Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (234.01 KB, 2 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số - Toán 11 (Bổ trợ kiến thức)

Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com 1

M

Ộ

T

S

Ố

P

H

Ư

Ơ

N

G

P

H

Á

P

T

Ì

M

S

Ố

H

Ạ

N

G

T

Ổ

N

G

Q

U

Á

T

C

Ủ

A

D

Ã

Y

S

Ố

I. Dự đốn số hạng tổng quát, rồi dùng quy nạp chứng minh. 
Ta tính một vài số hạng đầu, rồi thơng qua đó ta tìm ra

quy luật, rồi rút ra cơng thức của số hạng tổng quát.

Cuối cùng là dùng quy nạp để chứng minh.

Ví dụ: Cho 1
1

2
( ) :

4 2

n

n n

u
u

u  u n




   

 . Hãy tìm cơng

thức số hạng tổng qt u ? n

Giải: 
Ta có:

1
2 1
3 2
4 3
2

4.1 2 8
4.2 2 18
4.3 2 32

u

u u



   
   
   

Để ý ta thấy:

2
1

2
2

2
3

2
4

2 2.1
8 2.2
18 2.3

32 2.4

u

 
 
 
 

Vậy ta dự đoán un 2.n2 (1)

Bây giờ ta dùng quy nạp chứng minh dự đoán trên là 
đúng. Thật vậy:

Với n  1 u1 2.12 2 (Đúng)

Giả sử (1) đúng với n k 1, ta có: uk 2.k2

Ta chứng minh (1) cũng đúng với n k 1

Tức là uk12.(k1)2. Thật vậy, ta có:
2

2 2

4 2 2 4 2

2( 2 1) 2( 1)

k k

u u k k k

k k k

      
    

Vậy un 2.n2

Nhận xét: Với cách làm này đơn giản, dễ hiểu, tuy

nhiên cái khó nhất là tìm ra quy luật chung. Trong 
nhiều bài tốn có biểu thức phức tạp, thì cơng việc 
tìm ra quy luật này như “mị kim đáy biển”. Ta có các 
cách sau, giúp tìm ra cơng thức tổng qt dễ dàng 
hơn.

II. Dùng cách đặt dãy phụ

Dãy số có dạng 1 0
1

( 1)

n n

u x

n

u  u n 





   



Cách giải:

Chọn g n( )an2bn

Tìm a, b bằng cách cho:





2 2

( 1) ( ) ( 1) ( 1)
2

n g n g n a n b n an bn

n an a b

a

a b

 




         
    



   



Sau khi tìm được a, b ta đặt: vn ung n( )

Ta chứng minh v là CSC hoặc CSN, rồi tìm số hạng n

tổng qt của dãy v . n

Từ đó suy ra cơng thức tổng qt của dãy u . n

Ví dụ:

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) biết:

1
1

4 7

n n

u

u  u n




   


Giải:

Làm ngồi giấy nháp: 
Chọn g n( )an2bn

Tìm a, b:

4n 7 g n(  1) g n( ) 4n 7 2an a b 

2 4 2

7 9

a a

a b b

 

 

 

    

  (áp dụng đồng nhất thức)

2
( ) 2 9

g n n n

  

Bài làm chính thức:

Đặt





2 9 2 9

n n n

v u  n  n u  n  n

1 1

2
2

2( 1) 9( 1)
4 7 2( 1) 9( 1)
2 9

n n

n

v u n n

u n n n

u n n

v

 

     

      
  

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số - Toán 11 (Bổ trợ kiến thức)

Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com 2 
Suy ra v là cấp số cộng với d=0 n

Mà v1  u1 2.129.1 5 2 9 12   
Vậy vn   v1 (n 1)d 12 ( n 1).0

n
v

 

Mà vn un 2n29n12un2n29n

2 9 12

n

u n n

   

Dãy số có dạng 1 0
1

( 1)
.

n n

u x

n

u  k u n 





   



Cách giải:

Chọn g n( )an b

Cho n  g n(  1) kg n( ), thơng qua đây ta tìm
được a, b. Rồi thay a, b vào g(n). Sau đó tiến hành đặt 
dãy phụ giống như dạng trước.

Ví dụ: Cho 1
1

10
( ) :

5 8 4

n

n n

u
u

u  u n




   

 . Hãy tìm số

hạng tổng quát của dãy đã cho.

Giải:

Bài làm ngoài giấy nháp: 
Chọn ( )g n an b

Cho 8  n 4 g n(  1) 5 ( )g n

8 4 ( 1) 5( )

8 4 5 5

8 4 4 4

4 8 1

( ) 2
1

4 4 2

n a n b an b

n an a b an b

n an a b

a
a

g n n

a b b

       
       
      



  

 

    

   

 

Bài làm chính thức:

Đặt 2 1

n n

v u  n

1 1

1
2( 1)

1
5 8 4 2( 1)

5 1

5 10 5 2 5

2 2

n n

n

n n n

v u n

u n n

u n u n v

 

    

     

 

       

 

Vậy v là cấp số nhân với công bội q = 5 n

Ta có 1 1 2.1 1 10 2 1 17

2 2 2

v  u     

Vậy số hạng tổng quát 17.5 1
2

n
n

v  

1 1

1 17 17 1

2 .5 .5 2

2 2 2 2

n n

u n  u  n

       

Dãy số có dạng 1 0
1

( . 0, 1)

n n

u x

a b n

u  au b




 
  



Đối với dãy số được cho như trên, thì cần ghi nhớ

công thức này

1
1

1
.

n
n

n

a

u u a b

a



 

 



Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt của dãy số biết 
1

1
5

( 1)
3 2

n n

u

n

u  u





  



Giải:

Trước tiên ta làm ngoài giấy nhám, đối với dãy số 
vừa cho ở trên ta thấy a3, b2, u15. Nên ta có:

1 1

1
1

1 1 1

1 3 1

. . 5.3 2

1 3 1

3 1
5.3 2

5.3 3 1 6.3 1

n n

n

n
n

n

n n n

n n

a

u u a b

a

u

u u

 




  

 

   

 



  

      

Sau khi làm xong ngoài giấy nháp, ta đã biết được số
hạng tổng quát un 6.3n11

Bài làm chính thức: 
Xét dãy số 1

6.3n 1

n

u   

Ta thấy u1 6.31 1  1 6.30 1 5
Ta có un16.3(n 1) 1 1 6.3n1 (1) 
Mặt khác ta thấy:

1 1 1

3un 2 3.6.3n  1 6.3 .3n  1 6.3n1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra un1 3un2
Tóm lại với un 6.3n11 thì ta có

1
1

( 1)
3 2

n n

u

n

u  u





  



Vậy cơng thức tổng qt của dãy cần tìm là:

1
6.3n 1

n

</div>

Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

<i><b>M</b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b>Ộ</b></i>

<i><b>Ộ</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>Ư</b></i>

<i><b>Ư</b></i>

<i><b>Ơ</b></i>

<i><b>Ơ</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>Ì</b></i>

<i><b>Ì</b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>Ố</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>H</b></i>

<i><b>Ạ</b></i>

<i><b>Ạ</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>Ổ</b></i>

<i><b>Ổ</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>G</b></i>

<i><b>Q</b></i>

<i><b>Q</b></i>

<i><b>U</b></i>

<i><b>U</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>Á</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>T</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>Ủ</b></i>

<i><b>Ủ</b></i>

<i><b>A</b></i>

<i><b>A</b></i>

<i><b>D</b></i>

<i><b>D</b></i>

<i><b>Ã</b></i>

<i><b>Ã</b></i>

<i><b>Y</b></i>

<i><b>Y</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>S</b></i>

<i><b>Ố</b></i>