<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 1

ĐƯỜNG THẲNG

Lời nói đầu

Làm một cuộc điều tra bất kỳ đối với một nhóm học sinh phổ thơng, có thể thấy trước kết quả là hầu hết
các em sợ hình học và thích đại số. Cho dù là hình học phẳng hay hình học khơng gian đều là nỗi khiếp sợ
đối với đại đa số các em, kể cả đối với một số em chuyên toán. Thế nhưng, hầu như tất cả các học sinh lại
không cảm thấy sợ mơn hình học giải tích mà trái lại, coi đây là một trong những môn dễ chịu nhất.

Vì sao như vậy? Có hai lý do mà tơi muốn kể đến. Thứ nhất, các bài tốn hình học giải tích thường có một
sơ đồ lời giải rất rõ ràng, có thể nói là “rập khn”, cứ thế mà làm, cứ áp công thức vào mà làm. Thứ hai,
mà tôi nghĩ điều này khá quan trọng, các bài tốn hình học giải tích mà các bạn học sinh được giải là những
bài toán cơ bản nhất, ở mức độ đơn giản nhất (như tính góc, tính diện tích, viết phương trình đường thẳng,
tìm điểm cố định) nên mới cảm thấy dễ. Cái gì ở mức cơ bản cũng đẹp và … dễ.

Có lẽ vì những lí do trên nên tơi viết chun đề hình học giải tích trong mp Oxy (chun đề chỉ xốy sâu về
đường thẳng và đường tròn liên quan các dạng hình tam giác, hình vng, hình chữ nhật, hình thang , hình
thoi..)

Kiến thức chuẩn bị

Mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng mà trong đó có chọn hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với nhau tại O và
trên mỗi trục, chọn các véc-tơ đơn vị

 

i, j

.

Với mỗi điểm M, véc-tơ OM có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng

OM x.i y.j











(4)

trong đó x, y là các số thực. Ta thay khai triển (4) bằng một ký hiệu đơn giản

OM (x; y)





và nói véc-tơ

OM có toạ độ là (x ; y). Ta cũng nói điểm M có toạ độ là (x ; y) và ký hiệu là M (x ; y).

Cơng thức tính toạ độ véc tơ theo các đầu mút

A(xA, yA), B(xB, yB) => AB OBOA(xB xA,yB yA)

Cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm _| _| ₍ ₎2 ₍ ₎2
A
B
A

B x y y

x
AB

AB    

Công thức toạ độ điểm chia

*Cho hai điểm A, B là một số thực k  1. M được gọi là điểm chia đoạn A, B theo tỷ số k nếu

MA



kMB





. Khi đó, toạ độ của điểm M được tính theo toạ độ các điểm A, B và tỷ số chia k theo công
thức

A B A B

M M

x

kx

y

ky

x

, y

1 k

1 k













* M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi đó k=1 và A B
M

x

x

x

2





, A B

M

y

y

y

2





* Nếu có hai số

 

;

sao cho

   

0

và



MA



 

MB 0

 



thì

A B A B

M M

x

x

y

y

x





 

; y





 

  

  

(khi đó điểm M được gọi là tâm tỉ cự của hai điểm A ,B với bộ số

( , )

 

_{. Nếu M là trung điểm AB thì}

   

1

₎

* Cho ba điểm A(xA ;yA), B(xB ;yB), C(xC ;yC) và ba số thực m,n,p sao cho m+n+p



0

tồn tại

duy nhất điểm I xác định bởi

mIA nIB pIC 0









 



thì

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Trang 2

A B C A B C

I I

mx

nx

px

my

ny

py

x

; y

m n p

m n p













 

 

(Điểm I xác định như trên được gọi là tâm tỉ cự của ba
điểm A,B,C với bộ số (m,n,p). Ta có thể mở rộng khái niệm tâm tỉ cự I cho hệ n điểm Ai và bộ số mi với

i=1, n .

n

i i
i 1

m IA

0







 

Lưu ý:+Nếu A,B,C không thẳng hàng và m=n=p=1 thì I là trọng tâm tam giác ABC

+Nếu A,B,C không thẳng hàng

_{aIA bIB cIC 0}



_



_

 

_

thì I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
(BC=a;AC=b;AB=c)

Tích vơ hướng giữa hai véc-tơ

Theo định nghĩa, tích vơ hướng của hai véc-tơ u, v  là một số thực có độ lớn bằng tích các độ dài
của hai véc-tơ đó nhân với cosin của góc giữa chúng

u.v | u | . | v | .cos(u,v)     

Tích vơ hướng có các tính chất cơ bản sau

1) u.v vu

2) cu.v c.u.v

3) u.(v w) u.v u.w











  

 

 

  

   

Sử dụng định nghĩa và các tính chất này, ta suy ra nếu

u (x , y ), v





₁ ₁





(x , y )

₂ ₂ thì

1 1 2 2

u.v x y

 





x y

Cơng thức tính góc giữa hai véc-tơ . Nếu

u (x , y ), v (x , y )





₁ ₁





₂ ₂ thì

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2

x x

y y

u.v

cos(u,v)

| u | .| v |

x

y . x

y











 

 





Cơng thức tính diện tích tam giác. Điều kiện thẳng hàng của ba điểm.

Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC). Khi đó ta có

|
)
)(
(
)
)(
(
|

2
1
))
)(
(
)
)(
((
)
)
(
)
)((
)
(
)
((
2
1
)
.
(
.
2
1
|
|
.
|
|

.
1
.
2
1
cos
1
.
2
1
sin
.
.
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
A
C
A

C
A
B
A
C
A
B
A
C
A
B
A
C
A
C
A
B
A
B
ABC
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y

y
y
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
AC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB
A
AC
AB
A
AC
AB

S






































Phương trình đường thẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 3

Phương trình pháp dạng : A0x + B0y + C0 = 0 với A02 + B02 = 1

Phương trình chính tắc : x x0 y y0 _{( .}_{a b} ₀₎

a b

 _  _

Phương trình đường thẳng qua (x0, y0) và vng góc với véc-tơ n (A, B)


(pháp véc-tơ) là
A(x-x0) + B(y-y0) = 0.

Phương trình đường thẳng qua (x0, y0) và có hệ số góc k là y – y0 = k(x-x0).

Phương trình đường thẳng qua (x0, y0) và song song với véc-tơ d (a, b)


(véc-tơ chỉ phương) là

b
y
y
a

x

x ₀ _  ₀

(dạng chính tắc a.b 0 ) hoặc








bt
y
y
at
x
x
0

0

(dạng tham số)

Cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giả sử có đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm M(x0, y0). Ta cần tính khoảng cách từ M đến d.

Gọi H là chân đường vng góc hạ từ M xuống d.

H nằm trên đường thẳng qua M và song song với d, có dạng tham số là
x = x0 + At, y = y0 + Bt

Do đó xH = x0 + At, yH = y0 + Bt

Vì H thuộc d nên ta có

A(x0+At) + B(y0+Bt) + C = 0

Suy ra

t = -(Ax0+By0+C)/(A2+B2)

Từ đó
2
2
0
0
2
2

2
2
0
2
0
|
|
)
(
)
(
)
(
B
A
C
By
Ax
t
B
A
y
y
x
x

MH _H _H













Vậy ta có cơng thức

2
2
0
0 |
|
)
,
(
B
A
C
By
Ax
d
M
d






Ngoài ra, đại lượng

2
2
0
0
)
,
(
B
A
C
By
Ax
d
M
d





được gọi là khoảng cách đại số từ M đến d. Khoảng cách đại số dùng để xác định hai điểm là cùng phía hay
khác phía đối với đường thẳng d.

Chú ý rằng từ đây, ta cũng tìm được toạ độ điểm H là














2
2
0
0
2
2
2
0
0
2
,
B
A
BC
ABx
y
A
B
A

AC
ABy
x
B
H

Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình Ax+By+C=0 và A’x+B’y+C’=0 (A2+B2>0 ;
A’2+B’2>0) nếu d và d’ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác trong và ngồi của góc tạo bởi hai
đường d và d’

2 2 2 2

Ax By C

A ' x B' y C'

A

B

A '

B'





_{ }





</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Trang 4

Lưu ý :+ Nếu A.A’+B.B’>0 thì phân giác góc nhọn là

Ax By C

₂ ₂

A ' x B' y C'

₂ ₂

A

B

A '

B'





_{ }









Phân giác góc tù là

Ax By C

₂ ₂

A ' x B' y C'

₂ ₂

A

B

A '

B'















+ Nếu A.A’+B.B’<0 thì phân giác góc nhọn là

Ax By C

₂ ₂

A ' x B' y C'

₂ ₂

A

B

A '

B'





_









Phương trình đường trịn

Phương trình tổng qt: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Phương trình chính tắc: (x-x0)2 + (y-y0)2 = R2 (đường trịn tâm I(x0,y0) bán kính R)

Phương trình tham số : , [0,2 ]

sin
cos

0

0 _

_











t
t
R
y
y

t
R
x
x

Phương trình toạ độ giao điểm, điều kiện tiếp xúc

Để xác định toạ độ giao điểm của đường tròn (C): x2 + y2 + Ax + By + C = 0 và đường thẳng d: y =
kx + m , ta thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm

x2 + (kx+m)2 + Ax + B(kx+m) + C = 0
 (k2+1)x2 + (2km+kB+A)x + m2 + Bm + C = 0

(Tương tự với giao điểm của một đường thẳng và một đường cong bất kỳ)

Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép.

Ngoài ra, điều kiện tiếp xúc của đường trịn tâm I(x0,y0) bán kính R với đường thẳng d: Ax + By + C cịn

có thể được cho dưới dạng

d tiếp xúc (I, R)  d(I, d) = R.

Trục đẳng phương của hai đường tròn

Phương trình trục đẳng phương của hai đường trịn (C1): x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 và

(C2): x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 là (A1-A2)x + (B1-B2)y + C1-C2 = 0

Trục đẳng phương là đường thẳng đi qua hai giao điểm của hai đường trịn nếu chúng cắt nhau, do đó từ
phương trình trục đẳng phương, có thể tìm được toạ độ giao điểm của hai đường tròn.

Điều kiện tiếp xúc của hai đường trịn

Vị trí tương đối của hai đường (I1, R1) và (I2, R2) phụ thuộc vào tương quan giữa d = I1I2 và R1, R2, cụ thể

Nếu d < |R1 – R2| thì đường trịn lớn chứa đường tròn nhỏ

Nếu d = |R1 – R2| > 0 thì chúng tiếp xúc trong với nhau

Nếu |R1 – R2| < d < R1 + R2 thì chúng cắt nhau

Nếu d = R1 + R2 thì hai đường trịn tiếp xúc ngồi nhau

Nếu d > R1 + R2 thì hai đường trịn rời nhau

Phương pháp giải :

1) Phương pháp dựng hình: Trong các bài tốn về hình học phẳng, các đối tượng như điểm, đường thẳng,
đường tròn tương tác với nhau rất đa dạng. Cụ thể ở đây nếu:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 5
B

1) Dựng điểm thứ ba theo điều kiện ràng buộc với hai điểm theo tỉ lệ nào đó (đặc biệt là
trung điểm hoặc trọng tâm thuộc trung tuyến…)

2) Dựng được đường thẳng qua hai điểm đó
* Cho hai đường thẳng:

3) Dựng được giao điểm (nếu có) của chúng.(tính góc giữa chúng)
* Cho một điểm và một đường thẳng:

4) Dựng được hình chiếu của điểm lên đường thẳng

5) Dựng được điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng ( đặc biệt nếu nó nằm trên tia
cuả một góc nào đó và đường thẳng là phân giác của góc đó, khi đó ta sẽ tìm được điểm nằm trên tia thứ
hai)

6) Dựng được đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cịn lại.
2) Phương pháp đặt ẩn:

Đây là phương pháp tư duy thực dụng, chỉ cần biết tìm điểm nào, đường thẳng nào ta chỉ cần đặt ẩn cho
điểm đó , đường thẳng đó. Rồi dựa vào đề bài, tìm đủ các điều kiện ràng buộc dữ kiện tương ứng với số ẩn
để giải hệ.

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC

Bài 1:(A 2006 dự bị) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:x-4y-2=0,
cạnh BC song song d. Đường cao BH: x+y+3=0 và trung điểm của cạnh AC là M(1;1).Tìm tọa độ các
điểm A,B,C.

Phân tích: Dựng hình ta thấy AC vng góc BH và AC qua M nên viết pt AC suy ra tìm giao điểm A của
AC và d, sau đó dựa vào M tìm C

Viết pt BC qua C và BC//d, sau đó tìm giao điểm B của BH và BC.
d

A

C

Bài 2: (Toán học tuổi trẻ) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB: 5x+2y+7=0, BC: x-2y-1=0.
Phương trình đường phân giác trong của góc A là x+y-1=0. Tìm tọa độ điểm C

Phân tích:

Ta xác định được A, B sau đó lấy đối xứng B qua phân giác trong góc A ta xác định được E thuộc AC .
Viết pt AC qua A và E, sau đó xác định được giao điểm C của BC và AC.

Bài tốn 3: (D 2011) Cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1) và đường phân giác trong
góc A có phương trình x-y-1=0. Xác định tọa độ A và C.

C
A

B

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Trang 6
B

B’
D

E

F
H

Phân tích:

Ta thấy: Sử dụng phương pháp dựng hình

+Xác định E đối xừng B qua phân giác trong góc A
+ Xác định tọa độ trung điểm M của AC

+ Viết pt AC qua M và E tìm A và tìm C.

Bài tốn 4: (D 2013) Cho tam giác ABC co điểm M(

9 3

; )

2 2



là trung điểm AB, điểm H(-2;4) và I(-1;1)

lần lượt là chân đường cao hạ từ B và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Phân tích:

Ta thấy: Sử dụng phương pháp dựng hình kết hợp với pp
đặt ẩn

+ Viết PT AB qua M và Vng góc IM
+ Tham số hóa điểm A và Điểm B theo ẩn a
+ Ràng buộc AH vng góc BH tìm a
+ Tìm C theo ràng buộc thuộc AC và IA=IC

Bài tập 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, AC

lần lượt 4x-3y-20=0 và 2x+y+10=0 . Đường tròn (C) đi qua trung điểm của các đoạn HA, HB, HC có
phương trinh là (x-1)2+(y-2)2=25 , trong đó H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ H biết C có
hồnh độ lớn hơn –4.

Phân tích:

Gọi D,E,F ,N lần lượt là trung điểm HA,HB,HC,AC và B’ là chân đường cao hạ từ B lên AC

+EF//BC,NF//AH suy ra NF vng góc EF. Tương tự B’ thuộc đường trịn( đường trịn trong bài tốn này
là đường trịn Euler đường kính là EN)

+Tham số hóa N điều kiện ràng buộc C ó hồnh độ lớn hơn -4 suy ra N và B’
+Tìm C và H với điều kiện ràng buộc H là trực tâm tam giác ABC.

A H

B
M

C
I

A

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG M

Bài giải: * Tọa độ điểm A là nghi

4x 3y 20 0

x

1

2x y 10 0

y

8











 





_{ }

_



_{ }





* Gọi D,E,F ,N lần lượt là trung đi

Ta có :EF//BC,NF//AH suy ra NF vng góc EF. Tương t
này là đường trịn Euler đường kính là EN)

* Tọa độ N và B’ là nghi

2 2

2x y 10 0

(x 1)

(y 2)

25



 















Nếu N(-4;-2) thì C(-7;4) loạ
Nếu N(-2;-6) thì C(-3;-4). V
* BH qua B’ có vtpt

n



(1;

HC qua C và vng góc AB nên HC: 3x+4y+25=0
Vậy tọa độ điểm H là nghiệm của h

x 2y 0

3x 4y 25 0



 



_















_

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Ta sẽ nghiên cứu và thảo luận các bài tốn liên quan đ
thường sử dụng nó đến hai lần trong bài toán.

BT1:Trong mp Oxy lập phương tr
BC là D(2;2).

BT 2: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân t
Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ

Bài 6:Trong mặt phẳng Oxy, cho đư
các đường cao hạ từ B, C lần lư
< 0

Phân tích:

I TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 7
m A là nghiệm của hệ:

4x 3y 20 0

x

1

2x y 10 0

y

8











 





_{ }

_



_{ }





suy ra A(-1 ;-8)

t là trung điểm HA,HB,HC,AC và B’ là chân đườ
Ta có :EF//BC,NF//AH suy ra NF vng góc EF. Tương tự B’ thuộc đường trịn(

ng kính là EN)
N và B’ là nghiệm của hệ

x

2;y

6

x

4;y

2

(x 1)

(y 2)

25

  

 

 

_{ }

_{ }









_

ại vì xc>-4

4). Vậy B’(-4;-2)

n



(1;-2) nên BH: x-2y=0.
HC qua C và vng góc AB nên HC: 3x+4y+25=0

a hệ

x

5

5

y

2

  









 



a tam giác ABC là H(

5;

5

2





).

ác bài toán liên quan đến trực tâm H của tam giác:Lưu
n trong bài tốn.

p phương trình ba cạnh của tam giác ABC, biết A(2;1), trự

BT 2: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC :x+y+1=0; đường cao h
ẻ từ C. Viết pt các cạnh bên của tam giác.

ng Oxy, cho đường tròn (C) 𝑥2 + 𝑦2 = 25 ngoại tiếp tam giác nh

n lượt là E(-1;-3); F(2;-3). Tìm tọa độ các đỉnh c

ờng cao hạ từ B lên AC
ng tròn( đường tròn trong bài toán

a tam giác:Lưu ý yếu tố trực tâm ta

ực tâm H(-6;-3), trung điểm

ng cao hạ từ B là d:x-2y-2=0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Trang 8

Ta chúng minh IA  EF .gọi Ax là tiếp tuyến tại A với đường tròn tâm O

C1: EFBC nội tiếp đường trịn đường kính BC nên  ACBAFE(cùng bù góc BFE). Mặt khác ABC nội tiếp

O nên   xAB C AFE nên xA//EF mà xA  IA nên EF  IA.
C2: Bạn đọc tự vẽ hình

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC

+



CFA





BEA

AF

AE AC AM
AB AN

   (1)

+ EF (AF ) AF AE

.AF .

IA IA AE IA IA

MA NA AE

   

  

     
(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA vng góc EF

+ viết pt IA vng góc EF và tìm tọa độ điểm A với điều kiện ràng buộc yA<0.

+tham số hóa B và C từ pt AC, AB . kết hợp điều kiện ràng buộc ta xác định tọa độ B và C.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. (ĐH B2013-NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ

từ A là H(17; 1)

5 5 , chân đường phân giác trong của góc A là D(5 ; 3) và trung điểm của cạnh AB là
M (0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh C .

ĐS : C(9;11)

Bài 2. (ĐH D2013-CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M( 9 3;
2 2
 ) là

trung điểm của cạnh AB , điểm H( -2;4) và điểm I( -1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .

ĐS C (4;1);C ( -1;6) Bài 3. (ĐH D2013-NC)

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :(x-1)2 +(y-1)2=4 và đường thẳng
:y-3=0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C) , các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung
điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P .

ĐS : P( -1;3); P(3;3).

Bài 4. (ĐH D2012-NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết
phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB
= CD = 2.

ĐS : (C1):(x+1)2+(y-1)2=2; (C2): (x+3)2+(y+3)2=10.

Bài 5. (ĐH A2011-CB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x+ y+ 2= 0 và đường tròn
(C) : x2 + y2 4x2y= 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và
MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
ĐS : M (2; -4); M(- 3;1) .

Bài 6. (ĐH B2011-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x - y – 4=0 và d: 2x - y
– 2= 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm
M thỏa mãn OM.ON= 8.

ĐS :N (0; -2); N (6 2; )
5 5 

Bài 7. (ĐH B2011-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnhB ( 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 9

tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho
D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3= 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.

ĐS :A (3;13
3 ) .

Bài 8. (ĐH D2011-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm G(1;
1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x - y – 1=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và
C.

ĐS : A (4;3);C (3; -1) .

Bài 9. (ĐH D2011-NC) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x2+ y2 - 2x + 4y
– 5= 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân
tại A.

ĐS :



:y=1 ,



: y=3
Bài 10. (ĐH A2010-CB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0;d2: 3x y 0Gọi (T) là đường tròn

tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vng tại B. Viết phương trình của

(T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hồnh độ dương.
ĐS : /

Bài 11. (ĐH A2010-NC)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y -4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm
E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

ĐS : B (0;- 4); C ( -4;0) hoặc B(- 6;2); C(2; -6) .
Bài 12. (ĐH B2010-CB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có
phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và
đỉnh A có hồnh độ dương.

ĐS : BC :3x-4y+16=0.

Bài 13. (ĐH D2010-CB)Trong mặt phẳng toa đô ̣ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trưc tâm là
H(3;-1), tâm đườ ng tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh đơ dương. ̣
ĐS : C( 2  65;3)_.

Hình chữ nhật:

Bài 1: (B 2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

1

;0)

2

và phương trình AB là x-2y+2=0;
AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D, biết A có hồnh độ âm.

Phân tích :

Kết hợp hai phương pháp dựng hình và tham số hóa

+Dể dàng tìm hình chiếu I lên AB là H và 2IH

+ Tham số hóa điểm A thuộc AB và AI2=AD2+IH2 và điều kiện
Ràng buộc hồnh độ A âm tìm tọa độ A và các điểm B,C,D.

D

A B

C
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Trang 10
Giải:Gọi H là hình chiếu của I lên AB. Ta có IH=d(I,AB)=

2 2

1

|

2.0 2 |

₅

2

2

1

2









Theo định lí Ta-let, AD=2IH=

5

suy ra AB=2

5

suy ra AI2=IH2+AH2=

25

4

.A

 

: x 2y 2 0

 

nên A(2a-2;a) IA2=₍₂ ₂ 1₎2 2 25 0 ( 2;0) _{( 2;0)}

2 (2;0)

2 4

a A

a a A

a A

  

     _  

 _

C(3;0) do I là trung điểm AC. B(2b-2;b) và

2

. 0 2 (2 5) 0
0 ( 2;0)

(2; 2)
2 (2; 2)

CB AB AB CB b b b

b B

B

b B

      

 

 

_ _ 



 

 

D(-1;-2).

Bài 2: (D 2012) Trong mp Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có

phương trình x+3y=0 và x-y+4=0 . Đường BD qua M(

1

;1)

3



. Tìm tọa độ các đỉnh Hình chữ nhật

trên.

Phân Tích:

Ta sử dụng được hai phương pháp : dựng hình và tham số
Theo phương pháp dựng hình thì

+ Dựng MN //AD qua M tìm tọa độ N từ AC và MN

+ Tìm trung điểm K của MN suy ra hình chiếu H của K lên AD
+Từ AD và AC xác định A suy ra D và các điểm khác

Phương pháp tham số hóa :

+ Tìm tọa độ A từ AC và AD suy ra tọa độ C và D theo c và d
+ Xác định B theo c và d theo hai đường chéo

+Dùng điều kiện ràng buộc AD vng góc CD và M ,B, D thẳng hàng ta xác định c và d suy ra kết quả.

Bài 3: (A 2013) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x+y+5=0 và A(-4;8). Gọi
M là điểm đối xứng của B qua C. N là hình chiếu vng góc của B lên DM. Tìm tọa độ B,C. biết
N(5;-4)

Phân tích: Sử dụng kết hợp pp dựng hình và tham số hóa
C

D

K

M
N _I
A

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 11

+ Ta thấy A và N nhìn BD dưới một góc vuông nên IA=IB=IC=ID=IN( Với I là trung điểm BD)
+Tham số hóa C thuộc d, sử dụng điều kiện ràng buộc I là trung điểm AC và IA=IN tìm tọa độ C và I
+ B thuộc d’ qua N và vng góc AC .Áp dụng tham số hóa B và điều kiện ràng buộc IB=IA tìm B.
Bài 4: ( Quốc học Huế) Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm trên



: x-2y-1=0, đường BD có
phương trình 7x-y-9=0. Điểm E(-1;2) thuộc cạnh AB sao cho EB=3EA. Biết B có hồnh độ dương.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Phân tích: E

+Khoảng cách từ A đến BD bằng khoảng cách từ C đến BD, sử dụng gt EB=3EA tính Kc từ E đến BD
+ Tham số hóa điểm C tìm C suy ra B theo CB vuông EB và DC vuông CD

+sử dụng giả thiết suy ra tọa độ A.

Bài 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; –3) và cạnh BC = 2AB.

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình MN là x + 3y –
16 = 0.

Phân tích: áp dụng định lí thales

+Gọi I là giao MN và DC gọi H và K là hình chiếu vng góc của D lên MN và AC suy ra tọa độ H và K
+ Viết pt AC sử dụng điều kiện ràng buộc là AD vuông DC suy ra tọa độ C.

Bài tập rèn luyện

Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 2AB=AD, gọi M,N lần lượt là trung
điểm của AD và BC. Trên MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm đoạn MK. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật biết AC:2x+y-3=0 và điểm A có hồnh độ dương.

Đs:A(1;1);B(3;1); C(3;-3);D(5;-3).

A B

C

M
D

N
I

d

A

K

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Trang 12

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, điểm
D(-3;2), đường phân giác trong góc

_BAD



có phương trình:x+y-7=0 .Tìm tọa độ điểm B , biết điểm A có
hoành độ dương.

Đs:A(5;2),B(5;8).

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đỉnh A,B thuộc đường
tròn (C1): x2+y2+2x+5y+1=0, các đỉnh C,D thuộc (C2):

x2+y2-2x-3y-3=0. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật, biết đình A có hồnh độ âm.
Đs: AB:x+1=0, AD:y=0, CD:x-3=0, BC:y+5=0

Hoặc AB: 4x+3y+4=0, AD: 3x-4y+3=0, CD: 4x+3y-21=0, BC: 3x-4y-17=0.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Hai đỉnh B,C thuộc trục tung,
AC:3x+4y-16=0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết tam giác ACD có diện tích bằng 1.
Đs: A(-4;7), B(0;-7), C(0;4), D(-4;4).

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, biết M(4;5), N(6;5), P(5;2),
Q(2;1) lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA viết phương trình đường thẳng AB biết SABCD=16.

Đs: AB:x-y+1=0; AB:x-3y+11=0.

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(0;2) , H là hình chiếu vng góc

B lên AC. Trên tia đối BH lấy điểm E sao cho BE=AC, biết BE: x-y=0. Tìm tọa độ B,C,D biết

SABCD=6 và yB>0.

Đs:B(0;5), C(2;5), D(2;2) hoặc B(3;2), C(0;3), D(2;2).

Hình thoi:

Bài 1: Trong mp oxy cho hình thoi ABCD, Tâm I(2;1) và AC=2BD. Điểm M(

0; )

1

3

thuộc AB. Điểm
N(0;7) thuộc CD .Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương.

Phân tích:

B

+ lấy đối xứng N qua I tìm L thuộc AB suy ra pt AB
+Tính khoảng cách từ I đến AB, đặt IB=a suy ra IA=2a
+ B là giao của AB và đường trịn tâm I bán kính IB.
Giải:

Gọi L là điểm đối xứng N qua I suy ra L(4;-5) AB :qua L và M nên AB:4x+3y-1=0
Suy ra d(I,AB)=

2 2

| 4.2 3.1 1|
2
4 3

  _

 .

Vì AC=2BD nên AI=2BI =2a ta có ₂ 1 1₂ 1₂ 1 1₂ 1₂ 5

( , ) 4 4 a

d I AB  AI IB   a a   .

M

A

N
I

C

D
L

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 13

B là giao của AB và đường trịn tâm I bán kính R= 5 nên tọa độ B là nghiệm của hệ

2 2

1; 1
4 3 1 0

(1; 1)

1 3

;
( 2) ( 1) 5

5 5
x y
x y
B
x y
x y
  

  
 _
 _  
 _{ }

   
 _ .

Bài 2:Cho hình thoi ABCD , cạnh AC có phương trình x+7y-31=0, hai đỉnh B và D lần lượt thuộc

d1:x+y-8=0 và d2: x-2y+3=0. Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 75 và C có

hồnh độ dương.
Phân tích:

+ Khoảng cách từ B và D đến AC là bằng nhau và I là trung điểm BD thuộc AC và điều kiện ràng
buộc là AC vng góc BD suy ra tìm được I, B,D

+Sử dụng diện tích ở giả thiết tính được AC và kết hợp trung điểm I tìm C và A.
Giải:

Bd1 nên B(b;8-b) tương tự D(2d-3;d) ta có (2 3; 8) (2 3; 8)

2 2

d b d b
BD d b  d b  I    


Khi đó

7(2 3) ( 8) 0

1

2 3 8

0

7 31 0

2 2

d b d b

AC BD d

d b d b

I AC b

     

 
 _ _
 _       _
  

 _  . Vậy D(-1;1) và B(0;8).

Theo diện tích ta có AC.BD=75 với BD=5

₂

nên AC=15

2

A(31-7a;a) C(31-7c,c) do đó

15
5 2 | |

2 [ (31 7 ; )

2 2

9
2 2
a c

a c a c
I
a c
 _{ }
 _ _
 _


 _

]

Giải ra 3; 6 ( 11;6), (10;3) ( 11;6)

6; 3 (10;3), ( 11;6)

a c A C

C

a c A C

  

 

  

 _ _  _

 

Vậy A(10;3), B(0;8), C(-11;6), D(-1;1).

Bài 3:Cho hình thoi ABCD biết AC: x+y-1=0. Điểm E(9;4) thuộc AB, điểm F(-2;-5) thuộc AD,AC=2

2

, và C có hồnh độ âm .Tìm A,B,C,D.

Phân tích:
E

D

A C

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Trang 14

+Lấy đối xứng E qua AC tìm được K dựng AD qua FK, suy ra tọa độ điểm A và C

+ Tìm tọa độ trung điểm I của AC và tham số hóa điểm D thuộc AD suy ra tọa độ D và B.
Bài 4: Trong mp Oxy cho hình thoi ABCD có A(1;0) , phương trình BD: x-y+1=0 . BD=4. Viết pt
CD biết hoành độ điểm D dương.

Phân tích:

+ AC vng góc BD tại trung điểm I nên ta xác định hình chiếu A lên BD là I suy ra xác định tọa
độ C

+ Tham số hóa D và kết hợp giả thiết ID=2, xD>0 xác định D suy ra viết pt CD.

Giải:

Gọi I là hình chiếu của A lên BD với I(a;a+1) ta được I(0;1) suy ra C(-1;2)

D(d;d+1) và ID=2, XD>0, ta tìm được D( 2; 2 1) và CD: ( 2 1) x( 2 1) y3 2 1 0. 

Bài 5: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD, biết AB: x+3y+1=0, BD:x-y+5=0, M(1;2)
thuộc AD. Viết phương trình BC,CD.

Phân tích:

+Xác định tọa độ điểm B. tham số hóa phương trình BC qua B theo hai ẩn a và b.
+Sử dụng tính chất hai đường chéo là hai phân giác nên ta tính được

_{ABD CBD}

 

_

+AD qua M và AD //BC.

Bài tập rèn luyện

Baì 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD: x+2y −7 = 0 và cạnh AB:
x +3y -3=0. Viết phương trình ba cạnh và đường chéo còn lại, biết A (0;1).

Đs: BC: 9x+ 13y- 83=0, CD:x+ 3y- 17=0, AD : 9x+ 13y- 13=0, AC : 2x-y+1= 0.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh A(1; 5) và phương trình một

đường chéo là d : x-2y+4=0. Xác định B, C , D, biết cạnh hình thoi có độ dài bằng 5.

Đs: B ( -2;1), C (3;1), D (6; 5) hoặc B (6; 5), C (3;1), D ( -2;1).

Bài3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình AB:7x-11y+83=0,
CD:7x-11y-53=0 và một đường chéo BD:5x-3y+1=0. Tìm A, C ?

Đáp số: A (- 4; 5),C (6; -1).

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A (1;0), B (3; 2) và góc _{ABC 120}__ 0.Tìm

tọa độ hai đỉnh C và D ?

Đs: C(



3; 3 1)



, D(2



3; 3 1)



hoặc C



3;



3 1)



), D(2



3;1



3)

.

Bài4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD, có đường chéo AC :x+y1=0, điểm M(4;9) ∈
A B điểm N ( -5; -2) ∈ AD và AC =2

₂

. Tìm C ?

Đs: C(3;- 2) hoặc C ( -1; 2).

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A (5; 5), đường thẳng đi qua trung
điểm của BC và CD có phương trình x+y+14=0 điểm E (0;- 4) nằm trên đường thẳng đi qua D và
vuông góc với AB. Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thoi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 15

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD, có đường chéo BD: x -y = 0 và điểm M(1;

3

) ∈ AB, điểm N ( -2; -2

₃

) ∈ CD . Tìm các đỉnh hình thoi, biết . AB =AC .

Đs: A(2-

3

;1), B(

3 1; 3 1





), C(-1;2-

3

), D(2-2

3

;2-2

3

)..

Bài 6.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD, có tâm I (2;1), AC=2 BD. ĐiểmM(0;

1

3

)
thuộc đường AB, N(0;7) nằm trên đường thẳng CD. Tìm P, biết rằng

_{PB =5PI}

và yB<0.

Đs:P(

54 3

;

5 5

).

Hình Vng

:

Bài 1: (A-2005) Cho hai đường thẳng d1: x-y=0; d2:2x+y-1=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng

biết A thuộc d1 , C thuộc d2 và B, D thuộc trục hồnh.

Phân tích: Tham số hóa A, B, C, D theo các điều kiện ràng buộc
+ Hai đường chéo vng góc và bằng nhau

+A và C đối xứng qua BD có cùng trung điểm.
Giải:

Gọi B(b;0), D(d;0) ,A(a;a), C(c;1-2c) theo tính chất hai đường chéo của hình vng ta có

?

ùng iê m
AC BD

AC BD
c trung đ
 

 _




2 2 2

( ) (1 2 ) ( )

( )( ) 0
1 2

0
2

c a c a d b

a c b d
c a b d

c a

      
   



   

  

 _



. *a=c ta có a=c=1 ₂ 2 ₂ 1; 0; 2

1; 2; 0

2 4

b d a c b d

a c b d

b bd d

     

 _

 _{   } _

   _



*b=d=0 loại

Vậy: A(1;1) B(0;0) ,C(1;-1), D(2;0) hoặc A(1;1). B(2;0), C(1;-1). D(0;0).

Bài 2: (A-2012) Cho hình vng ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N thuộc CD sao cho CN=2ND. Giả

sử

M(

11 1

; )

2 2

và AN:2x-y-3=0. Tìm tọa độ điểm A.
Phân tích : +Tính MH =d(M, AN)

+ Tính MH theo độ dài cạnh hình vng

+ Tính AM theo cạnh hình vng theo pp tham số

Giải: d(M,AN)=

2 2

11 1

| 2 _{3 | 3 5}

2 2

2

2 1

 



SAMN=SABCD-SABM-SCMN-SAND=

2 ₂

5 10

12 4

AMN

S

a a

MH

AN

   kết hợp trên a=3 2.
C

N
D
M

B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Trang 16
A (a;2a-3) và AM=3 10

2 giải ra A(1;-1) hoặc A(4;5).

Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vng ABCD có tọa độ điểm A(1;1), M thuộc CD sao cho
DM=2CM. Phương trình BM: x+5y-18=0. Tìm phương trình các cạnh của hình vng biết C thuộc d
:2x-y+3=0.

Phân tích:
A(1;1)

+ Tính Cos (BM,BC) suy ra sin (

_ABM



) tham số hóa AB , điều kiện ràng buộc là cos(

_ABM



) . xác định
B.

+ Viết pt AD, BC suy ra C sau đó viết pt DC.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vng ABCD biết AC:x-3=0, B thuộc d1:3x-y-4=0, D thuộc

d2: x+y-6=0. Viết phương trình BD.

Phân tích:tương tự bài 1

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD. Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD, các
điểm H ( -2;3) và K (2;4) lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ
độ các đỉnh A, B, C, D của hình vng ABCD.

(Trích đề thi thử lần 3, THPT Trần Hưng Đạo, Hưng Yên, năm 2014)

Phân tích:

+lập AB qua K và có vtpt EK, AD qua H và có vtpt EHsuy ra Tọa độ A

+Tìm B và D thơng qua thơng qua cosin góc ABD, điều kiện ràng buộc E thuộc BD.
*Bây giờ ta xét bài toán:

1.1/Trong mp Oxy cho hình vng ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Gọi H là giao

của AM và BN, biết H(

4 8

;

5 5

) và B(0;4).Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng , cho biết A thuộc
d:x+2y+4=0

1.2/ Trong mp Oxy cho hình vng ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Gọi H là giao

của AM và BN, biết H(

4 8

;

5 5

) và A(-4;0).Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng , cho biết N thuộc
d:x+2y+2=0.

D M C

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 17

1.3/ Trong mp Oxy cho hình vng ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Gọi H là giao

của AM và BN, biết H(

4 8

;

5 5

)Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng biết (BC):x+y-4=0

1.4/ Trong mp Oxy cho hình vng ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Gọi H là giao

của AM và BN, biết H(

4 8

;

5 5

). Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng , cho biết AN:x+3y+4=0, xA<0.
1.5/ Trong mp Oxy cho hình vng ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Gọi H là giao

của AM và BN, biết H(

4 8

;

5 5

) và B(0;4).Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng , cho biết B thuộc
d:x+2y-8=0 và N thuộc d’:x-2y-6=0.

Bài tập rèn luyện

Bài 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm B (2; 4), trung điểm cạnh AD là
E ( -1;0) và F (2; -1) là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng ?

Đs: A(- 2; 2), B (4;0), D (0; -2).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I(

1 9

;

2 2



).Hai đỉnh A, B lần

lượt nằm trên hai đường thẳng d1:3x+4y-8=0 và d2: 3x+4y-1=0. Tìm A, B, C, D.

ĐS: A( -4; 5), B(- 1;1), C(3; 4), D(0;8)

hoặc A(

24 32

;

)

25 25

,B(

93 76

;

)

25 25



, C(

49 192

;

)

25 25



, D(

68 149

;

)

25 25

.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD có B (3; 4) và đường chéo AC : x-y +2 =0. Tìm
tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng ?

ĐS: A(2; 4), C(3; 5), D(2; 5) hoặc A(3; 5), C(2; 4), D(2; 5).

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có M (1; 2) là trung điểm của cạnh
BC .Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ∆ADM là d: 5x -y +1 = 0. Tìm B biết xA>0 .

Đs: B(

3 5

; )

2 2

hoặc B(

3 21

;

)

10 10

.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có D ( -1; 2). Gọi M là trung điểm của

BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho

AN

1

AC



4

, đường MN : x- y +1 =0. Tìm tọa độ các đỉnh
cịn lại của hình vng, biết xM>0.

Đs: A(

1 2

; )

5 5



;B(

7 6

; )

5 5

; C(

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Trang 18

Hình bình hành:

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình bình hành ABCD. Điểm M(-3;0) là trung điểm AB, H(0;-1)

là hình chiếu vng góc của B lên AD và điểm G

( ;3)

4

3

là trọng tâm tam giác BCD. Tìm tọa độ B,D.

Phân tích:

+ Chú ý đến định lí Thales gọi E và F là giao của HM và HG với BC ta tìm E và F
+ pt BC chính là EF tham số hóa B và điều kiện ràng buộc là HB vng góc BC
Tìm B sau đó tìm A

+ Tìm I là tâm hình bình hành theo tỉ lệ vec-to.
Giải:

Theo định lí Thales gọi E và F lần lượt là giao của HG, HM với BC khi đó HG=2GF và HM=ME, suy ra
E(-6;1); F(2;5)

BC:x-2y+8=0, BH:2x+y+1=0 suy ra B(-2;3),A(-4;-3)

Gọi I là tâm hình bình hành Khi đó AG=4GI nên I(0;

3

2

) và D(2;0).

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD, trực tâm tam giác BCD là H(4;0), tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD là I

(2; )

3

2

. Điểm B thuộc đường thẳng 3x-4y=0 và BC qua
M(5;0). Viết phương trình các cạnh của hình bình hành, biết B có hồnh độ dương.

Phân tích:

+Dựa vào trực tâm H ta có DH vng góc AD, BH vng góc AB nên A ,I, H thẳng hàng
H(4;0)

B
A

D C

M

I

(2; )

3

2

A
H

D

B

C
M

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 19

+B thuộc d và B thuộc đường trịn tâm I bán kính IH suy ra B (điều kiện ràng buộc)
+pt AB, viết pt BC qua B và M, viết pt DH

+pt AD qua A và song song BC suy ra tọa độ D là giao của AD và DH
+ Viết pt DC.

Giải: Ta có ( / / )
( / / )
DH BC BC AD
BH CD CD AB



 nên ADBH nội tiếp đường trịn đường kính AH.

B là giao điểm của d: 3x-4y=0 và đường tròn( C) : (x-2)2+(y-

3

2

)

2₌

25

4

kết hơp điều kiện ràng buộc. Ta có
B(4;3) suy ra BC(qua B và M): 3x+y-15=0

AB:y-3=0;AD:3x+y-3=0.

DH:x-3y-4=0 tìm tọa độ D và CD:y+

9

10

=0

Bài 3:Trong mp Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. A(2;0) , B(3;0) và giao điểm I
của hai đường chéo thuộc d:y = x. Viết phương trình CD.

Phân tích:

Xác định tọa độ điểm I bằng tham số hóa d, kết hợp điều kiện ràng buộc diện tích bằng 4 suy ra IH bằng 2
chính là khoảng cách từ I đến AB suy ra tọa độ C và CD qua C và có vtcp là

_AB



.

Bài tập rèn luyện

Bài1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng x +y −1 =0 và 3x -y +5 =0. Hãy tìm diện
tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai
đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I(3; 3).

Đs: SABCD =55 .

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm ∆ BCD
phương trình đường thẳng DG: 2x- y +1 =0 phương trình BD : 5x−3y +2 = 0 và C(0; 2). Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, D của hình bình hành.

Đs: A(1;1), B(2; 4), D( -1; -1).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, đỉnh A (2; 2), B
( -2;1). Biết tâm I là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nằm trên đường thẳngd: x-3y +2 =0 .
Tìm tọa độ của C và D.

Đs: C(6;2); D(10;3) hoặc C(30;10) ;D(34;11).

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có các đỉnh A(0;1), B(3; 4). Tìm
tọa độ các đỉnh D, C biết giao điểm I của hai đường chéo nằm trên cung

_AB



của parabol
y=(x-1)2,sao cho diện tích hình bình hành đạt giá trị lớn nhất ?

Đs:C(3;

1

2



); D(0;

7

2



).

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có tâm I(1;

1

2



)phương trình cạnh

AD: 3x+y+5 =0 đường thẳng AB đi qua điểm M(6; 2) và hợp với đường AD một góc bằng 450 .Viết
phương trình các cạnh cịn lại của hình bình hành, biết BD ⊥AB.

Đs: AB :2x-y-10=0; BC: 3x+y-10=0 ; CD: 2x-y+5=0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Trang 20
Đáp số: C (- 2; -6), D (- 5; -10) hoặc C(

32

;

24

)

7

7





;D(

53

;

52

)

7

7





.

Hình thang

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD. Các đường thẳng AC,
BD lần lượt có phương trinh 2x-y+1=0 và x-2y+1=0 . Gọi M là trung điểm của AB. Xác định tọa độ
các đỉnh A, B, C, D biết đường DM : 3x-8y+11=0 và B có hồnh độ âm.

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đức Mậu, Nghệ An, năm 2013)

Phân tích:

+ Tìm D, I là giao của hai đường chéo( chú ý hình thang cân nên IA=IB)

+ M là trung điểm AB nên ta tham số hóa A thuộc AC và B thuộc BD điều kiện ràng buộc là IM vng góc
AB , suy ra tìm được B và C suy ra A.

Giải:

Tọa độ D là nghiệm hệ x 2y 1 0 (7;4)

3x 8y 11 0 D

  




   


Tọa độ giao điểm I của hai đường chéo là nghiệm của hệ: 2x y 1 0 ( 1 1; )

x 2y 1 0 I 3 3

  


 
   



A(a;2a+1); B(2b-1;b) , M( 2 1 2; 1)

2 2

a b a b 

,M thuộc DM suy ra A(1;3); B(-3;-1)
CD qua D và vng góc IM , Tìm giao điểm C của CD và AC ta có C(-4;-7).

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 21

Phân tích:

+Ta viết được AC qua H và vng góc BD, tìm giao điểm I .Do ABCD cân nên IB=IC

+Góc HBC =900 và Tam giác IHB vng cân tại I vậy ta suy ra I là trung điểm của HC , tìm C sau đó xác
định B theo điều kiện ràng buộc thuộc BD và HB vuông BC và ID=3IB.

Giải:

AC: qua H và vng góc BD nên AC:2x-y+8=0 suy ra giao điểm I của AC và BD nên I(-2;4)

HB vuông BC nên I là trung điểm của HC suy ra C(-1;6) . B(6-2b;b) CB vuông HB. B(0;3); D(-8;7) hoặc
B(-4;5); D(4;1).

Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD vng tại A và D có AB = AD <
CD, điểm B(1;2), đường thẳng BD có phương trình y = 2; Biết rằng đường thẳng d: 7x – y – 25 = 0
lần lượt cắt các đoạn AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM vng góc với BC và BN là tia
phân giác của góc MBC. Tìm tọa độ đỉnh D, biết hồnh độ của D dương.

(Trích đề thi thử THPT Gia Bình 1, Bắc Ninh, năm 2015)
Phân tích:

C
A

I
H

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Trang 22

+tứ giác BMDC nội tiếp suy ra _BMC_ _BDC _₄₅0_{suy ra Tam giác BMC vuông cân tại B}

+Hai tam giác BMN bằng tam giác BCN nên d(B,MN)=BE với BE vng góc DC
+BD = 2BE điều kiện rang buộc xD>0.

Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng tại A, D có B(8;4), CD =2AB và
phương trình đường thẳng AD là x -y+2=0.

Điểm M(82 6; )

13 13 thuộc đường thẳng AC. Tìm tọa độ các điểm A, C, D.
(Trích đề thi thử lần 2, THPT Chuyên Vĩnh Phúc, năm 2015)

Phân tích:

+xác định hình chiếu của B lên AD là A suy ra phương trình AC qua A và M

+ Do 2 AB=CD và hình thang vng nên tham số hóa C và D sử dụng điều kiện ràng buộc tìm C và D.

AD:x-y+2=0

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD biết B(3;3),
C(5;-3). Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường hẳng : 2x+y-3=0 .Xác định tọa độcác
đỉnh cịn lại của hình thang ABCD để CI  2BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12, điểm I có hồnh
độ dương và điểm A có hồnh độ âm.

(Trích đề thi thử lần 2, THPT Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp, năm 2013)
Phân tích:

+Tham số hóa điểm I thuộc đường thẳng và điều kiện ràng buộc IC=2IB suy ra tọa độ I

+ viết pt AC và BD, sử dụng diện tích tam giác ABC=12 và điều kiện ràng buộc suy ra tọa độ A

A _B

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

BÁO CÁO CHUN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Trang 23
+viêt pt CD suy ra D là giao của CD và BD.

Bài tập rèn luyện

Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Biết hai đường
chéo AC, BD vng góc với nhau. Biết A(0; 3), B(3; 4) và C nằm trên trục hoành. Xác định tọa độ
đỉnh D của hình thang .

Đs: D (0; -2).

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang cân ABCD có đáy lớn là CD, A(0; 2), D (- 2;- 2) và giao
điểm I của AC, BD nằm trên đường thẳng x+ y −4 =0. Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thang
khi biết

_AID



_

₄₅

0_.

Đs: B (2+

2

;2+

2

), C(2+4

2

;2+4

2

)hoặc B (4+ 3

2

;2 +

2

), C(4+ 4

2

;- 2

2

).

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy làAB, CD đỉnh A(0;- 4),
B(4;0). Tìm tọa độ C, D, biết ABCD ngoại tiếp đường tròn

(C):x2+y2-2x+2y=0.

Đáp số:

C( ; ),D(

1 1

1

;

1

)

2 2



2



2

.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng tại A và D có đáy lớn CD, đường
thẳng AD : 3x-y= 0, BD: x -2y =0 góc

_BCD



_

₄₅

0_{Và S}_ABCD_{=24. Tìm tọa độ đỉnh B, biết rằng điểm B}

có hồnh độ dương ?

Đáp số: B(

8 10 4 10

;

)

5

5

.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, có đỉnh A(1;1)

và trung điểm của cạnh BC là M(

1

;0)

2



. Tìm tọa độ đỉnh D có hồnh độ dương và nằm trên đường

thẳng d ':5x-y+1=0, biết S ABCD bằng 14.

Đs: D (2;11).

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD tại Avà D , có , CD =2AB, đỉnh

B(1; 2). Hình chiếu vng góc hạ từ D lên AC là điểm H (- 1;0). Gọi N là trung điểm HC.Tìm tọa
độ A, C, D biết DN: x-2y −2 = 0 .

ĐS: A(

7

;0),C(5;0), D( 1;

3

).

8

2



 

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD tại A và , D có CD =2AB. Gọi H là

hình chiếu vng góc của D lên đường chéo AC, biết M(

22 14

;

)

5 5

là trung điểm của HC đỉnh D (2; 2), đỉnh B∈d : x -2y + 4=0 và đường BC đi qua E (5; 3). Tìm A ,
B, C ?

Đáp số: A(2; 4), B(4; 4), C(2;6).

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD tại Avà D, có AB=2 CD và BD
⊥AC. Tìm tọa độ các đỉnh ABCD của hình thang. Biết điểm

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Trang 24
Đs : A (2; -3), B (8; -3), C (5; 3

2

- 3), D (2; 3

2

- 3).

</div>

<!--links-->