<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A. Tóm tắt lí thuyết</b>
<b> I. Bài tốn 1</b>

+) Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường <i>y</i>=<i>f x</i>( )<i>, trục hoành và hai đường thẳng x a= , x b= quanh trục Ox: </i>

( ): ( )
( ):

 









 


<i>C y f x</i>
<i>Ox y 0</i>
<i>x a</i>
<i>x b</i>



<b>( )</b>



<b>2</b>
<i><b>b</b></i>

<i><b>x</b></i>

<i><b>a</b></i>

<i><b>V</b></i> 

_

<i><b>f x</b></i> <i><b>dx</b></i>
<i>a</i>

 ( )
<i>y f x</i>
<i>y</i>

<i>O</i> <i>b</i> <i>x</i>

+) Chú ý

Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường <i>x g y</i>= ( ), trục hoành và hai đường thẳng <i>y c</i>= , <i>y d</i>= <i> quanh trục Oy: </i>

<i>c</i>
<i>y</i>

<i>O</i>
<i>d</i>

<i>x</i>

( ): ( )
( ) :

 









 


<i>C x g y</i>
<i>Oy x 0</i>
<i>y c</i>
<i>y d</i>



<b>( )</b>



<b>2</b>
<i><b>d</b></i>

<i><b>y</b></i>
<i><b>c</b></i>

<i><b>V</b></i> 

_

<i><b>g y</b></i> <i><b>dy</b></i>

<b> II. Bài tốn 2</b>

Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường <i>y</i>=<i>f x</i>( ), <i>y g x</i>= ( )<i> và hai đường thẳng x a= , x b= quanh trục Ox: (Đồ</i>
thị <i>y</i>=<i>f x</i>( ),<i>y g x</i>= ( )<i>cùng phía với trục Ox: )</i>

2_{( )} 2_{( )}

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> =<i>p</i>

ò

<i>f x</i> - <i>g x dx</i>

<b>B. Bài tập</b>
<b> I. Nhận biết</b>

<b>Câu 1. </b>Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

4   

y , y 0 , x 1, x 4

x _{quanh trục ox là:}

A. 6 _{B. 6} _C.₁₂ _{D. 6}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

A.
79
63

B.
23
14

C.
5

4

D. 9

<b>Câu 3. </b>Thể tích của vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 ₂

<i>y x</i>  <i>x</i>_,<i>y  , </i>0 <i>_{x  ,}</i>₀ <i>_{x  quanh trục hoành có giá trị bằng}</i>₁

<b>A.</b>
8
15

. <b>B. </b>
7
8

. <b>C. </b>
15
8

. <b>D. </b>
8
7

.

<b>Câu 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đường </b>



 ,
2
<i>x</i>





,

<i>x</i>

cos .

<i>y</i>

<i>x</i>

_{Thể tích của vật thể trịn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục}
<i>Ox là</i>
<b>A.</b>








_

2
2
cos
<i>V</i> <i>xdx</i>
<b> B.</b>







_

3
2
2
2

cos
<i>V</i> <i>xdx</i>
<b>C.</b>







_


2

(1 cos2 )
2

<i>V</i> <i>x dx</i>

<b> D.</b>








_


2
2

(1 cos2 )
2

<i>V</i> <i>x dx</i>

<b>Câu 5. </b>Khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số <i>y</i> <i>x</i> và các đường thẳng

0,

<i>x</i>

<i>_x</i>

_4

_{xung quanh trục hồnh, ta được khối trịn xoay có thể tích là}

<b>A.</b> <b>_B.</b>2



<b>_C.</b>8



<b>_D.</b>4



<b>Câu 6. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos 4x, Ox, x = 0, x =  8


quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.
2
2

B.
2
16


C. 4

D.
1
.
16




 
 
 

<b>Câu 7. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x 3


   

quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.
3
3

 
 _  _
 
<i>V</i>
B.
3
3

 
 _  _
 
<i>V</i>
C.
3

3

 
 _  _
 
<i>V</i>
D.
3
3

 
 _  _
 
<i>V</i>

<i><b>Câu 8. </b></i>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i>3 ,<i>x y x x</i> , 0, <i>x</i>1 quay xung

<i>quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:</i>

A.
8
V .
3


B.
4
V .
3



C.
2
V .
3



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 9. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i><i>x Ox x</i>, , , <i>a x</i> <i>b</i> quay xung
<i>quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:</i>

A.

2 _.

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>xdx</i>

B.

2 _.

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>x dx</i>

C.

2 2 _.

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>x dx</i>

D.

2 _.

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>x dx</i>

<b>Câu 10. </b>Cho hình phẳng trong hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh. Thể
tích khối trịn xoay tạo thành được tính theo cơng thức nào?

<b>A.</b>

 



_

_ ( ) ( )_2

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>dx</i>

<b>B.</b>



 



_

_ 2( ) 2( )_

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>f x</i> <i>g x dx</i>

<b>C.</b>



 



_

_ ( ) ( )_2

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>f x</i> <i>g x</i> <i>dx</i>

<b>D.</b>



 



_

_ ( ) ( )_

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>V</i> <i>f x</i> <i>g x dx</i>

<b> II. Thơng hiểu </b>

<b>Câu 11. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i> <i>x</i>1<i>; trục Ox và đường</i>
thẳng <i>x</i>3<i>_{quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo}</i>
thành bằng:

A.
3

2 _{B. 3} _C._2 _{D. }

Khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số <i>y</i>  <i>x x</i>(  0) và các đường thẳng

0,

<i>x</i>

<i>_x</i>

_4

_{xung quanh trục hồnh, ta được khối trịn xoay có thể tích là}

<b>A.</b> <b>_B.</b>2



<b>_C.</b>8



<b>_D.</b>14



<b>Câu 12. </b>Cho hình

 

<i>H</i> giới hạn bởi parabol <i>y</i>2<i>x x</i> 2 và trục hồnh Ox. Thể tích khối trịn xoay

khi hình

 

<i>H</i> quay xung quanh trục Oxbằng:

<b>A. </b>

15
16



. <b>B. </b>

15
17



. <b>C.</b>

16
15



. <b>D. </b>

15
17


.

<b>Câu 13. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx22x, y 0 quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.
496

15


B.
4

3


C.
64

15


D.

16
15



<b>Câu 14. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x , y 0 2  quay xung quanh
trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.
3

2


B.
2

3


C. 2


D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Câu 15. </b>Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới

hạn bởi: <i>y</i>2<i>x x y</i> 2; 0
quay quanh Ox.

A.
14

15
<i>p</i>

B.
16

15
<i>p</i>

C.
17

15
<i>p</i>

D.
48

15
<i>p</i>

<i><b>Câu 16. </b></i>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i>ln ,<i>x y</i>0, <i>x</i>2_{quay xung}

<i>quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:</i>

A. 2ln 2 4ln 2 22   _B.





2

2ln 2 4ln 2 2

  

C.





2

2ln 2 4ln 2 2

  

D. 



2ln 2 1



<i><b>Câu 17. </b></i>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i>2 ,<i>x y</i>2 2 4<i>x quay xung quanh</i>

<i>trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:</i>

A.

88 _.
5
<i>V</i>  

B.

9 _.
70
<i>V</i>  

C.

4 _.
3
<i>V</i>  

D.

6 _.
5
<i>V</i>  

<i><b>Câu 18. </b></i>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 1 2

4 ,

3

  

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

quay xung
<i>quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:</i>

A.

24 3
V

5



B.

28 3
V

5



C.

28 2
V

5



D.

24 2
V

5




<i><b>Câu 19. </b></i>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i><i>x</i>. ln ,<i>x y</i>0, <i>x e</i> quay xung

<i>quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:</i>

A.

3

4e 1
.

9



B.

3

4e 1
.

9



C.
3

2e 1
.

9



D.

3

2e 1
.

9



<b>Câu 20. </b>Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y x</i> 22; <i>y</i>3
; <i>y</i>4; <i>x</i>0_{quanh trục}<i>Oy</i>_là

<b>A. </b>

1

3_. <b>_B.</b>

3
2



. <b>C. </b>_. <b>_D.</b>2_.

<b> III. Vận dụng </b>

<b>Câu 21. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường <i>y</i>2 <i>x x a x b</i>,  ,  (0<i>a b</i> ) quay
xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.

2 <i>b</i> _.

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>xdx</i>

B. .

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>xdx</i>

C. .

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>xdx</i>

D.

2 <i>b</i> _.

<i>a</i>

<i>V</i> 

_

<i>xdx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A. 32 B. 64 C. 16 D. 4

<b>Câu 23. </b>Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đường <i>y x</i> 2;8<i>x</i><i>y</i>2 quay quanh trục Oy là:

A.
21

15
<i>p</i>

B.
23

15
<i>p</i>

C.
24

15
<i>p</i>

D.
48

5
<i>p</i>

<b>Câu 24. </b>Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (<i>C</i>   2 <i>a</i>0)là:

A.

5

30
<i>a</i>
<i>p</i>

B.

5

20
<i>a</i>
<i>p</i>

C.

4

5
<i>a</i>
<i>p</i>

D.

5

10
<i>a</i>
<i>p</i>

<b>Câu 25. </b>Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y a.x , y bx (a,b 0) 2   quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A.

3
3

1 1
.

3 5
<i>b</i>

<i>V</i>
<i>a</i>

  

 _  _

  _B.

5
3

.
5


 <i>b</i>

<i>V</i>

<i>a C.</i>

5
3

.
3


 <i>b</i>

<i>V</i>

<i>a </i>D.

5
3

1 1
.

3 5
<i>b</i>

<i>V</i>
<i>a</i>

  

 _  _

 

<b>Câu 26. </b>Cho hình <i>H</i>_{giới hạn bởi các đường}<i>y</i>2 2<i>x</i>_và<i>x</i>2<i>y</i>2 _{ ( phần gạch sọc trong hình).}8
Khối trịn xoay khi quay <i>H xung quanh trục Ox có thể tích bằng bao nhiêu?</i>

<b>A. </b>





2 8 2 7
3

 

. <b>B. </b>





4 13 8 2
3

 

. <b>C. </b>

32 2
8

3 

 



 

 

  _. <b>_D.</b>





4 8 2 7
3

 

.

<b>Câu 27. </b>Trong mặt phẳng Oxy,cho hình ( )<i>H</i> giới hạn bởi các đường <i>y x x y</i> ln , 0, x 1, <i>x e</i> .

Cho hình ( )<i>H</i> quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

3

(<i>be</i> 2)
<i>a</i>




. Tìm
<i>a b</i>

<b>A.</b> 32 . <b>B. </b>28 . <b>C. </b>34 . <b>D. </b>20 .

<b>Câu 28. </b>Gọi ( )<i>H</i> là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số

1

2 ,  , 0

  <i>x</i> 

<i>y</i> <i>x y</i> <i>y</i>

<i>x</i> _Thể

tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )<i>H</i> quanh trục hoành bằng.

<b>A. </b>

5

2ln 2
3

<i>V</i> _  _

 _. <b>_B.</b>

5

2ln 2
3

<i>V</i> _  _

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>C. </b>

2
2ln 2

3
<i>V</i> _  _

 _. <b>_D.</b>

2
2ln 2

3
<i>V</i> _  _

 

<b>Câu 29. </b>Cho hình phẳng

 

<i>H</i> giới hạn bởi đồ thị hàm số

2 1
2 1

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>



 _{, trục hoành, hai đường thẳng}

1

<i>x  , _{x  . Thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi cho hình}</i>2

 

<i>H</i> <i>_{quay xung quanh trục Ox}</i>

bằng

ln
3

<i>a</i>
<i>V</i> __ <i>b</i>__

 <i>_{ , (trong đó a , b là các số hữu tỷ). Khi đó .}a b bằng</i>

<b>A. </b>

10

3 _. <b>_B.</b>

10
3


. <b>C. </b>2_. <b>_D.</b>2_.

<b>Câu 30. </b>Cho hàm số <i>y</i><i>f x</i>

 

<i>ax</i>2<i>bx c a</i>



0



có đồ thị là một parabol

 

<i>P</i> có đỉnh



1; 4



<i>I  </i>

và <i>f</i>

 

0  . Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm3

số <i>y</i><i>f x</i>

 

, <i>y </i>0<i> quanh trục Ox .</i>

<b>A. </b>

32

3 _. <b>_B.</b>

512

15 _. <b>_C.</b>

1712

15 _. <b>_D.</b>

56
3 _.

<b> IV. Vận dụng cao</b>

<b>Câu 31. </b><i>Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vng góc với trục và cách đều</i>
<i>hai đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m . Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt</i>
xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?

<b>A. </b>425162 lít. <b>B. </b>212581lít. <b>C. </b>212, 6lít. <b>D. </b>425, 2 lít.

<b>Câu 32. </b>Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu

 

<i>S</i>1 _,

 

<i>S</i>2 _{có cùng bán kính}<i>R</i>_{thỏa mãn tính}

chất: tâm của

 

<i>S</i>1 _thuộc

 

<i>S</i>2 <i>_{và ngược lại (xem hình vẽ). Tính thể tích phần chung V của hai khối}</i>

cầu tạo bởi ( )<i>S và </i>1 ( )<i>S .</i>2

<b>A.</b>



<i>R</i>3_. <b>_B.</b>

3

2

<i>R</i>



. <b>C.</b>

3

5
12

<i>R</i>



. <b>D.</b>

3

2
5

<i>R</i>



.

<b>Câu 33. </b><i>Gọi V là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y x a</i> và



2



, 0 2

<i>y</i> <i>a</i>  <i>a x</i> <i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>A. </b><i>a  .</i>1 <b>B.</b>

1
2
<i>a </i>

. <b>C.</b>

3
2
<i>a </i>

. <b>D.</b>

3
4
<i>a </i>

.

<b>Câu 34. </b>Cho Parabol ( ) :<i>P y</i>16 <i>x</i>2 và hai điểm <i>A a</i>



;0 ,



<i>B</i>



<i>a</i>;0 ; 0



<i>a</i>4. Gọi ( )<i>H là hình</i>

phẳng giới hạn bởi ( )<i>P và trục ox , </i>(<i>H là hình chữ nhật </i>1) <i>ABCD</i>_{( ,}<i>C D là 2 điểm thuộc ( )P ). Gọi V</i>

là thể tích hình trịn xoay có được khi xoay ( )<i>H quanh Oy và V là thể tích hình trịn xoay có được khi</i>1

xoay (<i>H quanh Oy . Tính giá trị lớn nhất của tỉ số </i>1)
1

<i>V</i>
<i>V</i> _.

<b>A. </b>

2

3_. <b>_B.</b>

1

4_. <b>_C.</b>

1

2_. <b>_D.</b>

3
4_.

<b>Câu 35. </b>Cho hình phẳng <i>H</i>_{giới hạn bởi các đường}<i>y</i><i>f x</i>

 

<i>x</i>2 8<i>x</i>12_và<i>y</i><i>g x</i>

 

<i>x</i>6
(phần tô đậm trong hình). Khối trịn xoay tạo thành khi quay <i>H</i>_{xung quanh trục hồnh có thể tích}
bằng bao nhiêu?

<b>A. </b>

216
5



. <b>B. </b>

949
15


. <b>C. </b>

817
15


. <b>D.</b>

836
15


</div>

<!--links-->