CÁC BÀI TOÁN CASIO HAY
1/Tìm số dư của phép chia:2
2008
chia cho 25
Giải:
Ta có: 25=5
2
Áp dụng hệ quả của định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì ap(p-1)≡1 mod (p
2
) ), ta có:
25(5-1)≡1mod (5
2
)
220≡1mod 25
Ta có: 2008 = 20 × 100 +8
suy ra 2
2008
≡28 mod 25
suy ra 2
2008
≡256 mod 25
suy ra 2
2008
≡6 mod 25
vậy số dư trong phép chia 2
2008
chia cho 25 là 6
2/Tìm cặp số (x,y) nguyên dương sao cho 4x
3
+17(2x-y)
2

=161312
Giải:
Giải trên máy Casio fx-570MS ( Casio fx-570ES tương tự)
Ta có: 4x
3
+17(2x-y)
2
=161312 nên 4x3≤161312
suy ra x ≤ 34
Khi đó: y=2x±(161312-4x317)
Qui trình bấm phím như sau:
1. Lưu -1 vào A
2. Ghi vào màn hình: A=A+1:2A +(161312-4A3)17):2A -(161312-4A3)17)
3. Bấm =...= cho đến khi A = 35 thì dừng lại. Chú ý chỉ nhận A ứng với một trong hai phép toán ở trên là số nguyên
dương. ( A = 30)
suy ra x =30
suy ra y = 4 hoặc 116
Vậy nghiệm của phương trình là (30;4) và (30;116)
3/ Tìm chữ số tận cùng của tổng :
T= 2
3
+3
7
+4
11
+....+2004
8011
Giải:
Số hạng tổng quát là u
n

=n
4n-5
( với n≥ 2)
⇒ u
n
≡n
3
(mod 10)
⇒ T≡ 2
3
+3
3
+4
3
+....+2004
3
( mod 10)
⇒ T≡ (1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+...+2004
3
)-1(mod 10)
Ta có A=1
3

+2
3
+3
3
+4
3
+...+2004
3
=
2
2004.(2004 1)
( )
2
+
=2009010
2
⇒ (1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+...+2004
3
)-1 tận cùng là 9
Vậy T tận cùng là chữ số 9.
4/ Tìm x ( dưới dạng phân số)
((2

4
+4)(6
4
+4)(10
4
+4)...(98
4
+4)/(4
4
+4)(8
4
+4)(12
4
+4)...(100
4
+4)).5101.x=1/25112007
Giải:
Giải trên máy tính Casio fx-570MS ( các máy tính khác tương tự)
Ta có: (2+4k)
4
+4=[(2+4k)
2
+2]-4(2+4k)
2
=4(8k
2
+12k+5)(8k
2
+4k+1) (1)
Biến đổi tương tự, ta có: (4+4k)

4
+4=4(8k
2
+12k+5)(8k
2
+20k+13)
Nhận xét: 8(k+1)
2
+4(k+1)+1=8k
2
+20k+13
suy ra (4+4k)
4
+4=4(8k
2
+12k+5)[8(k+1)
2
+4(k+1)+1] (2)
Áp dụng hai đẳng thức (1) và (2) ở trên phân tích A, ta được:
A=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4(8.0 +12.0+5)(8.0 +4.0+1)4(8.1 +12.1+5)(8.1 +4.1+1)...4(8.24 +12.24+5)(8.24 +4.24+1)
4(8.0 +12.0+5)(8.1 +4.1+1)4(8k +12k+5)(8.2 +4.2+1)...4(8.24 +12.24+5)(8.25 +4.25+1)
Rút gọn ta được: A=
2
2
8.0 +4.0+1
8.25 +4.25+1
Dùng máy tính ta tính được: A=

1
5101
suy ra x=
1
25112007
Vậy nghiệm của phương trình là x=
1
25112007
5/ Tìm ba chữ số tận cùng của tổng :
T= 1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+....+987654321
3
Giải:
Áp dụng công thức tính tổng
1
1
3
+2
3
+3
3
+...+(n-1)
3

+n
3
=
2
( )
n(n+1)
2
ta được:T=
2
( )
2
987654321×987654322
Dùng máy thực hiện phép chia: 987654322÷ 2 ta được kết quả: 493827161
Suy ra T=(987654321×493827161)
2
Ba chữ số cuối cùng của T là ba chữ số cuối cùng của (321×161)
2
=2670925761
Vậy ba chữ số cuối của T là 761
6/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi đem nhân với 333667 ta được một số biểu diễn bằng toàn số 2.
Giai: Gọi số đó là a, ta có chỉ khi a tận cùng là 6 thì 333667 nhân a có tận cùng là 2, thử tiếp với 16,26,...,96 ta chọn đc
66, thử tiếp với 166,266,...,966 ta đc 666 nhân 333667 = 222222222 nên dừng lại. (Ta có thể dự đoán kết quả bằng cách
lấy 2222222 chia cho 333667.
7/ Tìm a thuộc N để biểu thức sau là số chính phương
a
2
+ a + 43
Giải
Đặt: k
2

=a
2
+ a + 43
⇔ (4a
2
+ 4a + 1) -4k
2
=-171⇔ (2a+1)
2
-4k
2
=-171 ⇔ (2a+1-2k)(2a+1+2k)=-171
Ta có : 171=1.171=3.57=9.19
Giải hệ phương pt ta được: a=42; 13; 2.
8/ Nhận biết số nguyên tó
Giả sử muốn nhận biết a có nguyên tố hay không?
Cách 1: khá thông dụng nhưng thời gian kiểm tra lâu:
Thoạt nhìn sẽ biết 2 có phải là ước của a không nếu không thì làm tiếp
Nhập
a "SHIFT" "STO" A
-1 "SHIFT" "STO" B
Sau đó nhập như sau
B+2 → B :A÷ B
Rồi bấm = = = ....
Nếu thấy các thương số đều không nguyên cho đến khi thương hạ xuống dưới căn A thì ngưng
Và kết luận a nguyên tố
Cách 2:Cách này ít người biết (sưu tầm trên mạng), thời gian kiểm tra chỉ rút ngắn còn một nửa so với cách 1:
a "SHIFT" "STO" A
xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản), nếu không thì làm tiếp
lấy A chia cho 3: A÷3 =

Ấn tiếp: A÷(A÷ Ans+2)
Sau đó ấn = = = ... để kiểm tra, khi thương số trên màn hình hạ xuống dưới căn A mà không có phép chia hết thì ngưng.
Và kết luận a nguyên tố
Cách 3 nhanh hơn nưã
Ta biết các thừa số nguyên tố (≠ 2,3) đều có dạng 6n± 1 với n∈ N
Ví dụ: Muốn nhận biết a có nguyên tố không
Ghi vào màn hình ( cho giá trị đầu X=0)
a "SHIFT" "STO" A
X=X+1 :A÷(6X-1):A÷(6X+1)
Ấn =....= nếu không thấy thương nào nguyên cho đến khi thương A÷(6X±1)<6X± 1 hay <6X±1>
A
) thì ngưng và kết
luận A nguyên tố
10/Tính
= 5+ 13+ 5+ 13....x
Giải
Cách 1
Dễ thấy phương trình trên tương đương với phương trình sau:
5 13x x= + +
Nhập phương trình trên vào máy tính
Ấn "SHIFT" "SOLVE"
Máy hiện x?
Nhập 1
Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa
Máy hiện kết quả x=3
Cách 2
Cách này hoàn toàn xài máy:
Nhập vào màn hình
2
1 "SHIFT" "STO" A

13
"SHIFT" "STO" B
13 "SHIFT" "STO" C
5 "SHIFT" "STO" D
A=A+1:B=
D+B
:A=A+1:B=
C+B
Ấn =...= một lúc thì thấy giá trị ổn định không đổi.
Ứng với A chẵn kết quả là 3. Ứng với A lẻ kết quả là 4. Vậy x=3
11/ Tìm cặp số tự nhiên (x;y) biết x;y có 2 chữ số và thỏa mãn phương trình: x
4
-y
3
=xy
2

(Trích bài 5 câu b đề kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnhgiải toán trên máy tính casio lớp 11THPT năm 2006-2007,tỉnh Thừa
Thiên Huế)
Giải
Ta có: x
4
-y
3
=xy
2
⇔ x
4
=y
3

+xy
2
.
Vì x và y chỉ có 2 chữ số, nên vế phải tối đa là 2.99
3
nên x tối đa là
3
4
2.99
<38,suy ra 10<x<38
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để giải phương trình :
y
3
+by
2
-b
4
=0 (a=1;c=0;d=-b
4
; b=10,11,..38
dùng chức năng SOLVE, lần lượt với b=10, ra kết quả không đúng, bấm =..=, dùng mũi tên chỉnh b lại 11 bấm =, mũi tên
phải chỉnh lại -114,..
Hoặc nhập vào phưong trình X
3
+AX-A
4
=0, dùng chứ năng SOLVE, lần lượt gán A từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X=0.
ĐS: (12;24)
12/ Tìm số tự nhiên A lớn nhất để các số 2915, 2411, 9467 chia cho A ta được cùng 1 số dư.Tìm số A.
Giải

Ta có 2915, 2411, 9467 chia cho A ta được cùng 1 số dư
nên 2915= Aq
1
+r
1

2411= Aq
2
+r
1

9467= Aq
3
+r
1

⇒ 6552=9467-2915 chia hết cho A
504=2915-2411 chia hết cho A
⇒ A là ước chung của 504 và 6552
Ta có UCLN(504,6552)=504
Thử A=504 ta có: 2915 chia cho 504 dư 395; 2411 chia cho 504 dư 395; 9467 chia cho 504 dư 395
Vậy A= 395.
13/ 4600
37
chia cho 13, tìm số dư?
Giải: Ta có: 4600 ≡ 11 ( mod 13)
suy ra 4600
37
≡ 11
37

( mod 13)
ta có: 13 là số nguyên tố và (11;13) = 1 nên theo định lí Fermat nhỏ ta có:
11
12
≡ 1 ( mod 13)
suy ra 11
36
≡ 1 ( mod 13)
suy ra 11
37
≡ 11 ( mod 13)
suy ra 4600
37
≡ 11 ( mod 13)
Vậy dư của phép chia 4600
37
cho 13 là 11
14/ Tìm 5 chữ số tận cùng của 2008
2008
Giải:
Ta có:
2008
2
≡ 32064 (mod 100000)
32064
2
≡ 00096 (mod 100000) → 2008
4
≡ 00096 (mod 100000)
2008

2008
= 2008
4×502
≡ 96
502
(mod 100000)
Ta có:
96
5
≡ 26976 (mod 100000)
96
10
≡ 4576 (mod 100000)
96
20
≡ 39776 (mod 100000)
96
40
≡ 30176 (mod 100000)
96
80
≡ 90976 (mod 100000)
96
160
≡ 32576 (mod 100000)
96
320
≡ 95776 (mod 100000)
Ta có:
96

502
= 96
320
×96
160
×96
20
×96
2
≡95776×32576×39776×96
2
(mod 100000)
Bằng cách nhân từ từ, lấy 5 chữ số cuối cùng của tích nhân tiếp cho số sau. Ta được:
96502 ≡ 69216 (mod 100000)
Tóm lại: 5 chữ số tận cùng của 20082008 là: 69216
3
15/ Cho biết đa thức P(x)=x
4
+mx
3
-55x
2
+nx-156
chia hết cho x-2 và chia hết cho x-3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức.
(Bài 4, Thi khu vực, Bộ GD và ĐT, Trung học Cơ sở, 2005. Đề chính thức)
Giải
Do P(x) chia hết cho x-2 và x-3 nên
P(2)=0
P(3)=0




⇔
8m+2n=360
27m+3n=570



⇒ m=2, n=172
Do P(x)=x4 +2x3-55x2+172x-156 chia hết cho x-2 và x-3
nên P(x) có thể viết dưới dạng P(x)=(x-2)(x-3)(x
2
+bx+c)
P(0)=-156=6c ⇒ c=-26
P(1)=-36=2(b-25) ⇒ b=7. Vậy P(x)=(x-2)(x-3)(x2+7x-26)
Giải pt bậc hai, ta có Kết quả x=2,6847, x=-9.6847,x = 2, x= 3
16/ Cho P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e, biết P(1)=3, P(2)=7, P(3)=13, P(4)=21 .
Tính P(10)-P(-5)
Giải:
Q(x) có dạng: Q(x)=m(x-1)(x-2)(x-3)+n(x-1)(x-2)+p(x-1)+q
Ta có: Q(1)=q=3, Q(2)=p+q=7, Q(3)=2n+2p+q=13, Q(4)=6m+6n+3p+q=21
⇒ m=0; n=1; p=4; q=3 Q(x)=(x-1)(x-2)+4(x-1)+3⇒
⇒ P(x)=(x-u)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+Q(x)
Tính Q(10) và Q(-5). Q(10)=111;Q(-5)=21
Tính P(10) và P(-5). P(10)=3024(10-u)+111; P(-5)=3024(-5-u)+21
⇒ P(10)-P(-5)=3024×15+111 - 21=45450
17/ Cho dãy số:
1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2

1 1 1 1
2
2 2 2 2 ...
1 1 1
2
2 2 2
1
2 2
2
2
n
u u u u u= + = + = + = + = +
+ + + +
+ + +
+
Tính giá trị chính xác của u
5
,u
9
,u
10
và giá trị gần đúng của u
15
,u
20

( Trích bài 7 Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán trên máy tính casio khối 8 THCS-Năm học 2006-2007)
Giải
Ta thấy công thức của dãy số trên là:
1

1
2
k
k
u
u
−
= +
Nhập vào màn hình
0 "SHIFT" "STO" A
2 "SHIFT" "STO" B
A=A+1:B=2+
1
B
. Bấm =....= liên tiếp
Ta thu được kết quả: u
5
=16970,u
9
=57412378,u
10
=138605741
u
15
,u
20
≈2,414213562
18/ Biết (1 + 2x + 3x
2
)

15
= a
0
+ a
1
x+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ….. + a
30
x
30

Tính E = a
0
+ a
1
+ a
2
+ a
3
+……+ a
29
+ a
30

Giải: E = a
0
+ a
1
+ a
2
+ a
3
+……+ a
29
+ a
30
=(1+2+3)
15
=470184984576
19/ Dương tiết kiệm tháng đầu đươc 100.000 đ ,các tháng từ tháng hai trở đi, số tiền cậu tiết kiệm tháng trước hơn
tháng sau 20 000 đ. dương muốn tiết kiệm để mua laptop trị giá 5 000.000
Giải:
4
20/ 4/Cho tam giác ABC có chiều cao AH va phân giác trong BD cắt nhau taïi E .Cho biết AH=5 ,BD=6 ,EH=1
.Tính gần đúng đễn 4 chữ số thập phân các cạnh tam giác ABC
Giải:
21/ Phân số nào tính ra số thập phân 3.15(321).
Giải: +Lấy 315321-315 làm tử của phân số
+Mẫu của phân số là 99900 (Do phần tuần hoàn có 3 số nên ghi 3 số 9, và cụm tuần hoàn cách dấu phẩy 2 chữ số nên có
2 số 0)
Vậy:
315321-315 52501
3.15(321)= =
99900 16650


CHỨNG MINH:
Đặt a=3.15(321)
100000a=315321(321)(*)
100a=315(321)(**)
Lấy (*) trừ (**)
Ta được 99900a=315321-315
22/ Tính kết quả đúng của tích: P=13032006.1302207
Giải
Đối với ES: tính được nhiều chữ số hơn (do bài này kết quả chỉ có 14 chữ số)
ta thực hiện như sau cho nhanh:
Nhập 13032006 x 1302207=1.697036944x10
13

Lấy (13032006 x 1302207)-1697036x10
7
=9437272
Như vậy kết quả của 13032006 x 1302207=16970369437242
23/
24/ Dân số của thành phố năm 2007 là 330.000 người.
a) Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong 10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng
5
dân số mỗi năm của thành phố là 1,5% và thành phố thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều đến
lớp 1?(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
b) Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành
cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số mỗi năm là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007?(Kết quả lấy với 2
chữ số ở phần thập phân)
(Trích bài 2 kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán trên máy tính casio khối 2 THCS- Năm học 2007-2008-Thừa Thiên
Huế)
Giải

a)Gọi x là số dân năm 2000, r là tỉ lệ tăng dân hàng năm, n là số năm tăng lên
Ta có :số dân sau n năm là:
x
n
=x(1+r)
n
(1)
Số dân tại năm 2007 là 330000, tức là:
x(1+r)
7
=330000
Vậy số dân đến độ tuổi vào lớp 1 tại năm 2007 chính là số dân sinh ra trong năm 2001-2002
Số dân này sẽ là: y=x.r
Kết hợp với pt(1), ta được:
x.r(1+r)
7
=330000.r
⇒y(1+r)
7
=330000.r
Nhập vào màn hình phương trình trên với r=1,5÷ 100
Ấn "SHIFT" "SOLVE"
Máy hiện x?
Nhập giá trị 1
Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa
Máy hiện kết quả
y ≈ 4460
b)Số học sinh đủ độ tuổi vào lớp 1 năm học 2015-2016 sinh vào năm 2009.
Gọi tỉ lệ tăng dân số cần khống chế là a.
Theo đề, ta có pt:

x x
33000(1+ ). ÷35=120
100 100
Nhập vào màn hình phương trình trên
Ấn "SHIFT" "SOLVE"
Máy hiện x?
Nhập giá trị 1
Ấn "SHIFT" "SOLVE" lần nữa
Máy hiện kết quả x ≈ 1,25
24/ Cho hình chữ nhật ABCD, BC>AB, hai đường chéo cắt nhau ở O và đường phân giác góc CAD cắt BD ở E.
Gọi F là hình chiếu của E xuống AD, K là trung điểm của AD. Qua E dựng HG vuông góc với AE (H nằm trên AC,
G nằm trên AD).
Biết OH=1,3379 ; KF=4/3.OH. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Giải:

6