Bài tập có đáp án chi tiết về đổi biến để chứng minh bất đẳng thức | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (129.6 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: 3
2

a b c

b c c a a b     

Ta đặt

2
y z x
a

x b c

x z y

y c a b

z a b x y z

c

 




 

 

 

 

   

 

   

   





nên BĐT 1 3

2 2

y z x x z y x y z

x y z

       

    

 

x y y z z x 2 x y. 2 y z. 2 z x. 6

y x z y x z y x z y x z

     

           

 

    (đúng)

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  a b c 

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3 . CMR:

3
xy yz zx

z  x  y 

Đặt

xy
a

z
yz
b

x
zx
c

y
















với a b c , , 0từ giả thiết x2y2z2 3  ab bc ca  3

Và BĐT cần CM  CM BĐT a b c  3

mặt khác ta có BĐT sau: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3(ab bc ca) 3

           

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  x  y z 1

VD3: Cho x, y, z >0 thoả x y z  1. CMR 1 4 9 36
x yz 

Từ giả thiết ta có thể đặt:

a
x

a b c
b
y

a b c
c
z

a b c




  







 





  



với a,b,c >0

Nên BĐT  CM a b c 4.a b c 9.a b c 36

a b c

     

  

b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22

a a b b c c

      

4. 9. 4. 9. 2 .4. 2 .9. 2 4. .9. 22

b a c a c b b a c a c b

a b a c b c a b a c b c

     

           

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Dấu “=” xảy ra

1
6

2 1

3 3

1
2
x

b a

y
c a

z







 

    



 






VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR xyz(x y z y z x z x y  )(   )(   )

Ta đặt

x b c
y c a

z a b
 



 


  


với a b c , , 0nên BĐT  CM BĐT (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

mặt khác ta có (a b b c c a)( )( ) 8abc a b c( )2 b c a( )2 c a b( )2 0

          

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  x y z

VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR: a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

b c a

     

      

     

     

Do abc 1 nên ta có thể đặt
x
a

y
y
b

z
z
c

x

















với x y z , , 0

Nên BĐT có thể viết lại x 1 z y 1 x z 1 y 1

y y z z x x

     

      

     

   

 

 xyz(x y z y z x z x y  )(   )(   ) (đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.

Dấu “=” xảy ra  a b c  1

VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

CMR : 3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2

a b c b c a c a b 

Ta đặt
1

1
a

x

b
y

c
z

















với x y z , , 0 và do abc 1 nên xyz 1

Nên BĐT

2 2 2 3

x y z

y z z x x y

   

  

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:



 







2 2 2

x y z

y z z x x y x y z

y z z x x y

 

           

    

 

2 2 2 33 3

2 2 2

xyz

x y z x y z

y z z x x y

   

      

  

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Dấu “=” xảy ra  a b c  1

VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z   2.

CMR: 3

2
x y z  xyz

Từ 2 1 1 1 1

1 1 1

xyz x y z

x y z

       

  

Ta đặt 1 , 1 , 1

1x a 1y b 1z c với a b c , , 0

1 1 1

, ,

a b c b a c c a b

x y z

a a b b c c

     

       Nên BĐT cần CM CM BĐT

. . .

a b b c c a

b c c a   c a a b   a b b c  

Mặt khác ta có: . 1
2

a b a b

b c c a a c b c

 

   

     

. 1
2

b c b c

c a a b b a c a

 

   

     

. 1
2

c a c a

a b b c c b a b

 

   

     

Nên

1 3

. . .

2 2

a b b c c a a b b c c a

b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b

 

         

             

Vậy BĐT luôn đúng

Dấu “=” xảy ra  x  y z 2

Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

1, a b c 3

b c a c a b a b c        

2, 1 1 1 1 1 1

a b c b c a c a b         a b c

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2 y2 z2 2xyz 1

    . CMR:

1, 3
2
x y z  

2, 1 1 1 4(x y z)
xyz   

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt x a ,y b ,z c

b c c a a b

  

  

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b c  1.

CMR: 1 1 1 2 22 1
abc
ab  bc  ca   

Bài 4: Cho a b c , , 0 thoả mãn abc 1. CMR: 1 3 6
a b c ab bc ca

 

   

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
1, a2 b2 c2 4 3S

   với S là diện tich tam giác

2, a b a b2 ( ) b c b c2 ( ) c a c a2 ( ) 0

     

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN

“Tìm được lời giải cho một bài tốn là một phát minh” (Polya). Sẽ thơng minh hơn nếu ta
biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài tốn mới. Bài viết này đề cập đến một
bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.

Bài tốn: Với hai số dương x và y ta có:

(1 1)
4

1
1

y
x

y

x   (1)

Đẳng thức xảy ra khi x =y.

Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh
phổ biến nhất.

Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:

(x  y)20 (x + y)2 (1 1)

4
1
1
4

y
x
y
x

xy  





Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.

Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có

x  y 2 xy,

xy
y

x
y

x

2
1
.
1
2
1
1






Từ đó: (x  y)( (1 1)
4

1
4
)
1
1

y
x
y
x
y

x     

Và đẳng thức xảy ra khi x =y.

Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

(1 1)
4

1
1
);
1
1
(
4
1
1

);
1
1
(
4
1
1

a
c
a
c
c
b
c
b
b
a
b

a        

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:

(1 1 1)
2

1
1
1

c
b
a
a
c
c
b
b

a        (2)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

( 1 1 1 )
2

1
2

a
c
c
b
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b

a              (3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có

Bài tốn 2. Với a, b, c là các số dương:

(1 1 1)
4

1
2

c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b

a           (4)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Chú ý: Nếu thêm giả thiết 1114
c
b

a thì bài tốn 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học

và Cao đẳng khối A, năm 2005.

Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:

a
c
c
b
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b

a 3

1
3
1
3
1
2

1
2















 (5)

Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

a b b c a a b b c a a b c













 2

2
)

2
(
)
3
(

4
2

1
3

b c c a b b c c a b b c a













 2

2
)

2
(
)
3
(

4
2

1
3

c a a b c c a a b c c a b













 2

2
)

2
(
)
3
(

4
2

1
3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Đẳng thức xảy ra khi:

a

b

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a





























2

3

2

3

2

3

Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó ln thỏa mãn

đẳng thức sau:

2
.
2
.
2
.
4
1
2
.
2
1
2

2
.
2
1
2
2
.
2
1
2
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg

B
tg
A
tg







Giải: Đặt x tg

2
,
2
,
2
C
tg
z
B
tg
y
A


 thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:

1 xyz 1 yzx 1 zxy 4xyz1





Ta có:
xyz
xyz
zx
yz
xy
z
y
x
zx
xy
z
y
yz
zx
y
x
yz
xy
z
x
xy
zx
z

yz
xy
z
zx
yz
y
zx
xy
y
yz
zx
x
yz
xy
x
xy
zx
yz
xy
z
zx
yz
zx
xy
y
yz
zx
yz
xy
x

xy
z
zx
y
yz
x
4
1
4
1
1
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
1
1
1
















































































Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.

Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y +

1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

1 1 1







z
z
y
y
x
x
Q

Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và


















c
b
a
c
c
b
b
a
a

Q 1 1 1 3 1 1 4

Theo bất đẳng thức (1) ta có:

3
1
3
8
3
3
8
16
4
4
4

)
1
1
(













Q
c
b
a
c
b
a
c
b
a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy:

3
1


MaxQ đạt được khi















1

2

1 z

y

x

Bài tốn 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A tx y y yz zy xz zx xt













 1 1

Với x, y, z, t là các số dương.

Giải : Ta có:

0
4
)
(
4
4
4
)
(
4
)
(
4
1

1
)
(
1
1
)
(
4
4
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
1
(
















































































t
z
y
z
t
z
y
x
t
z
y
x
z
t
t
z
y
x
y
x
t

x
z
y
z
t
x
z
y
t
y
x
t
x
t
z
x
z
x
y
z
y
z
t
y
t
y
x
t
x
x

z
x
z
z
y
z
y
y
t
y
t
x
A

Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.

Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương
tự:

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:











































b
c
a
b
c
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
a
c
c
b
b
a
b
a
c
a
c
b
c

b
a
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
/
2
4
1
.
1
1
1
)
(
3

2
1
)
(
3
2
1
)
(
3
2
1
/
1

Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc =

ab + bc + ca thì:

96
17
3
2
1
3
2
1
3
2
1










 b c b c a c a b
a

Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

xy
xy
y
x

A 2 1 2  2 4




Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB =

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

b
a

c
ca
a
c
b
bc
c
b
a
ab
T
2
2

2      





Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh

rằng:















</div>


Bài tập có đáp án chi tiết chương hàm số nhiều biến

Phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Bài tập về sóng dừng có đáp án chi tiết

áp dụng hai bài toán cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Bài tập Di Truyền hay có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm môn sinh phần tiến hóa có đáp án chi tiết

BÀI tập NGỮ PHÁP TIẾNG ANH DÀNH CHO NGƯỜI MẤT GỐC TIẾNG ANH-CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bài tập ứng dụng phép dời hình có đáp án chi tiết

Tuyển tập các bài toán hình học phẳng Oxy hay nhất ôn thi THPT quốc gia có đáp án chi tiết

Bài Tập Lượng Giác Có Đáp Án Chi Tiết

Bài tập có đáp án chi tiết về đổi biến để chứng minh bất đẳng thức | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

<b>Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức</b>



 

 







<b>TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN</b>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>a</i>









































2

3

2

3

2

3



















1

2

1

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về