<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CẤP SỐ CỘNG</b>
<b>A.TÓM TẮT GIÁO KHOA</b>

1. Cấp số cộng là một dãy số ( vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d
khơng đổi, nghĩa là:

(u ) là cấp số cộng n   n 2, un un 1 d
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2.Định lý 1: Nếu (u ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng n
( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số
hạng đứng kề nó trong dãy, tức là k 1 k 1

k

u u

u

2

  



Hệ quả: Ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a c 2b .
1). Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u và cơng sai d thì số hạng 1
tổng quát u của nó được xác định bởi cơng thức sau: n un u1



n 1 d



2). Định lý 3: Giả sử



un



là một cấp số cộng có cơng sai d.

Gọi
n

n k 1 2 n

k 1

S u u u ... u




_

   

( S là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có :n



1 n



1





n

n 2u n 1 d
n u u

S

2 2

   

 _ _

  .

<b>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.</b>
<b>DẠNG 1: Chứng minh một dãy số </b>



un



<b> là cấp số cộng.</b>
<b>PHƯƠNG PHÁP</b>

Để chứng minh dãy số



un



là một cấp số cộng, ta xét Aun 1  un

_{Nếu A là hằng số thì}



u_n



là một cấp số cộng với cơng sai dA.

_{Nếu A phụ thuộc vào n thì}



u_n



khơng là cấp số cộng.

<b>Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và cơng sai </b>
của cấp số cộng đó:

a). Dãy số



un



với un 19n 5 b). Dãy số



un



với un 3n 1
c). Dãy số



un



với

2
n

u n n 1 d). Dãy số



un



với

 

n
n

u  1 10n
<b>LỜI GIẢI</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta có un 1  un 19 n 1







 5



19n 5



19. Vậy



un



là một cấp số cộng với
công sai d19và số hạng đầu u1 19.1 5 14  .

b). Dãy số



un



với un 3n 1

Ta có un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1)     3. Vậy



un



là một cấp số cộng với công
sai d3và số hạng đầu u1 3.1 1 2.

c). Dãy số



un



với
2
n

u n n 1

Ta có un 1  un 



n 1



2



n 1



 1



n2n 1



2n 2 , phụ thuộc vào n
Vậy



un



không là cấp số cộng.

d). Dãy số



un



với

 

n
n

u  1 10n

Ta có un 1 un

 

1n 1 10 n 1





 

1n 10n

 

1n 10

 

1n 10 2

 

1n


       __   __        
, phụ thuộc vào n. Vậy



un



khơng là cấp số cộng.

<b>DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của </b>
<b>cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.</b>

<b>PHƯƠNG PHÁP</b>

Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn u1 và d. Sau đó giải hệ phương trình
này tìm được u1 và d.

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng thức:





k 1

u u  k 1 d _.

Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 và d. Sau đó áp dụng cơng
thức:



1 k



1

k

k 2u (k 1)d
k u u

S

2 2

   

 _ _

 

<b>Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu </b>
tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:

a) 5
9
u 19
u 35
 






 b)

2 3 5

4 6

u u u 10
u u 26

   




 



 c)

3 5
12

u u 14
s 129

  







 d)

6

2 2

2 4

u 8

u u 16

 



 



<b>LỜI GIẢI</b>

a) 5

 

9

u 19
1
u 35
 






 . Áp dụng công thức n 1





u u  n 1 d _{, ta có:}

 

1 1

1

u 4d 19 u 3

1

u 8d 35 d 4

    

 

_ _

   

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:



1



_

_

20

20 2u 19d

S 10 2.3 19.4 820

2


   

b) 2 3 5

 

4 6

u u u 10
1
u u 26

   




 



 . Ta cũng áp dụng công thức n 1





u u  n 1 d _:

 

1



1



1 1 1

1

1 1

u d u 2d u 4d 10 u 3d 10 u 1

1

2u 8d 26 d 3.
u 3d u 5d 26

           

  

    

  

     

  



Vậy số hạng đầu tiên u1 1, công sai d3.
Số hạng thứ 20: u20u119d 1 19.358.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:



1



_

_

20

20 2u 19d

S 10 2.1 19.3 590

2


   

c) 3 5

 

12

u u 14
1
s 129

  







 . Áp dụng công thức n 1





u u  n 1 d _, 1

n

n 2u (n 1)d
S

2

   

 



Ta có:

 





1

1 1 ₁

1 12 1

5
u

u 2d u 4d 14 _2u _{6d 14} ₂

1

6 u u 129 12u 66d 129 3

d .
2




     _ _ _ 

  

    

  __  

 

 



Vậy số hạng đầu tiên 1

5
u

2

 , công sai d 3
2
 .

Số hạng thứ 20: u₂₀ u₁ 19d 5 19.3 31

2 2

     .

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: S₂₀ 20 2u



1 19d



10 2.5 19.3 335

2 2 2

 _ _

  _  _

 

d)

















1 1

6

2 2 2 2

2 2

2 4 1 1

u 5d 8 u 8 5d

u 8

u u 16 u d u 3d 16 8 5d d 8 5d 3d 16

     

 

  

 

  

           

  

 _ _









 

1

2 2

u 8 5d

8 4d 8 2d 16
  


 

    




Giải

 

 _:_20d2 _{96d 112} ₀ _d 14_{d = 2}
5

      .

Với 1

14

d u 6

5

  

Số hạng thứ 20: 20 1

14 236
u u 19d 6 19.

5 5

     .

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: 20



1



20 2u 19d ₁₄

S 10 2.( 6) 19. 412

2 5

 _ _

  _   _

 

Vớid 2 u12

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tổng của 20 số hạng đầu tiên:



1



_

_

20

20 2u 19d

S 10 2.( 2) 19.2 340

2


    

<b>DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức:</b>

<b>Ví dụ: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng:</b>
a)._a2__2bc__c2__2ab

b).a28bc



2b c



2

c)._a2__{ab b ,a}_ 2 2__{ac c , b}_ 2 2__{bc c}_ 2_{là cấp số cộng.}
<b>LỜI GIẢI</b>

a). Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: a c 2ba2b c

Ta có:a2 2ab a 2a a c







ac c 2b c







c2 2bc

Vậy 2 2 2 2

a  2abc  2bca 2bcc 2ab.

b). Ta có a28bc



2b c



28bc

2 2

4b 4bc c 8bc

    4b24bc c 2 



2b c .



2

c). Ta cần chứng minh:



_a2__{ab b}_ 2

 

_ _b2__{bc c}_ 2



__{2 a}



2 __{ac c}_ 2



2 2 2

2b ab bc a 2ac c

     



 



2

2

2b b a c a c

    





2

2 2

2b 2b 2b

  

2 2

4b 4b

  (đúng).

<b>BÀI TẬP TỔNG HỢP</b>

<b>Câu 1: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:</b>
a). 7

15
u 27
u 59
 






 b).

9 2

13 6
u 5u
u 2u 5
 



 



 c).

2 4 6

8 7 4

u u u 7

u u 2u
   




 





d). 3 7
2 7

u u 8

u .u 75
  







 e).

6 7

2 2

4 12
u u 60
u u 1170

  




 



 f).

2 2 2

1 2 3

3

u u u 155

s 21

   








<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi số hạng đầu là u1 và công sai là d.

a). 7 1 1

15 1

u 27 u 6d 27 u 3

u 59 u 14d 59 d 4

      

  

 

  

     

  



b).









1 1

9 2 1 1

13 6 1 1 1

u 8d 5 u d

u 5u 4u 3d 0 u 3

u 2u 5 u 12d 2 u 5d 5 u 2d 5 d 4

   

      

   

  

   

          

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) 2 4 6

 

8 7 4

u u u 7

1
u u 2u

   


 



 













1 1 1 1 1

1

1 1 l

u d u 3d u 5d 7 u d 7 u 5

1

2u 5d 0 d 2.
u 7d u 6d 2 u 3d

           
  
 _  _  _
  
      



d) 3 7

 

2 7

u u 8

1
u .u 75
  






 







 





 





 



 

1 1

1 1 1 1

1 1

u 2d u 6d 8 4d 8 d 2

1

u d u 6d 75 u 2 u 12 75
u d u 6d 75

        
  
_  _ _
      
    
  


Giải

 

12 1 1

1
u 3
u 14u 51 0

u 17
 


      



Vậy u1 3

d 2
 





 hoặc
1
u 17
d 2.
 






e). 62 7 2

 

4 12

u u 60

1

u u 1170

  


 



 

















 

1
1 1
2 2
2 2

4 12 1 1

1

2 2

2u 20d 60
u 6d u 14d 60

1

u u 1170 u 3d u 11d 1170

u 30 10d

30 10d 3d 30 10d 11d 1170

  
    
 
 _ _
     
 
 _
  

 
      



Giải

  

 : 30 7d



2



30 d



2 1170. 50d2 360d 630 0 d 21 d = 3
5

      

Với 1

21

d u 12

5

   . Vớid 3 u1 0

f).

2 2 2

1 2 3

3

u u u 155

s 21
   






Ta có: S3 21 u1u2u3 21 u1u1d u 12d21 d 7 u .1

Ta có: 2 2 2 2





2





2

1 2 3 1 1 1

u u u 155 u  u d  u 2d 155





2





2





2

2 2

1 1 1 1 1 1 1

u u 7 u u 14 2u 155 u 49 14 u 155

            

1 1 1 1

2u 28u 90 0 u 9 u 5

       

Vớiu1 9 d2. Vớiu1 5 d2

<b>Câu 2: Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:</b>
1) 3
5
S 12
S 35
 





 2)

1 2 3

2 2 2

1 2 3

u u u 9

u u u 35

   


  



3) 12 2 2 3 2 4 2

1 2 3 4

u u u u 16

u u u u 84

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

4) 5

1 2 3 4 5
S 5

u .u .u .u .u 45

 







 5)
4

1 2 3 4

S 20

1 1 1 1 25

u u u u 24

 


   



6) 12 2 2 3 2 4 25 2

1 2 3 4 5

u u u u u 20

u u u u u 170

     




    



 7)

1 2 3

1 2 3

u u u 12

u .u .u 8
   







 8)

1 5
3 4
5
u u
3
65
u .u
72

 



 _


<b>LỜI GIẢI</b>
1) 3
5
S 12
S 35
 














1
1 1
1
1
3

2u 2d 12 _2u _2d ₈ _u ₁

2

5 2u 4d 14 d 3.

2u 4d 35
2

 
 _ _ _ _ _
  
 _  _ _
   
 

 _ _



2) 12 2 2 3 2

1 2 3

u u u 9

u u u 35

   


  











1 1 1

2 2

2

1 1 1

u u d u 2d 9

u u d u 2d 35

     

 
    











1 1 1

2 2 2 2

u 3 d u 3 d u 3 d

d 2
d 4

3 d 3 3 d 35

   _ _{ } _ _{ }
  
_ _  _


      
 


Với d 2 u1 1 . Với d2 u1 5.

3) 12 2 2 3 2 4 2

1 2 3 4

u u u u 16

u u u u 84

    


   



1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 3 4

u u d u 2d u 3d 16

u u u u 84

       

 
   



 













 

1

2 2 2

2

1 1 1 1

4u 6d 16 1

u u d u 2d u 3d 84 2

  

 
      


Từ

 

1

16 6d 3

1 u 4 d

4 2



    thay vào

 

2 được:

2 2 2 2

3 3 3 3

4 d 4 d d 4 d 2d 4 d 3d 84

2 2 2 2

       

          

       

       

2 2 2 2

2 2

3 d d 3d

4 d 4 4 4 84 64 5d 84 d 4 d 2

2 2 2 2

       

_  _ _  _ _  _ _  _        

       

Với d 2 u1 1 . Với d2 u1 7

4) 5

1 2 3 4 5
S 5

u .u .u .u .u 45
 












 

 

 



1 1 1

1 1 1 1 1

5

2u 4d 5 2u 4d 2 u 1 2d (1)
2

u u d u 2d u 3d u 4d 45 (2)

       

 

 _ _ _ _ _

Thay (1) vào (2):



1 2d 1 2d d 1 2d 2d 1 2d 3d 1 2d 4d

 

 

 

 



45

          



1 2d 1 d 1 d 1 2d

 

 

 



45



1 2d 1 2d 1 d 1 d

 

 

 



45

           



_{1 4d}2

 

_{1 d}2



_45.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>



_{1 4t 1 t}

 



₄₅ _4t2 _{5t 44} ₀

       

t 4

  _{(nhận) hoặc}_t 11

4

 ( loại) __d2 _{ }₄ _d_₂
Với d 2 u1 3. Với d2 u1 5.

5).
4

1 2 3 4

S 20

1 1 1 1 25

u u u u 24

 



   






1



1 2 3 4

2 2u 3d 20

1 1 1 1 25

u u u u 24

  



 

   




 

1
3

u 5 d

2

1 1 1 1 25

2

3 3 3 3 24

5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d

2 2 2 2


 



 

   



       



 

2 2

1 1 1 1 25 10 10 25

2

3 3 d d 24 9d d 24

5 d 5 d 5 5 25 25

2 2 2 2 4 4

   

   

        

 _ _   _ _  _ _

   

   

Đặt:
2
d

t; t 0.
4  











 





 



2 25 t 2 25 9t

10 10 25 5 100 20t 5

25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24

   _

      

     



 

 



2 145

24 20 4t 25 9t 25 t 9t 154t 145 0 t t = 1

9

           

2

145 145 145

t d d

9 9 3

     

Vớid 145 u₁ 5 145

3 2

    . Vớid 145 u₁ 5 145

3 2

   

2

t 1 d 1 d 1

     

Với 1

3 7
d 1 u 5

2 2

     . Với 1

3 13

d 1 u 5 .

2 2
    

6) 12 2 2 3 2 4 25 2

1 2 3 4 5

u u u u u 20

u u u u u 170

     




    




1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5

u u d u 2d u 3d u 4d 20

u u u u u 170

         


 

    




















 

1 1

2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

5u 10d 20 u 4 2d

u u d u 2d u 3d u 4d 170 2

     


 

        




Thay:u1  4 2d vào

 

2 được:



4 2d



2



4 2d d 



2



4 2d 2d 



2



4 2d 3d 



2



4 2d 4d 



2 170





2





2 ₂





2





2

4 2d 4 d 4 4 d 4 2d 170

         

2 2

80 10d 170 d 9 d 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Vớid 3 u1  4 62. Vớid3 u1  4 6 10.

7). 1 2 3
1 2 3

u u u 12

u .u .u 8
   






1 1 1

1 2 3

u u d u 2d 12
u .u .u 8

     

 






 



 



 



 

1
1

1 1 1 1 1 1

u 4 d 1
3u 3d 12

u u d u 2d 8 u u d u 2d 8 2
  
  
 
  
     
 
 

Thay (1) vào (2) ta được:



 4 d

 

 4 d d

 

 4 d 2d



 8



4 d d 4

 





2

2 2

d 16 2 d 18 d 3 2

      

Vớid3 2 u1 4 3 2 . Vớid3 2 u1 4 3 2.

8)
1 5
3 4
5
u u
3
65
u .u
72

 



 _





 



1 1
1 1
5
u u 4d .

3
65
u 2d u 3d

72

  



 
 _ _ _



1 1 1

5 ₅ ₁

u 2d u 2d u

6 ₆ ₃

5 _{2d 2d} 5 _{2d 3d} 65 5 13 1

d d .

6 6 72 6 12 4

 _{ }  
  
  
  
_  _  _
   
_ _ _ _{ } _ _ __  _ _  _


     



<b>Câu 3: Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, </b>
biết rằng:

a). 12
18
S 34
S 45
 





 b).
5
10
u 10
S 5
 





 c).

20 10 5

S S S

5  3 2 d).

20 10
15 5
S 2S
S 3S
 





<b>LỜI GIẢI</b>
a).









1
1
12 1

18 1 1

12 2u 11d 32

u
34

S 34 ₂ 6u 33d 17 ₉

S 45 18 2u 17d 2u 17d 5 1

d
45 ₉
2
  


 _
    
   
  
   
    
 
  _{ }
 _
 






n 1
33 1

u u n 1 d n

9 9
    

b).

_

_

1

5 1 1

1

10 1

u 4d 10

u 10 u 4d 10 u 86

10 2u 9d

S 5 ₅ 2u 9d 1 d 19

2
  
      
   
   
   
     
   
 






n 1

u u  n 1 d 105 19n  

c).

















1 1

20 10

20 10 5

10 5 1 1

20 2u 19d 10 2u 9d

S S

S S S ₅ ₃ ₁₀ ₆

S S

5 3 2 10 2u 9d 5 2u 4d

3 2 6 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1 1

n
1

2u 55d 0 u 0

u 0
2u 24d 0 d 0

    

 

  

 

  _ 

 



d).

















1 1

20 10

n 1

1

15 5 1 1

20 2u 19d 20 2u 9d

S 2S d 0

u u
u

S 3S 15 2u 14d 15 2u 4d

   

   

  

    

  



    

 

 




<b>Câu 4: Cho cấp số cộng:</b>u ; u ; u ;....1 2 3 có cơng sai d.
1). Biết u2u2240. TínhS23

2). Biết u1u4u7u10u13u16 147. Tính u6u 11  u1u6u11u16
4). Biết u4u8u12u16224. Tính:S19

5). Biếtu23u5729 . Tính:u10u70u1573u1
<b>LỜI GIẢI</b>
1). Biết u2u2240. TínhS23

Ta có:u2u2240 u1d u 121d40 2u122d40
Mà S₂₃ 23



2u₁ 22d



23.40 460.

2 2

   

2). Biết u1u4u7u10u13u16 147. Tính u6u 11  u1u6u11u16
Có: u1u4u7u10u13u16147.

1 1 1 1 1 1

u u 3d u 6d u 9d u 12d u 15d 147.

           

1 1

6u 45d 147 2u 15d 49.

     

Ta có:u6u11u15d u 110d2u115d49.
Ta có: u1u6u11u16u1u15d u 110d u 115d





1 1

4u 30d 2 2u 15d 2.49 98.

     

4). Biết u4u8u12u16224. Tính:S19
Có:u4u8u12u16 224

1 1 1 1 1

u 3d u 7d u 15d 224 4u 36d 224 u 9d 56

            

Ta có: 19



1





1



19

S 2u 18d 19 u 9d 19.56 1064.
2

     

5). Biếtu23u5729 . Tính:u10u70u1573u1

Ta có: u23u5729 u122d u 156d29 2u178d29.
Ta có: 3u1u10u70u157 3u1u19d u 169d u 1156d
6u1234d3 2u



178d



3.2987

<b>Câu 5: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và </b>
tổng các bình phương của chúng là293.

<b>LỜI GIẢI</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

 

 

1 2 3

2 2 2

1 2 3

u u u 27 1
u u u 293 2

   




  




 

1 u1u1 d u12d273u13d27 d 9 u .1

 

2





2





2

1 1 1

2  u  u d  u 2d 293





2





2





2

2 2

1 1 1 1 1 1 1

u u 9 u u 18 2u 293 u 81 18 u 293

            

2

1 1 1 1

2u 36u 112 0 u 14 u 4

       

Vớiu114 d5 u2 9; u3 4.
Vớiu1 4 d 5 u2 9; u3 14.

<i>Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của CSC là </i>u1  u d, u2 u, u3 u d<i> với cơng sai d</i>

<b>Câu 6: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của </b>
chúng là 384.

<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u , u ,u , u1 2 3 4 có cơng sai d.

Theo đề bài ta có:

 

 

1 2 3 4

1 2 3 4

u u u u 20 1
u .u .u .u 384 2

    


 






 

1 u1u1d u 12d u 13d20

1 1

20 6d 3

4u 6d 20 u 5 d.

4 2



      

 

2  u u1



1d u

 

12d u

 

13d



384.

3 3 3 3

5 d 5 d d 5 d 2d 5 d 3d 384

2 2 2 2

       

_  _{ }   _{ }   _{ }   _

       

2 2

3 3 d d 9d d

5 d 5 d 5 5 384 25 25 384.

2 2 2 2 4 4

   

       

_  _{ }  _{ }  _{ }  _ _  _{ }  _

           

Đặt
2
d
t , t 0.

4

 



 



2

1 2

241

25 9t 25 t 384 9t 250t 241 0 t t 1.
9

           

Cách 2: gọi u1 u 3d, u2  u d, u3  u d, u4  u 3d
Ta có:u1u2u3u4 20 4u20 u5.

Và: u .u .u .u1 2 3 4 384.



u 3d u d u d u 3d

 



 



 





384



_u2 _9d2

 

_u2 _d2



₃₈₄



_{25 9d}2

 

_{25 d}2



_384.

       

Đặt: _t__{d ,t}2 __0.

2 241

9t 250t 241 0 t 1 t=
9

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Với _t_{ }₁ _d2 _{ }₁ _d__1.

1 2 3 4

d 1 u 2; u 4; u 6; u 8

      

1 2 3 4

d 1 u 8; u 6; u 4; u 2

      

Với: t 241 d 241

9 3

  

1 2 3 4

241 241

d u 5 241; u 5 241; u 5 ; u 5 241

3 3

          

1 2 3 4

241 241 241

d u 5 241; u 5 ; u 5 ; u 5 241.

3 3 3

          

<i>Ta có thể gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là</i>

1 2 3 4

u  u 3d, u  u d, u  u d, u  u 3d<i>_{với công sai 2d.}</i>

<b>Câu 7: Định x để 3 số </b>_{10 3x, 2x}_ 2__{3,7 4x}_ _{theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.}
<b>LỜI GIẢI</b>

Theo tính chất cấp số cộng ta có:



10 3x

 

 7 4x



2 2x



23



2 2 11

17 7x 4x 6 4x 7x 11 0 x 1 x
4

            .

<b>Câu 8 : Một tam giác vng có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính </b>
độ dài ba cạnh của tam giác theo a.

<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi của tam giác: x y z  3a₍₁₎

Tính chất của CSC có x z 2y₍₂₎

Vì tam giác vng nên có: x2y2 z2 (3)

Thay (2) vào (1) được 3y3a ya_{, thay y = a vào (2) được:}
x z 2a x2a z

Thay x và y vào (3) được:



2a z



2 a2 z2 5a2 4az 0 z 5a x 3a

4 4

         

Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: 3a,a,5a
4 4 .

<b>Câu 9 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng </b>
bình phương của chúng bằng 83.

<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi ba số hạng liên tiếp của CSC là u1 u d, u2 u, u3  u d với công sai là d:
Theo đề bài ta có:









1 2 3

2 2

2 2 2 2 2

l 2 3

3u 15

u u u 15 u 5 u 5

d 2

u u u 83 u d u u d 83 d 4

 

       

  

  

   



         

   

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Với d2 u17, u2 5, u3 3.

<b>Câu 10 : Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng </b>
bình phương của chúng bằng 480.

<b>LỜI GIẢI</b>
Gọi năm số hạng liên tiếp của CSC là

1 2 3 4 5

u  u 2d, u  u d, u u, u  u d, u  u 2d_{với công sai là d:}

Theo đề bài ta có: 12 22 32 42 52

l 2 3 4 5

u u u u u 40

u u u u u 480

     




    








2





2 2





2





2 2

5u 40 u 8 u 8

d 4
d 16

u 2d u d u u d u 2d 480

     

 

   




          




Với d 4 u1 0, u2 4, u3 8, u4 12, u5 16.
Với d4 u116, u2 12, u3 8, u4 4, u50

<b>Câu 11: Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 10 và tổng </b>
bình phương của chúng bằng 30.

<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1  u 3d, u2 u d, u3 u d, u4  u 3d
với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có: 12 22 32 42

l 2 3 4

u u u u 10

u u u u 30

    




   








2





2





2





2

2

5

4u 10 _u _u ₈

2

d 4

u 3d u 2d u 2d u 3d 30 _d ₁₆



  _ _{ }

 

    



        _

 

 _ 

<b>Câu 12: Một CSC có 7 số hạng với công sai d dương và số hạng thứ tư bằng 11. </b>
Hãy tìm các số hạng cịn lại của CSC đó, biết hiệu của số hạng thứ ba và số hạng
thứ năm bằng 6.

<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi u , u , u , u , u , u , u1 2 3 4 5 6 7 là bảy số hạng liên tiếp của CSC với công sai d.
Theo đề bài ta có hệ phương trình:

4 1 1 1

3 5 1 1

u 11 u 3d 11 u 3d 11 u 17

u u 6 (u 2d) (u 5d) 6 d 2 d 2

         

   

  

   

          

   



Kết luận: u117, u2 15, u313, u411, u59, u47, u5 5, u63, u7 1.
<b>Câu 13: Một CSC có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm </b>
bằng 28, tổng số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm CSC đó.

<b>LỜI GIẢI</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

3 5 1 1 1 1

5 7 1 1 1

u u 28 u 2d u 4d 28 2u 6d 28 u 70

u u 140 u 4d u 6d 140 2u 10d 140 d 28

            

   

  

   

           

   



<b>Câu 14: Viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 để được CSC có tám số hạng. Tìm CSC </b>
đó

<b>LỜI GIẢI</b>
Gọi 3, u , u , u , u , u , u , 242 3 4 5 6 7 là CSC cần tìm, ta có:

1 1 1

8 1

u 3 u 3 u 3

u 24 u 7d 24 d 3

     

  

 

  

     

  



Vậy u1 3, u2 6, u3 9, u4 12, u5 15, u6 18, u7 21, u8 24

<b>Câu 15: Ba góc của một tam giác vng lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó.</b>
<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC.

Ta có

A B C 180 A B 90 A 30

A C 2B A 2B 90 B 60

C 90 C 90 C 90

        

  

      

  

 _  _  _

  

<b>Câu 16: Bốn số nguyên lập thành CSC, biết tổng của chúng bằng 20, tổng nghịch </b>
đảo của chúng bằng 25

24. Tìm bốn số đó.
<b>LỜI GIẢI</b>

Gọi bốn số hạng liên tiếp của CSC là u1  u 3d, u2 u d, u3 u d, u4  u 3d
với công sai là 2d:

Theo đề bài ta có:

1 2 3 4

l 2 3 4

u u u u 20 _4u ₂₀

1 1 1 1 25 ₁ ₁ ₁ ₁ ₂₅

24

u u u u u 3d u d u d u 3d 24

     _ _

 



 _ _ _ _ 

   

 

   





 

2 2

u 5
u 5

10 10 25

1 1 1 1 25

2
24
5 3d 5 3d 5 d 5 d 24 25 9d 25 d

 
 

 



 

 

   

 

   

   

Giải (2): đặt _t__d2_{, điều kiện}_t_₀

 



 





 

 



2 2 5 100 20t 5

2 24 20 4t 25 9t 25 t

25 9t 25 t 24 25 9t 25 t 24


         

   

2 145

9t 154t 145 0 t 1 t
9

       

Vì các số hạng là những số nguyên nên chọn t = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>LỜI GIẢI</b>

Vì a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của một CSC. Nen theo tính chất CSC có: a c 2b

a). Ta phải chứng minh: a2 bc c 2 ab2 b



2 ac







2 2 2 2 2 2 2

a c b a c 2b 2ac a 2ac c 2b 2b

          





2 ₂ ₂ ₂

a c 4b 4b 4b

     (đúng) (đpcm).

b). Ta có: 9 a b c_ 2







b a c2







c a b2







_ 9 a 3b a_ 2







2b3



2b a

 

2 a b



_

 









2 3 3 2 2

9 3a b a 2b 4b 4ab a a b 

      

 



2 3 3 2 3 2 2 3 2



3

9 3a b a 2b 4ab 4b 4a b 4ab a a b 54b

          (1)

Ngoài ra: 2 a b c



 



32 3b

 

3 54b3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

<b>Câu 18 : Cho </b>_{a , b ,c}2 2 2_{lập thành 1 cấp số cộng có cơng sai khác khơng.}
Chứng minh rằng 1 ; 1 ; 1

b c c a a b   cũng lập thành một cấp số cộng.
<b>LỜI GIẢI</b>

Theo giả thuyết_a2__c2 __2b2

Ta phải chứng minh: 1 1 2
b c a b c a
Ta có:_a2__c2 __b2__b2

2 2 2 2

a b b c

    



a b a b

 



 

 b c b c

 





a b b c

b c a b

 

 

 



 









 



b c
a b

b c c a a b c a



 

   



 





 





 





 



a c b c a b c a
b c c a a b c a

     

 

   



 

 

 

 

 

 

 



a c b c a b c a

a c c a b c c a a b c a a b c a

   

   

       

1 1 1 1

b c c a c a a b

   

   

1 1 2

a b b c c a

  

   (đpcm).
<b>Câu 19: Cho cấp số cộng :a,b,c. CMR:</b>





1 1 1

; ; , a 0; b 0; c 0

b c c a a b    theo thứ tự đó cũng lập thành CSC.
<b>LỜI GIẢI</b>

Vì a, b, c lập thành CSC, ta cóa c 2b

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Ta có: a c 2ba b  b c



a b

 

a b

 

 b c

 

b c



a b b c

b c a b

 

 

 



 

 

 



a b b c

b c c a a b c a

 

 

   



 





 





 





 



a c b c b a c a

b c c a a b c a

     

 

   

1 1 1 1

b c c a c a a b

   

   

1 1 2

b c a b c a

  

  

1 1 1

; ;

b c c a a b



   Theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.

<b>Câu 20: Trong một cấp số cộng, đặt: </b>Sku1u2u3 uk

a). Biết Sm n và Sn m (với mn). Hãy tính Sm n .
b). Biết Sm Sn (với mn). Hãy tính Sm n

<b>LỜI GIẢI</b>

a). 1

_

2

_

_{ }

m 1

m 2u (m 1)d

S n n 2mu m m d 2n 1

2

   

 

      

Tương tự Snm ta có:





 

2

1

2nu  n  n d2m 2

Từ (1) và (2) suy ra: 2u m n1







_



m2n2







m n d



_ 



m n



Do mn_nên:









1 1

2u  m n 1 d  2 m n 1 d   2 2u

Mặt khác ta có:





1





m n

m n 2u m n 1 d
S

2


 

 _    _



Thay kết quả trên vào biểu thức của Sm n ta được:



 







1 1

m n

m n 2u 2 2u

S m n

2


  

  

b). SmSn m 2u 1



m 1 d



 n 2u 1



n 1 d











2 2







1

2u m n  m n m n d 0

      

  2u1



m n 1 d 



0 do m



n



Thay vào biểu thức của Sm n được: Sm n 0.

<b>Câu 21: Cho cấp số cộng </b>u , u ,..., u ,...1 2 n với công sai d0 và tất cả các số hạng
đều dương. Chứng minh:

1 2 2 3 n 1 n 1 n

1 1 1 n 1

u u u u u  u u u



   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Ta có k k 1



k k 1







k k 1

k 1 k

u u

1 1

u u , k 2, 3,...,n

u u d

u u










    






2 1 3 2 n 1 n 2 n n 1



1

VT u u u u u u u u

d   

        



n 1



n 1

n 1 n 1

u u

1 1 n 1

u u

d _{d u} u u u

 

   

  (đpcm).

<b>Câu 22: Một cấp số cộng có tính chất với mọi số nguyên dương m và n khác nhau, </b>
có các tổng Sm và Sn thỏa hệ thức:

2
m

2
n

S m

S n . Chứng minh:
m

n

u 2m 1
u 2n 1






LỜI GIẢI

















2 2

1 1

m

2 2

n 1 1

m 2u m 1 d 2u m 1 d

S m m m

S n n 2u n 1 d n 2u n 1 d n

     

 

    

 

   

 









1





1





1 1 2u m 1 d 2u n 1 d

2u m 1 d 2u n 1 d

d

m n m n

       

    _ _ _ _

   


1

d 2u

 

Ta có

















1 1 1

m

n 1 1 1

u m 1 d u m 1 2u

u 2m 1

u u n 1 d u n 1 2u 2n 1

    _

  



    (đpcm)

<b>Câu 23: Cho tam giác ABC có </b>tanA,tanB, tanC

2 2 2 theo thứ tự đó lập thành cấp số
cộng. Chứng minh cos A, cos B,cos C theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng.

<b>LỜI GIẢI</b>

Ta có:

A C B

sin sin sin

A C B ₂ ₂ ₂

tan tan 2 tan 2.

A C B

2 2 2

cos cos cos

2 2 2

    

A C C A B

sin .cos sin .cos sin

2 2 2 2 _2. 2

A C B

cos .cos cos

2 2 2



 

A C _B _B _B

sin _sin _cos _sin

2 2 ₂ ₂ ₂

2 2.

A C B A C B

cos .cos cos cos .cos cos

2 2 2 2 2 2

 



 

 

   

2 B A C B

cos 2.cos .cos .sin

2 2 2 2

 

1 cos B A C A C B

cos cos .sin .

2 2 2 2

 

      

 _ _ _ _ __

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

1 cos B A C B B B
cos .sin sin .sin .

2 2 2 2 2

 

  

2

1 cos B A C A C B

cos .cos sin

2 2 2 2

  

  





1 cos B 1 1 cos B

cos C cos A

2 2 2

 

 

  _   _

1 cos B cos C cos A 1 cos B cos A cos C 2 cos B.

        

cos A,cos B,cos C

 _{theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.}

<b>Câu 24: Cho </b>ABC cócotA,cotB,cotC

2 2 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Chứng minh: Ba cạnh a,b,c theo thứ tự cũng tạo thành một cấp số cộng.

<b>LỜI GIẢI</b>

Ta có:

A C B

cos cos cos

A C B ₂ ₂ ₂

cot cot 2 cot 2.

A C B

2 2 2

sin sin sin

2 2 2

    

C A C A B

sin cos cos sin cos

2 2 2 2 ₂ 2

A C B

sin .sin sin

2 2 2



 

A C _B _B _B

sin _cos _cos _cos

2 2 ₂ ₂ ₂

2. 2.

A C B A C B

sin .sin sin sin sin sin

2 2 2 2 2 2

 



 

 

   

B B A C B

sin .cos 2.sin .sin .cos

2 2 2 2 2

 

1 A C A C B

sin B cos cos .cos

2 2 2 2 2 2

    

 _ _  _ _  __

   

 

1 A C B B B

sin B cos .cos sin .cos

2 2 2 2 2 2

 

  _  _ 

 

1 A C A C 1

sin B cos .sin sin B

2 2 2 2 2 2

   

  _  _ _  _

   





1 b a c

sin B sin A sin C 2 sin B sin A sin C 2. a c 2b

2 2R 2R 2R

           

 _{Ba cạnh của} tạo thành cấp số cộng.

<b>Câu 25: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y,</b>
z cũng lập thành một cấp số cộng, với: _x__a2_ _bc_,_y__b2_ _ca_,_z__c2__ab_.

<b>LỜI GIẢI</b>
a, b, c là cấp số cộng nên a c 2b

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

 x z (a c)   2 2ac 2b 2 4b2 2ac 2b 22b2 2ac2y (đpcm)
Câu 26: Tính các tổng sau:

a). S    1 3 5 (2n 1) (2n 1)   

b). S    1 4 7 (3n 2) (3 n 1) (3n 4)    

c). _S_₁₀₀2_ ₉₉2_₉₈2_ ₉₇2__{... 2}_ 2_₁2

<b>LỜI GIẢI</b>

a). Ta có dãy số 1, 3, 5, ,(2n 1),(2n 1)   _{là cấp số cộng với công sai}_d₂ và

1

u 1_{, số hạng tổng quát}u_m 2n 1 _{. Do đó có}

1

2n 1 u  (m 1)d  2n 1 1 (m 1).2     m n 1_.

Vậy S_{n 1}



n 1 2u

 

1 nd



(n 1)(2n 1)

2 2



  _ _

  .

b). Ta có dãy số 1, 4,7, ,(3n 2),(3 n 1),(3n 4)    _{là cấp số cộng với công sai}_d₃

và u11, số hạng tổng quát um 3n 4 . Do đó có:









1

3n 4 u  m 1 d 3n 4 1   m 1 .3  m_{ }n 2

Vậy S_{n 2} m 2u



1 (m 1)d



(n 2) 2 (n 1)3 (n 2)(3n 5)

2 2 2



 

  

  _ _ _ _

   .

c). _S_₁₀₀2_ ₉₉2_₉₈2_ ₉₇2__{... 2}_ 2_₁2



100 99 100 99

 

 

98 97 98 97

 



...



2 1 2 1

 



         

199 195 ... 3

   

Ta có dãy số

3,7,...,195,199

_{là cấp số cộng với công sai}

d4

, số hạng đầu

tiên

u13

và số hạng n là

un 199

.

Do đó có

199 3



n 1 .4



 n50

.

Vậy

S 50 2.3 49.4





5050
2



 

.

Câu 27: Cho cấp số cộng:a ; a ;...1 2 có cơng sai d.CMR:
a).S3n 3 S



2n Sn



b). 4n 2 n 6n

1

S S S

3

 

c). Sn 3 3Sn 1 3Sn 2 Sn d). 2 S



3nSn



S4n e). n



n k n k



1

u u u , n k

2  

   

<b>LỜI GIẢI</b>
Ta có: S_3n 3n 2u₁



3n 1 d 1



 

2  

 _   _

Ta có:



2n n



1





1





2n n

3 S S 3 2u 2n 1 d 2u n 1 d

2 2

 

   

  _ _   _ _   __

 

















 

1 1 1

n 3n

3. 4u 4n 2 d 2u n 1 d 2u 3n 1 d 2

2  2  

       _   _

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

b). 4n 2n 6n
1

S S S

3

 

Ta có S_4n S_2n 4n 2a1 (4n 1)d 2n 2a1 (2n 1)d

2 2

       

   

  

n 4a



18nd 2d 2a  1 2nd d



n 2a 1



6n 1 d





(1)

Và

1





_

_

6n 1

6n 2a 6n 1 d

1 1

S . n 2a 6n 1 d

3 3 2

   

  _ _

  _   _

(1)

Từ (1) và (2) suy ra 4n 2 n 6n
1

S S S

3

  .

c), d). Sử dụng cơng thức tính tổng khai triển hai vế, cách giải hoàn toàn tương tự
câu b).

e). n



n k n k



1

u u u , n k

2  

   

có 1



u_{n k} u_{k 1}



1 u₁



n k 1 d u



₁



n k 1 d



u₁



n 1 d



u_n
2    2            
(đpcm).

<b>Câu 28: Cho dãy số </b>



un



định bởi :
1

n
n 1

n

u 2

u

u ; n N *

1 u


 



 

 _


a). Chứng minh rằng: un 0, n N * 

b). Đặt n n
n
u 1

v , n N *

u


  . Chứng minh rằng



vn



là một cấp số cộng.
c). Tìm cơng thức của số hạng tổng quát u theo n,nn N *

<b>LỜI GIẢI</b>
a). Ta có: u120. Giả sử

k

k k 1

k
u

u 0 u 0, k N *

1 u


    


Theo nguyên lý quy nạp suy ra un0, n N * 

b).Ta có: n n n 1 n 1 n

n n n 1 n 1 n

u 1 1 1 1 1

v 1 v 1 v v

u u  u   u  u



          _

n

n n n

n

1 u 1

1 1

1, n N *

u u u

1 u

 

    



Vậy



vn



là 1 cấp số cộng với công sai d1
c).



vn



là cấp số cộng với công sai d1 ,



  

1

1 n

1

u 1 2 1 1 1 3

v v n 1 1 n , n N *

u 2 2 2 2

  

           

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

n

n n

n n n

u 1 1 1 1 2

v 1 u , n N *

3

u u v 1 1 2n

n 1

2


        

 

  

Cho dãy số



un



xác định bởi: un 1 3un un 1 3, n 2

</div>

<!--links-->