ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

TRÌNH THỊ ĐAN TÂM

PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
THEO THỜI GIAN
VỚI ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016.


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS. NGUYỄN HUY TUẤN

Cán bộ chấm nhận xét 1 : ........................................................................

Cán bộ chấm nhận xét 2 : ........................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM
ngày . . . . . tháng . . . . năm . . . . .
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
1. ............................................................
2. ............................................................

3. ............................................................
4. ............................................................
5. ............................................................

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA

PGS.TS HUỲNH QUANG LINH


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: TRÌNH THỊ ĐAN TÂM.

MSHV: 13240288

Ngày, tháng, năm sinh: 29/06/1989

Nơi sinh: Tp.Hồ Chí Minh

Chun ngành: Tốn ứng dụng


Mã số : 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN THEO THỜI GIAN VỚI ĐẠO HÀM CẤP PHÂN
SỐ.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
Chỉnh hóa nghiệm và đánh giá sai số cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp
phân số.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 04/07/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN

Tp. HCM, ngày 15 tháng 12 năm 2016.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
(Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA
(Họ tên và chữ ký)


LỜI CAM ĐOAN
Tơi tên là Trình Thị Đan Tâm, MSHV: 13240288, học viên cao học chuyên ngành Toán
ứng dụng trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2013 - 2017. Tơi xin cam đoan rằng,
ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các
cơng việc trình bày trong luận văn này là do chính tơi thực hiện, chưa có phần nội dung
nào của luận văn này được nộp để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác.
Tp.HCM, tháng 12 năm 2016

Học viên thực hiện

TRÌNH THỊ ĐAN TÂM


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn bao gồm 4 chương. Chương 1 trình bày vấn đề nghiên cứu. Chương 2 trình bày
các kiến thức liên quan. Chương 3 trình bày phương pháp chỉnh hóa và đánh giá sai số.
Chương 4 trình bày ví dụ minh họa cho bài tốn.


ABSTRACT
The thesis contains four chapters. Chapter 1 presents the research problem. Chapter 2
presents the relevant knowledges. Chapter 3 presents identification and regularization
solution and derive explicity error estimate. Chapter 4 presents examples for the problem.


▼ö❝ ❧ö❝
✶ ✣➦t ✈➜♥ ✤➲

✺

✷ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✽

✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽


✷✳✶✳✶

❍➔♠ ●❛♠♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✷✳✶✳✷

❍➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✷✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✷✳✶

✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ sè ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✷✳✷

✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè ❈❛♣✉t♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷✳✸ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


✶✹

✷✳✹ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❤é trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✸ ❈❤➾♥❤ ❤â❛ ✈➔ ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè

✶✼

✸✳✶ ❚➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✸✳✷ ✣→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè ❣✐ú❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➾♥❤ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✹ ❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛

✹✹

✺ ❑➳t ❧✉➟♥

✺✶
✶


ợ t
t ữủ q tr t ởt t tr ỹ t ỵ tt ♠ư❝

t✐➯✉ ❝õ❛ ♥â ❧➔ t➻♠ ❦✐➳♠ ❧↕✐ t❤ỉ♥❣ t✐♥ ✈➲ tr t trữợ õ ừ ởt trữớ t ỵ ỹ tr➯♥
♥❤ú♥❣ t❤ỉ♥❣ t✐♥ ❤✐➺♥ t↕✐✳ ▼ỉ ❤➻♥❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤♦
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✭❛ ❜❛❝❦✇❛r❞ ❤❡❛t ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✮✳ ▼æ ❤➻♥❤ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ ❧➔
❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ ✭❛ ❜❛❝❦✇❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ t✐♠❡✲
❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞✐❢❢✉s✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜✐➳♥ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭t❤❡ t✐♠❡✲❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧
❡q✉❛t✐♦♥✮✳ ◆â ♠ỉ t↔ q✉→ tr➻♥❤ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ tr♦♥❣ ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷í♥❣
✤✐ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ tư❝ ✭t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦ ♣r♦❜❧❡♠✮✳
❚❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✳ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐
t♦→♥ ♥➔②✿ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➦t ❝ưt✱ q✉❛s✐✲❚✐❦❤♦♥♦✈✱ q✉❛s✐✲r❡✈❡rs✐❜✐❧✐t② ❤♦➦❝ q✉❛s✐✲❜♦✉♥❞❛r②✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➦t ❝ưt ✈➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r✳
❚r♦♥❣ ❦❤✉ỉ♥ ❦❤ê ❝õ❛ ❜➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❡♠ ①✐♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐ t✐➳t ❝õ❛ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣
❜➔✐ ❜→♦ ✧■♥❞❡♥t✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✉♥❦♥♦✇♥ s♦r❝❡ ❢♦r t✐♠❡✲❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞✐❢❢✉s✐♦♥
❡q✉❛t✐♦♥✧ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②❡♥ ❍✉② ❚✉❛♥✱ ▼♦❦❤t❛r ❑✐r❛♥❡✱ ▲✉✉ ❱✉ ❈❛♠ ❍♦❛♥✱

ỗ
ã P tự ♥❤➜t ❧➔ ♥➯✉ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
• P❤➛♥ t❤ù tr ỵ tt ổ ử ✤➸ ❣✐↔✐ t♦→♥✳
• P❤➛♥ t❤ù ❜❛ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❝ư t❤➸ ❝→❝ ❜ê ✤➲✱ ❦ÿ t❤✉➟t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ t q

ừ t
ã P tự tữ t q số ồ t q ỵ tt




◗✉❛ t✐➸✉ ❧✉➟♥ ♥➔②✱ ❡♠ ❝ô♥❣ ✤➣ ❝õ♥❣ ❝è ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣✱ t➼❝❤ ❧ơ② t❤➯♠ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➦t ❝ưt ✈➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤
t✐➳♥ ❤➔♥❤✱ ❡♠ ❝ô♥❣ ✤➣ ❣➦♣ ♠ët sè ❦❤â ❦❤➠♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ t➻♠ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ①➜♣ ①➾✱ ♠æ ♣❤ä♥❣ ❦➳t q✉↔ sè ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥❤í sü ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱

❣✐ó♣ ✤ï✱ ❝❤➾ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t ữợ ồ ử ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦❤â
❦❤➠♥ ♥➔②✳
❚✉② ❡♠ ❝è ❣➢♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷♥❣ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✈➝♥ ❝á♥ s❛✐ sât✱
❡♠ r➜t ♠♦♥❣ t❤➛②✱ ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ❣â♣ þ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

✸


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ✤➛✉✱ ❡♠ ①✐♥ ❝→♠ ì♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙➔✐
●á♥ ✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝æ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❑❤♦❛ ❤å❝ ù♥❣ ❞ư♥❣✱ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr÷í♥❣
✣↕✐ ❤å❝ ❇→❝❤ ❑❤♦❛ ❚♣✳❍❈▼ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❞↕② ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ✤↕✐ ❤å❝ ✈➔
❝❛♦ ❤å❝✳ ◆❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠➔ ❡♠ t✐➳♣ t❤✉ tø ❝→❝ t❤➛②✱ ❝æ tr♦♥❣ s✉èt ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ q✉❛ ❧➔ ♥➲♥
t↔♥❣ ❤➳t sù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② tr♦♥❣ ❤✐➺♥ t↕✐ ✈➔ ❝â t❤➸ ❧➔
♠ët q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❧➙✉ ❞➔✐ s❛✉ ♥➔②✳
❍ì♥ ❤➳t✱ ❡♠ ①✐♥ ❝→♠ ì♥ P●❙✳❚❙ ◆❣✉②➵♥ ❍✉② ❚✉➜♥ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺✱ t t ữợ
õ ỵ tr q tr ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳
❈→♠ ì♥ ❜↕♥ ▲➯ ✣➻♥❤ ▲♦♥❣ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ ❦➳t q✉↔ sè ♠æ ♣❤ä♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥✱
t➻♠ t➔✐ ❧✐➺✉✳
❈→♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝→❝ ❛♥❤ tr♦♥❣ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ t❤➛② ◆❣✉②➵♥ ❍✉② ❚✉➜♥ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣
❜✉ê✐ s❡r♠✐♥❛ ❜ê ➼❝❤✳ ◗✉❛ ✤â✱ ❡♠ ✤÷đ❝ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➔ ❤å❝ ❤ä✐ t❤➯♠ ♠ët sè
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❤â❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❝♦♥ ①✐♥ ❝→♠ ì♥ ❜❛ ♠➭ ✤➣ s✐♥❤ t❤➔♥❤✱ ❞÷ï♥❣ ❞ư❝ ✈➔ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❝♦♥ tr♦♥❣ s✉èt
q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳

✹


❈❤÷ì♥❣ ✶
✣➦t ✈➜♥ ✤➲

❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ st t t ỗ f (x) tứ ♠æ ❤➻♥❤ ❦❤✉②➳❝❤
t→♥ s❛✉





Dtα u − ∆u = ϕ(t)f (x),







 ux (0, t) = ux (1, t) = 0,

(x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1)
t ∈ (0, 1)




u(1, t) = 0,








 u(x, 0) = u0 (x), u(x, 1) = u1 (x)

✭✶✳✶✮

t ∈ (0, 1)
x ∈ (0, 1)

tr♦♥❣ ✤â ϕ(t) u0 (x), u1 (x) trữợ ❜à ♥❤✐➵✉ ❜ð✐ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ q✉❛♥ s→t ϕε (t)
✈➔ uε0 , uε1 t❤ä❛
ϕε (t) − ϕ(t)

C[0,1[

≤ ε,

uε0 − u0

L2 (0,1)

≤ ε,

uε1 − u1

L2 (0,1)

≤ ε;

Ð ✤➙② Dtα u ❧➔ t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ α t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❈❛♣✉t♦✿
1


Dtα u(t)

1
=
Γ(1 − α)

u (s)
ds
(t − s)α

✭✶✳✷✮

0

✈ỵ✐ Γ ❧➔ ❤➔♠ ●❛♠♠❛✳ ◆❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ ✤➙② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛
❍❛❞❛♠❛r❞✳ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❞ú ❧✐➺✉✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♥➳✉ ♠ët s❛✐ sè ♥❤ä ε
✺


s➩ ❞➝♥ ✤➳♥ s❛✐ sè ❝õ❛ f (x)✳ ❉♦ ✈➟② ✤á✐ ❤ä✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➾♥❤ ❤â❛✳
✭✶✳✶✮ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤✉➳❝❤ t→♥ t❤❡♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♣❤➙♥ số rt s
qt õ ỵ tr ỹ ự ử ữ t ỵ s ồ õ ồ
õ st ổ tr t ỗ tø t❤ü❝ t➳ ✈➔ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥
t➙♠✱ ①❡♠ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✼❪✱ ❬✽❪✳
❚r♦♥❣ ❬✾❪✱ ▼✳ ❑✐r❛♥❡ ✈➔ t t ữủ ợ s






(u(x, t) − u(x, 0)) − uxx = ϕ(t)f (x), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1)
D0+







 u(1, t) = 0,
t ∈ (0, 1)



ux (0, t) = ux (1, t),







 u(x, 0) = u0 (x), u(x, 1) = u1 (x),

t ∈ (0, 1)
x ∈ (0, 1)

• ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ♥➔②✱ r ỗ t ữ r ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ❤➔♠
f ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➾♥❤ ❤â❛ ✈➝♥ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ●➛♥ ✤➙②✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ❜➔✐


❜→♦ ❬✶✵❪ ✈➔ ❬✶✶❪ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t ỗ f ợ tt ϕ(t) = 1✳ ❚✳❲❡✐✱
①❡♠ ❬✶✸❪✱ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ϕ(t) > 0, t ∈ R✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦
♥➔② ❞ú ❧✐➺✉ ϕ(t) ✈➝♥ ❦❤æ♥❣ ❜à ♥❤✐➵✉✳
• ❱➻ ❝→❝ ❧➼ ❞♦ tr➯♥✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❚✳❲❡✐ tr♦♥❣ tr÷í♥❣

❤đ♣ ❤➔♠ ϕ(t) ❜à ♥❤✐➵✉ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ ❧➔ ❤➔♠ ❞÷ì♥❣✳ ❈ư t❤➸✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t
N Zϕ = {t ∈ R : ϕ(t) = 0}.

❚❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t ỗ f tr trữớ ủ N Zϕ = R ✳ ✣➙② ❧➔ ❜➔✐
t♦→♥ ❦❤â ✈➔ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ◆✳❍✳ ❚✉❛♥ ✈➔ ❝→❝ ỗ t r
ú tổ tr ❜➔② ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ ◆✳❍✳ ❚✉❛♥✱ ▼✳ ❑✐r❛♥❡✱ ▲✳❱✳❈✳
❍♦❛♥ ✈➔ ▲✳❉✳ ▲♦♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr➯♥ t↕♣ ❝❤➼ ❈♦♠♣✉t❡r ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s
✻


❬✶✻❪✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❦❤✐ ❞ú ❧✐➺✉ ϕ(t) ❜à ♥❤✐➵✉✳ ❑➳t q✉↔ t❤ù ♥❤➜t ❦❤✐
❤➔♠ ϕ(t) ❞÷ì♥❣✳ ❑➳t q✉↔ t❤ù ❤❛✐ ❦❤✐ ❤➔♠ ϕ(t) ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❞÷ì♥❣✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦➳t q ừ ừ ữợ ú tổ tr➻♥❤
❜➔② ❧↕✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤➦t ❝ưt t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✈➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➾♥❤ ❤â❛
✈➔ ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè ❣✐ú❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➾♥❤ ❤â❛ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ tr➻♥❤
❜➔② ♠ët ✈➼ ❞ö sè ồ t q ỵ tt




❈❤÷ì♥❣ ✷
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ✤➦❝ ❜✐➺t
❚r♦♥❣ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè✱ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❤÷ ❤➔♠ ●❛♠♠❛✱ ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r ❝â ✈❛✐

trá r➜t q✉❛♥ trå♥❣✳

✷✳✶✳✶ ❍➔♠ ●❛♠♠❛
❍➔♠ ữủ ỵ ớ (n) rë♥❣ ❝õ❛ ❣✐❛✐ t❤ø❛✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸
①→❝ ✤à♥❤ ❜➜t ❦ý sè t❤ü❝ ❤❛② sè ♣❤ù❝ ❜➡♥❣ ❤➔♠ ●❛♠♠❛ ✈➔ t➻♠ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❱➔ ❝→❝ ❣✐→
trà ♥➔② ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ❣✐❛✐ t❤ø❛✳ ❱ỵ✐ ♥ ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ t❤➻
Γ(n) = (n − 1)!

❤❛② t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t
Γ(n + 1) = n!

✽


❱ỵ✐ ♥ ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ ❜➜t ❦ý✱ t❤➻
∞

e−x xn dx.

(n + 1) =
0

ổ t ỗ t ừ số

ỗ t

♠ët ❤➔♠ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝✱ ❤å ✤➣ t↕♦ ♥➯♥ ♠ët
❞➣② ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ●❛♠♠❛✱ ✈➼ ❞ư P♦❞❧✉❜♥② ✭✶✾✾✵✱ ❝❤÷ì♥❣ ✶✮✱ ①❡♠ ❬✶❪

✷✳✶✳✷ ❍➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r

❍➔♠ sè ♠ơ ez ❧➔ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣ tr ỵ tt ữỡ tr số
ợ ♠ët t❤❛♠ sè tê♥❣ q✉→t α ∈ R✱ ❤➔♠ ez ✤÷đ❝ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❜ð✐ ❍➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r ✤÷đ❝
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉
∞

Eα (z) =
k=0

zk
, α > 0, α ∈ R, z ∈ C.
Γ(αk + 1)

✾


❍➔♠ Eα (z) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r✳ ▼ð rë♥❣ ❧➯♥✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲
▲❡❢❢❧❡r ✈ỵ✐ ❤❛✐ t❤❛♠ sè
∞

Eα,β (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

✭✷✳✶✮

tr♦♥❣ ✤â α > 0, β > 0, α ∈ R, β ∈ R ✈➔ z ∈ C✳
❚ø ✭✷✳✶✮✱ ❦❤✐ α = 1 ✈➔ β ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ t❤➻

∞

E1,1 (z) =
k=0
∞

E1,2 (z) =
k=0
∞

E1,3 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 2)
k

z
=
Γ(k + 3)

zk
=
Γ(k + 1)

∞

k=0


∞

k=0

∞

k=0

zk
1
=
(k + 1)!
z
k

zk
= ez ;
k!

z
1
= 2
(k + 2)!
z

∞

k=0

∞


k=0

z k+1
ez − 1
=
,
(k + 1)!
z

z k+2
ez − z − 1
=
,,
(k + 2)!
z2

✈➔ ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t
E1,m (z) =

m2

1
z m1

ez
k=0

zk
k!


.

ttr tữỡ ự ợ ♠ët ✈➔✐ ❣✐→ trà ❝õ❛ α ✈➔ β
✶✵


❑❤✐ β = 1✱ t❛ ❝â ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r ♠ët t❤❛♠ sè
∞

Eα,1 (z) =
k=0

zk
= Eα (z).
Γ(αk + 1)

✷✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ sè ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝➜♣ sè t❤ü❝ ✭❝➜♣ sè ❜➜t ❦ý✮ s➩
✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔②✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❝❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❬✶❪ ✳
❑❤✐ β = 1 t❤➻ t❛ ❝â ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r ❧➔ ❤➔♠ ♠ët t❤❛♠ sè
∞

Eα,1 (z) =
k=0

zk
.
Γ(αk + 1)


✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✈ỵ✐ α ∈ (0, 1) ✈➔ β = 1✱ t❛ ❝â ❜ê ✤➲ ✭✷✳✷✮✳

✷✳✷✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ sè ♥❣✉②➯♥
P❤➨♣ t♦→♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư tè✐ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ❧➽♥❤
✈ü❝ ❦❤→❝ ❝â sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❚♦→♥✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tư❝ f ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥
❧➛♥ t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♥✱ n ∈ N✱ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝

f

(n)

dn
1
(n)
(t) = n f (t) = lim fh (t) = lim n
h→0
h→0 h
dt


n

 n 

(−1)r 
  f (t − rh)
r=0
r




 n 

(−1)r 
  f (t − rh)
r=0
r
 

✈ỵ✐ fh(n) =

1
hn

n

 n 

tr♦♥❣ ✤â 
  ❧➔ ❤➺ sè ♥❤à t❤ù❝ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣
r
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
.
r!

✶✶





❱ỵ✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❧➜② ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ sè✱ ♠✐➵♥ ❧➔ ❤➔♠ sè
✤â ❦❤↔ ✈✐ ❝➜♣ ♥✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤ỉ♥❣ sû ❞ư♥❣ t➟♣ sè tü ♥❤✐➯♥✱ ♠➔ t❤❛② ✈➔♦ ✤â ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣
❦❤→❝✱ ✈➼ ❞ư ♥❤÷ t➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ Z ❤❛② t➟♣ sè ❤ú✉ t✛ Q ❤❛② tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❧➔ t➟♣ sè t❤ü❝ R
t❤➻ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♥ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ ❝ỉ♥❣ tự tr
rữợ t t t ổ tự tờ qt ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ p (p ≤ n) ♥❤÷ s❛✉
 
f

(p)

dp
1
(p)
(t) = p f (t) = lim fh (t) = lim p
h→0
h→0 h
dt


tr♦♥❣ ✤â fh =

1
hn

n

 p 

(−1)r 

  f (t − rh).
r=0
r

✭✷✳✷✮



 n 

(−1)r 
  f (t − rh)
r=0
r

n

r

q ữợ r số t❤ù❝ 
  s➩ ❜➡♥❣ ✵ ❦❤✐ r = p + 1, p + 2, ...
n

❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p ∈ Z✳ ◆➳✉ p > 0 t❤➻ ✤↕♦ ❤➔♠
dn
f (t)✳
dtn

dp
f (t)

dtp

✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t÷ì♥❣ tü

❑❤✐ p < 0✱ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② t❤➳ p ❜ð✐ −p tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✮✱

tù❝ ❧➔

f (−p) (t) =

d−p
1
(−p)
f (t) = lim fh (t) = lim −p
−p
h→0
h→0 h
dt



 −p 
 f (t − rh).
(−1)r 


r=0
r
n


❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➺ sè ♥❤à t❤ù❝✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝







 −p 
 p 

 = (−1)r p(p + 1)(p + 2)....(p + r − 1) = (−1)r  


 
r!
r
r




 p 

tr♦♥❣ ✤â 
  ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣
r
p(p + 1)(p + 2)...(p + r − 1)
.
r!


✶✷


❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t

f

(−p)

d−p
(t) = −p f (t) = lim fh−p (t) = lim hp
h→0
h→0
dt



n

 p 
  f (t − rh).
 
r=0
r

❱ỵ✐ n ❝è ✤à♥❤✱ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ fh−p (t) s➩ ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ ✵ ❦❤✐ h t✐➳♥ ❞➛♥ ✈➲ ✵✳ ✣➸ tr→♥❤
✤✐➲✉ ♥➔②✱ t❛ ❝➛♥ ❣✐↔ ✤à♥❤ r➡♥❣ n s➩ t✐➳♥ r❛ ∞ ❦❤✐ h ❣➛♥ ✵✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➡♥❣
❝→❝❤ ✤➦t h =


t−a
✈ỵ✐ a ∈ R ✳ ❚❛ ✤➦t
n
lim fh−p (t) = Dt−p f (t).

h→0
nh=t−a

❚r♦♥❣ ✤â✱ Dt−p f (t) ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ♥➔♦ ✤â ❝â sü t→❝ ✤ë♥❣ ❧➯♥ tr➯♥ ❤➔♠ sè f (t) ❙û ❞ö♥❣ q✉②
♥↕♣✱ ✭①❡♠ ❝❤✐ t✐➳t t↕✐ P♦❞❧✉❜♥② ✶✾✾✵✱ ❝❤÷ì♥❣ ✷✮ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣
t

Dt−p f (t)

1
=
(p − 1)!

(t − s)p−1 f (s)ds

✭✷✳✸✮

a

◆❤÷ ✈➟②✱ ❤❛✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✮ ✈➔ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ t❛ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ p✱ ✈ỵ✐ p ∈ Z✱ ❝õ❛
❤➔♠ sè f (t)✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦✱ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✤↕♦ s ữủ rở ỡ p ợ
p ∈ R✳

✷✳✷✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♣❤➙♥ sè ❈❛♣✉t♦
●✐↔ sû α > 0, t ∈ R✱

t

Dtα u(t)

u (s)
ds
(t − s)α

1
=
Γ(1 − α)
0

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ sè ❈❛♣✉t♦ ❝õ❛ ❝➜♣ ữủ ợ t t t
ồ ữớ ị t t




✷✳✸ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥â✐ ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➾♥❤ ✭✇❡❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾♥❤ ✭✇❡❧❧✲♣♦s❡❞✮ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ r
ỳ s ữủ tọ
ã

ổ tỗ t

ã


ổ õ t

ã

t ữủ ử tở tö❝ ✈➔♦ ❞ú ❧✐➺✉ ✭❞ú ❧✐➺✉ t❤❛② ✤ê✐ ♥❤ä ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ t❤❛②

✤ê✐ r➜t ❧ỵ♥✮✳
◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ t❤ä❛ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮✳
❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❦❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠✳

✷✳✹ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❤é trñ
❇ê ✤➲ ✷✳✷ ●✐↔ sû 0 < α

0

< α1 < 1 [0 , 1 ]

t tỗ t ❤➡♥❣ sè P, B −, B + > 0

♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ α0, α1 s❛♦ ❝❤♦
Eα,α (x) ≤

P
, ∀x ≤ 0,
1−x

B−
1
B+

1
≤ Eα,1 (x) ≤
, ∀x ≤ 0
Γ(1 − α) 1 − x
Γ(1 − α) 1 − x

✭❳❡♠ ❬✶✽❪✮

❇ê ✤➲ ✷✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ✤➛✉



 Dtα h(t) = −λh(t) + g(t), 0 < t < 1


 h(k) (0) = hk ∈ R, k = 0, 1, 2, ..., m − 1, m − 1 < α ≤ m, λ ∈ R

✶✹

✭✷✳✹✮


❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❞↕♥❣
t

m−1
k

h(t) =


α

sα−1 Eα,α (λsα )g(t − s)ds

ck t Eα,k+1 (λt ) +
k−0

✭✷✳✺✮

0
t

tr♦♥❣ ✤â

h (x)
ds
(t − s)α

1
Dtα h(t) =
Γ(1 − α)

✈➔ Γ ❧➔ ❤➔♠ ●❛♠♠❛✳

0

✭❇ê ✤➲ tr➯♥ ữủ ự tr

ờ ợ > 0✱ t❛ ❝â
dα

Eα,1 (λtα ) = −λEα,1 (λtα ),
α
dt
d
Eα,1 (λtα ) = −λtα−1 Eα,α (−λtα ), t > 0, 0 < α < 1.
dt

❇ê ✤➲ tr➯♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✶❪✳

❇ê ✤➲ ✷✳✺ ❱ỵ✐ α ∈ (0, 1) ✈➔ ω ∈ R✱ t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè s❛✉✿






ω2
, |ω| ≥ 1
1
ω2
1 − Eα,1 (−1)
=
≤
1 α−1
1 − Eα,1 (−ω 2 ) 
1
s Eα,α (−ω 2 sα )ds

0


, |ω| < 1.

1 − Eα,1 (−1)

✭✷✳✻✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❤❡♦ ✭✷✳✹✮ t❤➻ t❛ ❝â
1

1
0

d
E (−λtα )dt
dt α,1

−λtα−1 Eα,α (−λtα )dt

=
0

1

⇔ Eα,1 (−λ1α ) − Eα,1 (−λ0α ) =

−λtα−1 Eα,α (−λtα )dt
0

1


⇔ Eα,1 (−λ) − 1 = −λ tα−1 Eα,α (−λtα )dt.
0

❚❤❛② λ = ω 2 ✱ t❛ ✤÷đ❝
1
2

Eα,1 (−ω ) − 1 = −ω

2

tα−1 Eα,α (−ω 2 tα )dt,
0

✶✺

✭✷✳✼✮


❍❛②
1

Eα,1 (−ω 2 ) − 1 = −ω 2

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds.
0

❚ø ✤â s✉② r❛
1

2

1 − Eα,1 (−ω ) = ω

2

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds,
0

❍❛②
1
1
0

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds

=

ω2
.
1 − Eα,1 (−ω 2 )

◆➳✉ |ω| ≥ 1✱ Eα,1 (−y) ❧➔ ❤➔♠ ❣✐↔♠ ✈ỵ✐ y > 0 ✈➔ 0 < α < 1 ✭①❡♠ ❬✶❪✮✱ t❛ ❝â Eα,1 (−ω 2 ) ≤
Eα,1 (−1)✱ ❞♦ ✤â
1
1
0

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds


=

ω2
ω2
≤
, |ω| ≥ 1.
1 − Eα,1 (−ω 2 )
1 − Eα,1 (−1)

✭✷✳✽✮

◆➳✉ |ω| ≤ 1✱ Eα,α (−y) ❧➔ ❤➔♠ ❣✐↔♠ ✈ỵ✐ y > 0 ✈➔ 0 < α < 1 ✭①❡♠ ❬✶❪✮✱ t❛ ❝â Eα,α (−ω 2 sα ) ≥
Eα,α (−sα )✱ ❞♦ ✤â
1
1
0

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds

≤

1
1
0

sα−1 Eα,α (−sα )ds

✶✻

=


1
1 − Eα,1 (−1)

, |ω| ≤ 1.

✭✷✳✾✮


❈❤÷ì♥❣ ✸
❈❤➾♥❤ ❤â❛ ✈➔ ✤→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè
✸✳✶ ❚➼♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ừ t ữỡ
õ
rữợ t t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ f t❤❡♦ u0 , u1 ✈➔ ε✳ ❚❛ ❝â ❜ê ✤➲ s❛✉✿

❇ê ✤➲ ✸✳✶ ◆➳✉ u ∈ C ([0, 1]; L (0, 1)) ∩ C([0, 1]; H (0, 1))✱ f ∈ L (0, 1) t❤➻ t❛ ❝â
1

2

1

1

2

1

u1 (x) cos(ωx)dx − Eα,1 (−ω 2 ) u0 (x) cos(ωx)dx


1

f (x) cos(ωx)dx =

0

.

✭✸✳✶✮

f (x) cos(ωx)dx.

✭✸✳✷✮

0
1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1

0

− s)ds

0

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿
◆❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✶✳✶✮ ✈ỵ✐ cos(ωx) ✈➔ ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø ✵ ✤➳♥ ✶✱ t❛ ✤÷đ❝
dα
dtα


1

u(x, t) cos(ωx)dx −
0

1

1

uxx (x, t) cos(ωx)dx = ϕ(t)
0

0

✶✼


▲➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥✱ ✈➔ ✈ỵ✐ ux (0, t) = ux (1, t) = 0 ✈➔ u(1, t) = 0✱ t❛ ✤÷đ❝
1

1

uxx (x, t) cos(ωx)dx =

ux (x, t) cos(ωx)|10

−ω

0


ux (x, t) sin(ωx)dx
0

1

= −ω

ux (x, t) sin(ωx)dx

✭✸✳✸✮

0
1

= −ωu(x, t) sin(ωx)|10 + ω 2

u(x, t) cos(ωx)dx
0

1

= ω2

u(x, t) cos(ωx)dx.
0

❚ø ✭✸✳✷✮ ✈➔ ✭✸✳✸✮✱ t❛ ✤÷đ❝
dα
dtα


1

1

u(x, t) cos(ωx)dx = ω
0

2

1

u(x, t) cos(ωx)dx + ϕ(t)

f (x) cos(ωx)dx.

✭✸✳✹✮

0

0

✣➦t
1

h(t) =

u(x, t) cos(ωx)dx
0

✳ ❚ø ✭✸✳✹✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿




 Dtα h(t) = ω 2 h(t) + H(t), 0 < t < 1, 0 < α < 1

✭✸✳✺✮



 h(0) = h0

✈ỵ✐
1

f (x) cos(ωx)dx

H(t) = ϕ(t)
0

✳ ❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✭✷✳✸✮✱ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✺✮ ♥❤÷ s❛✉
t

h(t) = Eα,1 (−ω 2 tα )h0 +

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )H(t − s)ds
0

✈ỵ✐ Eα,α ❧➔ ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✲▲❡❢❢❧❡r✳
❈❤å♥ t = 1✱ ❦❤✐ ✤â✱ t❛ ✤➦t u(1, 1) = u1 (x), u(x, 0) = u0 (x)✱ tø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✻✮✱ t❛ ✤÷đ❝
1


1
2

u1 (x) cos(ωx)dx =Eα,1 (−ω )
0

u0 (x) cos(ωx)dx
0

✶✽

✭✸✳✻✮


1

1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1 − s)ds

+
0

✭✸✳✼✮

f (x) cos(ωx)dx.
0

❙✉② r❛

1

1

u1 (x) cos(ωx)dx − Eα,1 (−ω 2 )

1

f (x) cos(ωx)dx =

u0 (x) cos(ωx)dx
0

0

.

1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1

0

✭✸✳✽✮

− s)ds

0

◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣ ❜ê ✤➲ ✭✸✳✶✮

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✶✮ tr♦♥❣ ❜ê ✤➲ ✭✸✳✶✮✱ ❜➡♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ♥❣÷đ❝✱ t❛ ✤÷đ❝
1

1

u1 (x) cos(ωx)dx − Eα,1 (−ω 2 ) u0 (x) cos(ωx)dx

∞

f (x) = −

1
2π

0

0

eiωx dx

1

✭✸✳✾✮

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1 − s)ds

−∞
0

❚❛ ❝â

1

1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1 − s)ds ≤ ϕ

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds

C[0,1]

0

✭✸✳✶✵✮

0

✈ỵ✐
ϕ

C[0,1]

= sup |ϕ(s)|
0≤s≤1

❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✭✷✳✺✮✱ t❛ ❝â
1
1
0

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ds


=

ω2
1 − Eα,1 (−ω 2 )

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✸✳✶✵✮✱ t❛ ✤÷đ❝
1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1 − s)ds ≤ ϕ

ϕ C[0,1]
1 − Eα,1 (−ω 2 )
≤
C[0,1]
ω2
ω2

0

❙✉② r❛
1

≥

1

sα−1 Eα,α (−ω 2 sα )ϕ(1 − s)ds
0


✶✾

ω2
ϕ

C[0,1]

✭✸✳✶✶✮