Các câu hỏi lý thuyết về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (145.71 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên

[

a b; .

]

Giả sử F x

( )

là một nguyên hàm của hàm

( )

f x

trên

[

a b; .

]

( )

b

b
a
a

f x x=F x =F b - F a

ò

Lưu ý:

 Quy ước: + Nếu a b thì

( )

d 0
a

a

f x x=

ò

+ Nếu a b thì

( )

d d

b a

a b

f x x=- f x x

ò



( )

d ...

b b b

a a a

f x x= f t t= f u u=

ị

2. Tính chất:



( )

(

)

b b

a a

kf x x=k f x x kỴ

ị



( )

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

é ± ù = ±

ë û

ò



( )

(

)

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x a< <c b

ị

Một số tính chất mở rộng:

 Nếu f x

 

  0 x



a b;



thì:

 



;



b
a

f x dx  x a b



 Nếu:



; :



 

b b

a a

x a b f x g x f x dx g x dx

   







. (Bất đẳng thức trong tích phân)

 Nếu:  x



a b;



và với hai số M, N ta luôn có: M f x

 

N thì:





 





b
a

M b a 



f x dx N b a 

. (Tính chất giá trị trung bình của tích phân)
B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ 1: Giả sử F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số y=x6sin5x trên khoảng (0;+¥ ). Khi đó
2

6 5

sin d

x x x

ị

có giá trị bằng

A. F

( )

2 - F

( )

1 . B. F

( )

2 +F

( )

1 . C. F

( )

1 - F

( )

2 . D. F

( ) ( )

1 .F 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ví dụ 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng

K

và , , a b c là ba số bất kì thuộc .K Khẳng định nào
sau đây sai?

A.

 

c b b

a c a

f x x f x x f x x



B.

 

d 0.

a

f x x 



C.

 

d .

b b

a a

f x x f t t



D.

 

d .

b a

a b

f x x f t t



Hướng dẫn giải
Chọn C.

Do tích phân không phụ thuộc vào cách viết biến nên

 

d .

b b

a a

f x x f t t



Ví dụ 3: Tích phân
2

I cos x sin x x
p

ò

, sau khi đổi biến u=cos x, ta được

A. 
2

0
d

I u u

ò

B.

2
12

0
d

I u u

ò

C.

1
12

0
d

I=-

ò

u u

D. 
1

0
d

I =

ò

u u

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Đặt u=cos xÞ du=- sin x xd
Đổi cận: Khi x= Þ0 u= 1

x 2 u 0
p

= Þ =

Khi đó:

0 1

12 12 12

0 1 0

d d d

I cos x sin x x u u u u

ò

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A. Với mọi hàm số f liên tục trên ¡ , ta có

d d

b a

a b

f ( x ) x= f ( x ) ( x )

-ò

ò

B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn

[

- 3 3;

]

, ln có
3

d 0

f ( x ) x

ị

C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b , sao cho ]

d 0

b
a

f ( x ) x³

ị

thì f ( x )³ 0 " Ỵx

[

a;b

]

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1 5; thì ]

[

]

[

]

5
3
5

1
1

f ( x )
f ( x ) x=

ò

.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Có

( )

( ) ( )

b a a

a b b

f x x=- f x x= f x - x

ị

Ví dụ 5: Cho hai hàm số

y

=

f x y

( )

,

=

g x

( )

là các hàm số liên tục trên

é ùÌ

ê ú

ë û ¡

a b

;

và các số thực

k Ỵ ¡

,

c

Ỵ ê ú

é ù

ë û

a b

;

. Khi đó biểu thức nào sai?

A.

( )

=

( )

+

( )

ò

d

ò

d

ò

d

b c b

a a c

f x x

B.

( )

=

( )

ò

.

d

ò

d

b b

a a

k f x x

C. Nếu

f x

( )

³

0 " Ỵ ê ú

x

é ù

ë û

a b

;

thì

( )

³

ị

d

0

b

a

f x x

D.

( ) ( )

( )

é

ù =

ê

ú

ë

û

ò

.g

d

ò

d .

ò

d

b b b

a a a

f x

x

f x x

g x x

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ví dụ 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu f là hàm số chẵn trên ¡ thì

1 0

0 1

d d

f ( x ) x f ( x ) x

ò

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

B. Nếu

0 1

1 0

d d

f ( x ) x f ( x ) x

ò

ị

thì f là hàm số chẵn trên đoạn

[

- 1 1;

]

C. Nếu 
1

d 0

f ( x ) x

ị

thì f là hàm số lẻ trên đoạn

[

- 1 1;

]

D. Nếu 
1

d 0

f ( x ) x

ị

thì f là hàm số chẵn trên đoạn

[

- 1 1;

]

.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đặt t=- Þx dx=- dt

Đổi cận x= Þ =0 t 0

x= Þ =-1 t 1

Khi đó

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

d d d d d

f ( x ) x f ( t) t f ( t) t f ( x ) x f (x) x

-- -

-- =

-=- = - =

ò

(Do f x

( )

là hàm chẵn).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1.Giả sử

f x

( )

là hàm liên tục trên

¡

và các số thực

a b c

< <

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

( )

= -

( )

ò

d

ò

d

b a

a b

cf x x

c f x x

B.

( )

=

( )

+

( )

ò

d

ò

d

ò

d

c b c

a a b

f x x

C.

( )

=

( )

+

( )

ò

d

ò

d

ò

d

b a c

c b a

f x x

D.

( )

=

( )

-

( )

ò

d

ò

d

ò

d

b c c

a a b

f x x

Câu 2.Cho hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn

[

a b;

]

. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

A.

( )

b a

a b

f x x=- f t t

ò

B.

( )

b a

a b

f x x=- f x x

ò

C.

(

)

d ,

b
a

k x=k b a- " Ỵk

ị

D.

( )

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

ò

Câu 3.Giả sử hàm số f x

( )

liên tục trên khoảng K và ,a b KỴ , ngồi ra k là một số thực tùy ý. Khi đó

(I)

( )

d 0

a
a

f x x=

ò

(II)

( )

b a

a b

f x x= f x x

ò

(III)

( )

. d . d

b b

a a

k f x x=k f x x

ị

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A. Chỉ có (II) sai B. Chỉ có (I) sai C. Có (I) và (II) sai D. Cả ba đều đúng.

Câu 4.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu f x

( )

liên tục và không âm trên đoạn

[

a b;

]

thì

( )

d 0

b
a

f x x³

ị

B.

1
dx 1

ị

C.

( ) ( )

( )

1 .2 d 1 d . 2 d

b b b

a a a

f x f x x= f x x f x x

ò

ị

D. Nếu

( )

d 0

a

f x x=

ị

thì f x

( )

là hàm số lẻ

Câu 5.Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn

( )

[

a;b và

]

F x là một nguyên hàm của

( )

f x trên

( )

[

a;b ..

]

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.



2 3 d





2 3



b

a

b

f x x F x

a

  



B. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x a,x b= = ; đồ thị hàm số y= f x

( )

và
trục hồnh được tính theo cơng thức S=F b

( )

- F a

( )

C.

 

a

b

f x x F b  F a



D. .

 

, 0

b

a

k f x x k F b   F a    k



Câu 6.Cho f x

( )

là hàm số lẻ và liên tục trên

[

- a;a

]

. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A.

( )

d 0

a
a

f x x

ò

B.

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

ò

C.

( )

d 20

( )

a

a a

f x x f x x

ò

D.

( )

d 2 d

a a

a

f x x f x x

=-ò

ò

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A.

( )

b

b
a
a

f x x=F x =F a - F b

ò

B.

( )

b

a
b
a

f x x=F x =F a - F b

ò

C.

( )

b

b
a
a

f x x=F x =F b - F a

ò

D.

( )

b

b
a
a

f x x= f x =f b - f a

ò

Câu 8.Nếu u=u x ,v

( )

=v x

( )

là hai hàm số liên tục trên

[

a;b

]

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.

( )

d d
b a
a
b

a b

u v= u.v - v u

ò

B.

( )

d d
b b
b
a
a a

u v= u.v - v v

ò

C.

( )

d d
b b
b
a
a a

u v= u.v - u u

ò

D.

( )

d d

b b
b
a
a a

u v= u.v - v u

ò

Câu 9.Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn

[

a;b

]

và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?

A.

( )

b b

a a

xf x x=x f x x

ò

. B.

( )

b a

a b

f x x=- f x x

ò

C.

( )

b b

a a

kf x x=k f x x

ò

. D.

( )

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

é + ù = +

ë û

ò

Câu 10. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
luôn đúng?

A.

( )

d 0
a

a

f x x=

ò

. B.

( )

d 1
a

a

f x x=

ò

. C.

( )

d 1
a

a

f x x

=-ò

. D.

( )

d
a

a

f x x= f ( a )

ò

Câu 11. Xét hàm số f liên tục trên ¡ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?

A.

( )

b b a

a c c

f x x= f x x- f x x

ò

. B.

( )

b c b

a a c

f x x= f x x+ f x x

ò

C.

( )

b c b

a a c

f x x= f x x- f x x

ò

. D.

( )

b c c

a a b

f x x= f x x- f x x

ò

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A. Nếu f ( x )³ m " Ỵx

[

a b;

]

thì

( )

(

)

b
a

f x x³ m a- b

ò

B. Nếu f ( x ) m³ " Ỵx

[

a b;

]

thì

( )

(

)

b
a

f x x³ m b- a

ò

C. Nếu f ( x ) M£ " Ỵx

[

a b;

]

thì

( )

(

)

b
a

f x x£ M b- a

ị

D. Nếu m£ f ( x )£ M " Ỵx

[

a b;

]

thì

(

)

( )

(

)

b
a

f x x

m b a- £

ò

£ M b a

Câu 13. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn

[

a;b

]

sao cho g( x )¹ 0 với mọi xỴ

[

a;b

]

. Xét các
khẳng định sau:

( )

b b b

a a a

f x g x dx f x x g x x

é + ù = +

ë û

ò

II.

( )

b b b

a a a

f x g x dx f x x g x x

é - ù =

-ë û

ò

III.

( ) ( )

( )

b b b

a a a

f x .g x dx f x x. g x x

é ù =

ë û

ò

IV.

( )

d
d

d
b

b

a
b
a

a

f x x
f x

x
g x

g x x
=

ị

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 14. Cho hàm số

y

=

f x

( )

liên tục trên đoạn

é ù

ê ú

ë û

a b

;

. Gọi

D

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( ) :

C

y

=

f x

( )

, trục hoành, hai đường thẳng

x

=

a x

,

=

b

. Giả sử

S

là diện tích của hình phẳng

D

.

Chọn cơng thức đúng?

A.

=

ò

( )d

b

a

S

f x x

. B.

=

ò

( )d

a

b

S

f x x

C.

=

ò

( ) d

a

b

S

f x x

. D.

=

ò

( ) d

b

a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên R và hai số thực a b . Nếu

( )d
b
a

f x x



thì tích phân
2

(2 )d
b

a

f x x



có giá trị bằng

A. 4 . B. 2. C.  . D. 2



Câu 16. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [ ; ]a b . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A.





( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b b

b
a

a a

f x G x x F x g x  F x G x x



B.





( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b b

b
a

a a

f x G x x F x G x  F x g x x



C.





( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b b

b
a

a a

f x G x x f x g x  F x g x x



D.





( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d

b b

b
a

a a

f x G x x F x G x  f x g x x



Câu 17. Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F x

 

trên đoạn [ ; ]a b .
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A. F x'( )f x( ) với mọi x( ; )a b .

B.

( )d ( ) ( )
b

a

f x xf b  f a



C.

( )d ( ) ( )
b

a

f x x F b  F a



D. Hàm số G x

 

cho bởi G x( )F x( ) 5 cũng thỏa mãn

( )d ( ) ( )
b

a

f x x G b  G a



Câu 18. Giả sử F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

sin x
y

x


trên khoảng (0;). Khi đó
2

1
sin 3

x
x
x



có giá trị bằng

A. F(6) F(3). B. 3



F(6) F(3)



. C. 3



F(2) F(1)



. D. F(2) F(1).

BẢNG ĐÁP ÁN

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

11. C 12. A 13. B 14. D 15. D 16. B 17. B 18. A

</div>

Các câu hỏi lý thuyết về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

ò

( )

ò

( )

( )

ò

ò

( )

( )

( )

ị

ị

ị

( )

( )

(

)

ị

ị

( )

( )

( )

( )

ò

ò

ò

( )

( )

( )

(

)

ị

ị

ị

 





 











 

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>





 





 





<sub></sub>

( )

ị

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

<i>K</i>