Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.53 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

x – ∞ 0 + ∞

y' – 0 +

y + ∞

+ ∞
II – DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 
a) Phương pháp giải

Phương pháp tự luận thuần túy .

Xét tính đơn điệu của hàm số yf x( ) trên tập xác định
Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2 : Tính đạo hàm yf x( ).

Bước 3 : Tìm nghiệm của f x( ) hoặc những giá trị x làm cho f x( ) không xác định.

Bước 4 : Lập bảng biến thiên.
Bước 5 : Kết luận.

Phương pháp sử dụng MTCT

Cách 1 : Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio . Quan sát bảng kết quả

nhận được , khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số

ln giảm là khoảng ngịch biến.

Cách 2 : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương

trình INEQ của máy tính Casio (đơi với bất phương trình bậc hai, bậc ba)
Trắc nghiệm (Cách nhận xét bài toán, mẹo mực để loại trừ)

Ví dụ điển hình

Ví dụ 1. Hỏi hàm số y2x4  đồng biến trên khoảng nào ?1

A.

 

  

 

 

1
;

2 B.



0; 



C.

1
;
2

 

  

 

  D.



 ;0



Lời giải
Chọn B

 Giải theo tự luận

 Tính đạo hàm

3
' 8
y  x


y

' 0

 

x



0

 Bảng biến thiên

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



0;  



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập

F(x) =

2 x 

1

Start 10 End 
1
2



Step 0.5

Ta thấy ngay khi x càng tăng thì f x

 

càng giảm  Đáp án A sai

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng f x

 

càng tăng  Đáp án B đúng

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Kiểm tra khoảng

 

  

 

 

1
;

2 ta tính

' 0.1

2
f   

 

Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến)  Giá trị
1

0.1
2

 

vi phạm  Đáp án A sai
 Kiểm tra khoảng



 ; 0



ta tính f ' 0 0.1







Điểm 0 0.1 vi phạm  Đáp án D sai và C cũng sai  Đáp án chính xác là B

 Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng khơng . Ta tính





1331
' 1 0.1

125

f  

 Chính xác

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)

 Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio
để giải bất phương trình bậc 3

Rõ ràng x  0

 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Khi sử dụng Casio ta phải để ý : Hàm số đồng biến trên khoảng



a b;



thì sẽ ln tăng khi x tăng. Nếu
lúc tăng lúc giảm thì khơng đúng .

Ví dụ 2. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: yx44x2 3.

A.

(0;



)

B.

(

 

;0)

C.

(

  

;

2)

và

(0; 2)

D.

( 2;



)

Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cho

3 2

2 2

4 0 0

0 4 8 0 4 ( 2) 0

2 0 2 2

x

x x

y x x x x

x x x



  

 

               

    

   .

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên:



  ; 2



và



0; 2



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 3. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: y x 4 6x28x .1

A.

(1;



)

B.

(

  

; 2)

C.

(

 

;1)

D.

( 2;





)

Lời giải
Chọn B

 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định trên D  .

Tính



 



2
3

4 12 8 0 4 1 2

y  x  x   x x

. Cho



 



2 2

0 4 1 2 0

1
x

y x x

x



       



Bảng biến thiên :

x   2 1 
'

y  0  0 

y

 

4
23

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên



  ; 2



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 4. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: y x 44x .6

A.

( 1;





)

B.

(

 

;0)

C.

( 2;





)

D.

(

  

; 1)

Lời giải
Chọn A
 Giải theo tự luận

Tập xác định: D  .

Tính: y 4x34. Cho y  0 4x3  4 0 x1.
Bảng biến thiên:

x

   2 0 2 

y + 0 – 0 + 0 –

y 1 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x   1 

y  0 +

y
  

3

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên



1; .



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7) 
 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh
Ví dụ 5. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: y x36x2 9x .4
A.

(0;3)

B.

(1;3)

C.

(

 

;0)

D.

(2;



)

Lời giải
Chọn B
 Giải theo tự luận
Hàm số đã cho xác định trên D  .
Tính y 3x212x 9. Cho
2 1
0 3 12 9 0
3
x
y x x
x


        

 .
Bảng biến thiên:
x   1 3 

y  0  0 

y  4

0  

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên



1;3



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7) 
 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

) 
 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh
Ví dụ 6. Cho hàm số: yf x( )x33x23x . Hãy chọn câu đúng : 2
A. Hàm số

f x

( )

nghịch biến trên



B. Hàm số

f x

( )

đồng biến trên



C. Hàm số

f x

( )

không đổi trên



D. Hàm số

f x

( )

nghịch biến trên

(

  

; 1)

Lời giải
Chọn B
 Giải theo tự luận
Hàm số đã cho xác định trên D  .
Tìm y 3x26x3. Cho y  0 3x26x  3 0 x1.
Bảng biến thiên:
x   1 

y + 0 +

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

y 1 
 

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên D  .

 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 7. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: y x2 2x.

A.

(0;



)

B.

(2;



)

C.

(

 

;0)

D.

(0;2)

Lời giải
Chọn B

 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định khi:

2 2 0 0

2
x

x x

x



   

 

 Tập xác định: D  



 

 2; .



Ta có:



 



1 , ;0 2;

2
x

y x

x x



       

 . Hàm số không có đạo hàm tại: x0;x .2

Cho 2

0 0 1 0 1

2
x

y x x

x x



        

 .

Bảng biến thiên:

x   0 1 2 
y   0  

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên



2;



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 8. Tìm khoảng đồng biến của hàm số:

3 1
1

x
y

x



 .

A.

(0;



)

B.

(

 

;2)

C.

(

 

;1)

và

(1;



)

D.

(

  

;

)

Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận

Hàm số xác định và liên tục trên D\ 1

 

Tìm





2 2

3.1 1 .1 4

0; 1

(1 ) (1 )

y x

x x

 

     

  .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

x   1 
y  

y  3
3

   
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng



 ;1



và



1;



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 9. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số:

3 2
7

x
y

x



 .

A.

(

 

;7)

B.

(

  

;

)

C.

(

  

; 7)

và

( 7;





)

D.

( 10;





)

Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D\



7



Tính

















2 .7 1.3 17

0, D \ 7

7 7

y x

x x

  

       

  

Bảng biến thiên:

x   7 
y  

y  2 

  2
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên:



  ; 7



và



7; .



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 10. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số:

2 2 1
2

x x

y

x

  



 .

A.

(

  

; 5)

và

(1;



)

B.

( 5; 2)



C.

(

  

; 2)

và

( 2;





)

D.

( 2;1)



Lời giải
Chọn A
 Giải theo tự luận

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:





4 5

, D

x x

y x

x

  

   



Cho





2
2

4 5

' 0 0 4 5 0

1
2

x

x x

y x x

x
x




  

         



  .

Bảng biến thiên

x   5 2 1 

y  0   0 

y   0

12    

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên:



  ; 5



và



1;



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

) 
 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh
Ví dụ 11. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: 2
2
3
x
y
x x


  .
A.

(1;



)

B.

8 ( ;

)

5 

C.

8 (

; )

5  

D.

(

 

;2)

Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận
Hàm số đã cho xác định khi: x2 x 3 0 đúng   x .
Hàm số đã cho xác định trên D 
Ta có:



 



2
2 2
2 1 2 5 8
3
2 3 2 3
x x x
y x x
x x x x
   
     
    . 
Cho 2
5 8 8
0 0 5 8 0
5
2 3
x
y x x
x x
 
         
  .
Bảng biến thiên:
x
 
8
5 
y  0 

y

Hàm số đã cho đồng biến trên

8
;

 

 

 

  .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 12. Tìm khoảng đồng biến của hàm số: y



4 3 x



6x2 .1

A.

1 (

; )

2  

B.

1 (

; )

6  

và

1 ( ;

)

2 

C.

1 1

( ; )

6 2

D.

1 ( ;

)

6 

Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định trên D  .

Ta có:





2 2

6 4 3 36 24 3

3 6 1

6 1 6 1

x x x x

y x

x x

   

    

  .

Cho

2
2

36 24 3 2

0 0 36 24 3 0

6 1

6
x

x x

y x x

x x





  

          

  

 .
Bảng biến thiên

x

  
1

6
1

2 

y  0  0 

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên

1
;

 

 

 

  và

1
;
6

 



 

 

 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 13. Cho hàm số: yf x( ) x sin , x x



0;



. Hãy chọn câu đúng

A. Hàm số

f x

( )

đồng biến trên

(0; )



B. Hàm số

f x

( )

nghịch biến trên

(0; )



C. Hàm số

f x

( )

không đổi trên

(0; )



D. Hàm số

f x

( )

nghịch biến trên

(0; )

2 

Lời giải
Chọn A
 Giải theo tự luận

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trên đoạn



0;



















0; 0;

: 0 0

2 ,

1 cos 0 cos 1

x

x x

y x

x k k

x x



 


 

   

  

         

 

  

  

    .

Bảng biến thiên

x 0 
y 0 

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên (0; )

 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)

 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 14. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: y2sinxcos 2 , x x



0;



A.

(0; )

2 

B.

( ; )

2 

C.

(

; )

6 

 

và

5 ( ;

)

2 6



D.

(0; )



Lời giải
Chọn C
 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định trên đoạn



0;



Ta có: y 2cosx 2sin 2x2 cosx 4cos .sinx x2cos 1 2sinx



 x x



, 



0;



Trên đoạn









cos 0

0; : 0 6

sin 5

2 6

x x

x

y x

x x







  




  

     



   

 

  .

Bảng biến thiên

x 0 6 2 56 
'

y  0  0  0 

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên



0; 6



và



 2;56



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 15. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: ysin2xcos , x x



0;



A.

(0; )

3 

B.

( ; )

3 

C.

(0; )



D.

( ; )

6 

Lời giải
Chọn B

 Giải theo tự luận

Hàm số đã cho xác định trên đoạn



0;



Ta có: y 2sin .cosx x sinxsinx



2cosx1 ,



x



0;



Trên đoạn

















sin 0

0; : 0

sin 2cos 1 0 1

cos 2

x
x

x

y x

x x

x


 



 

 

  



       

  

 

 




 .

Bảng biến thiên
x

0 3 
y  0 

y

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên:



3;



 Giải theo Casio (cách 1: sử dụng chức năng MODE 7)

 Giải theo Casio (cách 2 : sử dụng chức năng tính đạo hàm

(.)

d

dx

)

 Giải theo Casio (cách 3 : sử dụng chức năng MODE 5 INEQ)
 Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

Ví dụ 16. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số:

2 2 3
yx  x

A.

( 1;1)



và

(3;



)

B.

(

  

; 1)

và

(1;3)

C.

(0;



)

D.

(1;



)

Lời giải
Chọn A
 Giải theo tự luận

Ta có:



 







2 3 ; 1 3;

2 3

2 3 1;3

x x khi x

y x x

x x khi x

        



   

    



 .

TXĐ: D  .

Tìm



 







2 2 khi ; 1 3;

2 2 khi 1;3

x x

y

x x

      



 

   



 .

Hàm số không có đạo hàm tại x 1 và x 3.
Ta lại có: Trên khoảng



1;3



: y  0 x1.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bảng biến thiên:
x  

1 1 3 

y – + 0 – +
y

</div>

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện









<i>y</i>

' 0

 

<i>x</i>



0





2

<i>x </i>

1

 

 

(.)

<i>d</i>

<i>dx</i>

















(0;



)

(

 

;0)

(

  

;

2)

(0; 2)

( 2;



)









(.)

<i>d</i>

<i>dx</i>

(1;



)

(

  

; 2)

(

 

;1)

( 2;





)



 





 







(.)

<i>d</i>

<i>dx</i>

( 1;





)

(

 