tĩnh chịu tải trọng bất động 
Nhắc lại một số khái niệm cơ bản về khung:

- Khung là một miếng cứng hình thành từ một thanh gẫy khúc;

- Có các dạng khung phẳng, khung khơng gian, khung tĩnh định và siêu tĩnh;
- Cách tính như dầm nhiều nhịp, mỗi đoạn thẳng là 1 nhịp.

Ví dụ 1.6. Vẽ biểu đồ nội lực trong khung chịu lực như hình 1.10 a.

a q

EJ=const
a

A
B

C
a)

A
B

X1
X2
b)

Hình 1.10

C
X2

g)

(M2X2)
3qa2/28

f)

3qa2/7

X1
(M1X1)

k)

(NP)
3qa/28

4qa/7
-

B A

3qa/28

i)

(QP)
3qa/7

4qa/7
+

+
-

X1=1

c)

(M1)

X2=1

d)

(M2)
a

qa2/8

A
qa2/2

e)

(M0P)
q

qa2/28

qa2/14

h)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Lời giải: Các bước tính tốn

1. Xác định bậc siêu tĩnh: Hệ đã cho có diêu tĩnh bằng 2.

2. Chọn hệ cơ bản: Có nhiều cách để chọn hệ cơ bản, ở đây ta chọn hệ cơ bản 
như hình 1.10 b.

3. Phương trình chính tắc (PTCT)

Hệ siêu tĩnh bậc 2 nên ta có hai phương trình chính tắc:
11 1 12 2 1

21 1 22 2 2
0
0
P
P
X X
X X
 
 
   



   


4. Xác định các hệ số và số hạng tự do của PTCT

Để xác định được các hệ số của phương trình chính tắc ta sử dụng công
thức 1.11 và 1.13 với chú ý là hệ khơng có liên kết đàn hồi, đồng thời bỏ qua
ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt khi tính các chuyển vị. Ta có:

)

).(

(

);

).(

(

);

).(

(

k m kk k k kp k op

km



M





M





M



Sau khi vẽ các biểu đồ mô men uốn do X1 = 1, X2 = 1 và do tải trọng gây

ra trong hệ cơ bản (h.1.10 c, d, e), ta tính được:
;

3
4
.
3
2
.
2
1
)
).(
(
3
2
2
1
1
11
EI
a
a
a
a
a
EI
M

M 










 ;
3
3
2
.
2
1
)
).(
(
3
2
2
2
22
EI
a
a
a
EI
M

M 









;
2
.
2
1
)
).(
(
3
2
2
1
12
EI
a
a
a
EI
M

M 









 ;
4
2
.
2
1
)
).(
(
4
2
0
2
2
EI
qa
a
a
qa
EI
M
M P

p 










;
8
5
.
2
2
8
3
2
3
2
.
2
2
1
1
)
).(

(
4
2
2
2
0
1
1
EI
qa
a
a
qa
a
a
qa
a
a
qa
EI
M
M P

p 













Thay các hệ số này vào PTCT trên ta được hệ phương trình đối với các ẩn
X1 và X2:

1 2

4 1 5

3 2 8

1 1 1

2 3 4

X X qa



  




   



5. Giải hệ PTCT ta được: X qa

7
3

1  ; X qa

28
3

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

6. Vẽ biểu đồ nội lực (hình.1.10 f, g, h, i, k)

a) Biểu đồ mô men uốn: theo nguyên lý cộng tác dụng





 

o
P

P M X M X M

M  1. 1 2 . 2 

b) Vẽ biểu đồ lực cắt theo biểu đồ mô men uốn

- Trên thanh ngang AB: biểu đồ lực cắt là hằng số, có dạng đường thẳng
song song với đường chuẩn và có giá trị:

2 2

( ) 3

28 14 0 0
28

qa qa

qa
Q

AB a

 

   

- Trên thanh đứng BC: biểu đồ lực cắt có dạng bậc nhất, ta chỉ cần xác
định giá trị của lực cắt tại các đầu thanh QCB và QBC rồi nối lại với nhau bằng

đường thẳng ta có:

7
3

2
0
14

1 qa qa qa

a
tr

Q     











7
4
2

1 qa qa qa

a
ph

Q     











c) Vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt bằng cách tách nút

Vì tải trọng vng góc với trục thanh nên lực dọc không thay đổi trong
từng thanh, do đó chỉ cần xác định một giá trị lực dọc tại một tiết diện nào đó
trong mỗi thanh là đủ để vẽ biểu đồ.

Tách nút B (hình 1.11), sau khi đặt tại những tiết diện bị cắt các lực cắt có
giá trị và chiều đã biết theo biểu đồ Q đồng thời đặt các lực dọc NAB và NBC

chưa biết (giả thiết là dương hướng ra ngoài mặt cắt), ta viết phương trình cân
bằng hình chiếu:

NBA

NBC

QBC=4qa/7
QBA=3qa/28
B

Hình 1.11

28
3
0

7
4
0

qa
Bc

N
BA

Q
BC
N

Y

qa
BA

N
BC

Q
BA
N
X


















</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ví dụ 1.7. Vẽ các biểu đồ nội lực cho hệ như trên hình 1.12 a

3m
3m

P= 2kN

q= 1,2kN/m

C D

Hình 1.12

(a)

2EJ
EJ EJ

X1 X2

(b)

(i)
A

(Q)
+

- + -

2,063
1,537

2
0,713

A
-

2,25
2

(k)
A

3 A

(M2)
(d)

A
(MP0)
(e)

5,4

13,4

(f)
A

(M1).X1
2,139

2,139

) (M2)X2
6,189

A
(MP)
(h)

5,072

2,918
1,35
0,789

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Lời giải:

1. Bậc siêu tĩnh: Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh bằng 2 
2. Hệ cơ bản như trên hình vẽ (hình.1.12 b)

3. Hệ phương trình chính tắc:















0
2
2
22
1
21
0
1
2
12
1
11
P
X
X
P
X
X





4. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc



km



(

M

k

).(

M

m

);



kk



(

M

k

).(

M

k

);



kp



(

M

k

).(

M

op

)

Như vậy cần vẽ các biểu đồ mô men uốn

 

M1 ,

 

M2 ,

 

MP0 , do X1 = 1, X2 = 1 và do

tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 1.12 c, d, e). Ta tính các hệ số:

  

EJ
EJ

EJ
M

M .3.4.3 27

2
1
3
.
3
2
.
2
3
.
3
.
1
1

.
1

11   



  

EJ
EJ

M

M .3.4.3 18

2
1
2
.
1
21

12    



  

EJ
EJ
EJ

M

M .3.4.3 27

2
1
3
.
3
2
.
2
3
.
3
.
1
2
.
2

22    



 

EJ
EJ

M

P MP

4
,
56
3
.
4
.
2
4
,
5
4
,
13
.
2
1
.
1
1
0






 

EJ
EJ
EJ
P
P
M
M
P
55
,
68
2
3
.
35
,
1
.
3
.
3
2
.
1
3
.
3
2
.

2
3
.
4
,
5
.
1
1
0
.
2

2     

 






5. Giải hệ phương trình chính tắc

Thay vào hệ phương trình chính tắc sau khi đã bỏ đi EJ dưới mẫu số:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

6. Vẽ các biểu đồ nội lực

a. Biểu đồ mômen: Theo nguyên lý công tác dụng

 

MP 

 

M1.X1

 

M2.X2

 

MPo
ta được như trên hình 1.12 h.

b) Biểu đồ lực cắt: suy ra từ biểu đồ (M):

Trên đoạn BC: q = 0 .1 0,713

3
0
139
,
2









Qtr Qph

Trên đoạn AC: q = 0 .1 2

)
072
,
5
(

918
,
2









Qtr Qph

Trên đoạn CD: q = const .1,2.3.1 1,537
2

1
1
.
3

789
,
0
0






 trQ

.1,2.3.1 2,063
2

1
1
.
3

789
,
0
0








Qph

Kết quả vẽ biểu đồ lực cắt thể hiện trên hình vẽ 1.12 i.
c. Lực dọc (N): Suy ra từ biểu đồ (Q)

* Tách và xét cân bằng nút B.

* Tách và xét cân bằng nút C.

Sau đó suy ra lực dọc tại các đầu
thanh còn lại và vẽ được biểu (N) như
trên hình vẽ 1.12 k.

1.2.2. Dàn siêu tĩnh

Dàn là hệ thanh liên kết với nhau bằng các bản lề lý tưởng (khơng ma sát).
Dàn có các loại: Dàn phẳng, dàn không gian, dàn tĩnh định và siêu tĩnh.
Nội dung tính tốn dàn siêu tĩnh - Gồm các bước:

1. Tìm bậc siêu tĩnh:

N1
Q1=0,713
P =2

VB
B

N3
N2

Q2=0,713 Q3=1,537

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

-Với dàn không nối đất, theo (1.4): S = D+3-2M
- Với dàn có nối đất, theo (1.5): S = D+C-2M

(Trong đó: S - bậc siêu tĩnh; D - số thanh trong dàn; C - số liên kết đơn
nối đất; M - số mắt (nút) của dàn).

2. Lập hệ phương trình chính tắc

Theo biểu thức (1.11), trong đó các hệ số được tính đơn giản hơn, vì các
thanh trong dàn chỉ chịu kéo (hoặc nén).

* Các hệ số:

1 1

n n

ik im

km jk jm

i i j

N N

l R R

EF c



 









(1.25)

Trong đó:



im
ik N

N , lực dọc trong thanh thứ i do các ẩn Xk=1 và Xm=1 gây ra trong

hệ cơ bản;


jm
jk R

R , phản lực trong liên kết đàn hồi thứ j do tải trọng gây ra trong
hệ cơ bản.

* Các số hạng tự do

+ Do tải trọng:  







j

jp
jk
j

i

i
i
ip
ik

kp R R

c
l

EA
N

N 0 1 0

.
)

( (1.26)
Trong đó:

N0ip - lực dọc trong thanh thứ i do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản;

R0jp - phản lực trong liên kết đàn hồi thứ j do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.

+ Do sự thay đổi nhiệt độ:

)
(

. 

















ci k



ci i k

i

Kt



t N



t l N (1.27)
Trong đó: tci - độ biến thiên nhiệt độ ở trục thanh thứ i.

+ Do chế tạo chiều dài thanh khơng chính xác:






 

i

i
ik

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

+ Do chuyển vị cưỡng bức tại liên kết tựa:






kz RjKZj (1.29)
Trong đó:

j

Z - chuyển vị cưỡng bức của gối tựa thứ j; 
jk

R - phản lực tại gối j do lực Xk 1 gây ra trong hệ cơ bản.
3. Xác định nội lực trong dàn siêu tĩnh

Lực dọc trong thanh thứ i của dàn được xác định theo biểu thức:

(2.30)
Trong đó:

N0ip, N
0

it, N
0

iΔ, N
0

iz – lực dọc trong thanh thứ i do các nguyên nhân P, t, ∆,

và z gây ra trong hệ cơ bản.

Nếu hệ cơ bản là tĩnh định thì:

0
2

2
1

1 i

...

in n ip

i

N

X

N

X

N

X

N





. (1.31)

Ví dụ 1.8. Cho dàn chịu tải trọng như hình 1.13 a. Xác định lực dọc trong các 
thanh của dàn. Biết EF = const.

Lời giải:

Trình tự tính như sau:

1. Bậc siêu tĩnh. Với hệ dàn nối đất ta có sử dụng cơng thức 1.5. 
S = D + C - 2M

Số miếng cứng D là 6, số mắt M là 4 và số liên kết đơn nối đất C là 3
Vậy hệ dàn bậc siêu tĩnh là bậc một.

2. Hệ cơ bản. Cắt thanh 2-3 hệ cơ bản được chọn như hình 1.13 b. 
3. Phương trình chính tắc. δ11X1 + Δ1P = 0

♦Tính hệ số δ11 và số hạng tự do Δ1P:

Cần tính lực dọc trong các thanh dàn trên hệ cơ bản lần lượt do cặp ẩn lực
X1 = 1 (hình 1.13 c) và tải trọng (hình 1.13 d) gây ra. Kết quả tính được ghi trên

cột 3, 4 của bảng 1.2 dưới đây:

0
0
0
0
.

2
1

1 i ... in n ip it i iz

i

i N X N X N X N N N N

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>









EF
a
i
l

i EF i

im
N
ik
N
i
l
i
EF
im
N
ik
N
km i
)

2
1
(
2
.
6
1
.
11
.
. 





  










EF

Pa
i
l

i EF i

ip
N
ik

N
P
i
l
i
EF
iP
N
ik
N
kP i
)
2
2
(
.
6
1
0
.
1
.
0
. 








 

- Giải hệ phương trình chính tắc ta được: Xi P 0,707P
11

1 





 .

4. Xác định lực dọc trong dàn siêu tĩnh

Vận dụng nguyên lý cộng tác dụng 0

1
.

1X NiP

i
N
iP

N   ta tính được lực
dọc trong các thanh của dàn siêu tĩnh đã cho. Kết quả ghi trên cột 7 của bảng 1.2

Bảng 1.2. Số liệu tính tốn cho hệ dàn siêu tĩnh hình 1.13

Thanh li Nil

oi
P

N Nil.Nil.li o i

iP
il N l

N . . NP

1-2 a

2
1

0
2
a

0 +0,499P

1-3 a

2
1


0
2
a

0 +0,499P

1-4 a. 2 1 P 2 a 2 2Pa +0,703P

3-4 a

2
1

-P
2
a
2
Pa
-0,5P

3-2 a. 2

2
1


0 a 2 0 -0,707P

4-2 a

2
1

-P
2
a
2
Pa
-0,5P

∑ 2a(1 2) Pa( 2 2)

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Ví dụ: NP ( 0,707P) ( P) 0,5P
2

1
4

3     

P P

P

N ( 0,707 ) (0) 0,499

2
1
2

1    

Ví dụ 1.9. Cho dàn siêu tĩnh chịu tải như hình 1.14 a. Xác định nội lực trong các 
thanh 2-9, 2-3, 2-8. Cho biết EF = const.

Lời giải:

Các bước tính tốn: Ghi số hiệu các thanh và các nút theo quy định.

1. Tìm bậc siêu tĩnh. Ta sử dụng cơng thức (1.5) hệ dàn có số miếng cứng D = 21, 
C = 3 và M = 10 do đó S = 21+ 3 -2.10 = 4.

2. Chọn hệ cơ bản: Vì hệ đối xứng chịu tải cũng đối xứng nên chọn hệ cơ bản 
đối xứng và dùng các cặp ẩn đối xứng thì phương trình chính tắc và số ẩn chỉ
còn có hai. Chọn hệ cơ bản như hình.1.14 b.

3. Hệ phương trình chính tắc

0

2
2
22
1

1
2
12
1
11













p
p

X



4. Xác định các hệ số và số hạng tự do của PTCT trên theo (1.25) và (1.26): 
Hình 1.14

10
1
a)

d d d
d

P P P
2 3 4 5

6
8

X1=1

X2 X2

P P P

X2=1 X2=1

P P P

2P

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>





n
i
im

ik
km l
EA
N
N
1
:
  



i
i
i
ip
ik
kp l
EA
N
N
.
)
(
0

Để tính tốn ta lập bảng có kết cấu như bảng 1.3
Theo số liệu trong bảng 1.3, ta có:

EA
d
656
,
9

11 
 :
EA
d

 21
12 
 ;
EA
d
656
,
10
22 
 .
EA
Pd
p 10,242
1 

 ;

EA
Pd
p 4,120
2 

 
5. Xác định các lực ẩn X1 và X2

Giải hệ PTCT với các hệ số ta được:
X1 = -1,11.P; X2 = 0,49.P .

6. Xác định nội lực trong các thanh 2-3,2-8 và 2-9 theo biểu thức (1.31) 
N23 = -1,85P ; N28 = 0,49P; N29 = 0,44P.

Bảng 1.3 Số liệu tính tốn cho hệ dàn hình 1.14 a.

Thanh 1 Ni1 Ni2

0
ip

N Ni1Ni1li

i
i
i N l

N2 2 Ni1Ni2li

i
ip
i N l

N1 0 Ni2Nip0 li

1-2 d 2

 0 3

2P

 1

2d 0 0

3 2

4 Pd 0

2-3 d 0 2

 3

2P

 0 1

2d 0 0

3 2
4 Pd

1-10 d 2

 0 3

2P

 1

2d 0 0

-3 2

4 Pd 0

2-9 d 2

 2

 0 1

2d

2d 0 0

1-9 2 d 1 0 3 2

2 P 2.d 0 0 3Pd 0

2-10 2 d 1 0 0 2.d 0 0 0 0

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

3-9 2 d 0 1 2
2

 P 0 2.d 0 0 -Pd

10-9 d 2

 0 0 1

2d 0 0 0 0

3-8 d 0  2 P 0 1

2d 0 0

2
2 Pd


9-8 d 0 2

 2P 0 0 0 0  2Pd

∑ 2 (1 2)d (2,5 2 2)d 1

2d 2 )Pd
2
1
(

3  )Pd

2
2
3
1
( 


1.2.3. Cách tính dầm liên tục

a. Định nghĩa: Dầm liên tục là hệ gồm một thanh thẳng nối với trái đất bằng số 
gối tựa lớn hơn hai để tạo thành hệ bất biến hình.

b. Phân loại: Trong kỹ thuật thường phân dầm liên tục theo hai cách như sau: 
Theo biến dạng của gối tựa Theo kết cấu ở 2 đầu

1. Gối tựa cứng

2. Gối đàn hồi

1. Dầm đơn giản
2. Dầm có đầu thừa
3. Dầm có đầu ngàm

Nói chung dầm liên tục là dầm siêu tĩnh.
c. Bậc siêu tĩnh

Để xác định bậc siêu tĩnh của dầm liên tục bằng phương pháp lực ta có thể
sử dụng cơng thức (1.1) và (1.2) đã giới thiệu ở trên. Tuy nhiên ta có thể xác
định bậc siêu tĩnh cho hệ dầm liên tục theo các cách hay sử dụng sau đây:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ 1.10. Dầm liên tục trên 
hình (Hình 1.15)

Dầm liên tục có 3 miếng cứng
AB, BC và CD.

Miếng cứng AB nối với trái đất bởi khớp A và một thanh tại cứng B như
vậy sẽ thành một chu vi kín, tương tự các miếng cứng CB, CD nối với trái đất
bới các gối tại C, B, D nên tổng số chu vi kín V = 3.

Số khớp đơn K = 7 vậy hệ có số bậc tự do S = 3.3 – 7 = 2.
- Cách 2: Có thể tính theo số liên kết thanh nối đất ta có biểu thức:

S = C- 3 (1.32)
Trong đó: C - số liên kết tựa tương đương loại 1.

Hoặc: S = Ctg + N (1.33)

Trong đó:

Ctg - số gối tựa trung gian (không kể 2 gối liên kết ở ngồi cùng), khơng

cần phân biệt gối di động hay cố định;

N - số ngàm của dầm, không phân biệt ngàm cố định hay ngàm trượt.
Chý ý: Để đảm bảo khơng biến hình thì dầm liên tục phải có ít nhất một 
liên kết nối đất là ngàm cố định hay gối tựa cố định.

Ví dụ 1.11. Dầm liên tục trên hình 
(Hình 1.16) ta có số liên kết tương
đương loại một C = 7 nên bậc siêu tính
S = 7-3 =4.

Ví dụ 1.12. Dầm liên tục trên hình 
(Hình 1.17), ta sử dụng công thức
(1.33) thì số gối tựa trung gian Ctg là 2

và số ngàm N là 2 vậy bậc siêu tĩnh S =
2+2 =4.

d. Phương pháp tính tốn

Thường trong kỹ thuật sẽ sử dụng 3 phương pháp chính sau: Phương pháp
lực, phương trình 3 mơmen hoặc phương pháp tiêu cự.

B C D

Hình 1.15

Hình 1.16

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

1.2.3.1. Cách tính dầm liên tục theo phương pháp lực.

Tương tự tính tốn theo các bước như trên để hiểu rõ phương pháp lực
tính cho dầm liên tục ta xét ví dụ cụ thể như sau:

Ví dụ 1.13. Tính dầm liên tục siêu tĩnh như hình 1.18 a theo phương pháp lực. 
 Lời giải:

1. Bậc siêu tĩnh: Hệ dầm liên tục nên ta có thể sử dụng các công thức (1.3), 
(1.32), (1.33) để tĩnh bậc siêu tĩnh, hệ có bậc siêu tĩnh là 2.

2. Chọn hệ cơ bản như hình 1.18 b

3. Hệ phương trình chính tắc


















0
21
2

22
1
21

0
1
2
12
1
11

P
X

X

P
X

X




6m 3m 3m 3m 3m

D
C

B
A

q = 6kN/m P=12 kN M=12 kN/m

X1 X2





P

M

27 18 6

Hình 1.18 
3

X1 =1

 

M1
3

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

4. Tìm các hệ số của PTCT

- Để tìm được cấc hệ số theo cơng thức (1.8), (1.9), (1.13) ta cần vẽ biểu
đồ

 

M1 ,

 

M2 ,





P

M như hình 1.18 c, d, e.
- Xác định các hệ số:

  

EJ
EJ

M

M 3.2 36

3
2
.
2
3
.
6
.
1
.
1
1
.
1

11  



  

EJ
EJ

M

M 3.2 36

3
2
.
2
3
.
6
.
1
.
1
2
.
2

22   



  

EJ
EJ

M

M 3 9

3
1
.
2
3
.
6
.
1
.
1
2
.
1
21

12   



 





EJ
EJ
M
M
P P

243
3
.
2
1
.
2
6
.
18
3
.
2
1
.
6
.
27
.
3
2
.
1
.
1
1
0















5. Giải hệ PT























333
,
0
2
67
,
6
1
0
72
2
36
1
9
0
243
2
9
1
36
X
X
EJ
X
EJ
X

EJ
EJ
X
EJ
X
EJ

6. Vẽ biểu đồ mômen hình 1.19 a, b, c.

1.2.3.2. Cách tính dầm liên tục theo phương trình ba mơ men

Dầm liên tục là một dạng của hệ siêu tĩnh, nên có thể áp dụng phương
pháp lực để tính tốn. Trong trường hợp này ta có thể cụ thể hóa hệ phương

Hình 1.19

 

M1 .X1
20



MP



e)
27

7,5

6,5

5,5

20 b

 

M2 .X2

 

EJ
EJ

M

P MP

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

trình chính tắc của phương pháp lực nhằm phục vụ cho việc tính tốn được
nhanh chóng và đơn giản hơn.

a. Với dầm liên tục đơn giản

Xét dầm liên tục đơn giản chịu đồng thời của tải trọng và các nguyên
nhân khác (sự biến thiên nhiệt độ, chuyển vị gối tựa). Giả sử dầm có n gối tựa
trung gian, tức là có n+1 nhịp. Ta đánh số thứ tự các gối và các nhịp theo quy
định từ trái sang phải như trên hình 1.20 a.

a.1. Chọn hệ cơ bản

Chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ các liên kết ngăn cản chuyển vị góc
xoay tương đối của hai tiết diện 2 bên gối tựa trung gian (thay thế liên kết hàn
bằng liên kết khớp như hình 1.20 b với các ẩn là các mô men uốn Mi tại gối tựa

thứ i.

a.2. Phương trình chính tắc

Dưới tác dụng của riêng Mi = 1 biến dạng chỉ xẩy ra trong 2 nhịp lân cận

gối thứ i (hình 1.20 c). Phương trình biểu diễn điều kiện góc xoay tương đối
giữa 2 tiết diện ở 2 bên gối thứ i bằng khơng sẽ có dạng:









1 2 1 . 1 1 6 0 0

iMi i i Mi i Mi EJ iP iZ it

              (1.34)
Phương trình (1.34) biểu thị quan hệ giữa 3 mô men uốn chưa biết ở 3 gối
tựa trung gian liên tiếp Mi-1, Mi và Mi+1.

a) o 2

n+1
n

i-1 i i+1
1 P

Zi
Z1

li li+1
o

n+1
n

Mi-1 Mi Mi+
M1

Zi
Z1

Hình 1.20

i+1
i-1

δi +1
Mi=1

δi -1

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Trong đó: . 0
i i
i
J
l
J

  - gọi là chiều dài quy ước của nhịp i;









1 1

. .

. i i i i ;

iP i P

i i i i

a b

M M

l EJ l EJ

  
 
   






iZ RJiZJ









.
2
.
2
.
)
1
(
1
)
1
(
2
1
1
1
2 










  


i
i
i
i
i
i
i
i

it t t

h
l
t
t
h
l 


Với: ( ),( 0)

i

i M

M - mô men uốn do Mi=1 và do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản;

j i

R - phản lực gối j do Mi = 1 gây ra trong hệ cơ bản;

Zj - chuyển vị cưỡng bức của gối j;

1
,
i i

  - diện tích biểu đồ (MP0) tại nhịp i và i+1 do tải trọng gây ra trong

hệ cơ bản; ai , bi – khoảng cách từ trọng tâm biếu đồ (MP
0

) trong nhịp i đến gối
tựa trái và phải của nhịp đó.

Thay các giá trị này vào (1.34) ta được phương trình 3 mơmen cho gối tựa thứ i:





1 1 1 1

1 1 1 1 0

1 1 1

0 2 1 2( 1) 1( 1)

2 . 6 6

. .

6 ( ) ( ) 0. (1.35)

2 2

i i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i

i i

i i i i

i i

a b Z Z Z Z

M M M J EJ

l J l J l l

l l

EJ t t t t

h h
 
   
 
   
   
  

 

     
         
   
 
      
 

Trường hợp dầm có tiết diện khơng đổi trong các nhịp (J = J0). Phương

trình 3 mơmen có dạng:





1 1 1 1

1 1

0 2 1 2( 1) 1( 1)

2 . 6 6

6 ( ) ( ) 0. (1.36)

2 2

i i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i

i i

i i i i

i i

a b Z Z Z Z

M M M EJ

l l l l

l l

EJ t t t t

h h







   
   
 

 

     
         
   
 
      
 

Biểu thức (1.36) khi cho i = 1,…,n ta được hệ phương trình chính tắc, giải
phương trình chính tắc này ta được (M1, M2, …, Mn).

a.3. Vẽ các biểu đồ nội lực

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

- Với biểu đồ lực cắt (Q), lực dọc (N): Vẽ như trong trường hợp tổng quát
của phương pháp lực.

Ví dụ 1.14. Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ trên hình (1.21 a) 
Lời giải:

1. Bậc siêu tĩnh: Hệ dầm liên tục nên ta có thể sử dụng các cơng thức (1.3), 
(1.32), (1.33) để tĩnh bậc siêu tĩnh, hệ có bậc siêu tĩnh là 2.

2. Tạo hệ cơ bản: đánh số các gối tựa, vẽ biểu đồ mômen do tải trọng gây ra 
trên hệ cơ bản: (hình.1.21 b, c)

3. Viết các phương trình ba mơmen cho các gối tựa trung gian

0
3
3
3
3
2
2
2
2
0

6
3
3
2
)
3
2
(
2
1
2
;
2
0
2
2
2
2
1
1
1
1
0
6
2
2
1
)
2
1

(
2
0
1
;
1































J
l
b
J
l
a
J
M
M
M
i
J
l
b
J
l
a
J
M
M
M
i













1

0 M1 M1 M2 2 M2 3

q = 2kN/m P1 = 5kN P2 = 5kN

6m 3m 3m 3m 3m

EJ 2EJ 2EJ a)

b
)
q = 2kN/m P1 = 5kN P2 = 5kN

7,239

9 7,5 7,5

3,815

(Mx) d)
4,793
7,2
3,3
1,7
3,135
1,865
+
-
+

- + - (Qy) e)

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

4. Xác định các đại lượng trong phương trình 3 mơmen: M0 = M3 = 0

Chọn J0 = J, tính m m m

i
J
J
i
l

i  . 0 16 ,2 3 ,33


36
6

.
9
.
3
2
.
1
3
2

1 l f  

 , 3

1  b 

a ,
5
,
22
2
6
.
5
,
7

2  

 , 3

2  b 

a , 22,5

2
6
.
5
,
7

3  

 , 3

3  b 

a ,

Thay vào phương trình ba mơmen:
;



i 0

2
.
6
3
.
5
,
22
.
6
3
.
36
6
2
.
3
1
18
0
.

6  











J
J
J
M
M
;
2


i 0

2
.
6
3
.
5
,
22
2
.
6
3

.
5
,
22
6
0
.
3
2
.
12
1

3  










J
J
J
M
M

























0
815
,
3
2
0
239

,
7
1
5
,
22
2
4
1
25
,
47
2
1
6
M
M
M
M
M
M

5. Vẽ biểu đồ nội lực

a. Biểu đồ mômen: treo biểu đồ (hình.1.21 d)
b. Biểu đồ lực cắt: suy ra từ biểu đồ mômen.

Trên đoạn AB:

,
7
6
.
2
.
2
1
6
0
239
,
7
793
,
4
6
.
2
.
2
1
6
0
239
,
7












ph
Q
tr
Q

Trên đoạn BE: 3,3

3
)
939
,
7
(
972
,
1





Qph

tr
Q

Trên đoạn EC: 1,7

3
972
,
1
815
,
3






Qph

tr
Q

Trên đoạn CF: 3,135

3
)
815
,

3
(
592
,
5





Qph

tr
Q

Trên đoạn FD: 1,864

3
592
,
5
0





Qph

tr

Q

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

c. Biểu đồ lực dọc (N): trùng với đường chuẩn.
b. Với dầm liên tục có đầu thừa

Có thể đưa dầm liên tục có đầu thừa về dầm liên tục đơn giản bằng cách
cắt bỏ các đầu thừa và thay bằng những ngoại lực đặt ở gối biên của dầm (hình 1.23 a).

Nội lực trong dầm đơn giản (hình 1.22 b)
được xác định bằng cách sử dụng phương
trình 3 mơmen với mơ men uốn tại các gối
biên đã biết, chúng có giá trị bằng M0 và

Mn+1.

Ví dụ 1.15. Vẽ biểu đồ mô men uốn trong dầm liên tục trên hình 1.23 a. 
Lời giải:

1. Cắt bỏ đầu thừa, thay tác dụng của phần đầu thừa bằng các lực đặt ở
gối biên bên trái và thay ngàm bên phải bằng một nhịp có chiều dài l3 = 0 ta

được sơ đồ tính tương đương như trên hình 1.23 b là dầm liên tục đơn giản.

2. Đánh số thứ tự các gối tựa và nhịp từ trái qua phải như trên hình 1.23 b.
Chọn Jo = J, chiều dài quy ước của các nhịp sẽ là:

qd2/2
Pc

n+1

P q

o 1 n
a)

Hình 2.22

c d

Hình 1.23

q = 24kN/m
M = 90kN.m

P = 10kN

6m 10m

6m
2m

A B C D

1,2EJ EJ

20kNm A B C D

263,2

131,6
73,6

91,8

1,8

20 (MP)

(kNm)
300

d)
a1 = 4m b1 = 8m

b1 = 4m

a1 = 8m a2 = 5m b2 = 5m

A * 45

45 * 300

*

(M0P)
(kNm)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

10
2
,
1
0
12

1 J 

J

 ; 10 0 10

2  J 

J

 , 0

3



3.Viết phương trình ba mơ men cho các gối trung gian (gối 1 và gối 2), ta có

Gối 1(i=1); 0

.
2
2
2
2
,
1
.
1
1
1
6
2
2
1
)
2
1
(
2
0

1 













J
l
b
J
l
a
J
M
M

M     



Gối 2(i=2); 0

.
3
3
3

.
2
2
2
6
3
3
2
)
3
2
(
2
1

2      







J
l
b
J
l
a
J

M
M

M     



4. Vẽ biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Kết quả như
trên hình 1.23 c.

5. Xác định các đại lượng trong số hạng tự do của hệ phương trình ba mơ men

3
540
8
.
2
6
,
45
4
.
2
6
,
45
,
,
1
.

,
,
1
,
1
.
,
1
1
.

1a  a  a    kNm


3
10000
5
.
10
.
300
.
3
2
2
2
2
.

2a  b   kNm



0
3
,
0

3 b 



6. Thay trị số của các hệ số vào hệ phương trình ba mơ men.
Với chú ý M0 = - 20 kNm, ta có:






















0
10
10000
.
6
0
2
)
0
10
(
2
1
10
0
)
10
10000
2
,
1
.
12
540
(

6
2
10
1
)
10
10
(
2
20
.
10
M
M
M
M

Rút gọn, ta được:
4M1 + M2 + 557,5 = 0

M1 + 2M2 + 600 = 0.

7. Giải hệ phương trình, ta được: M1 = - 73,6 kNm; M2 = - 263,2 kNm.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

c. Với dầm liên tục có đầu ngàm

Thay ngàm và ngàm trượt bằng cách đặt thêm nhịp quy đổi ở hai đầu dầm.
Nhịp quy đổi có chiều dài bằng khơng, hoặc EJ=∞ và có liên kết tương
đương với ngàm (hình.1.24).

Sau khi đưa dầm liên tục có đầu ngàm về dầm liên tục đơn giản có thể áp
dụng phương trình 3 mơ men đã biết.

Như vậy đối với mỗi dầm liên tục bất kỳ khi quy về dầm liên tục đơn giản
tương ứng ta sẽ thiết lập được hệ phương trình 3 mơmen viết cho tất cả các gối
trung gian. Sau khi giải hệ phương trình 3 mơmen sẽ tìm được tất cả các mơmen
uốn tại các gối tựa, gọi là Mômen tựa.

Để xác định giá trị mômen uốn và lực cắt tại một tiết diện bất kỳ trong các
nhịp của dầm ta xem các nhịp là một dầm đơn giản chịu tải trọng và mômen ở
hai đầu nhịp đã xác định từ phương trình 3 mơmen.

Áp dụng ngun lý cộng tác dụng sẽ tìm được mơmen uốn, lực cắt tại tiết
diện bất kỳ k có hồng độ z trong nhịp thứ i như sau:

. (1.

1 37)

l z z

d i

M M M M

i
i

k k l l

i i



  

 ;

Q dMk m Qd Mi Mi 1 m. (1.38)

k dz k l

i




    

Trong đó:

d
k
Q
d
k

M , - mô men uốn và lực cắt tai tiết diện k do tải trọng gây ra trong
dầm đơn giản đặt tự do trên 2 gối tựa ở hai đầu nhịp.

EJ=∞
EJ=∞

n n+1
2

1
1
0

n
1 2

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

li - chiều dài của nhịp thứ i đang xét.

Ví dụ 1.16. Vẽ biểu đồ mơmen cuốn của hệ trên hình 1.25. Cho biết EJ = 
1080 kN.m2; φ = 0,005radian; Δ1 = 0,03m; Δ 2 = 0,02m; h2EJ = 0,4m; hEJ = 0,3m.

Lời giải:

Đưa hệ về hệ tương đương 2 đầu khớp như trên hình vẽ (Hình.1.25 b)

Hình 1.25

(e)

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

1. Bậc siêu tĩnh: Hệ dầm liên tục nên ta có thể sử dụng các công thức (1.3), 
hoặc (1.32), (1.33) để tính bậc siêu tĩnh, hệ có bậc siêu tĩnh là 2.

2. Tạo hệ cơ bản: Đánh số các gối tựa, vẽ biểu đồ (MP0). Kết quả trên hình 1.25 b, c)

Ở đây ta xem M = -P.2 = -4 , là mômen M3 trong phương trình 3 mơmen.

3. Viết phương trình 3 mơmen cho các gối tựa trung gian 
Đoạn 1: i = 1





0
2
1
2
1
1
0
0
6
2
2
).
21
22
(
2
2
1
).
11
21
(
1
0

6
2
2
2
2
1
1
1
1
0
6
2
2
1
2
1
2
0
1







































l
Z
Z

l
Z
Z
EJ
l
t
t
h
l
t
t
h
EJ
J
l
b
J
l
a
J
M
M

M       



Đoạn 2: i =2





0
3
2
3
2
2
1
0
6
2
3
).
13
23
(
3
2
2
).
12
22
(
2
0
6
3
3
3
3
2

2
2
2
0
6
3
3
2
3
2
2
1
2







































l
Z
Z
l
Z
Z
EJ
l
t

t
h
l
t
t
h
EJ
J
l
b
J
l
a
J
M
M

M       



Ở đầu bài cho biết:  1,2.105(0C1); hEJ= 0,3m, h2EJ = 0,4m, EJ = 1080T.m2

4. Xác định các đại lượng trong phương trình 3 mơ men 
M0 = 0; M3 = -4; t23 = 40

C; t13 = 20
0

C;
Z0 = -0,0051.l1; Z2 = 0,03; Z0 = 0,02; Z1 = 0.

1

 ; .2.4 4

2
1

2  

 ; a b 2m

2   ; 3.4.2,4 6,4

3  

 ;a b 2m

3  

Chọn J0 = J; tính

i
J
J
i
l

i  . 0

 → 0

1

 ; 4

2 

 ; 2

3 



Thay vào:
Đoạn 1: i = 1









0,03 0 0

1
0
1
.
005
,
0
0
6
0
0
0
6
.
4
2
.
4
0
0
6
2
4
1
4
0
2
0
.
0

0 


























l
l
EJ

EJ
J
J
M
M
2
,
28
015
,
0
12
2
4
1

8    

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

0
4
03
,
0
02
,
0
4
03
,
0

0
6
2
4
)
20
40
(
4
,
0
0
6
.
2
.
4
2
.
4
,
6
.
4
2
.
4
.
6
)

4
.(
2
2
)
2
4
(
2
1
4






 

























EJ
EJ
J
J
J
M
M 
424
,
43
06
,
0
600
6
,
21
8

2
12
1

4      

 M M EJ EJ





















0
752

,
5
0
401
,
6
424
,
43
2
12
1
4
2
,
28
2
4
1
8
2
1
M
M
M
M
M
M

5. Vẽ biểu đồ nội lực

a. Biểu đồ mơmen (M): treo biểu đồ (Hình 1.25,e).
b. Biểu đồ lực cắt, (Hình 1.25,f).

c. Biểu đồ lực dọc Nz trùng với đường chuẩn.

d. Với dầm liên tục đặt trên gối đàn hồi

Dầm liên tục đặt trên gối đàn hồi – dầm có các gối có thể dịch chuyển
theo phương vng góc với trục dầm.

Ví dụ: dầm đặt trên các cột trụ có chiều dài hữu hạn. dầm đặt trên các hệ
đàn hồi hay các phao,...

Sơ đồ tính tốn như trên hình 1.26 a.

Các gối đàn hồi được mô tả bằng các liên kết lò so với hệ số độ cứng Cj.

Nếu phản lực tại gối thứ j là Rj, chuyển vị là yj, thì

j
j
j

C
R
y  .

i-2 i-1 i i+1 i+2

Mi+2
Mi+1

Mi-1

Mi-2 Mi

Hình 1.26

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Để tính tốn dầm liên tục đặt trên gối đàn hồi ta cũng áp dụng phương
pháp lực. Chọn hệ cơ bản như hình 1.26 b) với ẩn là các mô men uốn tại các tiết
diện của gối trung gian. Ta thấy Mi chỉ gây chuyển vị trong các nhịp (i-2), (i-1),

(i). (i+1) và (i+2) như đường nét đứt trên hình 1.26 c.

Phương trình chính tắc viết cho gối trung gian thứ i có dạng:

0

2 )

2 (

1 )

1 (

.

1 )

1 (

2 )

2 (

i



i

M

i







i



i

M

i







i

M

i





i



i

M

i





i



i

M

i





i

p





(1.37)

Phương trình này chứa 5 mô men chưa biết tại 5 gối tựa kế tiếp nhau
-gọi là phương trình năm mơmen.

Ở đây:  

j Cj
jk
R
ji
R
k

M
M

ik ( 1).( )

 ;

  

j Cj

jp
R
ji
R
p

M
i
M
ip

0
)

0
)(

( .

Trong đó:

)

(
,
)
(

k
M
i

M - biểu đồ mơ men uốn do Mi = 1 và Mk = 1 gây ra trong hệ cơ bản;
)

(
,
)
(

jk
R
ji

R - phản lực hay lực dọc do Mi = 1 và Mk = 1 gây ra trong hệ cơ bản.

Ứng với mỗi gối tựa trung gian ta lập được một phương trình 5 mơmen.
Với dầm có n gối trung gian ta sẽ lập được hệ n phương trình 5 mơmen đủ để
xác định n ẩn mô men tựa.

Sau khi giải hệ phương trình 5 mơmen xác định được các mômen tựa ta sẽ
vẽ được các biểu đồ, mômen uốn, lực cắt và xác định phản lực trong các gối tựa
theo phương pháp đã trình bày như với dầm đặt trên các gối cứng.

1.2.3.3. Cách tính dầm liên tục theo phương pháp tiêu cự mômen.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

lý cộng tác dụng để đưa về thành tổng của nhiều bài toán, mỗi bài toán tải trọng
chỉ tác dụng lên 1 nhịp.

1.2.4. Vòm siêu tĩnh

a) Nhắc lại một số khái niệm về vòm

*Vòm là một thanh cong phẳng chịu tải trọng trong mặt phẳng của nó.
Trừ vòm 3 khớp là hệ tĩnh định đã xét, còn lại đều là vòm siêu tĩnh.

*Cấu tạo: Vịm siêu tĩnh có 3 dang chính: Vịm khơng khớp,Vòm 1 khớp và
Vòm 2 khớp, có thanh căng hoặc khơng có thanh căng ( hình 1.27.c)

*Cơng dụng: -Trong xây dựng: khung mái che (khách sạn, cung văn hóa, cổng);
- Trong giao thông. thủy lợi: Cầu, đường hầm, cống ngầm…).
Ví dụ: Cầu gỗ ở Nga (trên sông Nê va) dài 300m;

Cầu thép ở Mỹ (Kilvankoul) - 510m;

Cầu bê tông cốt thép ở Úc (Paramatta) - 505m.

Đường ngầm qua biển Măng sơ (từ Anh sang Pháp) - 750 km.

Ở Việt nam có một số đường hầm như đường hầm qua đèo Hải vân,
Đường ngầm qua sơng Sài Gịn – Hầm Thủ Thiêm,...

*Hình dáng hợp lý của vịm: Trục vịm chọn theo trục hợp lý của vòm 3 khớp.

Quy luật thay đổi tiết diện vòm theo sự phân bố nội lực trong vịm - bền đều.

Vịm khơng khớp 
Có 3 bậc siêu tĩnh

Vịm 1 khớp 
Có 2 bậc siêu tĩnh

Vịm 2 khớp 
Có 1 bậc siêu tĩnh

Hình 1.2.a

Hình 1.27.c
Dùng nhiều nhất

Mơ men uốn phân bố
khá đều, ít thay đổi từ
chân đến đỉnh vòm

Ít dùng

Vì ở đỉnh có khớp, nên
đường đàn hồi có góc
gẫy ( khơng liên tục)

Thường dùng

Mô men uốn phân bố
không đều ( tăng dần từ

chân đến đỉnh vòm)
b) Hệ cơ bản của hệ vòm

Trong mục này giới thiệu cách tính vịm khơng khớp và vịm 2 khớp đối
xứng bằng phương pháp lực. Hệ cơ bản của chúng như sau:

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Vịm khơng khớp Vịm 2 khớp Vịm 2 khớp 
có thanh căng

Phương trình chính tắc:

0
0
0
2
3
33
2
2
22
1
1
11











p
p
p
X
X
X



i
i
iP
i
X
.



 11
1
1
1
1
11 0


 P
P X

X    

1 0 1 0

1 0
. .
EJ EF
.
li li
m m

k m k m

km
i i
li
m
k m
i

M M N N

ds ds
Q Q
ds
GF



 

 










 

2
2
11
cos sin

EJ cos EF GF cos

ds ds ds

y  

 

 













0 0

1 0 1 0

1 0
. .
EJ EF
.
li li
m m

k P k P

kP
i i
li
m
k P
i

M M N N

ds ds
Q Q
ds
GF

 

  










 

0 0 2 0

-cos . sin .

EJ cos EF GF cos

P P P

P

M ds N ds Q ds

y   

 



  











Chọn hệ cơ bản: Theo nguyên tắc có nhiều hệ số δij = 0 để phương trình

chính tắc đơn giản nhất, nên mỗi phương trình chỉ có 1 ẩn.
1.3. Cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh

Cơng thức tính chuyển vị Maxwell-Morh [2] áp dụng cho cả hệ tĩnh định
và siêu tĩnh. Trong đó cần quan niệm hệ tương ứng với 2 trạng thái:

Trạng thái “m” - trạng thái thực của hệ;
Trạng thái ”k”- trạng thái khả dĩ của hệ;

Trạng thái ”k” được tạo ra bằng cách giả định đặt PK1 có vị trí và
phương tương ứng với chuyển vị cần tìm.

Như vậy, muốn tính chuyển vị trong hệ siêu tĩnh theo công thức Morh
cần phải tính hệ siêu tĩnh 2 lần:

* Tính trạng thái “m”tính hệ siêu tĩnh ban đầu;
X1

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

* Tính trạng thái “K” - tính hệ siêu tĩnh với PK1. .

Do đó khối lượng tinh toán nhiều. Dưới đây nghiên cứu một cách khác
đơn giản hơn.

1.3.1. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu tải trọng 
Để xác định chuyển vị của hệ siêu tĩnh chịu tải trọng ta cần
*Tính trạng thái “m” - tính hệ siêu tĩnh cho ban đầu;

*Tính trạng thái “K” - tính hệ tĩnh định tương ứng (hệ cơ bản)
Ta có 2 cách tính chuyển vị như sau:

Cách 1: Sau khi khử siêu tĩnh cho hệ ban đầu.

Áp dụng công thức tổng qt tính chuyển vị đã biết trong mơn sức bền vật
liệu viết dưới dạng biểu đồ:

  



i
jp
jk
k

P
Kp

C
R
R
M

M )( 0) 0

( (1.40) 
Trong đó:



MP



 

RjP - biểu đồ mômen uốn và phản lực lại liên kết đàn hồi thứ j do
tải trong gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu;

)
(
),

(Mko Rjk0 - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ j do lực
Pk=1 có vị trí và phương tương ứng với chuyển vị cần tìm gây ra trong hệ cơ bản.

Chú ý: - Vì có thể tạo trạng thái “k” trên hệ cơ bản bất kì, nên chọn hệ cơ

bản sao cho biểu đồ ( 0)

K

M đơn giản nhất.

Cách 2: Khử siêu tĩnh cho hệ ở trạng thái Pk = 1 vẽ biểu đồ Mk

Cũng có thể tính chuyển vị theo biểu thức:

j
jK
jp
K

p
Kp

C
R
R
M

M 





 ( 0)( ) 0 (1.41)

Trong đó:



M0P

 

, R0jP



- biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ j do

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

)
(
),

(Mk RJK - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ j do

lực PK1 gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu.

Ví dụ 1.17. Xác định góc xoay tại B của khung trong ví dụ 1.6 
Cách 1:

- Theo kết quả trong ví dụ 1.6
đã có biểu đồ (MP)

hình.1.28b.

-Tạo trạng thái “k” trên hệ cơ
bản và vẽ biểu đồ (Mk0)-
hình.1.28 c,d).

- Ta có:





 

2 2

1 1 2 1

. .1 . .1

EJ 2 14 3 2 28 3

56EJ

P k

M M

qa a qa a

qa
 
 
   
 
 

(góc xoay tại B ngược chiều
kim đồng hồ)

Cách 2: Nếu áp dụng biểu thức (1.41) ta đã có (MP0) trong hệ cơ bản (hình 1.28
b), cần vẽ biểu đồ (Mk) trong hệ siêu tĩnh ban đầu (hình 1.29 a, b, c, e).

Để vẽ (Mk)do Mk=1 gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu ta phải vẽ các biểu

đồ (M1), (M2)và (Mk0), rồi tính:

 





2 2

1 1
1
. .1
EJ EJ
k k
a

M M a 

       ;

 





2 2

. .1

EJ 2 2EJ

k k

a a

M M  

    
 
.
Lập PTCT:
0
2
1
.
3
.
2
,
0
1
.
2
.
3
4
2
1
2
1








X
a
X
a
X
a
X
a
 .
7
6
.
;
7
3

. 1 2

a
X
a

X  

Theo (1.41) ta có:





 

2 2 2

1 1 2 3 2 1 3 4 2

. .

EJ 2 2 3 7 3 8 2 7 2 7 7 2

P k

qa qa qa a

M M a a

qa
EJ
         
     
 
 

B

a q

EJ=const
a

A
C
a) 
c) 
B
A
C
1 
)
( 0
k
M
C
B
A
Mk=1

(k)

Hình 1.28

qa2/8
qa2/14

b)

(MP)

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

 ta có kết quả như đã tính theo biểu thức (1.40).

Qua hai cách tính như trên ta nhận thấy nếu hệ là siêu tĩnh khi chỉ cần tính
chuyển vị thì ta nên sử dụng cách thứ hai là nhanh nhất và cho kết quả chính
xác, không cần khử siêu tĩnh cho hệ ban đầu rất phức tạp và dài để ra được biểu
đồ MP cuối cùng.

1.3.2. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu biến thiên nhiệt độ, chế tạo chiều dài 
thanh khơng chính xác, chuyển vị gối tựa

Vận dụng biểu thức (1.41) cho hệ siêu tĩnh trong trường hợp này, ta thấy
để tìm chuyển vị trong hệ ban đầu (a) chỉ cần tìm chuyển vị trong hệ cơ bản bất
kỳ (b) – (vì hai hệ này có chuyển vị như nhau). Trong đó trạng thái “k” cần tạo
ra khi xác định chuyển vị của hệ (b) có thể thực hiện trên hệ cơ bản (b).

Theo nguyên lý cộng tác dụng thì chuyển vị của hệ cơ bản là tổng của
chuyển vị do các lực Xi , phản lực tại các liên kết đàn hồi Rj và các nguyên nhân

(t).(Δ),(Z) gây ra.
Gọi: Δ0kt, Δ
0

kΔ, Δ
0

kZ - chuyển vị do sự thay đổi nhiệt độ, do chế tạo khơng

chính xác và do di chuyển gối đỡ gây ra trong hệ cơ bản, ta có:

* Chuyển vị do nhiệt độ

0
0

)
)(

( kt

j
jt
jk
k

t
Kt

c
R
R
M

M  







(1.42)

* Chuyển vị do chế tạo chiều dài khơng chính xác:

Hình 1.29

B A

Mk=1

(k)
a)

)
(M1
X1

a
)
(M2
X2

)
(Mk0

b) c) d)

3/7

(M1)
X1
e)

6/7

(M2)
X2

f) g)

3/7

2/7

)
(Mk

4/7 qa2

qa2/2

(M0P)
q

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

(

)(

)

0 0












k

j
j
jk
k

K

c

R

M

(1.43)

* Chuyển vị do di chuyển cưỡng bức của gối tựa:

( )( 0) 0 0kZ

j
jZ
jk
k

Z
KZ

c
R
R
M

M  







(1.44) 
Trong đó: Δ 0kt, Δ

0
kΔ, Δ

kZ - xác định theo các công thức (1.16), (1.17) và

(1.18) trong hệ cơ bản:



  







0kt (t2 t`1) (Mk0) tcm (Nk0)

h 



i
ik

k  N 

0



0.
j

jk

kZ R .Z

0
0








Ví dụ 1.18: Xác định độ võng tại giữa nhịp thanh ngang của khung chịu 
biến thiên nhiệt độ (hình.1.30 a), cho tiết diện thanh chữ nhật, chiều cao h và độ
cứng EI = const. Vật liệu thanh có hệ số dãn nở vì nhiệt là nhỏ.

Nguyên nhân gây chuyển vị trong khung là nhiệt độ, nên sử dụng (1.42)
để tính. Trình tự thực hiện như sau:

- Vẽ biểu đồ (Mt) – (hình.1.30 b);

- Tạo trạng thái “k” trên hệ cơ bản tĩnh định và
vẽ các biểu đồ (M k0 ), (N k0 ) - (hình 1.30c).

t
2t
l

l
a)

X1=
1
Hệ cơ bản

t
2t

X1
b)

)
(M1

l
l

)
(N1

Hình 1.30

)

(

M

t

)
2
2
3
(
5

h
l
l

t
EI





c) 1/2

l/4
Pk=1

0
K
M

0
K

N

1 1

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Xác định chuyển vị theo (1.42) và (1.45):



    




Kt ( t)( k0) (t2 t1) (Mk0) tc (Nk0)

h
M

M  

1 1 3 3 2 3 . .

129 2

EJ 2 51 2 2 4 2 2 2 80

kt

EJ t l l l l l t l l

t t

h h h

  



     

            

     

(Dấu trừ chứng tỏ chuyển vị ngược chiều với Pk, tức hướng lên).

1.4. Cách kiểm tra kết quả

Khi giải bài toán siêu tĩnh ta cần thực hiện nhiều phép tính trung gian, do
đó dẽ mắc những sai lầm hoặc sai số lớn trong kết quả cuối cùng. Để tránh
những sai xót có thể sẩy ra cần tiến hành kiểm tra kết quả. Dưới đây giới thiệu
cách kiểm tra kết quả trong từng khâu.

1.4.1. Kiểm tra quả trình tính tốn

*Kiểm tra các biểu đồ đơn vị (MK) và biểu đồ tải trọng (M0P) - theo cách vẽ
biểu đồ trong môn SBVL.

*Kiểm tra các hệ số δKm
Điều kiện kiểm tra:

a) 



 K  K   Kn

j
js
jK
S
K
c
R
R
M

M )( )   ... 

( 1 2 (1.47)

b)
)
,....
2
,
1
;...
,...
2
,
1
(
,
)
)(
(

1
n
m
n
k
c
R
R
M
M
m
K
Km
j
jS
jS
S
K








(1.48)

*Kiểm tra số hạng tự do

- Số hạng Kp, theo điều kiện: ( 








i
j
js

jp
p
s
C
R
R
M
M
0
0
)

)( ip (1.49)

- Số hạng  kt , theo điều kiện:












n
k
Kt
s

c

s t N

M
t
t

h 1

2 ) ( ) ( )

( 



</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

- Số hạng K, theo điều kiện:












n
k

K
i

is

N

(1.51)

- Số hạng Kz, theo điều kiện:








j

n
k

Kz
jm

jsZ

R (1.52)
*Kiểm tra kết quả giải hệ phương trình chính tắc.

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc nhận được các giá trị X1...Xn. Nếu
thay trở lại phương trình chính tắc thì các phương trình đó phải bằng không.
Thực tế do hiệu quả của việc làm trịn các phương trình sẽ khác khơng. Để đánh
giá sai số người ta quy ước sai số theo % nhỏ hơn giá trị cho phép:

   100(%)

 



A
B
A

(1.53)
Trong đó: A, B là tập hợp các số liệu của mỗi phương trình cần kiểm tra
dưới dạng A – B, [ε] sai số tương đối cho phép.

*Kiểm tra kết quả cuối cùng:

 





 










kz
kt

s

kz
kt
k

M
M

.
.

(1.54)

1.4.2. Kiểm tra theo điều kiện biến dạng:

Chuyển vị tại các liên kết phải bằng không.
*Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng: ( )( )



0

j
jp
jk
K

P

C
R
R
M

M (1.55)

*Hệ siêu tĩnh chịu các nguyên nhân (t), (∆), (z):

Kz
K

z

K
K

Kt
K

t

M
M

















)
)(
(

(1.56)

Ví dụ 1.19. kiểm tra kết quả tính tốn cho ví dụ 1.6.

Để kiểm tra ta vẽ biểu đồ mômen uốn tổng cộng

 

   

1 M

M
s

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

1. Kiểm tra các hệ số:

Theo hàng thứ nhất. Nhân

 

Ms với

 

M1 hình
1.31,b

  

EJ
a
a
a
a
a
a
a
EJ
M
s
M
6
3
5
.
.
2
1
3

2
.
.
2
1
1

1    
Mặt khác
EJ
a
EJ
a
EJ
a
6
5
2
3

4 3 3 3

11    

 (đúng).

Theo hàng thứ hai. Nhân

 

Ms với



M2



hình
1.31,c):



 

EJ
a
a
a
a
EJ
M
s
M
6
3
3
1
.
.
2
1
1

1    
Mặt khác
EJ
a
EJ
a
EJ
a
6
3

2
3
3
3
22

21    

 (đúng).

- Kiểm tra toàn bộ các hệ số:







EJ
a
a
a
a
a
a
a
EJ
s
M
s
M
3
3
2
3

2
.
.
2
1
3
2
.
.
2
1
1







Mặt khác
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a

km
3
2
2
2
3

4 3 3 3 3 3










 (đúng)

2. Kiểm tra các số hạng tự do. Nhân

 

Ms với

 

Mp hình 1.32

 

EJ
a
a
a
qa
a
a
qa
EJ
p

M
s
M
8
3
3
2
1
.
.
2
2
4
3
.
.
3
2
.
3
1
1
0 

















Mặt khác
EJ
qa
EJ
a
EJ
a
p
p
8
3
4
8

5 4 4 4

1    

 (đúng)

3. Kiểm tra kết quả cuối cùng. Biểu đồ mơ men trên hình 1.10 h sau khi kiểm
tra về biến dạng kiểm tra chính xác kiện chuyển vị .Ta có

Hình 1.32

a)
s

M

X1=1

X2=1

2

M

X1=1

b)
Hình 1.31 
c)
2
M

X2=1

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

 

0
42
1
42
1
3
2
3
1
.
.
28
2
2
1
3
2
.
.
14
2
.
2
1
1

2
1
.
.
8
2
3
2
3
2
.
.
14
2
.
2
1
1






























EJ
a
a
a
qa
a
a
qa
EJ
a
a
qa
a

a
qa
EJ
s
M
p
M

Chứng tỏ biểu đồ Mp vẽ đúng.

Từ bểu đồ mômen đúng, ta suy ra biểu đồ lực cắt và lực dọc. Sau đó kiểm
tra biểu đồ (Q), (N) như hình 1.33. Theo diều kiện cân bằng bộ phận bằng cách
cắt một phần bất kỳ của hệ xem nội lực và ngoại lực có thỏa mãn các phương
trình cân bằng hay khơng.

1.5. Một số điều cần chú ý khi tĩnh hệ siêu tĩnh bậc cao.

Với hệ siêu tĩnh bậc cao có khối lượng tính tốn lớn thường dẫn đến kết
quả kém chính xác. Để nâng cao độ chính xác và giảm nhẹ khối lượng tính cần
có biện pháp thích hợp.

1.5.1. Các biện pháp nâng cao độ chính xác của kết quả phép tính 
a) Chọn phương pháp tính sao cho số ẩn là ít nhất.

Với mỗi bài toán cụ thể nên cân nhắc xem trong số các phương pháp tính
hệ siêu tĩnh nên chọn phương pháp nào yêu cầu số ẩn ít nhất.

b) Dùng phương pháp lực lên chọn hệ cơ bản sao cho gần sát với hệ 
siêu tĩnh.

c) Dùng các biện pháp giảm khối lượng tính tốn 
1.5.2. Biện pháp giảm khối lượng tính tốn

*Các biện pháp giảm thiểu số lượng phương trình cần giải.

- Khi dùng phương pháp lực không nhất thiết chọn hệ cơ bản tĩnh định,
mà chọn hệ cơ bản siêu tĩnh có bậc thấp hơn.

- Trương hợp hệ siêu tĩnh đã cho là hệ đối xứng, nên triệt để sử dụng tính
chất đối xứng.

Hình 1.33 
0.5a 2
qa
28
B
A
a
4qa
7
3qa
28
4qa
7
q

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

*Các biện pháp đơn giản hóa cấu trúc của hệ phương trình

Hệ phương trình có cấu trúc đơn giản là hệ phương trình có nhiều hệ số
bằng khơng. Có thể dùng các biện pháp sau:

- Với hệ đối xứng, nên triệt để sử dụng tính chất đối xứng.

- Chọn hệ cơ bản hợp lí là việc chọn sao cho việc tính toán được đơn giản,
(như xác định nội lực, vẽ biểu đồ, xác định các hệ số… dễ dàng). Với hệ phức
tạp nên chọn hệ cơ bản bằng cách cắt hệ thành nhiều bộ phận độc lập.

Ví dụ như hệ trong hình 1.34 a có 2 cách chọn hệ cơ bản như hình 1.34 b,
c nhưng ta nên chọn hệ cơ bản như hình 1.34 c.

Cụ thể hệ cơ bản hợp lý có: + Số phương trình ít nhất;

+ Xác định nội lực (vẽ biểu đồ) đơn giản;
+ Có nhiều hệ số bằng khơng.

1.5.3. Cách vận dụng tính chất đối xứng của hệ

a) Sử dụng các cặp ẩn đối xứng và phản đối xứng.

- Nếu hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng đối xứng thì các cặp ẩn
phản đối xứng bằng không.

X1
X2

X1
X3

X5
X4

X6
X8

X7
X9

X1
X1

X2
X3

X3
X2

X2
X3

X3
X2

X2
X3

X3
X2

X2
X3

X3
X2

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

- Nếu hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng phản đối xứng thì các
cặp ẩn số đối xứng bằng khơng.

Ví dụ như hình 1.35 a xét hệ đối xứng:

+ Nếu tải trọng đối xứng thì các cặp ẩn số: X1=0 và Y4=0;

+ Nếu tải trọng phản đối xứng thì các cặp ẩn số: X2=0 và Y1=0;

b) Biện pháp biến đổi sơ đồ tính

Mục đích là thay thế việc tính hệ đối xứng bằng việc tính nửa hệ với sơ đồ
tương đương bảo đảm sao cho nội lực và biến dạng trong cả hai trường hợp là
như nhau. Sau khi tìm được kết quả trên một nửa hệ ta dễ dàng suy ra kết quả
trên nửa hệ còn lại theo các tính chất sau:

Trong các hệ đối xứng chịu nguyên nhân đối xứng thì đường biến dạng 
mơmen uốn, lực dọc có tính chất đối xứng, cịn lực cắt có tính phản đối xứng.

Trong các hệ đối xứng chịu nguyên nhân phản đối xứng thì đường biến 
dạng mơmen uốn, lực dọc có tính chất phản đối xứng, còn lực cắt có tính đối 
xứng.

Để thực hiện biến đổi cần:

Phân tích hệ bất kì thành hệ chịu tác dụng đối xứng với hệ chịu tác dụng
phản đối xứng .

b.1) Với hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng đối xứng

Khi tính hệ đối xứng có trục đối xứng khơng trùng với trục của một thanh 
nào của hệ và chịu lực tác dụng đối xứng ta chỉ cần đặt ngàm trượt dưới dạng 
hai thanh song song có phương vng góc với trục đối xứng tại những tiết diện

a)
P

b)
X1

X2
X2

Y1 Y4 Y1

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

nằm trên trục đối xứng rồi thực hiện tính tốn với nửa hệ, cuối cùng suy ra kết 
quả trên nửa hệ cịn lại theo tính chất ở trên.

Ví dụ như hình 1.36. - Hệ đối xứng chịu tải đối xứng có trục khơng trùng
với 1 thanh nào của hệ ( hình 1.36 a)

Ta sử dụng nửa hệ như hình 1.36,b.

Hình 1.37 a. - hệ đối xứng chịu tải đối xứng có trục khơng trùng với 1
thanh nào của hệ, khi đó phản lực YA = YB = qa, XA = XB = 0.

Ta sử dụng nửa hệ như hình 1.37 b.

Khi tính hệ đối xứng có trục đối xứng trùng với trục của một hoặc một số 
thanh của hệ và chịu tác dụng đối xứng ta cần đặt ngàm trượt dưới dạng hai 
thanh song song có phương vng góc với trục đối xứng đồng thời thay các 
thanh có trục trùng với trục đối xứng bằng các thanh có 2 đầu khớp với độ cứng 
bằng nửa độ cứng của thanh bị thay thế. Sau khi thực hiện tính tốn với nửa hệ 
ta suy ra kết quả trên nửa hệ còn lại.

Khi tìm nội lực trên tồn hệ cần chú ý là lực dọc trong các thanh có trục 
trùng với trục đối xứng gấp 2 lần lực dọc trong các thanh tương ứng khi tính với 
nửa hệ.

P/2

P
P

Hình 1.36

Hình 1.37

a
a
A

b)
a a

a
a

A B

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Ví dụ như hình 1.38 a, hệ đối xứng chịu tải đối xứng có trục trùng với 1
thanh. Phản lực YA = YB = qa

Ta sử dụng tính chất hệ đối xứng xét nửa hệ như hình 1.38 b.

b.2) Với hê đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng phản đối xứng

Khi tính hệ đối xứng có trục đối xứng không trùng với trục của một thanh 
nào của hệ và chịu tác dụng phản đối xứng ta chỉ cần đặt liên kết thanh có trục 
trùng với trục đối xứng tại tiết diện nằm trên trục đối xứng rồi thực hiện tính 
tốn với nửa hệ. Sau đó suy ra kết quả trên nửa hệ cịn lại theo tính chất ở trên.

Ví dụ như hình 1.39 a, Hệ đối xứng chịu tải phản đối xứng có trục khơng 
trùng với 1 thanh nào.khi đó ta có phản lực YA=YB=0, XA=XB=0

Ta sử dụng tính chất hệ đối xứng xét nửa hệ như hình 1.39,b

Khi tính hệ đối xứng có trục đối xứng trùng với trục của một hoặc một số 
thanh của hệ và chịu tác dụng phản đối xứng ta cần chia đôi độ cứng của các 
thanh có trục trùng với trục đối xứng đồng thời tại đầu các thanh này đặt các 
liên kết thanh có trục trùng với trục đối xứng. Sau khi thực hiện tính tốn với 
nửa hệ ta suy ra kết quả trên nửa hệ còn lại.

Khi tìm nội lực trên tồn hệ cần chú ý là trong thanh có trục trùng với 
trục đối xứng, mô men uốn và lực cắt gấp 2 lần mômen uốn và lực căt trong 
thanh tương ứng khi tính với nửa hệ cịn lực dọc ln ln bằng khơng.

Hình 1.38

A B

a
a

EF

EF/2 b)

Hình 1.39

J1
q

A
J2

B
a

a
J1
q

J2 J2

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Ví dụ hình 1.40 a hệ đối xứng chịu tác dụng phản đối xứng, ta thực hiện
tính tốn trên nửa hệ như hình 1.40 b.

1.6. Cách tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng di động 
Nguyên tắc tính (giống như hệ chịu tải trọng bất động):

- Tìm các phản lực liên kết XKtrong hệ cơ bản theo vị trí tải trọng -vẽ đah XK
(gọi là đah cơ bản)

- Vẽ đah của các đại lượng khác theo đah cơ bản
- Tìm vị trí bất lợi & tìm giá trị tính tốn.

1.6.1. Đường ảnh hưởng cơ bản. “đah CB”

Đường ảnh hưởng cơ bản là đường ảnh hưởng của các ẩn Xk, trong đó Xk

là các lực ẩn số thay thế cho các liên kết bị loại bỏ khi tạo hệ cơ bản.
Để dễ theo dõi chúng ta nhắc lại một số khái niệm và định nghĩa

- Hệ cơ bản: là hệ được tạo ra bằng cách loại bỏ các liên kết thừa và thay thế 
bằng các ẩn số Xk như trong phương pháp lực, Cơ học kết cấu 1.

- Hệ phương trình chính tắc: Để vẽ đường ảnh hưởng ta giả thiết trên cơng 
trình chỉ có 1 lực P = 1 di động theo 1 tọa độ z. Lực này bằng đơn vị và duy nhất
tác dụng, nên số hạng tự do chỉ còn ΔkP và được thay bằng δkP. Do đó, hệ

phương trình chính tắc có dạng:
a)

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... 0

n n P

n n nn n nP

X X X

  

     




     





      



(1.57)

Trong đó:

δKm- chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của XK do Xn1 gây ra
trong hệ cơ bản - là hằng số.

δKp- chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của XK do P=1 gây ra
trong hệ cơ bản.

Vì P = 1 di động nên δKplà hàm của tọa độ chạy z - vị trí của P = 1.
Sau khi giải hệ (1.57), tìm được XK f(z) – phương trình của đah cơ bản
Cho Z biến thiên, vẽ được đồ thị hàm f(z) - Đah(XK).

- Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc: 
a. Hệ số chính và phụ: (δkm).

Hệ số δkm không phụ thuộc vào lực P = 1 di động và được xác định như

hệ chịu tải trọng bất động: km 

  

Mk . Mm



b. Số hạng tự do: (δkP)

Hệ số δkP do P = 1 động gây ra nên sẽ thay đổi theo tọa độ chạy z của lực

P di động. Khi xác định δkP ta nên chia nhiều trường hợp của lực P = 1 di động

với mỗi trường hợp P di động trên một phần tử thuộc hệ. Với mỗi trường hợp
ta vẽ được một "dạng" của (MP0).

 





P

kP Mk M

 
- Giải hệ phương trình chính tắc

Có nhiều cách giả hệ phương trình (1.57), trong đó cách giải theo hệ số
ảnh hưởng là đơn giản, thuận lợi hơn vì khơng phải tính lại nhiều lần các hệ số
khi P = 1 thay đổi vị trí.

Sử dụng phương pháp hệ số ảnh hưởng, các ẩn Xk trong (1.57) được biểu

diễn qua các số hạng tự do (δkP) và hệ số ảnh hưởng như sau:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

...
...
...

P P n nP

n n P n P nn nP

X
X

X

     

   




   





    



</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Trong đó: Hệ số ảnh hưởng:

D
DiK

k
i
iK

)
1
(

)
1
(  


 ; (1.59)
D - định thức các hệ số của hệ phương trình (1.60):

(1.60)

DiK- định thức suy ra từ
định thức D bằng cách bỏ hàng thứ i cột thứ K (hoặc hàng k, cột i).

Sau khi xác định được Xk (là hàm theo tọa độ chạy z của P = 1 di động ),

cho z biến thiên sẽ vẽ được đ.a.h.Xk.

1.6.2. Đường ảnh hưởng nội lực, phản lực và chuyển vị.

Sau khi tìm được các đường ảnh hưởng cơ bản, áp dụng nguyên lý cộng
tác dụng ta có thể vẽ đường ảnh hưởng của đại lượng S (nội lực, phản lực,
chuyển vị…) theo biểu thức sau:

Đah(S) =

S

(

đah

.

X

)



S

(

đah

.

X

)



.



S

n

(

đah

.

X

n

)



đah

.

S

0 (1.61)
Trong đó:

n
S
S

S1, 2,..., - giá trị của đại lượng S do riêng từng lực bằng đơn vị gây ra

trong hê cơ bản. Những đại lượng này có giá trị xác định.
Đah X1,...,Đah Xn- các đah cơ bản,

Đah S0 - đah của đại lượng S trong hê cơ bản.

Chú ý: Khi vẽ đah(S) nên thiết lập bảng tính ghi giá trị của các thành phần trong 
biểu thức (1.61) theo vị trí của P = 1.

Bảng1.4. tính đ.a.h.S trong hệ siêu tĩnh 
Điểm

(z)

z Đah.X1 Đah.X1 … Đah.Xn Đah.S0 Đah.S

Ví dụ 1.20: Vẽ đường ảnh hưởng mômen uốn, đường ảnh hưởng lực cắt 
tại tiết diện C ở giữa nhịp của dầm có EJ = const trên hình (1.41 a), khi P = 1
thẳng đứng, hướng xuống di động trên dầm.

11 12 1

21 22 2

1 2

....

...

....

...

n
n

n n nn

D



</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Lời giải:

1. Vẽ đường ảnh hưởng cơ bản.

Bậc siêu tĩnh của dầm S = 1. Chọn hệ cơ bản với ẩn số X1 như trên hình

1.41 b. Đường ảnh hưởng cơ bản cần vẽ là đah X1

Phương trình chính tắc: 11X1   1P 0

Biểu đồ mômen uốn

 

M1 do X1 = 1 gây ra và vẽ biểu đồ mômen uốn do

P = 1 đặt tại hoành độ x gây ra trong hệ cơ bản được vẽ như trên hình 1.41 c,d.
Xác định 11 và  bằng cách nhân biểu đồ. 1P

   

11 1 1

. .

2 3 3

l l l

M M l

EJ EJ

   

 





1 1

(3 )
( )

2 3 6

P M MP

x x x x l x

l

EJ EJ

 



    

Giải hệ phương trình chính tắc,
tìm được đah X1:









1
1

11
2

2
3

3 3

.
6

1
3
2

P
dahX

x l x EJ

EJ l

x l x

l




 



 

   

 

 

Chia trục dầm làm bốn đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có chiều dài bằng l/4 .
tại mỗi diểm chia theo phương trình đah X1 đã tìm được tính tung độ đah X1.

Kết quả cho trong bảng 1.5. Đah X1 được vẽ như hình 1.41e.

l/4 l/4 l/4 l/4
P =1

X1
P =1

x (M0

P)
d)

(M1)
c)

X1
P = 1

x
b)

B
x

A P =1 C
l/2

l
a)

e) đah X1

128

40
128

81
128

Hình 1.41

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Bảng 1.5. Bảng tính giá trị đah X1

Điểm x x2 (3l-x) Tung độ đah X1

A 0 0 3l 0

1 l/4 l2/16 11.l/4 11/128

C l/2 l2/4 5l/2 40/128

2 3l/4 9l2/16 9l/4 81/128

B l l2 2l 1

2. Vẽ đah MC, đah QC theo công thức (1.61)

0
1

dah MC M dahXC( )dahMC
Trên hệ cơ bản MC do X1 =1 gây ra

là một hằng số và

C l

M  do đó:
0

dah M ( )
2

C  dahX dahMC

Đah M0C và (đah X1). l2 được vẽ

trên hình 1.42 a,b. Cộng các tung độ
của đường ảnh hưởng này tại các
điểm chia, sẽ được đah MC như trên

hình 1.42c.

Thực hiện tương tự vẽ đah QC

0
1

dah QC Q dahXC( )dahQC

Trên hệ cơ bản QC do X1 =1 gây ra là

một hằng số và Q  C 1 do đó:
0
1

dah QC  1(dahX )dahQC
Đah 0

C

Q và (đah X1).(-1) được vẽ

trên hình 1.43 a,b. Cộng các tung độ
của đường ảnh hưởng này tại các
điểm chia, sẽ được đah QC như trên

hình 1.43c

Hình 1.42 
x

A C B

X1
l/4 l/4 l/4 l/4

1
2l

+
_
l/4 l/2

Đah M0C
a)

256l 40

256l 81
256l

MC
(Đah X1)
b)

Đah MC

256l 40
256l

17
256l

81
128

40
128

47
128

X1
C

B
l/4 l/4 l/4 l/4
x

x đahQ

0
C

1 +

C

Q (đahX1)

11
128

40
128

1
-
b)

11
128

81
128

+

đahQC
c)

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Ví dụ 1.21. Vẽ đường ảnh hưởng mômen uốn tại tiết diện k của hệ trên 
hình vẽ (Hình 1.44,a). Cho EJ trong các thanh bằng hằng số trên toàn hệ.

Lời giải:

2m 3m

1m 3m

P=1

A D

C
B

X2
X1

0,65 0,285

b)
X1

 

M1
X

c)
X2

 

M2
X

a b

M0P1
C

P=1

(l z)

z
l



M0P2

P=1

(l z)

z
l



M0P3
z

P=1

(l z)

z
l



đahMk0
1

0,687 0,075

0,025

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

1. Vẽ đường ảnh hưởng cơ bản

a. Bậc siêu tĩnh: n = 3V- K = 3.3 – 7 = 2
b. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc

- Hệ cơ bản: (hình 1.44 b)

- Hệ phương trình chính tắc: 11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0
0

P
P

X X

 

   




   



c. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc
- Hệ số chính và phụ km:

11 =

1 1.3 2
( . . .1).2

2 3

EJ =

EJ , 12 = 21 =

1 1.3 1
. . .1

2 3

EJ =

1
2EJ
22 =

EJ (= 11)

- Xác định số hạng tự do ΔkP:

Chia đường xe chạy ra làm ba đoạn (phần tử) AB, BC, CD. Ứng với mỗi
phần tử ta chọn gốc tọa độ tại đầu trái. Ứng với mỗi phần tử, ta vẽ được





P
M
tương ứng (hình 1.44 e, f, g)

+ Khi P = 1 di động trên AB (z[0;3])

 





1 1 1

1 (3 ) 1 1 (3 ) 1 (9 )

. . .3. . . .

3 2 3 3 18

P P

z z z z z

M M

EJ EJ

  

   

 





2P M2 . MP1 0

  

+ Khi P = 1 di động trên BC (z[0;3])

 





1 1 2

1 (3 ) 1 1 (2.3 ) 1 (3 )(6 z)

. . .3. . . .

3 2 3 3 18

P P

z z z z z

M M

EJ EJ

   

   

 





2 2 2

1 (9 )

. .

P P

z z

M M

EJ


  

+ Khi P = 1 di động trên CD (z[0;3])

 





1P M1 . MP3 0

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

 





2 2 3

1 (3 )(6 z)

. .
18
P P
z z
M M
EJ
 
  

d. Nghiệm của phương trình chính tắc: 1 11 1 12 2
2 21 1 22 2

P P
P P
X
X
 
 
   


   

,
Trong đó:
1
( 1)i k . ik
ik
D
D
  
 
,
11 12
2
21 22
2 1
15
2

1 2 4(EJ)

2
EJ EJ
D
EJ EJ
 
 
  
3
11 2

2 15 8

( 1) . /

4(EJ) 15
EJ
EJ

     ; 4

12 2

1 15 2

( 1) . /

2 4(EJ) 15
EJ
EJ

    ;

22 2

2 15 8

( 1) . /

4(EJ) 15
EJ
EJ

    

Thay vào phương trình trên:

+ Khi P = 1 di động trên AB (z[0;3])
2
2
1
2
2
2

8 1 (9 ) 2 1

. . .0 . .(9 )

15 18 15 33, 75

2 1 (9 ) 8 1

. . .0 . .(9 )

15 18 15 135

EJ z z EJ

X z z

EJ

EJ z z EJ

X z z

EJ



     



   

+ Khi P = 1 di động trên BC (z[0;3])

2
1
2
2
2
2

8 1 (3 )(6 z) 2 1 (9 )

. . . .

15 18 15 18

1 1

. .(3 )(6 z) . .(9 z )

33, 75 135

2 1 (3 )(6 z) 8 1 (9 )

. . . .

15 18 15 18

1 1

. .(3 )(6 z) . .(9 z )

135 33, 75

EJ z z EJ z z

X

EJ EJ

z z z

EJ z z EJ z z

X

EJ EJ

z z z

  
  
     
  
 
    

+ Khi P = 1 di động trên CD (z[0;3])
1

8 2 1 (3 )(6 z)

.0 . .

15 15 18

. .(3 )(6 z)

135

2 8 1 (3 )(6 z)

.0 . .

15 15 18

. .(3 )(6 z)

33.75

EJ EJ z z

X

EJ
z z

EJ EJ z z

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Cho z biến thiên trên từng đoạn ta có thể vẽ được các đường ảnh hưởng cơ bản.
2. Đường ảnh hưởng mômen uốn tại k

đah = k1(đahX1) + k2(đahX2) + đah ;

đah được vẽ trên hình (hình 1.44,i);
1

1
3

k

M  ; Mk2 0
Ta lập bảng tính tốn:

Chia đường xe chạy ra làm 12 đoạn, mỗi đoạn dài 0,75m
Bảng 1.6.Tính đah cơ bản và đah Mk

Phần tử z (m) đahX1 đahX2 k1(đahX1) k2(đahX2) đah đah

0 0 0 0 0 0 0

0,75 -0,187 0,047 -0,063 0 0,75 0,687

1,5 -0,3 0,075 -0,1 0 0,75 0,65

2,25 -0,263 0,066 -0,088 0 0,375 0,287

3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0,75 -0,216 -0,122 -0,072 0 0 0,072
1,5 -0,225 -0,225 -0,075 0 0 -0,075
2,25 -0,122 -0,216 -0,041 0 0 -0,041

3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0,75 0,066 -0,187 0,022 0 0 0,022

1,5 0,075 -0,3 0,025 0 0 0,025

2,25 0,047 -0,263 0,016 0 0 0,016

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

1.7. Câu hỏi ôn tập

1.1. Định nghĩa hệ siêu tĩnh. Thơng qua các ví dụ, nêu các tính chất của hệ siêu
tĩnh so với hệ tĩnh định có cùng điều kiện làm việc như nhau?

1.2. Nêu các công thức xác định bậc siêu tĩnh và các điều kiện cần chú ý khi sử
dụng công thức?

1.3. Nêu nội dung và các bước của phương pháp lực?

1.4. Nêu cách chọn hệ có bản và điều kiện cần chú ý khi chọn hệ có bản. Thế
nào là hệ cơ bản hợp lý, cho ví dụ minh họa?

1.5. Trình bày cách tính khung siêu tĩnh chịu tải trọng bất động?
1.6. Trình bày cách tính dàn siêu tĩnh chịu tải trọng bất động?
1.7. Trình bày cách tính vịm siêu tĩnh chịu tải trọng bất động?
1.8. Trình bày cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh?

1.9. Trình bày các biện pháp giảm nhẹ khối lượng tính tốn khi tính hệ siêu tĩnh
bậc cao?

1.10. Trình bày cách vận dụng cặp ẩn số để tính hệ đối xứng?
1.11. Trình bày cách biến đổi sơ đồ tính khi tính hệ đối xứng?

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ VÀ CÁCH TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU ĐỘNG 
2.1. Khái niệm về phương pháp chuyển vị

Khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực ta chọn ẩn số là những phản
lực liên kết (phản lực tại các liên kết thừa) trong hệ cơ bản làm ẩn số. Sau khi
xác định được chúng sẽ xác định được nội lực và chuyển vị tại vị trí bất kỳ của

hệ. Phương pháp lực áp dụng tổng quát cho các hệ dầm, khung, vòm, dàn và hệ
liên hợp.

Đối với hệ gồm những thanh thẳng nếu xác định được chuyển vị tại các
đầu thanh thì cũng sẽ dễ dàng tìm được nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kỳ
theo các phương pháp đã biết trong môn Sức bền vật liệu. Phương pháp chọn
chuyển vị tại các nút của hệ làm ẩn số gọi là phương pháp chuyển vị

Phương pháp chuyển vị áp dụng phù hợp cho hệ dầm và khung. Nội dung
phương pháp sẽ được trình bày chi tiết trong chương này.

2.1.1. Các giả thiết

Để đơn giản trong tính tốn mà vẫn bảo đảm được độ chính xác cần thiết,
phương pháp chuyển vị được xây dựng trên cơ sở công nhận các giả thiết chung
của mơn học, ngồi ra cịn phải bổ sung một số giả thiết sau

1) Các nút của hệ được xem là cứng. Do đó khi biến dạng, các đầu thanh quy tụ
tại mỗi nút sẽ có chuyển vị góc và chuyển vị thẳng như nhau, do đó chuyển vị
tại đầu thanh bằng chuyển vị của nút.

2) Khi xét biến dạng của thanh chịu uốn, bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt.
3) Khi xét biến dạng của thanh chịu uốn, bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng đàn
hồi dọc trục, còn biến dạng dọc vì nhiệt khơng được bỏ qua.

Từ các giả thiết trên, có thể kết luận:

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

2.1.2. Khái niệm về hệ xác định động và hệ siêu động. 
a. Hệ xác định động

Hệ xác định động là hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức ta có thể xác định
được biến dạng tại các đầu cấu kiện theo các điều kiện động học (hình học).

Hay hệ xác định động là hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức ta có thể xác
định được chuyển vị tại các nút theo điều kiện hình học.

Ví dụ như hình 2.1 a là hệ xác định động, vì khi nút B chịu chuyển vị
cưỡng bức Δ thì khi đó nhờ quan hệ hình học ta có thể xác định được chuyển vị
ngang và chuyển vị thẳng đứng tại nút A.

b. Hệ siêu động

Hệ siêu động là hệ khi chịu chuyển vị cưỡng bức, nếu chỉ dùng các điều 
kiện hình học thì chưa đủ xác định tất cả các chuyển vị tại các nút của hệ. Lúc
này cần bổ xung thêm các điều kiện cân bằng.

Ví dụ, hình 2.1 b là hệ siêu động, khi nút B chịu chuyển vị cưỡng bức ta
chỉ có thể xác định được chuyển vị ngang tại nút A theo quan hệ hình học, cịn
chuyển vị góc xoay φA, φB chưa thể xác định được.

2.1.3. Bậc siêu động 
a. Định nghĩa

Bậc siêu động là số chuyển vị độc lập chưa biết của các nút trong hệ.
n= n1+ n2 (2.1)

φA φB

A B

Δ
Δ

A B

a) b)

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Trong đó:

n1 - số chuyển vị xoay độc lập chưa biết của các nút và các ngàm đàn hồi

trong hệ. n1 chính bằng số nút trong hệ;

n2 - số chuyển vị thẳng độc lập chưa biết của các nút trong hệ.

b. Cách xác định n1, n2

Xác định n1: Bằng cách tính số lượng nút trong hệ. Nút là nơi giao nhau

giữa các phần tử và được nối bằng liên kết hàn. Trong đó, phần tử là một cấu
kiện mẫu tức là có biểu đồ nội lực cho trước và được lập sẵn thành bảng.

Đối với môn Cơ học kết cấu, phần tử là 1 đoạn thanh thẳng thỏa mãn các
điều kiện:

- Độ cứng không đổi;

- Được nối với các phần tử khác hoặc trái đất chỉ bằng liên kết ở 2 đầu.
Ví dụ: Xác định n1 (chuyển vị góc xoay) của các hệ cho trên hình 2.2.

Hình 2.2 a có 3 phần tử nối với nhau bởi 2 liên kết hàn trên hình vẽ đánh
số 1 và 2 do đó ta tìm được n1 = 2.

Tương tự với hệ dầm như hình 2.2 b có 2 phần tử nối với nhau bởi nút số
1 do đó ta tìm được n1 = 1.

Cách suy luận tương tự với hệ khung c và d ta cũng xác định được hệ số
n1 như trên hình vẽ.

Xác định n2 - số chuyển vị thẳng được xác định theo cách sau:

- Tưởng tượng thay các nút và các liên kết ngàm bằng các khớp sẽ được
hệ mới, nói chung là hệ BH. Thêm vào các hệ đó các liên kết loại 1 (liên kết
thanh) vừa đủ để hệ thành BBH. Số liên kết cần thêm vào đó chính là n2 cần tìm;

1 2

a)
n1 = 2

n1 = 1

1 2

c)
n1 = 4

1 2

d)
n1 = 4
3

Hình 2.2

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

- Ta có thể xác định n2 theo số bậc tự do của hệ đã thay bằng các khớp

n2 = 2M – (T+ C0) (2.2)

Trong đó: M – số mắt; T – số thanh; C0 – số liên kết tựa tương đương liên

kết thanh.

Chú ý: Công thức (2.2) chỉ đúng với hệ khung, còn hệ dầm và hệ dàn

không dùng được.

Ví dụ trên hình 2.3a, sau khi thay các liên kết hàn bằng các khớp như hình
2.3 b). Trong hình 2.2b, có bậc tự do n2 = 2.4 - (3+4) = 1. Để hệ trở thành BBH

cần thêm 1 liên kết thanh loại 1 , ta được hệ như hình 2.3 c .

Ví dụ trên hình 2.4 a, 2.5 a sau khi thay các liên kết hàn bằng các khớp
như hình 2.4 b, 2.5 b. Hệ mới này có n2 = 2.7 - (6+6) = 2, cần thêm vào 2 liên

kết thanh loại 1, để được hệ BBH như hình 2.4 c, 2.5 c. Liên kết thanh thêm vào
đó là n2 = 2.

Xét tương tự với hình 2.5 a, ta sẽ có n2 = 3.

1 2

Hình 2.3

1 2 1 2

n2 =1

b) c)

C
A

3 4
2

B
C

3 4
2

B
C
c)

Hình 2.4

4
2

B
C

d)
3 4

2
1

B
b)

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Chú ý: Bậc siêu động có tính quy ước (khác bậc siêu tĩnh trong phương 
pháp lực) phụ thuộc 3 yếu tố:

- Phụ thuộc các giả thiết được chấp nhận;
- Phụ thuộc sơ đồ tính rời rạc hóa;

- Phụ thuộc các phân tử mẫu mà người thiết kế đã có (đã sử dụng).

Trong kỹ thuật thường dùng phân tử mẫu là thanh thẳng có tiết diện khơng đổi.
2.2. Cách tính hệ siêu động chịu tải trọng cố định

2.2.1. Nội dung phương pháp chuyển vị

Để tính hệ siêu động, ta khơng tính trực tiếp trên hệ đó mà thực hiện trên
hệ cơ bản đồng thời bổ sung các điều kiện đảm bảo cho hệ cơ bản làm việc
giống như hệ đã cho.

2.2.2. Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị

Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là hệ suy ra từ hệ siêu động đã cho
bằng cách đặt thêm vào hệ những liên kết phụ, nhằm ngăn cản chuyển vị xoay
và chuyển vị thẳng của các nút trong hệ.

Các dạng liên kết đặt thêm:

-Liên kết mơmen: Chỉ phát sinh phản lực là mơmen, kí hiệu:
- Liên kết lực: Chỉ phát sinh phản lực là lực, kí hiệu:

Ví dụ: Hệ cơ bản của hình.2.3 a là hình.2.6 b.

Tạo hệ cơ bản của một số hình 2.7 và 2.8 như sau:

1 2

Hình 2.6

1 2

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Chú ý:

- Hệ cơ bản có thể là xác định động hoặc siêu động;

- Hệ cơ bản chỉ tồn tại các phần tử mẫu đã được nghiên cứu;
- Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là duy nhất.

2.2.3. Hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị

Hệ phương trình chính tắc trong phương pháp chuyển vị là phương trình
biểu diễn điều kiện bổ sung nhằm đảm bảo cho hệ cơ bản làm việc giống hệ thực.
Giả sử xét hệ siêu động trên hình 2.9.a và hệ cơ bản của nó, hình 2.9.b.

- Về chuyển vị:

Tại C và D có tồn tại chuyển vị
ngang và góc xoay.

- Về mặt phản lực:

Tại C và D không tồn tại phản lực.

- Về chuyển vị:

Tại C và D không tồn tại chuyển vị.
- Về mặt phản lực:

Tại C và D tồn tại phản lực (R1, R2,

R3) tại các liên kết phụ thêm.

Hình 2.7

Hình 2.8

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Do hệ cơ bản hình thành từ hệ đã cho bằng cách đặt thêm những liên kết
phụ, nên để đảm bảo cho hệ cơ bản làm việc giống hệ thực, cần:

- Tạo ra trong hệ cơ bản những chuyển vị cưỡng bức tại các liên kết đặt
thêm đó. Kí hiệu các chuyển vị đó là: Z1, Z2,..., Zn;

- Các chuyển vị này chưa biết và giữ vai trò là ẩn số của phương pháp
chuyển vị. Giả trị các chuyển vị phải thỏa mãn điều kiện phản lực tại liên kết đặt
thêm do chúng gây ra và do tải trọng gây ra phải bằng không (cân bằng nhau).
Các điều kiện này được viết dưới dạng:

























0
,
3
,
2
,
1
3

0
,
3
,
2
,
1
2

0
,
3
,
2
,
1
1

P
Z
Z
Z
R

Như vậy ta có n điều kiện để xác định n chuyển vị cần tìm Zk là:

Rk(Z1,Z2, . . . Zn, P) = 0 ( k=1,2,..., n) (2.3)

Hay theo nguyên lý cộng tác dụng, có thể viết:
Rk(Z1,..., Zn, P) = Rkz1+ Rkz2+... + Rkp = 0

Trong đó:

Rkzi - phản lực tại liên kết k trong hệ cơ bản do riêng chuyển vị cưỡng bức

tại liên kết i gây ra;

Rkp - phản lực tại liên kết k do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.

Nếu gọi rki là phản lực tại liên kết thứ k do riêng chuyển vị cưỡng bức Zi=1

tại đó gây ra trong hệ cơ bản và thay tất cả vào phương trình khai triển ta được:
rk1Z1+ rk2Z2+. . . + rkkZk+ rknZn+ Rkp = 0 (2.4)

(k=1, 2, . . . , n)

Cho k = 1...n ta được hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị:

...

.... 0

11 1 12 2 1 1 1 1

.... 0

21 1 22 2 2 2 2 2

.... 0

1 1 2 2

r Z r Z r Zn R R R

n P t z

r Z r Z r Zn R R R

n P t z

r Z r Z rnn nZ R Rnt Rnz

nP

n n









      

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Trong đó:

rkk - hệ số chính;

rkn = rnk - hệ số phụ;

Rkp, Rkt, Rkz - số hạng tự do.

2.2.4. Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc 
a. Vẽ các biểu đồ mômen uốn trong hệ cơ bản xác định động

a.1. Biểu đồ

 

Mk : Là biểu đồ mômen uốn do riêng nguyên nhân Zk = 1

gây ra trên hệ cơ bản.

* Trường hợp Zk là chuyển vị góc xoay

Nguyên nhân này chỉ gây ảnh hưởng cục bộ tại liên kết chịu Zk, nghĩa là

chỉ có các thanh có đầu quy tụ vào nút đó mới chịu ảnh hưởng. Do vậy biểu đồ

 

Mk được vẽ bằng cách rời rạc hệ cơ bản và tra bảng 2.1 (phụ lục) cho các phần 
tử chịu chuyển vị góc xoay tại đầu thanh.

Ví dụ như thanh AB có các dạng liên kết như hình 2.10 a, b, c. Sau khi
chịu các chuyển vị cưỡng bức là góc xoay tra bảng 2.1 (phụ lục) ta có kết quả 
biểu đồ

 

Mk như sau:

* Trường hợp Zk là chuyển vị thẳng

Khi một nút chuyển vị thẳng sẽ gây ra chuyển vị thẳng tại nhiều nút trong
hệ, do đó sẽ gây ra nội lực trong nhiều thanh. Mặt khác chỉ có chuyển vị thẳng
tương đối theo phương vng góc với trục thanh mới gây ra nội lực.

Hình 2.10

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Sau khi đã xác định chuyển vị thẳng, ta vẽ biểu đồ

 

Mk bằng cách rời

rạc và tra bảng 2.1 (phụ lục) cho từng cấu kiện.

Ví dụ như thanh AB có các dạng liên kết như hình 2.11 a, b. Sau khi chịu
các chuyển vị cưỡng bức là chuyển vị thẳng tra bảng 2.1 (phụ lục) ta có kết quả 
biểu đồ

 

Mk như sau:

a.2. Biểu đồ

 

0
P

M : Là biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trên hệ cơ 
bản.

 

P

M được vẽ bằng cách rời rạc và tra bảng 2.1 (phụ lục) cho từng cấu kiện. 
Ví dụ như thanh AB có các dạng liên kết như hình 2.12 a, b, c. chịu tác
dụng của các ngoại lực P, q, M như hình vẽ tra bảng 2.1 (phụ lục) ta có kết quả 
biểu đồ

 

P

M như sau:

Hình 2.11

a) b)

Hình 2.12

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

a.3. Biểu đồ (Mt
0

): Là biểu đồ mômen uốn do biến thiên nhiệt độ gây ra 
trên hệ cơ bản. Biểu đồ

 

t

M được vẽ bằng cách rời rạc hệ và tra bảng 2.1 (phụ 
lục) cho các phần tử chịu Δt.

a.4. Biểu đồ (Mz0): Là biểu đồ mômen uốn do chuyển vị cưỡng bức tại

các gối tựa gây ra trên hệ cơ bản và tra bảng 2.1 (phụ lục) 
b. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc

b.1. Trường hợp liên kết k là liên kết mômen

- Xác định rkm: Tách nút k trên biểu đồ mômen

 

Mm và xét cân bằng
mômen nút.;

- Xác định RkP, Rkt, RkZ: Tương tự, tách nút k trên các biểu đồ mômen

tương ứng (M0P, Mt ,Mz) và xét cân bằng mômen nút.

b.2. Trường hợp liên kết k là liên kết lực

- Xác định rkm: Tách nút k trên biểu đồ mômen

 

Mm và xét cân bằng lực

từ điều kiện cân bằng hình chiếu;

- Xác định RkP, Rkt, RkZ. Tương tự, tách nút k trên các biểu đồ mômen

tương ứng (M0P, Mt, Mz) và xét cân bằng lực từ điều kiện cân bằng hình chiếu.

Hoặc tra bảng 2.1 cột lực cắt ta được các giá trị nội lực.
 Chú ý:

- Chiều dương của phản lực lấy theo chiều của chuyển vị cưỡng bức đặt
thêm vào trên hệ cơ bản.

- Các hệ số chính ln ln dương, cị các hệ số phụ rki = rik có thể mang

dấu bất kỳ hoặc bằng không.

- Khi liên kết k là liên kết mơmen, thì chỉ cần xác định mô men quanh nút
k là đủ để viết phương trình cân bằng mơmen.

- Khi liên kết k là liên kết lực thì ta chỉ cần xác định các lực cắt hoặc lực
dọc vừa đủ để tham gia phương trình cân bằng hình chiếu.

2.2.5. Vẽ biểu đồ nội lực

Sau khi giải hệ phương trình chính tắc sẽ xác định được (Z1, Z2, ..., Zn) và

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

 

...





     

0 0 0

2
1

1Z M Z Mn Zn MP Mt Mz

M

M       (2.6)

Biểu đồ lực cắt được suy ra từ biểu đồ mômen và biểu đồ lực dọc được
suy ra từ biểu đồ lực cắt như trong phương pháp lực.

2.2.6. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 2 .1. Tính hệ chịu tải trọng như hình 2.13 a vẽ biểu đồ mơmen. 
Lời giải:

1. Bậc siêu động

Hệ có 1 nút cứng tại C và 1 nút khớp tại D, nên có 1 chuyển vị xoay tại
nút cứng C (n1 = 1). Nút C và D có thể chuyển vị theo phương ngang nên n2 = 1.

Do đó bậc siêu động của hệ n = n1 + n2 = 1+1 = 2.

2. Hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị có dạng như hình 2.13 b

Trong đó Z1 là ẩn số chuyển vị xoay tại nút cứng C và Z2 là ẩn số chuyển

vị theo phương ngang của nút cứng C và nút khớp D.
3. Hệ phương trình chính tắc

















0
2
2
.
22
1
21

0
1
2

.
12
1
11

P
R
Z
r
Z
r

4. Xác định các hệ số của PTCT

a. Vẽ biểu đồ

 

M1 ,

 

M2 và





P

M dùng bảng 2.1 tra nội lực ta được như
hình 2.13 c, d, e.

b. Tính r11, r12 = r21, r22, R1P, R2P.

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

A 6m 2m

3kN/m

5kN/m

D C E

EJ= const

13,5
10
R2P

R1P
(MP0)

r11

EJ/2

 

M

r21 EJ/2

e)
r22

r12

16
3EJ

16
6EJ

g)
1,19

2,38

 

M2 Z2

f)
A

1,97

1,97
3,94

 

M1 Z1

h)
Mp

1.56
10
11.53

0.41
1.97

Hình 2.13

6m B

D C

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Bảng 2.3. Bảng tính các giá trị phần tử 
rik, R1P (M) Phần hệ xét Trị số

r11

 

M1 r11 1,5EJ

21
12 r

r 

 

M r12 r21 0,375EJ

r

 

M Lực cắt r22 0,234EJ

R1P (MP
0

) R1P = 3,5

R2P (MP0) R2P =0

5. Giải hệ phương trình





























EJ
Z

Z
EJ
Z

EJ

Z
EJ
EJZ

36
,
6
2

94
,
3

1
0

0
2
.
234
,
0
1
.
375
,
0

0
5
,
3
2
.
375
,
0
1
5
,
1

6. Biểu đồ mơmen tổng cộng theo ngun lý công tác dụng



MP





 

M1 .Z1

 

M2 .Z2(MP0)

Ta được kết quả như hình 2.13 f, g, h.
r11
EJ
EJ/2

r12
0,375EJ

3EJ/64

12EJ/64
r22

13,5

R2P

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Ví dụ 2.2. Tính hệ chịu tải trọng như hình 2.14 a, vẽ biểu đồ mômen:

Lời giải:

1. Xác định bậc siêu động

Ta nhận thấy hệ trên hình 2.14 là một hệ dầm đối xứng qua đểm E và chịu
lực tác dụng đối xứng vậy ta vận dụng tính chất hệ đối xứng chịu tải trọng đối

xứng, đưa về sơ đồ nửa hệ như hình 2.14 b sau đó suy ra cho tồn hệ để bài toán
được đơn giản và ngắn gọn hơn.

2kN

3kN/m

4m 2m 2m 4m

1kN
3kN/m

b) c)

Hình 2.14

Z1
B

A C

D
E

B E

0.667

0.333

 

M1 Z 1

3.667

4.667

3.3
g)



MP



EJ/2

Z1=1
r11

 

M e)

4 5





P
M

4.667

3.33
3.667

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Hệ ABE gồm hai miếng cứng AB và BE nối với nhau tại B là một mối
hàn cứng nên có 1 chuyển vị xoay tại nút cứng B (n1 = 1), khơng có chuyển vị

thẳng n2 = 0

Vậy bậc siêu động của hệ: n = n1 + n2 = 1+ 0 =1.

2. Hệ cơ bản được tạo ra như hình 2.14 c. 
3. Phương trình chính tắc:

r

.

Z



R

1P



0

4. Tìm hệ số r11, R1P

a. Vẽ biểu đồ

 

M1 , (MP
0

) bằng cách tra bảng 2.1 ta được như hình 2.14d, e.
b. Tìm các hệ số

Bảng 2.4. Lập bảng tính cho các nút

rik, R1P (M) Phần hệ xét Trị số

r11

 

M1 r11 1,5EJ

R1P (MP
0

) R1P = 3(-1)

5. Giải phương trình chính tắc

EJ
Z1  0,667


6. Vẽ biểu đồ mômen

- Vẽ cho nửa hệ theo nguyên lý cộng tác dụng, ta được biểu đồ như hình
2.14 f, g.



M

P





 

M

1

.

Z

1



(

M

P0

)

- Vẽ cho cả hệ như hình 2.14 h.

r11
EJ EJ/2

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

2.3. Cách xác định chuyển vị trong hệ siêu động.

a) Xác định chuyển vị tại nút: chính là các chuyển vị Zk đã tìm từ khi giải hệ

phương trình (2.5).

b) Xác định chuyển vị tại tiết diện bất kì ở trong các phân tử:
Có thể xác định theo một trong 3 cách sau:

1 - Coi tiết diện có chuyển vị cần tìm như một nút của hệ;
Lập bài tốn tìm chuyển vị tại nút và thực hiện như trên.

Biện pháp này đơn giản, nhưng làm tăng số lượng ẩn trong phương trình (2.5).
2 - Sau khi biết chuyển vị và nội lực ở hai đầu mỗi phân tử, có thể xác
định chuyển vị tại tiết diện bất kì theo các phương pháp đã biết ở môn Sức bền
vật liệu;

3 - Sau khi biết nội lực trong hệ siêu động, ta xem hệ là siêu tĩnh với các
nội lực đã biết và áp dụng cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh như ở
chương 1.

Ví dụ 2.3: Xác định độ võng tại tiết diện k của hệ như trên hình 2.15 a. 
Lời giải:

1. Khử siêu động: Vẽ biểu đồ mômen uốn: 
a. Bậc siêu động: n = n1 + n2 = 1 + 0 = 1

b. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản (hình.2.15 b)

- Phương trình chính tắc: r11.Z1 + R1P = 0

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Hình 2.15 
- Xác định các hệ số: Từ các biểu đồ đã vẽ, tính được:

Bảng 2.5. Lập bảng tính cho các nút

ri k, R1P (M) Phần hệ xét Trị số

r11

 

M1 r11 3EJ

R1P (MP0) R1P = -1,125q

1,125q
R1P

EJ
EJ
EJ

A K C D

2m 2m 3m

b)
K

EJ/2

EJ
EJ

EJ/2
M1

Z1=1

MPO

1.125q

d)
1,125

0.1875q
0.375q

1.125q
0.75q

0.375q
0.1875q

 

0
k
M
0.5

0.5
0

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Thay vào phương trình chính tắc ở tên ta giải ra được:
→Z1 = 0,375q/EJ

d. Vẽ biểu đồ mômen theo nguyên lý công tác dụng





 





 

0 .

2
.
2
1

1 Z M Z Mn Zn MP

M
P

M    

Ta được kết quả biểu đồ mơmen uốn như hình 2.15 e.

2. Xác định độ võng tại k: áp dụng cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh đã 
biết ở chương 1.

- Trạng thái "m" đã được giải với biểu đồ (MP) ở trên;

- Trạng thái "k" tạo trên hệ cơ bản của phương pháp lực và xác định
(M0k) từ hệ cơ bản của phương pháp lực hình 2.15 f;

- Độ võng tại k:

EJ

q
q
q
q
q
km 16
3
)
2
.
2
.
2
1
.(
2
.
28125
,
0
.
2
1
2
1
.
2
.
09375
,

0
2
1
).
3
4
3
2
.
3
2
.(
3
2
.
09375
,
0
2
1
2
1
.
3
4
.
3
1
.
3

4
.
1875
,
0
.
2
1 


































2.4. Cách xác định chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu thanh theo phương 
vng góc với trục thanh trong hệ có các thanh đứng khơng song song

Từ các mục trên ta thấy trong trường hợp hệ có các thanh đứng song song
thì các nút ở đầu thanh đứng cùng có 1 chuyển vị thẳng theo phương thẳng góc
với trục thanh, các nút ở đầu thanh ngang đều dịch chuyển tinh tiến, không sinh
ra chuyển vị tương đối giữa các đầu của thanh.

Nhưng với hệ có những thanh đứng không song song như hình 2.16 thì
chuyển vị tương đối giữa hai đầu thanh đứng cũng như thanh ngang theo
phương vuông góc với trục thanh nói chung khác nhau. Bởi vậy muốn vẽ biểu
đồ mơmen đơn vị ta phải tìm xem dưới tác dụng của chuyển vị thẳng cưỡng bức
đơn vị đã cho, từng thanh của hệ sẽ có chuyển vị tương đối giưa hai đầu bằng
bao nhiêu.

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Để xác định các thành phần chuyển vị ở các nút ta cho 1 nút nào đó,
chẳng hạn nút 1, có chuyển vị cưỡng bức đơn vị 1  11' 1 theo phương
thẳng góc với trục thanh 1a, thì chuyển vị tương đối giữa các nút khác sẽ là bao
nhiêu.

Ta thấy các điểm a.b.c gắn chặt với đất nên chúng đứng yên. Khi nút 1
dịch chuyển đến 1/ thanh a-1 sẽ có vị trí a-1/.

Xét nút 2: Nếu nút 2 khơng bị dàng buộc bởi thanh 2-b thì nó sẽ dời đến
vị trí 1/-21 , nhưng do nút 2 thuộc thanh b-2, nên điểm 2'phải nằm trên phương

vng góc với b-2 kẻ từ điểm 2 và trên phương vuông góc với 1/'2t kẻ từ điểm 2t.


1

2 

12 và 2b

22  - dịch chuyển tương đối giữa hai đầu thanh b.2
theo phương vng góc với trục.

Xét nút 3: 2/3t-Vị trí mới của 23 nếu nó không bị dàng buộc của 3.c
2'3'-Vị trí mới của 23 nếu nó có bị dàng buộc của 3.c 
Vậy 3'giao điểm của đường vng góc với 2.3 kẻ từ 3

1 và đường vng

góc 3.c kẻ từ 3. Ta có: 33/ 3c;

23
'

3t  - chuyển vị tương đối giưa 2 đầu thanh
23 theo phương vng góc trục thanh.

Vậy để tìm được chuyển vị tương đối giữa hai đầu thanh ta thực hiện qua
các bước sau:

a b c

2
1

b c

2
1

a) b)

3/
2/

a b c

3 31
21

1
1 

3/

III
II

Hình 2.16

d)
c)

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Bước 1: Chọn 1 điểm O làm gốc và tượng trưng cho các điểm khơng 
có chuyển vị. Vậy nếu gọi A, B, C là tượng trưng cho các điểm a, b, c trên
sơ đồ chuyển vị thì A, B, C trùng với O.

Bước 2: Qua O kẻ 1 đoạn OI = d theo phương và chiều của chuyển vị nút 
1, có độ lớn theo tỷ lệ xích tuỳ chọn. Điểm I là tượng trưng cho chuyển vị của
nút 1 trên sơ đồ chuyển vị.

Bước 3: Xác định điểm II tượng 
trưng cho nút 2 trên sơ đồ chuyển vị.

Nút 2 có 2 đầu thanh đối diện
đã biết trên sơ đồ chuyển vị là 1→I,
b→B.

Qua I kẻ đường thẳng vng
góc với thanh 12, qua B kẻ đường
thẳng vng góc với thanh 2b. Giao
điểm chính là II.

Hình 2. 17

Bước 4: Xác định điểm III 
tượng trưng cho nút 3 trên sơ đồ
chuyển vị.

Tương tự bước 3, qua II kẻ
đường thẳng vng góc với thanh 23,
qua C kẻ dường thẳng vng góc với
thanh 3c. Giao điểm là điểm III.

Hình 2. 18

Bước 5: Xác định kết quả. Để xác định chuyển vị thẳng tương đối 
theo phương vng góc với trục thanh của thanh ik ta chỉ việc đo chiều dài của
đoạn IK tương ứng trên sơ đồ chuyển vị hoặc giải các tam giác với các góc và
các cạnh đã biết trên sơ đồ chuyển vị.

Sau khi đã xác định chuyển vị thẳng, ta vẽ biểu đồ (Mk ) bằng cách rời

rạc và tra bảng cho từng cấu kiện.

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

1. Bậc siêu động: Hệ n = n1+n2 = 1+1 = 2; n1 = 1 chuyển vị xoay tại nút 1 và

chuyển vị thẳng ngang tại nút 2.
2. Hệ cơ bản như hình 2.19 b.

Hình 2.19

3. Phương trình chính tắc










0
0
2
2
22
1

21
1
2
12
1
11
P
P
R
Z
r
Z
r
R
Z
r
Z
r

4. Tìm hệ số và số hạng tự do của PTCT

Sau khi vẽ các biểu đồ sẽ xác định được các hệ số và số hạng tự do của
phương trình chính tắc (xem bảng 2.6).

Bảng 2.6. Lập bảng tính cho các nút

Đại Biểu Bộ phận tách PTCB Kết

B
A

2
1

Hệ cơ bản
z1
z2
B
A
9
9
c)
4m

(M0p

)

B
A

z1=1
2EJ

(M1)
EJ

EJ

0
A,B
1

2b 


25
.
1
1a 

75
.
0
12 

B
A

Z2=1
1
f)
0.187EI
B
A
0.25EJ

(M ) 2
0.75EJ
0.75EJ
g)
15.545
7.247
B

9 4m

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

lượng đồ quả

r11

 

M1



M r11 EJ 2EJ 0 3EJ

r12=r21

 

M2



   0

4
3
4

12 EJ EJ

r
M

1
2EJ


r22

 

M2

3 1

sin cos 0

10 12
79
240
A
A
EJ

y N EJ

N EJ
 
   
 



3 79 3

cos sin 0

64 240 10

EJ EJ

X r   EJ   



31
64EJ

R1P (MP0)



M R1P 90 -9

R2P (MP
0
)
4
75
0
15
sin
1
1









A
A
N
N
y 
4
45
0
cos
4
75
2
2









P
P
R
R
X 
45
4


Thay vào hệ phương trình chính tắc ta được:















0
4
45
64
31
2
1
0
9
2
1
3
2
1
2

1
EJZ
EJZ
EJZ
EJZ

5. Giải hệ phương trình chính tắc ta được: . ;
77

639

1 rad

EI

Z  m

EI

Z .

77
2448

2 
6. Biểu đồ mô men uốn tổng cộng: ( ) ( ) ( ) ( 0),

2
2
1

1 p

p M Z M Z M

M    như trên hình 2.19 h).

2.5. Câu hỏi ơn tập

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

2.1. Trình bày cách xâc định bậc siêu động, bậc siêu động phụ thuộc vào những
yếu tố nào?

2.2. Trình bày cách lập hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị?

2.3. Trình bày nội dung và các bước tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp chuyển
vị khi hệ chịu tải trọng bất động?

2.4. Trình bày cách xác định các hệ số, số hạng tự do trong phương pháp chuyển
vị khi hệ chịu tải trọng bất động?

2.5. Trình bày cách xác định chuyển vị khi chụi tác dụng của tải trọng theo
phương pháp chuyển vị?

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP VÀ PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP 
3.1. So sánh phương pháp lực và phương pháp chuyển vị

Trong các chương 1 và 2 đã nghiên cứu hai phương pháp cơ bản để tính
hệ siêu tĩnh đó là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị.

Chúng có ưu điểm chung là mang tính tổng quát, cho phép tính hệ bất kì
một cách chính xác.

Nhược điểm của chúng là phải lập hệ phương trình chính tắc, tốn nhiều
thời gian và đôi khi không giải được đối với hệ phức tạp có nhiều ẩn số. Vậy
nảy sinh vấn đề có phương pháp nào giảm nhẹ khối lượng tính tốn khơng? và
trong thực hành nên chọn phương pháp nào, có thể phối hợp 2 phương pháp đó
được khơng?

Để trả lời các vấn đề đó, ta hãy so sánh 2 phương pháp ở bảng 3.1 dưới đây
 Bảng 3.1. Bảng so sánh hai phương pháp lực và phương pháp chuyển vị

Nội dung so sánh Phương pháp lực Phương pháp chuyển vị

Độ chính xác Như nhau

Phạm vi ứng dụng Tổng quát

- Tổng quát,

-Thường chỉ cho hệ khung
và dàn

Số lượng ẩn Bằng bậc siêu tĩnh

- Bằng bậc siêu động
- Phụ thuộc các giả thiết,
kết cấu mẫu và sơ đồ chấp
nhận.

Hệ cơ bản

- Loại bỏ liên kết thừa,
- Có thể chọn theo nhiều
cách khác nhau,

- Cách chọn có ảnh hưởng
đến khối lượng tính tốn

- Thêm liên kết ngăn cản
chuyển vị các nút,

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Biểu đồ Mk, M0p

- Người thiết kế tự vẽ,
- Tốn thời gian, dễ sai lầm.

- Vẽ theo bảng mẫu,
ít sai lầm.

Biểu đồ M(t) và 
M(Δ)

Khơng có nếu hệ cơ bản là
tĩnh định

- Tồn tại,

- Phức tạp, dễ sai lầm

Các hệ số và số

hạng tự do

Xác định theo phép nhân
biểu đồ, phức tạp, dễ sai

Tìm theo điều kiện cân
bằng, đơn giản, ít sai

Hệ PT chính tắc

Nói chung đầy đủ (các hệ
số khác không) tốn thời
gian khi giải hệ PT

Nói chung khơng đầy đủ
(có nhiều hệ số phụ bằng
khơng), tốn ít thời gian
hơn

Biểu đồ nội lực Tương đương Cùng tìm được bằng cách
tổ hợp các biểu đồ

Kiểm tra kết quả Theo điều kiện chuyển vị,
phức tạp

Theo điều kiện cân bằng,
đơn giản hơn

Nhận xét:

- Nhìn chung phương pháp chuyển vị đơn giản hơn phương pháp lực;
- Nên chọn phương pháp có số lượng ẩn ít hơn.

- Trường hợp số lượng ẩn bằng nhau nên chọn phương pháp chuyển vị. Vì các
khâu tính tốn của phương pháp này đơn giản hơn.

+ Với hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên dùng phương pháp
chuyển vị.

+ Với hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng nên dùng phương pháp lực.
- Với hệ có bộ phận thích hợp phương pháp chuyển vị, có bộ phận thích hợp
phương pháp lực thì dùng đồng thời cả hai phương pháp nên ta có thêm phương
pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp.

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

3.2. Phương pháp hỗn hợp

Nội dung: Để tính toán cho một hệ siêu tĩnh bất kỳ việc sử dụng phương 
pháp nào là hợp lý nhất, cho kết quả nhanh và chính xác nhất thì u cầu ngưới
học việc đầu tiên phải đưa ra sự lựa chọn tối ưu. Chẳng hạn các khung siêu tĩnh
trên hình 3.1 a,b dùng phương pháp chuyển vị để tính vì số ẩn ít hơn; với khung
trên hình 3.1 c dùng phương pháp lực để tính lợi hơn.

a) b) c)

Phương pháp lực S = 9
Phương pháp chuyển vị
n = 1

Phương pháp lực S = 12
Phương pháp chuyển vị
n = 4

Phương pháp lực S = 1
Phương pháp chuyển
vị n = 8

Hình 3.1

Trong thực tế ta có thể gặp hệ có kết cấu cho trên hình 3.2 a.

Hình 3.2

F E

B
A

C D

z6
z1

z2 z3
z5

F E

B
A

C D

F E

B
A

C D

z2
z1

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

- Nếu tính theo phương pháp lực hệ có 7 ẩn;

- Nếu tính theo phương pháp chuyển vị hệ có 10 ẩn. n = n1 + n2 = 10, (hình 3.2 b).

- Nếu tách hệ thành 2 phần: đoạn AB thừa một liên kết thanh nên có thể
tính theo phương pháp lực thì chỉ có 1 ẩn (phản lực tại A); đoạn BCDEF có hai
nút cứng B và C khơng có chuyển vị thẳng nên tính theo phương pháp chuyển vị
chỉ cịn 2 ẩn (chuyển vị góc tại B và tại C). Như vậy nếu ta sử dụng phương
pháp kết hợp thì sẽ lập được hệ cơ bản chỉ có 3 ẩn, khối lượng tính tốn sẽ giảm
xuống đáng kể.

Vậy ta sử dụng phương pháp kết hợp cả hai phương pháp trên việc thực
hiện theo các bước sau:

3.2.1. Chọn hệ cơ bản như sau

- Trên các bộ phận thích hợp với phương pháp lực, loại bỏ liên kết và
chọn lực làm ẩn;

- Trên các bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị, đặt thêm các
liên kết ngăn cản chuyển vị tại các nút và chọn chuyển vị nút đó làm ẩn.

Ví dụ hệ cơ bản của hình 3.2 a là hình 3.2 c.
3.2.2. Phương trình chính tắc

Hệ cơ bản dùng tính thay hệ đã cho trên mỗi phần khung được lập theo
mỗi cách của mỗi phương pháp (hình 3.2 c).

Ở phần khung bên phải loại bỏ liên kết thanh A và thay bằng ẩn lực X1;

Ở phần khung bên trái ta đưa thêm liên kết mô men để ngăn cản sự xoay

của nút B và C và ký hiệu chuyển vị góc xoay chưa biết là Z2, Z3.

Điều kiện để cho hệ cơ bản trên hoàn toàn tương đương với hệ đã cho về
mặt lực và chuyển vị là:

- Phản lực liên kết mô men đã thêm tại nút B và C phải bằng không, tức là
R1 = R2 (Z1, Z2 ,X1, Pi) = 0;

- Chuyển vị của tiết diện A theo phương thẳng đứng phải bằng không, tức
là Δi(Z1, Z2 , X1, Pi) = 0.

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

Với hệ cơ bản đã chọn hình 3.2 c, có phương trình chính tắc theo phương
pháp hỗn hợp:































0
0

3
3
33
2
23
1

2
3
23
2
22
1
21

1
3
13
2
12
1
11

P
P

P

R
Z
r
Z
r
X

Z
Z

X

r



(3.1)

Trong hệ phương trình chính tắc (3.1) có 4 loại hệ số và 2 loại số hạng tự do:

ik



- chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xi do Xk=1 gây

ra trong hệ cơ bản:



ik (Mi)(Mk)

Với (Mi),(Mk)- biểu đồ mômen uốn do Xi = 1 và Xk = 1 gây ra trong hệ cơ bản.

ij





- chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xi do chuyển vị

đơn vị Zj = 1 gây ra trong hệ cơ bản (ký hiệu dấu chấm ở trên để phân biệt với

chuyển vị do lực gây ra). Theo luật tương hỗ có thể tính: ij  rji

rjs - phản lực trong liên kết j do chuyển vị cưỡng bức Zs = 1 gây ra trong

hệ cơ bản.

Phản lực này được xác định theo điều kiện cân bằng như đã trình bày
theo phương pháp chuyển vị.

ji

r

- phản lực trong liên kết j do lực Xi = 1gây ra trong hệ cơ bản.

Δip - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xi do tải trọng gây

ra trong hệ cơ bản. Xác định như phương pháp lực: ij = (Mi) (M
0

p).

Rj p - phản lực tại liên kết j do tải trong gây ra trong hệ cơ bản, được xác

định theo điều kiện cân bằng đã biết trong phương pháp chuyển vị.
3.2.3.Vẽ biểu đồ nội lực

Sau khi lập và giải hệ phương trình chính tắc (3.1) để xác định các ẩn số
Xi và Zi; ta vẽ biểu đồ nội lực trong hệ bằng cách tổ hợp các biểu đồ như trong

phương pháp lực:

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

Ví dụ 3.1. Vận dụng phương pháp hỗn hợp để vẽ biểu đồ mơmen uốn cho 
hệ trên hình 3.3 a.

Lời giải: 
1. Lập hệ cơ bản

Nếu dùng phương pháp lực sẽ có 4 ẩn; dùng phương pháp chuyển vị có 3
ẩn. Nếu dùng phương pháp hỗn hợp ta có nhận xét:

Phần trái (A-1) thích hợp với phương pháp lực, S = 3V- K = 3.1- 2 = 1 ẩn;
Phần phải B-2-C thích hợp với phương pháp chuyển vị,

n = n1 + n2 = 1+ 0 = 1 ẩn chuyển vị góc xoay.

Vậy theo Phương pháp hỗn hợp ta có 2 ẩn số X1 và Z2.

Hệ cơ bản theo phương pháp hỗn hợp như hình 3.3 b.
2. Hệ phương trình Chính tắc



















0
0

2
23
22
1
21

1
2
12
1
11

P
P

R
Z
r
X
r

Z

X 



3. Tìm các hệ số 11, r22, Δ1P, R2P,






 12

21 

r

a. Vẽ biểu đồ mômen uốn đơn vị: Do X1 = 1 (hình 3.3 c);

Do Z2 = 1 (hình 3.3 d); tra bảng 2.1;

Do tải trọng (hình 3.3 e); tra bảng 2.1.
1

b)
B
X1 2

12


d)
(

M

2)

2EI/3
C
EJ

2 
z

EJ/2
4EI/3

B
X1=1

C
8

(M1)

2q
4.5q

C
(

M

0p)

3q 3q

f)
B

C
0.6q

(M ) p

4.5q

0.3q

2.2q 2.4q

1.58q
1

6m
8m

a) B

P=q.1

C
q

2m
4m
2

2EJ

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

b. Xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc 
Kết quả tính tốn được nghi trong bảng 3.2 sau:

Bảng 3.2. Bảng tính giá trị hệ số trong các phần tử

11
 , rik,

R1P

(M) Phần hệ xét Trị số



  

1
1. M

M
8
.
2
.
8
.
1
3

8
.
2
.
2
8
.
8
.
2
1
EJ

EJ  3EJ

640
21
12



 r


Nút 2 biểu
đồ

 

M1

r22 (tách nút 2

của biểu đồ
(M2)

EJ
3
7

R2P (tách nút 2

của biểu đồ
( 0

p

M )

-q

Δ1P

 





1 MP

M .8

2
2
.
2
1 q

EJ

EJ
q
16


4. Hệ phương trình chính tắc

1 2
1 2
640 16
8 0
3 EJ
7
8 0
3
q
X Z
EJ
EJ

X Z q


  



   




5. Giải hệ phương trình chính tắc ta có: ( )
632

1 q kN

X  ; ( )

79
48

2 q rad

EI
Z 

6. Biểu đồ mômen: Theo công thức:





 





1 1 2 2

P P

M  M X  M Z  M
Kết quả tìm được như hình 3.3 f.

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

3.3. Phương pháp liên hợp

Phương pháp liên hợp là phương pháp phối hợp song song hai phương
pháp lực và chuyển vị.

Những bài toán về dầm, khung phù hợp với phương pháp hỗn hợp đều có
thể áp dụng phương pháp liên hợp. Số ẩn số của phương pháp hỗn hợp và liên
hợp là như nhau song phương pháp liên hợp có ưu điểm hơn là chia hệ phương
trình chính tắc làm hai nhóm phương trình độc lập và từ đó giải hệ phương trình
đơn giản hơn. Phương pháp liên hợp đưa hệ về hai bài toán độc lập, một bài toán
theo phương pháp lực một bài toán theo phương pháp chuyển vị.

Trong phương pháp liên hợp có thể thực hiện một trong hai cách sau đây.
Ở đây trình bày 2 cách thơng qua một ví dụ cụ thể đã nêu trên hình 3.2a.

3.3.1. Bài toán làm theo phương pháp lực

Chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực, nhưng không loại bỏ hết các liên
kết thừa mà chỉ bỏ các liên kết thích hợp với phương pháp lực.

Ví dụ như hệ trên hình 3.2 a chỉ bỏ liên kết tại A ta áp dụng phương pháp
lực, hệ có 1 ẩn là X1 ta được hệ cơ bản như hình 3.4 a.

Hệ cơ bản sẽ là siêu động thích hợp phương pháp chuyển vị ta áp dụng
phương pháp chuyển vị hệ có 2 ẩn là Z1, Z2.

Lập phương trình chính tắc theo 2 phương pháp, ta có

11X1 1P  0 (3.3)

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0
0
P

P

r Z r Z R

  




  

 (3.4)

Giải đồng thời (3.3) và (3.4) ta sẽ xác định được X, Z1, Z2.

Để xác định các hệ số, cần vẽ các biểu đồ nội lực do X1=1và tải trọng gây

ra. Với phần tĩnh định vẽ biểu đồ mô men như thường lệ, phần siêu tĩnh dùng
phương pháp chuyển vị để giải với các ngoại lực M, V, H được xác định theo X1 = 1

(hình 3.4 b).

F E
B
A

a)
X

M
A

b)
X1

F E

B C

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

3.3.2. Chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị ,

Chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị, nhưng không đặt đầy đủ các
liên kết phụ nhằm ngăn cản tất cả chuyển vị nút mà chỉ đặt liên kết phụ tại các
nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị.

Ví dụ: Với hệ trên hình 3.2 a có thể lập hệ cơ bản như hình 3.5 a trong đó
phần tử AB khơng phải là phần tử mẫu. Hệ có 2 ẩn là Z1 và Z2.

Trước khi giải ta cần giải bài tốn phụ: Tìm nội lực trong phần AB (hình
3.5 b) theo phương pháp lực.

Như vậy, trong cả hai cách thực hiện, phương pháp liên hợp đều đưa bài
toán về hai bài toán độc lập, một bài toán giải theo phương pháp lực còn một bài
giải theo phương pháp chuyển vị. So với phương pháp hỗn hợp, số ẩn tổng cộng
là như nhau nhưng trong phương pháp liên hợp các phương trình chính tắc được
phân thành hai nhóm độc lập với nhau. Đó là ưu điểm chính của phương pháp.

3.4. Câu hỏi ơn tập

3.1. So sánh phương pháp lực và phương pháp chuyển vị?

3.2. Khi tính hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng bất kỳ, nên thực hiện như
thế nào?

3.3. Phương pháp hỗn hợp nên áp dụng cho những trương hợp nào. Trình bày
nội dung của phương pháp qua một ví dụ?

3.4. Phương pháp liên hợp nên áp dụng cho những trương hợp nào. Trình bày
nội dung của phương pháp qua một ví dụ?

3.5. So sánh phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp?

Hình 3.5

F E
B

A
P

z1 z2

b)
B
A

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

Chương 4

CÁCH TÍNH HỆ THANH KHƠNG GIAN 
4.1. Khái niệm về hệ không gian

Hệ thanh không gian là hệ mà trục thanh và tải trọng không cùng nằm
trong một mặt phẳng. Trong thực tế hầu hết các cơng trình có sơ đồ tính là hệ
không gian. Giống như hệ phẳng, một hệ khơng gian muốn có khả năng chịu tải
trọng phải được cấu tạo thành hệ bất biến hình. Khi nghiên cứu cấu tạo hình học
của hệ khơng gian, thay khái niệm miếng cứng trong hệ phẳng ta đưa vào một

khái niệm mới gọi là vật thể.

Vật thể là một hệ khơng gian bất biến hình một cách rõ rệt. Trong không
gian, một vật thể này đối với một vật thể khác được coi là bất động có sáu bậc tự
do, đó là ba chuyển vị tịnh tiến và ba chuyển vị xoay.

Một hệ không gian gồm nhiều vật thể nối với nhau bằng các liên kết. Các
loại liên kết thường dùng trong hệ không gian như sau:

4.1.1. Các loại liên kết không gian

A. Liên kết đơn giản. Liên kết đơn giản có các dạng như trong bảng sau: 
1.Liên kết thanh đơn 2.Liên kết 2 thanh đồng phẳng

Khử được 1 bậc tự do Khử được 2 bậc tự do
3. Liên kết 3 thanh không đồng phẳng 4.Liên kết hàn (mối hàn)

Khử được 3 bậc tự do Khử được 6 bậc tự do
B

y
o z
x

A
B

B
A

Hình 4.1 Hình 4.2

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

a.1. Thanh hai đầu có khớp lý tưởng (Hình 4.1)

Liên kết này khử được một chuyển vị thẳng của vật thể theo phương dọc
trục thanh (phương y), tức khử được một bậc tự do; song vẫn cho phép vật
chuyển vị thẳng trong mặt phẳng vng góc với thanh và quay quanh ba trục bất
kỳ. Trong liên kết có thể phát sinh phản lực dọc theo trục thanh.

a.2. Hai thanh có một khớp cầu chung ở một đầu (Hình 4.2 b)

Liên kết này khử được hai bậc tự do là những chuyển vị thẳng của vật thể
trong mặt phẳng của hai thanh, song vẫn cho phép nó chuyển vị thẳng theo
phương vng góc với mặt phẳng của hai thanh và quay quanh ba trục bất kỳ.
Tại liên kết có thể phát sinh hai thành phần phản lực (phương x và y).

Hai thanh song song (hình 4.2 a)

Liên kết này khử chuyển vị thẳng của vật thể theo phương dọc trục thanh
và chuyển vị xoay trong mặt phẳng của hai thanh. Tại liên kết có thể phát sinh
phản lực dọc theo hai thanh và phản lực mô men nằm trong mặt phẳng của hai
thanh.

a.3. Ba thanh không cùng trong một mặt phẳng, có khớp cầu chung ở 
một đầu (Hình 4.3 a)

Liên kết này khử được cả ba chuyển vị thẳng của vật thể theo các phương,
tức khử được ba bậc tự do, song vẫn cho phép vật thể xoay quanh ba trục đi qua
khớp chung. Trong liên kết có thể phát sinh phản lực đi qua khớp chung, lực này
có thể phân thành ba thành phần (phương x, y, z)

Ba thanh song song khơng cùng nằm trong một mặt phẳng (Hình 4.3,b)
Liên kết này khử chuyển vị thẳng của vật thể theo phương dọc trục thanh
và hai chuyển vị góc quay quanh các trục nằm trong mặt phẳng vng góc với
các thanh (trục x, z). Tại liên kết có thể phát sinh phản lực dọc theo ba thanh và
hai phản lực mơ men.

a.4. Mối hàn (Hình 4.4)

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

B. Liên kết phức tạp

Liên kết phức tạp là liên kết nối từ 3 vật thể trở lên.

Độ phức tạp: P = V - 1 (4.1)

Trong đó: P - độ phức tạp; V - số vật thể quy tụ vào liên kết phức tạp.

4.1.2. Cách nối các vật thể thành hệ không gian BBH

A. Điều kiện cần: Số bậc siêu tĩnh S ≥ 0, hay

Số bậc tự do n < 0, tức là hệ có đủ hoặc thừa liên kết.
- Nếu S = 0, hệ đủ liên kết, hệ là bất biến hình tĩnh định

- Nếu S > 0, hệ thừa liên kết, hệ là bất biến hình siêu tĩnh.

- Với hệ bất kỳ: S = T-6(V-1)+V1 ≥ 0 (4.2)

Trong đó: V1 - số vật thể có liên kết khớp ở hai đầu; T- số liên kết thanh.

- Với hệ nối đất: S= T- 6V+V1+ C ≥ 0 (4.3)

- Với hệ dàn không nối đất: S = T-3M + 6 ≥ 0 (4.4)
( M - số mắt của dàn):

- Hệ dàn nối đất: S = T+ C - 3M ≥ 0 (4.5)
B. Điều kiện đủ

Muốn nối hai vật thể thành một hệ bất biến hình cần phải dùng liên kết
khử hết sáu bậc tự do của vật thể này đối với vật thể kia, do đó cần sử dụng số
liên kết ít nhất phải tương đương với sáu thanh và sắp xếp hợp lý, nếu khơng hệ
sẽ biến hình hoặc biến hình tức thời.

Vậy cần phải bố trí các liên kết một cách hợp lý theo các nguyên tắc tương tự
với hệ phẳng như sau:

* Cách nối một mắt vào một vật thể

Muốn nối một mắt vào một vật thể ta
cần dùng ba thanh không đồng phẳng
(gọi là bộ ba) để tạo thành một hệ bất
biến hình (hình 4.5).

A M

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

* Cách nối hai vật thể với nhau

Theo điều kiện cần để nối vật thể A vào vật thể B được xem là bất động ta
cần phải có số liên kết tương đương với sáu thanh các thanh liên kết phải được
bố trí sao cho:

- Sáu liên kết thanh không được cùng cắt một đường thẳng.

- Trong số sáu thanh liên kết khơng có q 3 thanh đồng quy ở một điểm

- Trong số sáu thanh liên kết khơng có q 2 thanh đồng phẳng (đồng quy hoặc
song song)

* Phương pháp tải trọng

Khi khơng có tải trọng tác dụng lên hệ:

- Nếu phản lực và nội lực trong toàn bộ hệ bằng khơng thì hệ là bất biến hình;
- Nếu phản lực và nội lực trong toàn bộ hệ hay một bộ phận nào đó của hệ là vơ
định (khơng xác định) thì hệ khơng bất biến hình.

4.2. Cách tính hệ khơng gian tĩnh định 
4.2.1. Xác định phản lực

Nếu một hệ bất biến hình nối cố định với đất bằng sáu thanh, thì có thể
xác định phản lực từ hệ sáu phương trình cân bằng tĩnh học, thơng thường hay
dùng hai nhóm phương trình sau:

1. Nhóm sáu phương trình gồm ba phương trình cân bằng hình chiếu và ba
phương trình cân bằng mơ men:

0




X ;



Y 0;



Z 0; (4.6)

1



M ;



M2 0;



M3 0; (4.7)

Trong đó các trục X, Y, Z hay các trục lấy mô men 1, 2, 3 phải không
được song song với nhau hoặc khơng được cùng nằm trong một mặt phẳng.
2. Nhóm sáu phương trình cân bằng mơ men:

1



M ;



M2 0;



M3 0; (4.8)

4 

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

- Các trục không được cắt qua một đường thẳng;
- Khơng được có q ba trục song song với nhau;

- Nếu có ba trục cắt nhau tại một điểm thì ba trục cịn lại khơng được song song
với nhau.

Ví dụ 4.1: Xác định các phản lực của hệ cho trên hình 4.6 
Dùng các phương trình cân bằng với các thứ tự sau đây:
































P
R
P
R
P
R
R
P
Z
R
R
R
Y
R
R
X
4
2

3
4
2
5
1
6
3
2
3
0
0
0





























4
/
3
4
0
3
.
4
.
0
12
.
4
.
0
.
12
.
3
.

1
6
5
6
1
6
5
P
R
P
R
P
R
R
R
M
R
P
M
R
P
M
z
y
x
Hình 4.6

4.2.2. Xác định nội lực trong hệ thanh không gian tĩnh định. 
a) Với hệ bất kỳ

Nội lực tại tiết diện bất kỳ trong thanh có 6 thành phần: Nz, Qx, Qy, Mx,

My, Mz các thành phần này được xác định bằng phương pháp mặt cắt đã giới

thiệu trong môn Sức bền vật liệu 1.

Quy ước chiều dương của các thành phần nội lực như hình 4.7.

Gọi qx, qy, qz, mx, my, mz - cường độ lực phân bố và mônmen phân bố trên

chiều dài thanh, thì:
 x 0

z

x q

d
dQ

;  y 0
z

y
q
d
dQ

; z 0

z
z
dQ

q
d  

0



 y x

z
x
m
Q
d
dM

;  x y 0
z
y
m
Q
d
dM

; (4.10)

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Ví dụ 4.2.Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung không gian chịu tải trọng như 
hình 4.8 a.

Sau khi thực hiện tính tốn trên các mặt cắt ta được kết quả biểu đồ 6 thanh
phần nội lực như trên hình 4.8 b, c, d, e, f, g.

ql2
2ql2

ql2

Mz
g)

Hình 4.8

M=ql2

x
y

M=ql2
x

y
x
y

L
L

P=ql

Nz
-

2ql

ql
ql

+
-

+
2ql

ql2/2

ql2/8

ql2
ql2

ql2
2ql2

3ql2
My

a
)

b
)

c
)

) e

)

f
)

Chú ý: 
Quy ước vẽ

Biểu đồ mô men xoắn (Mz)

1. Vẽ đối xứng về 2 phía với
đường chuẩn, hoặc

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

Ghi chú: Theo quy ước biểu đồ mô men xoắn (Mz) có thể vẽ theo một
trong hai cách sau:

- Vẽ đối xứng với đường chuẩn về 2 phía;

- Vẽ song song với đường chuẩn, nhưng tung độ vẫn tính theo phương
vng góc với đường chuẩn (xem bảng 2.2 - Phụ lục).

b) Với hệ dàn không gian

Có hai phương pháp tính tốn hệ dàn khơng gian:

- Có thể đưa về bài toán phẳng để áp dụng các phương pháp đã biết ở
phần Cơ học kết cấu 1;

- Sử dụng phương pháp mặt cắt hoặc tách nút đã biết trong mơn Sức bền
vật liệu. Trong đó chú ý:

- Dùng phương pháp mặt cắt không được quá 6 thanh chưa biết nội lực.
Nếu khơng thể, thì dùng mặt cắt phối hợp.

- Dùng phương pháp tách nút mỗi nút không quá 3 thanh chưa biết nội lực.
Chú ý: * Nếu tại mắt có 3 thanh không đồng phẳng quy tụ mà khơng có tải

trọng đặt ở mắt thì lực dọc trong các thanh đó đều bằng khơng.

* Nếu tại mắt có n thanh quy tụ trong đó có n-1 thanh nằm trong cùng
một mặt phẳng thì lực dọc trong thanh còn lại bằng khơng khi ở mắt
khơng có tải trọng hoặc khi tải trọng tác dụng trong mặt phẳng của n-1
thanh kể trên.

Ví dụ 4.3: Xác định nội lực trong các thanh dàn trên hình 4.9. 
Sử dụng phương pháp tách mắt ta có:

Tách mắt 3, được: N31 = N35 = N36 = N32 = 0

Tách mắt 1, được: N14 = N16 = 0; N12 = -P

Tách mắt 2, được:


sin

P

N  ;N25 P.cotg

Tách mắt 5, được: N54 = 0

Tách mắt 6, được: N64 = N65 = 0 Hình 4.9

6
P

5
4 3m

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

4.2.3. Xác định chuyển vị trong hệ thanh không gian tĩnh định

Chuyển vị trong hệ thanh không gian được xác định theo các phương pháp:
- Áp dụng công thức Castighano [1], [2].

k
K
P
U



 :







 























dz
P
Q
GA
Q
dz
P
Q
GA
Q
ds
P
N
EF
N
ds
P
M
EI
M
ds
P
M
EI
M

dz
P
M
EI
M
k
y
y
y
k
x
x
x
n
k
n
z
z
z
n
k
y
y
n

i x k

x
K
z

y
x


1
(4.11)

- Theo ngun lí cơng khả dĩ.

 

8.8
)

(
)

(2 1 2 1































ds
t
t
hx
M
ds
t
t
hy
M
ds
t
N
ds
GA
Q
Q
ds
GA
Q

Q
dz
EE
N
N
ds
GJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
c
R
R
Z
R
m
m
yk
m
m
xk
cp
zk

ym
yk
y
am
ak
x
zm
zk
z
zm
zx
y
ym
yk
x
xm
xk
i
im
jk
jm
jk
Km






Trong đó chú ý với hệ thanh hai đầu bản lề thì khơng có mơ men uốn và lực cắt.

4.2.4. Phân tích dàn khơng gian thành những dàn phẳng

Trong dàn không gian nếu tải trọng chỉ tác dụng trong mặt phẳng của một
dàn phẳng BBH thì nội lực chỉ phát sinh trong những thanh thuộc mặt phẳng
chứa tải trọng, cịn các thanh khác khơng trong mặt phẳng đó đều có nội lực
bằng khơng.

Nếu dàn khơng gian gồm nhiều dàn phẳng bất biến hình ghép lại thì ta có
thể phân tích thành các dàn phẳng để tính riêng. Cơ sở lý luận của việc phân tích
này là: Trong dàn không gian, nếu tải trọng chỉ tác dụng trong mặt phẳng của
từng dàn phẳng bất biến hình riêng biệt mà cân bằng với nhau, hoặc cân bằng
với các phản lực tựa của hệ trong mặt phẳng ấy, thì lực dọc chỉ phát sinh trong
những thanh thuộc dàn phẳng đó, cịn các thanh khác của dàn không gian không
nằm trong mặt phẳng ấy sẽ có lực dọc bằng khơng.

Ví dụ xem hình 4.10 a, b

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Chẳng hạn xét dàn không gian cho trên hình 4.10 a, ta nhận thấy chỉ có
các thanh trong hai dàn thẳng đứng có nội lực khác không và được xác định
bằng cách tính riêng từng dàn như trên hình 4.10 b.

Kết quả tính dàn trong ví dụ 4.3 cho thấy lực dọc chỉ sinh ra trong các
thanh của dàn phẳng bất biến hình 1-2-4-5 và kết quả hoàn toàn giống với kết
quả khi tính riêng dàn phẳng ấy.

Chú ý: Trường hợp tại mắt biên nối giữa các dàn phẳng có hệ lực tác 
dụng một cách bất kỳ thì ta có thể phân tích thành các thành phần nằm trong
từng dàn phẳng một để sau đó sẽ tính cho từng dàn riêng biệt.

Ví dụ, lực P bất kỳ tại mắt 1 của dàn cho

trên hình 4.11. được phân tích thành các
lực P1, P2, P3.

- P1 chỉ gây ra các nội lực trong các thanh

của dàn phẳng a-5-1-4-8-d.

- P2 gây ra nội lực trong các thanh của dàn

phẳng a-5-1-2-6-b.

- P3 có phương trùng với giao tuyến của hai

mặt dàn nên có thể tính trên sơ đồ của một trong hai dàn trên. Nội lực trong
các thanh a-5 và 5-1 xuất hiện trong cả ba sơ đồ tính trên sẽ bằng tổng các
kết quả riêng rẽ.

Hình 4.10

P2
P1

P3
1

b
a

c
5

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

4.3. Tính hệ khơng gian siêu tĩnh theo phương pháp lực

Nội dung: Cũng tương tự như tính hệ phẳng ta cũng tính trên hệ cơ bản 
Hệ cơ bản có thể là tĩnh định hoặc siêu tĩnh bậc thấp hơn song phải bất biến
hình và phù hợp với khả năng tính tốn.

Các bước tính tốn 
1. Xác định bậc siêu tĩnh

Theo các biểu thức (4.2), (4.3), (4.4) hoặc (4.5).
2. Lập hệ cơ bản: Là một hệ BBH.

Để đơn giản ta thường áp dụng cách loại bỏ liên kết thừa để được hệ
không gian tĩnh định và đồng thời lậphệ cơ bản. Nếu cắt các thanh thì mỗi mặt

cắt (tương đương với 1 mối hàn) sẽ có 6 nội lực, tương ứng 6 liên kết thanh.

Ví dụ, với hệ trên hình 4.11, nếu cắt các
thanh của hệ tại các tiết diện 1, 2, 3, 4 thì
bậc siêu tĩnh của hệ là s = 6.4=24.

3. Với hệ có n bậc siêu tĩnh ta sẽ có hệ n phương trình chính tắc

1 1 2 2

...

0

k

X

k

X

kn

X

n kP







 



  

(4.13)
( k = 1, 2, 3,..., n)

4. Xác định các hệ số và số hạng tự do

Phương trình chính tắc, các hệ số và số hạng tự do có ý nghĩa vật lý
như đã trình bày ở chương 1 áp dụng cho các thanh. Tuy nhiên, các hệ số và số
hạng tự do được xác định theo công thức chuyển vị của hệ không gian. Ta có:























ds
GA

Q
Q
ds

GA
Q
Q
dz

EE
N
N

ds
GJ

M
M
ds

EJ
M
M
ds

EJ
M
M
c

R
R

ym
yk
y
am

ak
x
zm

zk

z
zm
zx
y

ym
yk
x

xm
xk
i

im
jk
Km






(4.14)
2

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>


























ds
GA

Q
Q

ds

GA
Q
Q
dz

EE
N
N

ds
GJ

M
M
ds

EJ
M
M
ds

EJ
M
M
c

R
R

yP
yk
y
xP

xk
x
zP

zk

z
zP
zx

y
yP
yk

x
xP
xk

i
iP
jk
Km

0
0




(4.15)

Nhận xét:

- Với hệ khung và dầm thường được phép bỏ qua biến dạng trượt và biến
dạng dọc nên các biểu thức trên chỉ còn 4 thành phần.

- Với hệ dàn chỉ có lực dọc, các biểu thức trên cịn 2 thành phần (1 và 5).
5. Giải hệ PT chính tắc để xác định các ẩn Xi (i = 1, 2, . . .,n).

6. Tìm nội lực trong hệ siêu tĩnh không gian 
Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có:

)

(

).

(

.

..

).

(

).

(

)

(

S



S

1

X

1



S

2

X

2



S

n

X

n



S

P0 (4.16)
Trong đó:

(S) - biểu đồ của đại lượng S (có thể là nội lực hay chuyển vị);


)

(Si biểu đồ của đại lượng S do riêng Xi=1 gây ra trong hệ cơ bản;


)

(SP0 biểu đồ của đại lượng S do tải trọng P gây ra trong hệ cơ bản.

Ví dụ 4.4. Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung siêu tĩnh trên hình 4.12 a. 
Biết thanh chịu xoắn có GJ = EJ = 1, Jx = Jy = J.

Lời giải:

1. Bậc siêu tĩnh

Đây là một hệ khơng gian có nối đất nên để tìm bậc siêu tĩnh ta sử dụng
biểu thức (4.3): S = T- 6V + V1 + C

Trong đó số thanh để liên kết vật thể: khơng có, nên T = 0, coi hệ ABCD
là một vật thể thì ta có V = 1, số vật thể có khớp cầu: khơng có nên V1 = 0, số

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

2. Hệ cơ bản và biểu đồ mô men

Hệ cơ bản như hình 4.12 b, biểu đồ mơ men do tải trọng vẽ trên hình 4.12 c.
Các biểu đồ mơ men đơn vị vẽ trên hình 4.12 d, e.

3. Hệ phương trình chính tắc












0
2
2
22
1

0
1
2
12
1
11

P
X

X

P
X

X






4. Xác định các hệ số

Các hệ số và số hạng tự do xác định theo biểu thức (4.14), (4.15) trong đó
ta bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và ảnh hưởng của lực cắt nên chỉ có
mơmen uốn và mômen xoắn. Giái trị của các hệ số được tính theo phép nhân
biểu đồ như sau:

0
P

M

6
+

X2=1

 

M2
6

Mz
e)

30P
16
18P

16

60P/16
12P/16

(MP)

Mz
f

Hình 4.12

6
6m

6m
P

a)
A

B
C

X2
X1

X1=1

6
+
d)

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

  

EJ
xoan
GJ
EJ
EJ
M

M .6. 1 6.6.6 360

3
2
.
2
6
.
6
1
.
6
.
3
2
.
2
6
.
6
1
.
1

11    



  

EJ
xoan

GJ
EJ
EJ
M

M .6. 1 6.6.6 360

3
2
.
2
6
.
6
1
.
6
.
3
2
.
2
6
.
6
2
.
2

22     



  

EJ
xoan
GJ
M

M 6.6.6 216

2
.
1

12   



 

EJ
P
EJ
P
P
M
M
P
72
1
.
6

.
3
2
.
2
.
6
.
6
0
.
1

1    



 

. 0 0
2

2   



P
M
M
P

5. Giải hệ PTCT























P
X
P
X
X
X
P

X
X
16
3
2
16
5
1
0
0
2
360
1
216
0
72
2
216
1
360

6. Vẽ biểu đồ mômen

Theo nguyên lý cộng tác dụng áp dụng biểu thức (4.16)





 





1 1 2 2

P P

M  M X  M X  M
Ta được kết quả như hình 4.12 f.

Ví dụ 4.5: Vẽ biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn cho hệ trên hình 4.13 a. 
Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và biến dạng dọc trục.

Lời giải: 
1. Bậc siêu tĩnh

Đây là một hệ khơng gian có nối đất nên để tìm bậc siêu tĩnh ta sử dụng
biểu thức (4.3): S = T- 6V + V1 + C

Trong đó số thanh để liên kết vật thể khơng có nên T = 0, coi hệ ABCD là
một vật thể thì ta có V = 1, số vật thể có khớp cầu khơng có nên V1 = 0, số liên

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

2. Hệ cơ bản như hình 4.15 b. 
3. Hệ phương trình chính tắc
























0
3
3
33
2
32
1
31
0
2
3
23
2
22
1
21
0
1
3

13
2
12
1
11
P
X
X
X
P
X
X
X
P
X
X
X










4. Xác định các hệ số

Để tìm được các hệ số và số hạng tự do ta cần phải vẽ các biểu đồ đơn vị

 

M1 ,

 

M2 ,

 

M3 do các lực X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1 ta được biểu đồ như hình
4.15 c, d, e và biểu đồ do ngoại lực gây ra trên hệ cơ bản





P

M hình 4.15 f.
X1
X2
(1
)
(3
)
(2
)
X3
b)
x
y
y
x
l
l
l

y x
4Pl
P

2Pl
a)

B C

X1=1

l
(M1
)
l
l
(+) c)
1,14Pl
0,86Pl
2Pl

(MX)
2,86Pl
0,21Pl

0,35Pl
(MY )
0,68Pl

0,11Pl

(+)

0,68
Pl

(MZ)
1,14Pl

Hình 4.15

g) h) k)

(+)
l

X2=1

(M2
l

(-) l

l
(

M

X3=1
l

4Pl (+)
2Pl

3P
l

(M0P)
4Pl

4Pl
d)

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Các hệ số được xác định theo biểu thức (4.11), (4.15) trong đó ta bỏ qua
ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và ảnh hưởng của lực cắt nên chỉ có mômen
uốn và mômen xoắn. Giái trị của các hệ số được tính theo phép nhân biểu đồ:
Biểu đồ mômen xoắn biểu thị bằng các đường kẻ song song với trục thanh.

3
11

19
6 x

l
EJ

 

3
22

9
6 x

l
EJ
 

3
33

26
6 x

l
EJ
 

3
12 21

7
6 x

l
EJ
  

3
13 31

3
6 x

l
EJ
   

3
23 32

6 x
l
EJ
  

3
1

8
6
P

x
Pl
EJ
 

3
2

24
6
P

x
Pl
EJ
  

3
3

73
6
P

x
Pl
EJ
  

5. Nghiệm của hệ phương trình

X1 = -0,3504P; X2 = 1,0333P; X3 = 2,8587P.

6. Vẽ biểu đồ mômen.

Theo nguyên lý cộng tác dụng áp dụng biểu thức (4.16)





 





1 1 2 2 3 3

P P

M  M X  M X  M X  M

Sau khi thực hiện các bước tính tốn như trên ta được biểu đồ (MZ).

(MY). (MZ) như hình 4.15 g, h, k.

4.4. Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực không gian

Đăc biệt đối với hệ siêu tĩnh phẳng chịu tải trọng không gian (không nằm
trong mặt phẳng của hệ) thì những ẩn nằm trong mặt phẳng của hệ chỉ gây ra
chuyển vị trong mặt phẳng của hệ.

Ví dụ, hệ trên hình 4.16 a các ẩn X1, X2, X3 –gây ra chuyển vị trong mặt

phẳng của hệ;

Các ẩn X4, X5, X6 – không gây ra chuyển vị trong mặt phẳng của hệ hình 4.16 b.

X1 X1
X2
X2

X3 a)

X
X6
X6

X4
X5
X5

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

Vậy nếu phân tích tải trọng thành 2 nhóm: Nhóm nằm trong mặt phẳng
của hệ và nhóm vng góc với mặt phẳng của hệ thì ta thấy nhóm thứ nhất (X1,

X2, X3) chỉ có ảnh hưởng đến các ẩn trong mặt phẳng của hệ cịn nhóm thứ hai

(X4, X5, X6) chỉ ảnh hưởng đến các ẩn ngoài mặt phẳng của hệ.

Từ đó ta có nhận xét:

Nếu hệ là một khung phẳng chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt 
phẳng khung thì các ẩn nằm trong mặt phẳng khung sẽ bằng không, 
(X1=X3=X2=0)

Nếu hệ là khung phẳng chịu tải tác dụng trong mặt phẳng khung thì các 
ẩn nằm ngồi mặt phẳng khung bằng không, ( X4=X5=X6=0).

Nhận xét này cho phép đơn giản việc xác định các hệ số của hệ phương
trình chính tắc.

Ví dụ 4.6: Vẽ biểu đồ mơ men uốn của khung cho trên hình 4.17 a, biết tiết 
diện của thanh hình trịn có: E/G = 2,5; Jxoắn/J = 2.

Lời giải : 
1. Bậc siêu tĩnh

Từ tính chất đối xứng của hệ khung siêu tĩnh ta có nhận xét sau:

- Hệ là khung phẳng chịu tải trọng tác dụng vng góc với mặt phẳng
khung thì các ẩn nằm trong mặt phẳng khung sẽ bằng không;

- Hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, khi áp dụng phương pháp
lực chọn hệ cơ bản đối xứng như hình 4.17 b các ẩn phản đối xứng bằng khơng.

Nên hệ chỉ có một ẩn lực X1 (mơ men uốn tại tiết diện bị cắt).

2. Hệ cơ bản vẽ trên hình 4.17 b.

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

4. Xác định các hệ số của phương trình chính tắc

Vẽ biểu đồ do X1 và do tải trọng vẽ trên hình 4.17 c, d.

Các hệ số được xác định theo biểu thức (4.14), (4.15) trong đó ta bỏ qua
ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và ảnh hưởng của lực cắt nên chỉ có mômen
uốn và mômen xoắn. Giái trị của các hệ số được tính theo phép nhân biểu đồ:

  

EJ

EJ
M

M .2 13,5

2
1
.
3
.
1
1
.
3
.
1
1
.
1

11  











 





EJ
P
J
E
P
EJ
P
M
M P
P
75
,
15
2
.
2
1
.
3
.
2
3
1
.
2
3
.

2
3
. 0
1

1  












5. Giải phương trình: 13,5 X1 – 15,75P=0 →X1 = 1,167P

Hình 4.17

X1 X1
b)
1
+
-0.333P
1.167P
3P/2
0.333P

(MP)
e)
P
3
3
6
J
J
J
a)
A
B

C D

1
X1=1

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

6. Biểu đồ mômen uốn: Theo nguyên lý cộng tác dụng áp dụng biểu thức (4.16)





 





1 1

P P

M  M X  M
Kết quả như hình 4.17 e.

4.5. Tính hệ khơng gian siêu động theo phương pháp chuyển vị 
4.5.1. Nội dung

Tương tự như hệ phẳng, các ẩn số trong phương pháp chuyển vị là các
chuyển vị góc xoay và chuyển vị thẳng của các nút. Mỗi nút khơng gian có thể
có sáu chuyển vị: Ba chuyển vị góc xoay quanh ba trục tọa độ và ba chuyển vị
thẳng hướng theo ba trục đó.

Các nội dung tính hệ không gian cũng được thực hiện trên hệ cơ bản.
Với các giả thiết như đã sử dụng trước đây, ta có số ẩn chuyển vị góc
bằng ba lần số nút cứng trong hệ (vì mỗi nút cứng có ba ẩn góc xoay); còn số ẩn
chuyển vị thẳng bằng số chuyển vị thẳng độc lập có trong hệ. Cũng giống như
đối với hệ phẳng, để xác định số ẩn chuyển vị thẳng ta đưa hệ đã cho về hệ khớp
bằng cách thay tất cả các nút cứng và liên kết ngàm bằng khớp rồi xét tính biến
hình của hệ khớp đó. Số ẩn chuyển vị thẳng bằng số liên kết thanh chống đã
thêm vào vừa đủ để cố định các nút của hệ khớp theo các phương.

4.5.2. Các bước tính tốn

1. Xác định bậc siêu động: n = n1 + n2 (4.17)

Trong đó:

n1 - số chuyển vị xoay độc lập chưa biết.

Trong không gian mỗi nút có 3 chuyển vị xoay, nên n1 bằng 3 lần số nút của hệ

với chuyển vị xoay chưa biết của ngàm đàn hồi.

n2 - số chuyển vị thẳng chưa biết tại các nút và các liên kết đàn hồi (n2 xác

định tương tự như trong bài tốn phẳng).

2. Hệ Cơ bản: Có thể là tĩnh định hoặc siêu tĩnh bậc thấp hơn. 
3. Hệ phương trình chính tắc:

1 1 2 2 ... 0

i i in n iP

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

Trong đó: rii - các hệ số chính; ri2 , r13…rin - các hệ số phụ; RiP - các hệ số tự do

4. Tìm các hệ số: Phải vẽ các biểu đồ đơn vị và biểu đồ do ngoại lực gây ra trên 
hệ cơ bản bằng cách tra bảng theo phần tử mẫu (bảng 2.1 và bảng 2.2 phụ lục).
5. Giải phương trình chính tắc

6. Vẽ biểu đồ mơmen: Được xác định theo biểu thức cộng tác dụng:





 

1 1 2 2 ....

P P

M  M Z  M Z  M (4.19) 
Ví dụ 4.6. Xác định bậc siêu động cho hệ như hình 4.18 a,

Theo sơ đồ biến đổi ta được hệ tính tốn như hình 4.18 d

Bậc siêu tĩnh: n1 = 3.4 = 12 (hệ có 4 nút, 1 nút tồn tại 3 chuyển vị góc

xoay). Để xác định n2 ta cần đặt thêm vào hệ mới này bốn liên kết thanh để ngăn

cản chuyển vị thẳng tại các nút như trên hình 4.18 c, như vậy số chuyển vị thẳng
độc lập chưa biết của các nút là n2 = 4 vậy bậc siêu động n = 16

Ví dụ 4.7. Xác định bậc siêu động cho hệ như hình 4.19 a 
Theo sơ đồ biến đổi ta được hệ tính tốn như hình 4.19 c

Với hệ trên hình 4.19,a có ngàm đần hồi tại A và thanh đần hồi tại C, nếu
xem hệ có bốn phần tử AB, BC, CD, BE thì hệ có hai nút B, C.

a)
D
C
B

A/
E

D
C
B

A
D

C
B

A/
E

A b)

c)
a)

4 3

b) c) d)

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

Số chuyển vị xoay độc lập chưa biết bao gồm 3.2 = 6 tại nút B, C và 1
chuyển vị xoay quanh phương trục z tại ngàm đần hồi A, do đó: n1 = 7.

Để tìm chuyển vị thẳng độc lập chưa biết của các nút ta thấy cần đặt thêm
vào hệ đã khóa khớp tại các nút và ngàm 2 liên kết thanh để ngăn cản chuyển vị
thẳng tại nút C như trên hình 4.19 c, do đó: n2 = 2.

Vậy bậc siêu động của toàn hệ: n = 9

Ví dụ 4.8: Vẽ biểu đồ mơmen uốn và xoắn cho khung trên hình 4.20 a. 
Cho khung có tiết diện là hình trịn khơng đổi, bán kính r và G = 0,4 E.
Lời giải:

1. Bậc siêu động 
 Nhận xét:

- Ta nhận thấy tải trọng P nằm trong mặt phẳng ABCD nên khung ABCD
chỉ biến dạng trong mặt phẳng của nó;

- Do tính đối xứng nên nút C và D khơng có chuyển vị thẳng, chỉ có
chuyển vị góc xoay bằng nhau và ngược chiều nhau trong mặt phẳng ABCD: Z1

= -Z2. Như vậy khi tính hệ theo phương pháp chuyển vị ta chỉ cần thực hiện với

một ẩn, đó là (Z1) - cặp chuyển vị xoay đối xứng tại hai nút C và D.

2. Hệ cơ bản: Đưa vào các liên kết để hạn chế các dịch chuyển, hình 4.20 b. 
3. Phương trình chính tắc: r11Z1+R1P = 0,

4. Xác định các hệ số của phương trình chính tắc 
* Biểu đồ

 





1 , MP

M như hình 4.20 c, d.
Chú ý: Với tiết diện tròn

4
.
2

r
J

J

Jx  y   

Đặt

l
EJ

i  thì đoạn DE và CF có: GJ 0,8EJx. i
l

GJ

Mz 0,4

2 

 

5. Giải hệ phương trình chính tắc

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

→ 12,8i Z1 –Pl/4 = 0→ Z1 = 0,0195 (Pl
2

/EJ)

6. Biểu đồ mômem: Theo nguyên lý cộng tác dụng: ( ) ( ) ( 0)
1

1 P

P M Z M

M  

Ta được kết quả như hình 4.20 e.

Pl/8

0
P

M

Pl/8

d)
4i

0.4i

2i

M1

0.4i

2i 
4i

2i -

+

c)
E 
D

P

B C

A

F

2l

l/2
l/2
l

a)

b)

Hình 4.20 
0.078Pl

0.086Pl

MP

0.008Pl

0.039Pl

0.008Pl

0.039Pl 
0.086Pl

-

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

4.6. Câu hỏi ôn tập

4.1. Trình bày điều kiện cần và đủ để cáu tọ hệ thanh không gian bất kỳ thành hệ
bát biến hình?

4.2. Nếu sự khác nhau giữa cách tính chuyển vị trong hệ thanh phẳng và hệ
thanh khơng gian. Giải thích ý nghĩa của các đại lượng trong công thức chuyển
vị của hệ khơng gian?

4.3. Trình bày cách tính hệ thanh không gian siêu tĩnh theo phương pháp lực. So
với hệ hẳng, cách tính hệ siêu tĩnh khơng gian phức tạp hơn ở điểm nào?

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

BÀI TẬP

Chương 1

Bài 1.1. Vẽ biểu đồ nội lực trong khung trên hình 1.1 tương ứng với hai trường hợp: 
a) EF = ∞;

b) EF = 3EJ/a2 với a = 2 m.

Bài 1.2. Vẽ biểu đồ mô men uốn và xác định chuyển vị ngang tại tiết diện K 
trong khung trên hình 1.2. Cho EJ = const.

Bài 1.3. Vẽ biểu đồ mô men uốn và xác định chuyển vị thẳng đứng tại tiết diện 
K trong khung trên hình 1.3. Cho EJ = const.

1.4. Vẽ biểu đồ mô men uốn và xác định chuyển vị thẳng tương đối giữa hai tại

tiết diện D và B trong khung trên hình 1.4. Cho biết EJ = const.

Bài 1.5. Xác định lực dọc trong thanh ab của dàn chịu tải trọng như hình 1.5, 
cho biết EF = const.

Bài 1.6. Cho hệ như trên hình 1.6, biết EF=EJ/l2 với l = 4m. Yêu cầu:

1. Vẽ biểu đồ mômen uốn trong dầm và xác định lực dọc trong các dây văng khi
hệ chịu tải trọng phân bố đều với cường độ q= 10 kN/m.

2. Cần điều chỉnh chiều dài của các dây văng một lượng Δ như nhau bằng bao
nhiêu để độ võng tại C bằng a?

4 m 4 m
K

P 3m

Hình 1.2

J J

J
4 m

Hình 1.1

L/2
L/2
L L/2 L/2

c
K

P
m=P/2

Hình 1.3

5m
3m

Hình 1.4

P=10kN/
m

B
A

EJ=∞

EJ EI

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

Bài 1.7.Vẽ biểu đồ M, Q, N cho các khung trên hình 1.7. 
Bài 1.8. Vẽ biểu đồ M, Q, N cho các khung trên hình 1.8.

Bài 1.9. Vẽ biểu đồ M, Q, N cho các dầm liên tục trên hình 1.9.

Bài 1.10. Vẽ biểu đồ M, Q, N cho các dầm liên tục trên hình 1.10.

Bài 1.11. Xác định chuyển vị tại tiết diện K của dầm liên tục trên hình 1.9. Bỏ 
qua ảnh hưởng của lực cắt.

Hinh 1.5

d b

2d
2d

d d d d

P 2P

q=10 kN/m
E
D

C B

EF
EF

4m
4m

Hinh 1.6

Hình 1.7 Hình 1.8

Hình 1.9

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

Chương 2

Bài 2.1 Vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, lực dọc trong các hệ trên hình 2.1. 
Bài 2.2 Vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, lực dọc trong các hệ trên hình 2.2.

Bài 2.3 Vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, 
trong dầm liên tục trên hình 2.3

Cho biết EJ = const.

Bài 2.4 Vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, trong dầm liên tục trên hình 2.4. 
Cho biết EJ = const.

Bài 2.5. Cho hệ dàn phẳng gồm 2n thanh chịu lực thẳng đứng P tại mắt A và có 
kích thước hình học như trên hình 2.5 a. Yêu cầu:

1. Xác định lực dọc trong các thanh khi n = 3; h = 3m; a1 = 1m; a2 = 2,5m;

a3 = 3m; EF = const.

2. Áp dụng kết quả đã tìm được ở yêu cầu 1, xác định lực dọc trong các thanh
của hệ trên hình 2.5 b.

2m
2m

4m
3m

M
M

M=12 kNm
EJ = const

Hình 2.2

2m
10m

4m
4m
P1=30kN

C=9EJ.10-3 kN/m

Hình 2.3

P2=10kN

Hình 2.4

P=4kN

3m
3m

3m 3m

Hình 2.1

6EJ
J

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

Bài 2.6. Áp dụng phương pháp chuyển vị, xác định lực dọc trong các thanh của 
hệ dàn trên hình 2.6. Cho biết các thanh ngang và thanh đứng có độ cứng EF1,

các thanh xiên có độ cứng EF2 = 0.707EF1.

Bài 2.7. Cho hệ chịu tải trọng như trên hình 2.7. Cần thay đổi chiều dài các 
thanh CD và CE một lượng như nhau bằng bao nhiêu để độ võng tại C bằng
không?

Bài 2.8. Vẽ các biểu đồ nội lực trong khung chịu tải trọng như trên hình 2.8. 
Cho biết EJ = const.

Bài 2.9. Tìm giá trị mô men uốn tại tiết diện k trong hệ trên hình 2.9. 
1

2
i
n

ai
ai

2 2

4m
4m

1
h=3m

Hình 2.5a Hình 2.5b

q=10 kN/m
E
D

C B

EF
EF

EJ
a=4m
3m

Hình 2.7

EF=EJ/a2

a=4m
2m

2m
P=1000kN

Hình 2.6

1,5J
q=3kN/m

A B

1 2

4m 3m

3m
P=150kN

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Bài 2.10 - 2.13. Vận dụng tính chất đối xứng, tìm sơ đồ tính với nửa hệ tương 
đương và vẽ biểu đồ mômen uốn trong các hệ trên hình 2.10 - 2.13. Giả thiết bỏ
qua biến dạng trượt và biến dạng dọc trục.

J 
2J

10kN/m

10m
5m

Hình 2.10

J J

40kN

2J 
J

6m
3m

Hình 2.11

4m
EJ=const

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Chương 3

Bài 3.1- 3.5 Vận dụng phương pháp hỗn hợp hoặc liên hợp, vẽ biểu đồ mơmen 
uốn trong khung trên hình (3.1)-(3.5)

Bài 3.6- 3.7. Cho các khung như trên hình 3.6 - 3.7, chọn hệ cơ bản theo phương 
pháp hỗn hợp để giảm nhẹ khối lượng giải hệ phương trình chính tắc.

Parabol
φ

4 kN/m

J
J

4m
J J

J0 J
z
J0=Jz/cosφ

r =4m

J1 J

4m 5m

q=2 kN/m
P=5 kN

5m
J

J J

4m 8m

2m
J

J 4J

2m
3m

4m
q=10 kN/m

Hình 3.2

Hình 3.3

Hình 3.4

Hình 3.5

q=20 kN/m

4m
4m

P=100 kN

Hình 3.1

2J
4J

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Chương 4

Bài 4.1. Vận dụng phương pháp tách mắt, xác định lực dọc trong các thanh của 
dàn không gian chịu tải trọng trên hình 4.1.

Bài 4.2 - 4.3 Vẽ biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn trong khung cho trên hình 
4.2 và hình 4.3. Các thanh của khung có tiết diện trịn khơng đổi, biết G = 0,40E

Bài 4.4 - 4.5 .Vận dụng phương pháp lực, vẽ biểu đồ mômen uốn và mômen 
xoắn trong khung cho trên hình 4.4 và 4.5. Các thanh của khung có tiết diện
vng khơng đổi, G=0,40E.

Bài 4.6. Vận dụng phương pháp chuyển vị, vẽ biểu đồ mômen uốn và mômen 
xoắn trong khung cho trên hình 4.6. Các thanh của khung có tiết diện trịn khơng
đổi, G = 0,40E

q
q

Hình 4.5

1,5L

1,5L
P

L
L

Hình 4.4

Hình 4.2

P
2L

Hình 4.3

2
1

B
600
600

6m
8m

C
3

Hình 4.1

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

Bài 4.7. Vận dụng phương pháp lực, vẽ biểu đồ mômen uốn và mơmen xoắn 
trong khung cho trên hình 4.7. Các thanh của khung có tiết diện trịn khơng đổi,

G = 0,40E.

L
L

L
L
q

Hình 4.6

P
l/2
l/2

l/2

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

BÀI TẬP LỚN SỐ 2 
TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU TĨNH

Nội dung: Xác định nội lực (mô men uốn, mô men xoắn, lực dọc, lực cắt) và 
chuyể vị trong hệ siêu tĩnh theo sơ đồ cho trước.

Thứ tự thực hiện:

1. Xác định số ẩn, chọn phương pháp giải và lập hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh (theo

đề bài được giao). Viết hệ phương trình chính tắc (PTCT) dưới dạng chữ.

2. Xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ PTCT bằng cách:

- Vẽ các biểu đồ đơn vị



MK



và biểu đồ tải trọng trong hệ cơ bản

 

0
P
M ;
- “Nhân biểu đồ” , theo phương pháp lực;

- “Tách nút” , theo phương pháp chuyển vị.

3. Viết phương trình chính tắc dưới dạng số và giải hệ phương trình chính tắc ,
xác định các ẩn số Xi ;(Zi).

4. Vẽ biểu đồ mômen uốn (MP).

5. Kiểm tra biểu đồ (MP) bằng cách “nhân” biểu đồ:



MK



(MP) = 0

6. Vẽ biểu đồ lực cắt (QP) và lực dọc (NP) trong hệ siêu tĩnh.

7. Kiểm tra biểu đồ (QP) và (NP) bằng cách khảo sát cân bằng của từng phần hệ

tách ra hay của toàn hệ.

8. Xác định chuyển vị thẳng đứng tại A hoặc chuyển vị ngang tại B.

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

Sơ đồ hệ và tải trọng

3m

l2/2
l1

k2I

k1I

1,2l1 I

k1I

k2I

4m

l2

l2
l1

B k

2I

k1I

q
q

l1 I

k1I

k2I

3m

4m 
1

3m

l1
l2

k2I

k1I M

1,2l1 I

I

EA

k2I

4m 1,2l

1

1,2l1

k1I

P 3m

l1
l2

k2I

k1I M

I

EA

k2I

4m 
5

k1I

4m 4m 
M
k1I

q A

k1I

I

3m

1,2l1

k2I

0,95l1

P k1I EA

4m 4m

q A

k1I

3m

l2 k2I

l1
6

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

Các số liệu tính tốn

1. Mơ đun đàn hồi của vật liệu khi kéo hoặc nén E = 2.107 Ncm2.
2. Mơmen qn tính chính trung tâm I =

1
4
1
6

.
10

k
l



3. Diện tích tiết diện thanh chỉ chịu kéo hoặc nén

2
1

1
.
10

l
l

I
k
A  .;
4.Chiều cao tiết diện thanh xiên h = (l/15) chiều dài thanh xiên.

Số liệu hình học Số liệu nguyên nhân

TT l1

(m)

l2

(m)

k1 k2 TT q

(kN/m)

P

(kN)

M

(kNm)

a 10 8 2,0 1,5 1 30 80 120

b 8 6 2,5 2,0 2 40 100 150

c 12 10 3,0 2,0 3 50 120 100

d 9 7 2,0 2,0 4 20 100 120

Chú thích:

- Mỗi nhóm sinh viên thực hiện một dạng sơ đồ;

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP 
Bài 1.1. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh là 1;
- Hệ cơ bản như hình 1.1a;

X1=1

- PTCT: 11X1 1P  0

- Giải hệ phương trình chính tắc khi EF = ∞, 1P
1

X   0,5q



- Giải hệ phương trình chính tắc khi EF = 3EJ/a2, * 1P
1

X    0, 4q


- Vẽ biểu đồ MPM1X1MP được kết quả như trên hình 1.1 b, c, d

Bài 1.2. Gợi ý:

- Hệ có bậc siêu tĩnh 3;

- Vẽ biểu đồ mômen uốn kết quả hình 1.2.

Chuyển vị ngang tại tiết diện k

10,54
EJ

k

P

x  ( hướng về bên phải)
Hình 1.1a

Hình 1.1

Hình 1.2 
0.519P

0.468P 
1.407PP

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Bài 1.3. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 2;

- Vẽ biểu đồ MP như hình 1.3a và biểu đồ Mk như hình 1.3 b;

23PL/304

23PL/152

99PL/304

- Kết quả chuyển vị tại K là: yK = 0308PL3/EJ.

Bài 1.4. Gợi ý:

- Hệ có bậc siêu tĩnh 1;
- Hệ cơ bản hình 1.4 a;

Mp

1555/6
245/6

400/3

100/3

- PTCT: 11X1 1P  0

- Vẽ biểu đồ mơmen uốn MP như hình 1.4 b.

Pk=1
3L/2

X1
a)

Hình 1.3

Hình 1.4

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Bài 1.5. Gợi ý 
P
d

d d

1
2
3

4
5

y
2P
6

45
°

- Lực dọc trong thanh ab cần tìm là Nab = - P

Bài 1.6. Gợi ý:

-Hệ có bậc siêu tĩnh 1;

-Hệ cơ bản hình 1.6 a. kết quả biểu đồ mơmen MP như hình 1.6 b.

Bài 1.7. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 1;
-Hệ cơ bản hình 1.7 a;

- Kết quả biểu đồ mơmen MP như hình 1.7 b, c, d.

X= 1

Hình 1.5

2qa
7,5qa

41qa/28 15qa/28
2qa

15qa/28 13qa 30qa2/28

2
/14

(M)
13qa2/14
Nz

b) c) d)

X
1
a)

Hình 1.6

500/137

71.24

500/137 
MP

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Bài 1.9. Gợi ý:

- Hệ có bậc siêu tĩnh 2;

- Kết quả biểu đồ mơmen MP như hình 1.9.

Bài 1.10. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 3;
- Hệ cơ bản;

X1 X2 X3

-Vẽ biểu đồ mơmen MP như hình 1.10 b.

Bài 1.11. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 2;
- Hệ cơ bản.

X1 X2

1.9q

2.678q

0.643

q

3.214
q

M
MP
473.63

137.27

Hình 1.9

Hình 1.10,a

a)
Hình 1.10,b

272/9 
88/

182

184

Hình 1.11

(MP),b

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

-Vẽ biểu đồ mơmen MP như hình 1.11b và mơmen Mk như hình 1.11c.

Chuyển vị tại K
k

1 1 3 1 3 9

.3.1 . .3.2

EJ 2 2 2 2 2EJ

 

     

 

Bài 2.1: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 2
- Hệ cơ bản hình 2.1 a

9 9

3 3

- Vẽ biểu đồ mômen Mp như hình 2.1.b.

Áp dụng phương pháp cộng tác dụng ta có: Mp = M1Z1+M2Z2+ Mp
o

Bài 2.2: Gợi ý

Gợi ý: Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng ta xét nửa hệ
Hệ có bậc siêu động 4, n1 = 2, n2 = 2

Kết quả biểu đồ như hình 2.2 a, b, c

12 12

12
12

9 9

4.5 4.5

M(kNm)

6 6

3.375

Q(kN)

9.375

N(kN)

Hình 2.1

Hình 2.2

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

Bài 2.3: Gợi ý

-Hệ có bậc siêu động 2

-Hệ cơ bản hình 2.3 a vẽ biểu đồ (MP) như hình 2.3 b.

P1=30kN P2=10kN

C=9EI.(10^-3 ) kN/m

A B C D

HCB

800/9 520/9

Bài 2.4: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 2;
- Hệ cơ bản

Z1 Z2

HCB

Vẽ biểu đồ mô men cuối Mp:

Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có:
Mp = M1Z1+M2Z2+ Mp

Bài 2.5. Giải

1. Xác định lực dọc trong thanh thứ i bất kỳ cho hệ hình 2.5a.

Hệ đối xứng chịu tải trọng tcs dụng đối xứng nên tại A chỉ tồn tại chuyển
vị thẳng đứng hệ cơ bản như hình 2.5 b.

Hình 2.3

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

P

h

1 i ? n n ? i 1

R

a a

r11

Z
(EA)i

N

?=sin?
(EA)i

N

PTCT: r11.Z1 +R1P = 0

Từ hình 2.5 a ta có R1P = -P

Để xác định r11 ta cần tìm Ni trong cặp thanh thứ i do Z1 = 1 gây r trong
hệ cơ bản.

Áp dụng định luật hooke ta có thể xác định được lực dọc Ni theo biến
dạng đã biết như sau: (EF) (EF) 2

sin

i i

i i i

i

N

l h 

  

Tách mắt A và lập PTCB hình chiếu ta có:
3

1 1

2 sin (EF) sin

n n

i i i i

i i

r N

h

 

 









Vậy 1

2 (EF) sin

n

i i

i

Ph
Z








Lực dọc trong thanh thứ i được xác định như sau:

(EF) sin

(*)
2

(EF) sin

i i

i i n

k k

k
P

N N Z 




 



2. Xác định lực dọc trong thanh khi n = 3 áp dụng cơng thức (*) ta có: 
2

1
sin

(*)
2

sin
i

i n

k
k

P

N 







với sinα1 = 0,9487, sinα2 = 0,7682,sinα3 = 0,6

Vậy N1 = 0,2954P, N2 = 0,1937P, N3 = 0,1182P.

a) b)

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

3. Xác định lực dọc trong thanh như hình 2.5b

- Thanh thẳng đưungs trùng với trục đối xứng của hệ nên độ cứng còn lại
chỉ bằng EF/2.

Khi n = 2, sinα1 = 1, sinα2 = 0,6, (EF)1 = EF/2, (EF)2 = EF.

Vậy N1 = 0,6983P, N2 = 0,2514P.

Bài 2.6 . Lời giải

Phân tích P đưa bài toán về hai
trường hợp:

- Hệ đối xứng chịu tải trọng tác 
dụng phản đối xứng: Lực dọc 
trong các thanh ngang bằng
không, bài toán trở thành tĩnh
định.

- Hệ đối xứng chịu tải trọng tác 
dụng đối xứng: vận dụng các cặp

ẩn đối xứng và lập hệ cơ bản như
trên hình 2.6 bài tốn chỉ cịn 2 ẩn.

Kết quả:

N12 = -545kN, N13 = -643kN

N14 = 0kN, N24 = 771kN

N23 = 454kN, N34 = 454 kN

Bài 2.7. Kết quả như biểu đồ trên hình 1.6 b. 
Bài 2.8. Đáp số

Kết quả biểu đồ như hình:

2.485

3.525

9.728 3.75

M(kNm)

1 2

A

B

2.946

1.455
1.502

9.054

Q(kN)

1.502

2.946

2.97

N(kN)

Hình 2.7

a) b) c)

Z2

2

Z1 Z1

3

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Bài 2.9. Đáp số MK = 69kN.m căng thớ bên trong khung.

Bài 2.10 - 2.13. Gợi ý

Hệ khung đối xứng chịu tải trọng đó xứng ta xét một nửa hệ rồi suy ra cho nửa
hệ còn lại. Kết qủa vẽ biểu đồ như hình 2.10 - 2.13.

- Vẽ biểu đồ mômen theo nguyên lý cộng tác dụng ta có:
Mp=M1Z1+M2Z2+M3Z3+M4Z4+Mp

36

64
67.7

31.1
37.3

15.55

36

67.7

31.1
37.3

15.55
125

M (kNm)

(59
48)q

(46
96)q

(66.596)q

(13396)q

(59
48)q

(4696)q

(66.596)q

(13396)q

M (kNm)

34.1

11.9
40

11.9

5.95

34.1
11.9

40
11.9

5.95
M

140/6

40/3

40/3
40/3

40/3

Bài 3.1: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 1, bậc siêu tĩnh 1.

- Hệ cơ bản hình 3.1 a, biểu đồ mơmen Mp như hình 3.1 b.

X1
Z2

Hình 3.1a

188 
24

36 
12 
76

6

Hình 2.11

Hình 2.10

Hình 2.12 Hình 2.13

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Bài 3.2: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 1, bậc siêu tĩnh 1.

- Hệ cơ bản như hình 3.2a, biểu đồ mơmen Mp như hình 3.2b.

Bài 3.3: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 1, bậc siêu tĩnh 1

- Hệ cơ bản như hình 3.3 a, biểu đồ mơmen Mp như hình 3.3 b.

Bài 3.4:Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 1, bậc siêu tĩnh 1;

- Hệ cơ bản như hình 3.4 a, biểu đồ mơmen Mp như hình 3.4 b.

Z1
X2

Hình 3.2,a

Hình 3.3,a Hình 3.3,b

Hình 3.4,a

Hình 3.4,b
60
49,736

3,157
7,11

(M)

8.42 
2.1

2.8 16.83 
16.83

33.66 
MP

Hình 3.2,b

(M)
11,84 11,84

188,21
124,11

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Bài 3.5: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu động 2, bậc siêu tĩnh 1.

- Hệ cơ bản như hình 3.5a, biểu đồ mơmen Mp như hình 3.5b.

Bài 3.6. Gợi ý

Hệ cơ bản như hình 3.6 là hệ tối ưu khi giải phương pháp hỗn hợp.

Bài 4.1: Đáp số

- Nội lực trong các thanh của hệ dàn không gian:
N2A = N3B = 5P/3, N2B = N3C = -4P/3, N23 = -P

- Lực dọc trong các thanh cịn lại bằng khơng.
Bài 4.2. Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 6
- Hệ cơ bản

X1
X2

Hình 3.6

X
Z2

Hình 3.5,a

69/4
39/2

91/8
9/4

20
49/2

(M)

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

X4 X

Khung phẳng siêu tĩnh chịu tác dụng tải trọng không gian, như vậy lực
nào nằm trong mặt phẳng vuông góc với tải trọng tác dụng thì bằng khơng.









1 3 5

2 4 6

, , 0

X X X

X X X





 







Hệ đối xứng chịu tác dụng đối xứng thì phản đối xứng bằng khơng. Nên
Hệ còn lại 1 ẩn

- Phương trình chính tắc:

11 X1 1P 0

    

- Giải hệ PTCT  X1 0.1ql2

- Biểu đồ mơmen Mp như hình 4.2c, d.

q(l²2)

0.02ql²

0.02ql²
0.02ql²
Mxp

0.02ql²

0.02ql²
Mzp

Bài 4.3: Gợi ý

- Hệ có bậc siêu tĩnh 6
Nhận xét:

+ Hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng khi áp dụng pp lực chọ hệ
cơ bản đối xứng thì các ẩn phản đối xứng bằng khơng.

Hình 4.2

a) b)

Hình 4.2

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

+ Hệ là một khung phẳng chịu tải tcs dụng vng góc với mặt phẳng
khung nên các cặp ẩn nằm trong mặt phẳng khung sẽ bằng không.

11X1 1P 0

   

Giải PTCT ta được : X1 = 0,105 ql

- Kết quả biểu đồ mô men như hình 4.3 a, b

0.09Pl
0.12Pl

0.73Pl
0.21Pl

Mx

0.12Pl

0.09Pl
Mz

Bài 4.4. Gợi ý

- Bậc siêu tĩnh 6. hệ đối xứng chịu tải đói xứng khi áp dụng pp lực ta chọn hệ cơ
bản đối xứng như hình 4.4 a các ẩn phản đối xứng bừng khơng nên bài tốn chỉ
cịn 3 ẩn.

- Hệ cơ bản như hình 4.4 a, biểu đồ mơmen Mp như hình 4.4 b, c.

Hình 4.3

0.0068ql² 
0.0015ql²

0.0068ql²

0.0015ql² 
0.0068ql²

0.0307ql²

ql²/2

0.0039ql² 
0.0086ql²

Muốn

Hình 4.4 
0.0068ql²

0.0015ql² 
0.0068ql²

Mxoắn

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

Bài 4.5. Gợi ý

- Hệ khung phẳng đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, vng góc
với mặt phẳng khung nên chọ hệ cơ bản như hình 4.5 a, các ẩn phản đối xứng và
các ẩn nằm trong mặt phẳng khung bằng khơng.

Như vậy bài tốn chỉ có 3 ẩn X1 ,X2 , X3

Nghiệm của hệ PTCT X1 = 0,149P, X2 = 0,051P, X3 = -0,0057Pl.

- Kết quả biểu đồ như hình 4.5,b.c

1

x

3

x

3

x

2

x

1

x x2
2

x

1

x

3

x

2

x

1

x

3

x

x
y

0.057Pl
0.061Pl

0.113Pl

0.163Pl

0.206Pl

0.588Pl

0.206Pl
Mx

0.061Pl

0.057Pl

0.061Pl

0.057Pl

Mz

Bài 4.6. Gợi ý

Nhận xét: Hệ khung đối xứng nên ta chỉ cần xét ¼ của hệ và thay bằng
ngàm ở trục đối xứng. Như vậy ta được hệ mới như hình 4.6 a. hệ cơ bản hình
4.6,b

Hình 4.5

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Z1 Z

2

4.83ql

2

4.92ql

2

4.71ql

2

4.62ql

2

M

P

4
15ql²

7
30ql²
2

15ql²

2
15ql²

Mx

- Vẽ biểu đồ: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng













1 1 2 2

P P

M  M Z  M Z  M

Kết quả biểu đồ cho ½ hệ hình 4.6,c suy ra cho cả hệ hình 4.6,d.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Văn Bỉ, Nguyễn Hữu Bảng (2004). Bài giảng cơ học kết. Trường đại 
học Lâm nghiệp.

2. Lều Thọ Trình (2006). Giáo trình cơ học kết cấu. Tập 1. NXB Khoa học và 
Kỹ thuật. Hà Nội.

3. Lều Thọ Trình (2006). Giáo trình cơ học kết cấu. Tập 2. NXB Khoa học và 
Kỹ thuật. Hà Nội.

4. Lý Trường Thành, Liều Mộc Lan, Hồng Đình Chí (2006). Giáo trình cơ học 
kết cấu. NXB Xây dựng. Hà Nội.

5. Nhóm tác giả Bộ mơn Kết cấu cơng trình, Khoa Xây dựng DD & CN, trường
Đại học Bách khoa Đà Nẵng (2006). Giáo trình cơ học kết cấu. Tập 2

6. Nguyễn Văn Phượng (2010), Giáo trình cơ học kết cấu. Tập 2. NXB Xây

dựng. Hà Nội.

Hình 4.6

a) b)

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

PHỤ LỤC 
Bảng 2.1. Bảng tra nội lực cho một số phần tử

TT

MA MB QA QB

1
12
2
ql

12
2
ql

2
ql
2
ql


2
2
2
l
Pab

(a=b=l/2);
8
Pl

2
2
l
b
Pa

8
Pl

3
2
)
2
(
l
a
l
Pb 
2

P
3
2
)
2
(
l
b
l
Pa 

2
P

3
2
)
2
(
l
b
a
Mb 
(a=b=l/2);
4
M
2
)
2
(

l
a
b
Ma 


-4
M
3
6
l
abM

l
M
2
3

3
6
l
abM

l
M
2
3

4
5


l
EJ
4

l
EJ
2

 6 2 

l
EJ

 6 2 

l
EJ



6 2

l
EJ

2
6

l
EJ

3
12
l
EJ

3
12
l
EJ

A EJ B

l
q
8
2
ql
q
P
l
Pab
q
b
a
M
b
a

φ
Δ
α
m=const
l
M1
Q0
M0
Q1

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

ql

 0 ql

8
5
ql
8
3

8
)
2
(

2 2 l a

l
Pab


(a=b=l/2);
Pl
16
3

0
0
)
3
(
2 2
2
l
b
l
Pb

P
16
11
)
3
(

2 2
2
l
a
l
Pa


P
16
5

9
)
3
1
(
2 2
2
l
b
M


(a=b= l/2) ;

8
M

(a=l,b= 0) ;

2
M
0
0
M

)
1
(
2
3
2
2
l
b
l
M


l
M
8
9

l
M
2
3


)
1
(
2
3
2
2
l
b
l
M


l
M
8
9

l
M
2
3

10
0

0 -m.cosα -m.cosα



l
EJ
3

0 3 2 

l
EJ

 3 2 

l
EJ



3 2

l
EJ

0 3 3 

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>



3 2

l
EJ

0 3 3 

l
EJ



3
l
EJ

ql


ql

ql 0

- (2 )

2 l

a
Pa



(a=b=l/2);-8
3Pl

(a=l,b=

0);-2

Pl

l
Pa
2

8
Pl

2
Pl

P 0

l
Mb


(a=b=l/2);

2
M


(a=l,b= 0);0

l
Ma

2
M

0 0

ml



ml

0 0



l
EJ



l
EJ

0 0

8
2
ql
q

l
Pab

b
a

M
b
a

M1
Q0

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>


6 2

l
EJ



6
l

EJ



12
l

EJ



12
l

EJ

20 Pa 0 0 - P

Chú thích:

Trong trường hợp 12 và 13, nếu gối tựa bên phải không thẳng đứng mà
nghiêng một góc bất kỳ, kết quả tính mơmen uốn và lực cắt không thay đổi.

Bảng 2.2: Nội lực trong các phần tử mẫu chịu nguyên nhân gây xoắn

Sơ
đồ

Mô
men
xoắn





 M

l
b

MAZ



 M

l
a
MBZ

)
2
(

2l b c

c
m

MAZ  
)
2
(

2l a c

c
m

MBZ  

l
GI
M

M Z

BZ

AZ  

MBz
A

Z=1

GIz
l

MAz M
z

+ MAz

-a

GIz
l

B
MBz

+

-b
c
a

B
MBz

MAz M

m +

a b

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Bảng 2.3. Diện tích và hồnh độ một số hình cơ bản thường gặp

TT Hình Diện tích và tọa độ trọng tâm

1

4
.
3
1
l
Z

l
h
C 




4
.
3
1

l
Z

l
h
C 




2

2
.
1
1








n
l
Z

l
h

n
C

3

8
3

.
3
2
l
Z

l
h
C 




4

l
Z

hl

C

2
1
3
2





ZC
C

L
C
h

C
ZC

l
Bậc 2

C
ZC

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ... 3

MỞ ĐẦU ... 5

TỔNG QUAN VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN HỆ SIÊU TÌNH ... 5

I. Khái niệm về hệ siêu tĩnh ... 5

I.1.Định nghĩa ... 5

I.2.Tính chất ... 5

I.3. Bậc siêu tĩnh (S) ... 6

II. Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh ... 6

II.1. Phương pháp lực ... 6

II. 2. Phương pháp chuyển vị ... 7

II. 3. Phương pháp hỗn hợp và liên hợp ... 7

II. 4. Phương pháp đúng dần ... 7

II. 5. Phương pháp gần đúng ... 8

II. 6. Phương pháp động học ... 8

Chương 1. PHƯƠNG PHÁP LỰC VÀ CÁCH TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ... 9

1.1. Nội dung phương pháp lực và cách tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động ... 9

1.1.1. Nội dung phương pháp lực ... 9

1.1.2. Cách tính bậc siêu tĩnh ... 9

1.1.3. Hệ cơ bản của phương pháp lực ... 12

1.1.4. Hệ phương trình chính tắc ... 14

1.1.5. Cách tìm nội lực và biến dạng trong hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động . 17 
1.2. Tính nội lực trong hệ siêu tính thường gặp ... 23

1.2.1. Khung siêu tĩnh chịu tải trọng bất động ... 23

1.2.2. Dàn siêu tĩnh ... 28

1.2.3. Cách tính dầm liên tục ... 34

1.2.3.1. Cách tính dầm liên tục theo phương pháp lực. ... 36

1.2.3.2. Cách tính dầm liên tục theo phương trình ba mơ men. ... 37

1.2.3.3. Cách tính dầm liên tục theo phương pháp tiêu cự mơmen. ... 48

1.2.4. Vịm siêu tĩnh ... 49

1.3. Cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh ... 50

1.3.1.Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu tải trọng ... 51

1.3.2. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu biến thiên nhiệt độ, chế tạo chiều dài thanh 
khơng chính xác, chuyển vị gối tựa ... 53

1.4. Cách kiểm tra kết quả ... 55

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

1.4.2. Kiểm tra theo điều kiện biến dạng: ... 56

1.5. Một số điều cần chú ý khi tĩnh hệ siêu tĩnh bậc cao. ... 58

1.5.1. Các biện pháp nâng cao độ chính xác của kết quả phép tính ... 58

1.5.2. Biện pháp giảm khối lượng tính tốn ... 58

1.5.3. Cách vận dụng tính chất đối xứng của hệ ... 59

1.6. Cách tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng di động ... 63

1.6.1. Đường ảnh hưởng cơ bản. “đah CB” ... 63

1.6.2. Đường ảnh hưởng nội lực, phản lực và chuyển vị. ... 65

1.7. Câu hỏi ôn tập ... 72

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ VÀ CÁCH TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU 
ĐỘNG ... 73

2.1. Khái niệm về phương pháp chuyển vị ... 73

2.1.1. Các giả thiết ... 73

2.1.2. Khái niệm về hệ xác định động và hệ siêu động. ... 74

2.1.3. Bậc siêu động ... 74

2.2. Cách tính hệ siêu động chịu tải trọng cố định ... 77

2.2.1. Nội dung phương pháp chuyển vị ... 77

2.2.2. Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị ... 77

2.2.3. Hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị ... 78

2.2.4. Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc ... 80

2.2.6. Ví dụ áp dụng ... 83

2.3. Cách xác định chuyển vị trong hệ siêu động. ... 88

2.4. Cách xác định chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu thanh theo phương vng
góc với trục thanh trong hệ có các thanh đứng khơng song song ... 90

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP VÀ PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP ... 96

3.1. So sánh phương pháp lực và phương pháp chuyển vị ... 96

3.2. Phương pháp hỗn hợp ... 98

3.2.2. Phương trình chính tắc: ... 99

3.3. Phương pháp liên hợp ... 103

3.3.1. Bài toán làm theo phương pháp lực:... 103

3.3.2. Chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị , ... 104

3.4. Câu hỏi ôn tập ... 104

Chương 4. CÁCH TÍNH HỆ THANH KHƠNG GIAN ... 105

4.1. Khái niệm về hệ không gian ... 105

4.1.1. Các loại liên kết không gian ... 105

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

4.2. Cách tính hệ khơng gian tĩnh định ... 108

4.2.1. Xác định phản lực ... 108

4.2.2. Xác định nội lực trong hệ thanh không gian tĩnh định. ... 109

4.2.3. Xác định chuyển vị trong hệ thanh khơng gian tĩnh định: ... 112

4.2.4. Phân tích dàn khơng gian thành những dàn phẳng ... 112

4.3. Tính hệ không gian siêu tĩnh theo phương pháp lực ... 114

4.4. Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực khơng gian ... 119

4.5. Tính hệ khơng gian siêu động theo phương pháp chuyển vị ... 122

4.5.1. Nội dung ... 122

4.5.2. Các bước tính tốn ... 122

4.6. Câu hỏi ôn tập ... 126

BÀI TẬP ... 127

Chương 1 ... 127

Chương 2 ... 129

Chương 3 ... 132

Chương 4 ... 133

BÀI TẬP LỚN SỐ 2 ... 135

TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU TĨNH... 135

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 152

</div>

Cơ học kết cấu 2

<b>Bài giảng </b>

<b>CƠ HỌC KẾT CẤU 2 </b>

<b>Chương 1</b>







(

<i>X</i>

,...,

<i>X</i>

,

<i>P</i>

,

<i>t</i>

,



,

<i>Z</i>

)



0









...























0



<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>





<i></i>

<i>X</i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<i></i>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<i>N</i>

<i>Q</i>

<i>R</i>

<i>M</i>

,

,

,

  

        