Toán cao cấp B1 dành cho khối kỹ thuật

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 120 trang )

(1)UBND TỈNH QUẢNG NGÃI. TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG. ------------. BÀI GIẢNG. TOÁN CAO CẤP B1. NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN. QuảngNgãi, tháng 04 - 2014.

(2) GIỚI THIỆU MÔN HỌC Toán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực. Phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật. Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 của Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đẳng đào tạo theo học chế tín chỉ. Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học). Chương 1: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến. Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật. Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến. Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật. Chương 3: Tích phân của hàm số một biến. Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích phân suy rộng. Chương 4: Hàm số nhiều biến số. Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến số. Áp dụng trong kỹ thuật. Chương 5: Phương trình vi phân. Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bản thường gặp. Các ứng dụng thực tế của chúng Chương 6: Chuỗi số. Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ. Chương 7: Chuỗi hàm số. Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập. 2.

(3) luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương. Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau: + Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo. [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. [2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. [3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. [4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD. [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM [8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục. + Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài giảng trước khi lên lớp học. + Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.. 3.

(4) Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N *  R từ tập số nguyên dương N * vào tập số thực R được gọi là dãy số. Đặt f (n)  an thì dãy số được viết dưới dạng a1 , a2 ,..., an ,... (1) hay an  hay ( an ). Gọi an là số hạng ( hay phần tử) tổng quát thứ n của dãy số (1). Thí dụ 1.1.1 1, 3, 5, ..., 2n  1,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an  2n  1 . 3 2n 2n 1, 2, , ..., ,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an  2 n 1 n 1. 1.1.2 Các dãy số đặc biệt 1.1.2.1 Dãy số đơn điệu Định nghĩa 1.1.2 Dãy a n  được gọi là: - Dãy số tăng (hoặc tăng nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an 1  an ) ;   N * - Dãy số giảm ( hoặc giảm nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an1  an ) ; n  N * - Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng - Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệu Thí dụ 1.1.2 Dãy an    21.  ; n  N *  là dãy giảm nghiêm ngặt n 1 . Dãy an  với an   1  1   1  1  ...  1  1n  là dãy tăng nghiêm ngặt 2 4 2 . Dãy an   (1). n 1. .  .   1, 1,1,..., (1). n 1. . ,... là dãy số không đơn điệu. 1.1.2.2 Dãy số bị chặn Định nghĩa 1.1.3 Dãy a n  được gọi là: - Dãy số bị chặn trên nếu với k  R : an  k ; n  N * - Dãy số bị chặn dưới nếu với k  R : an  k ; n  N * - Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn ( tức là  k  R: k  0 sao cho an  k với n  N * ) Thí dụ 1.1.3 Dãy an    22. n 1.  ; n  N *  là dãy số giảm nghiêm ngặt và bị chặn (bị . chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0).. 4.

(5) 1.1.3 Dãy con Định nghĩa 1.1.4 Từ dãy số an   a1 , a2 , ..., an ,...(1) ta trích ra một dãy. a   a nk. n1 , an2 ,..., ank. ;... Với các chỉ số n1 , n2 ,..., nk ,... là dãy số tự nhiên tăng. a  được gọi là dãy con trích ra từ dãy số a . Thí dụ 1.1.4 Cho dãy số a    1 .thế thì dãy a    1   1,1,...,1,... là dãy nghiêm ngặt. Khi đó, dãy số. nk. n. 2k. n. n k. n. con của dãy a n    1n  Nhận xét: nk  n ; n 1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin học: - Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần: Trong tin học thường yêu cầu nhập vào một dãy số và sắp xếp dãy số ấy theo thứ thự tăng dần hoặc giảm dần, chẳng hạn bài toán tuyển sinh sau khi có dãy các tổng điểm, để xác định điểm chuẩn và danh sách trúng tuyển cần sắp xếp tổng điểm theo thứ tự giảm dần. - Các dãy số được cho bởi công thức truy hồi (Chẳng hạn dãy số biểu thị bài toán tháp Hà Nội, Dãy số Fibonaci, …) 1.1.5 Giới hạn của dãy số 1.1.5.1 Định nghĩa 1.1.5 Ta nói rằng dãy số thực an  có giới hạn l  R khi n   và viết. lim an  l hay an  l khi n   nếu   0 bé tuỳ ý cho trước, n . tồn tại số nguyên dương. N ( ). sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  . Dãy số thực có giới hạn còn gọi là dãy hội tụ, dãy số không có giới hạn gọi là dãy phân kỳ  . 1. Thí dụ 1.1.5 Chứng minh lim  2    2 n  n . Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là an  2 . 1 n. Với    0 bé tuỳ ý cho trước, ta cần chứng minh tồn tại số nguyên dương. N ( ). 1 1 sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  2    2    . Muốn vậy ta xét an  l   . . n. n. 1 1 1    n  . Do đó chọn N ( )    (Với  x  là phần nguyên của số thực x) n   . 1.1.5.2 Các dấu hiệu hội tụ Định lý 1.1.1 Nếu 3 dãy số thực an  , bn  , cn  thỏa mãn bn  a n  cn ;  n  N * : n  n 0 và lim bn  lim cn  l thì a n  cũng hội tụ và lim an  l . n . n . 5. n .

(6) 1 1   1   ...  Thí dụ 1.1.6 Chứng minh dãy số  2  hội tụ n2  2 n 2  n   n  1 1 1 1 n n   ...  ; bn  ; cn  Giải: Đặt an  2 2 2 2 n 1 n 2 n n n n n2 1  bn  an  cn ; n và lim bn  lim cn  1  an  hội tụ n . n . Định lý 1.1.2 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ - Dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ - Dãy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ Thí dụ 1.1.7 Chứng minh sự hội tụ của dãy số an  với 1   1   1  an   1    1  2  ...  1  n   2  2   2 . Giải: Ta có a n 1   1  1n 1   1  a n 1  a n ;  n  a n  là dãy số tăng (1) a 2 n. . . Mặt khác áp dụng x, y  R : x  0, y  0  ln(xy)=lnx+lny và ln(1  x)  x ta được 1  1  ln an  ln  1    ln 1  2  2  2. 1  1 1 1 1   *   ...  ln  1  n    2  ...  n  1  n  1 ; n  N 2 2   2  2 2.  ln an  ln e  an  e; n  an  bị chặn trên (2). Từ (1) và (2) suy ra an  đã cho hội tụ 1.1.5.3 Các phép toán a  Định lý 1.1.3 Nếu a n  và bn  hội tụ thì an  bn  , an .bn  ,  n  cũng hội tụ và  bn  lim(an  bn )  lim an  lim bn n . n . n . lim( an .bn )  lim an .lim bn n . n . n . an an lim  n , với lim bn  0 n  b n lim bn n. lim. n . 1.1.5.4 Một số tính chất đơn giản của giới hạn dãy số a. Tính duy nhất Định lý 1.1.4 Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất Chứng minh: Bằng phương pháp phán chứng b. Tính bị chặn Định lý 1.1.5 Mọi dãy số thực hội tụ đều bị chặn c. Sự liên hệ giữa sự hội tụ của dãy con và dãy số ban đầu Định lý 1.1.6 Nếu dãy số a n  hội tụ và có giới hạn L thì mọi dãy con của nó đều hội tụ và có giới hạn L. 6.

(7) 1.1.5.5 Một số giới hạn đáng nhớ a. Định lý 1.1.7 0 khi a  1. 1. . lim an   n . . khi a  1. 2. lim n a  1 khi a  0 n. 3. lim n n  1 n . b. Số e Ta chứng minh được dãy số a n  với số hạng tổng quát  1 an  1    n. n. tăng và bị chặn trên nên hội tụ n.  1 Định nghĩa 1.1.6 lim  1    e n  n. Số e là một số vô tỉ, có giá tri e = 2,718 281 828 459 045... Số e đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật. Lôgarit cơ số e gọi là lôgarit Neper hay lôgarit tự nhiên; Lôgarit Neper của x ký hiệu là lnx. 1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X  R Hàm số một biến xác định trên tập X ( X  R ) là một ánh xạ f từ tập X vào tập R. Người ta thường viết gọn hàm số: f :X R x  y  f ( x) bởi đẳng thức y  f ( x ) . Trong đó x được gọi là biến số độc lập (hay đối số); y  f ( x) được gọi là biến số phụ thuộc (hay là hàm). Tập X được gọi là tập xác định của hàm số f  x  Tập Y  f ( X )   y  R x  X ; y  f ( x) được gọi là tập giá trị của hàm số. Nếu x  x0  X thì y0  f ( x0 ) gọi là giá trị của hàm số tại x0 . 1.2.2 Các phương pháp cho hàm số 1.2.2.1 Phương pháp giải tích Cho hàm số bởi một đẳng thức mà vế thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, vế thứ hai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. Tập xác định của hàm số là tập các giá trị của đối số x để biểu thức có nghĩa. 7.

(8) Thí dụ 1.2.1 Hàm số y  4  x 2 có tập xác định là tập những giá trị của x sao cho 4  x 2  0  2  x  2.   cos x neáu x   2     y  2) có tập xác định là R 5 x  3 neáu  <x  2 2    s inx neáu x  2  1.2.2.2 Phương pháp bảng Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết, nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng Phương pháp này thường được dùng trong vật lý, kỹ thuật 1 Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị các hàm số y  x 2 , , lg x, x , s inx, t anx,... x 1.2.2.3 Phương pháp đồ thị. Tập G  ( x, y)  R 2. x  X , y  f ( x) được gọi là đồ thị hàm số y = f(x) xác. định trên X và nó được biểu diễn bởi một đường trong mặt phẳng Oxy. Đồ thị của hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị của nó. Chẳng hạn đồ thị biểu diễn điện áp của lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim hay đồ thị biểu biễn về chứng khoán,… Nhược điểm của phương pháp cho hàm số bằng đồ thị là thiếu chính xác. 1.2.3 Các phép toán trên hàm số 1.2.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng là tập D và G. f Khi đó f + g, f – g, f.g, ( g ( x )  0 ) là hàm số xác định trên X  D  G và g.  f  g  x   f  x   g  x   f .g  x   f  x  .g  x  f  x  f  ; g  x  0   x  g  x g Thí dụ 1.2.3 Hàm số y = cosx + sinx là tổng của hàm số f(x) = cosx và hàm số g(x) = sinx. 1.2.3.2 Hàm số hợp Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X, nhận giá trị trên tập Y và hàm z = g(x) xác định trên tập Y. Khi đó z cũng là hàm của x xác định trên tập X. 8.

(9) z  g  f ( x) .. z được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: g f Vậy z ( x)   g 0 f  ( x )  g  f ( x )  . Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số f ( x)  2 x và g ( x )  x . Khi đó: .  g f  ( x)  g  f  x   g  2x  . .  f g  ( x) . f  g  x    f. 2x.  x  2. x. 1.2.3.3 Hàm số ngược Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: f : X  Y x  y  f ( x). Nếu tồn tại hàm số  : Y  X y  x   ( y) sao cho f ( x)  y. thì hàm số  được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu:   f 1 . Ta có:  ( y )  f 1 ( y )  f 1  f  x    x . 1. Chú ý Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số y  f (x) là y  f (x) thay cho hàm x  f phân giác thứ nhất.. 1. ( y ) . Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường. Thí dụ 1.2.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược là y . x 3. 1.3 Các hàm số đặc biệt 1.3.1 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.3.1 Hàm số y  f ( x) được gọi là: - Đơn điệu tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a, b  nếu x1 , x2  (a , b) : x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) ( hoặc f ( x1 )  f ( x2 ) ). - Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trong khoảng  a, b  nếu x1 , x2  (a, b) : x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) (hoặc f ( x1 )  f ( x2 ) ).. Thí dụ 1.3.1 - Hàm số y  x 2 là hàm giảm nghiêm ngặt trong các khoảng  , 0  và tăng nghiêm ngặt trong khoảng  0,   - Hàm số y  x3 là hàm tăng nghiêm ngặt trong khoảng  ,  . 9.

(10) 1.3.2 Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f ( x ) được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập D  X (X là miền xác định), nếu tồn tại M  R sao cho ta có: f ( x)  M (hoặc f ( x)  M ) với x  D . Hàm số y  f ( x) được gọi là bị chặn trong tập D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trong tập D. Nghĩa là tồn tại M  R : M  0 sao cho f ( x )  M ; x  D . Thí dụ 1.3.2 Hàm số y  s inx là các hàm số bị chặn trong R vì sin x  1; x  R . 1.3.3 Hàm số chẵn lẻ 1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập đối xứng D. Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) trên tập D nếu  x  D luôn có:  x  D và f (  x)  f ( x) f (  x)  f ( x) (hoặc f (  x)   f ( x) ). Thí dụ 1.3.3 Hàm số y  x 2 là hàm số chẵn trên R. vì x  R   x  R và f ( x)  f ( x) . Hàm số y  x 3 là hàm số lẻ trên R vì x  R   x  R và f ( x)   x3   f ( x) . 1.3.3.2 Tính chất - Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. - Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 1.3.4 Hàm số tuần hoàn 1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D. Hàm số y  f ( x) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D  [x  D, L  R : L  0  x  L  D sao cho f ( x  L)  f ( x) ]. 1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuần hoàn Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y  f ( x) là hàm số tuần hoàn trên tập D. Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất sao cho: f ( x  kT )  f ( x); x  D; k  Z thì T được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn y  f ( x) . Thí dụ 1.3.4 Hàm số y  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   . 1.3.5 Một số hàm số thường dùng trong kỹ thuật và công nghệ thông tin Trong thực tiễn kỹ thuật hay kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như hàm số chuyển động của một chất điểm, qui luật giảm nhiệt của một thanh kim loại đốt nóng được đặt trong môi trường có nhiệt độ ổn định thấp hơn hay hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm tính lãi kép… Trong tin học các ngôn ngữ lập trình có các hàm có sẵn như các hàm số học, các hàm lôgic, các hàm thống kê. Chẳng hạn như các hàm Max, Min, DIV, Mod, IIF, Cound,…. 10.

(11) 1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản 1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản + y = C ( C là hằng số). + Hàm số luỹ thừa y  x  ,   R . + Hàm số mũ y  a x ; (0  a  1) + Hàm số lôgarit y  log a x; (0  a  1) + Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx. + Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược của các hàm số lượng giác sau đây: 1.4.1.1 Hàm số y = arc sinx là hàm số ngược của y = sinx sin y  x  arc sinx = y       y 2 , 2    .     Hàm số y = arc sinx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là  ,   2 2 1.4.1.2 Hàm số y = arc cosx cosy  x arc cosx = y    y  0,   Hàm số y = arccosx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là  0,   1.4.1.3 Hàm số y =arctanx là hàm số ngược của hàm số y= tan x    arc tanx=y  x = tan y với y    ;  .  2 2 Hàm số y = arc tanx có tập xác định là (   ,   ) và có miền giá trị là.     ;   2 2 1.4.1.4 Hàm số y = arc cot x là hàm số ngược của hàm số y = cotx arc cot x = y  cot y = x với y   0;   . Hàm số y = arccotx có tập xác định là. (   ,  ) và. có miền giá trị là  0,  . 1.4.2 Hàm số sơ cấp Định nghĩa 1.4.2 Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản nhờ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số hợp, phép lập hàm số ngược Thí dụ 1.4.1 Hàm số y  2 x  x  1  log3 ( x 2  5) là hàm số sơ cấp. 11.

(12) 1.5. Giới hạn hàm số. 1.5.1. Các khái niệm 1.5.1.1 Lân cận của một điểm Định nghĩa 1.5.1 Cho điểm x 0  R và   0 . Lân cận của điểm x0 bán kính  là tập tất cả các điểm x  R sao cho x  x0   . Ký hiệu: U  ( x 0 ) hoặc U(x0). Vậy: U ( x0 )   x  R x0    x  x0      x0   , x0    . Do đó lân cận của điểm x0 chính là khoảng nhận x0 làm tâm bán kính  Thí dụ 1.5.1 Lân cận điểm x = 1 bán kính bằng 2 là khoảng 1  2,1  2    1, 3  1.5.1.2 Các định nghĩa giới hạn của hàm số. Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ    ). Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x) khi x dần về x0 nếu    0 cho trước bé tùy ý,    ( )  0 sao cho x  U ( x0 ) : 0  x  x0    f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x 0 . x  x0. Thí dụ 1.5.2 Dùng định nghĩa chứng minh lim(4 x  1)  9 . x2. Giải: Xét.  4 x  1  9.  4 x2   x2 .   . Khi đó:   0 ta chọn   sao 4 4. cho  x  U  (2) : 0  x  2     4 x  1  9  4 x  2    lim(4 x  1)  9 x2. Định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số). Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần về x0 nếu với mọi dãy số. xn  mà xn  U ( x0 ) và xn  f ( x n ) luôn dần đến L..  x0 khi n   thì dãy các giá trị tương ứng của hàm là. Vậy lim f ( x )  L    xn  , xn  U ( x0 ) mà xn  x0  f ( xn )  L  x  x0. Chú ý: 1) Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ    ) tương đương với định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số) 2) Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm theo ngôn ngữ dãy số ta áp dụng được các kết quả giới hạn dãy số để nghiên cứu giới hạn của hàm số và nó thường áp dụng để chứng minh một hàm số không có giới hạn. 1 x. Thí dụ 1.5.3 Chứng minh rằng hàm f ( x)  s in không có giới hạn khi x  0. 12.

(13) Giải: Thật vậy lấy 2 dãy  xn  ,  xn/  với xn . 1 ; xn/  2 n. 1. khi ấy xn  0;  2 / / x n  0 nhưng dãy giá trị tương ứng của hàm là dãy f ( xn )  0  0; f ( xn )  1  1 2n . Vậy khi x  0 thì f(x) không có giới hạn 1.5.1.3 Giới hạn một phía Định nghĩa 1.5.4 Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận trái của x0 (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f ( x ) khi x dần về x0 từ bên trái nếu   0 cho trước bé tùy ý,    ( )  0 sao cho mọi x thuộc lân cận trái của x0. thỏa mãn 0  x0  x    f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 . x  x0. Tương tự cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận phải của x0 (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f ( x) khi x dần về x0 nếu    0. cho trước bé tùy ý,    ( )  0 sao cho mọi x thuộc lân cận phải của x0 thỏa mãn 0  x  x0    f ( x)  L  . Ký hiệu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 . x  x0. Định lý 1.5.1 lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L . x  x0. x  x0. x  x0. 1 khi x  0  Thí dụ 1.5.3 f ( x)  0 khi x  0  lim f ( x)  1; lim f ( x)  1 x 0 1 khi x  0 x0 . Vậy f(x) không có giới hạn khi x  0 1.5.2 Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận: 1.5.2.1 Giới hạn ở vô tận Định nghĩa 1.5.5 Cho hàm số y  f ( x) xác định tại mọi x có x khá lớn. Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi x   , nếu    0 cho trước bé tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi x  M thì f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x )  L x . .. Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi. x  . , nếu   0 cho trước bé. tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi x   M thì f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L . x . Thí dụ 1.5.4 Chứng minh rằng lim. x  . 1  0. x. 13.

(14) Với    0 cho trước, nếu muốn có 1  0    x  1 Do đó    0 cho trước nhỏ . x. tuỳ ý ta chọn M . 1 1 1  0 lớn tùy ý, sao cho x  M   0   . Vậy lim  0 . x  x x . 1.5.2.2 Giới hạn vô tận Định nghĩa 1.5.6 Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , ( có thể trừ tại điểm x0 ). Hàm số f ( x) được gọi có giới hạn là  khi x  x 0 , nếu với mỗi số luôn luôn     A   0 sao cho  x  U ( x 0 ) :. A  0 lớn bao nhiêu tuỳ ý,. 0  x  x 0   thì f ( x)  A .. Ký hiệu: lim f ( x)   x  x0. Hàm số f ( x ) được gọi có giới hạn là  khi x  x 0 , nếu với mỗi số A  0 lớn bao nhiêu tuỳ ý, luôn luôn     A   0 sao cho  x  U ( x 0 ) : 0 x  x0   thì f ( x)   A . Ký hiệu: lim f ( x)   x  x0. Thí dụ 1.5.5 Chứng minh lim x 0. Với mọi số 0 x . 1   . x2 1 1 hay  A  0  0  x2  2 A x. A  0 cho trước lớn tùy ý ta có. 1 . Do đó chỉ cần chọn 1   A A. 1.5.3 Một số tính chất của hàm số có giới hạn Định lý 1.5.2 1. Giới hạn của một hàm số (nếu có) là duy nhất 2. Nếu f ( x)  C (hằng số) thì lim f ( x)  C . x  x0. 3. Nếu f ( x)  g ( x) trong lân cận nào đó của x0 và khi x  x0 các hàm f(x), g(x) hội tụ thì lim f ( x)  lim g ( x ) x  x0. 4.. Nếu. x  x0. lim f ( x)  L. x  x0. và. nếu. tồn. tại. một. lân. cận. U ( x0 ). thoả.   f ( x)   ; x  U  x0  : x  x0 thì   L   .. 5. Nếu lim f ( x )  lim g ( x ) thì tồn tại một lân cận U ( x0 ) , x  U ( x0 ), x  x 0 : x  x0. x  x0. f ( x)  g ( x) .. 6. Nếu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  lim f ( x )  L . x x x x x x 0. 0. 0. 1.5.4 Các phép toán về giới hạn 1.5.4.1 Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số. 14.

(15) Định lý 1.5.3 Nếu f(x) và g(x) hội tụ khi x  x0 thì f ( x )  g ( x ); f ( x ). g ( x );. f ( x) g ( x). cũng hội tụ khi x  x0 và a) lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) x  x0. x  x0. x  x0. b) lim f ( x ). g ( x )  lim g ( x ). lim f ( x) x  x0. x  x0. x  x0. lim f ( x ) c) lim f ( x )  x  x ; với lim g ( x )  0 . x x 0. x  x0. g ( x). lim g ( x ). 0. x  x0. Hệ quả 1 Nếu tồn tại lim f ( x) và k  const thì lim k . f ( x)  k . lim f ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. Hệ quả 2 Nếu f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x) là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn khi x  x0 thì ta có:. a) lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)   lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  ...  lim f n ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. b) lim  f1 ( x). f 2 ( x)... f n ( x)   lim f1 ( x). lim f 2 ( x)... lim f n ( x) . x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. 1.5.4.2 Giới hạn hàm số hợp Định lý 1.5.4 (Giới hạn của hàm số hợp) Cho hàm số hợp f  . Nếu lim   x   u0 , lim f (u )  L thì lim f   x    L x  x0 u u0 x  x0 Thí dụ 1.5.6 Tính lim arctan x1. Đặt u . x2 x  x 1 2. x2 x2  thì u  1 khi x  1  lim arctan 2  lim arctan u  x  1 u  1 x  x 1 x  x 1 4 2. 1.5.4.3 Giới hạn hàm số sơ cấp Định lý 1.5.5 (Giới hạn của hàm số sơ cấp) Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 và lân cận x0 thì lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0. Thí dụ 1.5.7 lim. x 1. 5 x  2 5 1  2  7 4x  3 4 1  3. 1.5.5 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.5.5.1 Tiêu chuẩn 1 (Nguyên lý kẹp) Định lý 1.5.6 Nếu g ( x)  f  x   h  x  ; x  U  x0  thì f(x) cũng hội tụ khi x  x0 và lim f ( x)  L . x  x0. s inx  1 (1) x s in u(x) 1 Áp dung (1) ta chứng minh được lim (2) u ( x )0 u ( x). Áp dụng tiêu chuẩn1 ta chứng minh được lim x 0. 15. và lim g ( x)  lim h ( x)  L x  x0. x  x0.

(16) s in5x-sin3x x0 sin x s in5x sin3x 5. -3 s in5x-sin3x 5 x 3x  5  3  2  lim Giải: lim x 0 x  0 sin x sin x 1 x 1.5.5.2. Tiêu chuẩn 2 (đơn điệu bị chặn) Định lý 1.5.7 Nếu hàm f(x) là hàm số tăng và bị chặn trên trong khoảng (a,b) thì hàm f(x) có giới hạn bên trái khi x  b  Định lý 1.5.8 Nếu hàm f ( x ) là hàm số giảm và bị chặn dưới trong khoảng (a,b) thì. Thí dụ 1.5.8 Tính các giới hạn sau lim. hàm f ( x ) có giới hạn bên phải khi. x  a x.  1 Áp dụng tiêu chuẩn 2 chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1   khi x    x 1.  . x. và lim 1   = e (3) x   x .  k  Áp dụng giới hạn (3) ta chứng minh được: lim 1   u ( x )   u( x)  1. lim 1  x  x  e . (5) và x 0. u( x).  ek ; (k  0).. (4) .. 1. lim 1  k . ( x )  ( x )  e k ; (k  0). (6).  ( x )0.  x 1. x 2. Thí dụ 1.5.9 Tính các giới hạn sau lim   x  x  1    x  1 lim   x  x  1  . x 2. 2    lim 1   x  x 1 . x 1 3. x 1 3  2   2   2  lim 1  . 1     e . x  x  1 x  1     x 1  . 1.5.6 Vô cùng bé, vô cùng lớn 1.5.6.1 Định nghĩa: Định nghĩa 1.5.7 Hàm   x  được gọi là một vô cùng bé khi x  x0 lim  ( x )  0 .. x  x0. Hàm   x  được gọi là một vô cùng lớn khi x  x0 nếu lim  ( x)   x  x0. Thí dụ 1.5.10 Khi x  0 thì  ( x )  sin x là một VCB . Vì lim sin x  0 . x 0 1 1 là một VCB . Vì lim  0 . x x x 1 1 Khi x  0 thì  ( x)  là một VCL . Vì lim   x  0 x x. Khi x   thì  ( x) . 1.5.6.2 Liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn. 16. nếu.

(17)  f ( x)  l   ( x) Định lý 1.5.9 lim f ( x )  l   xx  ( x) VCB khi x  x0 0. 1.5.6.3 Các tính chất của vô cùng bé Định lý 1.5.10 Trong quá trình nào đó thì tổng các VCB là VCB Tích của một VCB và 1 đại lượng bị chặn là VCB và nghịch đảo của VCB là VCL. 1 Thí dụ 1.5.11 lim x 2 .sin  0 x 0 x 2 vì khi x  x0 thì x là VCB và sinx là đại lượng bị chặn 1.5.6.4 So sánh các vô cùng bé Định nghĩa 1.5.8 Giả sử  ( x) ,  ( x) là hai VCB trong cùng một quá trình nào đó..  ( x)  0 thì ta nói  ( x ) là một VCB bậc cao hơn VCB  ( x )  ( x) hay  ( x ) là một VCB bậc thấp hơn VCB  ( x) trong quá trình đó. Khi đó: + Nếu lim.  ( x)  k  0 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCB cùng bậc  ( x) trong quá trình đó. Đặc biệt: + Nếu k  1 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCB tương đương trong quá. + Nếu lim. trình đó, ký hiệu  ( x)   ( x) khi x  x0 . ( hoặc x   ) sin x Thí dụ 1.5.12 Khi x  0 thì sinx  x vì lim 1 x0 x Khi x  0 ta chứng minh được các VCB sau tương đương sau: sin ax ~ ax; (a  0) ; arc tan ax ~ ax; (a  0) log a (1  x) ~ 1  cos x ~. 1 x ;(0  a  1) ln a. ln(1  x) ~ x ;. 1 2 x ; ; 2. (1  x )  1 ~  x ; (   R) ;. a x  1 ~ x. ln a ; (0  a  1) ;. e x 1~ x. arcsin ax ~ ax; (a  0). 1.5.6.5 So sánh các VCL Định nghĩa 1.5.9 Giả sử  ( x) ,  ( x) là hai VCL trong cùng một quá trình nào đó ( Chẳng hạn x  x0 ) . Khi đó: + Nếu lim.  ( x)  0 thì ta nói  ( x ) là một VCL bậc thấp hơn VCL  ( x )  ( x). hay  ( x ) là một VCL bậc cao hơn VCL  ( x ) trong quá trình đó.. 17.

(18) + Nếu lim.  ( x)  L  0 thì ta nói  ( x ) và  ( x )  ( x). là hai VCL cùng bậc. trong quá trình đó. Đặc biệt, nếu L  1 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCL tương đương trong quá trình đó. Thí dụ 1.5.13 Khi x   thì x 5 là VCL bậc cao hơn các VCL x 4 , x 3 , x 2 , x 1.5.6.6 Áp dụng VCB hoặc VCL trong tìm giới hạn a.Thay thế tương đương: Định lý 1.5.11 Nếu   x  ,   x  là các VCB khi x  x0 và  ( x) ~  1 ( x) ;   x   x  lim 1 và x  x0   x  x  x0   x  1.  ( x) ~ 1 ( x) khi x  x0 thì lim lim  ( x ). ( x )  lim  1 ( x ).1 ( x). x  x0. x  x0. 1  cos 2 x  tan 2 x 0 ( có dạng vô định ). x0 x sin x 0. Thí dụ 1.5.14 Tìm lim Giải: Khi x  0.  2x  ta có 1  cos 2 x ~. 2.  2 x 2 ; tan 2 x ~ x 2 và sin x ~ x .. 2 1  cos 2 x  tan x 1  cos 2 x tan 2 x 2x 2 x2 Suy ra: lim  lim  lim  lim  lim 3 x 0 x 0 x  0 x sin x x  0 x. x x  0 x. x x sin x x sin x 2. b. Ngắt bỏ VCB bậc cao Định lý 1.5.12 Nếu   x  là một VCB bậc cao hơn VCB   x  trong quá trình nào đó thì   x     x     x  trong quá trình đó Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao Nếu   x   1  x    2  x   ...   n  x  ;   x   1  x    2  x   ...   m  x  ; trong một quá trình nào đó và 1 ( x) ; 1 ( x) là các VCB bậc thấp nhất. trong tổng.  x   x  lim 1 x  x0   x  x  x0   x  1.   x  ,   x  Thì lim. x  sin 3 x  t an 7 x x 1  lim  4 8 x0 x0 3 x 3 3x  x  6 x 3 7 4 8 Vì khi x  0 thì sin x, tan , x ,  6 x là các VCB bậc cao hơn x có thể ngắt bỏ c. Quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp Nếu f  x   f1  x   f 2  x   ...  f n  x  ; g  x   g1  x   g 2  x   ...  g m  x  là. Thí dụ 1.5.15 lim. các tổng VCL trong một quá trình nào đó và f1 ( x) ; g1 ( x) là các VCL bậc cao nhất tương ứng trong các tổng f ( x), g ( x) thì lim. 18. f ( x) f ( x)  lim 1 g ( x) g1 ( x).

(19) 3. Thí dụ 1.5.16 lim. 3x 3  2x  1  3 7x 2  8 2. x . Vì khi x  . 3. thì. 3.  lim. 3x 3  2x  1 2. x . 3. x  2  x 1. x . x 2. 7 x 2  8 là một VCL bậc thấp hơn. 3. 3.  lim. 3x 3 x. 3 x 3  2 x  1 và. 2 3. 33 x  1 là. x 2  2 , nên các vô cùng lớn bậc thấp ở tử và mẫu bị lược. một VCL bậc thấp hơn bỏ.. 1.5.6.7 Một số ứng dụng khử dạng vô định. 0  ; ;   ; 0. ; 00 ; 1 ; 0  ;  0 ... 0 . Thí dụ 1.5.17 Tính các giới hạn: x 3  3 x 2  2x. 3. lim 1  x 2 . 1.. lim x 2. 2.. 2x 2  3x  5 x 5x  1. x2  x  6. cot 2 x. x0. lim. 4. lim. x . . 1 x  x. . x3  3 x 2  2x  0 ( x  2)( x 2  x) x( x  1) 2 Giải 1. lim Dang  lim  lim    x2 x 2  x  6 0 ( x  2)( x  3) x  3 5 x2   x2 2x 2  3x  5 2x 2 2 x  2 ~ ~ .  5x  1 5x 5 x 5. 2. Khi x   ta có. 2x 2  3x  5  2  x 5x 1 5. Vậy lim. 2x 2  3x  5 2  x 5x  1 5. Tương tự lim 3. lim 1  x 2 . cot 2 x. x0. . Dạng 1. x2. Ta có lim 1  x. 2. x0. 4. lim. x . lim. x  . . . . cot 2 x.  = lim  1  x 2 x0 . . . 1 x2. . x. . 2. lim    tan 2 x  e x0 tan x   e1  e  . . 1  x  x (Dạng    ) Ta biến đổi khử dạng vô định. 1 x . . x  lim. . x  . 1 x . . x. . 1 x . 1 x  x. . x.   lim. x  . 1. . 1 x . x. . 0. 1.6 Sự liên tục của hàm số. 1.6.1 Định nghĩa 1.6.1.1 Sự liên tục của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.6.1 Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu thoả mãn 2 điều kiện:. 19.

(20) + f ( x ) xác định tại x0 và trong lân cận x0 + lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0. Thí dụ 1.6.1.  sinx khi x  0  f ( x)   x 1 khi x  0. liên tục tại x = 0. s inx  1  f (0) x Chú ý: Một hàm không liên tục tại một điểm được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm đó 1 khi x  0  Thí dụ 1.6.2 f ( x)  0 khi x  0 gián đoạn tại x = 0  1 khi x  0 . Vì lim f ( x )  lim x0. x0. 1.6.1.2 Sự liên tục một phía Định nghĩa 1.6.2 Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu + f ( x ) xác định tại x0 và trong lân cận trái x0 + lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 . Tương tự hàm số f ( x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu + f ( x ) xác định tại x0 và trong lân cận phải x0 + lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 . Định lý 1.6.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y  f ( x) liên tục tại x0 là y  f ( x) liên tục trái và liên tục phải tại x0 . 1.6.1.3 Sự liên tục trong khoảng và trên một đoạn Định nghĩa 1.6.3 Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trong khoảng a; b nếu nó liên tục tại mọi. AA. B. x   a; b  .. Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên đoạn a; b nếu nó liên tục trong khoảng a; b và liên tục trái tại b , liên tục phải tại a . 1.6.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục. Hình 1.1. 20.

(21) Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn a; b  thì đồ thị của nó là một đường liền nét nối điểm Aa; f (a) và Bb; f (b)  (Hình 1.1) 1.6.2 Các phép toán trên hàm số liên tục 1.6.2.1 Tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục Định lý 1.6.1 Nếu hàm số f ( x); g ( x) liên tục tại x0 thì f ( x)  g ( x), f ( x ). g ( x),. f ( x) g ( x). .với g ( x )  0 là những hàm số liên tục tại x0 . 1.6.2.2 Sự liên tục của hàm số hợp Định lý 1.6.2 Nếu hàm u   ( x ) liên tục tại x0 và hàm f (u ) liên tục tại u0    x0  thì hàm hợp z   f  ( x) cũng là hàm số liên tục tại x0 . Nếu hàm lim  ( x )  L và f liên tục tại x  x0. L. thì lim  ( f 0 )( x )   f  lim  ( x )   f  L  x x  x  x  0. 0. 1.6.2.3 Sự liên tục của hàm số ngược Định lý 1.6.3 Hàm số liên tục và đơn điệu trong một khoảng thì có hàm số ngược và hàm số ngược cũng đơn điệu, liên tục 1.6.3 Sự liên tục của hàm số sơ cấp Định lý 1.6.4 Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó Thí dụ 1.6.3 Hàm số y  sinx  3 là hàm sơ cấp xác định trên R nên nó liên tục trên toàn trục số. 1.6.4 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 1.6.4.1 Tính bị chặn cuả hàm số liên tục Định lý 1.6.5 (Weierstrass) Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn  a , b  thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là  M , m  R sao cho m  f ( x )  M ;  x  [ a , b ] . 1.6.4.2 Đạt giá trị lớn nhất và bé nhất Định lý 1.6.6 (Weierstrass) Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a , b  thì nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó, tức là: x1 , x2   a, b  sao cho: m  f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )  M ; x   a, b  .. 1.6.4.3 Nhận giá trị trung gian Định lý 1.6.7 (Bolzano-Cauchy) Nếu f ( x ). liên tục trên đoạn.  a, b. và có. m    M với m; M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f ( x) trên đoạn đó. thì tồn tại ít nhất một điểm c   a, b  sao cho f (c)   Hệ quả: Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn  a , b  và có f (a). f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a, b  sao cho f (c)  0 tức là phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trong (a, b). 21.

(22) 1.6.4.4 Bảo toàn dấu của hàm số liên tục Định lý 1.6.5 Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn  a , b  , x0   a, b  và f ( x0 )  0 hoặc ( f ( x0 )  0) thì U ( x0 )  (a, b) sao cho x  U ( x0 ) : f ( x)  0 ( hoặc f ( x)  0 ) Chú ý: Các tính chất hàm số liên tục trên một đoạn có nhiều ứng dụng Thí dụ 1.6.3 Chứng minh rằng phương trình x 5  3 x  1 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2) Giải: Đặt f ( x)  x5  3 x  1 thì phương trình đã cho  f ( x)  0 ta có hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [1,2], f (1)  3  0; f (2)  35  0 theo hệ quả của Định lý 1.6.7 có ít nhất c  1, 2  : f (c)  0 . Vậy phương trình x 5  3x  1 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2). HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1 Chương 1 sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật. Đây là những vấn đề cơ bản của giải tích toán học, làm công cụ nghiên cứu các chương tiếp theo của toán cao cấp. Song các vấn đề này đã được học ở phổ thông và do thời lượng học trên lớp hạn chế, sinh viên cần tự đọc kỹ nội dung từng phần, liên hệ với toán phổ thông, làm đầy đủ các bài tập. Tham khảo các tài liệu [1]; [2] và sách toán giải tích lớp 11, lớp 12, trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1. Định nghĩa: Dãy số, các dãy số đặc biệt, hàm số và cho thí dụ các dãy số, hàm số trong thực tế 2. Định nghĩa hàm số hợp, hàm số ngược. Cho thí dụ. 3. Định nghĩa giới hạn của hàm số 4. Phát biểu các tính chất của giới hạn của dãy số, hàm số. 5. Phát biểu các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của dãy số, hàm số. Cho thí dụ 6. Định nghĩa VCB và VCL. Nêu các tính chất của nó. 7. Định nghĩa VCB tương đương và nêu ứng dụng của VCB tương đương. 8. Phát biểu và chứng minh định lí liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn hữu hạn. 9. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong một khoảng và trên một đoạn.Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục trên một đoạn. 10. Nêu các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn. Minh họa hình học từng tính chất và nêu các ứng dụng của chúng BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1 Tính các giới hạn của các dãy số an  sau. 22.

(23) 1) an =. ( n  1)( n  2)(n  3) ; n3 2. 2. 2. 2) an = 1  1  ...  1.2. 3) an = (1 + 2 + ... + n )/ n 5) an =. 3;. 2.3. 1 n ( n  1). n. 4) an = n / (n+1)n ;. n.sin n ; n2  1. 6) an =. n ; 6n. Bài 2 Chứng minh sự hội tụ của dãy an  với 1) an   1  1   1  1  ...  1  1n  3 9 3 . .  . . 2) a1  1, a2  2  2 ,..., an  2  2  ...  2 ( n căn) Bài 3 Cho f(x) = x2, g(x) = 2x. Hãy xác định các hàm số hợp sau:  f g  x  ,  g f  x  ,  f f  x  ,  g g  x  Bài 5. 1). Cho f(x) = ax + a-x. Chứng minh rằng: f(x+y) + f(x-y) = f(x).f(y) 2). Cho hàm f ( x) . x. , hãy tìm. 1  x2. f  f ... f ( x)    n lan. Bài 6 Tìm tập xác địnhcủa các hàm số sau: 1) y  2  x 2 3) y  arcsin. 2) y . 3x 2 1 x. 1 c os 2 x. 4) y  lg  lg x . Bài 7. Cho biết: lim u( x)  1, lim v( x)  , lim[u( x)  1]v( x)  L x a. x a. x a. v( x). Chứng minh: lim[u ( x)] x a.  eL .. Áp dụng kết quả này hãy tính giới hạn sau:. . 1) lim 1  x 2 x 0. cot 2 x. 1. . 1  1 3) lim  sin  cos  x  x x . 2) lim(1  tan 2 x 0. 1 cot g x. x )2x 1.  1  tgx  s inx 4) lim   x  0 1  s inx  . Bài 8 Tính các giới hạn. 23.

(24) 1) lim. x . . 3. x2  1  3 x. . 1  cos5x 1  cos3x ln( x  ln x) 4) lim x 0 x 2x e 1 6) lim x 0 3x tgx  sin x 8) lim x 0 x3 2) lim x 0.   3) lim  x  x  x  x  x   . 1  cos x  5) lim x4. x0.  1  x2  7) lim  2  x   x  9). 2. x 2 1.  s inx  lim   x  x 0 .  x 3 10) lim   x x  2  . sin x x s inx. 1. x 0. 11) lim 1  4 x 2 . x 5. 12)lim  cos x  x2. 2. cot 2 x. x 0. x0. Bài 9. So sánh các vô cùng bé sau:. 1) 2). 1 x n x  ( x )  1  cosx ,  ( x )  sin 3.  ( x )  n 1  x  1,  ( x ) . khi x  0 khi x  0. Bài 10 Tính các giới hạn bằng thay thế VCB tương đương. 1 2x 1 1) lim tan 3 x x0. 2) lim. sin 2 x  0 ln 2 (1  2 x ). 4) lim. x 1. ln 1  3 x  4 x 2  x 3 . ln cos x x 0 ln 1  x 2  . 3) lim. e2 x  1 x  0 ln(1  4 x ). 1  1  4 x2 6) lim x 0 1  1  arctan x. 5) lim. Bài 11. ln 1  x  3 x 2  2 x 3 . Xét sự liên tục của các hàm số sau:.  x2  4 khi x  2  1) f ( x )   x  2 4 khi x  2 . 1   x sin khi x  0 2. f ( x )   x 0 khi x  0. Bài 12 Tìm k để hàm số f(x) liên tục trên R:  sin 3 x khi x  0  1) f ( x)   x  k khi x  0. e x 2) f ( x)   x  k. 24. khi x  0 khi x  0.

(25) Bài 13 1. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm: a) x4  3x  1  0. b). x6  x  1. 2. Chứng minh phương trình khoảng (1,2). Bài 14. b). x5  3x2  10  0. 2 x  4 x.. có ít nhất một nghiệm thuộc.   neáu x   2 sin x 2  -   Cho f ( x)   A sin x.  B neáu  x  2 2    neáu x  cos x 2 . Tìm A và B để hàm số liên tục trên toàn trục số.. 25.

(26) Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1.1 Đạo hàm hàm số tại một điểm: Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f ( x ) xác định trong lân cận U ( x0 ) của x0 . Cho đối số x số gia x  x  x 0 sao cho x0   x  U ( x0 ) ; Khi đó hàm số y  f ( x) có số gia tương ứng  y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) . Giới hạn (nếu có) của tỷ số y f ( x0  x)  f ( x0 )  x x. khi  x  0 được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x0 và được ký hiệu f / ( x0 ) hay y / ( x0 ). Vậy f / ( x 0 )  lim. x 0. f ( x0  x)  f ( x0 ) (1) hay f / ( x0 )  lim f ( x )  f ( x0 ) . x  x0 x x  x0. Thí dụ 2.1.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số 1  2  x sin khi x  0 tại x  0 . f ( x)   x 0 khi x  0. Cho x số gia x  x  0 , ta có số gia của hàm số y  f  0  x   f (0) y 1  lim  x.sin  0  f / (0)  0 . x  0  x x  0 x.  lim. 2.1.1.2 Đạo hàm hàm số trong một khoảng Định nghĩa 2.1.2 Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trong khoảng ( a , b ) nếu hàm f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x  (a, b) . Ký hiệu là y / hay f ' ( x) hay. dy dx. y / cũng là một hàm số xác định trong khoảng  a , b . Thí dụ 2.1.2 y  x 3  y /  3 x 2 ; x  ( ,  ) 2.1.1.3 Đạo hàm một phía Định nghĩa 2.1.3 Trong giới hạn (1), ta hiểu x  0 từ cả 2 phía. Nếu xét giới hạn (1) khi  x  0 theo từng phía ta có các khái niệm đạo hàm một phía. y y ( hoặc lim ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải (  x  0 x x hoặc bên trái) của hàm f ( x ) tại x0 ký hiệu f / ( x0  ) ( hoặc f / ( x0  )). Nếu tồn tại lim. x  0 . Định lý 2.1.1.  f / ( x0 )  f / ( x0 )  f / ( x 0 ). Thí dụ 2.1.3 Xét đạo hàm của hàm số y = f(x) = x tại x = 0. 26.

(27) f  0  x   f  0  x 1 Ta có: y  . =  x. x. x. khi. 0.  1 khi. 0. x y y  lim   1  f / (0 )  1 và lim   1  f / (0 )  1  x0 x x0 x x 0 x Vậy y = f(x) = x không có đạo hàm tại x = 0. Do đó. lim . Định nghĩa 2.1.4 Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a, b  nếu + Hàm f(x) đạo hàm trong khoảng (a,b) + Hàm f(x) có đạo hàm bên phải tại x = a và có đạo hàm bên trái tại x = b 2.1.1.4 Mối liên hệ giừa đạo hàm và liên tục Định lý 2.1.2 Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm tại x = x0 thì f ( x ) liên tục tại điểm đó Tuy nhiên điều ngược lại không đúng Thí dụ 2.1.4 Hàm số f ( x)  x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0 2.1.1.5 Ý nghĩa của đạo hàm a. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x0 thì đồ thị của y  f ( x) có tiếp tuyến tại M0(x0,f(x0)) và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó là k  f / ( x0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M 0 ( x0 , f ( x0 )) của đồ thị hàm y  f ( x) là: y  f / ( x0 )  x  x0   f ( x0 ). b. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Xét một chuyển động thẳng có phương trình chuyển động là s  f (t ) (trong đó s là quãng đường đi, t là thời gian). Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0  f (t0 ) Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1  f (t1 ) Vậy trong khoảng thời gian t  t1  t0 nó đi được quảng đường s  s1  s0 . Xét tỷ số. s . Nếu chuyển động đều thì tỷ số này sẽ không đổi và bằng vận tốc của t. chuyển động. Nếu chuyển động không đều thì tỷ số này là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 đến thời điểm t0   t và vtb . f (t0  t )  f (t0 ) . t. Vận tốc trung bình này càng gần vận tốc thực tế nếu khoảng thời gian t càng bé. f (t0  t )  f (t0 ) tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là vận t tốc tức thời của chuyển động thẳng tại thời điểm t 0 . Ký hiệu vtt (t0 ) .. Cho nên nếu lim. t  0. Vậy vtt (t0 )  lim t  0. f (t0  t )  f (t 0 )  s / (t0 ) t. c. Ý nghĩa tổng quát của đạo hàm. 27.

(28) Ta xét hàm số y  f ( x) bất kỳ có đạo hàm tại x  x0 . Khi đó tỷ số. y là tốc độ x. biến thiên trung bình của hàm số f ( x ) khi x biến thiên từ x0 đến x0  x . Do đó đạo hàm f / ( x0 ) của y  f ( x) tại x0 là tốc độ biến thiên của đại lượng y theo đại lượng x tại x = x0. Trong thực tế tuỳ theo hàm y  f ( x) mà đạo hàm f / ( x0 ) của y  f ( x) tại x0 có ý nghĩa cụ thể. 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 2.1.2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu , tích, thương Định lí 2.1.3 Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trong khoảng nào đó thì trong khoảng ấy tổng, hiệu , tích, thương của chúng cũng có đạo hàm và: 1) (u  v ) '  u '  v '. 2) (k.u)’ = k.u’ ( với k là hằng số) 3) (u.v)’ = u’.v + u.v’ Tương tự ta có (u.v.w)’ = u ’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ '. ' '  u  u .v  u.v 4)    , ( v  0) v2 v Thí dụ 2.1.5 Cho y = x3lnx Khi đó: y’ = (x3)’.lnx + x3.(lnx)’ = 3x2lnx + x2 = x2(3lnx + 1). Thí dụ 2.1.6 Tính đạo hàm của hàm số: y  cos x  sin x. cos x  sin x. Ta có: y ' . (  sin x  cos x )(cos x  sin x )  (cos x  sin x )(  sin x  cos x ) (cos x  sin x ) 2. (cos x  sin x ) 2  (cos x  sin x ) 2 2   2 (cos x  sin x ) 1  sin 2 x 2.1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số hợp y  f  ( x) .. Định lí 2.1.4 Nếu hàm số u   ( x) có đạo hàm tại x0 và hàm số y  f (u ) có đạo hàm tại u 0   ( x0 ) thì hàm số hợp y  f   x  có đạo hàm tại x0 và: yx/  x0   yu/ (u0 ).u x/ ( x0 ). Tổng quát: Hàm số hợp y  f   x   có đạo hàm yx/  yu/ . u x/ Thí dụ 2.1.7 1. Tính đạo hàm của hàm số y = sin3x. Hàm số y = sin3x là hàm số hợp của y = u 3 và u = sinx. Áp dụng đạo hàm của hàm số hợp ta được yx/  yu/ . u x/  3u 2 .cos x  3sin 2 x.cos x 2. Tính đạo hàm của hàm số sau y  100  x 2. 28.

(29) 2 /. Ta có: y. /. 100  x  . . 2 100  x. 2 x 2 100  x. x. . 100  x. 2.1.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược Cho hàm số y  f ( x) là một song ánh từ tập X lên tập Y và x = g(y) là hàm số ngược của y = f(x) Định lí 2.1.5 Nếu f ( x ) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0 thì hàm ngược x  g ( y ) cũng có đạo hàm khác không tại y0  f ( x0 ) và g / ( y0 ) . 1 f ( x0 ) /. Ta thường viết công thức ở dạng x /  1/ y. Thí dụ 2.1.8 Tính đạo hàm hàm số y = arc sinx sin y  x vì arc sinx = y       y 2 , 2     1 Áp dụng công thức x /  1/ , ta có y /  /  y. x. 1. sin y . /. . 1 1 1   cos y 1  sin 2 y 1  x2. 2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 1. (C ) /  0; (C = const). /. 7.  tan x  . 2. x     . x  1 ;   R . /. 1   1  cot 2 x 2 sin x 1 / ; x 1 9.  arcsin x   1  x2 1 / ; x  1. 10.  arccos x   1  x2 1 / 11.  arctan x   1  x2 1 / 12.  arcc ot x   . 1 x2 /. 3. a x   a x . ln a ; (0  a  1) /. e   e . 1 ; 4. log x   x ln a x /. 8.  cot x  . x. /. a. ln x . /. x0. 1 x  cos x .. . .5. sin x  6. cos x /   sin x . /. 1  1  tan 2 x . 2 cos x. . . Chú ý: 1. Nếu các hàm lấy đạo hàm trong các công thức trên thay x bởi hàm số /. u   ( x ) có đạo hàm thì trong kết quả nhân thêm u /. Chẳng hạn  u    .u 1 .u /. 2. Để tính đạo hàm người ta thường dùng bảng công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp và kết hợp với các quy tắc nêu trên. Tuy nhiên, trong một số trường. 29.

(30) hợp, cần lựa chọn phương pháp thích hợp. Chẳng hạn để tính đạo hàm hàm số dạng v( x ) y  u ( x )  ; (u(x)  0) ta tiến hành 3 bước v( x). - Lấy logarit Neper 2 vế: ln y  ln u ( x) .  v ( x ).ln u ( x ) . - Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta được y/ u / ( x)  v / ( x).ln u ( x)  v( x). . y u ( x) u / ( x) . . -Từ kết quả đạo hàm hai vế, suy ra y /  y v / ( x ).ln u ( x )  v ( x ).  u ( x) . Thí dụ 2.1.9 Tính đạo hàm của hàm số y   s inx . . x. - Lấy logarit Neper 2 vế ta có ln y  x . ln sin x - Lấy đạo hàm 2 vế ta được. y/ x  ln sin x  x.c otx  y /   s inx  (ln sin x  x.c otx) y. 3. Khi tính đạo hàm hàm số có dạng tích và thương của nhiều biểu thức ta có thể dùng quy tắc đạo hàm của biểu thức luỹ thừa mũ nêu trên 3. Thí dụ 2.1.9 Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 .e x . cos x Lấy logarit Neper 2 vế ta có ln y  2 ln x  x 3  ln cos x . Lấy đạo hàm 2 vế ta được y/ 2 / x3 3   3x2  cotx . Suy ra y  xe . cos x. 2  3 x  x.c otx y x. . . 2.1.4 Đạo hàm cấp cao 2.1.4.1 Định nghĩa 2.1.4 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trong khoảng  a , b  là y/. Nếu tồn tại đạo hàm của y / thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm /. /. số y  f ( x) .Kí hiệu y// hay f ( 2) ( x ) . Như vậy y //   y /  hay y /( 2)   y (1)  . /. Tổng quát , đạo hàm cấp n của hàm số y  f ( x) ký hiệu f ( n ) ( x ) là  f (n1) ( x)  . - Các đạo hàm từ cấp hai trở lên được gọi là đạo hàm cấp cao. - Qui ước f ( 0 ) ( x )  f ( x ) . Thí dụ 2.1.10 1. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y  2 x3 . /. /. Ta có y /  6 x 2  y / /   6 x 2   12 x  y // /  12   12 ; 2. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y  sinx . /.  . Ta có y /   s inx   cos x  sin  x .  . 2. 30.

(31) /        y / /   f / ( x )   cos  x    sin  x     sin  x  2.  . 2 2 2 2   . / 2  y / / /   f / / ( x )   cos  x  2 . 2          sin  x  3.  .   sin  x  2 2 2   . Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được. . y n   f.  n 1 . /   ( x )  sin  x  n ; n  N . 2 . . 2.1.4.2 Một số đạo hàm cấp cao thường gặp 1 1)   x. ( n). . ( 1) n n ! ; x n 1. 2)  a x . ( n).  a x ln n a ;. 3)  e x . ( n).  ex. n.  n.  (n)    sin  x   ; 5)  cos x   cos  x   2  2      n  n 6) y     sin ax   a n .sin  ax  n  ; n  N 2    n  n 7) y     cos ax   cos  ax  n  ; n  N 2  2.1.4.3 Phép toán của đạo hàm cấp cao Định lý 2.1.5 ( Định lý Leibnitz) Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm đến cấp n trong khoảng (a,b) thì u  v, u.v cũng có đạo hàm cấp n trong khoảng (a,b) và ta có 4)  sin x . ( n). công thức sau gọi là công thức Leibnitz. u  v. ( n).  u ( n)  v( n) n. (u.u) ( n )   Cnk u ( k ) v( n k ) k 0. n! Với qui uớc Cnk  k ! n  k  !. Với qui uớc 0!  1 ; u (0)  u ; v (0)  v. Thí dụ 2.1.11 Cho y = x2. sinx. Tính y(100) = ? Đặt u = x2 , v = sinx  y  u.v rồi áp dụng công thức Leibnitz 100. y (100)  (u.u )(100)   Cnk u ( k ) v ( n  k ) ta có u /  2 x ; u / /  2 ; u ( k )  0 ; k  3 ... k 0.  y. (100 ). 0 100. C u. (0 ). 1 2 .v (100 )  C100 u / v (99 )  C100 u / / v ( 98 ).  v (100)  sin( x  100. )  s inx  v (99)   cos x  v (98)   s inx Từ đó suy ra 2. 2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm số f ( x ) xác định trong lân cận của x0 .. 31. y (100).

(32) Hàm số y  f ( x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu số gia của nó tại điểm đó là: y  f  x0  x   f  x0  có thể biểu diễn dưới dạng:  y  A. x    x  . x (1) Trong đó A là hằng số và   0 khi x  0 (2) Khi đó, biểu thức A.x được gọi là vi phân của hàm y  f ( x) tại x = x0, và được ký hiệu là df ( x0 ) hay dy( x0 ) . Vậy df ( x0 )  A. x Nếu hàm số f ( x ) khả vi tại mọi x  a; b thì ta nói hàm số f ( x ) khả vi trong khoảng  a , b  . Khi đó biểu thức vi phân của hàm trong khoảng  a , b  được ký hiệu: dy hay df ( x). 2.2.2 Ý nghĩa của vi phân Biểu thức A.x là biểu thức tuyến tính đối với  x nên thông thường nó đơn giản hơn số gia y nhiều. Nếu A  0 thì vi phân dy là VCB tương đương với y khi x  0 . Tức là dy  y khi x  0 .. 2.2.3 Mối liên hệ giữa khả vi và có đạo hàm Định lý 2.2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số f ( x ) khả vi tại x0 là nó có đạo hàm tại x0 và df ( x0 )  f /  x0  .x (3) Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để hàm số f ( x ) khả vi trong khoảng  a , b  là f ( x) có đạo hàm trong khoảng  a, b  và df ( x )  f / ( x ).dx (4) Thí dụ 2.2.1 y  f ( x)  x 4  dy  4 x3 dx 2.2.4 Các qui tắc tính vi phân Định lý 2.2.2 Nếu u = u(x), v = v(x) khả vi trong khoảng nào đó thì trong khoảng u cũng khả vi và v 1. d(u  v) = du  dv. ấy u  v, u.v, 2.. d(u.v) = udv + vdu  u  vdu  udv 3. d    , (v  0) v2 v Hệ quả: Nếu k là hằng số thì d(ku) = kdu 2.2.5 Ứng dụng vi phân tính gần đúng Định lý 2.2.3 Nếu y  f ( x) có đạo hàm tại x0 khác không thì y  f ( x0  x )  f ( x0 ) và df(x0) là 2 vô cùng bé tương đương khi  x  0 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm hữu hạn tại x0 , trong khi tính giá trị f  x 0  x  với  x khá bé thường rất phức tạp, nên áp dụng định lý 2.2.3 người ta tính gần đúng giá trị đó theo công thức sau đây:. 32.

(33) f  x0   x   f  x 0   df  x0 . với x đủ gần 0 .. Thí dụ 2.2.2 Tính gần đúng giá trị cos590 Giải:   f ( x)  cosx   Đặt  x0  600   cos590  cos( x0  x )  f ( x0  x )  f ( x0 )  df ( x0 ) 3    0 x  1   180. Ta có: . f ( x0 )  1 ; y  f ( x )  cosx  f / ( x )   s inx  f / ( x 0 )   3 . 2. 0 Suy ra: cos59 . 2. 1 3     .    0, 5151 . 2 2  180 . 2.2.6 Vi phân cấp cao 2.2.6.1 Định nghĩa 2.2.2 Cho hàm số y  f ( x) khả vi trong  a , b  . Khi đó: - Vi phân của hàm số y là dy  f / ( x).dx là hàm số xác định trong khoảng  a , b  - Nếu tồn tại vi phân của dy thì vi phân ấy được gọi là vi phân cấp hai của hàm y và ký hiệu d 2 y . - Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp (n – 1) của y  f ( x) được gọi là vi phân cấp n của y  f ( x) và ký hiệu d n y . Vậy d ny = d(dn-1 y) Các vi phân từ cấp 2 trở lên được gọi là vi phân cấp cao. 2.2.6.2 Cách tính Nếu y  f ( x) có vi phân đến cấp n trong khoảng (a,b) và x là biến số độc lập thì dny = y(n).(dx)n (1) Chú ý: Công thức (1) không đúng khi x là biến số phụ thuộc x   (t ) 2.2.6.3 Thí dụ 2.2.3 Cho hàm số y  f ( x )  2 x 3  3 x 2  50 thì. . . dy  f / ( x ) dx  6 x 2  6 x dx . 2 2 d 2 y  f // ( x ) dx   12 x  6 dx  .. d3y  f n. ///. 3. 3. ( x ) dx   12 dx  n. d n y  f ( n) ( x)  dx   0.  dx   0. 2.3 Các định lý về hàm số khả vi 2.3.1 Các định lý về giá trị trung bình 2.3.1.1 Cực trị hàm số. a. Định nghĩa 2.3.1 Cho hàm số y  f ( x) xác định trong lân cận U của điểm x0 .. 33.

(34) Hàm f ( x ) được gọi là đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x0 nếu f  x0   f  x  (hoặc f ( x0 )  f ( x)) ; x  U ( x0 ) ). Cực đại hay cực tiểu gọi chung là cực trị Nhận xét: Cực trị định nghĩa như trên có tính chất địa phương b. Điều kiện cần Định lý 2.3.1 (Định lý Fermat) Nếu y  f ( x) đạt cực trị và có đạo hàm tại x0 , thì f /  x 0   0 . Chứng minh: Giả sử hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0  a; b  , ta có: f x 0   x   f x0   0 .. M. y0 y f  x0  x   f ( x0 )  . x x y y Nếu x  0   0  lim  0  f /  x0   0 .  x  0 x x y y Nếu x  0   0  lim  0  f /  x0   0  x  0 x x Vì f ( x ) có đạo hàm tại x0 , nên Xét. f. /. x 0  . f. /. x   f x   0 .  0. /.  0. Vậy f /  x 0   0 .. x0. Trường hợp y  f ( x) đạt cực tiểu, ta chứng minh tương tự Hệ quả: f /  x0   0  f ( x ) không có cực trị tại x0. Hình 2.1. Như vậy để tìm cực trị của hàm số y  f ( x) ta chỉ cần khảo sát điểm tại đó hàm có đạo hàm bằng không, ngoài ra hàm có thể đạt cực trị tại điểm hàm không có đạo hàm (Chẳng hạn hàm f ( x)  x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó). Ta gọi các điểm này là điểm tới hạn Ý nghĩa hình học của định lý Fermat Nếu y  f ( x) có đạo hàm tại điểm cực trị x0 , thì tiếp tuyến với đường cong y  f ( x) tại M  x0 , y0  song song với trục 0x ( Xem hình 2.1). 2.3.1.2 Định lý 2.3.2 ( Định lý Rolle) Nếu hàm số f ( x ) thoả mãn 3 điều kiên:  Hàm f ( x ) liên tục trên đoạn  a, b  f ( x ) có đạo hàm trong khoảng  a , b   f (a)  f (b) thì tồn tại ít nhất c  a; b  sao cho f / c   0 .. 34.

(35) Chứng minh: (Dựa vào định lý Weierstrass về hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên đoạn đó và định lý Fermat ta được điều phải chứng minh) - Ý nghĩa hình học của định lý Rolle Nếu hàm f ( x ) thỏa mãn định lý Rolle, có đồ thị là AB thì có ít nhất C (c, f (c))  AB ; c  (a, b) tại điểm đó tiếp tuyến với đồ thị của f ( x ) song song với Ox. C B. A a. 2.3.1.3 Định lý 2.3.3 ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số f ( x ) thoả mãn 2 điều kiên:. c b Hình 2.2. + Hàm f ( x ) liên tục trên đoạn  a, b + f ( x ) có đạo hàm trong khoảng  a, b  thì tồn tại ít nhất c  a; b sao cho f / c  . f (b )  f (a ) ba. Chứng minh: (Dựa vào bằng cách lập hàm số phụ) f (b)  f ( a ) ( x  a ) thì F(x) thoả định lý Rolle. ba F (b )  F (a ) Suy ra c  a; b  sao cho F /  c    Điều phải chứng minh ba. Đặt hàm số F ( x )  f ( x )  f ( a ) . C. Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange Nếu hàm số y  f ( x) có đồ thị là đường AB và f ( x ) thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange thì tồn tại trên đường AB ít nhất một điểm C có tọa độ (c,f(c)) sao cho tại đó tiếp tuyến với đồ thị song song với đường thẳng AB, tức là: f / c  . A. B. a c. f (b)  f ( a) ba. b Hình 2.3. Chú ý: Định lý Rolle là trường hợp đặt biệt của định lý Lagrange khi f(a) = f(b) . 2.3.1.4 Định lý 2.3.4 ( Định lý Cauchy) Nếu thoả mãn 3 điều kiện: + f ( x ) và g ( x) là hai hàm liên tục trên đoạn  a, b + f ( x ) và g ( x) có đạo hàm trong khoảng  a, b . 35.

(36) + g / ( x )  0 tại mọi x   a, b  thì tồn tại ít nhất một điểm c   a, b  sao cho. f (b)  f ( a ) f / c  .  g (b)  g (a ) g / c . Chứng minh: (Dựa vào định lý Rolle bằng cách lập hàm số phụ) Đặt hàm F ( x )  g ( x )[ f ( b )  f ( a )]  [ g ( b )  g ( a )] f ( x ) . Nhận xét: 1.Định lý Lagrange là trường hợp đặt biệt của định lý Cauchy khi g ( x)  x . 2 Các định lý giá trị trung bình được áp dụng nhiều trong các chứng minh lý thuyết cũng như thực hành. Áp dụng chúng để xét sự biến thiên của hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức,… Thí dụ 2.3.1 a. Chứng minh rằng sin x  sin y  x  y ; x,y  R .(*) b. Chứng minh rằng phương trình x n  px  q  0 có không quá hai nghiệm thực nếu n chẵn, không quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ Giải: a. Với x  y thì bất đẳng thức (*) đúng Với x  y , không mất tính tổng quát ta giả sử y  x . Xét hàm số f ( x)  s inx . Rõ ràng, hàm số này liên tục trên  y; x  R và có đạo hàm f / ( x)  cosx; x   y, x  . Do đó f(x) thoả định lý Lagrange nên tồn tại c   y, x  sao cho: f ( x)  f ( y )   x  y  . f / ( c)  s inx  sin y   x  y  .cos c  s inx  sin y  x  y. b. Dùng phương pháp phản chứng và áp dụng định lý Rolle đối với hàm f ( x)  x n  px  q. 2.3.2 Công thứcTaylor và khai triển hàm số theo công thức Mac-Laurin 2.3.2.1 Định lý 2.3.5 Nếu hàm f ( x ) liên tục trên [a,b], có đạo hàm đến cấp n + 1 trong khoảng (a,b) và x, x0 là 2 điểm tùy ý trong khoảng (a,b) thì tồn tại c nằm giữa x0 và x sao cho: f  x   f  x0  . n   n 1 f / x 0  x  x0   ...  f x0  x  x0 n  f c  x  x0 n1 ; 1! n! n  1!. (1) .. Công thức (1) được gọi là công thức Taylor  n 1.  c  x  x n1 được gọi là phần dư Lagrange (hay phần dư bậc n) của hàm f(x)  0  n  1!. f. trong công thức Taylor và kí hiệu là Rn  x  Nếu x0  0   a, b  thì công thức Taylor trở thành công thức sau gọi là MacLaurin. 36.

(37) f /  0 f // 0 2 f  n   0  n f  n 1  c  n 1 f  x  f 0  .x  .x  ...  .x  .x ; 1! 2! n!  n  1!. (2) .. (c nằm giữa 0 và x và do đó c   x; 0    1 ) 2.3.2.2 Khai triển Mac-Laurin của một hàm số thường gặp a. Hàm f ( x)  e x Ta có f ( k ) ( x )  e x ; k  1  f ( k ) (0)  1; k  1 nên công thức khai triển MacLaurin của f ( x)  e x là: ex  1 x . x 2 x3 xn x n 1  x   .......   e ; 0  1 2! 3! n ! (n  1)!. (3). b. Tương tự ta chứng minh được. sin x  x . x3 x 5 x 7 x 2 k 1 x k    ....  1  ( 1) k 1 . 3! 5! 7! (2k  3)!  2k  1!. 2k 3.   .sin  x  (2 k  3)  (4) 2 .    1  . x 2    1  ...   n  1  . x n  ...  2! n!    1  ...   n  . x n  (1  c )   n 1 x n 1 ( n  1) !. . 1  x   1   x . Với c nằm giữa 0 và x 2.3.3 Qui tắc L’Hospitale 2.3.3.1 Định lý 2.3.6 (Định lý L’Hospitale 1) Nếu thoả mãn 3 điều kiện:  Hàm số f ( x), g ( x) khả vi trong lân cận điểm x0 (có thể trừ x0 ). thì. . f ( x0 )  g ( x0 )  0 và g / ( x)  0 ; x  U ( x0 ) (có thể trừ x0 ). . lim. x  x0. f /  x g /  x. L. f  x f x f /  x hội tụ khi x  x0 và lim  lim / L x  x0 g  x  x  x0 g  x  g  x. Định lý 2.3.7 (Định lý L’Hospitale 2) Nếu thoả mãn 3 điều kiện:  Hàm số f ( x), g ( x) khả vi và g / ( x )  0;  x  U ( x0 ) (có thể trừ x0 )  . lim f ( x)  lim g ( x )  . x  x0. lim. x  x0. x  x0. f. /. g. /. x l  x. 37. 5 .

(38) f  x f  x f /  x hội tụ khi x  x0 và lim  lim / l. x  x0 g  x  x  x0 g g  x  x. thì. 0 Chú ý: - Các định lý L’Hospitale trên dùng để khử dạng vô định hoặc  và định 0. . lý vẫn đúng khi x   0 - Khi áp dụng định lý L’Hospital vẫn còn dạng vô định hoặc  có thể tiếp 0. . tục áp dụng định lý L’Hospital - Nếu không tồn tại lim. x  x0. Thí dụ 2.3.2 Tính a. lim x 0. f / x g. /.  x.  l thì chưa kết luận được gì về lim. x  s inx x3. x  x0. f  x g  x. n b. lim x x x  . e. /. I  lim x 0. x  s inx 0 ( x  s inx) 1  cos x 0 (Dạng ) tiếp tục áp (Dang )  lim  lim 3 3/ 2 x  0 x  0 0 x 0 (x 3x. (1  cos x ) / s inx 1  lim  2 / x 0 x  0 6x 6 (3 x ). dụng L’Hospital  I  lim. n b. lim x x có dạng  . Áp dụng n lần L’Hospital ta được x  . . e. n. lim. x  . n 1. x nx  lim x x   e ex.  ...  lim. x  . n! 0 ex. 2.3.3.2 Các dạng vô định khác 1 , 0 0 ,   ,  0 ,... Các dạng vô định khác như    , 0. , 1 ,  0. ta biến đổi đưa về dạng. 0 hoặc  rồi áp dụng qui tắc L’Hospitale 0 . + Dạng 0. : Nếu lim f(x).g(x) có dạng 0 . thì ta biến đổi f ( x).g ( x)  x x0. hoặc f ( x).g ( x) . f ( x) 1 g ( x). g ( x) đưa về dạng 0 hoặc  rồi áp dụng qui tắc L’Hospitale 1 0  f ( x). + Dạng    : Dạng này xuất hiện khi tìm giới hạn của (f(x) – g(x)) 1 1  0 g ( x) f ( x) Ta biến đổi như sau f ( x)  g ( x)  đưa về dạng .rồi áp dụng quy tắc 1 0 f ( x).g ( x). L’Hospitale. 38.

(39) + Các dạng vô định khác 1 ,  0 , v( x).  u ( x) . .Ta v x . lim u ( x ) . x  x0. e. lim v ( x ).ln u ( x ) x  x0. 0. xuất hiện khi tìm giới hạn của biểu thức v( x ).  u ( x). đổi. biến. 0. e. ln  u ( x ) . v ( x). e. v ( x )ln u ( x ) . Khi. đó. . Dễ thấy lim v( x).ln u ( x)  có dạng 0. , ta có thể biến x  x0. đổi đưa về dạng 0 hoặc  rồi áp dụng quy tắc L’Hospitale để tính . 0. Chú ý Đối với giới hạn lim  u ( x )v x  có dạng 1 ta có thể áp dụng công thức sau để x  x0. lim  u ( x ) 1 v ( x ). tính lim u ( x ) v  x   e x  x0 x x 0. Thí dụ 2.3.3 Tính lim  x  e x  x 0 Cách 1: Ta có lim  x  e x  x 0. 1. x. . 1. x. (dạng 1) 1 lim  x  e x 1.   x. e x 0 . x / x x mà lim  x  e x 1 . 1  lim x e 1  lim ( x  e 1)  lim 1e  2 x x0 x x 0 x 0 ( x ) / x0 1. Suy ra lim  x  e x  x 0. 1. x. x. Cách 2: lim  x  e  x 0 =. x 0. ( x)/. 1. x. 2. . e. 1 lim .ln  x  e x .  x0 x . . ln xe .Mà lim 1x .ln  xe x  .  lim  x x0 x0. x . (dạng 0 ) 0. /.  ln  x  e   lim x. e. 1 1  ex  lim  2 . Suy ra lim  x  e x  x x x 0 x 0 x  e. e. 2. 2.4 Ứng dụng của đạo hàm 2.4.1 Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số 2.4.1.1 Chiều biến thiên Định lý 2.4.1 (Về tính tăng, giảm của hàm số) Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a,b). Khi đó: 1. f / ( x )  0 ; x  (a, b)  f ( x)  C (C là hằng số), x  [a, b] 2. Nếu f ( x) tăng (hoặc giảm) trên  a , b  thì f / ( x )  0 (hoặc f / ( x)  0 ) với x  (a, b) 3. Nếu f / ( x )  0 (hoặc f / ( x)  0 ) x  (a, b) thì f ( x ) tăng (hoặc giảm) trên [a, b] 2.4.1.2 Điều kiện đủ hàm số cực trị Định lý 2.4.2 (Về cực trị của hàm số) Giả sử hàm f(x) xác định tại x0 và khả vi trong lân cận x0 (Có thể trừ điểm x0). Khi x vượt qua x0 1. Nếu y / đổi dấu từ (+) sang (-) thì f ( x) đạt cực đại tại x0.. 39.

(40) 2. Nếu y / đổi dấu từ (-) sang (+) thì f ( x ) đạt cực tiểu tại x0. 3. Nếu y / không đổi dấu thì f ( x) không có cực trị tại x0. Chứng minh: Dựa vào định lý 2.4.1 và định nghĩa 2.3.1 Định lý 2.4.3 (Dấu hiệu tổng quát) Giả sử hàm y  f ( x) thoả mãn 2 điều kiện: + f ( x ) có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng chứa x0 + f / ( x0 )  f // ( x0 )  ...  f ( n1) ( x0 ) nhưng f ( n ) ( x0 )  0 Khi đó 1. Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại x0. Hơn nữa nếu f ( n ) ( x0 )  0 thì hàm f(x) đạt cực đại tại x0, nếu f ( n ) ( x0 )  0 thì hàm f(x) đạt cực tiểu tại x0. 2. Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Thí dụ 2.4.1 Tìm cực trị của hàm số y  s inx Giải + Tìm tất cả điểm tới hạn  Ta có f / ( x)  cos x nên f / ( x)  0  x   k ; k  Z 2. + Tính các đạo hàm cấp cao       f ( k ) ( x )  sin  x  k .   f ( k )   k .   sin   k .  k .  2 2  2  2. - Nếu k chẵn tức k  2n thì f ( k )    k .    1  0  Hàm f(x) đạt cực đại tại 2. điểm x . .       2 n và f   2 n   sin   2 n   1 2 2  2 . - Nếu k lẻ tức k  2n  1 thì f ( k )    (2 n  1).   1  0  Hàm f(x) đạt cực tiểu 2. tại điểm x . .       (2n  1) và f   (2 n  1)   sin   (2 n  1)   1 2 2  2 . 2.4.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. 2.4.2.1 Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên [a,b] thì nó đạt giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn đó. 2.4.2.2 Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên [a,b] như sau: + Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên đoạn [a,b], giả sử các điểm đó là x1, x2, ...xn + Tìm các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), ..., f ( xn ), f (a ), f (b ) + So sánh các giá trị f ( xi ) ; i  1, 2,..., n và f (a), f (b) để suy ra GTLN, GTNN cần tìm Chú ý: Bài toán tìm GTLN, GTNN được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán thực tế, kỹ thuật, kinh tế. 40.

(41) Thí dụ 2.4.2 Tìm hình trụ có thể tích lớn nhất khi diện tích xung quanh của nó là S không thay đổi Giải: Gọi r là bán kính đáy và h là chiều cao hình trụ. Khi đó thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ là V   r 2 h và S  2 r 2  2 rh . Theo giả thiết S là hằng số 2 nên h  S  2 r . Vậy bài toán cần tìm giá trị lớn nhất của. 2 r. V (r )   r 2 .   r2.. hàm. S  2 r 2 2 r.  S S  2 r 2 1  r ( S  2 r 2 ) với r  0,  2 r 2   1 2. Ta có V / (r )  ( S  6 r 2 ); V / (r )  0  r . S . 6. Do V / (r ) đổi dấu từ dương sang âm khi r qua đó. Khi đó h  2. S nên V(r) đạt giá lớn nhất tại 6. S  2r . 6. Vậy thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy của hình trụ 2.4.3 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong 2.4.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.4.1 Ta gọi cung (C) của đường cong y  f ( x) trong khoảng (a,b) là lồi (hoặc lõm) nếu mọi điểm của cung này đều nằm dưới (hoặc trên) tiếp tuyến bất kỳ của cung. Điểm phân chia hai cung lồi, lõm kề nhau của cùng một đường cong y  f ( x) gọi là điểm uốn của đường cong này. 2.4.3.2 Định lý 2.4.4 Giả sử hàm số y  f ( x) khả vi đến cấp 2 trong (a,b) khi đó: - Nếu f / / ( x)  0 (hoặc f / / ( x)  0 ) với x   a, b  thì đường cong y  f ( x) lõm( hoặc lồi) trong khoảng (a,b) - Nếu hàm số y  f ( x) liên tục tại x0 và khả vi đến cấp 2 tại một lân cận của x0 (có thể trừ x0) và f // ( x) đổi dấu khi qua x0 thì điểm (x0; f(x0) là điểm uốn của đường cong y  f ( x) Thí dụ 2.4.3 Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y  3 x 2.4.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.4.4.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) a. Sơ đồ. 41.

(42) 1. Tìm tập xác định của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số (nếu có) để rút gọn miền khảo sát. 2. Sự biến thiên - Tính đạo hàm y/ trên miền khảo sát và xét dấu y/ . Từ đó suy ra chiều biến thiên và cực trị (nếu) có của y = f(x) nhờ áp dụng các định lý 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 - Khảo sát tính lồi lõm và điểm uốn (nếu có) bằng cách tìm y// và áp dụng định lý 2.4.4 - Tìm tiệm cận (nếu có) và giới hạn - Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị 1. b. Thí dụ 2.4.3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  x.e x 1. Tìm tập xác định: R\{0} 2. Sự biến thiên y/ . x  1 1x .e  0  x  1, y  e ; x. y// . 1 1x .e x3. - Tiệm cận đứng: x = 0 1. 1 y e x 1 - Tiệm cận xiên: y = x+1 vì  e x  1 khi x   và y  x   1 khi x   1 x x. - Bảng biến thiên x y/ y// y. . + . 0 || || 0 ||  ||. +. 1 0 e. . + + . e. Đồ thị của y lồi trong khoảng (  ,0) và lõm trong khoảng (0,  ) 3. Vẽ đồ thị. 42.

(43) e. 0. Hình 2.4 2.4.4.2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho dưới dạng tham số  x  x(t )   y  y (t ). a. Sơ đồ 1. Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) của x(t) và y(t) theo biến t 2. Khảo sát sự biến thiên của x,y theo t bằng cách tính x/(t); y/(t); xét dấu chúng. Sau đó, suy ra tính tăng, giảm, lỗi lõm của đường cong dựa vào y/ x , y//x Với y x/ . y / (t ) , x / (t ). y x// . y / / (t ).x / (t )  x // (t ). y / (t ) 3.  x (t )  /. 3. Tìm tiệm cận (nếu có) Nếu trong quá trình nào đó của t mà x  a mà y   thì x = a là tiệm cận đứng x   mà y  b thì y = b là tiệm cận ngang y y   a và   a.x   b khi x   thì y = ax+b là tiệm cận xiên x x  . 4. Lập bảng biến thiên chung của x(t); y(t) theo t 5. Vẽ đồ thị: 3.  x  acos t b.Thí dụ 2.4.4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  với (a>0) 3  y  a sin t. 43.

(44) 2.4.4.3 Đối với hàm số cho trong hệ toạ độ cực a. Định nghĩa 2.4.2 Trong mặt phẳng chọn một điểm 0 cố định gọi là cực và 1 vectơ đơn vị OP; tia mang vectơ OP gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực. Toạ độ cực của một điểm M trong mặt phẳng được xác định cặp số (r, ) . Trong đó    r  OM ;   (Ox, OM ) với  là góc định hướng,. y. chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. Kí hiệu là M(  , r). o. N. x. Hình 2.5 b. Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Đềcác vuông góc. Nếu chọn hệ trục tọa độ đềcác (Descarter) có gốc tại cực và trục hoành trùng với trục cực thì tọa độ Đề các (x,y) và tọa độ cực (r, ) của cùng một điểm M có liên hệ sau (từ các hệ thức trong tam giác vuông ONM)  x  r cos  (1) và ngược lại   y  r sin . r  x 2  y 2 (2)    arctan yx  k. c.Phương trình đường cong trong tọa độ cực. Đường cong trong hệ tọa độ cực có phương trình dạng r = r() (1) hoặc dạng F(r, ) = 0 (2) Thí dụ 2.4.5 Hình quạt OAB trong hệ tọa độ cực giới hạn bởi tia  .   và ;  6 3. đường AB có phương trình r  4cos (Xem hình 2.6). Hình 2.6. x. c. Muốn khảo sát hàm số r = f() trong tọa độ cực ta cũng tiến hành theo các bước như trong lược đồ chung. 1. Tìm miền xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) 2. Lập bảng biến thiên 3. Tiệm cận (nếu có) 4. Xác định một số điểm đặc biệt và có thể cả tiếp tuyến tại đó.. 44.

(45) HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2 Đạo hàm và vi phân đóng một vai trò quan trọng trong toán học về lý thuyết cũng như thực hành và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Chúng ta đã làm quen với những khái niệm này trong chương trình toán phổ thông. Chương 2 này sẽ nghiên cứu vấn đề một cách hệ thống, đầy đủ và sâu sắc hợn. Sinh viên khi học cần liên hệ với toán phổ thông, chú ý khai thác ý nghĩa, ứng dụng của các khái niệm trong kỹ thuật. Tự đọc phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho dưới dạng tham số và cho trong toạ độ cực được áp dụng nhiều trong kỹ thuật. Trả lời đầy đủ các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại 1 điểm, trong một khoảng, đạo hàm một phía và nêu ý nghĩa của đạo hàm. Cho thí dụ. 2. Nêu các công thức tính đạo hàm của hàm ngược và hàm hợp. 3. Định nghĩa vi phân của hàm số tại 1 điểm, trong 1 khoảng. 4. Phát biểu mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân của hàm số. 5. Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao. Cho thí dụ. 6. Phát biểu và nắm được cách chứng minh các định lí Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy.và nêu các ứng dụng của chúng 7. Nêu các ứng dụng của đạo hàm và vi phân, cho thí dụ minh hoạ. BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: x. 1) y  x2 .e x ; 2) y  1  1  x 2 ; 3) y . arcsin x ; 4) y  2 ln x ; x. 1  2  x sin 3 khi x  0 x 0 khi x  0. 5) y  x cos2 x ; 6) Cho f ( x)  .  x khi x  0 . Hàm f có đạo hàm tại x = 0 hay không ? 1 khi x  0. 7) f ( x)  . 2. 8) y = ln(arc sin5x) ; 9) y  x3 .e x . sin 2 x Bài 2. Tính đạo hàm cấp n các hàm số sauu: 1 y  x 5  3x 4  4 x3  x 2  x  7 . 1) 2 2) 3) 4). y  x 2 .e x . Tìm y (20) (0) y. x. Cho y  1  x . x. Bài 3. Tính vi phân cấp 2 các hàm số sau:. 45.

(46) y = y  ln( x  1  x 2. 1). 2) y = x 2  1 3) y = x2ex Bài 4. Dùng vi phân, tính gần đúng: A  3 1, 001 ; B  sin 320. ; C  ln(0,9998). Bài 5 1. Chứng minh các bất đẳng thức: ba b ba a)  ln  (0  a  b ) b a a x b )arctan x  ; x  0 1  x2 2. Chứng minh phương trình 16 x 4  64 x  31  0 không thể có 2 nghiệm riêng biệt trong khoảng (0,1) Bài 6 Khai triển theo Maclaurin của hàm số: e x  e x 1) y 2 2) y x 3). y. x 1 x. Bài 7. Áp dụng quy tắc L’Hospital tính các giới hạn sau: 1  1  cos x 1 1) lim   x 2) lim  x 0 x x 0 x sin x e 1  es inx  e x x 0 sinx  x.   2arctgx x   1 ln 1    x. 3) lim. 5) lim 1  x . ln x. 4) lim. 2 x . 6) lim  t anx   x 2. x 0. 1. 1. 7) lim  e x  x  x. 8) lim  e x  x  x. x 0. 2  9) lim  arctgx  x    . x . x. 1. 10) lim  c otx  ln x x 0. Bài 8. Tìm cực trị các hàm số sau:. 1) y  x3  3 x 2  9 x  5 3) y  e x. 2. 2 x. 2) y  4) y . x2 ln x x. x2  4 Bài 9. Sử dụng khai triển Taylor chứng minh các bất đẳng thức:. 46. 3.

(47) x2 ,  x  0 2 x2 3 ) ex  1  x  ,  x  0 2. 1 ) cosx  1 . x3 6 3 x 4 ) tgx  x  , 2. 2 ) sinx  x . ,.  x  0.   0  x   2 . Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn đã cho 3  1 ) y  x  2 ln x, x   , e  2 . 2) y . x , x   0 , 2 1  x2. Bài 11 Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thi hàm số sau: 1. 1 ) y  ln 1  x 2  , 4. 3 ) y   x  1  e 2 x. 2 ) y  ex 4 ) y  e artgx. Bài 12 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:  x  a.cos t 2)  ;a  0  y  a.sin t. 1) y  3 x  1  3 x  1. 47.

(48) Chương 3. TÍCH PHÂN 3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định 3.1.1 Nguyên hàm của hàm Định nghĩa 3.1.1 Nguyên hàm của hàm số f ( x) trong khoảng  a , b  là hàm số F ( x) sao cho: F / ( x)  f ( x) ; x   a, b . Thí dụ 3.1.1 cosx trong khoảng  ,   có nguyên hàm là hàm số sinx vì (sinx)’ = cosx , x  ( ,  ) . Định lý 3.1.1 Nếu hàm số f ( x ) có nguyên hàm là hàm số F ( x) trong một khoảng nào đó thì trong khoảng ấy: 1. F ( x)  C với C là hằng số cũng là nguyên hàm của f ( x ) 2. Mọi nguyên hàm của f ( x ) đều có dạng F ( x)  C Nhận xét: Một hàm số có nguyên hàm trong một khoảng nào đó thì trong khoảng ấy hàm f(x) có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm này chỉ sai khác một hằng số C tùy ý. Do đó chỉ cần tìm được một nguyên hàm của f ( x) ta tìm được tất cả các nguyên hàm của nó. 3.1.2 Tích phân bất định 3.1.2.1 Định nghĩa 3.1.2 Tập hợp tất cả nguyên hàm của f ( x ) trong một khoảng nào đó được gọi là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của f ( x) trong khoảng ấy và ký hiệu là.  f ( x)dx Vậy. /.  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x). Trong đó: +  được gọi là dấu tích phân + f ( x) được gọi là là hàm số dưới dấu tích phân + f ( x ).dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân + x được gọi là biến số lấy tích phân Thí dụ 3.1.2.  cosxdx  sin x  C. 3.1.2.2 Tính chất /. 1..   f ( x)dx . 2..  dF ( x)  F ( x)  C   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)   g ( x)dx k  const   k . f ( x)dx  k  f ( x)dx. 3. 4.. . f ( x). 48.

(49) 3.1.3 Các công thức tích phân cơ bản Theo định nghĩa tích phân, từ bảng đạo hàm cơ bản ta suy ra được bảng tích phân cơ bản sau:. 1.  a.dx  ax  C. 8.  cos xdx  sin x  C.  1. 2.  x dx . x  C   1  1. dx   1  cot 2 x dx  cotx  C 2 sin x dx 10.   1  tan 2 x dx  tan x  C cos2 x  dx 1 x 11.  2  arctan  C 2 a x a a dx x 12.   arcsin  C a a2  x2 9. . dx  ln x  C x dx 4.   arctan x  C 1  x2 dx 5.   arcsin x  C 1  x2 3. . 6.  a x dx . ax  C, ln a. x.  e dx  e. x. dx 1 ax  ln C 2 a x 2a ax dx 14.   ln x  x 2  b  C 2 x b. C. 13. . 7.  sin xdx   cos x  C. 2. 3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân 3.2.1 Phương pháp phân tích Sử dụng các tính chất của tích phân, ta biến đổi, phân tích đưa tích phân đã cho về các tích phân cơ bản Thí du 3.2.1 Tính. . . Phân tích. . . x  1 x  x  1 dx. . . x 1 x . 3. . x  1  x x  1  x 2  1 . Do đó. 3  32  2 5 x  1 x  x  1 dx    x  1dx   x 2 dx   dx  x 2  x  C 5  . . . 3.2.2 Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến để tính  f ( x)dx dựa vào các định lý sau: 3.2.2.1 Đổi biến dạng x    t  Định lý 3.2.1 Nếu hàm số x =   t  khả vi liên tục theo biến t thì ta có công thức.  f ( x)dx   f  t   ' t  dt. (1) .. Công thức (1) được gọi là công thức đổi biến số. 49.

(50) Thí dụ 3.2.2 Tính. . dx. . x 1 3 x. 6. . 5. Đặt x = t (t > 0), dx = 6t dt, khi đó: dx 6t 5dt t 2 dt 1  dt      6  x 1  3 x  t 3 1  t 2   1  t 2   6 1  1  t 2 dt  6   dt   1  t 2 . . .  6(t  arctan t)  C. x = t6 (t > 0)  t  6 x , do đó: . dx. . x 1 3 x. . 6. . 6. . x  arctg 6 x  C. 3.2.2.2 Đổi biến dạng t    x  Định lý 3.2.2 Nếu t    x  là hàm khả vi và f(x)dx trở thành g(t)dt thì.  f ( x)dx   g(t).dt. (2). e2 x dx Thí dụ 3.2.3 Tính tích phân I   x e 1 e 2 x dx e x .e x dx tdt 1   Đặt t  e x  dt  e x dx   x  x    1  dt t 1 e 1 e 1  t 1.  t  ln t  1  C  e x  ln e x  1  C 3.2.3 Phương pháp tích phân từng phần Định lý 3.2.3 Nếu u  u ( x); v  v( x) có các đạo hàm liên tục. Khi đó ta có công thức  udv  u.v   vdu (3) Việc lấy tích phân theo công thức  udv  u.v   vdu (3) gọi là tích phân từng phần, ở đây u  u ( x); v  v( x) là các hàm khả vi, liên tục của x. Nhờ công thức này, việc lấy tích phân  udv được đưa về lấy tích phân.  vdu đơn giản hơn. Nếu sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta phải đặt u và dv sao cho f(x)dx = u.dv. Một số dạng tích phân sau được sử dụng phương pháp tích phân từng phần  Tích phân.  P( x)e. kx. dx ,  P( x)sin kxdx ;  P ( x)cos kxdx trong đó P(x) là đa. thức thì đặt u = P(x), còn dv là phần còn lại của biểu thức tích phân  Tích phân  P( x)ln n xdx (   1 và n nguyên dương),  P ( x)arcsin kx.dx ,.  P( x)arc coskx.dx. ,.  P( x)arctan kx.dx. thì nên lấy tương ứng các hàm. ln x, acr sinx, arccos x, arctan x làm u, còn dv  P( x)dx . Thí dụ 3.2.4 1.Tính tích phân  ( x  5)sin 3 x.dx.. 50.

(51) 1 3. Đặt u  x  5 , dv  sin 3 x.dx  du  dx , v   cos 3 x . Dùng công thức tích phân từng phần ta được:.  ( x  5) sin 3 x.dx  . x5 1 x5 1 cos 3 x   cos 3 x.dx   cos 3 x  sin 3 x  C 3 3 3 9. 2. Tính tích phân  ( x2  7)ln x.dx 2. Đặt u  ln x , dv  ( x  7) dx . dx x3 du  , v  +7x. Dùng côngthức tích phân x 3. từng phần ta được:  x3  x 3 ln x x3 1 2   ( x  7) ln x.dx   3  7 x  ln x    3 x  7  dx  3  7 x ln x  9  7 x  C 2. 3.3 Tích phân các hàm số thường gặp 3.3.1 Tích phân hàm số hữu tỷ 3.3.1.1 Tích phân các phân thức đơn giản k k 1.  dx  ln a.x  b  C ; , a  0 và k là hằng số ax  b a Thí dụ 3.3.1 Tính 2.. k.  (ax  b). 3. I1  . n. 5. 5.  2 x  1 dx  2 ln 2 x  1  C. dx . k 1 .  C , (n  1, a  0, k  R) 1  n a( ax  b )n1. dx , với p 2  4. p.q  0 x  px  q 2. Ta có x 2  px  q  ( x . p 2 p2 ) q suy ra: 2 4. p 2 p2 dt 1 t ) I1     arctg  C (với t  x  , a  q  2 4 p 2 p2  a2  t2 a a (x  )  q  2 4 Mx  N 2 4. I 2   2 dx , với p  4. p.q  0 x  px  q dx. M Mp (2 x  p )  N  Mx  N 2 suy ra: Biến đổi 2  2 x  px  q x 2  px  q. 51.

(52) x. Mx  N M (2 x  p)dx Mp dx M Mp dx   2  (N  ) 2  ln x 2  px  q  ( N  ) I1  px  q 2 x  px  q 2 x  px  q 2 2. 2. Thí dụ 3.3.2 Tính. x. 2. 3x  1 dx  2 x  10. Giải 3  2 x  2  2  2x  2 3x  1 3 dx 2  x 2  2 x  10dx   x 2  2 x  10 dx  2  x 2  2 x  10dx  2  x  12  33 . Mx  N 2 dx , với p  4. p.q  0 n ( x  px  q ). 5. I3   I3  . M 2. . 3 3 3x  1 ln x 2  2 x  10  arctan C 2 2 3. 2.  2 x  p  dx. x.  px  q . 2. n. MP  dx M  N    2 n 2   x  px  q  2 . du. u. n. MP  dt  N   2 2 n 2  a  t  . M MP  dt p  2 N    2 2 n ; u  x  px  q , t  x  n 1 2  a  t  2 2  n  1 u . Ta tính.  (a. Đặt I n  . 2. dt bằng phương pháp truy hồi  t 2 )n. t 2n  1 dt  In , n  1, 2,3,... Ta chứng minh được I n1  n 2 n 2 2 2 2na 2 (a  t ) 2na  t  a  2. 3.3.1.2 Tích phân hàm số hữu tỷ dạng tổng quát. P( x ).  Q( x) dx. Trong đó P(x), Q(x). tương ứng là đa thức bậc m,n Nếu. mn. thì chia tử cho mẫu ta được. P ( x) R ( x) Trong đó S(x) là một đa  S ( x)  Q( x ) Q ( x). R ( x) là phân thức thực sự. Khi đó  P ( x ) dx   S ( x) dx   R( x) dx Q( x) Q( x ) Q ( x) Việc tính tích phân đa thức S(x) dễ dàng tính được. Do đó ta cần giải quyết cách R ( x) tính  dx . Muốn vậy: Q( x) Bước 1: Phân tích đa thức Q(x) thành nhân tử bậc nhất hoặc bậc 2 không có nghiệm thực, trong đó có thể có các nhân tử trùng nhau Q ( x )  ( a1 x  b1 ) ...( a 2 x  b2 )...( A1 x 2  B1 x  C1 )  ...( A2 x 2  B2 x  C 2 ) (1). thức, còn. 52.

(53) Bước 2: Phân tích R ( x) thành tổng các phân thức đơn giản Q( x ). R ( x) M1 M N   ...   ...    Q ( x) (a1 x  b1 ) (a1 x  b1 ) (a2 x  b2 ) E1 x  F1.  A1 x  B1 x  C1  2. .  ... . E x  F. Ax 1. 2.  B1 x  C1 .  ... . Gx  H A2 x  B2 x  C 2 2. (2). Các hệ số M 1 , N 1 ,..., M  , N  , N , E1 , F1 ,..., E  , F , G , H là các hằng số thực chưa biết, để tìm chúng ta nhân 2 vế của khai triển (2) với Q(x), mẫu bị khử. Sắp xếp đa thức nhận được ở 2 vế theo luỹ thừa giảm dần, rồi thực hiện đồng nhất thức. Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi tất cả các hệ số của các luỹ thừa cùng bậc bằng nhau hặc cho x các giá trị đặc biệt ta nhận được một hệ phương trình. Giải hệ để xác định các hệ số ấy. Phương pháp xác định các hệ số như trên được gọi là phương pháp hệ số bất định Thí dụ 3.3.3 Tính Ta có . x 4 dx  x3  x2  x  1. x4 1 1  x 1 3  x 1 x3  x 2  x  1 x  x2  x  1 ( x  1)( x 2  1). x4 1 2 1  x 3  x 2  x  1dx  2 x  x   ( x  1)( x 2  1)dx. Phân tích. 1 ( x  1)( x 2  1). thành tổng các phân thức đơn giản:. 1  ( x  1)( x 2  1). A Bx  C Khử mẫu ta được 1  A( x 2  1)  ( Bx  C )( x  1)  x  1 x2  1  1  ( A  B) x 2  (C  B) x  A  C. 1  A  2 A  B  0  1    C  B  0   B  2 A  C 1   1  C   2  1 1 dx 1 dx 1 2 xdx  dx     2   2 2 2 x 1 2 x 1 4 x 1 ( x  1)( x  1) 1 1 1  ln x  1  arctan x  ln  x 2  1  C 2 2 4. Vậy . . x4 1 1 1 1 dx  x 2  x  ln x  1  arctan x  ln  x 2  1   C 3 2 2 2 2 4 x  x  x 1. 53.

(54) 3.3.2 Tích phân hàm số vô tỷ Không có phương pháp tổng quát để tính tích phân hàm số vô tỷ. Ta chỉ tính được tích phân của một số lớp tích phân hàm số vô tỷ bằng cách đổi biến thích hợp đưa về tích phân hàm số hữu tỷ, gọi là phương pháp “hữu tỷ hoá”. mk m1  n n 3.3.2.1 Tích phân dạng  R  x, (ax  b) 1 ,..., (ax  b) k  .   dx (1) Trong đó R(u,v,…,w)  . là hàm số hữu tỷ đối với u,v,…,w và m1 , n1 , m 2 , n2 , ..., m k , n k là các số nguyên Đặt ax  b  t k với k là bội chung nhỏ nhất của n1 ,..., nk Thí dụ 3.3.4 Tính I  . dx 1  3 ( x  1)2. Đặt x  1  t 3  dx  3t 2dt suy ra: 3t 2 dt dt I  3 dt  3  3t  3arctan t  C  3 3 x  1  3arctan( 3 x  1)  C 2 2 1 t 1 t 3.3.2.2 Tích phân dạng  R [ x, ax 2  bx  c ] dx , a  0 (2) Với R(u,v) là hàm hữu 2.  b b 2  4ac  b tỷ đối với u,v. Biến đổi ax 2  bx  c  a.  x     đặt u = x  chuyển . 2. 4. . 2. tích phân dạng (2) về một trong 3 dạng sau: 1.  R [u, k 2  u 2 ] dx. (3). 2.  R [u, k 2  u 2 ] dx. (4). 3.  R [u, k 2  u 2 ] dx. (5).     ,   2 2     Đặt u  k.sin ; t   ,   2 2. Đặt u  k .tan t ; t  . Đặt u . k   ; t   0,   \   cos t 2. Chú ý : Tích phân dạng (2) có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng cách biến đổi đơn giản hơn, sinh viên có thể tham khảo thêm ở phần bài tập ( Sử dụng phương pháp Euler): Đặt.  x a  t khi a  0  ax 2  bx  c   xt  c khi c  0 t ( x   ) khi ax 2  bx  c  a ( x   )( x   ) . Thí dụ 3.3.5 Tính I   x 2 4  x 2 dx Đặt x = 2sint (    t   ) suy ra dx = 2.cost.dt, do đó 2. 2. I   4sin 2 t 4 1  sin 2 t  2.cos tdt  4  4sin 2 t.cos 2 tdt  4  sin 2 2tdt  2  1  cos4t dt. 54.

(55) 1 1  2t  sin 4t  C  2 arcs inx   2  x 2  4  x 2  C 2 4. 3.3.3 Tích phân các hàm số lượng giác 3.3.3.1 Tích phân dạng.  R  s inx,cos x dx. với R  u , v  là hàm số hữu tỉ đối với u,v.. a. Phương pháp chung 2. Đặt t  tan. 2t 1 t 2t 2 x suy ra sin x  ,cos x  , tan x  , dx  dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t2. Bằng cách đổi biến như trên ta đưa tích phân dạng này về tích phân hàm số hữu tỷ theo t. Thí dụ 3.3.6 Tính I  Đặt t  tg. dx.  1  sin x  cos x. 2t x suy ra sin x  , 2 1  t2. cos x . 1  t2 2 , dx  dt . Do đó 2 1  t2 1 t. 2 dt x 1  t2 I dt    ln 1  t  C  ln 1  tg  C 2 2t 1 t 1 t 2 1  2 2 1 t 1 t b. Phương pháp riêng Trong một số trường hợp đặc biệt có thể đi đến kết quả nhanh hơn bằng phép đổi biến thích hợp Nếu R   s inx, cos x    R s inx, cos x  thì đặt t = cosx. Nếu R s inx,  cos x    R s inx, cos x  thì đặt t = sin x Nếu R   s inx,  cos x   R  s inx, cos x  thì đặt t = tan x. sin 3 x dx 2  cos x Đặt t = cosx suy ra dt = -sinx.dx suy ra: 1 t2 3  1  I   .dt    (t  2)  . dt  t 2  2t  3ln 2  t  C 2t 2t  2  1  cos 2 x  2 cos x  3ln 2  cos x  C 2 3.3.3.2 Tích phân dạng  cos nx.cos mx.dx,  s in nx.sin mx.dx,  sin nx.cos mxdx Thí dụ 3.3.7 Tính I  . Áp dụng công thức lượng giác biến tích thành tổng. 55.

(56) 1 cos  n  m  x  cos  n  m  x  2 1 sin nx.sin mx   cos  n  m  x  cos  n  m  x  2 1 sin nx.cos mx  sin  n  m  x  sin  n  m  x  2 cos nx.cos mx . Và các tính chất của tích phân, ta đưa tích phân đã cho về tổng các tích phân cơ bản Thí dụ 3.3.8 Tính  sin 3x cos 4 x.sin 5xdx Giải: Ta có sin 3 x cos 4 x.sin 5 x . 1 1 1  sin 7 x  s inx  .sin 5 x  sin 7 x.sin 5 x  s inx.sin 5 x 2 2 2. 1 1  cos2 x  cos12 x    cos 4 x  cos6 x  4 4. Do đó. 1. 1. 1. 1. .  sin 3 x cos 4 x.sin 5 xdx    4 cos2 x  4 cos12 x  4 cos 4 x  4 cos 6 x dx 1 1 1 1  sin 2 x  sin12 x  sin 4 x  sin 6 x  C 8 48 16 24. 3.4 Tích phân xác định 3.4.1 Định nghĩa 3.4.1 Cho hàm số f ( x ) xác định trên đoạn [a,b]. Chia tuỳ ý đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a  x0 < x1 < x2 <…< xn-1 < xn  b. Mỗi phép chia như vậy được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a,b]. Trên mỗi đoạn chia  xk 1 , xk  ; k  1, n , tuỳ ý. chọn.  k   xk 1 , xk  .. Đặt. xk  xk  xk 1 ; k  1, 2,...n.. và lập. tổng. n. I n   f   k .xk. (1).. k 1. n. Khi n   sao cho d  maxxk  0 mà lim I n  lim  f  k .xk tồn tại hữu hạn n n  1 k  n. k 1. không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a,b] và cách chọn điểm  k   xk 1 , xk  thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f ( x ) trên đoạn [a,b]. Khi đó b. ta còn gọi hàm f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] và kí hiệu là.  f ( x)dx a. b. Vậy. n.  f ( x).dx  lim I a. n . n.  lim  f ( xk ) xk . n . k 1. Gọi In là tổng tích phân a, b là cận lấy tích phân: a là cận dưới, b là cận trên x là biến số láy tích phân.. 56.

(57) b. + Khi a > b thì định nghĩa. . a. f ( x ) dx    f ( x ) dx. a. b. a. + Khi a = b thì định nghĩa.  f ( x)dx  0 a. b. Chú ý: 1..  f ( x)dx. không phụ thuộc cách phân hoạch [a,b] và cách chọn điểm. a.  k   xk 1 , xk  nên khi dùng định nghĩa để tính tích phân xác định để tính đơn giản ta. thường chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau và chọn điểm  k   xk 1 , xk  là điểm đầu mút của đoạn chia. 2. Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn chỉ phụ thuộc hàm và các cận lấy tích phân mà không phụ thuộc biến số lấy tích phân b. . b. b. f  x  dx   f  t  dt   f  u  du. a. a. a. 3. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định b. Nếu f ( x)  0 và liên tục trên đoạn [a,b].thì.  f ( x)dx. là diện tích của hình. a. thang cong giới hạn bởi y  f ( x) liên tục không âm trên đoạn  a, b  , trục Ox, và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) 3.4.2 Điều kiện khả tích 3.4.2.1 Điều kiện cần Định lý 3.4.1 Nếu hàm f ( x ) khả tích trên đoạn  a, b  thì f ( x ) bị chặn trên đoạn b. a, b (Tức là   f ( x)dx. . f ( x ) bị chặn trên đoạn [a,b] ). a. b. Hệ quả : Hàm f ( x ) không bị chặn trên đoạn [a,b] thì. .  f ( x)dx a. 3.4.2.2 Điều kiện đủ Định lý 3.4.2 a. Nếu hàm f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] thì f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] b. Nếu hàm f ( x) bị chặn trên đoạn [a,b] và gián đoạn tại một số hữu hạn điểm của đoạn [a,b] thì f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] 3.4.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định Định lý 3.4.3 Giả sử f ( x ); g ( x) là hai hàm số khả tích trên đoạn  a , b  , khi đó ta có: b. 1. b. b.   f ( x)  g ( x) dx   f ( x )dx   g ( x)dx a. a. a. 57.

(58) b. 2. b.  k. f ( x)dx  k  f ( x)dx (Với k là hằng số) a. a. b. 3.. f ( x)  g ( x) ; x   a, b  thì. . b. f ( x )dx   g ( x )dx. a. a. Dấu “=” xảy ra khi f ( x)  g ( x) với x   a, b  4. Nếu f ( x ) khả tích trên mỗi đoạn  a , c  và  c, b  thì f ( x) khả tích trên đoạn b.  a, b và.  a. c. b. f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x )dx a. c. Hệ quả: b. 1. Nếu f ( x)  0; x   a, b  thì.  f ( x )dx  0 a b. 2. Nếu m  f ( x)  M ; x   a, b  thì m  b  a    f ( x)dx  M  b  a  a. 3. Định lý giá trị trung bình tích phân: Nếu f ( x) liên tục trên đoạn  a , b  thì tồn tại c   a, b  sao cho b. f (c) . 1 f ( x) dx b  a a. 3.4.4 Mối liên hệ giữ tích phân xác định và nguyên hàm 3.4.4.1 Hàm số cận trên Nếu f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] và x   a, b  : x  a thì hàm f ( x ) khả tích trên mọi đoạn  a , x  Định nghĩa 3.4.2 Nếu f ( x ) khả tích trên đoạn [a,b] x. Khi đó F ( x)   f (t )dt , x   a, b  là một hàm số của xác định trên đoạn  a, b  và gọi a. F ( x) là hàm số cận trên của f ( x ) trên đoạn  a, b  3.4.4.2 Đạo hàm của hàm số cận trên Định lý 3.4.3 Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b] và F ( x) là hàm cận trên của f(x) trên đoạn  a, b  thì F ( x) là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên đoạn  a, b  x. Tức là F / ( x)  (  f (t ) dt ) /  f ( x ) ;  x   a , b  a. Chứng minh: Dùng định nghĩa 3.4.4.3 Công thức Newton – Leibnitz Định lý 3.4.4 Nếu f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] và có nguyên hàm là hàm F(x) thì :. 58.

(59) b. . b. f ( x )dx  F (b)  F ( a). hay viết. a.  f ( x)dx  F ( x). b. (2). a. a. Công thức (2) được gọi là công thức Newton – Leibnitz Chứng minh: f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b] thì theo định lý 3.4.3 hàm x.  ( x )   f ( x ) dx ; x   a , b  là nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn  a , b  a. Do F ( x) và  ( x) là nguyên hàm của hàm f(x) nên  ( x)  F ( x)  C  x.  ( x )   f (t )dt  F ( x )  C a a. Khi x = a thì  ( a )   f (t ) dt  F ( a )  C  0  C   F ( a ) a b. Khi x = b thì  (b )   f ( x ) dx F (b )  C a b. Suy ra.  f ( x)dx  F (b)  F (a ) a. Nhận xét: Công thức Newton – Leibnitz cho ta mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm. Nhờ mối liên hệ này ta có một phương pháp rất hiệu lực để tính tích phân xác định, tránh dùng định nghĩa phức tạp và dài dòng 2. Thí dụ 3.4.1 Tính  (2 x  x3 )dx 1. 2. 2   x4  x4  27 Giaûi: Ta coù  (2 x  x )dx   x 2    C   (2 x  x 3 ) dx   x 2    1 4 4 1 4   3. 3.4.5 Phương pháp tính tích phân xác định Có nhiều phương pháp tính tích phân xác định:  Dùng định nghĩa:  Áp dụng công thức Newton – Leibnitz  Đổi biến số  Tích phân từng phần  Truy hồi  Liên kết Ta nghiên cứu các phương pháp cơ bản sau: 3.4.5.1 Phương pháp đổi biến số b. Tương tự tính bất định ta cũng có hai cách đổi biến để tính.  f ( x)dx a. a. Đổi biến dạng x   (t ). 59.

(60) Định lý 3.4.5 Nếu thỏa mãn các điều kiện: + f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b] + x   (t ) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn  ,   với     a ;      b. + Khi t biến thiên trong  ,   thì x biến thiên trên đoạn [a,b] . b.  f ( x)dx   f   t     t  dt. thì ta có công thức:. (3). . a. Gọi (3) là công thức đổi biến số để tính tích phân xác định Thí dụ 3.4.2 Tính. 3.  1 1. dx 3.  x  2. 2. Giải Đặt x  t 3  2  dx  3t 2 dt Khi x = 1 thì t = -1 ; x = 3 thì t = 1. Ta có x  t 3  2 liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;1] và 1. f [ (t )] . 1 1 t2. liên tục trên đoạn [-1;1]. Do đó. 1. 3t 2 dt 1  3  I  3  1  dt  3  t  arctan t  11  6  2 2  1 t 1 t  2 1 1  b. Đổi biến dạng t   ( x) Định lý 3.4.6 Nếu thoả mãn các điều kiện: + f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b]. + t   ( x) đơn điệu và  / ( x ) liên tục trên đoạn [a,b]. + Khi x = a thì t   , khi x = b thì t   + Biểu thức f ( x ).dx trở thành g (t ).dt , trong đó g (t ) liên tục trên đoạn  ,   . b. Thì ta có. a f ( x)dx   g (t )dt. (4). Gọi (4) là công thức đổi biến số để tính tích phân xác định e. Thí dụ 3.4.3 Tính. ln 2 x 1 x dx. Giải: Đặt t  ln x  dt . dx ln 2 x ; dx  t 2 dt x x e. 1. 1. ln 2 x t3 1 2 Khi x = 1 thì t = 0 và khi x = e thì t = 1. Do đó  dx   t dt   x 30 3 1 0 3.4.5.2 Phương pháp tích phân từng phần. 60.

(61) Định lý 3.4.7 Nếu u = u(x); v = v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì: b. b.  udv   uv . b a.   vdu. a. (5). a. Công thức (5) được gọi là công thức tích phân từng phần b. Để sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính.  f ( x)dx ta phải đặt u và dv. để. a. cho f(x)dx = u.dv rồi áp dụng công thức tích phân từng phần (5) đưa việc tính tích phân udv về việc tính tích phân vdu sao cho việc tính tích phân vdu đơn giản hơn tính tích phân udv 1. Thí dụ 3.4.4 Tính tích phân I   x.arc tanx.dx 0. dx x2 Giải: Đặt u = arctanx, dv = xdx  du  ,v  1  x2 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được: 1. 1. 1 2 x 2 dx  1  1   1  2 1 I  x arctan x 0      1  dx    x  arctan x  10  2 2  2 2(1  x ) 8 2 0  1  x  8 2 4 0. Chú ý: Có khi để tính tích phân ta phải sử dụng nhiều phương pháp 3.5 Tích phân suy rộng b. Đặt vấn đề: Ta đã nghiên cứu.  f ( x)dx với các cận là hữu hạn và hàm dưới dấu tích a. phân bị chặn. Ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân theo 2 hướng: - Tích phân với cận vô tận - Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn Khi đó ta có hai loại tích phân suy rộng 3.5.1 Tích phân suy rộng với cận vô tận 3.5.1.1 Ñònh nghóa a. Định nghĩa 3.5.1 Cho hàm số (x) xác định với x  a và khả tích trên mỗi đoạn hữu hạn [a, b], với b>a. Khi đó tích phân suy rộng của hàm f(x) từ a đến  là b. . lim f ( x).dx và được ký hiệu là b   a.  f ( x)dx . a. . Vậy.  a. b. f ( x)dx = lim. b a. 61. f ( x)dx. (1)..

(62) . Nếu giới hạn ở vế phải của (1) tồn tại hữu hạn thì ta gọi.  f ( x)dx. hội tụ ; ngược lại. a . ta gọi.  f ( x)dx. phân kỳ. a. b. Định nghĩa 3.5.2 Tích phân suy rộng của hàm f ( x) trên khoảng (-; a] được định nghĩa tương tự a. . a. f ( x) dx  lim. (2).  f ( x)dx. b . . b. a. Nếu giới hạn ở vế phải của (2) tồn tại hữu hạn thì ta gọi. . f ( x)dx hội tụ ; ngược lại.  a. ta gọi. . f ( x)dx phân kỳ. . c. Định nghĩa 3.5.3 Cho hàm f ( x ) xác định trên trên R và khả tích trên đoạn [a,b]; với a,bR: a<b. Tích phân suy rộng của f ( x ) trong khoảng (-;+) được ký hiệu và xác định như sau: . . . c. f ( x )dx . . . f ( x )dx . .  f ( x)dx ; với cR.. (3). c. . +  f (x)dx được gọi là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải của . . (3) hội tụ; Ngược lại ta gọi tích phaân suy roäng. . f ( x)dx phaân kyø..  . Thí dụ 3.5.1 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:. dx.  1 x. 2. . . Giải: Ta có. 0. . dx dx dx 1  x 2  1  x 2  0 1  x 2 .. 0. 0  dx dx  lim  lim 2 2  1  x c  c 1  x c    arctgx. . 0  ( arctg 0  arctgc )    clim  c 2. b. dx dx  b  lim arctgb 0  lim arctgb  . 2 0 1  x 2  blim   1  x b b  2 0 . Vậy. dx    1  x2 = 2  2    tích phân suy rộng. . dx.  1 x. 2. hội tụ. . 3.5.1.2 Dấu hiệu hội tụ a. Định lý 3.5.1 Giả sử và 0  g ( x)  f ( x) ; x  a. f ( x), g ( x) khả tích trên đoạn [a,b] với b  a. 62.

(63) Khi đó: . 1. Nếu. . . f ( x)dx hội tụ thì.  g ( x)dx. a. cũng hội tụ. a. . .  g ( x)dx phân kỳ thì.  f ( x)dx cũng phân kỳ. a. a. 2. Nếu. . Chú ý : Khi xét sự hội tụ của tích phân suy rộng dạng. f ( x)dx ta thường đem so.  a. . sánh với tích phân suy rộng đã biết, chẳng hạn. dx. x. . hội tụ khi   1 và phân kỳ khi. a.  1 . Thí dụ 3.5.2 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:. x 2. Giải: Ta có. 1 1  3 ; x  2 mà x 7 x 3. . dx. x. có dạng. 3. 2. . Do đó, theo định lý 3.5.1 suy ra. . x. dx.  x. dx 7. 3. với  = 3 > 1 hội tụ. 2. dx hội tụ. 7. 3. 2. b. Định lý 3.5.2 Giả sử f ( x), g ( x) khả tích trên đoạn  a , b  với b  a f ( x)  k Khi đó: g ( x). f ( x)  0; g ( x)  0 ; x  a và lim x b. . 1. Nếu 0<k< +  thì. . . f ( x)dx và. a.  g ( x)dx. cùng hội tụ hoặc phân kỳ. a. . . 2. Nếu k = 0 thì từ  g ( x)dx hội tụ suy ra a.  f ( x)dx. cũng hội tụ. a . . 3. Nếu k = + thì từ  g ( x)dx phân kỳ suy ra a.  f ( x)dx cũng phân kỳ a. . Thí dụ 3.5.3 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:. x 1. Đặt f ( x) . xdx  s inx. f ( x) x 1 1 và g ( x)  Ta có f ( x)  0; g ( x)  0 với x  1 ; lim x  g ( x) x  s inx x. . và  g ( x)dx  1. 2. 2. . dx 1 x phân kỳ. Do đó. . x 1. 2. xdx phân kỳ ( Theo định lý 3.5.2)  s inx. 3.5.2 Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn 3.5.2.1 Ñònh nghóa a. Định nghĩa 3.5.4. 63.

(64) - Nêú hàm số (x) liên tục trên [a,b) và không bị chặn tại b (nghĩa là lim f ( x)  ) x b. b. thì người ta định nghĩa. c.  f ( x).dx = lim  f ( x).dx c b . a. (1). a. - Nêú hàm số (x) liên tục trên (a,b] và không bị chặn tại a (nghĩa là lim f ( x)  ) xa . b. thì người ta định nghĩa. b.  f ( x).dx = lim  f ( x).dx ca . a. (2). c. - Nêú hàm số f ( x) không bị chặn tại một điểm c: a  c  b và f ( x ) liên tục tại b. x   a, b  : x  c thì người ta định nghĩa. . c. b. f ( x).dx =  f ( x).dx   f ( x).dx. a. a. (3). c. Nếu các giới hạn ở vế phải của (1), (2) tồn tại hữu hạn thì các tích phân suy rộng tương ứng được gọi là tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại ta gọi chúng phân kỳ. Nếu các tích phân suy rộng ở vế phải của (3) hội tụ thì tích phân suy rộng ở vế trái của (3) được gọi là tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại ta gọi tích phân vế trái của (3) phân kỳ. 1. Thí dụ 3.5.4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:. dx.   x 1. 2. 0. 1. Giải: Hàm lấy tích phân f ( x)  1. [0,1); Do đó. b. dx.   x  1. 2.  lim . 0. b 1 1. Vậy tích phân suy rộng. 0.  x 1. b. dx.  x  1. dx.   x 1. 2. không bị chặn tại x = 1 và liên tục trên. 2. 2. 1  1     lim    1     blim  b1  x  1  1  b  1  0. phân kỳ. 0. 3.6 Ứng dụng của tích phân 3.6.1 Tính diện tích hình phẳng - Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường: y  0 , y  f ( x) , x  a, x  b với a  b b. được tính theo công thức S   f ( x)dx (1). y  f ( x). a. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , y  g ( x) liên tục đơn trị trên [a, b] với f ( x)  g ( x); x   a, b  và các. y  g ( x). đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:. a. b. S    f ( x)  g ( x) dx a. a. b Hình 3.1. (2). 64.

(65) Thí dụ 3.6.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x2 , y   x  2. Giải: . Hoành độ giao điểm của 2 đường y   x 2 , y   x  2 là nghiệm của  x  1 x  2. phương trình  x 2   x  2   y = -x2. O. b 2. 2.  x3 x2  9 S    x  x  2 dx      2x    3 2  1 2 1 2. y = - x-2. Hình 3.2 - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t) và các đường x = a, x = b, trục Ox, được tính theo công thức . S   y (t ).x / (t ) dt. (3). . Trong đó x ( )  a ;. /. x (  )  b và các hàm x(t), y(t), x (t) liên tục trên đoạn  ,  . Thí dụ 3.6.2 Tính diện tích của hình elip giới hạn bởi đường elip có phương trình  x  a cos t ; 0  t  2   y  b sin t Giải: Do hình elip nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng, nên ta có thể tính diện tích S của hình elip đã cho bằng cách tính diện tích của nó nằm trong góc phần tư  thứ nhất, ứng với 0  t  , rồi nhân 4. Áp dụng cồng thức (3) ta được: 2.  2. /.  2. /.  2.  2. 1  cos2t dt 2 0. S  4  b sin t.  acost  dt  4  b sin t.  a.sin t  dt  4ab¸ sin 2 tdt  4ab¸ 0. 0. 0.  2.  sin 2t  2ab  t     ab 2 0 . 3.6.2. Thể tích vật thể: 3.6.2. 1 Thể tích vật thể bất kì Cho vật thể  giới hạn bởi một mặt cong kín và  nằm giữa 2 mặt phẳng x = a, x = b ( a(66) Nếu hàm S(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích V của vật thể được tính theo công thức: b. V   S ( x)dx a. Hình 3.3 x2 y2 z2 Thí dụ 3.6.3 Tính thể tích elipxoit 2  2  2  1 a b c Giải: Cắt elipxoit bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x, với -a < x < a thì y2. thiết diện là hình elip:.  x2  b 1 2   a  . 2. z2. .  x2  c 1 2   a  . 2.  1 nên thiết diện có diện tích.  x2  S ( x)   bc 1  2  . Do đó áp dụng công thức tính thể tích bằng tích phân xác  a  a. a   x2  x2   bc a 2 4  bc . 1  dx   bc . 1  dx  a  x 2 dx   abc 2    a  a 2   a  a 2  3 a a 3.6.2.2 Thể tích vật thể tròn xoay Đặc biệt nếu vật thể là một khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi đường x = a, x = b, y = 0 và y = f(x) liên tục không âm trên [a, b], quay quanh trục Ox được tính theo công thức:. định ta được V . b. V    f 2 ( x)dx a. Thí dụ 3.6.4 Tình thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x  x 2 , y  0 quay xung quanh truc ox Giải: Đường y  2 x  x 2 cắt trục 0x tại x = 0 và x = 2 nên thể tích của vật thể tròn 2. xoay đã cho là V     2 x  x 0. 2 2. . 2. 2. 4 x3 x5 16 dx    (4 x  4 x  x )dx   (  x4  )   3 5 0 15 0 2. 3. 4. 3.6.3 Tính độ dài cung Độ dài s của cung L từ A ( x ( ), y ( )) đến B ( x (  ), y (  )) của đường cho theo phương trình tham số x = x(t), y = y(t) có x’(t), y(t’) liên tục và biến thiên đơn điệu trên đoạn  ,   được tính theo công thức: . s.  . ( xt/ ) 2  ( yt/ ) 2 dt. 66.

(67) Đặc biệt cung AB có phương trình y = f(x) và f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì độ dài s của cung AB được tính theo công thức b. s   1  ( y / ) 2 dx a.  x  a(t  sin t ) ;0  t  2 Thí dụ 3.6.5 Tính độ dài một nhịp Xicloit   y  a(1-cos t) . Giải Áp dụng công thức s .  . ( xt/ )2  ( yt/ ) 2 dt Ta có 2. /. /. x  a (1  cos t ) ; y  a.sin t  x. /2. y. /2. 2. t t t   4a sin  s  2a  sin dt  4a  cos   8a 2 2 20  0 2. 2. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3 Trong chương 3 sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích phân suy rộng. Trong chương có một số khái niệm đã được học trong chương trình toán phổ thông, song được trình bày một cách hệ thống và yêu cầu khai thác các ứng dụng của chúng trong kỹ thuật. Khái niệm tích phân xác định được định nghĩa khác với phổ thông nhằm đáp ứng khai thác các ứng dụng của nó trong thực tế. Sinh viên cần làm nhiều bài bài tập để có kỹ năng tính toán chính xác Khi học cần tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm: Khả vi, khả tích, liên tục,...trả lời các câu hỏi, làm đầy đủ các bài tập sau: 1. Định nghĩa nguyên hàm của hàm số. Phát biểu và chứng minh định lý về nguyên hàm. 2. Định nghĩa tích phân bất định. 3. Nêu các tính chất của tích phân bất định. 4. Trình bày các phương pháp tính tích phân bất định. Phát biểu các định lý về các phương pháp trên. Cho thí dụ minh hoạ 5. Định nghĩa tích phân xác định. Phát biểu đinh lý tồn tại tích phân xác định. 6. Phát biểu các tính chất của tích phân xác định 7. Phát biểu các định lí về giá trị trung bình, định lí đạo hàm theo cận trên, định lí Niutơn – Lépnít. và ứng dụng của chúng 8. Phát biểu và chứng minh các định lí về đổi biến số và tích phân từng phần trong tích phân xác định. Cho thí dụ 9. Định nghĩa tích phân suy rộng 10. Phát biểu định lý so sánh cuả tích phân suy rộng có cận vô cùng của các hàm không âm. 11. Trình bày các ứng dụng của tích phân xác định, cho thí dụ.. 67.

(68) BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1.Tính các tích phân sau: 2. 1) 3). . x  1 . x  x  1 dx.  1  2)   x  3  dx x . . x  x3 e x  x 2 dx x3. 4). . . 5)  2 x.32 x.53 x.dx 7). dx   x 2  a  x 2  b . 6)  cot g 2 x.dx (a, b  0). 8). x 4 dx  x2  1 x.dx 11)  1  x2 dx 13)  x (1  x ) 9). 15) . dx.   x  2  x  3. 10). e3 x  1  e x  1 dx. x. 1  x 2 dx. 12)  e3cos x sin x.dx x. 14)  e x  e dx. dx 1  cos x. 16). . Bài 2.Tính các tích phân hữu tỷ sau 3x  1 x3  1 1)  2 dx 2)  3 dx x  2 x  10 x  5x2  6 x  2 x  1 dx 2x 1 4)  2 5)  2 dx x  x 1 x  5x  6 2 x3 x3dx 7)  4 dx 8)  x8  3 x  x2  1. 68. dx 1  e2 x. 3). x. 2. dx  x 1. x 2 n1 dx xn  1 dx 9)  x  x10  1 6) .

(69) Bài 3.Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: 1)  4) 7). sin 3 x 3.  x. x 2. 2. dx 1 x xdx 5)  4 x  2 x2  5 ln x.dx 8)  x 1  ln x. dx. 2). 20.  1 dx. x 3dx. . 1  x2 a2  x2 dx x. 10) . 1. 11) . 3.  x  1 dx x 1  xe. x. . 3). . dx x4 x. 6). . 16  x 2 dx. 9). 1 x. 1. 12) . 2. ln. 1 x .dx 1 x. cos x.dx cos 2 x. Bài 4: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:. 1)  x ln xdx. 2)  arctan xdx. x.dx 5)  x.tg 2 x.dx 2 x x.cos x.dx 7)  8)  x 2 ln  x  1 .dx 3 sin x x.arctgx 10)  dx 11)  e 2 x cos x.dx 2 1 x Bài 5.Tính tích phân các hàm lượng giác: 2  s inx 1)  dx 2)  sin 3 x.cos x.dx 2  cos x 4).  sin. 3)  x 2e3 x dx 6)  a 2  x 2 9)  arcsin x.dx 12)  cos  ln x  dx. 3)  sin 4 x.dx. 3)  cos x.cos 2 x.cos3 x.dx 4)  sin 3 x.cos 4 x.dx. 5).  sinx  sin x  dx 3. cos3 x.dx 8)  1  sin x. 1  t anx 6)  7)  dx cos 2 x 1  t anx Bài 6 Tính các tích phân xác định sau: e. ln 2 x.dx x 1. 1) . 2. 4). 1 0 2cos x  3 dx. 8). 0. 13. 10).  1. 1  x2 dx x2. 0. 4.  2. 0. 6). . 0. 0. e. 1.   x.ln x . 2. dx. 1. 4. 11). 3).  1. 5)  x3 x 2  9dx. 1. 7)  x.ln  x  1 .dx. 13. 2)  x 2 4  x 2 dx.  2. dx.  5  3cos x. 1. . 69. dx 2x 1. x.sin x.dx cos 2 x. 9)  xe  x dx 0. 3. dx.  x 1. 3. x. . 12).  x.arctgx.dx 0.

(70) Bài 7. Cho hàm số f(x) liên tục trên [-a;a], hãy chứng minh: a. . a. a. f ( x ).dx  2  f ( x ).dx nếu f(x) là hàm chẵn. 0. a. . f ( x ).dx  0 nếu f(x) là hàm lẻ.. a. Bài 8. Xét tính hội tụ và tính các tích phân suy rộng khi nó hội tụ : . 1). . 3 x  e .dx. 2). 0 . 4).  2. . 1. xe  x dx. 3). . 5).  a. 2. dx. . 0. dx 2 x  x2. 1. x. dx (a  0) x ln 2 x. . 6).  cos xdx 0. Bài 9 .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trong tọa độ Oxy: 1. y = x2 + 2x, y = x + 2 2. y2 = 2x + 1, x - y -1 = 0 3. y = x3 ; y = 8 và trục Oy. Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trong tọa độ cực: 1. r = 2a(2 + cos) (a > 0); 2. r = a.cos(5) (a > 0); Bài 11. Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi các mặt: 2 2 1) z = 0 ; (z - 2)2 = x  y ;. 3. 2. 2. 2) z = 4 - y ; x = a và các mặt phẳng tọa độ (a > 0). Bài 12. Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi: 1) Hình phẳng giới hạn bởi y = x vào y = x2 quay quanh trục Ox. 2) Hình phẳng giới hạn bởi y = 2x - x2 vào y = 0 quay quanh trục Oy. 3) Hình phẳng giới hạn bởi xy = 4 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 4 quay quanh trục Ox. Bài 13 Tìm độ dài cung phẳng: 1 y = lnx từ điểm x1 = 3 đến x2 = 8 ; 2. y2 =. 2 x 2 ( x  1) 3 bị chắn bởi y = ; 3 3. 70.

(71) Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 4.1 Các khái niệm cơ bản 4.1.1 Hàm số n biến số 4.1.1.1 Định nghĩa 4.1.1 Cho D  R n . Hàm số n biến xác định trên D  R n là một ánh xạ f : D  R n  R M  u  f (M ). Mỗi điểm M  D  R n được xác định bởi bộ n số thực ( x1 , x2 ,..., xn ) nên hàm số n biến được ký hiệu u  f  x1 , x2 ,..., xn  Tập D được gọi là tập xác định và tập  f ( M ) | M  D được gọi là tập giá trị của hàm số u  f  x1 , x2 ,..., xn  Nếu hàm f cho bởi biểu thức f  x1 , x2 ,..., xn  thì tập xác định của f là tập các bộ ( x1 , x2 ,..., xn ) mà biểu thức f  x1 , x2 ,..., xn  có nghĩa.. Nếu D  R1 thì f là hàm số một biến, thường ký hiệu y  f ( x) Nếu D  R 2 thì f là hàm số hai biến, thường ký hiệu z  f ( x, y ) Nếu D  R3 thì f là hàm số ba biến, thường ký hiệu u  f ( x, y, z ) 4.1.1.2 Các thí dụ Thí dụ 4.1.1 - Thể tích V của hình trụ thẳng có bán kính đáy r và chiều cao h là hàm số hai biến V   .r 2 .h - Một số hàm số 2 biến trong kỹ thuật, chẳng hạn thể tích V, áp suất P và nhiệt độ T của một khí lý tưởng liên quan với nhau theo định luật sau: PV  RT trong đó R là hằng số, nên mỗi đại lượng trên có thể xem là hàm của hai đại lượng kia: T . PV ; R. P. RT ; V. V . RT P. Thí dụ 4.1.2 Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số z = 4  x 2  y 2 Giải: Hàm số đã cho có tập xác định là tập hợp các điểm (x,y) sao cho x 2  y 2  2 2 có biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm O, bán kính bằng 2 kể cả phần đường tròn.. . . Tập giá trị của hàm số là tập f ( x , y )  4  x 2  y 2 | x 2  y 2  4   0, 2 . . b. Đồ thị của hàm số đã cho là G  ( x , y , z ) | x 2  y 2  4  D ; z  4  x 2  y 2. . có. biểu diễn hình học là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ, bán kính bằng 2 nằm phía trên mặt phẳng Oxy.. 71.

(72) 4.1.2 Đồ thị của hàm số 4.1.2.1. Định nghĩa 4.1.2. Đồ thị của hàm số u  f  x1 , x2 ,..., xn  xác định trên. D  R n là tập G xác định như sau: G  ( x1 , x2 ,..., xn , u ) | ( x1 , x2 ,..., xn )  D ; u  f ( x1 , x2 ,..., xn ). Như vậy: - Đồ thị của hàm số y  f ( x) được biểu diễn trên mặt phẳng Oxy, như đã biết là một đường. - Đồ thị của hàm số z  f ( x, y ) được biểu diễn trong không gian ( ba chiều) là một mặt. - Khó có biểu diễn đồ thị của hàm số ba biến trở lên, vì ta không có cách biểu diễn hình học không gian từ 4 chiều trở lên trên một mặt phẳng. 4.1.2.2 Các thí dụ Thí dụ 4.1.3 Đồ thị của hàm số z  1  ( x  y ) là một mặt phẳng đi qua ba điểm A(1,0, 0) ; B(0,1,0) ; C (0, 0,1). Thí dụ 4.1.4 Hàm số z  x 2  y 2 xác định trên toàn mặt phẳng R2 và có đồ thị là mặt Paraboloit tròn xoay 4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến 4.2.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến Để cho gọn và dễ hiểu ta trình bày giới hạn của hàm số hai biến, trường hợp hàm n biến (n>2), các khái niệm và kết quả được mở rộng một cách tương tự. 4.2.1.1 Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng. a. Định nghĩa 4.2.1 Cho một dãy điểm M n ( xn , yn ) với n = 1,2,3,… Ta nói dãy điểm M n ( xn , yn ) có giới hạn là điểm M0(x0,y0) khi n   hay hội tụ đến điểm M0(x0,y0) khi n   nếu lim d(Mn ,M0 ) = 0 và ta kí hiệu là k . lim M n  M 0 hay M n  M 0 khi n  n . Trong đó d ( M n , M 0 )  ( xn  x0 ) 2  ( yn  y0 )2 là khoảng cách giữa hai điểm Mn , M0. b. Định lý 4.2.1 Dãy điểm M n ( xn , yn ) hội tụ tới điểm M 0  x0 , y0  khi và chỉ khi. lim xn  x0 và lim yn  y0 n . n. Định lý trên cho ta cách xác định giới hạn của dãy điểm thông qua các giới hạn của dãy số..   4 n  Thí dụ 4.2.1 Tìm giới hạn của dãy điểm  M n  ,    n n  1 . 72.

(73) n 4 n   1 suy ra lim M n  ,   M 0  0,1 n  n  n  1  n n 1. 4 n  n. Ta có lim  0; lim. 4.2.1.2 Giới hạn của hàm số hai biến: a. Lân cận điểm trong mặt phẳng Định nghĩa 4.2.2 Lân cận của điểm M0(x0,y0) bán kính  (  0) là một hình tròn nhận M0 làm tâm bán kính  Kí hiệu: U ( x0 ) hoặc U ( x0 ) b. Giới hạn hàm số Định nghĩa 4.2.3 Cho hàm số z  f ( x, y ) xác định trong lân cận điểm M 0 ( x0 , y0 ) (Có thể trừ M 0 ). Hàm số z  f ( x, y ) được gọi là có giới hạn hay hội tụ về số L khi x  x0 và y  y0 , kí hiệu là lim f ( x, y)  L hay f ( x, y)  L khi x  x0 ; y  y0 nếu và chỉ x  x0 y  y0. nếu với mỗi dãy điểm M n ( xn , yn ) nằm trong lân cận M 0 ( x0 , y0 ) mà M n ( xn , yn ) hội tụ về điểm M 0 thì dãy các giá trị tương ứng của hàm là  f (M n ( xn , yn )) luôn luôn hội tụ về cùng một số L d/n. lim f ( x, y )  L  M n ( xn , y n ) mà M n  U ( M 0 ) và M n  M 0 ( x0 , y0 )  f ( M n )  L . x  x0 y  y0. Thí dụ 4.2.2 Cho f ( x, y)  3 x  y 2 Chứng minh rằng: lim f ( x, y )  11 x 5 y 2. Ta có f ( x, y )  3x  y 2 các định trên R2.. Lấy bất kì dãy điểm M n ( xn , yn )  R 2 mà. xn  5, lim yn  2 . Khi đó M ( xn , yn ) hội tụ đến điểm M0(5,2) tức là lim n  n . lim f ( xn , yn )  lim (3 xn  yn2 )  11 . Vậy lim (3 x  y 2 )  11 n . n . x5 y2. 4.2.1.3 Tính chất giới hạn của hàm số hai biến Tương tự các tính chất về giới hạn của hàm số một biến 4.2.2 Hàm số liên tục 4.2.2.1 Định nghĩa 4.2.4.  x0 , y0  nếu và chỉ nếu. Hàm số z  f ( x, y ) được gọi là liên tục tại điểm. lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ). x  x0 y  y0. 4.2.2.2 Tính chất: Tương tự tính chất liên tục của hàm một biến, ta cũng có các định lý về cộng, trừ, nhân, chia hai hàm số liên tục, các định lý về hàm số liên tục trên một miền đóng. 4.3 Đạo hàm riêng 4.3.1 Định nghĩa 4.3.1 Cho hàm số z  f ( x, y ) xác định trong lân cận U của điểm M 0 ( x0 , y0 ). 73.

(74) - Cố định y  y0 thì hàm hai biến z  f ( x, y ). trở thành hàm số một biến. z  f ( x, y0 ) của x. Nếu hàm z  f ( x, y0 ) có đạo hàm tại x  x0 thì đạo hàm ấy được. gọi là đạo hàm riêng theo x của hàm z tại M0(x0, y0) và ký hiệu f ( x0 , y0 ) x  z f ( x0  x , y0 )  f ( x0 , y0 ) Vậy z x/ ( x0 , y0 ) = lim x  lim x  0  x x  0 x z x' ( x 0 , y 0 ) hay f x'  x 0 , y 0  hay. Hay z x/ ( x0 , y0 )  lim. x  x0. - Cố định x  x0. f ( x, y0 )  f ( x0 , y0 ) x  x0. thì hàm hai biến z  f ( x, y ) trở thành hàm số một biến. z  f ( x0 , y ) của y. Nếu hàm z  f ( x0 , y) có đạo hàm tại y  y0 thì đạo hàm ấy được. gọi là đạo hàm riêng theo y của hàm z tại M0(x0, y0) và ký hiệu Z y/ ( x0 , y0 ) hay f ( x0 , y0 ) y. Vậy z y/ ( x0 , y 0 ) = lim. y 0. Hay z y/ ( x0 , y 0 )  lim. y  y0. yz y.  lim. y 0. f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 ) y. f ( x0 , y)  f ( x0 , y0 ) y  y0. Thí dụ 4.3.1 Dùng định nghĩa tính các đạo hàm riêng của hàm z  x 2  y 3 tại điểm (1,2) Giải: 2 2 2 2 xz f (1  x, 2)  f (1, 2) (1  x )  2  (1  2 )  lim  lim  lim (2  x)  2 x 0 x x  0 x 0 x 0 x x  z x/ (1, 2)  2  z f (1, 2  y )  f (1, 2) Tương tự  lim y  lim  4  z y/ (1, 2)  4 y  0 y x 0 y Định nghĩa 4.3.2 Nếu hàm z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng theo biến x và theo. lim. biến y tại (x, y)  D thì hàm z  f ( x, y ) được gọi là có các đạo hàm riêng trên miền D và ký hiệu là z x/ ( x, y ); z y/ ( x, y ) hay z ( x , y ) ; z ( x , y ) x. y. 4.3.2 Cách tính đạo hàm riêng Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào thì xem như hàm chỉ phụ thuộc biến ấy, biến còn lại xem như hằng số, rồi áp dụng các kết quả đã biết về đạo hàm của hàm số một biến. Thí dụ 4.3.2 Tính các đạo hàm riêng của hàm số z  x y ; x  0. 74.

(75) Khi tính đạo hàm riêng theo x, xem y như hằng số nên z x/  y.x y 1 Khi tính đạo hàm riêng theo y, xem x như hằng số nên z /y  x y .ln x 4.3.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp 4.3.3.1 Hàm số hợp hai biến Định nghĩa 4.3.3 Cho hàm số z  f  u , v  xác định trên miền G, với u, v là các hàm hai biến u    x, y  , v   x, y  xác định trên miền D và nhận giá trị trên miền G. Khi đó z  f   x, y  ,  x, y   được gọi là hàm hợp đối số x,y thông qua biến trung gian u,v. 4.3.3.2 Đạo hàm của hàm số hợp Định lý 4.3.1 Nếu các hàm số u    x, y  , v   x, y  có các đạo hàm riêng trên miền D, nhận giá trị trên miền G và z = f(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền G thì hàm hợp z  f   x, y  ,  x, y   cũng có các đạo hàm riêng trên miền D và trên miền D ta có công thức: z z u z v  .  . x u x v x z z u z v  .  . y u y  v y 3. Thí dụ 4.3.3 Tính đạo hàm riêng của z   xy  e x u  x. y. Đặt . 2. 3. v  x  y. 2. x  z  u 3 .ev nên z   xy  e. 2  y2. 2  y2. là hàm số hợp đối số x,y thông qua. biến trung gian u,v. Áp dụng công thức. z z u z v z z u z v  .  . và  .  . x u x v x y u y v y Ta có  z  3u 2 e v ;  z  u 3 e v ;  u  y ; u  x;  v  2x;  v   2 y  u. v. x. y. x. y. 2 2 2 2 z  3( xy )2 e( x  y ) . y  ( xy)3 e( x  y ) .2x x 2 2 2 2 z  3( xy) 2 e( x  y ) .x  ( xy)3 e( x  y ) .(2 y) y. 4.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 4.3.4.1 Khái niệm hàm ẩn Định nghĩa 4.3.4 Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó F(x,y) là hàm số 2 biến xác định trên tập D  R 2 . Nếu tồn tại hàm số 1 biến y = f(x) xác đinh trên tập E  R. 75.

(76) sao cho  x, f ( x )   D và F ( x, f ( x))  0 với x  E thì hàm y = f(x) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 4.3.4.2 Đạo hàm hàm ẩn Định lý 4.3.2 Giả sử phương trình F(x,y) = 0, trong đó F(x,y) là hàm số 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của (x0,y0), có F(x0,y0) = 0 và Fy'  x 0 , y 0   0 . Khi đó phương trình F(x,y) = 0 xác định hàm ẩn y = f(x) xác định trong lân cận U nào đó của x0 và trong lân cận này hàm ẩn có đạo hàm liên tục và. Fx'  x, y  y  ' Fy  x, y  ' x. Thí dụ 4.3.3 F(x,y) = x2 + y2 – 4 = 0 là hàm cho dạng ẩn . Tìm đạo hàm của hàm y theo x. Ta có Fx/ ( x, y )  2 x ; Fy/ ( x, y)  2 y đều là các hàm liên tục tại ( x, y ) . Tại những điểm  x, y  thỏa mãn Fy/ ( x, y )  2 y  0 ta có yx/  . Fx/ ( x, y ) x  / y Fy ( x, y ). 4.3.5 Đạo hàm cấp cao 4.3.5.1 Định nghĩa 4.3.5 Cho hàm số có các đạo hàm riêng cấp 1 tại mọi điểm thuộc miền D  R 2 . Nếu tồn tại các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một của hàm z tại điểm thuộc D thì đạo hàm riêng ấy được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm z trên miền D. Tùy theo thứ tự lấy đạo hàm ta có 4 đạo hàm riêng cấp 2 của z 2 z 2 z / / // / / z x//2  ( z x/ ) /x hay  ( z ) ; z  ( z ) hay  ( z x/ ) /y x x xy x y 2 x xy . 2 2  z  z z yx//  ( z y/ ) /x hay  ( z y/ ) /x ; z y/ /2  ( z /y ) /y hay  ( z /y ) /y 2 yx y Tương tự ta có 8 đạo hàm riêng cấp 3 của hàm z,… Các đạo hàm riêng cấp 2 trở lên của z được gọi là các đạo hàm riêng cấp cao của z 4.3.5.2 Thí dụ 4.3.4 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số z  x3  3xy  y 3 Ta có z/x = 3x2 +3y , z /y = 3x+3y2 Suy ra z //x2 = 6x , z /xy/ = 3 , z //yx = 3 , z /y/2 = 6y 4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần 4.4.1 Định nghĩa 4.4.1 Cho hàm số z  f ( x, y ) xác định trên miền mở D  R 2 , M0(x0,y0)  D. Khi đó số gia toàn phần của hàm số tại M0 là z  f ( x0  x, y 0 y )  f ( x0 , y0 ) Hàm z  f ( x, y ) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu và chỉ nếu. 76.

(77) z  A.x  B.y   .x   .y (1)  2 2  A, B  const ;  ,   0 khi x  0 ; y  0 hay   x  y  0 (2). Khi đó biểu thức A.x  B.y được gọi là vi phân toàn phần của hàm z  f ( x, y ) tại (x0,y0) . Kí hiệu là df(x0,y0) hay dz(x0,y0). Nếu hàm z  f ( x, y ) khả vi tại ( x, y )  D thì ta gọi hàm z  f ( x, y ) khả vi trong miền D 4.4.2 Mối liên hệ giữa khả vi và các đạo hàm Định lý 4.4.1 Nếu hàm số z  f ( x, y ) khả vi tại (x0,y0) thì z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và df ( x0 , y0 ) . f  x0 , y0  x. .x . f  x0 , y0  y. .y. Tổng quát: Nếu hàm số z  f ( x, y ) khả vi trong miền D thì z  f ( x, y ) có các đạo hàm riêng trong miền D và dz . z z x  y x y. Vì x, y là các biến độc lập nên ta suy ra dx  x , dy  y . Do đó công thức vi z z (3) dx  dy x y Công thức vi phân (3) được gọi là công thức vi phân toàn phần. Thí dụ 4.4.1 Cho z = f(x,y) = x3 y4 . Ta có dz  3 x 2 y 4 dx  4 x 3 y 3 dy. phân ta có thể viết lại là dz . 4.4.3 Ứng dụng vi phân gần đúng Nếu hàm z  f ( x, y ) được gọi là khả vi tại (x0,y0) thì z  f ( x0  x, y 0 y )  f ( x0 , y0 )  df ( x0 , y0 )   .x   .x (1) trong đó   0;   0 khi x  0 ; y  0 (2) Do đó khi x, y khá gần 0 ta có công. thức tính gần đúng sau: f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  df ( x0 , y0 ) Thí dụ 4.4.2 Áp dụng vi phân tính gần đúng  f ( x, y)  x2  y3  Đặt  x0  1; x  0,002  1,0022  1,9993   y  2 ; y  0,001  0. 1,0022  1,9993 2.  f  x0  x, y0  y . Áp dụng công thức f ( x0   x, y 0   y )  f ( x0 , y 0 )  df ( x0 , y0 ) Ta có: f ( x0 , y0 )  12  23  3. 77. 3.  x0  x    y0  y .

(78) x 1  /  f / x ( x0 , y0 )   f x ( x, y )  2 3 3 x y  f ( x, y )  x 2  y 3   3 y2  f / ( x, y )   f / x ( x0 , y0 )  2 2 3  y 2 x y  1 Vậy 1, 0022  1, 9993  f ( x0  x, y0  y )  3  .(0, 002)  2.(0, 001)  2, 9987 3. 4.4.4 Vi phân cấp cao 4.4.4.1 Định nghĩa 4.4.2 Cho hàm số z  f ( x, y ) khả vi trong miền D  R 2 . Nếu tồn tại vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp 1 của hàm z thì vi phân ấy được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm z. Kí hiệu là d 2 z . Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n của hàm số z  f ( x, y ) là vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp ( n-1) của z và ký hiệu là dnz. Như vậy theo định nghĩa ta có d nz = d(dn—1z). 4.4.4.2 Cách tính z z Cho hàm số z = f(x,y) khả vi trong miền D  R 2 và dz  dx  dy . Vi phân x y.  z z   2 z 2z 2z cấp 2 của hàm z là d 2 z  d  dx  dy   2 dx 2  dxdy  2 dy 2 y  x xy y  x Thí dụ 4.4.3 Cho z  x 4  4x 2 y 2  y 4 . Tính d 2 z 2 z 2 2 z 2 z 2 Giải: Áp dụng công thức d z  2 dx  dxdy  2 dy x xy y 2. Ta có. z 2 z  4x 3  8xy 2   16xy; x xy. z 2 z  4 y 3  8x 2 y  2  12 y 2  8x 2 y y. Vậy d 2 z  12x 2  8 y 2  dx 2  32 xydxdy  12 y 2  8x 2  dy 2 4.5 Cực trị của hàm số hai biến 4.5.1 Cực trị không có điều kiện ràng buộc ( hay cực trị tự do) 4.5.1.1 Định nghĩa 4.5.1 Cho hàm số z  f ( x, y ) xác định trong tập D  R 2 và M 0 ( x0 , y 0 )  D Ta nói rằng hàm số z  f ( x, y ) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại lân cận U(M0) của điểm M0 sao cho f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) (hoặc f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) ) với.  ( x, y )  U ( M 0 )  D. z0  f ( x0 , y0 ) được gọi là giá trị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) của hàm số z đã. cho. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.. 78.

(79) Nhận xét: Cực trị định nghĩa như trên mang tính chất địa phương 4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định lý 4.5.1 Nếu hàm số z = f(x,y) đạt cực trị tại M0(x0,y0) và z có đạo hàm riêng tại M0 thì z x/ ( M 0 )  z y/ ( M 0 )  0 . Ngoài ra hàm z = f(x,y) còn có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó hàm z không có đạo hàm riêng. Định nghĩa 4.5.2 Điểm M0 tại đó hàm z có các đạo hàm riêng triệt tiêu hoặc không có đạo hàm riêng được gọi là điểm ngờ hay điểm tới hạn của hàm số z = f(x,y). 4.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị Định lý 4.5.2 Nếu thỏa mãn hai điều kiện + z  f  x, y  có các đạo hàm riêng đến cấp 2 trong lân cận điểm M0(x0,y0). + z x/ ( M 0 )  z y/ ( M 0 )  0 Khi đó đặt A  f x/2/ ( x0 , y0 );. B  f xy/ /  x0 , y0  ,. C  f y/2/  x0 , y0  và   B 2  AC thì ta. có kết luận sau: . + 0. A +. Kết luận tại M0 Hàm z đạt cưc đại Hàm z đạt cực tiểu Hàm z không có cực trị Chưa kết luận được cần xét tiếp. 4.5.1.4 Quy tắc tìm cực trị của hàm số hai biến. Từ điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm hai biến z = f(x,y) đạt cực trị, rút ra quy tắc tìm cực tri của nó như sau: - Bước 1: Tìm tất cả điểm tới hạn bằng cách  f x / ( x, y )  0 + Lập và giải hệ phương trình  /  f y ( x, y )  0. + Tìm tất cả điểm tại đó hàm z không có các đạo hàm riêng - Bước 2: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z - Bước 3: Xét tại từng điểm tới hạn + Đối với điểm tới hạn là điểm có các đạo hàm riêng bằng 0 thì ta tính A, B, C và  tại điểm đó, và kết luận theo định lý điều kiện đủ (Định lý 4.5.2 ) + Đối với điểm ngờ là điểm tại đó không có đạo hàm riêng hoặc có các đạo hàm riêng bằng 0 nhưng   0 thường áp dụng định nghĩa cực trị để xét. Thí dụ 4.5.1 Tìm cực trị của hàm số f ( x, y )  x 2  y 3  4 x  6 y 2 Giải: - Tìm tất cả điểm tới hạn. 79.

(80)  f x / ( x, y )  2 x  4  0  / 2  f y ( x, y)  3 y  12 y  0 x  2 x  2   y  0 y  4. Hàm có các đạo hàm riêng tại ( x, y ) Vậy z có 2 điểm tới hạn là M1(2,0) và M2(2,4) - Tính các đạo hàm riêng cấp 2 f x//2 ( x, y)  2 ; f xy/ / ( x, y )  0 ; f y//2 ( x, y )  6 y  12. - Xét tại từng điểm tới hạn  A  f // ( M )  2 1  x2  2 + Tại điểm M1(2,0) ta có  B  f xy// ( M1 )  0    B  AC  24  0   C  f //2 ( M1 )  12 y . Hàm không có cực trị tại M1 + Tại điểm M2  2, 4   A  f // ( M )  2 2  x2   //  B 2  AC 24 0  Hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại M2 và f(M2) = -36.  B  f xy ( M 2 )  0    A 0  C  f //2 ( M 2 )  12 y . 4.5.2 Cực trị có điều kiện 4.5.2.1 Định nghĩa 4.5.3 Xét hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D, với điều kiện ràng buộc g(x,y) = 0 (1). Ta nói z = f(x,y) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại M0(x0,y0) với điều kiện ràng buộc g(x,y) = 0 (1) nếu: g(x0,y0) = 0 và với ( x, y ) thỏa mãn điều kiện (1) khá gần M0(x0,y0) ta có f  x 0 , y 0   f  x, y  (hoặc f  x 0 , y 0   f  x, y  ). Trong bài toán trên ta nói hàm z  f ( x, y ) là hàm mục tiêu. Các biến x, y là các biến mục tiêu, phương trình g ( x, y )  0 là phương trình ràng buộc. Nhận xét: Bài toán cực trị có ràng buộc thì miền biến thiên của (x, y) bị hẹp lại so với bài toán cực trị không có điều kiện: ( x , y )  ( C ) , với (C) là đường nằm trong D xác định bởi hệ thức g ( x, y )  0 (1) 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện. 80.

(81) a.. Nếu. từ. điều. kiện. ta. g ( x, y )  0. có. thể. suy. ra. y   ( x). thì. z  f ( x, y)  f  x,  x    h  x  là hàm một biến của x. Khi đó bài toán trở thành tìm cực trị của hàm một biến. Thí dụ 4.5.2 Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = xy + 2x với điều kiện 2x + y = 30. Giải: Từ điều kiện ta suy ra y = 30 – 2x, thế vào hàm mục tiêu ta được z = -2x2 + 32x, đây là hàm một biến, dễ đàng suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 8. Vậy ta suy ra hàm số z đạt cực đại có điều kiện 2x + y = 30, tại điểm (8, 14) và z(8,14) = 128. Tuy nhiên có nhiều bài toán mà từ phương trình ràng buộc không thể biểu diễn y qua x một cách dễ dàng, do đó ta cần phải dùng phương pháp khác. b. Phương pháp nhân tử Lagrange Xuất phát từ hàm mục tiêu và phương trình ràng buộc ta lập được hàm Lagrange như sau: L(x,y,  ) = f(x,y) +  g(x,y) (1) Trong đó biến  gọi là nhân tử Lagrange. Ta chứng minh được các định lý sau làm cơ sở cho phương pháp nhân tử Lagrange Định lý 4.5.3 (Điều kiện cần của cực trị) Giả sử D  R 2 là một miền mở; f(x,y), g(x,y) là hàm số 2 biến, có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D, M 0  x 0 , y 0   D thỏa mãn phương trình g(x,y) = 0  g. g. . và  ( M 0 ), ( M 0 )   (0, 0) y  x  Khi đó, nếu M 0  x 0 , y 0   D là một điểm cực trị có điều kiện của hàm f(x,y) với điều kiện ràng buộc g(x,y) = 0 ; ( x, y)  D thì tồn tại 3 số thực ( x0 , y 0 , 0 ) là nghiệm của hệ phương trình:  L' x ( x, y )  0  f ' x ( x, y )   g ' x ( x, y )  0  '  ' '  L y ( x, y )  0   f y ( x, y )   g y ( x, y )  0 (2)    g  x, y   0  g  x, y   0 Chú ý: Từ định lý trên ta có điều kiện cần để hàm mục tiêu đạt cực trị có ràng buộc chính là điều kiện cần của hàm Lagrange đạt cực trị không có ràng buộc. Định lý 4.5.4 (Điều kiện đủ của cực trị) Nếu L(x,y,  ) = f(x,y) +  g(x,y) và ( x0 , y 0 , 0 ) là nghiệm của hệ phương trình  L/x ( x, y,  )  0  /  L y ( x, y ,  )  0   g ( x, y)  0. Khi đó ta có khẳng định sau đây:. 81.

(82) + d 2 L  x 0 , y 0  < 0 thì hàm số f(x, y) đạt cực đại với điều kiện g(x,y) = 0 tại (x0,y0) + d 2 L  x0 , y 0  > 0 thì hàm số f(x, y) đạt cực tiểu với điều kiện g(x,y) = 0 tại (x0,y0) Do đó để tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện ràng buộc g(x,y) = 0 ta tiến hành theo phương pháp sau được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange: - Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y,  ) = f(x,y) +  g(x,y) với   R - Bước 2: Tính L/x ( x, y,  )  f x/   g x/ ( x, y ) ; L/y ( x, y,  )  f y/   g y/ ( x, y)  L/x ( x, y,  )  0  Lập và giải hệ phương trình:  L/y ( x, y,  )  0 để tìm các điểm dừng (x0,y0) cùng các   g ( x, y)  0. giá trị 0 tương ứng - Bước 3: Tính vi phân cấp 2 của L  L  x, y,   d 2 L  L//x 2 .dx 2  2 L//xy .dx.dy  L/y/2 .dy 2 (*). Và thay dy bằng một biểu thức của dx thông qua đẳng thức g g dg ( x, y )  dx  dy  0 (**) x y Với mỗi điểm dừng (x0,y0) và   0 tương ứng trong bước 2, kết hợp (*) và (**) xét A = d2L(x0,y0) + Nếu A >0 với mọi dx và dy không đồng thời bằng 0 thỏa (**) tại (x0,y0) thì hàm đạt cực tiểu thỏa điều kiện g(x,y) = 0 tại (x0,y0) + Nếu A <0 với mọi dx và dy không đồng thời bằng 0 thỏa (**) tại (x0,y0) thì hàm đạt cực đại thỏa điều kiện g(x,y) = 0 tại (x0,y0) + Nếu dấu của A không xác định ( A có thể dương, có thể âm tùy theo dx và dy) thì hàm không đạt cực trị thỏa điều kiện g(x,y) = 0 tại (x0,y0) Thí dụ 4.5.3 Tìm cực trị của hàm z = x .y với điều kiện x2 + y2 = 1 Giải: - Lập hàm Lagrange: L(x,y,  ) = x y +  (x2 + y2 – 1) - Lập và giải hệ.   2  2  2  2 x  x  x  x   2 2 2  2     L/x ( x, y)  0  y  2 x  0     /  2 2 2  2   y   y   y    L y ( x, y )  0   x  2  y  0   y  2 2 2  2  x2  y 2  1     g x , y  0   1 1 1  1        2   2    2    2     - Tính vi phân cấp 2 của L= L(x,y) L/x/2  2 , L/xy/  1, L/y/2  2  d 2 L  2 .( dx) 2  dx.dy  2  .( dy ) 2 (*). 82.

(83) Từ điều kiện x2 + y2 = 1  2 x d x + 2 y d y  0  x d x  y d y  0. (* * ). -.     1 Tại M 1  2 , 2  ; M 2   2 ,  2  ứng với    , từ đẳng thức  2 2   2  2 2    . . 2 2 dx  dy  0  dx=-dy, kết hợp (*) 2 2. (**)/.  1   1   A  d 2 L  M 1  =d 2 L  M 2  =2.   (dx) 2  (dx) 2  2.   (  dx ) 2   3(dx) 2  0 2    2 . hàm. số. đã. cho. đạt. cực. đại. thỏa. điều. x2. kiện. +. y2. =. Vậy 1. tại.  2 2  1 2 2 M1  , ; M2  ,   và z max   2 2   2 2 2    . - Tại . 1 2.  2  2  2 2 M 3  , ,  ; M 4    2   2  2 2 . (**)/. ứng với   , từ đẳng thức. 2 2 dxdy  0  dx = dy, kết hợp (*) 2 2. 1 1  A  d 2 L  M 3  =d 2 L  M 4  =2.   (dx) 2  (dx) 2  2.   ( dx) 2  3(dx) 2  0 Vậy hàm 2 2. số. đã. cho. đạt. cực. tiểu. thỏa. điều. kiện. x2. +. y2. =. 1. tại.  2  2  1 2 2 M3  , ,  ; M 4    và z min    2 2 2    2 2 . HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 4 Học chương 4 sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến số. Đặc biệt sinh viên cần biết khai thác các ứng dụng trong thực tế và kỹ thuật. Đây là những vấn đề mới so với chương trình phổ thông, song có nhiều khái niệm, tính chất tương tự hàm số một biến, nên sinh viên cần ôn tập lại kiến thức phần tương ứng của hàm số một biến, sinh viên cẩn tự đọc kỹ phần lý thuyết, đặc biệt là nội dung các qui tắc, thuật toán giải bài toán trước khi vào giải bài tập. Trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa các khái niệm: Hàm số 2 biến, tập xác định, tập giá trị và đồ thị của hàm 2 biến ( n biến). 2) Định nghĩa đạo hàm riêng của hàm 2 biến tại một điểm, trong một miền. Cho thí dụ. 3) Định nghĩa sự khả vi toàn phần của hàm 2 biến tại một điểm, trong một miền 4) Phát biểu và chứng minh định lí liên hệ giữa vi phân toàn phần và các đạo hàm riêng của hàm hai biến.. 83.

(84) 5) Định nghĩa cực trị (địa phương) không điều kiện của hàm 2 biến. Phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm hai biến đạt cực trị tự do 6) Định nghĩa cực trị có điều kiện của hàm 2 biến. Trình bày cách tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến. Cho thí dụ. BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm miền xác định của hàm số sau và biểu diễn hình học các miền đó. 1) z  1 . x2 y2  a 2 b2. 4) z  R 2  x2  y 2 . 2) z  ln  y 2  4 x  1 2. x  y2  r2. 3) z  arcsin. y x. (0  r  R). Bài 2. Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau đây: x 1) z  x 2  y 3  3 x 2 y 2  x  y 2) z  arctg y x y 1 3) z  sin cos 4) z  2 y x x  y2 x 5) z  xyz  yz. 6) z  x. y z. z. y  x 7) z    8) z  x x  y Bài 3. Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau: x 1) z  arctg 2) z  ln  x 2  y 2  y. 3) z . x y x y. 4) z . 1 2. x  y2  z2. Bài 4. Áp dụng vi phân toàn phần tính gần đúng 1,9998. 1) A  1,0002  3) C . 2.  5,998   8, 001. 2) B  sin 460 cos590 2. 4) D . 2. 3. 1, 009   1,998. Bài 5.Tính đạo hàm của các hàm số xác định bởi các phương trình sau (coi y là hàm của biến x) x2 y2 1) 2  2  1 2) x 3 y  y 3 x  a 4 3) xe y  ye x  e xy  1 a b Bài 6. Tính đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau:. 84.

(85) 3 2 1) z  eu  2 v , x = sinx+ cosy, v = x +y . Tính. z z . , x y. 2) z = arcsin(u-v), u = 3x2+2y3, v = 4x3 -6y . Tính x z z . , v  3 x  2 y . Tính , y x y Bài 7. Tính vi phân cấp 1, cấp hai của các hàm sau: 1) z = xy2 – x2 y 1 3) z = exy 4) z  2 2 x  y2. z z , . x y. 3) z = u3lnv, u . . 2) z = ln(x - y). . Bài 8. Tìm cực trị của các hàm sau: 1) z = x2 + xy + y2-2x-3y 2) z = x2 y2 3) z = x3 +3xy2 -15x-12y. 4) z = 2x4 + y4 – x2 – 2y2. Bài 9. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số: 1) f(x,y) = x2 + y2 với điều kiện x  y  1 2. 2. 3. 2) f(x,y) = x + 2y với điều kiện x + y2 = 5 3) f(x,y) = xy với điều kiện x2 + y2 =1 4) f(x,y) = 8x + 5y +28 thỏa điều kiện 2x2 + 3y2 = 107 5) Phân tích số dương a thành tích các của 3 số dương sao cho tổng của chúng là bé nhất.. 85.

(86) Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 Các khái niệm cơ bản 5.1.1 Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân Trong thực tế, khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, thông thường ta không tìm ngay được mối liên hệ giữa các đại lượng đang xét, nhưng lại có thể thiết lập được hệ thức liên hệ giữa các đại lượng ấy cùng với các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Các hệ thức này có chứa các hàm số chưa biết cần phải tìm và các đạo hàm hoặc vi phân của chúng. Các hệ thức đó được gọi là phương trình vi phân. Như vậy phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm phải tìm và đạo hàm (hoặc vi phân) của hàm phải tìm. Các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân được gọi là nghiệm của phương trình vi phân. Việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình vi phân được gọi là giải phương trình vi phân (Các nghiệm đó thường tìm được qua tích phân nên còn gọi là tích phân phương trình vi phân). Trong các phương trình vi phân hàm cần tìm có thể là hàm số một biến hoặc hàm số nhiều biến. Nếu phương trình vi phân có hàm phải tìm chỉ phụ thuộc 1 biến độc lập thì gọi là phương trình vi phân thường. Còn nếu phương trình chứa hàm cần tìm là hàm số nhiều biến thì được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm (hay vi phân) của các hàm số chưa biết cần phải tìm tham gia vào phương trình ấy 5.1.2 Một số phương trình vi phân thường gặp 5.1.2.1 Từ thực nghiệm, người ta xác định được tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tỉ lệ khối lượng của chất đó. Tìm qui luật phân rã của chất phóng xạ đó? Nếu gọi x (t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t và x(0)  x0 thì ta có dx (t )  kx(t ), trong đó k  0 (1). Ta cần tìm hàm x  x(t ) cụ thể từ phương trình (1). dt. Đây là một phương trình vi phân cấp 1. 5.1.2.2 Một thanh kim loại được nung nóng đến 1000 C , đặt trong một môi trường luôn có nhiệt độ không đổi 20 0 C . Tìm quy luật thay đổi nhiệt độ của thanh kim loại này. Gọi T  T (t ) là nhiệt độ thanh kim loại tại thời điểm t. Theo quy luật giảm nhiệt độ của một vật (quy luật Newton) thì tốc độ giảm nhiệt tỉ lệ với hiệu nhiệt độ vật thể với nhiệt độ môi trường tại thời điểm đó, ta có phương trình dT (t )  k [T (t )  20]; k  0 (2) dt (2) là một phương trình vi phân cấp 1 có hàm phải tìm là T(t) 5.1.2.3 Phương trình điện lượng của một dòng điện trong mạch đơn:. 86.

(87) L. d 2Q dQ 1 R   E (t ) 2 dt dt C. (3). Trong đó: t là thời gian; Q(t) là điện lượng trong tụ điện tại thời điểm t; E(t) là hiệu số điện thế của dòng điện; L là tụ cảm; R là điện trở; C là điện dung (3) là một phương trình vi phân cấp 2 có hàm phải tìm là Q(t). 5.1.2.4 Phương trình truyền nhiệt trong một dây dẫn: u( x, t )  2 u ( x, t )  2 t x 2. (4). Trong đó u(x,t) là nhiệt độ của dây dẫn tại thời điểm t và tại vị trí x;  là hệ số truyền nhiệt; (4) là một phương trình đạo hàm riêng cấp 2 có hàm phải tìm là u(x,t). 5.2 Phương trình vi phân cấp 1 5.2.1 Tổng quan phương trình vi phân cấp 1 5.2.1.1 Định nghĩa 5.2.1 - Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng:. F  x, y, y /   0 (1) Trong đó y là hàm của x cần phải tìm và y/ là đạo hàm của y theo x; F là hàm số ba biến. Trong phương trình có thể khuyết y hoặc x nhưng nhất thiết có chứa y/ - Nếu phương trình (1) giải ra được đối với y/ thì nó có thể viết dưới dạng y /  f ( x , y ) (2) và gọi là phương trình đã giải ra đối với đạo hàm. Thí dụ 5.2.1 Các phương trình sau là phương trình vi phân cấp 1 1 y /  y  s inx = 0 ; y /  cosx ; y /  0 x 5.2.1.2 Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) thỏa điều kiện đầu y ( x0 )  y0 , thường điều kiện đầu còn được viết y x0  y 0 (3) Thí dụ 5.2.2 Xét bài toán Cauchy y /  x 2 ; y x0  4 3 x3  C Theo điều kiện y x0  4 suy ra 4= 0  C 3 3 1 Vậy nghiệm của bài toán là là y  x 3 +4 3 Định lý 5.2.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền D  R 2 , thì với mọi điểm  x 0 , y 0   D , bài toán Cauchy (2) và (3) có nghiệm xác định trong một lân cận. Từ y /  x 2  dy  x 2 d x  y=. của x0. Nếu ngoài ra, đạo hàm riêng f cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là y. duy nhất.. 87.

(88) 5.2.1.3 Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị Định nghĩa 5.2.2 + Hàm số y    x , C  được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một trong miền D  R 2 nếu mọi điểm  x 0 , y 0   D , tồn tại duy nhất một hằng số C0 sao cho y    x , C 0  là một nghiệm của bài toán Cauchy + Hàm y    x , C 0  được suy ra từ nghiệm tổng quát khi C xác định một giá trị cụ thể C = C0 được gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 1 dạng (1) hoặc (2) + Đôi khi giải phương trình vi phân cấp một dạng (1) hoặc (2) ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng y    x , C  mà chỉ được một hệ thức có dạng   x , y , C   0 . Ta gọi đây là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một. dạng (1) hoặc (2) + Hệ thức   x , y , C 0   0 được suy ra từ tích phân tổng quát khi C xác định một giá trị cụ thể C = C0 được gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân. + Nếu y    x  không phải là nghiệm riêng nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị C nào, kể cả C   thì ta gọi nó là nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp 1 dạng (1) hoặc (2) + Giải phương trình vi phân cấp một là tìm nghiệm tổng quát hoặc tích phân tổng quát của phương trình vi phân ấy. Nếu cho điều kiện đầu thì giải phương trình vi phân cấp một là tìm nghiệm riêng của nó. x / Thí dụ 5.2.3 a) Giải phương trình y  2 x 1 xdx  C  ln x 2  1  C Ta có nghiệm tổng quát là: y   2 x 1 Với điều kiện đầu y x 0  3 ta xác định được C0 = 3. Do đó nghiệm riêng ứng với điều kiện đầu đã cho là: y  ln x 2  1  3 / 2 b) Phương trình y  1  y có nghiệm kì dị y  1. 5.2.2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 5.2.2.1 Phương trình phân ly biến số a. Định nghĩa 5.2.3 Phương trình vi phân cấp 1 với các biến số phân ly (gọi tắt là phương trình phân ly biến số) là phương trình có dạng: f1(x)dx + f2(y)dy = 0 (3) 2x y dx  2 dy  0 Thí dụ 5.2.4 Phương trình 2 1 x y 2. 88.

(89) b. Cách giải: Lấy tích phân hai vế của phương trình (3) ta được tích phân tổng quát của phương trình (3) là:.  f ( x)dx   f ( y)dx  C 1. 2. x y dx  dy  0 . 2 1 x 2  y2 trình đã cho ta được. Thí dụ 5.2.5 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Lấy x.  1 x. 2. tích. dx  . phân. 2. vế. của. phương. y dy  ln C ; C  0  ln (1  x 2 )(2  y 2 )  ln C  2  y2. (1  x 2 )(2  y 2 )  C. Chú ý: Phương trình vi phân dạng M 1 ( x).N1 ( y ) dx  M 2 ( x ). N 2 ( y ) dy  0 (4) chưa phải là phương trình phân ly biến số nhưng có thể đưa về phương trình phân ly biến số và được gọi là phương trình có biến số phân ly được Cách giải: + Nếu N1 ( y).M 2 ( x)  0 thì chia 2 vế phương trình (4) cho N1 ( y ).M 2 ( x ) ta được phương trình. M 1 ( x) N ( y) dx   2 dy  0 Đây là phương trình phân ly biến số, N1 ( y 2 ( x). M. nên giải được như đã xét ở trên + Nếu N1 ( y).M 2 ( x)  0 khi x  a hoặc y  b thì thử trực tiếp ta thấy x  a hay y  b cũng là nghiệm của (4). Thí dụ 5.2.6 Giải phương trình ( xy 2  x) dx  ( x 2 y  y )dy  0 Phương trình đã cho  x ( y 2  1) dx  ( x 2  1) ydy  0 có dạng (4) + Với ( x 2  1)( y 2  1)  0 có thể đưa về dạng: xdx yd y  2 0 2 x 1 y 1. Tích phân phương trình ta được:. ln x 2  1  ln y 2  1  ln C. ; C  0  ( x 2  1)( y 2  1)  C ; C  0. + Với ( x 2  1)( y 2  1)  0 ta thấy các nghiệm đại số của phương trình này x  1 ; y  1 cũng thỏa phương trình vi phân đã cho, do đó cũng là nghiệm của phương trình đã cho 5.2.2 .2 Phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) cấp 1 a. Định nghĩa 5.2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 là phương trình có dạng y /  f  x , y  với hàm f ( x, y ) được biểu diễn là hàm của tỷ số y và x, tức là.  y f  x, y      (5)  x Thí dụ 5.2.7 Giải phương trình. dy 2 xy  2 dx x  y 2. 89.

(90) b. Cách giải Đưa phương trình (5) về phương trình phân ly biến số bằng cách đặt ẩn phụ y y du và xem u là hàm số mới của x. Ta có u   y  x.u  y /  u  x x x dx du du  y Do đó phương trình y /  f ( x, y)       (u )  u  x   (u )  x   (u )  u dx dx x. u. + Nếu  (u )  u  0 ta có. du dx  đây là phương trình có biến số phân ly.  (u )  u x. Giải tìm u, từ đó tìm y + Nếu  (u )  u  0   (u )  u thì phương trình (5) có dạng y / . y . và phương x. trình này có nghiệm là y  C.x . Nếu  (u )  u chỉ tại u = u0 thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy hàm y = u0.x cũng là nghiệm của (5) 2 xy Thí dụ 5.2.7 Giải phương trình y /  2 . x  y2 2 xy Vế phải phương trình là hàm f ( x, y )  2 2  x y. y  y x là hàm có dạng    . Đây 2 x  y 1   x 2. là phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1. Để giải ta đặt u  Khi đó phương trình trở thành u  x + Nếu u 1  u 2   0  u  0 ta có. y du . Suy ra y /  u  x . x dx. du 2u du 2u u (1  u 2 )   x   u  . dx 1  u 2 dx 1  u 2 1  u2. 1 u2 dx . Đây là phương trình biến số du  2 x u (1  u ). phân ly, hàm cần tìm là u đối số x. Tích phân hai vế ta được  ln(1  u 2 )  ln u  ln x  ln C. Thay u . (C  0)  ln. x (1  u 2 ) x (1  u 2 )  ln C  C u u. y ta được tích phân tổng quát của phương trình đã cho là x 2  y 2  Cy ; x. với C 0 + Nếu u  0 thì y = 0. Dễ thấy y = 0 cũng là nghiệm.của phương trình đã cho 5.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 a. Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: (6) y/  px y  qx Trong đó p(x), q(x) là hàm liên tục của x. 90.

(91) Nếu q  x   0 thì phương trình (6) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. Nếu q  x   0 thì phương trình (6) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất. b. Cách giải + Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng y /  P ( x ). y  0 (7).  P ( x ) dx Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là y  Ce  ; Với C là hàm số tùy ý. + Bước 2: Giải phương trình không thuần nhất (6) Xem C trong nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng không phải là hằng số mà là một hàm của x tức là c = c(x). Tìm hàm c(x) để  P ( x ) dx trở thành nghiệm tổng quát phương trình không thuần nhất (6). y  C ( x)e . Muốn vậy ta tính y/ rồi thay y, y/ vào phương trình (6), sau khi rút gọn ta được C / ( x )  q ( x ).e . P ( x ) dx. . Từ đó ta có C ( x)   (q ( x).e . P ( x ) dx. ) dx  C1 , với C1 là hằng số bất kỳ.. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) là:  P ( x ) dx   P ( x ) dx ) dx  ye   C1   ( q ( x ).e . / Thí dụ 5.2.8 Giải phương trình y . 1 y  3x x. 1 - Phương trình thuần nhất tương ứng y /  . y  0 Đây là phương trình vi phân x. đưa về phương trình biến số phân ly, có nghiệm tổng quát là y . C . x. - Tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất đã cho bằng phương pháp biến thiên hằng số , ta tìm nghiệm tổng quát dưới dạng y . C ( x) x. / Khi đó y /  C ( x )  C (2x ) Thay vào phương trình đã cho ta được 1 .C / ( x )  3x .. x. /. Suy ra C ( x)  3x y. x. x. 2. => C ( x )  x  C1 . Vậy nghiệm tổng quát cần tìm 3. C 1 3 ( x  C1 ) .hay y  x 2  1 với C1 là hằng số tuỳ ý x x. 5.2.2.4 Phương trình vi phân BerNoulli a. Định nghĩa: Phương trình vi phân BerNoulli là phương trình có dạng: y /  p ( x ). y  y  q ( x ) (8) trong đó p(x), q(x) là các hàm số của x và  là số thực khác 0 và 1.. 91. là.

(92) Chú ý: Nếu   0 hoặc   1 thì (8) trở thành phương trình tuyến tính) đã xét b. Cách giải: -Với y  0 thì chia cả 2 vế phương trình (8) cho y ta được y/  p ( x). y1  q ( x) y. đặt u  y 1 . Ta có u /  (1   ). y/ . Thay vào phương trình(8) ta được phương trình y. u /  (1   ). p ( x )u  (1   ).q ( x ) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một đối. với hàm u đối số x.ta đã biết cách giải. Giải tìm hàm u, từ đó tìm được y. Chú ý rằng nếu   0 thì y = 0 là nghiệm của phương trình (8). Nếu   0 thì y = 0 không phải là nghiệm của phương trình (8) Thí dụ 5.2.9 Giải phương trình vi phân sau: y/ . 4 yx y x. 1 (  0;  1) 2 - Dễ thấy y = 0 là nghiệm phương trình cho. Đây là phương trình dạng (8) với  . 1. . 1. - Với y  0 . Chia cả 2 vế phương trình cho y 2 ta được y 2 y /  1. Đặt u  y1  y 2 Ta có u / . y/ 2 y. 1. 4 2 y x x. và thay vào phương trình trên trở thành. 2 1 u /  .u  x . Đây là phương trình tuyến tính đối với u, giải ra ta được x 2 1   u  x 2  C  ln x  . Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho lả x  . 1   y  x  C  ln x  2  . 2. 4. 5.2.2.5 Phương trình vi phân toàn phần a. Định nghĩa: Phương trình vi phân toàn phần là phương trình vi phân có dạng: P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy  0 (9) Trong đó. Q P  với ( x, y )  D  R 2 x y. b. Cách giải: Do điều kiện. Q P  ; ( x, y )  D  R 2 nên P ( x , y ) d x  Q ( x , y ) d y là vi x y. phân toàn phần của hàm u(x,y) trong miền D. Do đó phương trình vi phân toàn phần (9) có tích phân tổng quát là u(x,y)=C. 92.

(93) Có thể tìm hàm u(x,y) bằng một trong hai công thức: x. y. u ( x, y )   P ( x, y )dx   Q( x0 , y )dy x0. (10). y0. y. x. u ( x, y )   P ( x, y0 )dx   Q( x, y )dy x0. (11). y0. Trong đó x0 , y0 được chọn bất kỳ sao cho tích phân có nghĩa Thí dụ 5.2.10 Giải phương trình vi phân. (e x  y  cosy)dx  (e y  x - xsiny)dy  0 Giải Ta có P ( x, y )  e x  y  cosy ; Q ( x, y )  e y  x - xsin y P Q  1 - siny  ; ( x, y ) y x Do đó phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần, có tích phân tổng quát là u(x,y) = C. Trong đó u(x,y) được xác định bằng công thức (10) y. x. u( x, y)   P( x, y) dx   Q ( x0 , y )dy x0. y0. Chọn x 0  0, y 0  0 , ta được: y. x. x. y. u ( x, y )   (e x  y  cosy)dx   e y dy   e x  xy  xcosy  + e y  0 0 0. 0. x. y.  e  xy  xcos y +e -2. Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: e x  xy  xcosy  e y - 2  C .. 5.3 Phương trình vi phân cấp 2 5.3.1 Tổng quan về phương trình vi phân cấp 2 Có rất nhiều bài toán thực tế dẫn tới phương trình vi phân cấp hai và cấp cao hơn. Những vấn đề đặt ra trong lý thuyết phương trình vi phân cấp hai cũng giống như phương trình vi phân cáp một. Tất nhiên việc giải quyết các vấn đề đó khó khăn và phức tạp hơn. Trong chương này ta đưa ra cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được. 5.3.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng: F  x, y, y / , y / /   0 (1). Trong đó y là hàm của x cần phải tìm, F là hàm bốn biến số x, y, y / , y // . Hàm F có thể thiếu biến số x hoặc hàm số y và đạo hàm y / nhưng nhất thiết phái có đạo hàm. 93.

(94) y// . Nếu giải (1) ra được đối với đạo hàm y// thì phương trình vi phân cấp hai có. dạng: y / /  f ( x, y , y / ) (2) y / /  3 xy /  2 xy Thí du 5.3.1 y / /  xy. y /  x. y 2  0; 5.3.1.2 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng a. Định nghĩa 5.3.1 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hàm y   ( x, C1 , C 2 ) thoả mãn 2 điều kiện sau:. + Khi thế y   ( x, C1 , C2 ) vào phương trình đã cho được một đồng nhất thức + Với mỗi điều kiện đầu y(x0) = y0 , y / ( x0 )  y / 0 chỉ có một bộ duy nhất.  C , C  làm cho nghiệm 0 1. 0 2. y   ( x , C10 , C 20 ) thoả điều kiện đã cho. Mọi nghiệm dạng y   ( x , C10 , C 20 ) nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với giá trị cụ thể C1 , C2 được gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hệ thức  ( x, y , C1 , C2 )  0 biểu diễn nghiệm tổng quát của nó dưới dạng ẩn Tích phân riêng của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hệ thức  ( x , y , C10 , C 20 )  0 nhận được từ tích phân tổng quát ứng với giá trị cụ thể C1 , C 2 b. Thí du 5.3.2 Hàm số y = - sinx +C1.x + C2 là nghiệm tổng quát của phương trình y //  s inx . Hệ thức y +sinx + C1.x + C2 = 0 là tích phân tổng quát của phương trình y / /  s inx 5.3.2 Phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp được Ta xét phương trình có dạng: y / /  f ( x, y , y / ) (2) trong các trường hợp đặc biệt sau: // 5.3.2.1 Phương trình dạng y  f ( x ). a. Cách giải: y / /  f ( x ) . (3). dy /  f ( x )  dy /  f ( x ) d x dx. Lấy tích phân 2 vế ta được y /   f ( x) dx  C1  .   f ( x)dx  C dx     f ( x)dx dx  C x  C 1. 1. 2. b. Thí du 5.3.3 Giải phương trình y / /  cosx biết y(0)  0 ; y / (0)  1 Giải: Từ phương trình đã cho suy ra y /   cos xdx  sinx  C  y    sinx  C dx   cos x  C x  C 1 2 / Vì y(0)  0 ; y (0)  1 nên  0  C2  1    0  C1  0. C1  0 Vậy nghiệm riêng cần tìm là y   co s x  1  C 2  1. 5.3.2.2 Phương trình dạng y / /  f ( x, y / ). (4). 94.

(95) a. Cách giải: Đặt p  y / thì (4) trở thành phương trình cấp 1 p /  f ( x, y / ) . Giải tìm hàm p, từ đó tìm được hàm y // b. Thí du 5.3.4 Giải phương trình y  x . y/ . x. / Đặt p  y / thì đã cho trở thành phương trình cấp 1: p  x . p. p . Giải tìm hàm x.  x3 C  x3 C1 x9   y    1 dx   C ln x  C 1 2  3 3 x x  9  . 5.3.2.3 Phương trình dạng y / /  f ( y , y / ) (5) Thí dụ 3.5.6 Giải phương trình: y / /  5 y /  6 y  0 dp. dp. dy. dp. // a. Cách giải: Đặt y /  p và xem p là hàm số của y ta có y  d x  dy  d x  p . dy. và phương trình (5) trở thành phương trình vi phân cấp 1 đối với p: p.. dp  f ( y , p ) Giải tìm hàm p, từ đó tìm được hàm y dy. b. Thí du 5.3.5 Giải phương trình . y / / . y/2 y. dp dp p 2 phương trình đã cho trở thành . p  dy dy y Nếu p = 0 thì y = C là nghiệm của phương trình dp p dp dy    Nếu p  0 ta có phương trình có nghiệm tổng quát dy y p y. Đặt y /  p ( y ) , ta được .y//  p.. ln p  ln y  ln C1 , C1  0  p  C1 . y , C1  0 . dy  C1 . y dx. Cx Tích phân phương trình này ta được ln y  C1 x  ln C 2 hay y  C2 e 1. Ngoài ra phương trình còn có nghiệm y = 0 Cx Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: y  C2 e 1 với C1, C2 là hằng số. tuỳ ý 5.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số 5.3.3.1 Dạng tổng quát: y / /  a1 y /  a 2 y  f ( x ). (6) ; a1 , a 2 là hằng số. Để giải phương trình (6) người ta giải phương trình thuần nhất tương ứng: y / /  a1 y /  a 2 y  0 (7) Sau đó dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm phương trình không thuần nhất. Trong một số trường hợp việc tìm nghiệm phương trình không thuần nhất (5) được qui về giải các phương trình đại số. Dưới đây ta trình bày các trường hợp đặc biệt ấy.. 95.

(96) 5.3.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng số y / /  a1 y /  a 2 y  0 (7) Gọi phương trình k 2  a1 .k  a 2  0. (8) là phương trình đặc trưng của (7). Ta. chứng minh được: a. Nếu (8) có 2 nghiệm thực phân biệt k1  k2 thì nghiệm tổng quát của (7) là: y  C1e k1 x  C 2 e k 2 x. b. Nếu (8) có nghiệm kép k1  k2 thì nghiệm tổng quát của (7) là: y  e k1 x  C1  C 2 x . c. Nếu (8) có 2 nghiệm phức k1    i  ; k2    i  thì nghiệm tổng quát của (7): y  e x  C1.cos x  C 2 .sin  x . Thí dụ 3.5.6 Giải phương trình: y / /  5 y /  6 y  0 Giải: Phương trình đặc trưng: k 2  5 k  6  0  k1  2; k 2  3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: y  C1e 2 x  C 2 e 3 x ; C1,C2 là hằng số tùy ý Thí dụ 3.5.7 Giải phương trình: y //  4 y /  4 y  0 Giải: Phương trình đặc trưng: k 2  4 k  4  0  k1  k 2  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: y  e 2 x  C1  C2 x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý // / Thí dụ 3.5.8 Giải phương trình: y  2 y  5 y  0. Giải: Phương trình đặc trưng: k 2  2 k  5  0  k1  1  2 i ; k 2  1  2 i Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: y  e x  C1cos2  C 2 sin 2 x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý 5.3.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng số y //  a1 y /  a2 y  f ( x) ; a1 , a2 là hằng số Có phương trình thuần nhất tương ứng: y //  a1 y /  a2 y  0 (7) phương trình đặc trưng là: k 2  a1 .k  a 2  0. (8). Người ta chứng minh được: Định lý 5.3.1 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (7) cộng với một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) Do vậy để giải phương trình vi phân tuyến không thuần nhất 6) ta làm như sau: Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. 96.

(97) Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất theo định lý 5.3.1 Trong trường hợp đặc biệt sau, không sử dụng phép tính tích phân ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) a. Vế phải của (6) là f ( x )  e x .Pn ( x) trong đó  là hằng số; Pn ( x) là đa thức bậc n - Trường hợp 1 Nếu  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: y  e .x .Qn ( x) Với Qn ( x ) là đa thức cùng bậc n với Pn ( x) có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Cụ thể là thay y  e  x Qn ( x ) vào (6) và đồng nhất 2 vế.. - Trường hợp 2 Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: y  xe . x .Qn ( x) - Trường hợp 3 Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: y  x 2 e .x .Qn ( x) Thí dụ 3.5.9 Giải phương trình: y / /  3 y /  2 y  e x (3  4x) Giải: Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng y//  3 y/  2 y  0. Phương trình đặc trưng: k 2  3k  2  0  k1  1; k 2  2 Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: y  C1e x  C 2 e 2 x ; C1,C2 là hằng số tùy ý Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là f ( x)  e x (3  4x)   1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng: y  xe x (Ax  B ) Ta có y /  e x (Ax 2  Bx )  e x (2Ax+B)  y / /  e x (Ax 2  Bx )  2 e x (2Ax+B)+2Ae x. Thay y, y / , y / / vào phương trình đã cho ta được e x (Ax 2  Bx )  2 e x (2Ax+B)+2Ae x  3e x (Ax 2  Bx )  e x (2Ax+B)  2 xe x (Ax  B )  e x (3  4x)  2A=-4 A  2  2Ax+2A-B=3-4x     2A-B=3 B  1. Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là y  xe x (2x  1) Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: y  C1e x  C 2 e 2 x  xe x (2x  1) ; C1,C2 là hằng số tùy ý. 97.

(98) b. Vế phải của (6) là f ( x )  e x  Pn ( x )cos x  Qm ( x ) sin  x  ; trong đó  là hằng số; Pn ( x) là đa thức bậc n, Qm ( x) là đa thức bậc m. - Trường hợp 1 Nếu   i  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: y  e x  RL ( x ).c os x  S L .sin  x  ; trong đó L  max  m , n  ; RL ( x) , S L ( x) là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. - Trường hợp 2 Nếu   i  là nghiệm của phương trình đặc trưng (8). Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: y  xe x  RL ( x ).cos  x  S L .sin  x  ; trong đó L  m ax  m, n  ; RL ( x) , S L ( x) là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Thí dụ 3.5.10 Giải phương trình: y / /  4 y  4x.s inx Giải: - Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng y//  4 y  0 Phương trình đặc trưng: k 2  1  0  k1   i; k 2  i Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: y  C1cosx  C2 sin x ; C1,C2 là hằng số tùy ý - Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là f ( x )  4x.s inx= e 0 x  P0 ( x ) c os  x  Q1 ( x ) sin x  Với   i    i . Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng: y  xe 0. x  (Ax  B ).c osx  (C x  D ) s inx   (Ax 2  B x) cosx  (C x 2  Dx).s inx. Tính y / , y / / , rồi thay y, y / , y / / vào phương trình đã cho ta được ( 4 A x + 2 A + 2 D ) c o sx  (  4 A x + 2 C -2 B ). s in x = 4 x s in x ;  x. 4C  0  A  1 2A+2D=0     B  C  0 4A=4 D  1  2C  2 B  0. Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là. y   x 2 cosx  x.s inx - Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: y  C1c osx  C 2 sin x  x 2 c osx  x.s inx. 98.

(99) HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 5 Chương 5 sinh viên cần nắm vững định nghĩa, cách giải các loại phương trình vi phân cấp1, 2 thường gặp và các ứng dụng thực tế của chúng. Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 1 và nghiệm của nó. Phát biểu định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1. 2) Định nghĩa và nêu cách giải một số loại phương trình vi phân cấp 1 cơ bản. Cho thí dụ các bài toán dẫn tới phương trình vi phân cấp một 3) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 2 và nghiệm của nó. 4) Trình bày phương pháp giải các loại phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. Cho thí dụ. 5. Trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1.Giải các phương trình vi phân sau:.  1 y2 2) y  ; y x y. /. /. 1) y  xy ( y  3) Bài 2.Giải các phương trình sau : 1) x 2 ( y  1)dx  ( x 2  1)( y  1)dy  0 3)  x 2  1 y '  2 xy 2  0 , y (0)  1 4) y ' . 1 2. . 2) y 2 sinxdx  cos 2 x ln ydy  0 4) y 'cotgx  y  2 , y (0)  1. x y x y. 6) y ' . y 2  2xy xy. 7) xyy '  y 2  2x 2 8) xy /  y (ln y  ln x) Bài 4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính. 1) y '  2 xy  xe x. 2. 2) (1  x 2 ) y '  y  arct anx 1 y  x2 x2 y 6) y '   x 2 ; y x1  1 x 2 8)  y  6x  dy  2 ydx. 3) y /  ysinx  sin xcosx. 4) y ' . 5) y  x  y '  x cos x  7)  xy '  1 ln x  2 y. Bài 5 Giải các phương trình vi phân Bernouilly x. 1) y '  2 xy  2 x3 y 3 3) y / . 1 2. 2) y '  y  e 2 y. y  x2 y4 x. 4) y ' . 99. 4y x y x.

(100) Bài 6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau: 1) (4 xy 2  y ) dx  (4 x 2 y  x) dy  0 2)  x  y  2  dx  ( x  y 2  5)dy  0 dy  y ln x  3)  2  2  dx  0 x  x x 4) (e x  y  sin y ) dx  (e y  x  x cos y ) dy  0. Bài 7.Giải các phương trình vi phân cấp hai 1) y //  x2  xe x  1. 2) y //  x . y/ x. 3) y / / (1  x 2 )  2xy / với y(0)=1 và y / (0)  3. 4) yy / /  ( y / ) 2 5) y / / 1  x 2   2 xy /. Bài 8. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 1) y //  y /  2 y  0 2) y //  6 y /  9 y  0 3) y / /  25 y  0 4) y //  4 y /  3 y  e 2 x 5) y //  2 y /  2 y  x 2. 100.

(101) Chương 6. CHUỖI SỐ 6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ 6.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.1.1 Cho dãy số thực  a n  . Khi đó biểu thức a1  a2  ...  an  ... (1) . được gọi là chuỗi số và kí hiệu là. a. n. ;. n 1. Các số a1 , a2 ,..., an ,... được gọi là các số hạng của chuỗi số và an được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuỗi số. Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi số là a1  a2  ...  an được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số và được ký hiệu là sn n. . sn   ak a1  a2  ...  an . Dãy sn  được gọi là dãy tổng riêng. k 1. Nếu sn  có giới hạn hữu hạn , nghĩa là lim s n  s ( s  R ) thì ta gọi chuỗi số n . .  an là chuỗi số hội tụ và s là tổng của chuỗi số và viết n 1. a. n. = s.. n 1. . Trong trường hợp ngược lại thì ta gọi chuỗi số. a. n. phân kỳ. n 1. . . Nếu. a. n. = s thì Rn   an  k  an 1  an  2  ...  s  sn được gọi là phần dư của k 1. n 1. . chuỗi số. a. n. n 1. Thí dụ 6.1.1 Xét sự hội tụ của các chuỗi số . a). . 1.  n( n  1). ;. n 1.  1 ; c )  ln(1  ) n n 1. b )  aq n 1 ( a  0, q  1) n 1. Giải a) Ta có. 1 1 1 1 1 1 1    Sn  1     1  lim S n  1  n n ( n  1) n n  1 2.3 3.4 n ( n  1) n 1. . 1  n 1 n ( n  1). . hội tụ và. 1.  n( n  1)  1 n 1. 2 n 1 b) Với q  1 ta có sn  a  aq  aq  ...  aq . - Nếu q  1 thì lim sn  lim n  n .  aq n 1. n 1. . a (1  q n ) . Do vậy: 1 q. a (1  q n ) a  . Vậy 1 q 1 q. a khi q  1 . 1 q. 101. .  aq n 1. n 1. ( a  0, q  1) hội tụ và.

(102) - Nếu q  1 thì lim sn không tồn tại. Vậy chuỗi số trên phân kỳ. n. - Nếu. q 1. thì sn  a  a  ...  a  na , do đó lim sn   nếu a > 0 (hoặc lim sn   n . n . nếu a < 0). Vậy chuỗi số trên phân kỳ. - Nếu. q  1. 0, khi n chaün , do đó lim sn không tồn n   a, khi n leû. thì sn  a  a  a  ...  ( 1) n 1 a  . tại. Vậy chuỗi số trên phân kỳ. . Tóm lại, chuỗi số.  aq. n 1. ( a  0) hội tụ khi và chỉ khi. q  1 , phân kỳ khi q  1. n 1. n n c) sn   ln  1  1     ln( k  1)  ln k   (ln 2  ln1)  (ln 3  ln 2)  ...  (ln( n  1)  ln n ). . k 1. k. k 1. . Vậy. .  ln ( n  1)  . 1.  ln(1  n ). phân kỳ. n 1. 6.1.1 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số 6.1.2.1 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ . Định lý 6.1.1 Nếu chuỗi số. a. n. hội tụ thì lim an  0 n. n 1. Chú ý : Điều ngược lại của định lý 1 không đúng nghĩa là lim an  0 không suy ra n. . được. a. n. hội tụ. n 1. . Hệ quả: lim an  0   an phân kỳ n n 1. Thí dụ 6.1.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau  n5 1 n5 n5 có lim an  lim phân kỳ   0 .  n   n   2n 2 n 1 2 n n 1 2 n . 1). . . 2).  n 1. 1 n. 1. 1 2.  ... . 1. 1  ... có số hạng tổng quát a n   0 ( n   ) nhưng n n. chuỗi này phân kỳ Thật vậy sn  1  1  1  ...  1  n. 1  n   ( n   ) 2. 3. n. n. 6.1.2.2 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số hội tụ . Định lý 6.1.2 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số. a. n. hội tụ là với    0 , tồn tại số. n 1. N=N(  ) sao cho với n  N điều kiện sau được thỏa mãn S n  p  S n 1  an  an1  ...  an  p   với mọi p = 1, 2, 3,.... 102.

(103) 6.1.2 Tính chất của chuỗi số hội tụ . - Định lý 6.1.3 Nếu chuỗi số. hội tụ và tổng của nó là S và k là hằng số thì. a. n. n 1. . chuỗi số. .  kan cũng hội tụ và có tổng k.S . (Tức là n 1. . . - Định lý 6.1.4 Nếu các chuỗi số.  a , b. n. n. n. n 1. . =k  an ) n 1. n 1. n 1.  (a. n. hội tụ có tổng lần lượt là S và S/ thì. . chuỗi số.  ka. /.  bn ) cũng hội tụ và có tổng là S + S tức là. n 1. . . .  (a. n.  bn ) =. a. n. n 1. n 1. +. b. n. n 1 . - Định lý 6.1.5 Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số. a. n. không thay đổi khi. n 1. thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Chú ý: Tổng của hai chuỗi số phân kỳ có thể phân kỳ cũng có thể hội tụ Tổng của một chuỗi số hội tụ và một chuỗi số phân kỳ là một chuỗi số phân kỳ 6.2 Chuỗi số dương 6.2.1 Định nghĩa . Chuỗi số. a. n. được gọi là chuỗi số dương nếu và chỉ nếu mọi số hạng của nó. n 1. không âm ( tức là an  0 , n ) . Thí dụ 6.2.1. 1.  n là chuỗi số dương n 1. 6.2.2 Các dấu hiệu hội tụ 6.2.2.1 Dấu hiệu bị chặn trên của dãy các tổng riêng . Định lý 6.2.1 Chuỗi số dương. a. n. hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị. n 1. chặn trên - Chứng minh: Dựa vào định nghĩa và sự hội tụ của dãy số tăng, bị chặn trên. - Ý nghĩa của định lý: Cung cấp một phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số dương, trách cách dùng định nghĩa phải tính tổng Sn và xét lim Sn phức tạp và dài dòng n . . Thí dụ 6.2.2 Xét sự hội tụ của. 3. n. n 1. 1 1. Ta chứng minh dãy tổng riêng của chuỗi số đã cho bị chặn trên. 103.

(104) 1 1 1 1 1 1 1 1 sn   2  ...  n   2  ...  n  ...  3  ; n  S n  bị chặn trên 1 2 3 1 3 1 3 3 3 3 1 3  nên  n1 hội tụ n 1 3  1. 6.2.2.2 Dấu hiệu so sánh a. Định lý 6.2.2 (Tiêu chuẩn so sánh 1) . Cho hai chuỗi số dương. .  an và n 1. b. n. , nếu 0  an  bn với mọi n  n0 ( n0  N ) thì. n 1. . từ sự hội tụ của. . b. n. hội tụ suy ra sự hội tụ của. . u. n 1. n. và từ sự phân kỳ của. a. n 1. n. n 1. . suy ra sự phân kỳ của. b. n. n 1. Chú ý: Khi xét sự hội tụ của chuỗi số dương thường so sánh chuỗi số đó với chuỗi số dương đã biết sau đây: . +.  aq. n 1. ( a  0) hội tụ khi q  1 và phân kỳ khi q  1. n 1. . +. 1. hội tụ khi s>1 và phân kỳ khi s  1.  ns n 1. Thí dụ 6.2.3 Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương: 1.. .  n 1. . 1. 2.. 2. n(n  1). 1.  ln n n 2. Giải 1) Ta có an  .  n 1. 1 n(n2  1). 2) Ta có an . 1 n(n 2  1). . 1. . n. 3. 2.  bn với n  1 và chuỗi. b. n. hội tụ nên chuỗi số. n 1. hội tụ ( theo tiêu chuẩn so sánh 1) 1 1   bn ; n  2, 3, 4,... mà n ln n. . . 1. b   n n. n 1. . phân kỳ nên chuỗi số. n 1. n 2. phân kỳ ( theo tiêu chuẩn so sánh 1) . b. Định lý 6.2.3 (Tiêu chuẩn so sánh 2) Cho hai chuỗi số dương. a.  n. và. n 1. Giả sử lim an  k . Khi đó n . bn. . 1) Nếu 0  k   thì. a n 1.  n. và. b. n. cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.. n 1. 104. b. n. n 1. 1.  ln n.

(105) . 2) Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của. . b. n. n 1. suy ra sự hội tụ của  an n 1. . 3) Nếu k =  thì từ sự phân kỳ của. . b. n. suy ra sự phân kỳ của. n 1. . . 2014n n n 1  n  1 3. 2014n 1 và bn  n . Ta có n 3  n  1 3. . vì có dạng.  a.q. n 1. n. n 1. Thí dụ 6.2.4 Xét sự hội tụ của các chuỗi số: 1)  Giải: 1) Đặt a n . a. . . 1. b   3 n. n 1. n. ln n n n 2. 2). . là chuỗi số dương hội tụ. n 1. 1 3. với q   1. n 1. an 2014 n  lim  2014 ; nên theo tiêu chuẩn so sánh 2, suy ra n b n n  1 n lim. ln n  b) Ta có lim n   Mà  1 phân kỳ vì có dạng n  1 n n 1 n  ln n phân kỳ ( theo tiêu chuẩn so sánh 2)  n n 2. . 1. . 2014n.   n  1 3.  ns. n. 1 2. với s   1 nên. n 1. 6.2.2.3 Dấu hiệu D'Alembert . Định lý 6.2.4 Cho chuỗi số dương. a. n. n 1. an 1  l . thì n a n. Nếu lim. . a. n. hội tụ khi l < 1 và phân kỳ khi l > 1. n 1. 5n (n !) 2  n  1  2n  ! . Thí dụ 6.2.5 Xét sự hội tụ của chuỗi số Giải: Ta có 2. 5n 1   n  1 ! 5n ( n !) 2 a 5(n  1) 2 a 5 an   an 1   n 1   lim n 1   1  an  2  n  1  !  2n  !  2 n  1 (2n  2) n   an 4  5n (n !) 2 phân kỳ ( Theo dấu hiệu D'Alembert)  n  1  2n  !. 6.2.2.4 Dấu hiệu Cauchy . Định lý 6.2.5 Cho chuỗi số dương. a. n. n 1. . Nếu lim n an  l thì n. a. n. hội tụ khi l < 1 và phân kỳ khi l > 1. n 1. 105. hội tụ. n 1.

(106) . Thí dụ 6.2.6 Xét sự hội tụ của chuỗi số. . n 1. 1. Giải Ta có an .  ln n . n.  an . 1.  ln n . n. 1 1  lim n an  lim  0  1  Chuỗi n   ln n ln n n  . . . n 1. 1.  ln n . n. hội tụ ( Theo dấu hiệu Cauchy) Chú ý : Dấu hiệu D'Alembert và dấu hiệu Cauchy khi l =1 chưa thể rút ra kết luận gì. 6. 2.2.5 Dấu hiệu tích phân . Định lý 6.2.6 Cho chuỗi số dương. a. n. , nếu tồn tại một hàm số f(x) sao cho. n 1. f(n) = an với n  n0 và f(x) không âm, liên tục, đơn điệu giảm trên miền  n0 ,   thì . . . f ( x) dx và. a. n. cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n 1. n0. . Thí dụ 6.2.7 Xét sự hội tụ của chuỗi số. 1.  n ln n n2. 6.3 Chuỗi số đan dấu 6.3.1 Định nghĩa . Định nghĩa 6.3.1 Chuỗi số đan dấu là chuỗi số có dạng.  (1). n 1. an với a n  0, n. n 1. .  ( 1). Thí dụ 6.3.1. n 1. n 1. 1 1 1 1 1  1     ...  (  1) n 1  ... n 2 3 4 n. 6.3.2 Dấu hiệu Lebnitz . Định lý 6.3.1 (Dấu hiệu Leibnitz). Cho chuỗi đan dấu.  ( 1). n 1. an với an  0, n .. n 1. Nếu thoả mãn 2 điều kiện: + Dãy an  là dãy giảm (Tức là an  an 1 , n ) + lim an  0 n. thì chuỗi số.  ( 1). n 1. an hội tụ. n 1. . Thí dụ 6.2.8 Xét sự hội tụ của chuỗi số.  (1) n 1. . Giải.  (1) n 1. an . n 1. n 1. 1 n. 1 là chuỗi điều hoà đan dấu dạng n. 1 1 1   un 1 ; n  1 và lim an  lim  0  n   n   n n 1 n. Leibniz. 106. .  (1) n 1. .  (1) n 1. n 1. n 1. an với an . 1 . Ta có n. 1 hội tụ theo tiêu chuẩn n.

(107) 6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối 6.4.1 Sự hội tụ tuyệt đối . 6.4.1.1 Định lý 6.4.1 Cho chuỗi có dấu bất kỳ. a. .. n. n 1. . Nếu chuỗi. . | a. | hội tụ thì chuỗi. n. n 1. . a. n. cũng hội tụ và. n 1. a n 1.  n.   | an | n 1. . 6.4.1.2 Định nghĩa 6.4.1 Chuỗi có dấu bất kỳ. a. n. được gọi là chuỗi hội tụ tuyệt. n 1. . đối nếu chuỗi. | a. n. | hội tụ. n 1. sin n2  n2 n 1 . Thí dụ 6.4.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số . Giải: Ta có. sin n 2 1  2 , n  1 mà 2 n n. .  1 sin n 2 hội tụ hội tụ (Theo dấu hiệu    2 n2 n 1 n n 1. sin n2 hội tụ tuyệt đối (Theo định lý 1)  n2 n 1 . so sánh), do đó. 6.4.2 Chuỗi số bán hội tụ . 6.4.2.1 Định nghĩa 6.4.2 Nếu chuỗi có dấu bất kỳ.  an hội tụ nhưng chuỗi n 1. . | a. n. |. n 1. . phân kỳ thì chuỗi. a. n. được gọi là chuỗi số hội tụ có điều kiện hay bán hội tụ. n 1. . 6.4.2.2 Thí dụ 6.4.2.  (1) n 1. n 1. 1 là chuỗi số bán hội tụ n. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 6 Chương 6 sinh viên cần nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ. Việc nghiên cứu chuỗi số hội tụ hay phân kỳ đưa về sự nghiên cứu sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số. Nên để học tốt chương 6, sinh viên cần ôn lại chương 1 phần giới hạn dãy số. Việc nghiên cứu chuỗi số bất kỳ hội tụ hay phân kỳ đưa về sự nghiên cứu sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương. Do vậy sinh viên cần nắm chắc các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương. Sinh viên cần trả lời đầy đủ các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. 2) Phát biểu và chứng minh về điều kiện để chuỗi số hội tụ và hệ quả của nó. Cho thí dụ.. 107.

(108) 3) Nêu các tính chất của chuỗi số hội tụ 4) Định nghĩa chuỗi số dương - Phát biểu các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương 5) Định nghĩa chuỗi đan dấu. Phát biểu dấu hiệu Leibnitz về sự hội tụ của chuỗi đan dấu. 6) Phát biểu định lý chuỗi hội tụ tuyệt đối. BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1. Dùng định nghĩa khảo sát tính hội tụ và tính tổng ( nếu có)của chuỗi số sau: . 1). 1  n ( n  1) n 0. 3n  2n  6n n0 . . 2). 1  n ( n  2) n0. 3). . 2n  1 2 n ( n  1) 2 n0. 4) . Bài 2. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau: . 1).  . 4). 2.5.8....(3n  1) n  1 1 .5.9....(4 n  3). 2) . n. n 1. . 1.  n!. 5). .  sin n 1.  2 n. 1  n 1 n ln n.  sin  n. n 1.  n 1.  n     n  1  3n  1 .  arcsin. .  tan n. 6). 4n  3. . 11). e. 3). 1. . 8). . 10).  n 1. n 1. 7). . . 1. 2 n 1. sin 2 an , với a  0  3n n 1 . 9) 1 n. n 1. . 12). 1.  sin n. 2. n 1. Bài 3. Dùng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n3 1)  n n 1 3 . . n  2)    n 1  n  2 . an 4)  n n 1 n. . . n 1 5)   n  n  1  n2 . n2. 3). 2n  2 n 1 n  3. 6). n 2. . n2. . n!. 2. n. n 1. Bài 4. Kết hợp các dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số sau: n3  n2  1  5 4 n 1 n  n  3 . 1). . 1 2 n  1 ( n  3).ln n. 2) . . 3).  sin n n 1.  1. 2. Bài 5. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện của chuỗi số sau: . n 1)  (1) n 3 n 1 n. . 2)  (1) n 1. n 1. 1 n. 108. . 3). ( 1) n 1.  3n  2 n 1.

(109) Chương 7. CHUỖI HÀM 7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số 7.1.1 Sự hội tụ của dãy hàm số Định nghĩa 7.1.1 Cho dãy hàm số  f n ( x)  f1 ( x), f 2 ( x), ..., f n ( x),.... (1). Các số hạng là các hàm số thực cùng một biến số x, xác định trên tập D nào đó của R, fn(x) được goi là số hạng tổng quát của dãy hàm (1) Cho x  x0  D  dãy hàm (1) trở thành một dãy số  f n ( x0 ) , nếu dãy số này hội tụ thì ta gọi dãy hàm (1) hội tụ tại x0 hay x0 là một điểm hội tụ của dãy hàm. Ngược lại nếu nó phân kỳ thì ta gọi dãy hàm (1) phân kỳ tại x0 hay x0 là một điểm phân kỳ của dãy hàm (1) Tâp E gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm (1) được gọi là miền hội tụ của nó Dãy hàm số  f n ( x ) được gọi là hội tụ từng điểm trên tâp E ( E  D) về hàm f(x) nếu: x  E ,   0 cho trước tồn tại số nguyên dương N ( , x)  0 sao cho n  N ( , x )  f n ( x )  f ( x )  . Kí kiệu là lim f n ( x)  f ( x) hoặc f n ( x )  f ( x ) khi n   n . 1  x n  1 với -1<x<1 f n ( x)   , x  ( 1,1)  lim n  1 x  1 x . Thí dụ 7.1.1  f n ( x)  . 7.1.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm số Định nghĩa 7.1.2 Dãy hàm số  f n ( x) được gọi là hội tụ đều trên tâp E ( E  D) về hàm f(x) nếu:    0 cho trước tồn tại số nguyên dương N ( ) chỉ phụ thuộc  mà không phụ thuộc x  E sao cho n  N ( )  f n ( x)  f ( x )   Kí kiệu là f n ( x )  f ( x ) khi n   Chú ý: Sự khác biệt giữa 2 khái niệm trên là trong trường hợp hội tụ từng điểm thì số N ( , x)  0 phụ thuộc vào  và x, trong trường hợp hội tụ đều, số N ( ) không phụ thuộc vào x mà chỉ phụ thuộc  Thí dụ: Xét dãy hàm  1  với 0  x  1 x  n. Trên đoạn 0  x  1 dãy hàm hội tụ về hàm f(x) = 0 Với   0 tuỳ ý cho trước ta có f n ( x )  f ( x ) . 1 1 1   ;  x  [0,1]     n  xn n . Do đó chỉ cần chọn N   1  thì f n ( x )  f ( x )  1   ;  x  [0,1] . xn   Vậy dãy hàm đã cho  1  hội tụ đều về hàm f(x) = 0 trên đoạn [0,1] x  n. 109.

(110) 7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số 7.2.1 Chuỗi hàm Định nghĩa 7.2.1 Cho dãy hàm số thực u n ( x )  u1 ( x), u2 ( x), ..., un ( x),.... (1). xác định trên tập D nào đó của R . . Biểu thức u1 ( x )  u 2 ( x)  ...  un ( x)...(1) được gọi là chuỗi hàm số và kí hiệu. u. n. ( x). n 1. . Thí dụ 7.2.1. x. n.  1  x  x 2  ...  x n  .... n 0. 7.2.2 Sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm 7.2.2.1 Sự hội tụ của chuỗi hàm . a. Định nghĩa 7.2.2 Cho chuỗi hàm số. u. n. ( x ) (1). n 1. Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi hàm số (1) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi n. hàm của (1). Kí hiệu là S n ( x ) , nghĩa là S n ( x)   uk ( x) k 1. Dãy hàm số  S n ( x ) được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi hàm (1) . Nếu với x0  D , dãy số S n ( x0 ) hội tụ thì ta nói chuỗi hàm. u. n. ( x ) hội tụ tại x0. n 1. hay x0 là một điểm hôi tụ của chuỗi hàm; ngược lại nếu dãy số S n ( x0 ) phân kỳ thì . x0 được gọi là điểm phân kỳ. Như vậy chuỗi hàm. u. n. ( x ) được gọi là hội tụ tại. n 1. . x0  D nếu chuỗi số.  u ( x ) hội tụ n. 0. n 1. Tập E gồm tất cả điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. Như vậy trên tập E xác định hàm số: S ( x)  lim Sn ( x) gọi là tổng của chuỗi hàm n. . và ta nói rằng chuỗi hàm. u. n. ( x ) hội tụ về hàm S(x) trên miền E và kí hiệu. n 1. . u. n. ( x )  S ( x ), x  E. n 1. . Chuỗi hàm. u. n. ( x ) được gọi là hội tụ tuyệt đối trên miền E nếu trên tập này. n 1. . chuỗi.  u ( x) n. hội tụ. n 1. 110.

(111) . Nếu chuỗi hàm. u. n. ( x). hội tụ trên miền E và có tổng là. S(x) thì. n 1. . Rn ( x) . u k  n 1. . k. ( x) = un 1 ( x )  u n  2 ( x )  ... được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. u. n. ( x). n 1. . Ta có S ( x )  S n ( x )  R n ( x ) . Do đó. u. ( x ) hội tụ  lim Rn ( x)  0. n. n. n 1. Một số chuỗi hàm mà ta có thể tìm miền hội tụ của nó bằng cách sử dụng các định lý trong phần chuỗi số b.Thí dụ 7.2.2 n. . 1). 2 n 1  x n  1  x  x 2  ...  x n  ... Có Sn ( x)   uk ( x)  1  x  x  ...  x  k 1. n 0. 1  xn 1 x. 1 với 1  x  1 lim Sn ( x)  n  1 x . 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm. n. 1 ln x. n 1. . Ta đã biết chuỗi số. 1. n. p. . hội tụ nếu và chỉ nếu p>1, do đó chuỗi hàm. n 1. n. 1 ln x. hội tụ. n 1. nếu và chỉ nếu ln x  1  x  e . Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là. ( e,   ). . 3) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.  ( 1). n 1. ne nx. n 1. . Xét. chuỗi.  ( 1). n 1. ne nx (*) .. Theo. tiêu. chuẩn. D’Alember. với. n 1. l  lim. n. un 1 ( x) u n ( x). ( n  1)e ( n 1) x  e x ta có: n ne nx.  lim. l  1  e x  1  x  0 : Chuỗi (*) hội tụ l  1  e x  1  x  0 : Chuỗi (*) phân kỳ l  1  e x  1  x  0 : Chuỗi (*) trở thành chuỗi số. .  ( 1). n. n là chuỗi phân kỳ. n 1. Vậy chuỗi hàm đã cho có miền hội tụ là  , 0  7.2.2.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm . a. Định nghĩa 7.2.3. u. n. ( x ) được gọi là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm số S(x) trên. n 1. tập E nếu dãy hàm số  S n ( x ) hội tụ đều trên tập E Thí dụ 7.2.3 Chuỗi hàm Ta có.  1 1  x  1 n  2 ( x  n  1)( x  n ). 1 1 1 1 hội tụ đều trên đoạn [0,1]    Sn ( x)  ( x  n  1)( x  n ) x  n  1 x  n xn. về hàm S(x)=0. Vậy chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên đoạn [0,1] về hàm S(x)=0.. 111.

(112) . b. Định lý 7.2.1 ( Định lý Weierstrass ) Cho chuỗi hàm. u. ( x ) , nếu có chuỗi số. n. n 1. . dương. a. n. hội tụ và u n ( x )  an , với n  n0 ( n0  N ) và  x  X thì chuỗi. n 1. . hàm  u n ( x) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập X n 1. . 1 2 n 1 n  x. Thí dụ 7.2.4 Chuỗi hàm.  1 1  2 ,  x  R ,  n và 2 2 n x n. . 2. 1. n. hội tụ tuyệt đối và đều trên R vì. là chuỗi số dương hội tụ. 2. n 1. 7.3 Chuỗi luỹ thừa 7.3.1 Định nghĩa . 7.3.1.1 Định nghĩa 7.3.1 Chuỗi hàm số luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng  an xn (1). n 1. . hoặc. a x  x  n. n. (2). 0. n 1. . . n.  an  x  x0  (2) trở thành. Đặt X  x  x0 thì. n 1. n. n. dạng (1). n 1. . . Dễ thấy chuỗi. a X. a x. n. n. n. luôn hội tụ tại x = 0 và  an  x  x0  luôn hội tụ tại x = x0 n 1. n 1. Để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa ta dự vào định lý sau: . 7.3.1.2 Định lý 7.3.1 (Định lý Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa. a x n. n. hội tụ tại x  x0  0. n 1. thì nó hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn x  x 0 . . Chứng minh:. . a x n. n. hội tụ tại x  x0  0 nghĩa là chuỗi số. n 1. a x. n 0. n. hội tụ . Khi đó. n1. lim an x0 n  0  M  0 : an x0 n  M ; n  N . Xét chuỗi n. . a x. với x  x 0 ta có. n. n. n 1. an x n  an x0 n .. x x0. n.  M .q n với 0  q . x  1 Mà chuỗi x0. . q. n. hội tụ với q <1 nên. n1. . chuỗi hàm. a x n. n. hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn x  x 0 .. n 1. . Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa. a x n. n. phân kỳ tại x = x1 thì nó phân kỳ với mọi x thoả. n 1. mãn bất đẳng thức x  x1 . Như vậy có 3 khả năng:. 112.

(113) . - Chuỗi hàm. . a x. n. n. chỉ hội tụ duy nhất tại x = 0. Chẳng hạn. n 1. n1. n. . . - Chuỗi hàm. a x. n n. n x. n. n. hội tụ với x  R . Chẳng hạn. x.  n! n1. n 1 . - Chuỗi hàm. a x n. n. phân kỳ tại x1  0 và hội tụ tại x0  0 : Theo định lý Abel và hệ. n 1. quả của nó thì mọi điểm của khoảng (  x0 , x0 ) đều là điểm hội tụ và mọi điểm của các khoảng  ,  x1  ,  x1 ,   đều là điểm phân kỳ. Do đó tồn tại số r>0 sao cho . a x n. n. hội tụ với. | x | r. và phân kỳ với. |x| r. n 1. 7.3.2 Bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 7.3.2.1 Bán kính hội tụ . - Định nghĩa 7.3.2 Số r>0 sao cho. a x. hội tụ với. n. n. và phân kỳ với. | x | r. |x|  r. n 1. . được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa. a x. n. n. n 1. Khoảng (-r, r) được gọi là khoảng hội tụ. Nếu chuỗi phân kỳ với x  0 thì qui uớc r = 0; nếu chuỗi hội tụ với x  R ta qui ước r   . Chú ý: Tại hai đầu mút của khoảng hội tụ (tức là điểm x = - r và x = + r) thì. a x. n. n. n 1. có thể hội tụ hoặc phân kỳ - Cách tìm bán kính hội tụ . Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa. a x. n. n. ta dựa vào định lý sau:. n 1. . Định lý 7.3.2 Cho chuỗi hàm luỹ thừa. a x. n. n. .. n 1. Nếu tồn tại lim. n. an 1  l (hoặc lim n an  l ) thì bán kính hội tụ của n  an. định như sau: 1  l khi 0  l    r   0 khi l     khi l  0   . 7.3.2.2 Cách tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa. a x n. n 1. - Bước 1: Tìm bán kính hội tụ r + Nếu r = 0 thì kết luận miền hội tụ là 0. 113. n. . a x n. n 1. n. được xác.

(114) + Nếu r =  thì kết luận miền hội tụ là R + Ngược lại 0  r   thì suy ra khoảng hội tụ (- R, R) và chuyển sang bước 2 . - Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi. a x. tại x = - R và x = R. n. n. n 1. . - Bước 3: Kết luận về miền hội tụ của. a x. n. n. dựa vào két quả bước 1 và 2. n 1. (1)n 1 ( x  2)n n n  0 n2 . . 1 n x  n n  0 n3. Thí dụ 7.3.1 Tìm miền hội tụ của chuỗi: a). b) . Giải: a) Chuỗi hàm số đã cho là chuỗi hàm lũy thừa có dạng Với a n  1 n  a n 1  n3.  lim. n. an 1 an.  lim. n . . an x n  n 1. 1 ( n  1)3 n 1. n3n ( n  1)3. n 1. . 1 n 1 lim  n  3 n 1 3.  Chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ là R = 3 và khoảng hội tụ là   3, 3 . - Khi x = -3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số. . 1. (  1) n  n n 1. hội tụ theo dấu hiệu. Lebnitz - Khi x = 3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số. . 1.  n 1 n. phân kỳ. Vậy chuỗi hàm đã cho có miền hội tụ là:  3  x  3 b) Chuỗi hàm lũy thừa có dạng (1)n 1 n X có dạng  n n 0 n 2 . an . . an ( x  x ) n . Đặt  n 1 0. X  x  2 ta được. . an x n  n 1. với. (1) n 1 1 1  lim an  lim n   r  2 n n n  n2 2 n 2. Suy ra chuỗi hội tụ với  2  X  2   2  x  2  2   4  x  0 Tại x = -4 chuỗi hàm trở thành chuỗi điều hoà nên phân kỳ Tại x = 0 chuỗi hàm trở thành chuỗi số. . ( 1)  n 1. LeibNiz Vậy miền hội tụ của chuổi là (-4,0] 7.3.3 Tính chất của chuỗi hàm luỹ thừa 7.3.3.1 Tính chất 1: (Tính liên tục của tổng của chuỗi). 114. n 1. .. 1 hội tụ theo tiêu chuẩn n.

(115) . Định lý 7.3.3 Nếu chuỗi. a x. n. n. có tổng là S(x) thì S(x) liên tục trên trên miền hội tụ. n 1. của nó. 7.3.3.2 Tính chất 2: (Lấy tích phân của một chuỗi luỹ thừa ) . Định lý 7.3.3 Với mọi đoạn. [a, b]. nằm trong miền hội tụ của chuỗi. a x n. n. có tổng. n 1. là S(x) thì b. b. . b. . a S ( x)dx  a  u ( x).dx   a u ( x).dx . n. n. n 1. n 1. 7.3.3.3 Tính chất 3: (Lấy đạo hàm của một chuỗi luỹ thừa) . Định lý 7.3.4 Trên khoảng hội tụ của chuỗi. a x. n. n. có tổng là S(x) thì. n 1. /.     S ( x)    an x n    (an x n ) / .  n 1  n 1 /. 7.3.4 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 7.3.4.1 Định lý 7.3.5 Nếu hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của x0 và f ( n 1) ( ) lim Rn ( x)  lim ( x  x0 ) n 1  0 , với  nằm giữa x0 và x thì trong lân cận x0 n . n . (n  1)!. ta có: f ( x)  f ( x0 )  .  f  x0    n 1. f ( n ) ( x0 ) n!. f / ( x0 ) 1!. ( x  x0 ) . ( x  x0 )n. f // ( x0 ) 2!. 2. ( x  x0 )  ... . f ( n) ( x0 ) n!. ( x  x0 ) n  .... (1). Khi đó ta gọi chuỗi hàm ở vế phải của (1) là chuỗi Taylor của hàm f(x) trong lân cận x0 và ta nói hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor. Nếu x0 = 0 thì chuỗi Taylor trở thành chuỗi sau và được gọi là chuỗi Maclaurin . f ( x)  f  0    n 1. f ( n ) (0) n f / (0) f / / (0) 2 f ( n ) (0) n x  f (0)  x x  ...  x  ... (2) n! 1! 2! n!. 7.3.4.2 Điều kiện đủ để khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin Định lý 7.3.6 Nếu hàm số f(x) trên đoạn [-H,H] có đạo hàm mọi cấp và chúng bị chặn bởi cùng một số: f ( n) ( x)  M ; x    H , H  với n Thì trên đoạn đó có khai triển: . f ( x)  f  0    n 1. f ( n ) (0) n f / (0) f / / (0) 2 f ( n ) (0) n x  f (0)  x x  ...  x  ... n! 1! 2! n!. 7.3.4.3 Khai triển thành chuỗi Maclaurin một số hàm số sơ cấp: a) f ( x)  e x Ta có f ( n ) ( x)  e x  f ( n) ( x)  eH. ; x    H , H ) với H>0 nên f(x)= ex. 115.

(116) Khai trển được thành chuỗi Maclaurin. Áp dụng công thức (2) ta được: . f ( x)  f  0    n 1. . ex  1   n 1. f ( n) (0) n f / (0) f / / (0) 2 f ( n ) (0) n x  f (0)  x x  ...  x  ...  n! 1! 2! n!. 1 n 1 1 1 x  1  x  x 2  ...  x n  ... n! 1! 2! n!. b) f ( x)  s inx  2.  0 khi. Ta có f ( n ) ( x )  sin( x  n. )  f n (0)   . sin x  f ( x)  f  0    n 1. k. khi. n  2k  1. . f ( n ) (0) n f / (0) f / / (0) 2 f ( n ) (0) n x  f (0)  x x  ...  x  ...  n! 1! 2! n!.  x x x 2 k 1 x 2 k 1   ...  ( 1) k .  ...   ( 1) k . với x  R 3! 5! (2k  1)! (2k  1)! k 0 3. x.  ( 1). n  2k. 5. c) f ( x)  cosx Tương tự ta có : cos x  1 .  x2 x 4 x 2k x 2k   ...  (1) k .  ...   ( 1) k . với x  R 2! 4! (2 k )! (2 k )! k 0. 7.3.4.4 Một số ứng dụng khai triển hàm số thành chuỗi - Tính giá trị gần đúng hàm số tại một điểm Thí dụ Tính gần đúng số e với độ chính xác đến 0,00001 - Tính gần đúng tích phân xác định 1. Thí dụ Tính gần đúng tích phân sau với độ chính xác cho trước. sinx dx x 0. . 7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier Trong cơ học thường gặp các bài toán phân tích một dao động thành các dao động điều hoà hoặc hợp các dao động điều hoà. Xét về mặt toán học, điều đó có nghĩa là khai triển một hàm số (có chu kỳ) thành một chuỗi hàm dạng sau đây 7.4.1 Định nghĩa - Định nghĩa 7.4.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng  a0   (a n . cos nx  bn . sin nx ) (1) 2 n 1. trong đó a0 , an , bn  R - Định lý 7.4.1 Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều trên đoạn [- ; ] về hàm f(x) thì   1 a  f ( x ) cos nx.dx; n  1, 2, 3,...  n    các hệ số an, b n được tính bởi công thức:  (2)  b  1 f ( x) sin nx.dx; n  1, 2, 3,...  n    . 116.

(117) - Định nghĩa 7.4.2 Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , khả tích trên đoạn [- ; ], chuỗi lượng giác.  a0   (a n . cos nx  bn . sin nx ) trong đó các hệ số an, b n được tính 2 n 1. theo công thức (2) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) 7.4.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Fourier: Định lý 7.4.2 (Định lý Đirichle) Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [- ; ] thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ từng điểm trên đoạn đó và tổng S(x) của chuỗi được xác định như sau: 1. S ( x)  f ( x) tại những điểm f ( x ) liên tục; 1 2. 2. S ( x)   f  x  0   f ( x  0)  khi x là điểm gián đoạn loại I và x    ,   3. S() = S(-) = [f( -0) + f(+0)]/2. Chú ý: Khai triển Fourier là công cụ của Phương trình vật lý toán và giải tích điều hoà. Nó còn là cơ sở để giải các bài toán về phân bố nhiệt,... Thí dụ 7.4.2 Khai triển Fourier của hàm f  x     x trên đoạn [-; ] và tuần hoàn với chu kỳ 2 . Ta có: a0  an . 1 1 f ( x) dx     . 1 . .  (  x)dx  2 ;. . . . . f ( x) cosnxdx . . . . 1 1   x  cosnxdx   cosnxdx      . 1 1 bn      x  sin nxdx  0    . n. . 2.  x sin nxdx   1 . n. .  xcosnxdx  0. . (Tích phân từng phần). . Theo định lý Đirichle ta được: n.    1 a f ( x)  0    an cos nx  bn .s innx     2 s innx 2 n 1 n n 1. Sự khai triển này đúng với x  R x    2k . trừ các điểmgián đoạn của hàm f(x) là. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 7 Chương 7 sinh viên cần nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. Khi tìm miền hội tụ của chuỗi hàm cần vận dụng các kết quả về xét sự hội tụ của chuỗi số, nên cần ôn tập nắm vững kiến thức về chuỗi số để nghiên cứu về chuỗi hàm số. Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau:. 117.

(118) 1) Định nghĩa chuỗi hàm số, chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều. Cho thí dụ. 2) Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Cho thí dụ minh hoạ. . 3) Định nghĩa bán kính của chuỗi hàm lũy thừa dạng. a. n. x n và trình bày cách. n 1. tìm bán kính và miền hội tụ của nó. Cho thí dụ. 4) Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin của 1 hàm số. Nêu ứng dụng của chuỗi Maclaurin. BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau: . 1). . 1  x n 1 n. 2). n 1. n 1. . 4).   1 . 1  n n 1 n ! x. 5).  1 n 1. n 1. . 1 nx. 3). 2  n. n. sin. 1. 2n. x 3n. xn  n 1 n ! . x n. 6). Bài 2. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa sau: . 1).  n. 1. 2n x n 3. n 1. . 2).  n. 1.  2n  1! x n. . 3). n!.  n. 1. ( x  2)n n. . 4). n. 1. Bài 3. Khai triển thành chuỗi Maclaurin các hàm số sau 1) f ( x)  sin 2 x 2) f ( x )  a x ; 0  a  1 Bài 4. Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau.  n  1! 2. n.  x  1. 3) f ( x )  ln (1  x ). 2 2) f ( x )  x  x trên đoạn [0,2]. 1) f ( x )  x 2 trên đoạn [-1,1]. 2. Bài 5. Tính gần đúng các số sau với sai số không quá 10. -4 1. 1) e.  n. 0. 2) cos61. 3). 4. e 0. 118.  x2. dx. n.

(119) MỤC LỤC GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................... 1 Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................... 4 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................................. 4 1.2 Hàm số ................................................................................................................... 7 1.3 Các hàm số đặc biệt ................................................................................................ 9 1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................................................................... 11 1.5. Giới hạn hàm số.................................................................................................... 12 1.6 Sự liên tục của hàm số. ......................................................................................... 19 Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN .................................... 26 2.1 Đạo hàm ............................................................................................................... 26 2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số ................................................................................. 31 2.3 Các định lý về hàm số khả vi ................................................................................ 33 2.4 Ứng dụng của đạo hàm ......................................................................................... 39 Chương 3. TÍCH PHÂN............................................................................................... 48 3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định............................................................. 48 3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân................................................................. 49 3.3 Tích phân các hàm số thường gặp ......................................................................... 51 3.4 Tích phân xác định ............................................................................................... 56 3.5 Tích phân suy rộng ............................................................................................... 61 3.6 Ứng dụng của tích phân ........................................................................................ 64 Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ...................................................................... 71 4.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 71 4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến .................................................... 72 4.3 Đạo hàm riêng ...................................................................................................... 73 4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần ............................................................................. 76 4.5 Cực trị của hàm số hai biến................................................................................... 78 Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN..................................................................... 86 5.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 86 5.2 Phương trình vi phân cấp 1 ................................................................................... 87 5.3 Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................................... 93 Chương 6. CHUỖI SỐ ............................................................................................... 101 6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ ...................................... 101 6.2 Chuỗi số dương .................................................................................................. 103 6.3 Chuỗi số đan dấu ................................................................................................ 106 6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối .................................................. 107 Chương 7. CHUỖI HÀM ......................................................................................... 109 7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số............................................ 109 7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số ......................................... 110 7.3 Chuỗi luỹ thừa .................................................................................................... 112 7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier..................................................................... 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 120. 119.

(120) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. [2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. [3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. [4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD. [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM [8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.. 120.

(121)

Toán cao cấp B1 dành cho khối kỹ thuật

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về