ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐOÀN NGUYỆT ANH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHƠNG GIAN
BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SỸ

THÀNH PHỐ, HỒ CHÍ MINH 2015


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Đình Huy.

Cán bộ nhận xét 1:................................................................................

Cán bộ nhận xét 2:................................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM
ngày ..... tháng .... năm ....
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1. ...............................................................................................................
2. ...............................................................................................................
3. ...............................................................................................................
4. ...............................................................................................................
5. ...............................................................................................................
Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên
nghành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập -Tự do-Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên:Đoàn Nguyệt Anh

MSHV:13241373

Ngày,tháng,năm sinh:03/07/1983


Nơi sinh:Quảng Trị

Chuyên Ngành :Toán Ứng Dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI:TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG.
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
- Kiến thức chuẩn bị.
- Tính chất định tính của phương trình tích phân đa trị và phương trình
tích phân đa trị ngẫu nhiên trong không gian Banach.
- Ứng dụng của phương trình tích phân.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/01/2015.
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/06/2015.
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS.NGUYỄN ĐÌNH HUY.
Tp.HCM,ngày. . . . . . tháng. . . ..năm 2015.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

3


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Đình
Huy, người đã tận tình hướng dẫn, khuyến khích và tạo điều kiện thuận lợi tối

đa để tơi hồn thành tốt luận văn này.
Tơi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành
thời gian và công sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành
tốt luận văn.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến tập thể thầy cô trong bộ mơn
Tốn Ứng Dụng - Khoa Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học trường Đại Học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia TP.HCM đã tận tình giúp đỡ,
truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt khóa học.
Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính mong
nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của của quý thầy cô khi đọc và chấm
luận văn.
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, và bạn bè đã hỗ trợ,
động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Xin chân thành cảm ơn!
TP.HCM ngày 15 tháng 5 năm 2015
Đoàn Nguyệt Anh

4


TĨM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn gồm 3 chương,chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản.
Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm của hương trình tích phân đa trị phụ
thuộc vào điều kiện đầu và tham số ,sự tồn tại nghiệm của phương trình tích
phân đa trị ngẫu nhiên trong khơng gian Banach.Chương 3 trình bày các ứng
dụng của phương trình tích phân.

5


ABSTRACT

The thesis contains three chapters.
Chapter 1 presents the basic concept.
Chapter 2 Existence of solution for Multi-Valued Integeral Equations,
The Existence of solution for Multi-Valued Integeral in Banach.
Chapter 3 Applications of Integeral Equations.

6


LỜI CAM ĐOAN
Tơi tên là Đồn Nguyệt Anh, mã học viên: 13241373, học viên cao học chuyên
ngành Toán Ứng Dụng Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM khóa 2013-2015.
Tơi xin cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình khác
như đã ghi rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này là do
chính tơi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp
để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác.
Tp.HCM, ngày 14 tháng 06 năm 2015
Học viên thực hiện

Đoàn Nguyệt Anh

7


Mục lục
Nhiệm vụ luận văn

3

Lời cảm ơn


4

Tóm tắt luận văn

5

Abstract

6

Lời cam đoan

7

Ký hiệu và chữ viết tắt

10

Mở đầu

13

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Khoảng cách Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khơng gian của những tập con đóng của khơng gian mêtríc
1.1.2 Khơng gian đều, đều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Khơng gian các tập lồi đóng của khơng gian lồi địa phương
1.1.4 Tính liên tục của hàm đa trị lồi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tích phân của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tích phân của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ dưới vi phân Clarke . . . .

8

15
15
15
20
21
24
28
28
32
38
38
46
49
51


2 Tính chất định tính của phương trình tích phân trong không
gian Banach và ứng dụng
54

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân đa trị phụ thuộc
vào điều kiện đầu và tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên
trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Một số ứng dụng của phương trình tích phân
3.1 Bài tốn giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường
3.2 Ứng dụng hàm tích phân Abel ngành vật lý . . . . . . . . .
3.2.1 Trong vật lý Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Trong điện tử học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Trong thiên văn học . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra loại 2 trong mô
kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
hình
. . .

.
.
.
.
.

63
63

66
66
66
66

. 67
73

Lý lịch trích ngang
75
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9


Ký hiệu và chữ viết tắt
TNTA

Thuật ngữ tiếng anh
d(x, B)
khoảng cách từ x đến B
d(x, y)
khoảng cách giữa x và y
P(X)
tập tất cả các tập con của X
Pf (X)
tập tất cả các tập con đóng của X
Ptb (X)
tập tất cả các tập con đóng hồn tồn bị chặn của
X

Pk (X)
tập tất cả các tập con compact của X
Pcb (E)
không gian của các tập con lồi compact của E
F :X⇒Y
ánh xạ đa trị từ X vào Y
domF
miền hữu hiệu của F
rgeF
miền ảnh của F
gphF
đồ thị của F
kerF
tập các không điểm của F
F −1 : Y ⇒ X
ánh xạ ngược của F
[x, y]
đoạn thẳng {(1 − t)x + ty : 0 ≤ t ≤ 1} nối hai điểm
x, y trong không gian vecto X
N
tập số nguyên dương
Q
tập số hữu tỉ
R
tập số thực
C
tập số phức
∅
tập rỗng
R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng

Rn
không gian Euclide n chiều
n
tập vecto với tọa độ không âm trong Rn
R+
xT
vecto hàng là chuyển vị của vecto cột x
x
chuẩn của vecto x
x, y
tích vơ hướng của các vecto x và y
T
A
ma trận chuyển vị của ma trận A
A
chuẩn của ma trận A
m×n
R
tập hợp các ma trận thực cấp m × n
detA
định thức của ma trận vng A
B(x, δ)
hình cầu mở có tâm x, bấn kính δ
B(x, δ)
hình cầu đóng có tâm x, bán kính δ

10


BX

BX
SX
X∗
BX ∗
intΩ
Ω
∂Ω
coΩ
coΩ
d(x, Ω)
coneM
riD
af f D
extrD
0+ D
TΩ (x)
TΩb (x)
CΩ (x)
ˆΩ (x)
N
NΩ (x)

NΩCl (x)
domf
f (x)
f (x, v)
f 0 (x; v)
f ↑ (x; v)
∂ Cl f (x)
∂ u parrow

∂ JL f (x)
∂f (x)
∂ ∞ f (x)
ˆ (x)
∂f
DFz (·)
Db Fz (·)
CFz (·)

hình cầu đơn vị mở trong khơng gian X
hình cầu đơn vị đóng trong X
mặt cầu đơn vị trong X
không gian đối ngẫu của khơng gian Banach X
hình cầu đơn vị đóng trong X ∗
phần trong của Ω
bao đóng của Ω
biên của Ω
bao lồi của Ω
bao lồi đóng của Ω
khoảng cách từ điểm x đến tập Ω
hình nón sinh bởi tập hợp M
phần trong tương đối của tập lồi D
bao aphin của D
tập các điểm cực biên của D
nón lùi xa của D
nón tiếp tuyến Bouligand của Ω tại x ∈ Ω hoặc nón
tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω
nón tiếp tuyến trung gian (nón kề) của Ω tại x ∈ Ω
nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω
nón pháp tuyến Bouligand của Ω tại x ∈ Ω

nón pháp tuyến qua giới hạn (nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ω tại x ∈ Ω, hoặc nón pháp tuyến
của tập lồi Ω tại x ∈ Ω
nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω
miền hữu hạn của hàm số thực f
đạo hàm Frechet của f tại x
đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v
đạo hàm Clarke của f tại x theo hướng v
đạo hàm Clarke-Rockafellar của f tại x theo hướng
v
dưới vi phân Clarke của f tại x
dưới vi phân Clarke-Rockafellar của f tại x
dưới vi phân J-L (Jeyakumar-Luc) của f tại x
dưới vi phân Mordukhovich của f tại x, hoặc dưới
vi phân của hàm lồi f tại x
dưới vi phân suy biến của f tại x
dưới vi phân Frechet của f tại x
đạo hàm contigent của F tại z
đạo hàm kề của F tại z
đạo hàm Clarke của F tại z

11


D∗ F (x, y)
ˆ ∗ F (x, y)
D
∗ F (x, y)
DC
Cl
J f (x)

Jf (x)
w
xk → x
w∗

x∗k → x∗
C 1 (X, Y )
(Ω, A)
(X, ·

X ) , (Y,

L (Y, X)
Xσ
B (X)
Λ
Λ1Y (I)

L1Y (I)

L∞
Y (R
A⊗ Λ
Cx (I) (Cxσ (I))
SΓ
I

·

Y)


đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x, y)
đối đạo hàm Frechet của F tại (x, y)
đối đạo hàm Clarke của F tại (x, y)
Jacobian Clarke của F tại (x, y)
Jacobian xấp xỉ của hàm vecto f tại x
dãy vecto xk hội tụ đến vecto x theo topo yếu
dãy vecto x∗k hội tụ đến vecto x∗ theo topo yếu
tập hợp các hàm f : X → Y khả vi Frechet liên tục
ở trên X
không gian đo; tập con H ⊂ Ω gọi là A - đo được
nếu H ∈ A
các không gian Banach khả ly; X, Y − các không
gian đối ngẫu mạnh của chúng.
khơng gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Y vào
X.
khơng gian tương thích với topo yếu
là σ trường Borel trong tập X, tập K ⊂ X gọi là tập
B - đo được nếu K ∈ B(X)
là σ - trường các tập đo được Lebesgue trên đường
thẳng R
là không gian các hàm ds - khả tích (các lớp tương
đương các hàm ds khả tích từ I tương thích với độ
đo Lebesgue vào Y : Λ1 (I) = Λ1R (I))
là không gian các hàm bị chặn đo được từ R vào
(Y , σ(Y , Y )) ; L1 (I) = L1R (I)
là σ - trường các tập A⊗ Λ - đo được

không gian các hàm liên tục từ I vào X (Xσ tương
ứng)

tập các lát cắt B− đo được của Γ
là khoảng đóng ngẫu nhiên.

12


Mở đầu
1. LỊCH SỬ CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Phương trình tích phân là cơng cụ tốn học hữu ích trong nhiều lĩnh vực
nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại
nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,. . .
Nhiều vấn đề trong tốn học (phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều
kiện ban đầu,phương trình đạo hàm riêng),kinh tế, cơ học, vật lí và các ngành kĩ
thuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu
tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Tích
phân đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton
(1642–1727). Tính chất định tính của PTTP trong khơng gian Banach là một
hướng nghiên cứu mới, đang được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người trong
lĩnh vực phương trình tích phân và ứng dụng. Với việc sử dụng rộng rãi và ngày
càng hiệu quả nhiều công cụ sâu sắc khác nhau của toán học hiện đại, đặc biệt
là thành tựu mới của giải tích phi tuyến vào giải tích đa trị, hướng nghiên cứu
này có triển vọng phát triển mạnh mẽ và sẽ đạt được ngày càng nhiều kết quả.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm địa phương ,tồn cục của phương trình tích
phân đa trị trong không gian Banach,nghiệm phụ thuộc tham số và phương
trình tích phân ngẫu nhiên.

3. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
• Nội dung thứ nhất: Tìm hiểu kiến thức về lý thuyết giải tích đa trị.

• Nội dung thứ hai: Nghiên cứu các tính chất định tính của Phương trình

tích phân đa trị và phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên trong không
gian Banach.
13


• Nội dung thứ 3: Tìm các ứng dụng của phương trình tích phân.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Tìm hiểu tài liệu liên quan đến lý thuyết phương trình tích phân đa trị.
• Tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức về phương trình tích phân đa trị trong

khơng gian Banach.
• Tìm hiểu các ứng dụng về phương trình tích phân.

5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA
ĐỀ TÀI
Luận văn này làm rõ được các tính chất định tính của các dạng phương trình
tích phân đa trị và phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên trong khơng gian
Banach.
Luận văn nêu ra được một sô ứng dụng của phương trình tích phân trong tốn
học, vật lý, kinh tế.

14


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.1.1

Khoảng cách Hausdorff
Không gian của những tập con đóng của khơng gian
mêtríc

Với X là một khơng gian mêtric với mêtric d. Chúng ta không giả thuyết
d(x, y) < ∞

Định nghĩa 1.1. Cho A và B là hai tập hợp con của X, độ dôi của A trên B
được xác định như sau:
e (A, B) = sup {d (x, B) : x ∈ A}

(cận trên đúng nhận giá trị trong [0, ∞] , sup ∅ = 0).
Khoảng cách Hausdorff của A và B là
h (A, B) = max {e (A, B) , e (B, A)}

Qui ước:
e (A, ∅) = ∞ nếu A = ∅
e (∅, B) = 0

Tính chất:
1.

¯
e (A, B) = 0 ⇔ A ⊂ B
¯
¯
h (A, B) = 0 ⇔ A = B
e (A, C) ≤ e (A, B) + e (B, C)


2. h (A, C) ≤ h (A, B) + h (B, C)
Vì vậy Pf (X) là tập tất cả các tập con đóng của X, với khoảng cách Hausdorff,
trở thành một không gian mêtric.
Chú ý: trong tập Pf (X), là một điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị
chặn trên Pf (X)\{ } .
15


Định lý 1.1. Nếu An → A trong không gian mêtric Pf (X), thì:
A = ∩ ∪ Am
n m≥n

=
=

∩ ∪ ∩ B (Am , ε)

ε>0 n m≥n

∩ ∪ ∩ W (Am )

W ∈W n m≥n

Trong đó
B(Am , ε) = {x ∈ X| d (x, Am ) ≤ ε}
W Là tập của tất cả các lân cận của cấu trúc đều của X và
W (Am ) = {y ∈ X| ∃x ∈ Am : (x, y) ∈ W}

.


Chứng minh.

1) Giả sử B = ∩ ∪ Am . Cho ε > 0, n ∈ N, x ∈ A thì tồn tại
n m≥n

m ≥ n; h (Am , A) ≤ ε , suy ra d (x, Am ) ≤ ε và tồn tại một điểm xm ∈ Am

sao cho d (x, xm ) ≤ 2ε. Do đó, x ∈ ∪ Am với mỗi n ∈ N . Điều này chứng
m≥n

tỏ A ⊂ B .
Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều này sẽ chứng tỏ B ⊂ A).
Từ An → A , suy ra e (An , A ∪ {x}) → 0 . Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra
e (A ∪ {x} ,An ) = max (e (A, An ) , d (x, An )) → 0.

Nó là đúng nếu chứng minh được d (x, An ) → 0 . Cho p ∈ N sao cho m, n ≥ p
thì h (Am , An ) ≤ ε . Từ x ∈ B suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d (x, Am ) ≤ ε ,
do đó nếu n ≥ p thì
d (x, An ) ≤ d (x, Am ) + h (Am , An ) ≤ 2ε

2) Giả sử B = ∩ ∪ ∩ B (Am , ε) . Nếu x ∈ A và d (x, Ap ) → 0 , dễ thấy x ∈ B.
ε>0 n m≥n

Ngược lại, nếu x ∈ B , với mỗi ε > 0, ∃n ∈ N : ∀m ≥ n, d (x, Am ) ≤ ε suy ra
e (A ∪ {x},An ) → 0 . Và dễ thấy e (An , A ∪ {x}) → 0 .
Vậy, h (An , A ∪ {x}) → 0 và A ∪ {x} = A.
3) Bất đẳng thức thứ ba là rõ ràng vì một lân cận cơ sở là họ
Wε = {(x, y)| d (x, y) ≤ ε} (ε > 0) ∧ Wε (Am ) ⊂ B (Am , ε) ⊂ W2ε (Am )


16


Định lý 1.2. Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, thì Pf (X) là khơng gian
mêtric đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử (An ) là dãy Cauchy.
1) Thứ nhất ta lưu ý rằng có N sao cho n ≥ N, m ≥ N kéo theo h (An , Am ) ≤ 1.
Khi đó, hoặc An = ∅, ∀n ≥ N hoặc An = ∅, ∀n ≥ N . Trong trường hợp thứ
nhất này dãy (An ) hội tụ về ∅ . Giả sử ta có trường hợp tiếp theo.
2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ∩ ∪ Am = ∅.
n m≥n

Cho ε > 0 (điều này sẽ được sử dụng trong 3). Chọn ε = 1 là đủ.
Với mỗi số nguyên k tồn tại Nk sao cho m, n ≥ Nk thì có h (An , Am ) < 2−k ε.
Giả sử (nk ) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho nk ≥ Nk . Cho x0 ∈ An0 , giả
sử ta chọn được x0 , x1 , ..., xk với tính chất xi ∈ Ani ; d(xi , xi+1 ) < 2−i ε. Khi đó
xk+1 được chọn trong Ank+1 thỏa d (xk , xk+1 ) < 2−k ε (điều này có thể nhận
được từ d xk , Ank+1 ≤ h Ank , Ank+1 < 2−k ε ).
Dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X, có giới hạn là
x . Khi đó x ∈ ∩ ∪ Am .
n m≥n

3) Điểm x nhận được ở phần 2) thỏa mãn d (x0 , x) ≤ 2ε . Vì vậy, với mọi
n0 ≥ N0 và x0 ∈ An0 , ∃x ∈ A A = ∩ ∪ Am
n m≥n

sao cho d (x0 , x) ≤ 2ε. Vậy:

e (An0 , A) ≤ 2ε; ∀n0 ≥ N0 .


4) Bây giờ chúng ta chứng minh e (A, An ) → 0 . Khi đó theo phần 3) sẽ chứng
tỏ được h (An , A) → 0.
Giả sử ε > 0 và N sao cho n, m ≥ N thì h (An , Am ) < ε . Lấy x ∈ A . Khi đó
x ∈ ∪ Am . Tồn tại n0 ≥ N và y ∈ An0 sao cho d (x, y) < ε . Cho m ≥ N
m≥N

thì d (x, Am ) ≤ d (x, An0 ) + h (An0 , Am ) ≤ 2ε .
Vậy e (A, Am ) ≤ 2ε.

Định lý 1.3. Cho Ptb (X) là tập hợp tất cả các tập đóng hồn tồn bị chặn của
X. Khi đó Ptb (X) là đóng trong P(X).
Chứng minh. Giả sử (An ) là dãy trong Ptb (X), hội tụ đến A ∈ Ptb (X). Cho ε > 0
tồn tại n sao cho e (A, An ) < ε và x1 , x2 , ..., xp sao cho họ các quả cầu tâm xi , bán
kính ε phủ An . Khi đó họ các quả cầu tâm xi , bán kính 2ε phủ A. Chú ý:
Chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu X là hồn tồn bị chặn thì Pf (X) hoàn toàn
bị chặn. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, giả sử x1 , x2 , ..., xn thỏa mãn họ các quả
17


cầu mở tâm xi , bán kính ε phủ X. Giả sử A ∈ Pf (X) và I = {i| B (xi , ε) ∩ A = ∅}
. Khi đó tập B = {xi | i ∈ I} có tính chất h (A, B) ≤ ε . Tập các tập con của tập
{x1 , x2 , ..., xn } là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ Pf (X) hồn tồn bị chặn.
Do đó nếu X là compắc thì Pf (X) là compắc.
Định lý 1.4. Nếu X là đầy đủ thì Pf (X), tập tất cả các tập con compắc của X,
là đầy đủ.
Chứng minh. Điều này thì rõ ràng trong định lý 3.1.2 và 3.1.3 Chú ý Định lý
3.1.4 vẫn đúng nếu X là một không gian đều.
Định lý 1.5. Tôpô Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compắc của X,
Pk (X) được sinh ra bởi tập {K ∈ Pk (X)/K ⊂ U } (U mở) và {K ∈ Pk (X)(X)/K ∩
V = ∅}(V mở). Cơ sở lân cận của Ko bao gồm các tập {K/K ⊂, K ∩ V1 =

∅, ..., K ∩ Vn = ∅} (ở đó U, V1 , ..., Vn là mở) chứa Ko .
1) Chúng ta sẽ chứng minh rằng θ = { K| K ⊂ U } là mở. Giả sử
K0 ∈ θ . Bởi tính compắc của Ko , ε = inf{d(x, y)| x ∈ K0 , y ∈ X − U } > 0.
Khi đó h(K, K0 ) < ε ⇒ e(K, K0 ) < ε ⇒ K ⊂ U , vậy K ∈ θ.
Chúng ta chứng minh U = {K ∈ P(X)/K ⊂ V = ∅} là mở. Giả sử Ko ∈ U .
Tồn tại một quả cầu mở tâm x0 ∈ K0 ∩ V và bán kính ε chứa trong V. Khi
đó nếu h (K, K0 ) < ε , thì K giao với quả cầu = ∅, suy ra K ∩ V = ∅ và
K ∈ θ.

Chứng minh.

2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu Ko ∈ Pk (X) và ε > 0 cho trước,
quả cầu tâm Ko và bán kính ε chứa một tập
{ K| K ⊂ U } ∩ { K| K ∩ V1 = ∅} ∩ ... ∩ { K| K ∩ Vn = ∅} , tập này chứa Ko

Thật vậy, giả sử U = { x| d (x, K0 ) <ε} và V1 , ..., Vn là quả cầu mở với bán
kính ε/2 phủ K0 . Khi đó nếu K ⊂ U thì e(K, K0 ) < ε và nếu K có giao khác
rỗng với V1 , ..., Vn , thì e(K0 , K) < ε .

Chú ý: Cho T là khơng gian Tơpơ. Khi đó Γ là hàm đa trị từ T đến Pk (X)
là liên tục nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Hệ quả 1.1. Cho X là một không gian metric. Khi đó tơpơ Hausdorff trên
khơng gian tất cả các tập con compắc của X, Pk (X) chỉ phụ thuộc vào Tôpô của
X (không phụ thuộc metric).
Định lý 1.6. Nếu X là khơng gian metric khả li, thì Pk (X) là không gian metric
khả li.
18


Chứng minh. Giả sử (xn ) là dãy trù mật trong X. Giả sử K là tập của tất cả

tập hữu hạn {xi1 , ..., xin } . Khi đó K là phần đếm được của Pk (X), và dễ kiểm
tra rằng K là tập trù mật trong Pk (X).
Hệ quả 1.2. Nếu X là khơng gian Polish, thì Pk (X) với tôpô được mô tả trong
định lý 1.5 là Polish.
Định lý 1.7. Nếu X là không gian metric khả ly, thì Borel σ− trường trên Pk (X)
(với tơpơ Hausdorff) được sinh bởi những tập {K ∈ P(X)/K ⊂ U } (U mở) và
cũng sinh bởi các tập K ∈ P(X)/K ∩ V = ∅ (V mở).
Chứng minh. 1) Xét tập {K| K ∩ V = ∅}
Chú ý rằng: V = ∪ Fn với Fn = { x| d (x, E − V ) ≥ n1 }
n

Khi đó:

{K| K ∩ V = ∅} = ∪ { K| K ∩ Fn = ∅}
n

= U [Pk (X) − {K/K ⊂ E − Fn }]
n

Do đó σ− trường sinh bởi tất cả các tập {K| K ∩ V = ∅} là bao hàm σ−
trường sinh bởi tất cả các tập {K/K ⊂ U }.
2) Xem xét tập {K/K ⊂ U }
Đặt Vn = x| d(x, X − U ) <

1
n

khi đó X − U = ∩ Vn

Chúng ta kiểm chứng K ∩ (X − U ) = ∅ ⇔ ∀n, K ∩ Vn = ∅ . Chiều thuận là

hiển nhiên. Chiều ngược lại nếu K ∩ Vn = ∅, ∀n , giả sử xn ∈ K ∩ Vn . Khi
đó bất kỳ điểm tụ của dãy (xn ) thuộc vào K và X − U . Suy ra:
P(X) − {K/K ⊂ U } = ∩ {K|K ∩ Vn = ∅}
n

Điều đó chứng tỏ rằng σ− trường sinh bởi tất cả các tập K/K ⊂ U là bao
hàm σ− trường sinh bởi tất cả các tập {K|K ∩ V = ∅}
3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở θ của Pk (X) thuộc vào
σ− trường sinh bởi tất cả các tập {K/K ⊂ U } và {K|K ∩ V = ∅} . Thật
vậy, θ là hợp của một họ A của giao hữu hạn của các tập {K/K ⊂ U } và
{K|K ∩ V = ∅} (định lý 3.1.5 của tài liệu [6]). Nhưng vì Pk (X) khả li (định
lý (1.6)) nên θ cũng là hợp của một họ con đếm được của A.

19


1.1.2

Không gian đều, đều Hausdorff

Trong phần này X là một không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được định
nghĩa bởi họ lọc của nửa khoảng cách (di )i∈I với:
di (x, y) ∈ [0, ∞]
di (x, y) = di (y, x)
di (x, z) ≤ di (x, y) + di (y, z)

Khi đó hàm ei và hi được xác định như sau:
ei (A, B) = sup {di (x, B)| x ∈ A}

Và hi (A, B) = max(ei (A, B), ei (B, A)) có tính chất sau:

ei (A, ∅) = ∞ nếu A = ∅
ei (∅, B) = 0
ei (A, C) ≤ ei (A, B) + ei (B, C)
hi (A, C) ≤ hi (A, B) + hi (B, C)
∀i, ei (A, B) = 0 ⇔ A ⊂ B
∀i, hi (A, B) = 0 ⇔ A ⊂ B

Họ {hi } là lọc.
Phần dưới đây sẽ chứng minh hai tính chất cuối.
Chứng minh. 1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên. Ngược lại, giả sử ∀i, ei (A, B) = 0
và nếu a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B) = 0 . Khi đó với mọi di − quả cầu bán kính
dương và tâm a có phần tử chung với B , do đó mọi lân cận của a có phần
tử chung với B . Vì vậy, a ∈ B.
2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d → h là tăng.

Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đều trong Pf (X)
Định nghĩa 1.2. Giả sử W là cơ sở lân cận của cấu trúc đều của X. Cho
˜ bởi:
W ∈ W ta định nghĩa W
˜ = {(A, B) ∈ P(X)|A ⊂ W (B) và B ⊂ W (A)}
W

Với: W (B) = { y ∈ X| ∃x ∈ B : (x, y) ∈ W}
˜ của tất cả W
˜ là cơ sở lân cận
Định lý 1.8. Với những kí hiệu ở trên, tập W
trong Pf (X). Nó xác định cùng cấu trúc đồng đều như họ của các nửa khoảng
cách (hi ).

20



˜ là tăng. Khi đó, nếu Wo là một cơ sở
Chứng minh. Thứ nhất ánh xạ : W → W
˜0 ∈ W
˜ 0 chứa một W
˜ ∈W
˜ và ngược lại. Bây giờ ta
lân cận khác của X, mỗi W
xem xét Wo tập của tất cả
Ui,ε =

(x, y) ∈ X 2 d (x, y) < ε (ε > 0, i ∈ I)

Khi đó ei (A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε (B) ⇒ ei (A, B) < 2ε
Và hi (A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε (B) và B ⊂ Ui,ε (A) ⇒ hi (A, B) < 2ε
Điều này chứng tỏ rằng W˜ 0 là một cơ sở của cấu trúc đều được xác định bởi họ
(hi ).

1.1.3

Không gian các tập lồi đóng của khơng gian lồi địa
phương

Cho E là không gian véctơ lồi địa phương Hausdorff. Giả sử (pi )i∈I là họ lọc
của nửa chuẩn xác định tôpô của E. Khi đó di (x, y) = pi (x − y) là nửa khoảng
cách, và áp dụng 1.1.2 vào E với họ (di )i∈I .
Định lý 1.9. Giả sử {Fα }α∈A là dãy suy rộng những tập đóng của E. Giả sử
{Fα } hội tụ đến F đối với tơpơ được xác định ở 1.1.2. Khi đó nếu tất cả {Fα } là
lồi thì F là lồi, nếu tất cả {Fα } bị chặn thì F bị chặn.

Chứng minh. 1) Giả sử Fα là lồi. Lấy x, y ∈ F, λ ∈ [0, 1] và z = λx + (1 − λ)y . Với
mỗi lân cận lồi của 0, V, tồn tại α sao cho β ≥ α thìF ⊂ Fβ + V và Fβ ⊂ F + V .
Do đó F ∪ {z} ⊂ Fβ + V và Fβ ⊂ (F ∪ {z}) + V
Suy ra F ∪ {z} cũng là giới hạn của (Fα ) . Điều đó chứng tỏ rằng z ∈ F .
2) Giả sử các Fα là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0, V, tồn tại α sao cho
F ⊂ Fα + V . Mà Fα là bị chặn nên có λ > 0 sao cho Fα ⊂ λV , do đó
F ⊂ (1 + λ)V và F là bị chặn.

Chú ý:
Nếu E là khả mêtric thì phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng của định
lý 1.2 trong [6] nếu W = { (x, y)| pi (x − y) ≤ ε} thì W(A) là lồi, do đó ∩ W(Am )
m≥n

là lồi, và ∪ ∩ W(Am ) là lồi vì vậy nó là hợp của dãy suy rộng những tập lồi.
n m≥n

Định lý 1.10. Nếu E là không gian véctơ Fréchet thì những khơng gian sau đây
với mêtric hóa được Hausdorff đều là đầy đủ :
- Tập tất cả các tập lồi, đóng.
21


- Tập tất cả các tập bị chặn, đóng.
- Tập tất cả các tập bị chặn lồi, đóng.
- Tập tất cả các tập lồi, compắc.
Chứng minh. Suy ra từ các định lí 1.3; 1.5 và 1.9 trong [6].
Định nghĩa 1.3. Giả sử E là không gian véc tơ lồi địa phương Hausdorff và A
là một tập con của E. Hàm tựa của A là hàm xác định trên E ∗ cho bởi
x∗ → δ ∗ (x∗ | A) = sup { x∗ , x | x ∈ A}


Định lý 1.11. Có một phép tương ứng 1 – 1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng
và các hàm σ (E ∗ , E) hàm nửa liên tục trên, tuyến tính dưới trên E ∗ (với các giá
trị trong (−∞, +∞] ). Tương ứng 1 – 1 là ánh xạ : A → δ ∗ (.| A) .
Chứng minh. Hàm tựa δ ∗ (.| A) là tuyến tính dưới, σ (E ∗ , E) nửa liên tục dưới,
và > −∞ , khi A = ∅ . Hơn nữa A đóng và lồi δ ∗ (.| A) mô tả đặc điểm của A,
bởi định lý Hahn – Banach. Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới σ (E ∗ , E) nửa
liên tục dưới là hàm tựa của A = { x| ∀x∗ ∈ E∗ , x∗ , x ≤ ϕ (x∗ ) } . Điều này là hệ
quả của định lý 1.3 trong 1.1.1 với là tuyến tính dưới
2ϕ∗ (x)

= sup{ 2x∗ , x − 2ϕ∗ (x)}
= sup{ 2x∗ , x − ϕ(2x∗ )}
= ϕ∗ (x)

Do đó, với mọi x, ϕ∗ (x) = 0 hoặc ϕ∗ (x) = ∞
Tập A = { x| ϕ∗ (x) = 0} có hàm tựa ϕ .
˙ = A+B .
Định lý 1.12. Giả sử A và B là các tập lồi khác rỗng, và viết A+B
˙
Khi đó δ ∗ (.| A+B)
= δ ∗ (.| A) + δ ∗ (.| B) và nếu λ ∈ [0, ∞] thì δ ∗ (.| λA) = λδ ∗ (.| A).
˙ = B +C
˙ bao hàm
Nếu A,B và C là các tập đóng lồi bị chặn khác rỗng thì A+C
A=B .

Chứng minh. Thứ nhất ta có
˙
δ ∗ (x∗ | A+B)


˙
= sup{ x∗ , z | z ∈ A+B}
≥ sup{ x∗ , z | z ∈ A + B}
≥ x∗ , x + x∗ , y ∀x ∈ A, y ∈ B

Khi đó với mỗi x ∈ A ta có:
˙
δ ∗ (x∗ | A+B)
− x∗ , x ≥ x∗ , y ∀y ∈ B

Suy ra
˙
δ ∗ (x∗ | A+B)
− x∗ , x ≥ δ ∗ (x∗ | B)
22


Do đó
˙
δ ∗ (x∗ | A+B)
≥ δ ∗ (x∗ | B) + x∗ , x ∀x ∈ A

Hay
˙
δ ∗ (x∗ | A+B)
≥ δ ∗ (x∗ | B) + δ ∗ (x∗ | A)

Mặt khác
δ ∗ (x∗ | A) + δ ∗ (x∗ | B) ≥ x∗ , x + x∗ , y = x∗ , x + y ∀x ∈ A, y ∈ B


Suy ra
δ ∗ (x∗ | A) + δ ∗ (x∗ | B) ≥ sup{ x∗ , z | z ∈ A + B}

Vì vậy
˙
˙
δ ∗ (x∗ | A) + δ ∗ (x∗ | B) ≥ sup{ x∗ , z | z ∈ A+B}
=δ ∗ (x∗ | A+B)

Thứ hai ta có
δ ∗ (x∗ | λA)

= sup{ x∗ , x | x ∈ λA} = sup λ x∗ , λ−1 x
= λ sup{ x∗ , λ−1 x λ−1 x ∈ A}
= λδ ∗ (x∗ | A)

λ−1 x ∈ A

˙ = B +C
˙
Cuối cùng, giả sử A+C
˙
˙
˙
Khi đó ta được δ ∗ (.| A+C)
= δ ∗ (.| B +C);
δ ∗ (.| A+C)
= δ ∗ (.| A) + δ ∗ (.| C) và
˙
δ ∗ (.| B +C)

= δ ∗ (.| B) + δ ∗ (.| C). Do đó δ ∗ (.| A) = δ ∗ (.| B) ⇒ A = B.

Định lý 1.13. Giả sử Pcb (E) là không gian các tập bị chặn đóng lồi khác rỗng
của E. Giả sử p là nửa chuẩn liên tục trên E, và U là nửa quả cầu đóng U =
{ x| p(x) ≤ 1}. Giả sử e là độ dôi và h là nửa khoảng cách Hausdorff liên kết với
p. Khi đó
e (A, B) = sup δ ∗ (x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B)| x∗ ∈ U 0

Và
h (A, B) = sup δ ∗ (x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B)| x∗ ∈ U 0

Do đó cấu trúc đều trong Pcb (E) được xác định bởi họ nửa khoảng cách
sup {δ ∗ (x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B)| x∗ ∈ K} (K là tập liên tục đồng bậc).
Chứng minh. Giả sử e(A, B) = sup{δ ∗ (x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B)| x∗ ∈ U 0 } Khi đó, cho
ε > 0, e(A, B) ≤ ε tương đương với
∀x∗ ∈ E ∗ , δ ∗ (x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B) ≤ εδ ∗ (x∗ | U )

Thật vậy điều kiện đủ là hiển nhiên. Chú ý rằng nếu δ ∗ (x∗ | U ) < ∞ , thì x ∈
δ ∗ (x∗ | U )U 0 . Nhưng
∀x∗ ∈ E ∗ , δ ∗ (x∗ | A) ≤ δ ∗ (x∗ | B) + εδ ∗ (x∗ | U )
23


˙
tương đương với A ⊂ B +εU
Cuối cùng
˙ } = e (A, B)
inf{ε > 0| A ⊂ B +εU
˙
˙

Thật vậy, nếu A ⊂ B +εU
thì e(A, B) ≤ ε . Và nếu ε > e(A, B) thì A ⊂ B +εU
.
Do đó, bất đẳng thức ≤ khơng đổi chiều.

Chú ý: Định lý cũng được chứng minh bằng cách sử dụng inf – sup:
e (A, B)

= sup inf p (x − y)
x∈A y∈B

= sup inf sup x∗ , x − y
x∈A y∈B x∗ ∈U 0

= sup sup { x∗ , x − δ ∗ (x∗ | B)}
x∈A x∗ ∈U 0

= sup {δ∗(x∗ | A) − δ ∗ (x∗ | B)}
x∗ ∈U 0

Bây giờ ta xem xét vấn đề của Pcb (E)
Định nghĩa 1.4. Giả sử H là không gian tất cả các hàm thực thuần nhất dương,
sự thu hẹp của H trên tập đồng liên tục K của E ∗ là bị chặn và liên tục mạnh.
Với tôpô của hội tụ đều trên tập đồng liên tục, H trở thành không gian véctơ lồi
địa phương Hausdorff.
Định lý 1.14. Không gian H là đầy đủ. Ánh xạ từ Pcb (E) đến H được xác định
bởi i : A → δ ∗ (·| A) có tính chất:
- Là đơn ánh.
˙
- i A+B

= i (A) + i (B)

- i (λA) = λi (A)

∀λ ∈ [0, ∞)

- Là phép đồng phôi từ Pcb (E) vào chính nó.

1.1.4

Tính liên tục của hàm đa trị lồi

Định lý 1.15. Giả sử T là không gian tôpô, E là không gian lồi địa phương
Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E. Giả sử
Γ(to ) compắc yếu và lồi. Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại to nếu và chỉ nếu
những hàm vô hướng δ (x∗ | Γ (.)) là nửa liên tục trên tại to .
Chú ý: Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại to nếu mọi tập mở U chứa
Γ(to ) tồn tại một lân cận V của to sao cho t ∈ V kéo theo Γ (t) ∈ U .

24


Chứng minh. 1) Nếu Γ là nửa liên tục trên tại to và α > δ ∗ (x∗ | Γ (t0 )) (α ∈ R) ,
đặt:
U = { x ∈ E| x∗ , x < α}

Tồn tại một lân cận V của to sao cho Γ (t) ∈ U với mọi t ∈ V . Vì vậy:
δ ∗ (x∗ | Γ (.)) ≤ α

2) Giả sử tất cả δ (x∗ | Γ (.)) là nửa liên tục trên. Nếu Γ (t0 ) = ∅ thì δ ∗ (0| Γ (t0 )) =

−∞ và chọn t sao cho δ ∗ (0| Γ (t)) < 0, Γ (t) = ∅ . Do đó Γ là nửa liên tục trên
tại to . Ta giả sử Γ (t) = ∅. Cho x0 ∈ Γ (t0 ) . Xét Γ (t) = Γ (t) − x0 . Ta có:
δ ∗ x∗ | Γ (t) = − x∗ , x0 + δ ∗ (x∗ | Γ (t))

Ta có thể giả sử 0 ∈ Γ (t0 ) . Cho U là tập mở yếu chứa Γ (t0 ) . Tồn tại lân cận
lồi đóng của 0, V, sao cho Γ (t0 ) + V ⊂ U . Có thể giả sử V là cực của tập con
hữu hạn của E ∗ .
Bởi vì Γ (t0 ) là compắc nên tồn tại x1 , . . . , xn ∈ Γ (t0 ) sao cho xi + 12 V bao phủ
Γ (t0 ) . Cho A = co{x1 , . . . , xn } + V . Khi đó A là đóng và A ⊂ U.
Ta có thể giả sử 0 ∈ co{x1 , . . . , xn } + V (bởi vì 0 ∈ Γ (t0 ) ), khi đó A0 là tập đa
diện hữu hạn chiều được chứa trong V 0 :
A0 = co{x∗1 , ..., x∗k }

Từ Γ (t0 ) ⊂ co{x1 , . . . , xn } + 12 V ⊂ A ⊂ U suy ra
1
δ ∗ x∗j Γ (t0 ) ≤ sup δ ∗ x∗j xi + V
2
i

< δ ∗ x∗j A ≤ 1

Cho V là một lân cận của to sao cho
δ ∗ x∗j Γ (t) ≤ 1

Khi đó Γ (t) ⊂ A ⊂ U

∀t ∈ V, j = 1, . . . , k

∀t ∈ V.


Định lý 1.16. Giả sử T là không gian tôpô, E là không gian lồi địa phương
Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con lồi bị chặn hoàn toàn của
E.
Giả sử ∪ Γ (t) bị chặn hoàn toàn. Khi đó Γ là nửa liên tục dưới tại to nếu và
t∈T

chỉ nếu những hàm vô hướng δ (x∗ | Γ (.)) là nửa liên tục dưới tại to .
Chú ý: Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới tại to nếu mọi tập mở U mà
U ∩ Γ(t0 ) = ∅, tồn tại một lân cận mở V của to sao cho U ∩ Γ(t) = ∅ ∀t ∈ V
25