bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20182
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 63. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong x 2  y 2  e z  2 yxz  0
tại điểm M 1;0;0 .
Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau:  x  C    y  2C   5 .
2

Câu 3 (1đ). Tính tích phân kép

2

  x  4 y  dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi parabol
D

y  x 2  1 và trục Ox.

Câu 4 (1đ). Tính tích phân lặp



2

1

dx 

1

1  cos  y
dy .
x 1
y2

Câu 5 (1đ). Tính diện tích phần hình trịn x 2  y 2  2 y nằm ngồi đường trịn x 2  y 2  1 .
Câu 6 (3đ). Tính các tích phân bội ba sau:
a)

 3x

2

 2 y  dxdydz , trong đó miền V được xác định bởi 0  x  1, 0  y  x, 0  z  x 2 .

V

b)

  x  y  2z  dxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt
V

x  y  0, x  y  2, x  y  0, x  y  1, z  0, z  1 .
c)


V


y2
4z  x  z
2

2

dxdydz , trong đó V là miền xác định bởi x 2  y 2  z 2  4 z, y  0 .

Câu 7 (1đ). Tính độ cong tại điểm M  1;0; 1 của đường là giao của mặt trụ 4 x 2  y 2  4
và mặt phẳng x  3z  2 .
Câu 8 (1đ). Chứng minh rằng hàm số sau khả vi trên

I  y 



e
0

x

:

1  cos  xy 
dx .
x

1



bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 3

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20182
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 63. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  sin t , y  cos t , z  e2t tại điểm M  0;1;1

Câu 2 (1đ). Tính độ cong của đường x  t 2 , y  t ln t , t  0 tại điểm ứng với t  e .
1

1

0

x3

Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân  dx  f  x, y  dy .
Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau:
a)



x 2  y 2 dxdy , trong đó D :1  x 2  y 2  4, x  y  0 .

D

b)


   

 cos  x  y  dxdy , trong đó D  0; 2   0; 2  .
D

Câu 5 (1đ). Tính tích phân
1

1 x

2

0

0

0

 dx  dz   y  z  dy .





Câu 6 (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi hai parabol x  1  y 2  z 2 và x  2 y 2  z 2 .
Câu 7 (1đ). Cho hàm vector khả vi r  t  :




3



\ 0 . Ký hiệu r  t  là độ dài của r  t  ,

chứng minh rằng



d r t 
dt

Câu 8 (1đ). Tính tích phân

  2 y  z 

2



1
r t 

r t   r t  .

dxdydz trong đó, V là hình cầu x 2  y 2  z 2  1 .

V


Câu 8 (1đ). Chứng minh rằng hàm số I  y  



e
0

2

x

sin  xy 
dx khả vi trên
x

.


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 4

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20182
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 63. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  cos t , y  sin t , z  e 2t tại điểm M 1;0;1

Câu 2 (1đ). Tính độ cong của đường x  1  t 2 , y  t ln t , t  0 tại điểm ứng với t  e .
1


x3

0

1

Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân  dx  f  x, y  dy .
Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau:
a)



x 2  y 2 dxdy , trong đó D :1  x 2  y 2  4, x  y  0 .

D

b)

 sin  x  y  dxdy , trong đó D  0; 0;  .
D

Câu 5 (1đ). Tính tích phân
1

1 y

2

0


0

0

 dy  dz   x  z  dx .
Câu 6 (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi hai parabol x  1  y 2  z 2 và

x  3   y2  z2  .
Câu 7 (1đ). Cho hàm vector khả vi r  t  :



3



\ 0 . Ký hiệu r  t  là độ dài của r  t  ,

chứng minh rằng



d r t 
dt

Câu 8 (1đ). Tính tích phân

  y  2 z 


2



1
r t 

r t   r t  .

dxdydz trong đó, V là hình cầu x 2  y 2  z 2  1 .

V

Câu 8 (1đ). Chứng minh rằng hàm số I  y  



e
0

3

x

sin  xy 
dx khả vi trên
x

.



bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 1

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20173
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Thời gian: 60 phút

 x  e  t  sin t
Câu 1 (1đ). Tính độ cong tại t  0 của đường 
.
t
 y  e  cos t
Câu 2 (1đ). Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại A 1;1;0 của mặt z  ln  3x  2 y  .









Câu 3 (1đ). Cho hàm vecto p  t   sin 2t ,cos 2t , et và r  t   t 2  1 p  t  . Tính r   0  .
2

2 x2

1


x

Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân I   dx 
Câu 5 (1đ). Tính

f  x, y  dy .

 3x  2 y  dxdy , D giới hạn bởi
D

x  0, y  0, x  y  1 .
Câu 6 (1đ). Tính

  x  y  x  2 y 1

2

dxdy , D giới hạn bởi x  y  0 , x  y  3 ,

D

x  2 y  1, x  2 y  2 .
Câu 7 (1đ). Tính

 z

x 2  y  dxdydz , V giới hạn bởi x 2  y 2  1, z  0, z  2 .

V


Câu 8 (1đ). Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi

x  1 y2  z

x  y2  z2 ,
Câu 9 (1đ). Tính

3x 2  y 2  z 2  1
dxdydz , V là nửa khối cầu x 2  y 2  z 2  1, z  0 .
2
2
2

x  y  z 1
V
arctan  x  y 
dx .
y 0 
1  x2  y 2
sin y
cos y

Câu 10 (1đ). Tìm giới hạn lim

4


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20173
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Thời gian: 60 phút

 x  e t  sin t
Câu 1 (1đ). Tính độ cong tại t  0 của đường 
.
t
 y  e  cos t
Câu 2 (1đ). Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại A  1;1;0 của mặt z  ln  2x  3 y  .









Câu 3 (1đ). Cho hàm vecto p  t   et ,sin 2t ,cos 2t và r  t   t 2  1 p  t  . Tính r   0  .
2

x

1

x 2

Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân I   dx  2
Câu 5 (1đ). Tính


f  x, y  dy .

  2 x  5 dxdy , D giới hạn bởi
D

x  0, y  0, x  y  1 .
Câu 6 (1đ). Tính

  x  2 y   x  y  1 dxdy ,
2

D giới hạn bởi x  y  1 , x  y  4 ,

D

x  2 y  0, x  2 y  2 .
Câu 7 (1đ). Tính

  x

2

 y 2  z 2 dxdydz , V giới hạn bởi x 2  y 2  1, z  0, z  1 .

V

Câu 8 (1đ). Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi

x  4  x2  z 


y  x2  z 2 ,
Câu 9 (1đ). Tính

5x2  3 y 2  z 2  4
dxdydz , V là nửa khối cầu x 2  y 2  z 2  1, z  0 .
2
2
2

x

y

z

4
V
arccot  x  y 
dx .
y 0
1  x2  y 2
cos y
sin y

Câu 10 (1đ). Tìm giới hạn lim



5



bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 1

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút





Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong ln 2 x  y 2  3z 3  3 tại
điểm M  0; 1;1 .
Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: cx 2  3 y  c3  2  0 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tính độ cong của đường y  ln  cos x  tại điểm ứng với x 


4

.

Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

  2x

2


 3 y 2  dxdy , D là miền giới hạn bởi y  x, y  1 và x  0 .

D

b)

  x

2

 xy  y 2  dxdy , với D là miền giới hạn bởi y  2 x  1, y  2 x  3 , y  x  2 và

D

y  x.
Câu 5 (1đ). Tính tích phân sau
8

2

 dx 
3

0

x

1
dy
y 1

4

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
z  x 2  3 y 2 và z  4  3x 2  y 2 .

Câu 7 (1đ). Tính tích phân bội ba

  4x

2

  x

 y 2  z 2  dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi

y  3xyz  dxdydz trong đó V là miền xác định bởi

V

1  x  2,0  xy  2,0  z  2 .
Câu 8 (1đ). Tính tích phân bội ba

2

V

các mặt x  y 2  4 z 2 , x  4 .


Câu


9

(1đ).

Tính

tích

phân


0

6

e ax  ebx
dx
x
2

2

với

a, b  0 .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút





Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong ln x2  3 y  2 z 3  2 tại
điểm M 1;0; 1 .
Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: cx 2  2 y  c3  1  0 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tính độ cong của đường y  ln sin x  tại điểm ứng với x 


4

.

Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

  x

2

 4 y 2  dxdy , D là miền giới hạn bởi y  x, x  1 và y  0 .

D


b)

  x

2

 xy  y 2  dxdy , với D là miền giới hạn bởi y  3x  1, y  3x  2 , y  x và

D

y  x2.
Câu 5 (1đ). Tính tích phân sau
1

1

 dx 
4

0

x

1
dy
y 1
5

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
z  x 2  2 y 2 và z  3  2 x 2  y 2 .


Câu 7 (1đ). Tính tích phân bội ba

 3xy

2

 4 xyz  dxdydz trong đó V là miền xác định bởi

V

1  y  2,0  xy  2,0  z  2 .
Câu 8 (1đ). Tính tích phân bội ba

  x

2

 y 2  z 2  dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi

V

các mặt y  x2  4z 2 , y  2 .


Câu

9

(1đ).


Tính

tích

phân


0

7

e ax  ebx
dx
x
2

2

với

a, b  0 .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 3

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút


Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  2 cos t , y  4sin t , z  4 cos 2 t  1 tại điểm M





3; 2; 4 .

Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: 4 x  3cy  2c   0 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tính độ cong của đường cong

x  cos t  t sin t , y  sin t  t cos t tại điểm ứng với t   .
Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

 xdxdy , D là miền giới hạn bởi

y  x 2 và y  x  2 .

D

b)

 x

x 2  y 2 dxdy , với D   x, y   R2 : x 2  y 2  x

D


Câu 5 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
x  y 2  4 z 2 và x  4 .

Câu 6 (1đ). Tính tích phân sau:
1

1

1

xy
 dx dz  xze dy .
2

0

Câu 7 (1đ). Tính

z2

0

 3x  2xy  dxdy , với D :1  xy  9, y  x  4 y .
D

Câu 8 (1đ). Tính tích phân bội ba

 zdxdydz


trong đó V là miền xác định bởi

V

x 2  y 2  z 2  z, x 2  y 2  z .


Câu

9

(1đ).

Tính

tích

phân


0

8

e  ax  e bx
dx
x
3

3


với

a, b  0 .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 4

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  2 cos t , y  4sin t , z  4 cos 2 t  1 tại điểm M





3; 2; 4 .

Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: 4 x  3cy  2c   0 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tính độ cong của đường cong

x  cos t  t sin t , y  sin t  t cos t tại điểm ứng với t   .
Câu 4 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

 xdxdy , D là miền giới hạn bởi


y  x 2 và y  x  2 .

D

b)

 x

x 2  y 2 dxdy , với D   x, y   R2 : x 2  y 2  x

D

Câu 5 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
x  y 2  4 z 2 và x  4 .

Câu 6 (1đ). Tính tích phân sau:
1

1

1

xy
 dx dz  xze dy .
2

0

Câu 7 (1đ). Tính


z2

0

 3x  2xy  dxdy , với D :1  xy  9, y  x  4 y .
D

Câu 8 (1đ). Tính tích phân bội ba

 zdxdydz

trong đó V là miền xác định bởi

V

x 2  y 2  z 2  z, x 2  y 2  z .


Câu

9

(1đ).

Tính

tích

phân



0

9

e  ax  e bx
dx
x
3

3

với

a, b  0 .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 5

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính giới hạn

2x  y4
.
 x ; y  0;0  x 2  2 y 2

lim

Câu 2 (1đ). Tính đạo hàm riêng

 2u
nếu u  xy ln  xy  .
xy

Câu 3 (1đ). Ứng dụng vi phân, tính gần đúng giá trị biểu thức

 3,97    3, 02 
2

2

.

Câu 4 (1đ). Viết triển khai Taylor của hàm số sau tại M 1, 2

f  x, y   x2  y 2  xy  2x  3 y  1.
Câu 5 (1đ). Cho hàm ẩn z  z  x, y  , xác định bởi phương trình cos  xy   z  ez  0 . Chứng
minh rằng xz x  yz y  0 .
Câu 6 (1đ). Tính các cực trị của hàm số
z  xy 

50 20

 x, y  0  .
x
y


Câu 7 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao

 x 2  y 2  z 2  25
của hai mặt cong 
, tại điểm M  3, 4,0 .
4
x

3
y

5
z

0

Câu

8

(1đ).

 x 1   y 1


Viết
2

phương


trình

tiếp

diện

và

pháp

tuyến

của

mặt

cầu

 z 2  25 t ại điểm M  4,1, 4 .

Câu 9 (1đ). Tìm các cực trị của hàm số z 

x y
 với điều kiện x 2  y 2  1 .
4 3

 x  r cos 
Câu 10 (1đ). Cho hàm số z  z  x, y  có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục, ở đó 
.

 y  r sin 
2

Chứng

minh

2

2

1  z 
 z   z   z 
        2 
 .
 x   y   r  r   

rằng

10

2


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 6

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20172
MÃ HP: MI1121 (Nhóm 1). Khóa: 62. Thời gian: 60 phút


Câu 1 (1đ). Tính giới hạn

x  2 y4
.
 x ; y  0;0  2 x 2  y 2
lim

Câu 2 (1đ). Tính đạo hàm riêng

 2u
nếu u  xy sin  xy  .
xy

Câu 3 (1đ). Ứng dụng vi phân, tính gần đúng giá trị biểu thức

 4, 03   2,98
2

2

.

Câu 4 (1đ). Viết triển khai Taylor của hàm số sau tại M 1, 2

f  x, y   x2  y 2  xy  x  y  1 .
Câu 5 (1đ). Cho hàm ẩn z  z  x, y  , xác định bởi phương trình sin  xy   z  ez  0 . Chứng
minh rằng xz x  yz y  0 .
Câu 6 (1đ). Tính các cực trị của hàm số
z  xy 


20 50

 x, y  0  .
x
y

Câu 7 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao

 x 2  y 2  z 2  25
của hai mặt cong 
, tại điểm M  4, 3,0 .
3
x

4
y

5
z

0

Câu

8

(1đ).

 x 1   y 1



Viết
2

phương

trình

tiếp

diện

và

pháp

tuyến

của

mặt

cầu

 z 2  25 tại điểm M 1;5; 3 .

Câu 9 (1đ). Tìm các cực trị của hàm số z 

x y

 với điều kiện x 2  y 2  1 .
3 4

 x  r cos 
Câu 10 (1đ). Cho hàm số z  z  x, y  có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục, ở đó 
.
 y  r sin 
2

Chứng

minh

2

2

1  z 
 z   z   z 
        2 
 .
 x   y   r  r   

rằng

11

2



bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 1

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20163
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong x 2  3 y  2 z 3  3 tại
điểm M  2; 1;1 .
Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng y  2cx  c 2 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong y  ln x .
Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân
1

 dx
0

1

f  x, y  dy .



2 x x

2

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)


 3x  2 y  dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường

y  x 2 và y  1 .

D

b)

 x
D

2

xy
dxdy với D 
 y2

 x, y   R

2

:1  x2  y 2  2 x, y  0 .

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
z  x 2  y 2 và z  2 x  4 y .

 ydxdydz trong đó:

Câu 7 (2đ). Tính tích phân bội ba


V

a) V là miền giới hạn bởi các mặt
z  0, z  x 2 , y  2 x 2 và y  4  x 2 .

b) V là hình cầu x 2  y 2  z 2  2 xy .


Câu 8 (1đ). Tính tích phân


0

e ax  1
2

x 2e x

2

dx với a  0 .

12


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20163

Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 2 x  3 y 2  z   2 tại
điểm M  2; 1;1 .
Câu 2 (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng y  3cx  c 2 , với c là tham số.
Câu 3 (1đ). Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong y  ln x .
Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân
2

 dx
1

1

f  x, y  dy .



2 x x

2

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

  x  4 y  dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường

y  x 2 và y  1 .

D


b)

 x
D

2

xy
dxdy với D 
 y2

 x, y   R

2

:1  x2  y 2  2 x, x  0 .

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt
z  x 2  y 2 và z  4 x  2 y .

 xdxdydz trong đó:

Câu 7 (2đ). Tính tích phân bội ba

V

a) V là miền giới hạn bởi các mặt
z  0, z  y 2 , x  2 y 2 và x  1  y 2 .


b) V là hình cầu x 2  y 2  z 2  4 x .


Câu 8 (1đ). Tính tích phân


0

e ax  1
2

x 2e x

2

dx với a  0 .

13


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 1

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường x  t cos t, y  t sin t, z  bt b 

 tại điểm O  0;0;0 .


Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  cos 2 t , y  sin t cos t , z  sin t tại điểm ứng với t 


.
4

Câu 3 (1đ). Tìm hình bao của họ đường 4 x sin   y cos   1 , với  là tham số.
Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân

1

1 x 2

0

1 x
2

 dx 

f  x, y  dy .

2

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

  x


2

 y  dxdy , D là miền giới hạn bởi y 2  x, y  x 2 .

D

b)

2
2
 sin x  y dxdy với D 

 x, y  

2



:  2  x 2  y 2  4 , x  0, y  0 .
2

D

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt x  y  z  3,3x  y  3 ,

3
x  y  3, y  0, z  0 .
2
Câu 7 (2đ). Tính các tích phân bội ba sau

a)

 zdxdydz , với khối V được giới hạn bởi

z 2  4  x2  y 2  , z  2 .

V

b)

 xyzdxdydz , với V   x, y, z  

3

: x2  y 2  z 2  1, x  0, y  0, z  0

V



Câu 8 (1đ). Cho hàm số f  y    ln  y 2 sin 2 x  cos 2 x  dx . Tính f  1 .
2

0

14


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường x  t cos t, y  t sin t, z  2bt b 

 tại điểm O  0;0;0 .

Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong
x  cos 2 t , y  sin t cos t , z  2sin t tại điểm ứng với t 


.
4

Câu 3 (1đ). Tìm hình bao của họ đường x sin   3 y cos   2 , với  là tham số.
Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân

2

4 x2

0

4 x
4

 dx 


f  x, y  dy .

2

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

  x

2

 1 dxdy , D là miền giới hạn bởi y 2  x, y  x 2 .

D

b)

2
2
 sin x  y dxdy với D 

 x, y  

2



:  2  x 2  y 2  4 , x  0, y  0 .
2


D

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt x  y  z  2,3x  y  2 ,

3
x  y  2, y  0, z  0 .
2
Câu 7 (2đ). Tính các tích phân bội ba sau
a)

 zdxdydz , với khối V được giới hạn bởi

z 2  4  x2  y 2  , z  4 .

V

b)

 2 xyzdxdydz , với V   x, y, z  

3

: x 2  y 2  z 2  4, x  0, y  0, z  0

V



Câu 8 (1đ). Cho hàm số f  y    ln  sin 2 x  y 2 cos 2 x  dx . Tính f  1 .
2


0

15


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 3

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường r  a 1  cos   a  0 tại điểm ứng với  


2

.

Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của mặt cong z  x 2  y 2 tại điểm

M 1; 2;5 .
Câu 3 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong

Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân

1

2 x2


2

x

x2
y2

 1 , với c là tham số.
c 2  5  c 2

 dx  f  x, y  dy .

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)

 cos  x  y  dxdy , với miền D được giới hạn bởi x  0, y   , y  x .
D

b)



1  x 2  y 2 dxdy với D 

 x, y  

2




: x 2  y 2  1, x  y  3x .

D

Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt z  x  y, z  xy, x  y  1 ,

x  0, y  0 .
Câu 7 (2đ). Tính các tích phân bội ba sau
a)

  x

2

 y 2  dxdydz , với khối V được giới hạn bởi x 2  y 2  2 z , z  2 .

V

b)



x 2  y 2  z 2 dxdydz , với V 

 x, y, z  

V

2y


Câu 8 (1đ). Cho hàm số lim  x 2 cos  yx  dx .
y 1

y

16

3

: x 2  y 2  z 2  x


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 4

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường r  a 1  cos   a  0 tại điểm ứng với   0 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của mặt cong z  2 x 2  2 y 2 tại điểm

M 1;0;2 .
x2
y2
Câu 3 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong 2 
 2 , với c là tham số.
2
c

3  c 

Câu 4 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân

1

3 x 2

3

2x

 dx  f  x, y  dy .

Câu 5 (2đ). Tính các tích phân kép sau
a)



 sin  x  y  dxdy , với miền D được giới hạn bởi x  0, y  2 , y  x .
D

b)


D


4  x 2  y 2 dxdy với D   x, y  



2

: x 2  y 2  4,

1

x  y  x .
3


Câu 6 (1đ). Tính thể tích của vật thể V giới hạn bởi các mặt z  2  x  y  , z  2xy, x  y  2 ,

x  0, y  0 .
Câu 7 (2đ). Tính các tích phân bội ba sau
a)

  x

2

 y 2  dxdydz , với khối V được giới hạn bởi x 2  y 2  2 z, z  3 .

V

b)



x 2  y 2  z 2 dxdydz , với V 


 x, y, z  

V

2y

Câu 8 (1đ). Cho hàm số lim  x 2 sin  yx  dx .
y 1

y

17

3

: x2  y 2  z 2  z, x  0


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 5

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Cho p  t   et .i  arctan t. j  arcsin t.k . Tính




d 2t
e p t 
dt



t 0

.

Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

x  cos t , y  sin t , z  t tại điểm ứng với t   .
Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân và tích

Câu 4 (1đ). Tính

1

1

0

x

2
 dx sin  y  dy .

x2
D y dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi bốn parabol


y  x2 , y  2x2 , x  y 2 , x  2 y 2 .

 x2  y   4
Câu 5 (1đ). Tính   x  y  dxdy với D là miền 
.
 x  0, y  0
D
Câu 6 (1đ). Tính

 zdxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt

z  x   y 2 và z  4 .

V

Câu 7 (1đ). Tính

2
 zdxdydz , trong đó V là miền x 

V

y2 z2
  1, y  0, z  0 .
4 9


2


Câu 8 (1đ). Tính  sin10 x cos12 xdx .
0

Câu 9 (1đ). Chứng minh rằng:



x 2016 y 2017 dxdy 

x  y 1, x  0, y  0

Câu

10

(1đ).

Tính

  2017    2018 
.
  2017  2018  1

  x  y   x  y 
5

0;10;1

18


3

dxdy .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 6

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20162
Khóa: 61. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Cho p  t   arcsin t.i  et . j  arctan t.k . Tính



d 3t
e p t 
dt



t 0

.

Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong

x  cos t , y  sin t , z  2t tại điểm ứng với t   .
Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân và tích


Câu 4 (1đ). Tính


D

1

1

0

x

2
 dy  sin  x  dx .

y2
dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi bốn parabol
x

y  x 2 , y  3x 2 , x  y 2 , x  3 y 2 .

 x2  y   9
Câu 5 (1đ). Tính   x  y  dxdy với D là miền 
.
 x  0, y  0
D

 zdxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt


Câu 6 (1đ). Tính

z  x  y 2 và

V

z  2.
Câu 7 (1đ). Tính  zdxdydz , trong đó V là miền x 2 
V

y2 z2
  1, x  0, z  0 .
4 9


2

Câu 8 (1đ). Tính  sin12 x cos12 xdx .
0

Câu 9 (1đ). Chứng minh rằng:



x 2017 y 2016 dxdy 

x  y 1, x  0, y  0

Câu


10

(1đ).

Tính

  2018   2017 
.
  2018  2017  1

  x  y   x  y 
3

0;10;1

19

5

dxdy .


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 1

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút


Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện của mặt cong

 S  : x2  2 y3  yz  0

tại điểm

M 1;1;3 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x  t 2  1, y  2t 3  t tại điểm

A  2;1 .
Câu 3 (1đ). Tính I   y 1  x 2  dxdy , với D : 0  x  1, x  y  x .
D

Câu 4 (1đ). Tính I   x 2  y 2 dxdy , với D : x2  y2  2 y, x  y .
D

 x  2u  3v  w
D  x, y , z 

Câu 5 (1đ). Tính J 
của phép đổi biến  y  u  2v  w .
D  u , v, w 
z 
v  2w

x2  y 2 z 2
x2  y 2 z 2
 1.
 dxdydz với V :
4

9
4
9

Câu 6 (1đ). Tính I  
V

Câu 7 (1đ). Tính thể tích của vật thể  được giới hạn bởi các mặt

z  x2  y 2 và z  2  x 2  y 2 .
Câu 8 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong  Lc  y 
1

x 1 2
  c với tham số c.
c c

1

Câu 9 (1đ). Tính I   dx  e y dy .
2

0

x

x 2015 cos  xy 
dx .
2
2

y 0
1

x

2
y
1
1

Câu

10

(1đ).

Tính

giới

20

hạn

I  lim 


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình tiếp diện của mặt cong

 S  : x2  2 y3  yz  0

tại điểm

M 1;1; 3 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x  t 2  t, y  2t 3  1 tại điểm

A  0;1 .
Câu 3 (1đ). Tính I   x 1  y 2  dxdy , với D : 0  y  1, y  x  y .
D

Câu 4 (1đ). Tính I   x 2  y 2 dxdy , với D : x2  y2  2x, y  x .
D

 x  u  3v  w
D  x, y , z 

Câu 5 (1đ). Tính J 
của phép đổi biến  y  u  2v  w .
D  u , v, w 
z 
v  2w



 x2  y 2 z 2 
x2  y 2 z 2
 1.
Câu 6 (1đ). Tính I   
  dxdydz với V :
9
4
9
4
V 
Câu 7 (1đ). Tính thể tích của vật thể  được giới hạn bởi các mặt

z   x2  y 2 và z  x 2  y 2  2 .
Câu 8 (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong  Lc  y 
1

x
 1  c 2 với tham số c.
c

1

Câu 9 (1đ). Tính I   dx  e y dy .
2

0

x

x 2015  y 2016

I  lim 
dx .
y 0 1  x 2  2 y 2
1
1

Câu

10

(1đ).

Tính

giới

21

hạn


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 3

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường  L x  t 2 1, y  t 3 tại điểm M  0;1 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cong  S  : y  x2  2z 3 tại điểm M 1; 1;1 .

1

y2

0

1

Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự tính tích phân I   dy  f  x, y  dx .
Câu 4 (1đ). Tính I   2 y  x 2  y 2 dxdy , với D : x 2  y 2  2 y, x  0 .
D

Câu 5 (1đ). Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của I   f  x, y  dxdy , trong đó D là
D

miền được giới hạn bởi x 2  y 2  2 x, y  x, y  x 3 .
Câu 6 (1đ). Tính I    x  y  y  2 z 1  z  dxdydz với V được xác định bởi
V

0  x  y  1, 0  y  2 z  1, 0  z  1.
Câu 7 (1đ). Tính I    x 2  y 2  dxdydz , với V là miền nằm trong mặt trụ x 2  y 2  1 , được
V

giới hạn bởi các mặt z  4  x 2  y 2 và mặt Oxy.

 x 2  y 2  z  3
Câu 8 (1đ). Viết phương trình pháp diện của đường cong  L  :  2
tại điểm
2
2

 x  y  z  1

M 1;1;1 .
Câu 9 (1đ). Tính I    x  y  dxdydz với V : x 2  y 2  z 2  1 .
2

V

2

Câu

10

(1đ).

Tính

I   x8 4  x 2 dx .
0

22


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 4

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút


Câu 1 (1đ). Tính độ cong của đường  L  y  x3  3x tại điểm M 1; 2 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cong  S  : x  z 2  2 y 2 tại điểm M  3;1;1 .
1

x2

0

1

Câu 3 (1đ). Đổi thứ tự tính tích phân I   dx  f  x, y  dy .
Câu 4 (1đ). Tính I   2 x  x 2  y 2 dxdy , với D : x 2  y 2  2 y, y  0 .
D

Câu 5 (1đ). Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của I   f  x, y  dxdy , trong đó D là
D

miền được giới hạn bởi x 2  y 2  2 x, y  x, y 

x
.
3

Câu 6 (1đ). Tính I    x  y  y  2 z 1  z  dxdydz với V được xác định bởi
V

0  x  y  1, 0  y  2 z  1, 0  z  1.
Câu 7 (1đ). Tính I   zdxdydz , với V là miền nằm trong mặt trụ x 2  y 2  1 , được giới hạn
V


bởi các mặt z  x2  y 2 và mặt z  0 .

 x 2  y 2  z 2  3
Câu 8 (1đ). Viết phương trình pháp diện của đường cong  L  :  2
tại điểm
2
2
 x  y  z  1

M 1;1;1 .
Câu 9 (1đ). Tính I    x 2  y  dxdydz với V : x 2  y 2  z 2  1 .
V

2

Câu

10

(1đ).

Tính

I   x6 3 8  x3  dx .
0

23

2



bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 5

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình pháp diện của đường cong x  t 3 , y  t 2  1, z  2t  1 tại điểm

M 1;2;3 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp diện của mặt cong  S  : z  x2  2 y 2 tại điểm A1;1; 1 .
Câu 3 (1đ). Tính I    x  x 2 y  dxdy , với D : 1  x  1; 0  y  3 .
D

Câu 4 (1đ). Tính J 

D  x, y 
của phép đổi biến
D  r, 

Câu 5 (1đ). Tính I   x 2 
D

 x  1  r sin 
.

 y  2cos 


y2
y2
 4.
dxdy , với D :1  x 2 
4
4

Câu 6 (1đ). Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường y 

x
, y  0, x 2  y 2  2 x .
3

Câu 7 (1đ). Tính I   zdxdydz , với V được giới hạn bởi các mặt z  x 2  y 2 , z  4 .
V

Câu 8 (1đ). Tính I    x 2  y 2  z 2  dxdydz , với V được xác định bởi
V

x2  y 2  z 2  1, z   x 2  y 2 .
 x 2  y  z 2  3
Câu 9 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  L  : 
tại điểm
2
2
 x  y  z  1

M 1;1;1 .

2


Câu

10

(1đ).

Tính

I   sin 5 x.cos 6 xdx .
0

24


bkkhongsotach.edu.vn
ĐỀ 6

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì: 20152
Khóa: 60. Thời gian: 60 phút

Câu 1 (1đ). Viết phương trình pháp diện của đường cong x  t 3  1, y  t 2 , z  t 3  t tại điểm

M  0;1;0 .
Câu 2 (1đ). Viết phương trình tiếp diện của mặt cong  S  : z  2x2  y 2 tại điểm A 1; 1;3 .
Câu 3 (1đ). Tính I    y  y 2 x  dxdy , với D : 0  x  3; 1  y  1 .
D

Câu 4 (1đ). Tính J 


D  x, y 
của phép đổi biến
D  r, 

Câu 5 (1đ). Tính I  
D

 x  1  2sin 
.

 y  r cos 

x2
x2
 y 2 dxdy , với D :1   y 2  4 .
9
9

Câu 6 (1đ). Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường y  x 3, y  0, x 2  y 2  2 x .
Câu 7 (1đ). Tính I   x 2  y 2 dxdydz , với V được giới hạn bởi các mặt z  x 2  y 2 , z  1 .
V

Câu 8 (1đ). Tính I    x 2  y 2  z 2  dxdydz , với V được xác định bởi
V

x2  y 2  z 2  1, z  x2  y 2 .
 x 2  y  z 2  1
Câu 9 (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  L  : 
tại điểm

2
2
 x  y  z  1

M 1;1;1 .

2

Câu

10

(1đ).

Tính

I   sin 6 x.cos5 xdx .
0

25