nghiên cứu khoa học giảng dạy và học tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.63 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

160

Chương

7

Tương quan và

Hồi qui tuyến tính

1. HỆ SỐ TƯƠNG QUAN MẪU

Định nghĩa và các tính chất của Hệ số tương quan ρ của hai biến ngẫu
nhiên X và Y đã được đề cập đến trong đoạn 2.7. Trong thực tế, chúng ta khơng
biết ρ mà chỉ dựa vào mẫu để suy đốn về ρ.

1.1. Định nghĩa. Giả sử (X1, Y1); (X 2, Y2); . . .; (Xn, Yn) là mẫu ñược
thành lập từ vectơ ngẫu nhiên (X, Y). Biến ngẫu nhiên

( ).( )

( 1)
R

n

i i

i

X Y

X X Y Y

n S S

− −

−
∑
=

ñược gọi là Hệ số tương quan mẫu của X và Y.

Với mẫu cụ thể, giá trị hệ số tương quan mẫu được tính bởi:

2 2 2 2

. .

( 1) s .s ( . ) ( . )

i i i i

X Y

i i

x y n x y x y n x y

n x n x y n y

− −

= =

− − −

∑

trong đó, ký hiệu Σ chỉ
1

n
i=

∑

2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

161

quan ñến các giá trị khác nhau của hệ số tương quan tổng thể, ký hiệu ρ, dựa trên
phân phối mẫu của hệ số tương quan mẫu R.

2.1. Kiểm ñịnh giả thiết:

H0: ρ = 0 ñối với H1: ρ ≠ 0 (hoặc ρ > 0 hoặc ρ < 0)

Người ta chứng minh ñược rằng với giả thiết H0, phân phối mẫu của R đối
xứng; từ đó, thống kê

2
1

T

−

=

n
R

R

~ Student (n − 2) 
Trắc nghiệm t ñược dùng trong trường hợp này.

2.2. Kiểm ñịnh giả thiết:

H0: ρ = ρo ≠ 0 ñối với H1: ρ ≠ ρo

Với giả thiết H0, phân phối mẫu của R bị lệch nên không thể dùng trực tiếp

R. Trong trường hợp này, Fisher ñã ñề nghị một phép biến ñổi ñưa ñến thống kê

(

)

−

=

12

ln

11 R

R

Z

có phân phối tiệm cận chuẩn với kỳ vọng và phương sai lần lượt là
1

2ln 1 2( 1)

o o

o

Z n

+ ρ ρ

− ρ −

 

µ =   +

  và

2 1

Z n −

σ =

Trắc nghiệm U ñược dùng với U = Z*, biến chuẩn hóa của Z.

Phép biến ñổi trên ñược gọi là phép biến ñổi Fisher; nó cũng được dùng để
tìm khoảng tin cậy cho hệ số tương quan tổng thể.

2.3. Thí dụ. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên cỡ 18 được chọn từ tổng thể (X,Y) 
có phân phối chuẩn 2 chiều, người ta tính được giá trị hệ số tương quan mẫu r =
0,32. Ở mức ý nghĩa 5%, có sự tương quan tuyến tính giữa X và Y khơng?

Giải.

Chúng ta phải có quyết ñịnh giữa hai giả thiết:
H0: ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0.
Nếu H0 đúng thì BNN

2
18 2

1
T

R

R −

−

= ~ t(16)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

162

2
0, 32. 16

1, 35
1 (0, 32)

t = =

−

Vì |t| < 2,12 nên giả thiết H0 không thể bị bác bỏ ở mức ý nghĩa α = 5%.
Nói cách khác, chúng ta chấp nhận rằng X và Y không tương quan ở mức ý nghĩa
5%.

2.4. Thí dụ. Hệ số tương quan được tính trên mẫu cỡ 24, chọn từ tổng thể

có phân phối chuẩn 2 chiều, là r = 0,75. Ở mức ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhận xét
về tài liệu cho rằng hệ số tương quan tổng thể bằng 0,65.

Giải.

Kiểm ñịnh giả thiết H0: ρ = 0,65 ñối với H1: ρ ≠ 0,65.
Trắc nghiệm U 2 đi được sử dụng, với

~

(0,1)

Z

U

=

− µ

N

σ

Với mức α = 5% , gtth = u0,975 =1, 96;
với mẫu cụ thể, chúng ta có :

(

1 0,75

)

ln

1 0,75

0,9730

z

−

=

(

1 0,65

)

0,65

1 1

ln

1 0,65 2(24 1)

0, 7894;

21

Z Z

− −

µ

=

+

=

σ

=

và Z

0,8414

Z

z

u

− µ

=

Vì

u

<

gtth

nên ở mức ý nghĩa α = 5%, giả thiết H0 ñược chấp nhận,
i.e.tài liệu ñược chấp nhận. .

3. PHÂN TÍCH HỒI QUI

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

163

3.1. Định nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng một khơng gian xác suất 
có h.m.ñ. ñồng thời f . Kỳ vọng ñiều kiện của Y khi biết X lấy giá trị x, ký hiệu 
E(Y/x) ñược xác ñịnh bởi:

( / )

. ( / )

y

E Y x

=

∑

y f y x

nếu X và Y rời rạc,
hoặc

E Y x

( / )

y f y x dy

. ( / )

+ ∞
− ∞

=

∫

nếu X và Y liên tục

ϕ(x) = E(Y/x) là một hàm của x. ϕ ñược gọi là hàm hồi qui của Y theo X. 
Đồ thị của hàm ϕ ñược gọi là ñường hồi qui của Y theo X.

Định nghĩa tương tự cho khái niệm kỳ vọng ñiều kiện của X khi biết Y lấy
giá trị y, ký hiệu E(X/y). ψ(y) = E(X/y) là một hàm của y. ψ ñược gọi là hàm hồi 
qui của X theo Y. Đồ thị của hàm ψ ñược gọi là ñường hồi qui của X theo Y.

3.2. Định nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng một không gian xác suất. 
(a) Nếu ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx thì người ta nói rằng ϕϕϕϕ là hàm hồi qui 
tuyến tính của Y theo X. b ñược gọi là hệ số hồi qui tuyến tính Y theo X.

(b) Nếu ψ(y) = E(X/y) = c + dx thì người ta nói rằng ψψψψ là hàm hồi qui 
tuyến tính của X theo Y. d ñược gọi là hệ số hồi qui tuyến tính X theo Y.

Chúng ta cơng nhận định lý sau:

3.3. Định lý. Cho hai BNN X và Y tuân theo luật phân phối chuẩn hai 
chiều với các kỳ vọng

µ

1 và

µ

2, các phương sai dương

σ

12và

σ

22, và hệ số
tương quan ρ. Khi đó, hàm hồi qui của Y theo X và hàm hồi qui của X theo Y là
các hàm tuyến tính. Cụ thể:

(a) ϕ(x) = E(Y/x) = a + bx, với: 2
1

b

= ρ

và

a

= µ − µ

2

b

1

(b) ψ(y) = E(X/y) = c + dx, với: 1
2

d

= ρ

và

c

= µ − µ

1

d

2

3.4. Bài toán. Giả sử X là biến ngẫu nhiên ñộc lập và Y là biến ngẫu 
nhiên phụ thuộc vào X. Nếu chúng ta muốn ước lượng giá trị của Y bằng giá trị
của biến ngẫu nhiên θoX, với θ là một hàm thực nào đó, thì chúng ta mắc một sai
số

S(θ) = E[(Y − θoX)2],

gọi là Độ sai dự báo. Vấn ñề ñặt ra là chọn θ như thế nào ñể cho sự ước lượng là 
tốt nhất, theo nghĩa S(θ) ñạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

164

3.6. Chú ý. Khi dùng hàm hồi qui của Y theo X để tính xấp xỉ Y thì Độ 
sai dự báo là:

2 2 2

2 1

Y X

σ . = σ ( − ρ )

Chúng ta nhận thấy rằng sai số càng nhỏ khi ρ càng gần 1. Do đó,
chúng ta chỉ nên dùng hàm hồi qui ñể xấp xỉ Y trên cơ sở biết X khi ρ gần

bằng 1.

Chúng ta có thể tìm khoảng tin cậy cho trung bình của Y khi X lấy giá trị
x0. Tuy nhiên, trong giáo trình này chúng ta tạm hài lòng với dự báo của Y bằng
cách thay giá trị x0 vào phương trình đường thẳng hồi qui của Y theo X.

4. HÀM HỒI QUI TUYẾN TÍNH MẪU

Trong thực tế, chúng ta không khảo sát hết tổng thể, chưa biết phân phối
của vectơ ngẫu nhiên (X,Y) nên khó có thể xác định được dạng tốn học của hàm
hồi qui tổng thể. Chúng ta phải dựa trên mẫu ñể xây dựng hàm hồi qui mẫu sao
cho nó là ước lượng tốt nhất hàm hồi qui tổng thể.

Giả sử (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) là n cặp quan sát ñược trên mẫu ñược
thành lập từ vectơ ngẫu nhiên (X,Y). Để có một hình ảnh trực quan về mối tương
quan giữa X và Y, người ta biểu diễn mỗi cặp số (xi, yi) bằng điểm Mi có toạ ñộ
(xi, yi), (i = 1, 2, . . ., n) trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy. Tập hợp các ñiểm Mi (i = 1,
2, . . ., n) tạo nên một “ñám mây thống kê” và thường ñược gọi là Biểu ñồ phân 
tán. Biểu ñồ phân tán cho chúng ta cái nhìn khái quát về mức ñộ cũng như cấu 
trúc của sự tương quan giữa Y và X. Từ biểu ñồ phân tán, người ta thường nhận
thấy có một đường (cong hoặc thẳng) xấp xỉ dữ liệu (các ñiểm (xi, yi) tụ tập gần
đường đó). Nếu đường nói trên là đường thẳng thì Y có hồi qui tuyến tính theo X.

Hồi qui tuyến tính
 y

2 4 6 8

10
20

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

165

0 2 4 6 8
10

20
30

x

Từ mẫu trên, người ta xây dựng ñường hồi qui tuyến tính mẫu bằng cách
thay các số ñặc trưng của tổng thể bằng các ước lượng ñiểm tương ứng:

Hàm hồi qui tuyến tính mẫu của Y theo X: y = A + Bx, với 
r. Y

X

s
s

B= và A= y − Bx,
với ñộ sai dự báo mẫu:

2 1 r2 2

Y X Y

s . = ( − )s

Hàm hồi qui tuyến tính mẫu của X theo Y:
r X

Y

s
s

x = x + . (y − y) ,
với ñộ sai dự báo mẫu:

2 1 r2 2

X
X Y

s . = ( − )s

4.1. Thí dụ. Giả sử các giá trị quan sát ñược trên một mẫu của VTNN 
(X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều ñược cho trong bảng sau:

xi 1 3 4 6 8 9 11 14

yi 1 2 4 4 5 7 8 9

(a) Vẽ biểu ñồ phân tán cho dữ liệu trong bảng trên.

(b) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu.

Giải.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

166

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 13 1 4 15

x 
(b) Chúng ta lập bảng tính sau:

i

x

y

i 2

i

x

x y

i i 2

i

y

1
3
4
6
8
9
11
14
1
2
4
4
5
7
8
9
1
9
16
36
64
81
121

196
1
6
16
24
40
63
88
126
1
4
16
16
25
49
64
81
Σxi = 56 Σyi = 40

∑

x

= 524 Σxiyi = 364

∑

y

2i = 256

Các giá trị trung bình mẫu và ñộ lệch chuẩn nẫu:

x

= 7, sX = 4,342,

y

= 5, sY = 2,828.
Giá trị hệ số tương quan mẫu:

. 364 8 7 5

0,977

( 1) . 7 4,342 2,828

i i

X Y

x y n x y
r

n s s

− − × ×

= = =

− × ×

∑

r = 0,977.

(c) VTNN (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều nên hàm hồi qui
mẫu của Y theo X là hàm tuyến tính y = A + Bx, với

r.

Y

X

s

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

167

và

A

=

y

−

Bx

= 0,5455
Phương trình đường hồi qui mẫu của Y theo X là:

y = 0,6364x + 0,5455. 
Khi X lấy giá trị 12 thì dự báo Y có giá trị là:

yo = 0,6364 × 12 + 0,5455 = 8,1823

BÀI TẬP

Trong mỗi bài tập dưới ñây, giả sử rằng vectơ ngẫu nhiên ñang xét tuân theo
luật phân phối chuẩn hai chiều.

7.1.

Xem vectơ ngẫu nhiên (X,Y) mà một mẫu ngẫu nhiên gồm 8 cặp ñược
chọn ra như sau:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

yi 4 8 12 16 20 24 28 32

Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.

7.2.

Một cơ sở sản xuất ñã ghi lại số tiền ñã chi cho việc nghiên cứu phát
triển và lợi nhuận hàng năm của cơ sở trong 6 năm vừa qua như sau: (ñơn vị 106

VNĐ)

Chi nghiên cứu 5 11 4 5 3 2

Lợi nhuận 31 40 30 34 25 20

(a) Vẽ biểu ñồ phân tán cho dữ liệu trong bảng trên.

(b) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu giữa chi nghiên cứu và lợi nhuận.
(c) Chi nghiên cứu và lợi nhuận có thực sự tương quan không? (kết luận ở

mức ý nghĩa α = 2%).

(d) Viết phương trình đường hồi qui tuyến tính mẫu của lợi nhuận theo chi
phí nghiên cứu.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

168

yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172

xi 78 79 80 81 82 83 84 85

(a). Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y.

(b). Ở mức ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhận xét về tài liệu cho rằng hệ số
tương quan của X và Y là 0,9.

(c). Viết phương trình đường hồi quy mẫu của Y theo X.

7.4.

Một giảng viên dạy môn thống kê yêu cầu mỗi sinh viên phải làm
một đồ án phân tích dữ liệu và dự kỳ thi hết mơn. Sau đó, một mẫu gồm 10 sinh
viên ñược chọn ngẫu nhiên, ñiểm số ñược ghi lại như sau:

Điểm thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84
Điểm ñồ án 76 71 69 76 87 62 80 75 92 79

(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho điểm thi trung bình của một sinh viên
(b) Ở mức ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá về sự tương quan tuyến tính giữa hai

loại điểm trên.

7.5.

Để thực hiện một cơng trình nghiên cứu về mối quan hệ giữa chiều
cao Y(m) và đường kính X(cm) của một loại cây, người ta quan sát trên một mẫu
ngẫu nhiên và có kết quả sau:

xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49

yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10

(a). Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y và cho nhận xét.
(b) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Hãy dự báo

chiều cao của cây có đường kính 45 cm.

7.6.

X (%) và Y(kg/mm2) là hai chỉ tiêu chất lượng của một loại sản
phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm, người ta ñược các giá trị (xi, yi) của vectơ
ngẫu nhiên (X, Y) như sau:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

169

(b) Có tài liệu cho rằng trung bình chỉ tiêu X là 6,5%. Hãy cho nhận xét về
tài liệu trên ở mức ý nghĩa 5%.

(d) X và Y có thực sự tương quan nhau không? (ở mức ý nghĩa α = 3%).
(e) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X.

7.7.

Nghiên cứu lượng phân bón (X kg) được dùng để bón cho ruộng trong
một vụ; Y(kg/1000m2) là năng suất lúa. Thống kê ở 30 hộ gia đình, kết quả như
sau:

Số hộ 3 5 2 6 4 3 5 2

xi 40 40 50 50 50 60 60 60

yi 270 280 280 290 300 300 310 320
(a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y.

(b) Kiểm ñịnh giả thiết cho rằng hệ số tương quan của X và Y bằng 0,9 ở
mức ý nghĩa α = 5%

7.8.

Để nghiên cứu sự tương quan giữa chiều cao X (cm) và sức nặngY
(kg) con người, quan sát trên một mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất quả sau:

yk

xi [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, 65)
[140, 145)

[145, 150)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)

1 4

2 6 1

10 8 2

8 6 3

1 1
(a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho µX và µY.

(b) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

170

yi (tấn) 24 25 26 26 25 27 28 30

xi (ngàn ñồng) 5 4,9 4,8 4,7 5,2 5 4,6 4,5

yi (tấn) 30 30 29 29 29 28 28 28

xi (ngàn ñồng) 4,2 4,3 4,4 4,3 4,2 5 4,8 4,6

Cho biết X và Y tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều.

(a) Tìm khoảng tin cậy 90% cho lượng hàng bán được trung bình trong
một tháng (cho biết biến ngẫu nhiên Y tuân theo luật phân phối chuẩn).
(b) Một báo cáo cho rằng lượng hàng bán được trung bình trong một tháng
không dưới 28,5 tấn. Hãy cho nhận xét về báo cáo đó ở mức ý nghĩa
1%.

(d) Tài liệu ở một công ty tư vấn cho rằng hệ số tương quan của X và Y là
− 0,75 thì có chấp nhận được khơng? (kết luận ở mức ý nghĩa α =
5%).

(e) Viết phương trình đường hồi quy mẫu của lượng hàng bán ñược trong
một tháng theo giá bán.

7.10. Chiều dài xương ñùi X(cm) và chiều cao Y(cm) của những người 
đàn ơng ñộ tuổi 20 - 30 là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Đo
chiều dài xương ñùi và chiều cao của 10 người ñàn ông, ñược chọn ngẫu nhiên, ở
ñộ tuổi trên. Kết quả ñược cho trong bảng sau:

xi (cm) 44 46 47 47 48 49 50 50 51 52

yi (cm) 155 159 163 166 169 172 174 176 176 179

(a) Tìm khoảng tin cậy 96 % cho chiều cao trung bình của những người đàn
ơng độ tuổi 20 - 30.

(b) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu của X và Y. Hãy cho nhận xét về
mức ñộ tương quan giữa X và Y.

(c) Một tài liệu y khoa cho rằng hệ số tương quan của X và Y là 0,90. Hãy
cho nhận xét về tài liệu trên ở mức ý nghĩa 5%.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chng 7 TNG QUAN VÀ HI QUI TUYN TÍNH

nghiên cứu khoa học giảng dạy và học tập

<b>160</b>

<i>Chương</i>

<i><b>7</b></i>

<b>Tương quan và </b>

<b>Hồi qui tuyến tính</b>

∑

∑

∑

∑

∑

<b>161</b>

<b> </b>

T

=

<i>R</i>

(

)

=

<b>ln</b>

<i><b>Z</b></i>

<b>162</b>

~

(0,1)

<i>Z</i>

<i>U</i>

=

− µ

<i>N</i>

σ

(

)

ln

0,9730

<i>z</i>

=

=

(

)

ln

0, 7894;

µ

=

+

=

σ

=

0,8414

<i>u</i>

=

=

<i>u</i>

<

gtth

<b>163</b>

( / )

. ( / )

<i>E Y x</i>

=

∑

<i>y f y x</i>

<i>E Y x</i>

( / )

<i>y f y x dy</i>

. ( / )

=

∫

µ

µ

σ

σ

b

= ρ

a

= µ − µ

b

d

= ρ

c

= µ − µ